專題15 對(duì)數(shù)函數(shù) 高中數(shù)學(xué)黃金100題系列(解析) 含答案

I．題源探究·黃金母題【例1】已知函數(shù)，，．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由．【解析】（1）由，得，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?）根據(jù)（1）知：函數(shù)的定義域?yàn)椤嗪瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又∵＝，∴是上的偶函數(shù).II．考場(chǎng)精彩·真題回放【例2】【2015年湖南高考理】設(shè)函數(shù)，則是（）A．奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)【答案】A【解析】顯然，定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又∵，∴為奇函數(shù)，顯然，在上單調(diào)遞增，故選A．【例3】【2015高考新課標(biāo)Ⅰ理】若函數(shù)為偶函數(shù)，則___________．【答案】1【解析】由題知是奇函數(shù)，所以＝，解得．【例4】【2016高考全國(guó)Ⅱ卷】下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)的定義域和值域相同的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，定義域與值域均為，只有D滿足，故選D．精彩解讀【試題來(lái)源】人教版A版必修一第75頁(yè)B組第4題【母題評(píng)析】本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的定義域與奇偶性．本類考查方式是近幾年高考試題常常采用的命題形式，能達(dá)到考查運(yùn)算能力以及代數(shù)恒等變換能力．【思路方法】求含有對(duì)數(shù)的函數(shù)的定義域時(shí)，除考慮前面所知曉的分母、根式要求外，還須考慮對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于0．判斷對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性時(shí)首先必須確定函數(shù)的定義域是否對(duì)稱，對(duì)稱的情況下判斷與的關(guān)系，進(jìn)而判定．【命題意圖】本類題考查對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域與奇偶性．【考試方向】這類試題在考查題型上，通常基本以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等，往往以考查對(duì)數(shù)運(yùn)算構(gòu)成的對(duì)數(shù)型函數(shù)奇偶性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、在實(shí)際生活中的應(yīng)用．【難點(diǎn)中心】（1）處理含有參數(shù)的對(duì)數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性時(shí)，常常要運(yùn)用逆向思維的方法，體現(xiàn)待定系數(shù)法的應(yīng)用；（2）應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象時(shí)，常常涉及不太規(guī)范的對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象，其作法可能較難，常常利用轉(zhuǎn)化思想；（3）解決對(duì)數(shù)不等式問題的方法就是化為同底的對(duì)數(shù)或?qū)?shù)的形式，再利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為熟悉的代數(shù)不等式求解；（4）在實(shí)際生活中的應(yīng)用時(shí)如何建立與對(duì)數(shù)相關(guān)的函數(shù)模型，也是相對(duì)較難．III．理論基礎(chǔ)·解題原理考點(diǎn)一對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（1）對(duì)數(shù)的定義如果（且），那么數(shù)叫做以為底，的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。（2）幾種常見對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為，且常用對(duì)數(shù)底數(shù)為10自然對(duì)數(shù)底數(shù)為2、對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)（）：①，②，③，④．（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果，且，，，那么：1．·＋；2．－；3．．（2）換底公式：（均為大于零且不等于1，）；利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）．推廣．（2），特例：考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自量，函數(shù)的定義域是．注意：（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別．如：，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù)．（2）對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且．考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)（1）定義域：，（2）值域：（3）當(dāng)時(shí)，，即過(guò)定點(diǎn)（1，0）（4）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（4）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（5）在（0,+）上為增函數(shù)（5）在（0,+）上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系提示：作一直線，該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)．∴．IV．題型攻略·深度挖掘【考試方向】1．通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等或中等偏下，往往與函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、圖象，以及不等式、方程有聯(lián)系；2．在解答題常常與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等．【技能方法】1．轉(zhuǎn)化的思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問題時(shí)，經(jīng)常進(jìn)行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化，同時(shí)要熟練應(yīng)用公式：，，，．2．?dāng)?shù)式化簡(jiǎn)與求值的規(guī)律含有對(duì)數(shù)的代數(shù)式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是減少含有對(duì)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，而含對(duì)數(shù)的項(xiàng)的合并常用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，因此，化簡(jiǎn)要朝這個(gè)方向進(jìn)行.一般有如下規(guī)律：（1）先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并；（2）熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式并配以代數(shù)式的恒等變形是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧；（3）指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的關(guān)鍵．3．解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的方法步驟：（1）先求出函數(shù)的定義域；（2）判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的關(guān)系，當(dāng)?shù)讛?shù)是含字母的代數(shù)式(包含單獨(dú)一個(gè)字母)時(shí)，要考查其單調(diào)性，就必須對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論；（3）判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性.4．求函數(shù)的最值(或值域)（1）直接法：充分利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象直接求解．（2）轉(zhuǎn)化法：利用運(yùn)算公式將含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題，然后采用配方法求解，但需注意自變量的范圍．（3）分解法（復(fù)合法）：求解步驟：①分解成兩個(gè)函數(shù)；②求的定義域；③求的取值范圍；④利用的單調(diào)性求解．【易錯(cuò)指導(dǎo)】1．在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，忽視真數(shù)的限制條件，如已知，求的值；2．錯(cuò)誤利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，如求值：；3．忽視函數(shù)中的定義域，如求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；4．混淆函數(shù)定義域與值域的理解，如若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；5．忽視對(duì)含參底數(shù)的討論，如已知函數(shù)的最大值比最小值大1，求的值；6．忽視復(fù)合指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的復(fù)合性，如求的單調(diào)區(qū)間．V．舉一反三·觸類旁通考向1對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【例1】．【2015高考安徽文】___________．【答案】-1【解析】法一：原式＝．法二：＝．【例2】【2016高考浙江理】已知.若，，則_________，___________．【答案】【解析】設(shè)，所以，解得，所以，于是由，得，考向2求對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域【例3】【2015高考湖北文科】函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】C【解析】由函數(shù)的表達(dá)式可知，函數(shù)的定義域應(yīng)滿足條件：，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，故?yīng)選．【方法歸納】求函數(shù)的定義域主要從三個(gè)方面考慮：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被開方數(shù)要求非負(fù)；（3）對(duì)數(shù)式的真數(shù)要求為正數(shù)．考向3對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性【例4】【2014高考湖南文】若是偶函數(shù)，則_________．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),所以，即，所以，即＝，即，所以．【名師點(diǎn)睛】此類試題主要表現(xiàn)為已知函數(shù)的單調(diào)性求相關(guān)的參數(shù)，其思考方向：（1）利用定義域的對(duì)稱性建立方程求參數(shù)；（2）利用定義或建立方程求參數(shù)；（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在有定義，則利用求參數(shù)．考向4求對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例5】【2014高考天津理】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋捎谕鈱雍瘮?shù)為減函數(shù)，由復(fù)合考向5對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用【例6】【2013高考全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ理】設(shè),則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，，又是增函?shù)，所以．因?yàn)?，，所以，所以，故選D．【名師點(diǎn)撥】比較兩個(gè)對(duì)數(shù)值大小方法：（1）如果同底數(shù)或可轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的比較，只須確定其對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，利用真數(shù)的大小即可比較；（2）如果底數(shù)不同且不能轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值，則此時(shí)可考慮引入一個(gè)中間數(shù)，間接比較這兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大?。纠?】【2016屆青海省平安一中高三4月月考文】已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】令，則有函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，可得函數(shù)在區(qū)間上【例8】【2016屆安徽省六安市一中第四次月考理】不等式的解集是_______．【答案】【解析】由得，即．【名師指導(dǎo)】求對(duì)數(shù)不等式的解集主要就是利用其單調(diào)性，因此必須考察對(duì)數(shù)的底數(shù)，同時(shí)易忽視真數(shù)的限制條件．考向6對(duì)數(shù)函數(shù)的最值（值域）【例9】【2014高考重慶理】函數(shù)的最小值為___________．【答案】【解析】，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．【例10】【2016屆海南省海南中學(xué)高三考前高考模擬七理】已知，則的最小值是_______．【答案】【解析】由題意得，（當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)）．【名師點(diǎn)睛】與對(duì)數(shù)相關(guān)的函數(shù)的最值（值域）的常見三種求法：（1）對(duì)形如的函數(shù)的最值（值域）問題，可通過(guò)換元，然后配方求解，但需注意新的變量范圍；（2）直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解，但需注意底數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系；（3）形如可考慮利用基本不等式求解．【例11】【2016屆江蘇省南師附中等四校高三聯(lián)考】若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)?；?dāng)且時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)?，由，得，解得；若且時(shí)，，與題設(shè)不符，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，即．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題屬于一道逆向型的問題，中檔偏難題．解題時(shí)一定要注意對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類．解題過(guò)程中還運(yùn)用了函數(shù)值域內(nèi)中的一個(gè)重要性質(zhì)，并以此為基點(diǎn)建立不等式求出了參數(shù)的取值范圍．解本題的關(guān)鍵是如何理解題設(shè)中“值域?yàn)椤辈⒛芙⒌葍r(jià)的不等式．【例12】【2016屆江蘇省揚(yáng)州市上期期末調(diào)研】若函數(shù)且有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【解析】由題令，因?yàn)閽佄锞€開口向下，∴函數(shù)有最大值，在定義域上單考向7指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)【例13】函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，其中，均大于0，則的最小值為（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】根據(jù)題意，有，所以有，所以，故選C．【方法提煉】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，則函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)可令求得橫坐標(biāo)，而縱坐標(biāo)為，由此可得定點(diǎn)坐標(biāo)．考向8對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象識(shí)別【例14】【2014高考山東文】已知函數(shù)為常數(shù)，其中且）的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由圖可知，的圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位而得到的，其中值或函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象．考向9對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用【例16】【2016高考天津文】已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，解得．又方程恰有兩【例17】【2013高考天津理】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】的零點(diǎn)，即為方程的根，亦即為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，選B.【技巧點(diǎn)撥】在函數(shù)與方程的關(guān)系中，如果求解與函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、圖象的交點(diǎn)等問題時(shí)，常常要利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決．【例18】【2016屆湖南省雅禮中學(xué)高三下學(xué)期月考五理】若滿足，滿足，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，即，，作出，【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的