2025年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷03）（全解全析）

2025年高考第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ卷）03·全解全析注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求函數(shù)的定義域和值域求集合，再由集合的交運(yùn)算求集合.【詳解】由，得，故.由，得，故，則.故選：B2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】首先求出進(jìn)而得出，再根據(jù)虛部的概念即可得出答案.【詳解】由，得，得，所以，故的虛部為.故選：B3．一組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．10 B．12 C．4 D．3【答案】C【分析】應(yīng)用百分位數(shù)定義求分位數(shù).【詳解】將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，共10個(gè)數(shù)，所以，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為4.故選：C4．若非零向量滿足，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而求投影向量.【詳解】令，且，所以，可得，所以向量在上的投影向量為.故選：A5．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒有，則的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角余弦化簡函數(shù)解析式，根據(jù)、余弦函數(shù)的對(duì)稱中心求出的值，利用三角函數(shù)的最小正周期公式求出結(jié)果.【詳解】由，由存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，恒有，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，得，故的最小正周期為.故選：B6．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過的直線與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用表示相關(guān)線段長，根據(jù)已知及點(diǎn)線距離公式、雙曲線定義得到的關(guān)系，利用雙曲線的離心率公式求出結(jié)果.【詳解】如圖，不妨令在第一象限，

因?yàn)?，所以直線的方程為，又F?c,0，所以點(diǎn)到直線的距離為.因?yàn)?，所以，?設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，由雙曲線的定義知，易得，在中，由余弦定理得，解得.故雙曲線的離心率.故選：D7．已知連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且，則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令得，應(yīng)用特殊值及排除法確定正確選項(xiàng).【詳解】由題設(shè)，令，則，且，若，則，顯然，A排除；若，則，顯然，B排除；若，則，顯然，C排除；故選：D8．斐波那契數(shù)列又稱黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列用遞推的方式有如下定義：，.則（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025【答案】A【分析】將已知等式向所求式轉(zhuǎn)化，在的等號(hào)兩邊同時(shí)乘以，構(gòu)造包含平方的等式，利用累加法求解.【詳解】由，得，即，所以，，，，，以上各式相加得，所以.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】利用不等式及對(duì)數(shù)性質(zhì)判斷A；作差法判斷B；特殊值法判斷C；構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)得到判斷D.【詳解】A：因?yàn)?，則，，所以，故，正確.B：由，即，由，得，所以，正確.C：令，，則，錯(cuò)誤.D：令，則，故時(shí)，時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，故，即，而，所以，正確.故選：ABD10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則的解集為B．若，則函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)C．若的值域?yàn)镽，則的取值范圍為D．【答案】ACD【分析】分區(qū)間求出不等式的解集，判斷A；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在0,+∞上的單調(diào)性，然后作出函數(shù)在0,+∞上的大致圖象及直線，數(shù)形結(jié)合判斷B、C；利用及函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】A：若，當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，故不等式解集為，正確.B：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大致圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合知，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)零點(diǎn)，若，則時(shí)，沒有零點(diǎn)，所以，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤.C：根據(jù)B知，函數(shù)在0,+∞上的值域?yàn)?，若的值域?yàn)镽，則在上的值域應(yīng)包含，則，得，又，故的取值范圍為，正確.D：由題意知，由于，在上單調(diào)遞增，所以，則，正確.故選：ACD11．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是底面上一動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．直線與所成角的正切值為B．直線與平面所成角的余弦值的最大值為C．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為D．若，則的軌跡是圓的一部分【答案】AC【分析】由題設(shè)知即與所成的角，進(jìn)而求其正切值判斷A；分析結(jié)論，問題化為求直線與平面所成角的正切值的最小值，根據(jù)已知確定直線與平面所成角的平面角，進(jìn)而求其正切值最小值，即可得余弦最大值判斷B；根據(jù)已知得點(diǎn)軌跡以為圓心，為半徑的圓的，判斷C；利用橢圓的定義判斷D.【詳解】A：由題得，故即與所成的角，如圖1，連接，易得，故，正確.

B：直線與平面所成角的余弦值最大時(shí)，其所成的角最小，即正切值最小，所以原問題轉(zhuǎn)化為求直線與平面所成角的正切值的最小值.由題意知，直線與線段始終有交點(diǎn)，設(shè)該交點(diǎn)為在平面內(nèi)的射影為，如圖2，連接，則即直線與平面所成的角.根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，知是邊長為的正三角形，且三點(diǎn)共線，為的中心且為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以最大時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)（或）重合時(shí)，直線與平面所成角的正切值最小.連接，則，故，則，錯(cuò)誤.C：連接，由平面，且平面，所以，在中，，所以點(diǎn)軌跡以為圓心，為半徑的圓的，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為，正確.D：由于，且，所以點(diǎn)軌跡以為焦點(diǎn)的橢球面的一部分，錯(cuò)誤.故選：AC第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離的最小值為．【答案】/0.0625【分析】根據(jù)點(diǎn)在拋物線上求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的定義及性質(zhì)求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)1,4在拋物線上，所以，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由拋物線的定義知，拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離等于到其準(zhǔn)線的距離，因?yàn)閽佄锞€準(zhǔn)線方程為,所以拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于,因?yàn)?所以，故拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)距離的最小值為.故答案為：13．一個(gè)大型電子設(shè)備制造廠有和兩條生產(chǎn)線負(fù)責(zé)生產(chǎn)電子元件.已知生產(chǎn)線的產(chǎn)品合格率為，生產(chǎn)線的產(chǎn)品合格率為，且該工廠生產(chǎn)的電子元件中來自生產(chǎn)線，來自生產(chǎn)線.現(xiàn)從該工廠生產(chǎn)的電子元件中隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，則該電子元件在檢測(cè)不合格的條件下來自生產(chǎn)線的概率是．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.【詳解】隨機(jī)抽取一個(gè)電子元件，設(shè)“抽取的電子元件不合格”，“抽取的電子元件來自生產(chǎn)線”，“抽取的電子元件來自生產(chǎn)線”，則，，，.由全概率公式得故.故答案為：.14．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】應(yīng)用特殊值結(jié)合不等式恒成立得的取值范圍為，再證明時(shí)不等式恒成立，即可得答案.【詳解】由題，當(dāng)時(shí)恒成立，即恒成立，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)且，故的取值范圍為.下面證明：當(dāng)時(shí)不等式恒成立.令，只需證恒成立，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，故，令，則只需證，易知，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故，得證.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）在銳角三角形中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，且.(1)求角；(2)若，求周長的取值范圍.【解析】1）由題意得，...........................................................（1分）則由正弦定理得，...........................................................（2分）由于，所以，所以，所以...................................................（4分）由于，所以，得.又，故....................................................................................................................................（6分）（2）根據(jù)，得，，..............................................（7分）則的周長為，.........（9分）由為銳角三角形，得，所以，.....................................................（10分）則，，..............................................................................................................（11分）所以，..............................................................................................................（12分）故周長的取值范圍是.........................................................................................（13分）16．（15分）某商場(chǎng)為了吸引顧客，舉辦了一場(chǎng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)箱中有大小相同的紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的球各5個(gè)，規(guī)定顧客每次消費(fèi)滿500元即可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)從抽獎(jiǎng)箱中隨機(jī)摸出3個(gè)球，然后根據(jù)摸出的球的顏色獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)金（單位：元）：若摸出的3個(gè)球顏色完全相同，則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金100元；若摸出的3個(gè)球顏色均不相同，則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50元；若摸出的3個(gè)球中有2個(gè)球的顏色相同，則獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金20元.(1)記隨機(jī)變量為顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的獎(jiǎng)金金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（數(shù)學(xué)期望精確到0.01）；(2)假設(shè)每位顧客最多只抽獎(jiǎng)一次，現(xiàn)從所有參與抽獎(jiǎng)的顧客中隨機(jī)抽取3人，求3人中恰有2人的獎(jiǎng)金金額為20元的概率.【解析】（1）由題意可知隨機(jī)變量的所有可能取值為.，，，故隨機(jī)變量的分布列為1005020...................................................................................................................................（6分）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望........................................（8分）（2）由（1）知若從所有參與抽獎(jiǎng)的顧客中隨機(jī)抽取1人，則這個(gè)人的獎(jiǎng)金金額為20元的概率為，獎(jiǎng)金金額為50元或100元的概率為，...................................................................................................（11分）故若從所有參與抽獎(jiǎng)的顧客中隨機(jī)抽取3人，這3人中恰有2人的獎(jiǎng)金金額為20元的概率為..............................................................................................................................（15分）17．（15分）如圖1，直角梯形中，，，，，，為上靠近的三等分點(diǎn)，將沿翻折至，且平面平面，，如圖2.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）在題圖1中，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，，，所以四邊形為正方形，則.在題圖2中，連接，則是以為底邊的等腰三角形，由題知，則，所以，所以，...............................................（2分）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所?.........................................................................（4分）又，且，，平面，所以平面.........................................（6分）由于平面，所以................................................................................................................（7分）（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.........................................（8分）故，，，由于，所以，則......................................................（9分）設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以................................................................................................（11分）設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以..........................................................................................（13分）故，易知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.....................................（15分）18．（17分）已知橢圓，直線與交于點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)）作的切線與直線和分別交于點(diǎn).(1)若，求取得最小值時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若橢圓的右頂點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，求證：，，成等差數(shù)列.【解析】（1）由于在橢圓上，所以，..........................................................................（1分）由，得，..................................................................................................................（3分）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.............................................................................（4分）故取得最小值時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.............................................................................（5分）（2）根據(jù)不是橢圓的頂點(diǎn)可知直線的斜率存在且不為0，

設(shè)直線為y=kx+mk≠0,m≠0，所以，...............................（6分）由，得由于直線與橢圓相切，所以，即，得，..............................（8分）所以（*）式可化為，即，得，故.........（9分）由題，得，所以，故直線的方程為，令，得，故.所以，....................................................................................（11分）所以直線的方程為，令，得，所以.易知，由于，所以........................................................（13分）設(shè)，故，，，.......................................................（14分）故，.......................................................（16分）故成等差數(shù)列......................................................................................................（17分）19．（17分）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)若有兩個(gè)零點(diǎn).（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）求證：．【解析】（1）當(dāng)時(shí)且，則..................................（1分）令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，............................................................................................（2分）故，即，則在上單調(diào)遞增，.................................................（3分）故的單調(diào)遞增區(qū)間是，無單調(diào)遞減區(qū)間...................................................................................（4分）（2）（i）由題意知，令，則有兩個(gè)零點(diǎn).................................................（5分），令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，.....