2024-2025學(xué)年云南省昆明市高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1云南省昆明市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，可解得：，則；綜合可得或，而，因此，．故選：B．2.已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，可知，則.故選：D．3.設(shè)向量，下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，由可得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，所以，故C正確，對(duì)于D，，故不平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.若空間中三條不同的直線滿足，且，則直線與直線必定（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.異面【答案】B【解析】由于，且，則.故選：B.5.已知向量，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，所以在方向上的投影向量為.故選：C．6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，將代入，可得.故選：A．7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；構(gòu)造函數(shù)，其中，，其中，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，如下：因，結(jié)合函數(shù)圖像可以得到，即.故選：C．8.某數(shù)學(xué)興趣小組使用圓臺(tái)形水杯，應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)、物理知識(shí)來測(cè)量球的半徑．已知圓臺(tái)形水杯盛有水（不計(jì)厚度），測(cè)得杯口的半徑為，杯底的半徑為，高為，當(dāng)杯底水平放置時(shí)，水面的高度為水杯高度的一半，若將半徑為的小球放入水杯中（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則小球的半徑（）cm．A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，球的體積為圓臺(tái)的體積減去水的體積（容積），可得，解得，即.故選：D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A.B.的虛部為C.的共軛復(fù)數(shù)為D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】AD【解析】因?yàn)?，則，故A正確；的虛部為，故B錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.為周期函數(shù)B.的最大值為2C.存在，使得的圖象關(guān)于對(duì)稱D.存在，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABC【解析】，所以是周期函數(shù)，A正確；由于，若的最大值為2，則，顯然兩者可以同時(shí)取到1，即，故B正確；取時(shí)，均以為對(duì)稱軸，因此是的對(duì)稱軸，故C正確；令，則，令，則，則，若則，由于故為奇數(shù)，而為偶數(shù)，因此與不可能相等，故不存在，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．11.已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為的外心，，，且有．若．則下列結(jié)論正確的是（）A. B.內(nèi)切圓半徑C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，即，即，解得，又，所以，所以A正確；對(duì)于B，，由余弦定理得，故，故的周長(zhǎng)，設(shè)內(nèi)切圓為，由得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則，所以，，所以，所以C正確；對(duì)于D，，由，可知，得，解得：，故，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解為________.【答案】，【解析】方程，即，解得，.13.已知中，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，且，所以?dāng)分別位于時(shí)，此時(shí)時(shí)，，當(dāng)均位于時(shí)，最大，最大，，所以的取值范圍為．14.某次考試共5道試題，均為判斷題．計(jì)分的方法是：每道題答對(duì)的給2分，答錯(cuò)或不答的扣1分，每個(gè)人的基本分為10分．已知趙，錢，孫，李，周，吳6人的作答情況及前5個(gè)人的得分情況如下表，則吳的得分為______．題號(hào)人趙錢孫李周吳1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411【答案】14分【解析】解法一：分析可得，無論每道題的結(jié)果如何，每道題前五人的得分比吳的得分多2分，則吳的得分為：，加上基本分后為14．解法二：由于前四個(gè)人只有錢得分是11分，則錢答對(duì)兩個(gè)題，答錯(cuò)三個(gè)題，不妨將錢的答案全部考慮反面，則錢答對(duì)三個(gè)題，答錯(cuò)兩個(gè)題，共14分；題號(hào)人趙錢孫李周吳1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411對(duì)于6個(gè)人而言，前4個(gè)題，6個(gè)人答案都是三個(gè)√，三個(gè)錯(cuò)，那前4個(gè)題，每個(gè)題都是3個(gè)人對(duì)，3個(gè)人錯(cuò)；前4個(gè)題的總分為：分；現(xiàn)在考慮第5題，共5個(gè)√，一個(gè)×，若第5題正確答案是“×”，那么第5個(gè)題的得分是：分，最終5個(gè)題的總得分為69分；而從得分來看，分，于是吳得分是2分，矛盾；于是第5題正確答案是“√”，第5題的得分是：分，6個(gè)題的總分為：81分，于是吳得14分．解法三：考慮第一，二題孫的答案是對(duì)的，（1）若孫第三題答案也是對(duì)的，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孫第三題答案是錯(cuò)的，錢最后兩題只能全對(duì)，與周11分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考慮孫第一題對(duì)，第二題答案是錯(cuò)的.（3）若孫第三題答案是對(duì)的，則趙最后兩題全對(duì)，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孫第三題答案是錯(cuò)的，則孫最后兩題全對(duì)，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考慮孫第一題錯(cuò)，第二題答案是對(duì)的.（5）若孫第三題答案是對(duì)的，則李最后兩題全對(duì)，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孫第三題答案是錯(cuò)的，則孫最后兩題全對(duì)，此時(shí)正確答案是√，×，√，×，√，吳此時(shí)14分；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考慮孫第一題錯(cuò)，第二題答案是錯(cuò)的，則孫后三題全對(duì)，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411綜上所述：正確答案是√，×，√，×，√，吳此時(shí)14分．四、解答題.15.已知中，是直角，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)．（1）設(shè)，，當(dāng)，請(qǐng)用，來表示，．（2）當(dāng)時(shí)，求證：．解：（1）由題意知點(diǎn)是的中點(diǎn)，故，則；.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，E為線段靠近B的三等分點(diǎn)，則，故，則，即，故.16.已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到新函數(shù)，且新函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．（1）求的值及函數(shù)的解析式；（2）已知為中的三個(gè)內(nèi)角，，求的值．解：（1），函數(shù)圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，所以的周期為，故圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，故，因?yàn)閯t故.（2）由得，由于，所以．.17.在中，角的對(duì)邊分別為，已知，，為邊上一點(diǎn)．（1）若為的中點(diǎn)，且，求；（2）若的面積為，且平分，求的長(zhǎng)．解：（1）在中，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，兩邊平方得，則，解得.（2）因?yàn)槠椒?，所以，又，即，所以，解得?18.在中，角的對(duì)邊分別為，若．（1）求；（2）若，證明：是直角三角形．（3）若是銳角三角形，，求面積的取值范圍．解：（1）由可知，從而由正弦定理得.故，這就得到，故.此即，故，得或，這里.結(jié)合，就知道.（2）因?yàn)?，由余弦定理可?又因?yàn)椋?這就得到.所以或，即或，從而必有是直角三角形．（3）由正弦定理可得，故.而因?yàn)闉殇J角三角形，故，解得的范圍是.從而的范圍是，故的取值范圍是.19.在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，．（1）求；（2）若為線段內(nèi)一點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)；（3）法國(guó)著名科學(xué)家柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣；很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如對(duì)于任意的，都有被稱為柯西不等式；若，求：的最小值．解：（1）由，得，即，在中，由正弦定理得，由余弦定理得，而，所以．（2）由，得，則，所以.（3）依題意，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)取等號(hào)，所以所求的最小值為48.云南省昆明市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式，可解得：，則；綜合可得或，而，因此，．故選：B．2.已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，可知，則.故選：D．3.設(shè)向量，下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，由可得，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，所以，故C正確，對(duì)于D，，故不平行，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.若空間中三條不同的直線滿足，且，則直線與直線必定（）A.相交 B.垂直 C.平行 D.異面【答案】B【解析】由于，且，則.故選：B.5.已知向量，且，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知，得，所以在方向上的投影向量為.故選：C．6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，將代入，可得.故選：A．7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】；構(gòu)造函數(shù)，其中，，其中，同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個(gè)函數(shù)的圖象，如下：因，結(jié)合函數(shù)圖像可以得到，即.故選：C．8.某數(shù)學(xué)興趣小組使用圓臺(tái)形水杯，應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)、物理知識(shí)來測(cè)量球的半徑．已知圓臺(tái)形水杯盛有水（不計(jì)厚度），測(cè)得杯口的半徑為，杯底的半徑為，高為，當(dāng)杯底水平放置時(shí)，水面的高度為水杯高度的一半，若將半徑為的小球放入水杯中（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則小球的半徑（）cm．A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，球的體積為圓臺(tái)的體積減去水的體積（容積），可得，解得，即.故選：D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A.B.的虛部為C.的共軛復(fù)數(shù)為D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】AD【解析】因?yàn)椋瑒t，故A正確；的虛部為，故B錯(cuò)誤；的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D正確.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.為周期函數(shù)B.的最大值為2C.存在，使得的圖象關(guān)于對(duì)稱D.存在，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ABC【解析】，所以是周期函數(shù)，A正確；由于，若的最大值為2，則，顯然兩者可以同時(shí)取到1，即，故B正確；取時(shí)，均以為對(duì)稱軸，因此是的對(duì)稱軸，故C正確；令，則，令，則，則，若則，由于故為奇數(shù)，而為偶數(shù)，因此與不可能相等，故不存在，使得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.故選：ABC．11.已知中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，為的外心，，，且有．若．則下列結(jié)論正確的是（）A. B.內(nèi)切圓半徑C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，即，即，解得，又，所以，所以A正確；對(duì)于B，，由余弦定理得，故，故的周長(zhǎng)，設(shè)內(nèi)切圓為，由得，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，則，所以，，所以，所以C正確；對(duì)于D，，由，可知，得，解得：，故，所以D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的解為________.【答案】，【解析】方程，即，解得，.13.已知中，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋?，所以?dāng)分別位于時(shí)，此時(shí)時(shí)，，當(dāng)均位于時(shí)，最大，最大，，所以的取值范圍為．14.某次考試共5道試題，均為判斷題．計(jì)分的方法是：每道題答對(duì)的給2分，答錯(cuò)或不答的扣1分，每個(gè)人的基本分為10分．已知趙，錢，孫，李，周，吳6人的作答情況及前5個(gè)人的得分情況如下表，則吳的得分為______．題號(hào)人趙錢孫李周吳1√√××√√2×√×√√√3√××√××4√×××√×5××√√√√得分1411141411【答案】14分【解析】解法一：分析可得，無論每道題的結(jié)果如何，每道題前五人的得分比吳的得分多2分，則吳的得分為：，加上基本分后為14．解法二：由于前四個(gè)人只有錢得分是11分，則錢答對(duì)兩個(gè)題，答錯(cuò)三個(gè)題，不妨將錢的答案全部考慮反面，則錢答對(duì)三個(gè)題，答錯(cuò)兩個(gè)題，共14分；題號(hào)人趙錢孫李周吳1√×××√√2×××√√√3√√×√××4√√××√×5×√√√√√得分1414141411對(duì)于6個(gè)人而言，前4個(gè)題，6個(gè)人答案都是三個(gè)√，三個(gè)錯(cuò)，那前4個(gè)題，每個(gè)題都是3個(gè)人對(duì)，3個(gè)人錯(cuò)；前4個(gè)題的總分為：分；現(xiàn)在考慮第5題，共5個(gè)√，一個(gè)×，若第5題正確答案是“×”，那么第5個(gè)題的得分是：分，最終5個(gè)題的總得分為69分；而從得分來看，分，于是吳得分是2分，矛盾；于是第5題正確答案是“√”，第5題的得分是：分，6個(gè)題的總分為：81分，于是吳得14分．解法三：考慮第一，二題孫的答案是對(duì)的，（1）若孫第三題答案也是對(duì)的，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√×××√×5××√√√√得分1411141411（2）若孫第三題答案是錯(cuò)的，錢最后兩題只能全對(duì)，與周11分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√5×（2）×（2）√√√√得分1411141411考慮孫第一題對(duì)，第二題答案是錯(cuò)的.（3）若孫第三題答案是對(duì)的，則趙最后兩題全對(duì)，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√（2）×××√×5×（2）×√√√√得分1411141411（4）若孫第三題答案是錯(cuò)的，則孫最后兩題全對(duì)，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√√×（2）×（2）√√2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√（2）××√（2）××4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411考慮孫第一題錯(cuò)，第二題答案是對(duì)的.（5）若孫第三題答案是對(duì)的，則李最后兩題全對(duì)，與孫14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√2××（2）×（2）√×5××√（2）√（2）√√得分1411141411（6）若孫第三題答案是錯(cuò)的，則孫最后兩題全對(duì)，此時(shí)正確答案是√，×，√，×，√，吳此時(shí)14分；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×（2）√×（2）√√√3√（2）××√（2）××4√×（2）×（2）×（2）√×（2）5××√（2）√（2）√（2）√（2）得分141114141114考慮孫第一題錯(cuò)，第二題答案是錯(cuò)的，則孫后三題全對(duì)，與趙14分矛盾；趙錢孫李周吳1√（2）√（2）××√（2）√（2）2×√（2）×√（2）√（2）√（2）3√×（2）×（2）√×（2）×（2）4√××（2）×√×5××√（2）√√√得分1411141411綜上所述：正確答案是√，×，√，×，√，吳此時(shí)14分．四、解答題.15.已知中，是直