公因數(shù)和最大公因數(shù)的應(yīng)用（學(xué)霸課堂筆記）-數(shù)學(xué)五年級下冊培優(yōu)講義（人教版）

4.9公因數(shù)和最大公因數(shù)的應(yīng)用第一部分第一部分知識清單在鋪地磚問題中,要使地面鋪滿且使用的地磚是整塊時,就是求長和寬的公因數(shù);要求地磚的邊長最大是多少,就是求長和寬的最大公因數(shù)。第二部分第二部分典型例題例1：有兩根鐵絲，分別長42米和18米，要把它們截成相等的小段，每小段長是整米數(shù)，且不許有剩余，每小段鐵絲最長是（

）米。A．42 B．18 C．6答案：C分析：把長度分別為42米和18米的兩根鐵絲截成長度一樣的小段且沒有剩余。求每小段最長是多少米，就是求42和18的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答。詳解：42＝2×3×718＝2×3×32×3＝642和18的最大公因數(shù)是6。即每小段鐵絲最長是6米。故答案為：C例2：有一張長方形紙，長60厘米，寬50厘米。如果要剪成若干同樣大小的正方形而沒有剩余，剪出的正方形的邊長最大是()厘米。答案：10分析：把一張長方形紙剪成若干同樣大小的正方形而沒有剩余，那么剪出的正方形的邊長是長方形長和寬的公因數(shù)；求剪出正方形的最大邊長，就是求長和寬的最大公因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：60＝2×2×3×550＝2×5×560和50的最大公因數(shù)是：2×5＝10所以，剪出的正方形的邊長最大是10厘米。例3：要在42米和48米的兩段公路下鋪設(shè)排水管道，現(xiàn)在有長4米、5米和6米三種規(guī)格的排水管，選用哪一種規(guī)格的排水管能使這兩條管道都正好鋪完？答案：6米分析：要在42米和48米的兩段公路下鋪設(shè)排水管道，所用排水管要想正好鋪完，排水管的長度應(yīng)是兩段排水管道的公因數(shù)，求出42和48的公因數(shù)，再與排水管作比較即可。詳解：42的因數(shù)有：1、2、3、6、7、14、21、4248的因數(shù)有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、4842和48的公因數(shù)有：1、2、3、6答：應(yīng)選用6米這種規(guī)格的排水管。：基礎(chǔ)過關(guān)練一、選擇題1．已知m、n都是非零自然數(shù)，且m÷n＝11，那么m和n的最大公因數(shù)是（

）。A．1 B．mn C．m D．n2．有兩根木條，一根長32cm，另一根長24cm，科技小組的同學(xué)需要將兩根木條截成同樣長的短木條，不能有剩余，截成的每根短木條最長是（

）cm。

A．12 B．8 C．4 D．23．有一張長30cm，寬20cm的長方形紙，現(xiàn)在要把它剪成若干張相同的正方形小紙片，且無剩余。如果正方形的邊長是整厘米數(shù)，那么正方形的邊長共有（

）種可能。A．2 B．3 C．4 D．144．已知，那么（a，b）＝（

）。A．80 B．30 C．10 D．505．把一張長16cm、寬12cm的長方形紙剪成大小相等的正方形，且沒有剩余，最少可以剪成（

）個。A．4 B．12 C．48 D．1926．兩根木棒分別長18dm和12dm。要把這兩根木棒截成同樣長的若干段，不能有剩余，每段最長是（

）dm。A．2 B．3 C．6 D．36二、填空題7．的分?jǐn)?shù)單位是()，它有()個這樣的分?jǐn)?shù)單位，再添上()個這樣的分?jǐn)?shù)單位是9和24的最大公因數(shù)。8．如果A＝2×2×5，B＝2×3×5，那么A和B的最大公因數(shù)是()。9．把一張長18分米，寬12分米的長方形卡紙，裁成若干個大小相同的正方形（邊長為整分米數(shù)），且沒有剩余，裁出的正方形的邊長最大是()分米。10．一個數(shù)的最大因數(shù)是48，這個數(shù)是()，把它寫成質(zhì)數(shù)相乘的形式是()。11．媽媽給小明準(zhǔn)備了一個生日禮物，可是生日禮物在一個密碼箱里，媽媽說必須用密碼打開，才能拿出禮物，密碼由6個數(shù)字組成，從左到右依次是：最小的合數(shù)；一位數(shù)中最大的質(zhì)數(shù)；最小奇數(shù)的5倍；3和2的公因數(shù)；不是合數(shù)的偶數(shù)；既是3的倍數(shù)又是3的因數(shù)。該密碼是()。12．已知ab＝c（a、b、c均為正整數(shù)），那么a和c的最大公因數(shù)是()。13．自然數(shù)a和b的最大公因數(shù)是18，這兩個數(shù)的公因數(shù)有()個。14．?dāng)?shù)學(xué)老師把20支水筆和25本練習(xí)本平均獎給“計(jì)算能手”，結(jié)果水筆多2支，練習(xí)本差2本?！坝?jì)算能手”最多有()人。三、判斷題15．M＝2×2×5，N＝2×3×5，M和N的最大公因數(shù)是10。()16．若（、均為非零自然數(shù)），則和的最大公因數(shù)是7。()17．公因數(shù)是最大公因數(shù)的因數(shù)。()18．5和13的最大公因數(shù)是1。()19．b是a的2倍（a、b均是不為0的自然數(shù)），則a、b的最大公因數(shù)是a。()20．如果a是b的4倍（a、b均為非0的自然數(shù)），那么a和4的最大公因數(shù)是b。()21．有一張長21厘米，寬14厘米的長方形彩紙，想用它剪幾個大小相同的正方形（彩紙無剩余），正方形的邊長最大是7厘米。()：培優(yōu)提升練四、計(jì)算題22．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。36和48

11和13

21，42和70五、解答題23．體育課上，男生24人、女生18人分別分成若干小組開展活動。要使每組的人數(shù)相同，每組最多有多少人？這時男、女生分別有幾組？24．張叔叔有兩根木棒，一根長54分米，另一根長24分米，現(xiàn)在需要把它們截成同樣長的小棒，且不能有剩余，每根小棒最長是多少分米？一共可以截成多少段？25．李老師家的電話號碼是一個八位數(shù)，從高位到低位依次是：①最小的合數(shù)；②既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；③最小的質(zhì)數(shù)；④既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；⑤只有3個因數(shù)的奇數(shù)；⑥既是5的因數(shù)又是5的倍數(shù)；⑦6和9的最大公因數(shù)；⑧最小的自然數(shù)。26．分別將22塊橡皮和33支鉛筆平均分給打掃校園衛(wèi)生的同學(xué)，結(jié)果橡皮多一塊，鉛筆少2支。參加打掃校園衛(wèi)生的同學(xué)有多少名？27．有一張長方形紙，長60厘米、寬50厘米，如果要剪成若干張同樣大小的正方形紙片而沒有剩余。剪出的正方形的邊長最大是幾厘米？28．如圖所示，工程隊(duì)要在一條“7”字型馬路外側(cè)等距離安裝若干盞路燈，甲、乙、丙三處必須先各安裝一盞。（1）相鄰兩盞路燈間的最大距離可以是多少？（2）按上述要求，這條馬路最少需要安裝多少盞路燈？

1．D分析：當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)，據(jù)此解決即可。詳解：因?yàn)閙÷n＝11，m、n是不為0的自然數(shù)，所以m是n的倍數(shù)，m和n的最大公因數(shù)是n。故答案為：D點(diǎn)睛：本題考查最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，熟練牢記：當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。2．B分析：根據(jù)題意，把長32cm、24cm的兩根木條截成同樣長的短木條，沒有剩余，那么每根短木條的長度是32和24的公因數(shù)；求每根短木條最長的長度，就是求32和24的最大公因數(shù)。32、24分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來就是最大公因數(shù)，即可得解。詳解：32＝2×2×2×2×224＝2×2×2×332和24的最大公因數(shù)是：2×2×2＝8；即截成的每根短木條最長是8cm。故答案為：B點(diǎn)睛：本題考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法解決實(shí)際問題，也可以用短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。3．C分析：由題意可知，該正方體的邊長應(yīng)是30和20的公因數(shù)，求出30和20的公因數(shù)即可求解。詳解：30的因數(shù)有：1、2、3、5、6、10、15、3020的因數(shù)有：1、2、4、5、10、20則30和20的公因數(shù)有：1、2、5、10，即正方形的邊長共有4種可能。故答案為：C點(diǎn)睛：本題考查公因數(shù)，明確公因數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。4．C分析：先根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把的分子、分母同時除以8，化成，即a＝10；再把的分子、分母同時乘5，化成，即b＝50；最后用短除法求（a，b），即求a和b的最大公因數(shù)。詳解：因?yàn)椋剑?，所以a＝10；因?yàn)椋剑?，所以b＝50。10和50的最大公因數(shù)是2×5＝10，即（a，b）＝10。故答案為：C點(diǎn)睛：此題考查了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及求最大公因數(shù)的方法。5．B分析：正方形的特點(diǎn)是邊長相等，要想沒有剩余，就需要找到長和寬的最大公因數(shù)，就是正方形的邊長，16和12的最大公因數(shù)是4，所以正方形的邊長是4厘米，所以長邊有4個正方形，寬邊有3個正方形，一共有12個正方形。詳解：16和12的最大公因數(shù)是4，16÷4＝4（個）12÷4＝3（個）4×3＝12（個）最少可以剪成12個。故答案為：B點(diǎn)睛：考查最大公因數(shù)的應(yīng)用，重點(diǎn)是能夠準(zhǔn)確求出16和12的最大公因數(shù)，并且理解最大公因數(shù)的意義。6．C分析：由題意可知，每段木棒最長的長度應(yīng)是18和12的最大公因數(shù)，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算即可。詳解：18＝2×3×312＝2×2×3則每段最長是2×3＝6（dm）故答案為：C點(diǎn)睛：本題考查最大公因數(shù)，明確求最大公因數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。7．78分析：分母是幾分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，分子是幾就有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位；求出9和24的最大公因數(shù)，將求出的最大公因數(shù)化成分母是5的假分?jǐn)?shù)，求出兩個假分?jǐn)?shù)分子的差，就是需要添上的分?jǐn)?shù)單位的個數(shù)。詳解：9＝3×324＝2×2×2×39和24的最大公因數(shù)是3，3＝，15－7＝8（個）的分?jǐn)?shù)單位是，它有7個這樣的分?jǐn)?shù)單位，再添上8個這樣的分?jǐn)?shù)單位是9和24的最大公因數(shù)。點(diǎn)睛：關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)單位的含義，掌握帶分?jǐn)?shù)和整數(shù)化假分?jǐn)?shù)的方法，會求兩個數(shù)的最大公因數(shù)。8．10分析：分解質(zhì)因數(shù)是把合數(shù)分解成若干個質(zhì)因數(shù)相乘的形式。兩個或兩個以上的合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，把公有的相同質(zhì)因數(shù)乘起來就是最大公因數(shù)。詳解：A＝2×2×5B＝2×3×5A和B的最大公因數(shù)是：2×5＝10。點(diǎn)睛：掌握求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。9．6分析：要裁的邊長應(yīng)是12和18的公因數(shù)，要使裁出的正方形的邊長最大，所以裁的邊長應(yīng)是12和18的最大公因數(shù)，求出它的最大公因數(shù)即可。詳解：12＝2×2×318＝2×3×312和18的最大公因數(shù)＝2×3＝6則裁出的正方形的邊長最大是6分米。點(diǎn)睛：此題主要考查求兩個數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)，明確找一個數(shù)因數(shù)的方法，是解答此題的關(guān)鍵。10．4848＝2×2×2×2×3分析：一個數(shù)的最大因數(shù)是它本身，寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式（這些不重復(fù)的質(zhì)數(shù)即為質(zhì)因數(shù)），實(shí)際運(yùn)算時可采用逐步分解的方式。詳解：48＝2×2×2×2×3一個數(shù)的最大因數(shù)是48，這個數(shù)是48，把它寫成質(zhì)數(shù)相乘的形式是48＝2×2×2×2×3。點(diǎn)睛：關(guān)鍵是理解因數(shù)和倍數(shù)的含義，掌握分解質(zhì)因數(shù)的方法。11．475123分析：質(zhì)數(shù)是指除了1和它本身的兩個因數(shù)以外再沒有其他的因數(shù)的數(shù)。合數(shù)是指就除了1和它本身的兩個因數(shù)以外還有其他的因數(shù)的數(shù)。不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)。3和2是互質(zhì)數(shù)，所以3和2的公因數(shù)是1；不是合數(shù)的偶數(shù)是2；既是3的倍數(shù)又是3的因數(shù)的數(shù)是3；據(jù)此解答。詳解：最小的合數(shù)是4；一位數(shù)中最大的質(zhì)數(shù)是7；最小奇數(shù)是1，最小奇數(shù)的5倍是5；3和2的公因數(shù)是1；不是合數(shù)的偶數(shù)是2；既是3的倍數(shù)又是3的因數(shù)是3；所以該密碼是475123。點(diǎn)睛：此題主要明確奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義還有因數(shù)、倍數(shù)以及公因數(shù)的求法，才能做出正確的解答。12．a(chǎn)分析：當(dāng)兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。根據(jù)求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的特殊情況解答即可。詳解：ab＝c（a、b、c均為正整數(shù)），說明c是a的倍數(shù)，a是較小數(shù)，c是較大數(shù)，所以a和c的最大公因數(shù)a。點(diǎn)睛：解決此題的關(guān)鍵是明確求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況。當(dāng)兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；當(dāng)兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)時，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積。13．6分析：根據(jù)公因數(shù)的意義可以知道兩個數(shù)的公因數(shù)就是最大公因數(shù)的因數(shù)，因此18的因數(shù)有幾個，這兩個數(shù)的公因數(shù)就有幾個。詳解：18的因數(shù)有：1，2，3，6，9，18，有6因數(shù)，所以這兩個數(shù)的公因數(shù)有6個。點(diǎn)睛：主要考查學(xué)生對于公因數(shù)以及最大公因數(shù)的理解與認(rèn)識。14．9分析：根據(jù)題意可知，如果多加2本習(xí)本，減少2支水筆，則剛好分完，求“計(jì)算能手”最多有多少人。也就是求出（20－2）和（25＋2）的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積；據(jù)此解答。詳解：20－2＝18（支）25＋2＝27（本）18＝2×3×327＝3×3×33×3＝918和27的最大公因數(shù)是9?！坝?jì)算能手”最多有9人。點(diǎn)睛：本題考查了最大公因數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確最大公因數(shù)的求法。15．√分析：求最大公因數(shù)的方法：利用質(zhì)因數(shù)分解法，即全部共有的質(zhì)因數(shù)（公有質(zhì)因數(shù)）相乘的積就是這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。詳解：M＝2×2×5，N＝2×3×5，所以M和N的最大公因數(shù)是2×5＝10。故答案為：√點(diǎn)睛：此題的解題關(guān)鍵是掌握求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法。16．×分析：成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)，較小數(shù)是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。據(jù)此解題。詳解：因?yàn)?，所以是的倍?shù)，所以和的最大公因數(shù)是。故答案為：×點(diǎn)睛：本題考查了最大公因數(shù)，掌握成倍數(shù)關(guān)系兩數(shù)的最大公因數(shù)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵。17．√分析：最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，公因數(shù)是指兩個數(shù)公有的因數(shù)，公因數(shù)可以寫成幾個公有的質(zhì)因數(shù)相乘，根據(jù)因數(shù)的意義，則公因數(shù)是最大公因數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答。詳解：公因數(shù)是最大公因數(shù)的因數(shù)。例如：12和18的公因數(shù)是1、2、3、6，最大公因數(shù)是6，1、2、3、6是6的因數(shù)。所以原題干說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題主要考查了公因數(shù)和最大公因數(shù)，掌握相關(guān)的意義是解答本題的關(guān)鍵。18．√分析：根據(jù)互為質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1，據(jù)此判斷即可。詳解：因?yàn)?和13是互質(zhì)數(shù)，所以5和13的最大公因數(shù)是1。原題干說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查最大公因數(shù)，明確互為質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1是解題的關(guān)鍵。19．√分析：如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，那么它們的最大公因數(shù)是兩個數(shù)中的較小數(shù)，據(jù)此解答。詳解：b是a的2倍（a、b均是不為0的自然數(shù)），則b和a是倍數(shù)關(guān)系，且b＞a，所以a、b的最大公因數(shù)是a。故答案為：√點(diǎn)睛：掌握成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)中較小數(shù)是它們的最大公因數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。20．×分析：求兩個數(shù)的最大公因數(shù)，如果兩個數(shù)互質(zhì)，則這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)；如果兩個數(shù)既不互質(zhì)，也不是倍數(shù)關(guān)系，則先把兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答。詳解：a＝4b因?yàn)閍和4是倍數(shù)關(guān)系，所以a和4的最大公因數(shù)是4。原題干說法錯誤。故答案為：×點(diǎn)睛：本題主要考查了最大公因數(shù)的計(jì)算方法。21．√分析：已知把一張長21厘米，寬14厘米的長方形彩紙剪成相同的小正方形，且沒有剩余，要求小正方形的邊長最長是多少厘米，就是求21和14的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積。據(jù)此解答。詳解：21＝3×714＝2×721和14的最大公因數(shù)是7。正方形的邊長最大是7厘米。原題干說法正確。故答案為：√點(diǎn)睛：本題考查了最大公因數(shù)的求法和應(yīng)用。22．12；1；7分析：根據(jù)求兩個（或兩個以上）數(shù)最大公因數(shù)也就是這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積；當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)；當(dāng)兩個數(shù)互為質(zhì)數(shù)，那么它們的最大公因數(shù)是1；據(jù)此解答。詳解：36和4836＝2×2×3×348＝2×2×2×2×3則36和48的最大公因數(shù)是：2×2×3＝12；11和1311和13互為質(zhì)數(shù)，所以11和13的最大公因數(shù)是：1；21，42和7021＝3×742＝2×3×770＝2×5×7則21，42和70的最大公因數(shù)是：7。23．6人；男生：4組；女生：3組分析：由題意可知，每組最多的人數(shù)是24和18的最大公因數(shù)?？梢韵扔枚坛ㄇ蟪?4和18的最大公因數(shù)是6，再用男生人數(shù)、女生分?jǐn)?shù)分別除以6求出男、女生分別有幾組。詳解：24和18的最大公因數(shù)是2×3＝6。24÷6＝4（組）18÷6＝3（組）答：每組最多有6人。這時男生有4組，女生有3組。點(diǎn)睛：當(dāng)所求量分別與兩個（或幾個）已知量的因數(shù)有關(guān)時，可以用公因數(shù)或最大公因數(shù)的知識解決。24．6分米；13段分析：把長度分別為54分米24分米的兩根木棒截成長度一樣的小棒且沒有剩余。求每根小棒最長是多少分米，就是求54和24的最大公因數(shù)，最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，也就是6分米，然后用54÷6和24÷6即可求出兩條木棒各自截成的根數(shù)，最后相加即可。詳解：54＝2×3×3×324＝2×2×2×354和24的最大公因數(shù)是：2×3＝654÷6＝9（段）24÷6＝4（段）9＋3＝13（段）答：每根小棒最長是6分米，一共可以截成13段。點(diǎn)睛：本題考查了最大公因數(shù)的求法和應(yīng)用，掌握相應(yīng)的計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵。25．41229530分析：因數(shù)只有1和本身的數(shù)是質(zhì)數(shù)，除了1和本身還有別的因數(shù)的數(shù)是合數(shù)。2的倍數(shù)是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)是奇數(shù)。一個數(shù)的最大因數(shù)是本身，最小倍數(shù)也是本身。最小的合數(shù)是4；1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；最小的質(zhì)數(shù)是2；2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；只有3個因數(shù)的奇數(shù)，并且是一位數(shù)的是9；5既是5的因數(shù)，又是5的倍數(shù)；6和9的最大公因數(shù)是3；最小的自然數(shù)是0。據(jù)此解題。詳解：答：李老師家的電話號碼是41229530。點(diǎn)睛：本題考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、因數(shù)和倍數(shù)、最大公因數(shù)以及自然數(shù)，掌握各個概念是解題的關(guān)鍵。26．7名分析：22塊橡皮和33支鉛筆平均分給打掃校園