湖南省汨羅市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2025年4月高二數(shù)學(xué)期中考試試題一、單選題（每題5分，共40分）1.已知集合，，則（）．A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)交集的概念和運算求解出結(jié)果.【詳解】由，，得．故選：A．2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，綜合可得答案．【詳解】對于A，，是反比例函數(shù)，是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減，不符合題意；對于B，，是冪函數(shù)，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增，符合題意；對于C，，是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合題意；對于D，，其定義域為，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，不符合題意．故選：B．3.等差數(shù)列中，為其前項的和，若，，則（）A.50 B.100 C.400 D.500【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差求和公式即可代入求解.【詳解】，故選：D4.甲、乙兩人計劃分別從“圍棋”，“籃球”，“書法”三門興趣班中至少選擇一門報名學(xué)習(xí)，若甲只選一門，且甲乙不選擇同一門興趣班，則不同的報名學(xué)習(xí)方式有（）A.3種 B.6種 C.9種 D.12種【答案】C【解析】【分析】甲有種選法，乙可以選一門或者選兩門，有種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理計算即可．【詳解】由題意得，甲只選一門，有種選法，乙可以選一門或者選兩門，有種選法，故不同的報名學(xué)習(xí)方式有種，故選：C．5.下列說法錯誤的是（）A.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則；B.若事件相互獨立，，則；C.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，利用最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數(shù)的值是；D.若決定系數(shù)越大，則兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng).【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)曲線可判斷A選項；利用并事件的公式計算判斷B選項；利用經(jīng)驗回歸方程過樣本中心點計算C選項；根據(jù)決定系數(shù)的意義判斷D選項.【詳解】對于A選項，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，均值，正態(tài)曲線的對稱軸為，，，由對稱性知，，，故A正確；對于B選項，若事件相互獨立，則，故B錯誤；對于C選項，經(jīng)驗回歸方程過樣本中心點，將代入中得，，解得，故C正確；對于D選項，決定系數(shù)越大，回歸模型的擬合效果越好，兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng)，故D正確.故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上位于第一象限內(nèi)的一點，為在軸上的射影，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)取得最大值時，點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出答案.【詳解】設(shè)，則，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，又，所以此時最大，此時，所以的最大值為.故選：B.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點，則這個極值點就是最大（最?。┲迭c，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到.7.已知，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用賦值法可得出，即可得解.【詳解】令，則，故選：D.8.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，再判斷函數(shù)的對稱性，可得原不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】的定義域為，，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，由，所以，即，由于，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，故選：A二、多選題（每題5分，共15分）9.已知隨機(jī)變量服從二項分布，，下列判斷正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)二項分布的期望方差公式判斷A、C，根據(jù)二項分布的概率公式判斷B，由，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可判斷D.【詳解】因為，由，解得，所以，故A正確．，故B正確．由，解得或，所以或，故C錯誤．，設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以的最大值為，故D正確．故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.精確到0.01的近似值為0.85D.除以15的余數(shù)為3【答案】AC【解析】【分析】賦值法可判斷A；由求出，由二項式系數(shù)和可判斷B；，由二項式定理展開，取展開式前3項可判斷C；，由二項式定理展開可判斷D.【詳解】在中，令，則，故A正確；因為，所以，所以，故B錯誤；，取展開式前3項，則精確到0.01的近似值為．故C正確；，其中，所以能被15整除，所以除以15的余數(shù)為1，故D錯誤．故選：AC．11.如圖，由函數(shù)與的部分圖象可得一條封閉曲線，則下列說法正確的是（）A.關(guān)于直線對稱B.的弦長最大值大于C.直線被截得弦長的最大值為D.的面積小于【答案】ACD【解析】【分析】對于A，求函數(shù)的反函數(shù)，結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)判斷A，對于B，聯(lián)立證明直線與曲線有兩個交點，設(shè)右側(cè)的交點為，左側(cè)的交點為，求交點的距離，判斷B，設(shè)為曲線的切線，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求，結(jié)合對稱性判斷C，證明左側(cè)交點的橫坐標(biāo)大于，過點做的切線，再做該切線關(guān)于對稱的直線，過，做切線的垂線，與兩切線分別交于，求矩形的面積，判斷D.【詳解】對于A：由，所以函數(shù)的反函數(shù)為，所以關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B：有.設(shè)，則，由.由，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.且，所以存，使得，另.所以曲線與直線有兩個交點，設(shè)右側(cè)的交點為，左側(cè)的交點為，則，所以，結(jié)合圖象可得，的弦長最大值小于，故B錯誤；對于C：因為直線與直線垂直，設(shè)為曲線的切線，由，所以切點，所以切線方程為.直線與的距離為.所以直線被截得弦長的最大值為，即.故C正確；對于D：由，所以B中.過點做的切線，再做該切線關(guān)于對稱的直線，過，做切線的垂線，與兩切線分別交于，如圖所示，構(gòu)成矩形，該矩形將圖形包含在內(nèi)，所以的面積小于矩形的面積.又，所以矩形的面積為.所以D正確.故選：ACD.三、填空題（每題5分，共15分）12.命題.寫出該命題的否定______．【答案】，使得【解析】【分析】利用命題的否定，寫出結(jié)果即可.【詳解】命題，則該命題的否定是：，使得，故答案為：，使得13.已知，則______.【答案】【解析】【分析】變形后用余弦二倍角公式進(jìn)行求解.【詳解】.故答案為：14.已知函數(shù)對定義域內(nèi)任意，都有，則正實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題設(shè)可得的單調(diào)性，從而得到，利用同構(gòu)可得，參變分離后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，所以令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以，即.令函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，當(dāng)時，，且由題干可知，，即，若，則恒成立，當(dāng)時，恒成立等價于當(dāng)時，，故時，恒成立，故.令函數(shù)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值，所以；綜上所述，正實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題（共80分）15.已知等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若等差數(shù)列公差不為零，且數(shù)列滿足：，記數(shù)列的前n項和為，求證：；【答案】（1）或（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列的通項公式計算求解即可；（2）應(yīng)用裂項相消法求和得出，再結(jié)合單調(diào)性證明即可.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，依題意：成等比數(shù)列，所以，解得：或當(dāng)時，，當(dāng)時，所以數(shù)列的通項公式為或【小問2詳解】因為等差數(shù)列的公差不為零，由（1）知則所以，故而隨n的增大而增大，則，故成立16.如圖，已知四邊形為等腰梯形，為以為直徑的半圓弧上一點，平面平面，為的中點，為的中點，，.（1）求證平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，先證四邊形為平行四邊形，然后由線線平行可得線面平行；（2）取的中點，連接，根據(jù)已知可得平面，過點作直線的垂線交于點，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解.【小問1詳解】取的中點，連接，則且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點，連接，因為四邊形為等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，過點作直線的垂線交于點，以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為為直徑，所以，所以，，，在等腰梯形中，，，所以，所以，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.甲、乙、丙三人組隊參加某知識問答團(tuán)體比賽．該比賽共分兩輪，第一輪回答錯誤就直接出局，兩輪都回答正確稱為“通關(guān)”，小組三人中至少有2人“通關(guān)”就可獲得“團(tuán)體獎”．根據(jù)平時訓(xùn)練和測試可知，甲、乙、丙分別正確回答兩輪比賽概率情況如下表：甲乙丙第一輪回答正確的概率第二輪回答正確的概率若三人各自比賽時互不影響．（1）求甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的概率；（2）在該三人小組獲得“團(tuán)體獎”的條件下，求甲乙丙同時通關(guān)的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用來表示甲、乙、丙三人的“通關(guān)”事件并求對應(yīng)的概率，然后利用對立事件的性質(zhì)和獨立事件的乘法公式即可求解.（2）利用獨立事件的乘法公式分別計算三人小組獲得“團(tuán)體獎”的概率和甲乙丙同時通關(guān)的概率，進(jìn)而利用條件概率的計算公式即可求解.【小問1詳解】記事件“甲通關(guān)”、“乙通關(guān)”、“丙通關(guān)”，則，.甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的對立事件為甲、乙兩人都不“通關(guān)”，所以,甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的概率等于.故甲、乙兩人至少有1人“通關(guān)”的概率為.【小問2詳解】由題意得.事件“三人小組獲得團(tuán)體獎”，則.甲乙丙同時通關(guān)的概率.所以.故該三人小組獲得“團(tuán)體獎”的條件下，甲乙丙同時通關(guān)的概率為.18.在平面直角坐標(biāo)系中，，，若點P是平面上一動點，且的周長為，設(shè)動點P的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）若直線與曲線C交于A，B兩點，且，，求k的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將三角形周長的條件轉(zhuǎn)化為動點P到，的距離和為定值，利用橢圓的定義即可求解；（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及中點坐標(biāo)公式和垂直平分線的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由題意可知：，.由橢圓的定義知，動點P的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.可設(shè)方程為，則，，解得，則，故曲線的方程為.【小問2詳解】聯(lián)立方程組，消去，整理可得.則.設(shè)，，的中點為，則由韋達(dá)定理可知：，.，.∵，，則，如圖所示.又，則，即，解得.19.已知橢圓的短軸長為2，且過點，設(shè)點為橢圓在第一象限內(nèi)一點．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點為A，下頂點為，線段交軸于點，線段交軸于點，若的面積是的6倍，求點的坐標(biāo)；（3）點關(guān)于原點的對稱點為，點，點為中點，的延長線交橢圓于點S，當(dāng)最大時，求直線方程．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出方程組求出得解；（2）根據(jù)三角形面積公式及面積比，利用相似轉(zhuǎn)化為關(guān)于點的坐標(biāo)的方程，求解即可；（3）利用直線斜率之積為常數(shù)，轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系，再由兩角差的正切公式及基本不等式求解即可．【小問1詳解】由題意，，則，橢圓方程為：【小問2詳解】如圖，設(shè)，則，對，令，所以由相似三角形可得：，所以，又因為，所以，，解得或，所以對應(yīng)的分別為或，所以或．【小問3詳解】設(shè)，則，則．又因為，所以，則，設(shè)，直線傾斜角為，直線傾斜角為，所以，則，因為，所以，此時，所以直線方程為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問關(guān)鍵將三角形面積比，利用相似轉(zhuǎn)化為關(guān)于點的坐標(biāo)的方程，求解即可；第三問關(guān)鍵是將最大問題轉(zhuǎn)化為正切值的最值，結(jié)合基本不等式計算.綜合性較強(qiáng)，屬于中難題.20.近年來，寵物逐漸成為人們精神寄托，在供需端及資本的共同推動下中國寵物經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)迅速增長，數(shù)據(jù)顯示，目前中國養(yǎng)寵戶數(shù)在全國戶數(shù)中占比為．（1）把頻率作為概率，從中國家庭中隨機(jī)取4戶，求這4戶中至少有3戶養(yǎng)寵物的概率；（2）隨機(jī)抽取200名成年人，得到如下列聯(lián)表：成年男性成年女性合計養(yǎng)寵物386098不養(yǎng)寵物6240102合計100100200是否有的把握認(rèn)為是否養(yǎng)寵物與性別有關(guān)？（3）記2018-2023年的年份代碼依次為1，2，3，4，5，6，中國寵物經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)年規(guī)模為（單位：億元），由這6年中國寵物經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)年規(guī)模數(shù)據(jù)求得關(guān)于的回歸方程為，且．求相關(guān)系數(shù)，并判斷該回歸方程是否有價值．參考公式：，其中，時有99%的把