2025屆北京市豐臺(tái)區(qū)高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市豐臺(tái)區(qū)2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，∵，∴.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)數(shù).

，則.故選：B.3.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.160 B.60 C. D.【答案】B【解析】由題可知，當(dāng)時(shí)，，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：60故選：B4.已知，，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】選項(xiàng)A：舉反例：取，，，，則

，，顯然

不成立，因此A不恒成立；選項(xiàng)B：舉反例：取

，，，，則

，，顯然

不成立，故B不恒成立；選項(xiàng)C：由于指數(shù)函數(shù)

是嚴(yán)格遞增函數(shù)，

和

分別推出

和

，因此

恒成立，因此C恒成立；選項(xiàng)D：舉反例：取，，，，則

，，顯然

不成立，因此D不恒成立.故選：C.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上.若M的橫坐標(biāo)為1，且，則p的值為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以，解得，故選：C.6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】如圖，在正方體中分析選項(xiàng)A、B、C.A.平面，平面，平面平面，但，A錯(cuò)誤.B.，平面，但平面，B錯(cuò)誤.C.平面平面，平面，，但平面，C錯(cuò)誤.D.取直線的方向向量，直線的方向向量，∵，，∴分別為平面的法向量，∵，∴，∴，選項(xiàng)D正確.故選：D.7.已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，這意味著是數(shù)列中的最大值.因?yàn)槭枪畈粸榈牡炔顢?shù)列，所以該數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)（且二次項(xiàng)系數(shù)不為），其圖象是一條拋物線.當(dāng)是最大值時(shí)，說(shuō)明從第項(xiàng)開(kāi)始數(shù)列的項(xiàng)變?yōu)榉钦龜?shù)，即，且（若，那么，與是最大值矛盾）.所以由“”可以推出“”，充分性成立.

若，僅知道第項(xiàng)是非負(fù)的，但無(wú)法確定就是的最大值.例如，當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，那么會(huì)隨著的增大而增大，此時(shí)就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.

因?yàn)槌浞中猿闪?，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.在平行四邊形中，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為外接圓的圓心，，且，則的最大值為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由可知O為的中點(diǎn)，又因?yàn)镺為外接圓的圓心，所以為直角三角形，，所以，又因?yàn)樗运?，又因?yàn)镋為邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以即所以的最大值?.故選：C9.圖1是出土于陜西西安的金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯.它杯口外侈，器壁內(nèi)弧，腹部?jī)?nèi)收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用復(fù)雜的金筐寶鈿工藝，器腹以如意云頭紋分割，內(nèi)焊團(tuán)花，邊緣排滿小金珠，是唐代金銀器精品.圖2是某校陶藝社團(tuán)的同學(xué)仿照金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯制作的一只團(tuán)花紋陶藝杯，其主體部分（忽略杯底部分）外輪廓可近似看作雙曲線C的一部分.經(jīng)測(cè)量，該陶藝杯主體部分上底直徑（即杯口直徑）約，下底直徑約，腹部最細(xì)處直徑約，主體部分高約，則下列各數(shù)中與雙曲線C的離心率最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)樽钚≈睆綖?，可得，即，又因?yàn)橹黧w部分高，上底直徑為，下底直徑約，設(shè)點(diǎn)，所以且，解得，即，故故，故選：B.10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在唯一的點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面；②的最小值為；③存在點(diǎn)，使得；④有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面截正方體所得截面的面積為.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對(duì)于結(jié)論①，取中點(diǎn)為，連接，，，，因?yàn)檎襟w，為的中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，如圖確定的平面與線段有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故結(jié)論①正確；對(duì)于結(jié)論②，因?yàn)?，求的最小值，即求的最小值，因?yàn)檎襟w，所以，，，四點(diǎn)共面，所以與會(huì)相交于一點(diǎn)，設(shè)為，此時(shí)，因?yàn)?，所以的最小值為錯(cuò)誤，故結(jié)論②錯(cuò)誤；對(duì)于結(jié)論③，取，中點(diǎn)分別為，，連接，設(shè)交于點(diǎn)，若平面，在平面中，易知，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所?所以存在點(diǎn)，使得，故結(jié)論③正確.對(duì)于結(jié)論④，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，截面為矩形，截面面積為，當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接，，，，，，此時(shí)四邊形即為平面截正方體所得截面，證明如下：已知平面，求證點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，得證.又因?yàn)?，且，，所以四邊形為等腰梯形，面積為，所以當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，截面面積為，當(dāng)點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí)，截面面積趨近于3，因?yàn)?，，點(diǎn)從上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面面積的變化是連續(xù)的，所以點(diǎn)從上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在某點(diǎn)，使得截面面積為，故線段上至少存在兩個(gè)點(diǎn)使得截面面積為，故結(jié)論④不正確故選：B.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則______.【答案】【解析】直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，圓心為，半徑為，則，所以.故答案為：.12.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，______；若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】①.0②.【解析】時(shí),;由于當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以為了使得在上單調(diào)遞增，必須且只需,即,故答案為：；.13.已知，，是公比不為1的等比數(shù)列，將，，調(diào)整順序后可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則滿足條件的一組，，的值依次為_(kāi)_____.【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)等比數(shù)列，，的公比為，則等比數(shù)列為，不妨設(shè)調(diào)整順序后的等差數(shù)列為，則，∵，∴，解得或（舍），令，則，，∴滿足條件的一組，，的值依次為.故答案為：（答案不唯一）.14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中M，N是直線與曲線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn).若，則______，______.【答案】①.2②.【解析】已知，是直線與曲線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，且.設(shè)則.且，則，則，同理，因此.解得.

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可得，所以，，則，.由于，則，那么.

將代入可得：.故答案為：2；.15.已知函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對(duì)任意實(shí)數(shù)a，都沒(méi)有最小值；③當(dāng)時(shí)，設(shè)的零點(diǎn)從大到小依次為，，，，則對(duì)任意正整數(shù)i，都有；④對(duì)任意實(shí)數(shù)a，m，存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____.【答案】②④【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，則，存在，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，,,,則上沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，,,,則在上沒(méi)有最小值；故②正確；對(duì)于③，結(jié)合①②，當(dāng)時(shí)，在的零點(diǎn)，最大的①中的，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在零點(diǎn)，所以這兩個(gè)零點(diǎn)距離大于，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，因?yàn)槭菍?duì)勾函數(shù)，可以取到，，所以可以取到,故④正確.故答案為：②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，．（1）求；（2）若的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求a．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得．因?yàn)?，所以．?）選擇條件①：因?yàn)?，所以，．由題意得，所以．因?yàn)?，，所以．由正弦定理，得，又，解得，所以．選擇條件②：由題意得，所以．因?yàn)椋?，所以．又，所以，又，解得或．選擇條件③：不符合題意，因?yàn)橹?，，不可能?7.如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：∵在中，，，，∴，故.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）解：分別取，中點(diǎn)，連接，，則，.∵，∴.∵為等邊三角形，∴，故.∵平面，平面，∴.∵，∴，故，，兩兩垂直.如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，∴.設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18.京廣高速鐵路是世界上運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的高速鐵路之一，也是中國(guó)客運(yùn)量最大、運(yùn)輸最為繁忙的高速鐵路之一.某日從北京西到廣州南的部分G字頭高鐵車(chē)次情況如下表：注：以下高鐵車(chē)次均能準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)（1）某乘客從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車(chē)次從北京西出發(fā)到廣州南，求這趟列車(chē)的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率；（2）甲、乙、丙3人分別從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車(chē)次從北京西出發(fā)到廣州南，其中甲必須上午出發(fā)，乙必須下午出發(fā)，丙的出發(fā)時(shí)間沒(méi)有限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響.（i）記隨機(jī)變量X為甲、乙、丙選取的列車(chē)中運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）甲、乙、丙3人中，誰(shuí)選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率最大？（結(jié)論不要求證明）解：（1）上表中的7趟車(chē)次中，列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的有4趟.設(shè)事件“從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車(chē)次從北京西出發(fā)到廣州南，這趟列車(chē)的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)”，則.（2）（i）甲選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率為，乙選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率為，丙選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率為.X的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為：X0123PX的數(shù)學(xué)期望.（ii）甲.列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短為7小時(shí)17分，甲選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率為，乙選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率為，丙選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率為，所以甲選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率最大.19.已知橢圓，以的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且面積為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).過(guò)作直線的垂線，垂足為.求證：直線過(guò)定點(diǎn).（1）解：由題意得，解得，∴橢圓E的方程為.（2）證明：由題意得，直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，，則，由得.由得，∴，.∵，∴直線的方程為：，令，得，即，當(dāng)時(shí)，，∴，故直線過(guò)定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線為x軸，過(guò)點(diǎn).綜上，直線過(guò)定點(diǎn).20.已知函數(shù)，直線l是曲線在點(diǎn)處的切線.（1）當(dāng)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求l的方程；（2）若存在l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，B為l與y軸的交點(diǎn)，表示的面積.求的最小值.解：（1）當(dāng)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，，，，，所以直線l的方程為，即.（2）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?所以直線l的方程為.因?yàn)閘經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得.設(shè)，由題意知，存在，使得.又因，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增；所以在時(shí)取得最小值.因，所以，解得.此時(shí).因?yàn)?，所以只?所以a的取值范圍是.（3）當(dāng)時(shí)，，，，，直線l的方程為.令，得，即，所以.由（2）知，當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，因，所以恒成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.21.已知無(wú)窮遞增數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，記數(shù)列為數(shù)列的自身子數(shù)列.（1）若，寫(xiě)出數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)；（2）證明：；（3）若數(shù)列與是公差分別為，的等差數(shù)列.（i）證明：；（ii）當(dāng)，時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（1）解：因?yàn)樗詳?shù)列的自身子數(shù)列為，所以前4項(xiàng)為：，即數(shù)列的自身子數(shù)列的前4項(xiàng)為1，5，9，13.（2）證明：因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列且各項(xiàng)均為正整數(shù)，于是，所以，設(shè)，則，所以.（3）解：（i）由題得，，又及是遞增數(shù)列，得，即，即，由于對(duì)任意正整數(shù)均成立，則，否則矛盾.所以.（ii）由，若存在，使得，設(shè)，不妨設(shè)，有，則，又，因此與矛盾，所以對(duì)任意，都有.若存在，使得，設(shè)，不妨設(shè)，有，則，又，因此與矛盾，所以對(duì)任意，都有，綜上，對(duì)任意，都有.設(shè)，則數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，，又，因此，又，所以.北京市豐臺(tái)區(qū)2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，，∵，∴.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A.5 B. C.3 D.【答案】B【解析】已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以復(fù)數(shù).

，則.故選：B.3.展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A.160 B.60 C. D.【答案】B【解析】由題可知，當(dāng)時(shí)，，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：60故選：B4.已知，，則下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】選項(xiàng)A：舉反例：取，，，，則

，，顯然

不成立，因此A不恒成立；選項(xiàng)B：舉反例：取

，，，，則

，，顯然

不成立，故B不恒成立；選項(xiàng)C：由于指數(shù)函數(shù)

是嚴(yán)格遞增函數(shù)，

和

分別推出

和

，因此

恒成立，因此C恒成立；選項(xiàng)D：舉反例：取，，，，則

，，顯然

不成立，因此D不恒成立.故選：C.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上.若M的橫坐標(biāo)為1，且，則p的值為（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】由已知可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以，解得，故選：C.6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】如圖，在正方體中分析選項(xiàng)A、B、C.A.平面，平面，平面平面，但，A錯(cuò)誤.B.，平面，但平面，B錯(cuò)誤.C.平面平面，平面，，但平面，C錯(cuò)誤.D.取直線的方向向量，直線的方向向量，∵，，∴分別為平面的法向量，∵，∴，∴，選項(xiàng)D正確.故選：D.7.已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，則“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，這意味著是數(shù)列中的最大值.因?yàn)槭枪畈粸榈牡炔顢?shù)列，所以該數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)（且二次項(xiàng)系數(shù)不為），其圖象是一條拋物線.當(dāng)是最大值時(shí)，說(shuō)明從第項(xiàng)開(kāi)始數(shù)列的項(xiàng)變?yōu)榉钦龜?shù)，即，且（若，那么，與是最大值矛盾）.所以由“”可以推出“”，充分性成立.

若，僅知道第項(xiàng)是非負(fù)的，但無(wú)法確定就是的最大值.例如，當(dāng)公差時(shí)，數(shù)列是遞增數(shù)列，那么會(huì)隨著的增大而增大，此時(shí)就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.

因?yàn)槌浞中猿闪?，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A8.在平行四邊形中，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為外接圓的圓心，，且，則的最大值為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】由可知O為的中點(diǎn)，又因?yàn)镺為外接圓的圓心，所以為直角三角形，，所以，又因?yàn)樗运?，又因?yàn)镋為邊上的動(dòng)點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以即所以的最大值?.故選：C9.圖1是出土于陜西西安的金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯.它杯口外侈，器壁內(nèi)弧，腹部?jī)?nèi)收，圈足外撇，肩部有“6”字形把手.金杯采用復(fù)雜的金筐寶鈿工藝，器腹以如意云頭紋分割，內(nèi)焊團(tuán)花，邊緣排滿小金珠，是唐代金銀器精品.圖2是某校陶藝社團(tuán)的同學(xué)仿照金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯制作的一只團(tuán)花紋陶藝杯，其主體部分（忽略杯底部分）外輪廓可近似看作雙曲線C的一部分.經(jīng)測(cè)量，該陶藝杯主體部分上底直徑（即杯口直徑）約，下底直徑約，腹部最細(xì)處直徑約，主體部分高約，則下列各數(shù)中與雙曲線C的離心率最接近的是（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)樽钚≈睆綖椋傻?，即，又因?yàn)橹黧w部分高，上底直徑為，下底直徑約，設(shè)點(diǎn)，所以且，解得，即，故故，故選：B.10.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，為的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在唯一的點(diǎn)，使得，，，四點(diǎn)共面；②的最小值為；③存在點(diǎn)，使得；④有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面截正方體所得截面的面積為.其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】對(duì)于結(jié)論①，取中點(diǎn)為，連接，，，，因?yàn)檎襟w，為的中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，如圖確定的平面與線段有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故結(jié)論①正確；對(duì)于結(jié)論②，因?yàn)?，求的最小值，即求的最小值，因?yàn)檎襟w，所以，，，四點(diǎn)共面，所以與會(huì)相交于一點(diǎn)，設(shè)為，此時(shí)，因?yàn)?，所以的最小值為錯(cuò)誤，故結(jié)論②錯(cuò)誤；對(duì)于結(jié)論③，取，中點(diǎn)分別為，，連接，設(shè)交于點(diǎn)，若平面，在平面中，易知，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所?所以存在點(diǎn)，使得，故結(jié)論③正確.對(duì)于結(jié)論④，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，截面為矩形，截面面積為，當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，取中點(diǎn)為，連接，，，，，，此時(shí)四邊形即為平面截正方體所得截面，證明如下：已知平面，求證點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，得證.又因?yàn)?，且，，所以四邊形為等腰梯形，面積為，所以當(dāng)點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，截面面積為，當(dāng)點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí)，截面面積趨近于3，因?yàn)?，，點(diǎn)從上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，截面面積的變化是連續(xù)的，所以點(diǎn)從上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在某點(diǎn)，使得截面面積為，故線段上至少存在兩個(gè)點(diǎn)使得截面面積為，故結(jié)論④不正確故選：B.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則______.【答案】【解析】直線與圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，圓心為，半徑為，則，所以.故答案為：.12.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，______；若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】①.0②.【解析】時(shí),;由于當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以為了使得在上單調(diào)遞增，必須且只需,即,故答案為：；.13.已知，，是公比不為1的等比數(shù)列，將，，調(diào)整順序后可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則滿足條件的一組，，的值依次為_(kāi)_____.【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)等比數(shù)列，，的公比為，則等比數(shù)列為，不妨設(shè)調(diào)整順序后的等差數(shù)列為，則，∵，∴，解得或（舍），令，則，，∴滿足條件的一組，，的值依次為.故答案為：（答案不唯一）.14.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中M，N是直線與曲線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn).若，則______，______.【答案】①.2②.【解析】已知，是直線與曲線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)，且.設(shè)則.且，則，則，同理，因此.解得.

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可得，所以，，則，.由于，則，那么.

將代入可得：.故答案為：2；.15.已知函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對(duì)任意實(shí)數(shù)a，都沒(méi)有最小值；③當(dāng)時(shí)，設(shè)的零點(diǎn)從大到小依次為，，，，則對(duì)任意正整數(shù)i，都有；④對(duì)任意實(shí)數(shù)a，m，存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____.【答案】②④【解析】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，則，存在，使得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，,,,則上沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，,,,則在上沒(méi)有最小值；故②正確；對(duì)于③，結(jié)合①②，當(dāng)時(shí)，在的零點(diǎn)，最大的①中的，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，存在零點(diǎn)，所以這兩個(gè)零點(diǎn)距離大于，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，，因?yàn)槭菍?duì)勾函數(shù)，可以取到，，所以可以取到,故④正確.故答案為：②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.在中，．（1）求；（2）若的面積為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求a．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）在中，因?yàn)?，由余弦定理，得．因?yàn)椋裕?）選擇條件①：因?yàn)?，所以，．由題意得，所以．因?yàn)?，，所以．由正弦定理，得，又，解得，所以．選擇條件②：由題意得，所以．因?yàn)?，且，所以．又，所以，又，解得或．選擇條件③：不符合題意，因?yàn)橹?，，不可能?7.如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：∵在中，，，，∴，故.∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）解：分別取，中點(diǎn)，連接，，則，.∵，∴.∵為等邊三角形，∴，故.∵平面，平面，∴.∵，∴，故，，兩兩垂直.如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，∴.設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.18.京廣高速鐵路是世界上運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的高速鐵路之一，也是中國(guó)客運(yùn)量最大、運(yùn)輸最為繁忙的高速鐵路之一.某日從北京西到廣州南的部分G字頭高鐵車(chē)次情況如下表：注：以下高鐵車(chē)次均能準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)（1）某乘客從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車(chē)次從北京西出發(fā)到廣州南，求這趟列車(chē)的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率；（2）甲、乙、丙3人分別從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車(chē)次從北京西出發(fā)到廣州南，其中甲必須上午出發(fā)，乙必須下午出發(fā)，丙的出發(fā)時(shí)間沒(méi)有限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響.（i）記隨機(jī)變量X為甲、乙、丙選取的列車(chē)中運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）甲、乙、丙3人中，誰(shuí)選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率最大？（結(jié)論不要求證明）解：（1）上表中的7趟車(chē)次中，列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的有4趟.設(shè)事件“從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車(chē)次從北京西出發(fā)到廣州南，這趟列車(chē)的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)”，則.（2）（i）甲選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率為，乙選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率為，丙選取的列車(chē)運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10