提高專題13空間幾何體中的動(dòng)點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題（學(xué)生版）

提高專題13空間幾何體中的動(dòng)點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題探究一探究一動(dòng)點(diǎn)軌跡的定性研究判斷軌跡的類型問(wèn)題，常常要借助于圓錐曲線的定義來(lái)判斷，常見(jiàn)的軌跡類型有：線段、圓、圓錐曲線、球面等.在考查學(xué)生的空間想象能力的同時(shí)，又融合了曲線的軌跡問(wèn)題.【典例精講】例1.(2023·湖北省·單元測(cè)試)已知正方體ABCD?A1B1C1D1，空間一動(dòng)點(diǎn)P滿足A1P⊥AA.直線 B.圓 C.橢圓 D.拋物線

例2.(2022·浙江省溫州市·期中考試·多選)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N分別為棱A1D1A.異面直線AC與BM所成角的余弦值為23

B.若ΔAC1P的面積為3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分

C.若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分

D.過(guò)直線【拓展提升】練11.(2023·遼寧省營(yíng)口市·期末考試)空間中平面α、平面β、平面γ兩兩垂直，點(diǎn)P到三個(gè)平面的距離分別為d1、d2、d3，若6d1=3dA.一條射線 B.一條直線 C.三條直線 D.四條直線練12.(2023·云南省·聯(lián)考題·多選)已知在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=22，點(diǎn)P是四邊形A1B1C1D1內(nèi)A.點(diǎn)P的軌跡為一條拋物線

B.直線PA1與直線CD所成角的最大值為π4

C.線段PB長(zhǎng)的最小值為3

D.三棱錐探究二動(dòng)點(diǎn)軌跡的定量研究探究二動(dòng)點(diǎn)軌跡的定量研究【方法儲(chǔ)備】常見(jiàn)計(jì)算方法：

①是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，化動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷軌跡形狀，進(jìn)行求解；②是將幾何體平面化，求解;③是函數(shù)法，即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立所求的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題求解.【典例精講】

例3.(2023·北京市市轄區(qū)·模擬題)在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB=60°，PA=PD，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q點(diǎn)是△PBC內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，且滿足DQ⊥AC，則Q點(diǎn)所形成的軌跡長(zhǎng)度是

．

例4.(2022·浙江省臺(tái)州市·月考試卷)如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，M為底面ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，P為平面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線PM與平面BCC1B1所成的角為α，直線PD與平面BCC1B1所成的角為β.若α=β，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

．

例5.(2022·河北省邯鄲市·模擬題)如圖所示，A是平面α內(nèi)一定點(diǎn)，B是平面α外一定點(diǎn)，直線AB與平面α所成角為45°.設(shè)平面α內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)C到A點(diǎn)、B點(diǎn)距離分別為d1、d【拓展提升】練21.(2022·江蘇省鹽城市·模擬題)在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2，點(diǎn)M是矩形ABCD內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn)，且AB=1，AD=3，直線PM與平面ABCD所成的角為π4.記點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為α，則tanA.33 B.1 C.3練22.（2023·山東省·模擬題·多選）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=3，M為AD中點(diǎn)，P為矩形CC1點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分

B.點(diǎn)P的軌跡為圓的一部分

C.點(diǎn)P的軌跡與DC，DD1所圍成的圖形面積為3227π?839

D.點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為89π

練23.(2023·江蘇省無(wú)錫市·同步練習(xí))已知球O的表面積為100πcm2，P是球O內(nèi)的定點(diǎn)，OP=10cm，過(guò)P的動(dòng)直線交球面于A，B兩點(diǎn)，AB=45cm，則球心O到【答案解析】

例1.解：在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，

因?yàn)锽C⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，

所以BC⊥AB1，

因?yàn)锽C，A1B?平面A1BCD1，BC∩A1B=B，例2.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，

∴AC=(?2,2,0)，BM=(?1,?2,2)，

則|cos<AC，BM>|=AC·BMAC·BM=28×9=26，故A錯(cuò)誤；

設(shè)P到AC1的距離為?，則12AC1?=3，?=1，

所以點(diǎn)P位于以AC??1為中軸線，半徑為1的圓柱面上，

又P位于平面BCC1B1上，則P位于平面BCC1B1與圓柱面的交線上，

根據(jù)圓柱面與平面的位置關(guān)系，可得P的軌跡為橢圓的一部分，故B正確；

點(diǎn)P到直線C1D1的距離等于|PC1|，

即P到C1與P到直線BC的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義，則動(dòng)點(diǎn)P為拋物線的一部分，故C正確；

取AD中點(diǎn)H，則易得MH=2，且MH⊥平面ABCD，

易得當(dāng)HN與平面α和底面ABCD練11.解：以3a、2a、a分別為長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的長(zhǎng)寬高，如圖：

，

則若平面ABCD、平面ABB1A1、平面ADD1A1分別為平面α、平面β練12.解：對(duì)于A，過(guò)P點(diǎn)作PO垂直于底面ABCD，垂足為O，過(guò)O作

OH⊥AD

，垂足為H，連接OB，PH，PB，則

∠PHO=α

，

∠PBO=β

，又

α=β

，∵

OH=OB

，而O為P點(diǎn)在底面的投影，∴

PH=PB

，過(guò)P作

PM⊥A1D1

，垂足點(diǎn)為M，連接

PB1

，

則易得

PM=PB1

，∴點(diǎn)P的軌跡是以

B1

為焦點(diǎn)，

A1D1

為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，如圖所示，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，∵

PA1

與

CD

所成的角即

PA1

與

C1D1

所成的角，

∴當(dāng)

P

與

C1

重合時(shí)，

PA1

與

C1D1

所成的角最大為

π4

，故B正確，

對(duì)于C，當(dāng)P點(diǎn)在

A1B1

的中點(diǎn)時(shí)，PB最短，此時(shí)

PB=3

，故C正確；

對(duì)于D，∵

VP?AABC1=V例3.解：根據(jù)題意，連接AC，BD，兩直線交于O，取PC上一點(diǎn)為M，連接MB，MD，如圖，

若滿足題意DQ⊥AC，又AC⊥BD，DQ∩BD=D，DQ，BD?平面DBQ，

故AC⊥平面DBQ，

則點(diǎn)Q只要在平面DBQ與平面PBC的交線上即可．

假設(shè)如圖所示：平面DBM與平面DBQ是同一個(gè)平面，則Q點(diǎn)的軌跡就是線段BM．

根據(jù)假設(shè)，此時(shí)直線AC⊥平面DBM，又MO?平面DBM，

則AC⊥MO．

故三角形MOC為直角三角形．

因?yàn)槿切蜳AD是等腰直角三角形，三角形BAD是等邊三角形，

設(shè)AD中點(diǎn)為H，則PH⊥AD，BH⊥AD，PH∩BH=H，PH，BH?平面PHB，

所以AD⊥平面PHB，

又PB?平面PHB，故AD⊥PB．

又平面PAD⊥平面ABCD且交線為AD，所以PH⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，

則PH⊥BH，則PB2=PH2+BH2=4，

又因?yàn)锽C?//?AD，故BC⊥PB，故三角形PBC為直角三角形，

故PC=PB2+BC2=22．

在三角形PAC中，PA=2，AC=23，PC=22，

由余弦定理可得：cos∠PCA=8+12?2例4.解：分別以DA，DC，DD1所在的直線方向?yàn)閤，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)Px,4,z，則M2,2,0，D0,0,0，PM=2?x,?2,?z，PD=?x,?4,?z，

又∵面BCC1B1的一個(gè)法向量為DC=0,4,0，

設(shè)向量DC與PM的夾角為θ1，DC與PD的夾角為θ2∴sinα=|cosθ1|=84×(2?x)2例5解：如圖所示，作點(diǎn)B在平面α上的投影點(diǎn)E，連接AE和CE，

顯然BE⊥平面α，

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA，EB分別為x，z軸的正方向，作Ey⊥EA，以Ey為y軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系E?xyz．

由于直線AB與平面α所成角為45°，

所以BE=AE，

設(shè)BE=AE=p(p>0)，則A(p,0,0)，B(0,0,p)，

設(shè)C(x,y,0)，

則d1=|AC|=(x?p)2+y2，d2=|BC|=x2+y2+p2

故d1=md2?(x?p)2+y2=mx2+y2+p2

?(m2?1)x2+(m2練21.解：如圖，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，垂足為A，則∠PMA為直線PM與平面ABCD所成的角，

所以∠PMA=π4，

因?yàn)锳P=2，所以所以點(diǎn)M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，記點(diǎn)M的軌跡為圓弧EF.連接AF，則AF=2．因?yàn)锳B=1，AD=3，所以∠AFB=∠FAE=π則弧EF的長(zhǎng)度α=π6×2=練22.解：由題，，

又，

所以△PDM～△PCB，

故PDPC=MDCB=24=12，

在平面DCC1D1內(nèi)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,DD1為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

可得D(0,0),C(4,0)，

設(shè)P(x,y)，則有x2+y2(x?4)2+y2=12，

化簡(jiǎn)得(x+43)2+