基于平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的層次分析與教學(xué)應(yīng)用

【摘""要】分析現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中對(duì)平均數(shù)內(nèi)容的編排，闡述平均數(shù)在統(tǒng)計(jì)意義認(rèn)識(shí)中的四個(gè)層次及應(yīng)用?；诖?，設(shè)計(jì)平均數(shù)教學(xué)活動(dòng)，以解決實(shí)際問(wèn)題為主線，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、引發(fā)矛盾沖突和回顧體悟價(jià)值三個(gè)維度，引導(dǎo)學(xué)生全面深入地理解平均數(shù)的多重意義，努力達(dá)成從程序性理解到概念性理解的過(guò)渡，最終指向數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用和數(shù)據(jù)分析意識(shí)的培養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生素養(yǎng)的提升。【關(guān)鍵詞】平均數(shù)；層次分析；教學(xué)應(yīng)用平均數(shù)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中表示數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量，也是小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容。平均數(shù)概念不僅涉及基礎(chǔ)的算術(shù)運(yùn)算——求和與除法，還承載了培養(yǎng)數(shù)據(jù)意識(shí)的豐富的統(tǒng)計(jì)內(nèi)涵，包括描述數(shù)據(jù)整體特征與描述不同數(shù)據(jù)組間的差異。通過(guò)平均數(shù)，可以洞察數(shù)據(jù)的中心趨勢(shì)，為后續(xù)更復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)分析，如數(shù)據(jù)分布的探討奠定基礎(chǔ)。然而，當(dāng)前平均數(shù)的教學(xué)實(shí)踐中存在一個(gè)顯著的問(wèn)題，即過(guò)分偏重計(jì)算技能的訓(xùn)練，而對(duì)平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量的深層意義的挖掘與體現(xiàn)不足。這種偏差不僅限制了學(xué)生對(duì)平均數(shù)全面而深刻的理解，也阻礙了他們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題中有效運(yùn)用這一知識(shí)的能力發(fā)展。因此，需要重新審視并改進(jìn)平均數(shù)的教學(xué)方法。一、數(shù)學(xué)教材中平均數(shù)內(nèi)容的編排現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材均將平均數(shù)作為一個(gè)核心概念進(jìn)行系統(tǒng)編排。盡管不同版本的教材在編排思路上有一定差異，但均關(guān)注了平均數(shù)的算法和統(tǒng)計(jì)意義，以及統(tǒng)計(jì)意義理解的四個(gè)層次。下面以北京師范大學(xué)出版社、人民教育出版社、江蘇鳳凰教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材為載體，分析教材對(duì)平均數(shù)內(nèi)容的安排。（一）不同版本教材對(duì)平均數(shù)內(nèi)容的編排由北京師范大學(xué)出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“北師大版教材”）將平均數(shù)的學(xué)習(xí)安排在四年級(jí)和五年級(jí)下冊(cè)。具體而言，四年級(jí)通過(guò)“記數(shù)字”等情境引入平均數(shù)，強(qiáng)調(diào)其代表性，并利用“移多補(bǔ)少”的方法幫助學(xué)生直觀理解平均數(shù)的計(jì)算，進(jìn)而通過(guò)眾數(shù)和平均數(shù)的對(duì)比，深化學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義的理解。五年級(jí)下冊(cè)則進(jìn)一步探討平均數(shù)的靈敏性和虛擬性，通過(guò)“免票乘車”和“少兒歌手大獎(jiǎng)賽”等情境，引導(dǎo)學(xué)生感受平均數(shù)在數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用，并理解極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響。由人民教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“人教版教材”）同樣將平均數(shù)的學(xué)習(xí)安排在四年級(jí)下冊(cè)。教材先通過(guò)收集礦泉水瓶的實(shí)例聚焦平均數(shù)的計(jì)算；再通過(guò)比較不同人數(shù)的男女生隊(duì)在踢毽比賽中的成績(jī)，引導(dǎo)學(xué)生理解平均數(shù)的意義和計(jì)算方法，感受平均數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；最后通過(guò)單元練習(xí)中的一道習(xí)題，介紹歌手大賽中的規(guī)則——去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，幫助學(xué)生了解平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)影響的特點(diǎn)，感知平均數(shù)的靈敏性，進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)。江蘇鳳凰教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱“蘇教版教材”）則將平均數(shù)的學(xué)習(xí)安排在四年級(jí)上冊(cè)。教材直接呈現(xiàn)不同人數(shù)的男女生隊(duì)的套圈成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生比較哪個(gè)隊(duì)套得更準(zhǔn)，討論比較最值、比較總數(shù)和求平均數(shù)三種方法哪種更合理，感受平均數(shù)的代表性，學(xué)習(xí)平均數(shù)的計(jì)算方法。在后續(xù)的練習(xí)中，也同人教版教材一樣，安排了“朗誦比賽”的情境，介紹“去掉最高分和最低分”的比賽規(guī)則，引導(dǎo)學(xué)生感受平均數(shù)的靈敏性。此外，還通過(guò)“運(yùn)動(dòng)與身體變化”這一實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，體會(huì)平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量的意義，感受平均數(shù)的應(yīng)用價(jià)值。（二）不同版本教材共同關(guān)注的方面三個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材在平均數(shù)的教學(xué)上都注重算法和統(tǒng)計(jì)意義兩個(gè)方面的教學(xué)。在算法的學(xué)習(xí)上，三個(gè)版本教材都通過(guò)例題介紹了移多補(bǔ)少、先求和再除法（即平均分）兩種計(jì)算方法，并設(shè)置了相應(yīng)的練習(xí)題。在統(tǒng)計(jì)意義的學(xué)習(xí)上，三個(gè)版本教材都引入實(shí)際數(shù)據(jù)和情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題中感受用平均數(shù)分析和比較數(shù)據(jù)的過(guò)程，理解平均數(shù)的概念，明確平均數(shù)描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，從而感受其代表性。同時(shí)，讓學(xué)生在平均數(shù)計(jì)算過(guò)程中感受平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，并通過(guò)閱讀和思考問(wèn)題串及人物對(duì)話，感受平均數(shù)的虛擬性和靈敏性，進(jìn)而形成對(duì)平均數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的意義的理解。最后在練習(xí)設(shè)計(jì)上，進(jìn)一步豐富學(xué)生對(duì)平均數(shù)意義的理解，使學(xué)生對(duì)平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的認(rèn)識(shí)層層深入、螺旋上升。北師大版教材還專門在五年級(jí)下冊(cè)安排了“平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)”一課，通過(guò)“免票乘車”和“少兒歌手大獎(jiǎng)賽”兩大情境和數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)據(jù)分析再次感受平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，發(fā)展數(shù)據(jù)意識(shí)。二、平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義認(rèn)識(shí)中的四個(gè)層次如前所述，平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的認(rèn)識(shí)可以體現(xiàn)在四個(gè)層次：代表性是平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義的核心和基礎(chǔ)，而平均數(shù)就是表達(dá)一組數(shù)據(jù)總體情況的一個(gè)代表性的值；虛擬性則是代表性意義的進(jìn)一步延伸；靈敏性是由平均數(shù)的算法而帶來(lái)的特征；數(shù)學(xué)模型則體現(xiàn)了平均數(shù)這一統(tǒng)計(jì)量得以產(chǎn)生的緣由。（一）平均數(shù)具有代表性平均數(shù)的核心意義是它能刻畫(huà)、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。它不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，但又與每一個(gè)原始數(shù)據(jù)相關(guān)，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，具有良好的代表性。比如人教版教材中呈現(xiàn)了由5名隊(duì)員組成的男生隊(duì)和4名隊(duì)員組成的女生隊(duì)各自的踢毽個(gè)數(shù)，問(wèn)男生隊(duì)和女生隊(duì)哪個(gè)隊(duì)成績(jī)更好。此時(shí)選擇比較最值和總數(shù)都是不合適的，而求平均數(shù)顯得尤為合理，能代表各自的整體水平。（二）平均數(shù)具有虛擬性平均數(shù)是通過(guò)加工原始數(shù)據(jù)得到的，它不是客觀存在的，具有虛擬性。1831年，阿道夫提出“平均人”的概念，第一次將平均數(shù)作為總體的一個(gè)方面的代表值。這樣一來(lái)，原本真實(shí)的數(shù)據(jù)就走向虛擬的具有統(tǒng)計(jì)意義的代表值。也正因?yàn)槿绱?，平均?shù)盡管從數(shù)值上等于平均分的結(jié)果，但兩者的意義是極為不同的。后者是要真實(shí)地去操作“平均分”，最后的結(jié)果也是真的被平均了；而前者只是通過(guò)“勻”數(shù)據(jù)，讓人直觀理解平均數(shù)的代數(shù)性，通過(guò)“平均分”的運(yùn)算求得平均數(shù)。比如，把12塊糖平均分給3個(gè)孩子，平均每人分得4塊，這是典型的平均分；但如果3個(gè)孩子分別有3塊、4塊、5塊糖，那他們平均每人有4塊糖，這是平均數(shù)。盡管兩者的數(shù)值是相同的，但前者每人分得的糖數(shù)真的是4塊，而后者每人擁有的糖還是原來(lái)的數(shù)量，4只是代表他們擁有的糖數(shù)量的總體水平。（三）平均數(shù)具有靈敏性與眾數(shù)、中位數(shù)等集中量數(shù)相比，平均數(shù)的一個(gè)典型特點(diǎn)就是在計(jì)算時(shí)，每一個(gè)數(shù)據(jù)都參與了運(yùn)算，這導(dǎo)致平均數(shù)具有靈敏性。因此，平均數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是“代表”了每個(gè)數(shù)據(jù)，但局限是平均數(shù)易受極端數(shù)據(jù)的影響。比如，操場(chǎng)上站著6個(gè)人，他們的年齡分別是45歲、5歲、7歲、8歲、9歲、10歲。他們的平均年齡是14歲，但這個(gè)14歲并不能代表這6個(gè)人年齡的整體情況，因?yàn)?5這個(gè)極端數(shù)據(jù)直接影響了平均數(shù)。（四）平均數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型從一定意義上來(lái)說(shuō)，統(tǒng)計(jì)量其實(shí)是人們?yōu)槊枋雠c分析現(xiàn)象，借助數(shù)據(jù)建構(gòu)出來(lái)的一種數(shù)學(xué)模型。如果從這個(gè)角度去認(rèn)識(shí)平均數(shù)，那就需要考慮平均數(shù)作為刻畫(huà)數(shù)據(jù)整體水平的一種模型，相較于其他模型具有怎樣的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)際上，現(xiàn)行教材中是有體現(xiàn)模型及模型優(yōu)化的思想的。比如，在兩組人數(shù)不等的數(shù)據(jù)的比較中，人教版教材對(duì)“總數(shù)”模型進(jìn)行了優(yōu)化，蘇教版教材則同時(shí)優(yōu)化了“極值”和“總數(shù)”兩個(gè)模型。而北師大版教材五年級(jí)下冊(cè)“平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)”一課中呈現(xiàn)的“少兒歌手大獎(jiǎng)賽”的場(chǎng)景，則繼續(xù)優(yōu)化平均數(shù)模型，制訂了“去掉最高分和最低分后再算平均數(shù)”的規(guī)則，從而規(guī)避了極端數(shù)據(jù)的影響，形成了更優(yōu)的平均數(shù)模型。三、基于平均數(shù)統(tǒng)計(jì)意義四個(gè)層次的教學(xué)設(shè)計(jì)平均數(shù)是描述數(shù)據(jù)中間位置最重要也是最常用的統(tǒng)計(jì)量，教師的教學(xué)不能止于讓學(xué)生學(xué)會(huì)平均數(shù)的求法，還要以真實(shí)問(wèn)題為載體，以平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義為重點(diǎn)，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中領(lǐng)悟平均數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，感受平均數(shù)在處理和分析數(shù)據(jù)中發(fā)揮的作用，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析意識(shí)。北師大版教材五年級(jí)下冊(cè)“平均數(shù)的再認(rèn)識(shí)”一課是在學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了平均數(shù)，知道平均數(shù)能代表一組數(shù)據(jù)的總體水平，掌握了平均數(shù)的計(jì)算方法后進(jìn)一步要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。為了體現(xiàn)“再認(rèn)識(shí)”，教學(xué)時(shí)需要將落腳點(diǎn)放在平均數(shù)基于統(tǒng)計(jì)意義的四個(gè)層次上。（一）創(chuàng)設(shè)情境，感受平均數(shù)的代表性與虛擬性創(chuàng)設(shè)歌唱比賽情境，呈現(xiàn)評(píng)委打分情況（如表1）。思考1：基于四位評(píng)委的打分，你認(rèn)為可以用什么方法排出他們的名次？引出平均數(shù)，并回顧求平均數(shù)的方法。思考2：呈現(xiàn)三名選手目前的平均得分，排出名次，思考選手A的平均得分96指的是什么，是哪位評(píng)委的打分，這幾個(gè)評(píng)委的打分和這個(gè)96分是否有關(guān)系。通過(guò)創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活實(shí)際的歌唱比賽情境，讓學(xué)生在熟悉的背景中感受平均數(shù)的應(yīng)用，回顧平均數(shù)的計(jì)算方法，重溫平均數(shù)的代表性，在探討平均數(shù)與實(shí)際打分之間關(guān)系的過(guò)程中，深刻理解平均數(shù)并非實(shí)際存在的數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是對(duì)一組數(shù)據(jù)整體特征的抽象描述，領(lǐng)悟平均數(shù)的虛擬性。（二）制造懸念，揭示平均數(shù)的靈敏性學(xué)生基于四位評(píng)委的打分排出了名次，并得出選手C穩(wěn)奪桂冠。這時(shí)引入評(píng)委5，讓學(xué)生想一想：評(píng)委5會(huì)給選手C打幾分？他的打分對(duì)選手C的成績(jī)有何影響？如果他的打分比前面的平均分低，結(jié)果會(huì)怎么樣？比前面的平均分高又會(huì)怎樣？讓學(xué)生在想象中感受平均數(shù)的靈敏性。隨后亮出評(píng)委5的打分——84分，制造強(qiáng)烈的矛盾沖突，引導(dǎo)學(xué)生思考此時(shí)選手C的平均分大概是多少。再呈現(xiàn)評(píng)委5打分前后選手C的得分散點(diǎn)圖（如圖1、圖2），讓學(xué)生指一指平均分所在的大概位置，并說(shuō)一說(shuō)為什么平均分不在靠近84的地方。利用散點(diǎn)圖，先呈現(xiàn)四位評(píng)委打分后的平均數(shù)，再觀察加入評(píng)委5的分?jǐn)?shù)后平均數(shù)的變化。通過(guò)具體的數(shù)據(jù)變化和平均數(shù)的實(shí)時(shí)計(jì)算，直觀地展示了平均數(shù)的靈敏性。學(xué)生通過(guò)觀察和對(duì)比分析，深刻感受到數(shù)據(jù)中任何一個(gè)值的變化都會(huì)對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生影響，并在教師的指導(dǎo)下，深入思考如何合理利用平均數(shù)的靈敏性特點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題，提升了數(shù)據(jù)意識(shí)和問(wèn)題解決能力。（三）解決問(wèn)題，優(yōu)化平均數(shù)模型懸殊的打分引發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的矛盾沖突，學(xué)生不禁思考：為什么評(píng)委5會(huì)給選手C打這么低的分？選手C現(xiàn)在還能得第一名嗎？教師順勢(shì)追問(wèn)：“對(duì)于這樣的情況，你想說(shuō)什么？對(duì)誰(shuí)說(shuō)？”學(xué)生在交流討論中，意識(shí)到當(dāng)出現(xiàn)極端數(shù)據(jù)時(shí)，將所有數(shù)據(jù)的平均分作為最終成績(jī)的評(píng)定是不合理的，因?yàn)槠骄鶖?shù)極易受極端數(shù)據(jù)的影響，此時(shí)的平均數(shù)就不具有代表性了。基于此，教師引導(dǎo)學(xué)生思考該如何調(diào)整比賽規(guī)則才能使比賽更公平、更合理，從而引出“去掉最高分和最低分后再算平均數(shù)”的評(píng)選規(guī)則。學(xué)生利用新規(guī)則再一次計(jì)算三名選手的平均分，發(fā)現(xiàn)選手C重新獲得第一名，從而感受到新規(guī)則的合理性。教師追問(wèn)：“除此之外，還有別的方法嗎？”然后繼續(xù)優(yōu)化平均數(shù)模型，展示增加評(píng)委數(shù)量后選手C的得分散點(diǎn)圖（如圖3），標(biāo)出平均數(shù)所在的位置，讓學(xué)生直觀感知增加評(píng)委數(shù)量能減少極端數(shù)據(jù)的影響，以此體現(xiàn)增加評(píng)委數(shù)量同樣能夠優(yōu)化平均數(shù)模型。在引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建和使用平均數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，使學(xué)生感受到平均數(shù)作為數(shù)學(xué)模型是可以不斷被優(yōu)化和完善的，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新思維，為其在未來(lái)的學(xué)習(xí)和職業(yè)生涯中更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。（四）應(yīng)用模型，深化平均數(shù)的模型意識(shí)在帶領(lǐng)學(xué)生感受了平均數(shù)的代表性、虛擬性、靈敏性，優(yōu)化和完善了平均數(shù)模型后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探討確定“公交車免票線”的問(wèn)題，讓學(xué)生以決策者的身份思考確定免票線前需要做的工作，從而體會(huì)平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。首先，帶領(lǐng)學(xué)生解讀2002年抽樣調(diào)查6周歲兒童身高情況的散點(diǎn)分布圖（如圖4），使學(xué)生直觀感受平均數(shù)處于一組數(shù)據(jù)的集中區(qū)域內(nèi)，反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生討論分析：為什么平均數(shù)明明是119厘米，卻要將免票線定為120厘米？以使學(xué)生體會(huì)方便原則，感受國(guó)家的良好政策讓更多人享受到了福利，達(dá)到數(shù)學(xué)的教育意義。同時(shí)，幫助學(xué)生明晰免票線并不是一成不變的，而是會(huì)隨著人民生活水平的提高而提高，感悟統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，深化平均數(shù)的模型意識(shí)。四、教學(xué)思考本次教學(xué)活動(dòng)的目的是通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、引發(fā)矛盾沖突和回顧體悟價(jià)值三個(gè)維度，引導(dǎo)學(xué)生深入理解平均數(shù)的四個(gè)層次，實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)提升。首先，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，搭建學(xué)生新知建構(gòu)的起點(diǎn)。選擇貼近學(xué)生生活實(shí)際的情境——歌唱比賽，讓學(xué)生在熟悉的背景中感受平均數(shù)的應(yīng)用。通過(guò)回顧平均數(shù)的求解方法和意義，搭建學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，為他們后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。其次，引發(fā)矛盾沖突，找準(zhǔn)新知生長(zhǎng)的著力點(diǎn)。通過(guò)制造矛盾，如選手C的得分中高分與低分之間的落差，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生思考極端數(shù)據(jù)對(duì)平均數(shù)的影響，感受平均數(shù)的靈敏性。在調(diào)整評(píng)選規(guī)則，如去掉最高分和最低分或增加評(píng)委數(shù)量再算平均數(shù)的過(guò)程中，使學(xué)生感受平均數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型可以被優(yōu)化和完善，豐富平均數(shù)模型。最后，回顧體悟價(jià)值，立足素養(yǎng)培育的落腳點(diǎn)。