2025屆河北省金科大聯(lián)考高三3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省金科大聯(lián)考2025屆高三3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，有．故選：B2.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由解得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊背闪⒌某浞植槐匾獥l件，所以有，解得，故選：A.3.小張從超市買了4袋食鹽，每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)重量是500克，為了了解這些食鹽的重量的情況，稱出各袋的重量分別為501克，499克，498克，502克，則這4袋食鹽重量的方差為（）A.4 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】D【解析】這4袋食鹽的重量的平均數(shù)為，方差為．故選：D4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由，，有，可得．故選：B．5.已知向量，，其中，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，所以的取值范圍為.故選：C6.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，都有，且，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，又，有，又由，有，故，．故選：A．7.已知橢圓C：與直線相切，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】聯(lián)立方程消去y后整理為，有，整理可得，由，有，可得．故選:B．8.已知存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域與函數(shù)在區(qū)間上的值域相同，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由函數(shù)單調(diào)遞增，有，即關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，可化為．令，有，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．又由，，當(dāng)時，，故若函數(shù)的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列各式中，值是的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，由，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：AC．10.下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.甲、乙兩名鉗工加工同一型號的零件，根據(jù)以往數(shù)據(jù)得知，甲加工的合格品率為80%，乙加工的合格品率為90%．加工出來的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件數(shù)分別占40%，60%，從所有零件中任取一個零件，則這個零件是合格品的概率為0.88B已知事件A，B滿足，，，則C.若事件滿足，且，則A與B相互獨(dú)立D.若隨機(jī)變量，且，，則的最小值為16【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，由全概率公式，這個零件是合格品的概率為，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，由，有，可得，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由，有，可得A與B相互獨(dú)立，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，由正態(tài)分布可知，，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD．11.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)P為拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線OP的平行線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于第一象限），直線OP和AB分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于M，N兩點(diǎn)，則（）A.B.若拋物線的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)T，則M是線段TN的中點(diǎn)C.D.若直線PF與拋物線交于另一點(diǎn)Q，則直線軸【答案】ABD【解析】對于A，由拋物線C的準(zhǔn)線為，有，可得，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，由，可得直線的方程為，令可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以是線段的中點(diǎn)，故B正確；對于C，聯(lián)立方程，可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，有．聯(lián)立方程，消去y后整理為，有，有，可得，故C錯誤；對于D，由，可得，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為，可得直線軸，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓：和圓：相切，則______．【答案】－1或1或－3或3【解析】由題意可知：，，，，有，又兩圓相切，則有或，可得或－1或1或3．故答案為：－1或1或－3或313.若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】當(dāng)，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，，可得函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)；又由函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，可知當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，又由，則有，解得．故答案為：.14.如圖，在四棱臺中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，平面BEF把四棱臺分成兩部分，這兩部分的體積分別為，（其中），則______．【答案】【解析】連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接，相交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)M，連接BM與交于點(diǎn)T，與的延長線交于點(diǎn)N，由平面平面，可知M為和的交點(diǎn)，又由，可知，又由，可得，又由，有，可得，不妨設(shè)，，，可得梯形的面積為，又由，，又由，可得，可得四邊形的面積為，可得，又由，可得，又由，可得，可得，又由幾何圖形的對稱性可知．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由正弦定理及，有，又由余弦定理，有，代入，有，整理為，因式分解為，可得或，可得的值為2或；（2）由正弦定理及，有，又由，有，又由，有，即，代入，有，有.16.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面平面，，M是PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，，求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：如圖，連接BD，與AC相交于點(diǎn)N，因四邊形為矩形，對角線BD，AC相交于點(diǎn)N，則，又因M是PB的中點(diǎn)，則，因，，則，因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC；（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面ABCD，所以平面，則以所在的直線分別為y軸，z軸，過點(diǎn)A，在平面內(nèi)作AB的垂線為x軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由，，，可得，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，由，，有，取，，，可得平面PCD的一個法向量為，設(shè)平面AMC的法向量為，由，，有，取，，，可得平面AMC的一個法向量為，又由，，，有，故平面PCD與平面AMC的夾角的余弦值為．17.新春佳節(jié)，上海京劇院、上海昆劇團(tuán)聯(lián)手帶來“京昆群英會”，名角薈萃、好戲連臺．天蟾逸夫舞臺自大年初二起“靈蛇獻(xiàn)瑞”，以一系列京昆佳作為戲迷觀眾奉上文化大餐．年初二率先登場的《新春京劇演唱會》匯集上海京劇院老中青三代演員；大年初六，上海昆劇團(tuán)接棒“京昆群英會”，上海昆劇團(tuán)優(yōu)秀青年演員胡維露、羅晨雪將攜手獻(xiàn)演昆劇《墻頭馬上》．據(jù)統(tǒng)計(jì)，有的票友計(jì)劃只觀看《新春京劇演唱會》，余下的票友既觀看《新春京劇演唱會》，也觀看《墻頭馬上》．每位票友只觀看《新春京劇演唱會》，則會員卡積1分；若既觀看《新春京劇演唱會》，也觀看《墻頭馬上》，則會員卡積2分．假設(shè)每位票友觀看計(jì)劃相互獨(dú)立，視頻率為概率，所有票友會員卡之前積分均為0．（1）觀看結(jié)束后，從票友中隨機(jī)抽取3人，記3人會員卡的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）觀看結(jié)束后，從票友中隨機(jī)抽取n個人（n為正整數(shù)），記這n個人會員卡的合計(jì)積分是分的概率為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題可得X的值可得為3，4，5，6，則，，，.則分布列如下：3456則；（2）由題可得合計(jì)積分是分時，有人只看《新春京劇演唱會》，一人既觀看《新春京劇演唱會》，也觀看《墻頭馬上》，可得，，，則.則，兩式相減可得：.則.18.已知點(diǎn)，，直線MA和MB的斜率的乘積為1，點(diǎn)M的軌跡為C．（1）求軌跡C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與軌跡C相交于P，Q兩點(diǎn)，記直線BP，BQ的斜率分別為，，求的值；（3）在（2）的條件下，證明：直線AP與BQ的交點(diǎn)T在定直線上．解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由直線MA和MB斜率的乘積為1，有，可得．又由，可得軌跡C的方程為；（2）由（1）知，∴直線PQ的斜率不為0，故設(shè)直線PQ的方程為，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，有，，又由，故；（3）由直線PA和PB的斜率的乘積為1，可得直線PA的斜率為，可得直線PA的方程為，又由，有，可得直線BQ的方程為，將直線PA和BQ的方程聯(lián)立消去y，有，解得，可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為，所以直線AP與BQ的交點(diǎn)T在定直線上．19.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若是函數(shù)兩個零點(diǎn)，證明：；（3）當(dāng)且時，證明：．（1）解：由恒成立，有恒成立，令，有，解不等式可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得的最大值為，若函數(shù)恒成立，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（2）證明：不妨設(shè)，設(shè)，由，有，，兩式相除，有，代入，有，有，可得，可得，要證，只需證，只需證，令，有，可得函數(shù)單調(diào)遞增，有，故有；（3）證明：由（1），取，有（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），?。ㄆ渲校?，有，有，又由，有，有，有，有，有，可得，有，有，有，當(dāng)且時，可得．河北省金科大聯(lián)考2025屆高三3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，有．故選：B2.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由解得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊背闪⒌某浞植槐匾獥l件，所以有，解得，故選：A.3.小張從超市買了4袋食鹽，每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)重量是500克，為了了解這些食鹽的重量的情況，稱出各袋的重量分別為501克，499克，498克，502克，則這4袋食鹽重量的方差為（）A.4 B.3.5 C.3 D.2.5【答案】D【解析】這4袋食鹽的重量的平均數(shù)為，方差為．故選：D4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由，，有，可得．故選：B．5.已知向量，，其中，，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由向量，得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，所以的取值范圍為.故選：C6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，都有，且，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，又，有，又由，有，故，．故選：A．7.已知橢圓C：與直線相切，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】聯(lián)立方程消去y后整理為，有，整理可得，由，有，可得．故選:B．8.已知存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域與函數(shù)在區(qū)間上的值域相同，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由函數(shù)單調(diào)遞增，有，即關(guān)于x的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，可化為．令，有，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．又由，，當(dāng)時，，故若函數(shù)的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列各式中，值是的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，由，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤；故選：AC．10.下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.甲、乙兩名鉗工加工同一型號的零件，根據(jù)以往數(shù)據(jù)得知，甲加工的合格品率為80%，乙加工的合格品率為90%．加工出來的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件數(shù)分別占40%，60%，從所有零件中任取一個零件，則這個零件是合格品的概率為0.88B已知事件A，B滿足，，，則C.若事件滿足，且，則A與B相互獨(dú)立D.若隨機(jī)變量，且，，則的最小值為16【答案】BCD【解析】對于A選項(xiàng)，由全概率公式，這個零件是合格品的概率為，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，由，有，可得，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由，有，可得A與B相互獨(dú)立，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，由正態(tài)分布可知，，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD．11.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)P為拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線OP的平行線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于第一象限），直線OP和AB分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于M，N兩點(diǎn)，則（）A.B.若拋物線的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)T，則M是線段TN的中點(diǎn)C.D.若直線PF與拋物線交于另一點(diǎn)Q，則直線軸【答案】ABD【解析】對于A，由拋物線C的準(zhǔn)線為，有，可得，故A正確；對于B，設(shè)直線的方程為，由，可得直線的方程為，令可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以是線段的中點(diǎn)，故B正確；對于C，聯(lián)立方程，可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，有．聯(lián)立方程，消去y后整理為，有，有，可得，故C錯誤；對于D，由，可得，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為，可得直線軸，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓：和圓：相切，則______．【答案】－1或1或－3或3【解析】由題意可知：，，，，有，又兩圓相切，則有或，可得或－1或1或3．故答案為：－1或1或－3或313.若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】當(dāng)，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，，可得函數(shù)在上有且僅有一個零點(diǎn)；又由函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，可知當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，又由，則有，解得．故答案為：.14.如圖，在四棱臺中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，平面BEF把四棱臺分成兩部分，這兩部分的體積分別為，（其中），則______．【答案】【解析】連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接，相交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)M，連接BM與交于點(diǎn)T，與的延長線交于點(diǎn)N，由平面平面，可知M為和的交點(diǎn)，又由，可知，又由，可得，又由，有，可得，不妨設(shè)，，，可得梯形的面積為，又由，，又由，可得，可得四邊形的面積為，可得，又由，可得，又由，可得，可得，又由幾何圖形的對稱性可知．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）若，求的值；（2）若，求的值．解：（1）由正弦定理及，有，又由余弦定理，有，代入，有，整理為，因式分解為，可得或，可得的值為2或；（2）由正弦定理及，有，又由，有，又由，有，即，代入，有，有.16.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面平面，，M是PB的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，，求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：如圖，連接BD，與AC相交于點(diǎn)N，因四邊形為矩形，對角線BD，AC相交于點(diǎn)N，則，又因M是PB的中點(diǎn)，則，因，，則，因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC；（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面ABCD，所以平面，則以所在的直線分別為y軸，z軸，過點(diǎn)A，在平面內(nèi)作AB的垂線為x軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由，，，可得，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，由，，有，取，，，可得平面PCD的一個法向量為，設(shè)平面AMC的法向量為，由，，有，取，，，可得平面AMC的一個法向量為，又由，，，有，故平面PCD與平面AMC的夾角的余弦值為．17.新春佳節(jié)，上海京劇院、上海昆劇團(tuán)聯(lián)手帶來“京昆群英會”，名角薈萃、好戲連臺．天蟾逸夫舞臺自大年初二起“靈蛇獻(xiàn)瑞”，以一系列京昆佳作為戲迷觀眾奉上文化大餐．年初二率先登場的《新春京劇演唱會》匯集上海京劇院老中青三代演員；大年初六，上海昆劇團(tuán)接棒“京昆群英會”，上海昆劇團(tuán)優(yōu)秀青年演員胡維露、羅晨雪將攜手獻(xiàn)演昆劇《墻頭馬上》．據(jù)統(tǒng)計(jì)，有的票友計(jì)劃只觀看《新春京劇演唱會》，余下的票友既觀看《新春京劇演唱會》，也觀看《墻頭馬上》．每位票友只觀看《新春京劇演唱會》，則會員卡積1分；若既觀看《新春京劇演唱會》，也觀看《墻頭馬上》，則會員卡積2分．假設(shè)每位票友觀看計(jì)劃相互獨(dú)立，視頻率為概率，所有票友會員卡之前積分均為0．（1）觀看結(jié)束后，從票友中隨機(jī)抽取3人，記3人會員卡的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)