2023~2024學(xué)年江蘇蘇州高考數(shù)學(xué)考前熱身試題帶解析

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高考數(shù)學(xué)考前熱身模擬試題一、單選題1．已知全集為，若，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集運(yùn)算得，再由并集運(yùn)算得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選:B2．設(shè)為三個(gè)不同的平面，若，則“是“”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷，即可得正確答案.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以由，可以得出，若，，則與可能相交或平行，所以，，得不出，所以若，則“是“”的充分不必要條件，故選：A3．已知函數(shù)的大致圖象如圖所示，則其解析式可能為（

）A． B．C． D．【正確答案】A根據(jù)圖象的對(duì)稱性排除CD；根據(jù)函數(shù)的最值排除B，從而可得答案.【詳解】由圖象關(guān)于軸對(duì)稱可知，函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)榕c為奇函數(shù)，所以排除CD；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以在時(shí)取得最小值，由圖可知在時(shí)取得最大值，故排除B.故選：A關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)排除不正確的選項(xiàng)是解題關(guān)鍵.4．2022年11月8日，著名華人數(shù)學(xué)家張益唐教授以視頻方式作學(xué)術(shù)報(bào)告，與北大數(shù)學(xué)師生分享他圍繞“朗道—西格爾零點(diǎn)猜想”所做的研究工作，他在“大海撈針”式的研究過程中提出的新想法是基于一個(gè)簡單的代數(shù)恒等式.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前9項(xiàng)的和等于（

）A．13280 B．20196 C．20232 D．29520【正確答案】B【分析】先變形得到，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】，所以.故選：B.5．已知向量在向量上的投影向量是，且，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出，代入的定義式即可.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴?，所?因此.故選：A.6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，將與兩坐標(biāo)軸圍成的直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】先求得該直角三角形與坐標(biāo)軸圍成的三角形三邊長，可知該幾何體由兩個(gè)圓錐組合，由圓錐的表面積公式計(jì)算即可.【詳解】

如圖所示，設(shè)直線與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，易得，過O作OC⊥AB，由等面積法可得，則以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為圖示的兩個(gè)圓錐組合而成，圓錐底面均為以C為圓心OC為半徑的圓，故幾何體的表面積為.故選：C7．已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為，在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù)，若，，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】先由為奇函數(shù)得到，再由的單調(diào)性可推得的單調(diào)性，再比較的大小即可得解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，則，故，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；因?yàn)椋?，，所以，，，因?yàn)?，由于，故上式等?hào)不成立，則，又，所以，即，即，同理可得，所以，所以.故選：C.8．某校團(tuán)委組織“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走”主題征文比賽，評(píng)審結(jié)果顯示，獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量之比為，男生的征文獲獎(jiǎng)數(shù)量分別占一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑目倲?shù)的，，.現(xiàn)從所有獲獎(jiǎng)?wù)魑闹腥稳∫黄?，記“取出一等?jiǎng)的征文”為事件，“取出男生的征文”為事件，“取出女生的征文”為事件，則（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】根據(jù)獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量比例，可以設(shè)出數(shù)量，進(jìn)而表示出獲獎(jiǎng)總數(shù)，再根據(jù)男女獲一、二、三等獎(jiǎng)比例，分別算出獲獎(jiǎng)數(shù)量，對(duì)于、用古典概型公式即可判斷，對(duì)于、用條件概率公式即可判斷.【詳解】解：因?yàn)楂@得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量之比為，那么不妨設(shè)獲得一、二、三等獎(jiǎng)的征文數(shù)量分別為，，，則獲獎(jiǎng)總數(shù)為.因?yàn)槟猩恼魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別占一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑目倲?shù)的，，，所以男生的一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別為，，，則女生的一、二、三等獎(jiǎng)?wù)魑墨@獎(jiǎng)數(shù)量分別為，，，現(xiàn)從所有獲獎(jiǎng)?wù)魑闹腥稳∫黄?，記“取出一等?jiǎng)的征文”為事件，“取出男生的征文”為事件，“取出女生的征文”為事件，則，，，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以選項(xiàng)正確.故選.二、多選題9．在中，記，，點(diǎn)在直線上，且.若，則的值可能為（

）A． B． C． D．2【正確答案】BC【分析】分點(diǎn)內(nèi)分與外分線段討論，再由向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，，所以，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)，如圖，，則，故選：BC.10．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則（

）A．任意，均有 B．任意，均有C．存在，使得 D．存在，使得【正確答案】AD【分析】利用復(fù)數(shù)的概念、相等的條件、模長公式一一判定即可.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可知不能與實(shí)數(shù)比大小，故B錯(cuò)誤；由復(fù)數(shù)的模長公式可得，易知，且不能同時(shí)取得等號(hào)，故，即A正確；即動(dòng)點(diǎn)E到動(dòng)點(diǎn)F的距離，顯然E在拋物線上，F(xiàn)在單位圓上，如圖所示，

當(dāng)時(shí)，，故D正確；若存在，使得，則，由上知，即上述方程組無解，故C錯(cuò)誤；故選：AD11．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線分別交的左、右兩支于點(diǎn)，，直線交于另一點(diǎn)，連接，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】ABD【分析】確定直線方程，計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)，得到，A正確，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到，B正確，計(jì)算，C錯(cuò)誤，計(jì)算到兩直線的距離不相等，正確，得到答案.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線，

，解得或，即，，根據(jù)對(duì)稱性知.對(duì)選項(xiàng)A：，故，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，，故，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：直線，到的距離為，到的距離為，兩者不相等，，正確；故選：ABD.12．在棱長為2的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，是平面內(nèi)異于點(diǎn)的一點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使得直線與平交B．對(duì)任意點(diǎn)均有C．線段長度的最小值為D．過的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積可能為【正確答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面與平面的法向量，得到平面平面，從而A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由得到B正確；C選項(xiàng)，求出點(diǎn)到平面的距離，得到C正確；D選項(xiàng)，作出輔助線，得到三棱錐的外接球半徑，進(jìn)而得到三棱錐的外接球截面的最大面積和最小面積，從而得到D正確.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，A選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，由于，故平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，故不存在點(diǎn)，使得直線與平交，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，因?yàn)?，故，因?yàn)槠矫?，故?duì)任意點(diǎn)均有，B正確；C選項(xiàng)，點(diǎn)到平面的距離，故線段長度的最小值為，C正確；D選項(xiàng)，連接，與平交于點(diǎn)，其中，故與平面垂直，由C選項(xiàng)可知，，連接，則，又，故三棱錐為正三棱錐，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理得，即，解得，則三棱錐的外接球的最大截面面積為，連接，當(dāng)截面與垂直時(shí)，此時(shí)截面面積最小，由于，所以，則此時(shí)截面半徑為，故過的平面截三棱錐的外接球所得的最小截面面積為，因?yàn)?，故過的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積可能為，D正確；故選：BCD解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于內(nèi)切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于外接的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.三、填空題13．已知隨機(jī)變量，且，則______.【正確答案】/【分析】利用正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合對(duì)立事件的概率計(jì)算公式求解.【詳解】由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，，所以.故0.414．已知是第三象限角，是終邊上的一點(diǎn)，若，則______.【正確答案】/0.5【分析】利用三角函數(shù)的定義求出的值，再利用二倍角公式求解即可.【詳解】因?yàn)槭墙K邊上的一點(diǎn)，所以,則解得，又因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以即，從?所以.從而.故15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓相切于點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)（異于），若，則______.【正確答案】【分析】求出兩圓的圓心坐標(biāo)，表達(dá)出圓心距，過兩圓心作已知直線的垂線，利用幾何知識(shí)即可得出兩圓半徑，進(jìn)而求出的值.【詳解】由題意，，在圓中，圓心，半徑為，在圓中，圓心，半徑為，連接，∴直線的解析式為：，且直線與直線平行，，在直線中，，∵直線與圓相切于點(diǎn)，∴與圓相交于，兩點(diǎn)（異于），過作垂直于點(diǎn)，連接

∴，，∵,∴，解得：，在中，，由勾股定理得：，即，解得：，∴故答案為.四、雙空題16．“工藝折紙”起源于中國，它不僅是一種把紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，也是一種有益身心、開發(fā)智力的思維活動(dòng).折紙憑借著折疊時(shí)產(chǎn)生的幾何形的連續(xù)變化而形成物象，這中間蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)、幾何、測(cè)繪、造型等多學(xué)科、綜合學(xué)問的運(yùn)用.為了讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，某學(xué)校開設(shè)了“折紙與數(shù)學(xué)”校本課，課上讓每位學(xué)生準(zhǔn)備一張半徑為8的圓形紙片，按如下步驟進(jìn)行折紙、觀察和測(cè)繪.步驟1：在圓內(nèi)取一點(diǎn)，使得到圓心的距離為6（如圖）；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好經(jīng)過點(diǎn)；步驟3：把紙片展開，留下一道折痕；步驟4：不停重復(fù)步驟2和步驟3，得到越來越多的折痕.過作其中一道折痕的垂線，垂足為，則______；經(jīng)觀察，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓面上的所有折痕圍成了一條優(yōu)美的曲線，若以所在直線為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則的方程為______.

【正確答案】50【分析】第一空以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，利用三角換元及中點(diǎn)坐標(biāo)表示距離的平方和計(jì)算即可；第二空利用折疊的性質(zhì)及橢圓的定義即可寫出軌跡方程.【詳解】如圖以E為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)，F(xiàn)在圓上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則，；

連接交折痕于P，連接PF，由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)橢圓的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，長軸為8，焦距為6，所以C的方程為.

故50；五、解答題17．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，的面積為．(1)求C；(2)求面積的取值范圍．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）先由題給條件求得，進(jìn)而求得（2）先利用正弦定理求得面積的解析式，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的取值范圍．【詳解】（1）的面積為，則，則又，則（2）由（1）可知，又則，則則的面積銳角中，，則，解之得則，則，則，則面積的取值范圍為18．?dāng)?shù)據(jù)報(bào)告顯示，2018-2022年期間，某公司旗下一款軟件產(chǎn)品的年度活躍用戶數(shù)每年都保持著較為穩(wěn)定的增長態(tài)勢(shì)，具體數(shù)據(jù)如下表.年份代碼12345活躍用戶數(shù)（單位：億）11.5112.2512.5813.6718.01(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)建立關(guān)于的回歸方程（計(jì)算的值時(shí)精確到0.01），并預(yù)測(cè)2025年的活躍用戶數(shù)；(2)公司規(guī)定，活躍用戶數(shù)大于12.00（單位：億）的年份為“企業(yè)騰飛年”.在企業(yè)騰飛年中，將活躍用戶數(shù)低于13.00的視為良好，賦1分；將活躍用戶數(shù)不低于13.00的視為優(yōu)秀，賦2分.現(xiàn)從企業(yè)騰飛年中任取兩年，用表示賦分之和，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（參考數(shù)據(jù)：，，）【正確答案】(1)，2025年的活躍用戶數(shù)約為20.85億；(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【分析】（1）根據(jù)最小二乘法計(jì)算可得回歸方程，代入年份代碼即可預(yù)測(cè)2025年用戶數(shù)；（2）根據(jù)條件得出得分的分布列，由期望公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由表格計(jì)算可得：，，因?yàn)?，，，所?因?yàn)闈M足，即，所以關(guān)于的回歸方程是.令，得，所以2025年的活躍用戶數(shù)約為20.85億.（2）由表格可知：企業(yè)騰飛年有4個(gè)，其中計(jì)分為1分的年份有2個(gè)，計(jì)分為2分的年份有2個(gè)，所以的可能取值有2，3，4，則，，，所以的分布列為：234所以數(shù)學(xué)期望為.19．記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證.【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用，，成等比數(shù)列解得、，再利用得，兩邊同除以得數(shù)列是等比數(shù)列可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用即可得答案.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，解得或（舍），所以，因?yàn)棰伲援?dāng)時(shí)，②.①②得，化簡得（也成立），兩邊同除以得，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）因?yàn)?，所以，所?20．在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，其母線長為6，邊長為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，射線與底面圓周交于點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證BC⊥DO，BC⊥AO，可得BC⊥面DAO，即由線線垂直得線面垂直得兩面垂直；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，含參表示相關(guān)向量，利用空間向量求二面角得出，再根據(jù)空間向量求點(diǎn)面距離即可.【詳解】（1）因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，所以面.又因?yàn)槊?，所以，?因?yàn)闉橥饨訄A圓心，且為正三角形，所以.又因?yàn)榍?，面，所以面，因?yàn)槊?，所以面?（2）作交于，取中點(diǎn)為.因?yàn)?，，所?因?yàn)槊?，，面，所以?如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)椋?，所以，，所以，，，?由，得，，，，.設(shè)面的法向量為，則，取，則，，所以.設(shè)面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因?yàn)椋?，所以到面的距離.

21．已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求證：在上有唯一零點(diǎn).【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后轉(zhuǎn)化為最值問題，求導(dǎo)即可得到結(jié)果；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，進(jìn)而確定在上存在唯一的零點(diǎn)，分情況談?wù)摵瘮?shù)各區(qū)間零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即.令.因?yàn)榍?，所以在上恒成?所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）考慮，則.因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，①，所以，所以，即②.令，則，所以在上單調(diào)遞增.由①得，又，且的圖象在上不間斷，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，記為.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以在上恒成立，且；當(dāng)