高中數(shù)學第三章導數(shù)及其應用3.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用3.3.3練習含解析新人教A版選修1-1

PAGEPAGE1第三章3.33.3.3A級基礎鞏固一、選擇題1．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分別是eq\x(導學號03624868)(A)A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2時y＝1，x＝－1時y＝12，x＝1時y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故選A．2．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)eq\x(導學號03624869)(D)A．有最大值，但無最小值B．有最大值，也有最小值C．無最大值，但有最小值D．既無最大值，也無最小值[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函數(shù)在(－1,1)上是單調(diào)遞減的，∴既無最大值，也無最小值．3．函數(shù)f(x)＝3x－x3(－eq\r(3)≤x≤3)的最大值為eq\x(導學號03624870)(B)A．18 B．2C．0 D．－18[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－eq\r(3)≤x<－1時，f′(x)<0，－1<x<1時，f′(x)>0,1<x≤3時，f′(x)<0，故函數(shù)在x＝－1處取微小值，在x＝1處取極大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－eq\r(3))＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函數(shù)f(x)＝x3－3x－a在區(qū)間[0,3]上的最大值、最小值分別為M、N，則M－N的值為eq\x(導學號03624871)(D)A．2 B．4C．18 D．20[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.f(0)＝－a,f(1)＝－2－a,f(3)＝18－a，∴f(x)max＝18－a，f(x)min＝－2－a，∴18－a－(－2－a)＝20.5．下列說法正確的是eq\x(導學號03624872)(D)A．函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B．函數(shù)的微小值就是函數(shù)的最小值C．函數(shù)的最值肯定是極值D．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)肯定存在最值[解析]依據(jù)最大值、最小值的概念可知選項D正確．6．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間[0，e]上的最大值為eq\x(導學號03624873)(A)A．－1 B．1－eC．－e D．0[解析]f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<e，∴f(x)在(0,1)上遞增，在(1，e)上遞減，∴當x＝1時，f(x)取極大值，這個極大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.二、填空題7．當x∈[－1,1]時，函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,ex)的值域是__[0，e]__.eq\x(導學號03624874)[解析]f′(x)＝eq\f(2x·ex－x2·ex,ex2)＝eq\f(2x－x2,ex)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.f(－1)＝e,f(0)＝0,f(1)＝eq\f(1,e)，∴f(x)max＝e,f(x)min＝0，故函數(shù)f(x)的值域為[0，e]．8．若函數(shù)f(x)＝3x－x3＋a，－eq\r(3)≤x≤3的最小值為8，則a的值是__26__.eq\x(導學號03624875)[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1.f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.又f(－eq\r(3))＝a，f(3)＝－18＋a.∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.三、解答題9．(2024·福建寧德市高二檢測)已知函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1時取得極值.eq\x(導學號03624876)(1)求a的值；(2)若關于x的不等式f(x)－k≤0在區(qū)間[0,4]上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．[解析](1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a由題意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴經(jīng)檢驗可知，當a＝3時f(x)在x＝1時取得極值．(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x2＋9x，∵f(x)－k≤0在區(qū)間[0,4]上恒成立，∴k≥f(x)max即可．f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)>0，得3<x<4或0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<3.∴f(x)在(0,1)上遞增，(1,3)上遞減，(3,4)上遞增，∴當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝4，當x＝3時，f(x)取微小值f(3)＝0.又f(0)＝0，f(4)＝4，∴f(x)max＝4，∴k≥4.B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為eq\x(導學號03624877)(A)A．eq\f(2\r(3),9) B．eq\f(2\r(2),9)C．eq\f(3\r(2),9) D．eq\f(3,8)[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)∈[0,1]，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9)，f(0)＝f(1)＝0.∴f(x)max＝eq\f(2\r(3),9).2．已知函數(shù)f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導函數(shù)，在[a，b]上圖象連綿不斷且f′(x)<g′(x)，則f(x)－g(x)的最大值為eq\x(導學號03624878)(A)A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)[解析]令u(x)＝f(x)－g(x)，則u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上為單調(diào)削減的，∴u(x)的最大值為u(a)＝f(a)－g(a)．3．設在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連綿不斷的曲線，且在區(qū)間[a，b]上存在導數(shù)，有下列三個命題：①若f(x)在[a，b]上有最大值，則這個最大值必是[a，b]上的極大值；②若f(x)在[a，b]上有最小值，則這個最小值必是[a，b]上的微小值；③若f(x)在[a，b]上有最值，則最值必在x＝a或x＝b處取得．其中正確的命題個數(shù)是eq\x(導學號03624879)(A)A．0 B．1C．2 D．3[解析]由于函數(shù)的最值可能在區(qū)間[a，b]的端點處取得，也可能在區(qū)間[a，b]內(nèi)取得，而當最值在區(qū)間端點處取得時，其最值必不是極值，因此3個命題都是假命題．4．當x∈[0,5]時，函數(shù)f(x)＝3x2－4x＋c的值域為eq\x(導學號03624880)(C)A．[f(0)，f(5)] B．[f(0)，f(eq\f(2,3))]C．[f(eq\f(2,3))，f(5)] D．[c，f(5)][解析]f′(x)＝6x－4，令f′(x)＝0，則x＝eq\f(2,3)，0<x<eq\f(2,3)時，f′(x)<0，x>eq\f(2,3)時，f′(x)>0，得f(eq\f(2,3))為微小值，再比較f(0)和f(5)與f(eq\f(2,3))的大小即可．5．(2024·黑龍江哈三中期末)已知x＝2是函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋2的微小值點，那么函數(shù)f(x)的極大值為eq\x(導學號03624881)(D)A．15 B．16C．17 D．18[解析]x＝2是函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋2的微小值點，即x＝2是f′(x)＝3x2－3a＝0的根，將x＝2代入得a＝4，所以函數(shù)解析式為f(x)＝x3－12x＋2，則由3x2－12＝0，得x＝±2，故函數(shù)在(－2,2)上是減函數(shù)，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函數(shù)，由此可知當x＝－2時函數(shù)f(x)取得極大值f二、填空題6．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是__－10__.eq\x(導學號03624882)[解析]f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－12－0＋24f(x)5－15－4由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，所以f(x)max＋f(x)min＝－10.7．函數(shù)f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值為3，最小值為－6，則a＋b＝eq\f(10,3).eq\x(導學號03624883)[解析]f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)，或x＝3.1<x<3時，f′(x)<0,3<x<4時，f′(x)>0，故x＝3為微小值點．∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝∴f(x)的最小值為f(3)＝b－27a，最大值為f(4)＝b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,b－27a＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝3，))∴a＋b＝eq\f(10,3).三、解答題8．(2024·全國Ⅱ文，21)設函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex.eq\x(導學號03624884)(1)探討f(x)的單調(diào)性；(2)當x≥0時，f(x)≤ax＋1，求a的取值范圍．[解析](1)解：f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－eq\r(2)或x＝－1＋eq\r(2).當x∈(－∞，－1－eq\r(2))時，f′(x)<0；當x∈(－1－eq\r(2)，－1＋eq\r(2))時，f′(x)>0；當x∈(－1＋eq\r(2)，＋∞)時，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－eq\r(2))，(－1＋eq\r(2)，＋∞)單調(diào)遞減，在(－1－eq\r(2)，－1＋eq\r(2))單調(diào)遞增．(2)解：f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.當a≥1時，設函數(shù)h(x)＝(1－x)ex，則h′(x)＝－xex<0(x>0)，因此h(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減．而h(0)＝1，故h(x)≤1所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.當0<a<1時，設函數(shù)g(x)＝ex－x－1，則g′(x)＝ex－1>0(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞增．而g(0)＝0，故ex≥x＋1.當0<x<1時，f(x)>(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，取x0＝eq\f(\r(5－4a)－1,2)，則x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.當a≤0時，取x0＝eq\f(\r(5)－1,2)，則x0∈(0,1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.綜上，a的取值范圍是[1，＋∞)．C級實力提高1．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.現(xiàn)給出如下結(jié)論：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正確結(jié)論的序號是__②③__.eq\x(導學號03624885)[解析]∵f(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f(x)<0，得1<x<3，由f′(x)>0，得x<1或x>3，∴f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函數(shù)．又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y最大值＝f(1)＝4－abc>0，y最小值＝f(3)＝－abc<0.∴0<abc<4，∴a，b，c都大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3為函數(shù)f(x)的極值點，后一種狀況不行能成立，如圖．∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.∴正確結(jié)論的序號是②③.2．(2024·山東文，20)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2，a∈R.eq\x(導學號03624886)(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線方程；(2)設函數(shù)g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，探討g(x)的單調(diào)性并推斷有無極值，有極值時求出極值．[解析](1)由題意f′(x)＝x2－ax，所以當a＝2時，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲線y＝f(x)在點(3，f(3))處的切線方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因為g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx＝x(x－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)．令h(x)＝x－sinx，則h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增．因為h(0)＝0，所以當x>0時，h(x)>0；當x<0時，h(x)<0.①當a<0時，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，當x∈(－∞，a)時，x－a<0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當x∈(a,0)時，x－a>0，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x∈