2024屆吉林省普通高中數(shù)學高二年級上冊期末檢測模擬試題含解析

2024屆吉林省普通高中數(shù)學高二上期末檢測模擬試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（x）=xlnx-2在x=l處的切線方程為0

A.2x+y=0B.2x-y-4=0

C..v-y-3=0D.x+y+l=0

2.橢圓.d+4），2=4的離心率為（）

3.方程（犬+3〉，2一3）54=0表示的曲線是（）

A.一個橢圓和一條直線B.一個橢圓和一條射線

C.一條射線D.一個橢圓

4.已知空間直角坐標系中的點P（L1/），A（l,0,l）,3（0,1,0）,則點P到直線AS的距離為（）

A.&B.立

66

C至D也

33

5.設(shè)雙曲線￡：I一與=1（。>0，/?>0）的右頂點為A,右焦點為產(chǎn)，“為雙曲線E在第二象限上的點，直

/IT

線8。交雙曲線七于另一個點。（。為坐標原點），若直線即平分線段尸C,則雙曲線E的離心率為（）

A.3B.2

C?百D.V2

6.雙曲線）/-4/=4的焦點坐標為。

A.(6,0),(-6,0)B.(A/3,0),(->/3,0)

C.(0,石石)D.(0,V3),(0,-X/3)

7.已知函數(shù)/(x)=lnx+c￡,那么“4>0”是“/(x)在(0,+?)上為增函數(shù)”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.《萊茵德紙草書》(RhindPapyruC是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有這樣一道題目：把93個面包分給5個

人，使每個人所得面包個數(shù)成等比數(shù)列，且使較小的兩份之和等于中間一份的四分之三，則最大的一份是O個

A.12B.24

C.36D.48

9.設(shè)｛為｝是等比數(shù)列，貝卜對于任意的正整數(shù)〃，都有勺+2>41是"｛4｝是嚴格遞增數(shù)列”()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

10.若圓&d+)，2—6x—6),_加=0上有到(―1,0)的距離為1的點，則實數(shù)小的取值范圍為。

A.[—18,6]B.[—2,6]

C.[-2,18]D.[4J8]

11.已知直線/：〃比一》-3m+1=0恒過點尸，過點尸作直線與圓。：(工一1)2+(>-2)2=25相交于4,8兩點，

則|人用的最小值為()

A.475B.2

C.4D.2出

12.函數(shù)〃x)=『—x+i的導(dǎo)數(shù)記為尸⑴，則r⑴等于()

A.OB.1

C.2D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如果點M(x)，)在運動過程中，總滿足關(guān)系式+幼+&x+1)，+V=4,記滿足此條件的點M的軌跡

為C,直線戈=〃?與C交于O,E,已知A(-1,0),則..ADE周長的最大值為

14.已知直線y與雙曲線三—親■=交于兩點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

15.若球的大圓的面積為冗，則該球的表面積為.

16.已知空間向量Q=(-L2,-4),Z?=(X,-1,3),若O_L(4+〃)，則x=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(12分)已知耳，鳥分別是橢圓C：￡+￡=l(Q>b>0)的左、右焦點，點例是橢圓。上的一點，且

/月/尸2二^/4加工的面積為1?

(1)求橢圓C的短軸長；

(2)過原點的直線/與橢圓。交于AB兩點，點p是橢圓C上的一點，若LPAB為等邊三角形，求。的取值范圍.

18.(12分)如圖，在長方體A3CO-A石中，AB=BC=4,CG=6,若點尸為棱。。上一點，且OP=2,

。，R分別為棱上的點，且BQ=BR=2.

(1)求直線AQ與平面PBk所成角。的正弦值；

(2)求平面P8因與平面B。。耳的夾角a的余弦值.

19.(12分)已知橢圓。:三+￡=l(a>〃>0)的離心率為當，點4(0,1)在橢圓。上，直線/:)，=履+/(左工0)

與C交于M,N兩點

(1)求橢圓C的方程及焦點坐標；

(2)若線段MN的垂直平分線經(jīng)過點A,求女的取值范圍

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=xlnx-；ar2

(1)若/。)在(。,+8)上單調(diào)遞減，求實數(shù)。的取值范圍

<2)若外，毛是方程/(%)=()的兩個不相等的實數(shù)根，證明；x,ix2>-

a

21.（12分）如圖，△A8C中，NAC，=90，NA〃C'=30,6。=石，在二角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心。在邊“C

上，半圓與AC、AB分別相切于點C,M,與AC交于點N）,將△△8c繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體

（1）求該幾何體中間一個空心球表面積的大??；

（2）求圖中陰影部分繞直線8C旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

22.（10分）如圖，三棱錐P—ABC中，PALAB,PA±AC,AB1ACtAB=AC=2t%=4,點M是批

的中點，點。是AC的中點，點N在上，且PN=2NB.

（1）證明：BD平面CMN；

（2）求平面MNC與平面4BC所成角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程.

【詳解】/(x)=xlnx-2,

/./r(x)=lnx+l,/(I)=-2,

“'(1)=1，

??」(/)在(1,一2)處的切線為：y+2=x-l,即x—)，—3=0?

故選：C.

2、D

【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標準方程，然后根據(jù)標準方程寫出。，〃，c便可得到離心率.

【詳解】解：由題意得：

2

x2+4y2=4n?+y2=1

「?/=4,/?2=1

/.c2=cr-b2=3>e=—=—

a2

故選：D

3、A

［解析］根據(jù)題意得到“2+3/一3=o或1=0,即可求解.

【詳解】由方程(丁+39-3)77^=0,可得丁+3)，2-3=0或X—4=0,

即工+),2=1或％=4,所以方程表示的曲線為一個橢圓或一條直線.

3

故選：A.

4、D

【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.

【詳解】?.A(l,0,1),僅0,1,0),

=>4P=(0,1,0),\AP\=11

*-A5-位APMB16

4。在48上的投影為一四="^二~T，

IAB\\/33

則點尸到直線AB的距離為|AP『-APAB

<1^1>

故選：D

5、A

【解析】由給定條件寫出點A,尸坐標，設(shè)出點5的坐標，求出線段廣C的中點坐標，由三點共線列式計算即得.

【詳解】令雙曲線后的半焦距為c,點4。,0),/(。,0),設(shè)8(%,%)(為<0,%>0),由雙曲線對稱性得C(—x°,一)，o),

線段產(chǎn)C的中點。(三區(qū)，吟),因直線的平分線段尸C,即點。，A,〃共線,

%

于是有《8二頷。，即』一二---=丁』一，即c=3。，離心率e=￡=3.

cx

x()-aa-o廝-a2Q-C+X°a

112~

故選：A

6、C

【解析】把雙曲線方程化為標準形式，直接寫出焦點坐標.

【詳解】q—/=],焦點在y軸上，c="7T=石，故焦點坐標為((),石),((),一石卜

故選：c

7、A

【解析】對函數(shù)/(x)=lnx十of進行求導(dǎo)得廣(工)二血±1,進而得時，戶在)>0,/(X)在(0,十？)上

為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.

【詳解】解：因為“X)的定義域是(0,+?),

卬、?\1c2ax?\I

所以f(x)=—+2ax=------,

XX

當時,/^x)>0,/(x)在((),+?)上為增函數(shù).

所以a〉()=>/(x)在(0,+?)上為增函數(shù)，是充分條件；

反之，“X)在(0,+?)上為增函數(shù)na>0或a=(),不是必要條件.

故選：A.

【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.

8、D

3

q(1+加產(chǎn)工

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項為q>0,公比4>1,根據(jù)題意，由八_5\求解.

丁切=93

i-q

【詳解】設(shè)等比數(shù)列a｝的首項為4>0,公比4>1,

3

4+%73

由題意得：，

%+a2+%+/+%=93

3、

%（1+夕）="4

即《

“W）-93

i-q

q=3

q

所以%=々q4=48,

故選：D

9、C

【解析】根據(jù)嚴格遞增數(shù)列定義可判斷必要性，分類討論可判斷充分性.

【詳解】若｛q｝是嚴格遞增數(shù)列，顯然%.2>為，所以“對于任意的正整數(shù)〃，都有4+2〉?！故恰埃?｝是嚴格遞增數(shù)

列''必要條件；

2

?.an+2=a,,q>alt對任意的正整數(shù)〃都成立，所以｛aH｝中不可能同時含正項和負項，

2

:.an>0,^>1,即。“>0國>1,或％<0,夕2<i,即4〃<0,。<9<1,

當4>0應(yīng)>1時，有凡夕>〃”，即4川>%,｛q｝是嚴格遞增數(shù)列，

當q<0.0v4Vl時，有anq>anf即>a?,｛q｝是嚴格遞增數(shù)列，

所以“對于任意的正整數(shù)〃，都有勺+2>%”是“｛4｝是嚴格遞增數(shù)列”充分條件

故選：C

10>C

【解析】利用圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.

【詳解】將圓C的方程化為標準方程得(x-3)2+(y-3)2=〃?+18,

所以"2>—18.因為圓C上有到（一1,0）的距離為1的點,

所以圓C與圓C：（x+l『+y2=i有公共點，所以胸+18-1閆。吶冊+18+1

因為|CC[=J（3+l『+32=5,所以（，〃+18-”45?|，〃7+18+，,

解得一2。臼8,

故選：C

11、A

【解析】根據(jù)=彳將館區(qū)最小值問題轉(zhuǎn)化為d取得最大值問題，然后結(jié)合圖形可解.

【詳解】將〃吠—丁一3〃?+1=0,變形為），-1二"（工一3）,故直線/恒過點尸（3,1）,

圓心。（1,2）,半徑r二5,已知點尸在圓內(nèi)，

過點P作直線與圓（工一1）2+（尸2）2=25相交于4,8兩點，記圓心到直線的距離為d,則

\AB\=2^r2-d2=2^25-cl2,所以當d取得最大值時，|A卻有最小值，

結(jié)合圖形易知，當直線與線段0P垂直的時候，d取得最大值，即|明取得最小值，

此時|OP|二+（1-21=石,

所以|A8|二2yjr-\OP[=2xV25-5=475.

故選：A.

12、D

【解析】求導(dǎo)后代入％=1即可.

【詳解】r（x）=W-l,/./（l）=4-l=3.

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、8

【解析】根據(jù)橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結(jié)合橢圓定義可知當直線產(chǎn)加過右焦點時，三角形AOE周長最大.

【詳解】?.-J（x-l）2+y2+7（^+1）2+/=4,

M（x,y）到定點（LO）,（-1,。）的距離和等于常數(shù)4>2,

?'?M點軌跡。為橢圓，且。=2,c=l

故其方程為工+上=1,

43

則A（TO）為左焦點,

因為直線才=機與。交于O,E,則一2<〃?<2,不妨設(shè)O在入軸上方，E在工軸下方,

設(shè)橢圓右焦點為A。連接。EA\

因為。

所以ZM+EA+O/T+E/T2ZM+EA+OE,即4“2ZM+E4+OE,

所以44?！甑闹荛L<4〃=8,當m=1時取得最大值8,

故答案為：8

14、（—石,+co）

12）

【解析】分析可知由《=/1+耳可求得結(jié)果.

a2Va~

221

【詳解】雙曲線￡一￡=1（。>06>0）的漸近線方程為），=±5X,

出師音用后〃、]c『la2+b2[~~瓦逐

由題意可知一>二,；.e=—=A—=.------=/1+—>——?

a2a\a2Va24\a22

故答案為：（更，+8.

15、4兀

【解析】設(shè)球的半徑為〃，則球的大圓的半徑為/，根據(jù)圓的面積公式列方程求出〃，再由球的表面積公式即可求解.

【詳解】設(shè)球的半徑為R,則球的大圓的半徑為R,

所以球的大圓的面積為兀W=兀，可得R=],

所以該球的表面積為4兀店=4兀x『=4兀.

故答案為：4兀.

16、7

【解析】根據(jù)題意，結(jié)合空間向量的坐標運算，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，易知。+〃=（/-1,1,一1）,因為〃_L（〃+h）,所以〃?（〃+人）=0,

即（X_1）X（_1）+1X2+（_1）X（T）=0,解得x=7

故答案為：7

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）2（2）聲詞

【解析】（D根據(jù)題意表示出的面積，即可求得結(jié)果；

（2）分類討論直線斜率情況，然后根據(jù)是等邊三角形，得到聯(lián)立直線和橢圓方程，用點的

坐標表示上述關(guān)系式，化簡即可得答案.

【小問1詳解】

因為/平華二],所以|岫『+眼圖2=4/,

又因為+\MF\=2a,所以瑪,可瑪=

24，；4「一=,

，.二今叫卜|"用=/=1,

所以〃=1,則橢圓C的短軸長為2.

【小問2詳解】

若△E4B為等邊三角形，應(yīng)有|OP|=*|A8|,即|O"=6

當直線43的斜率不存在時，直線的方程為工=0,且=

此時若/xPAB為等邊三角形，則點P應(yīng)為長軸頂點，且QH=G|OA|=G，即Q=G.

當直線A8的斜率為0時，直線A8的方程為y=0,且|Q4|=a>l,

此時若△PA3為等邊二角形，則點〃應(yīng)為短軸頂點,

此時\OF\=\<不為等邊三角形.

當直線的斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為〉二依，則直線OP的方程為〉=

K

x2+a2y2=a2,^,/(l+k2]a2

由《,得X；=------+=(1+K)x；=----------------------------

[y=^A1+/公??八〃\…i+/公

1+/卜

(1+攵2)/

同理|0P「=\

k2+a2

(1+攵2)/3(1+k2)/

因為|OH=J5|OA|,所以

k2+a2]+a2k2

解得FR2-3)=3a2—l.

因為所以3c/—1>0,則/一3>0，即心6?

、

18(1)TT

⑵等

【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角;

（2）用空間向量法求二面角

【小問1詳解】

以。為坐標原點，射線D4,OC,OA方向為X,y,Z軸正方向建立空間直角坐標系.

當￡)尸=2時,當0,0,2),&(4,4,6),砥2,4,0),

所以Pg=(4,4,4),PR=(2,4,—2),

設(shè)平面PB.R的法向量為〃=（x,y,z）,

小尸片=04x+4y+4z=0,

所以"，即＜

n-PR=02x+4y-2z=0,

不妨得，n=(-3,2,1),

又D](0,0,6),0(4,4,4),所以二(4,4,一2),

_|-6|_舊

貝1]sin。=

|/2||r>,e|-V14xV36-14

【小問2詳解】

在長方體片中,

因為Bq_L平面A8CO,所以平面8。。蜴_L平面A8CO,

因為平面BDDR與平面A3c。交于BD,

因為四邊形ABC。為正方形，所以AC_L80,

所以AC_L平面3。。蜴,即AC為平面3。。耳的一個法向量,

A(4,0,0),C(0,4,0),所以AC=(-4,4,0),

又平面尸8陽的法向量為〃=(-3,2,1),

所以cos”回埠二丁。|區(qū).

\n\\AC\714x47214

2

19、(1)?+),2=1,卜Go)

(2)(-x/2,0)u(0,V2)

【解析】(1)由題意，列出關(guān)于。，瓦c的方程組求解即可得答案;

⑵設(shè)M羯八N八川，線段MN的中點5…），則R+，作差可得夭+2y后。①，又

昌+）（=12

線段MN的垂直平分線過點4（0,1）,則%=-9+1②，聯(lián)立直線MN與橢圓的方程，可得△=?產(chǎn)+1+4公＞0（*）,

%="^=一「黑③，由①②③及（*）式聯(lián)立即可求解

【小問1詳解】

cG

e=—=——

a2

解：由題意可得，b=1,解得。=G,a=2,方=1,

a2=b2+c2

所以橢圓。的方程為?+），=],焦點坐標為（±6,0）

【小問2詳解】

解：設(shè)M（XI,Ji）,N（X2,J2）,線段MN的中點（Xo,jo）,

X.21

------1-X=1〉0

因為,,所以」——+),「-%-=o,即---+(y+%)------------=°，

%,I4/-4X.-x2

所以;%+2)，%=0①,

因為線段MN的垂直平分線過點4（0,1）,所以江口=-1,即）,=一包+1②,

/kk

y=kx+t

聯(lián)立，犬、,得（1+4爐）/+8%氏+4產(chǎn)-4=0,

2

所以△=(8Af)2-4(1+4/1)(4產(chǎn)-4)=?16?+16+64戶＞0,即-尸+1+4公＞0(*),x0~=-----------?(5),

21+4上~

Akt

把③代入②，得、，.跖4_一寸記4，(4),

‘。kk1+4公

把③④代人①得密律M$+小=。,

2

2kt8K1,L(]+4攵—

所以+2Z=0,即仁―匕竺，代入(水)得一-二上+1+4/:2>0,解得一及<k<\H，

1+4公1+4公33

又20,

所以k的取值范圍為卜①0卜(0,@

20、(1)a>\；

(2)詳見解析

【解析】(D首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，參變分離后，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求

得實數(shù)。的取值范圍;

(2)將方程/(x)=()的實數(shù)根代入方程，再變形得到lnx-lnx2=g“N—X2)<0,利用分析法，轉(zhuǎn)化為證明

2-1

通過換元，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)證明〃(/)=京不-1。，>0,，￡(0,1)恒成立.

2J1

【小問1詳解】

/(x)=xlnx-^ax2(x>0),

/(x)=lnx+l-O￥,/(戈)在(0,十功上單調(diào)遞減,

.?./'(x)=lnx+l-ovW0在(0,+向上恒成立，即orNlnx+1,

nrInX+l./X

即〃>------在(0M,4-^>),

設(shè)g(x)=W，(x>0),/(力匕嗎卻=_學

XXX

當0<尢<1時，g'(x)>o,函數(shù)單調(diào)遞增，當X>1時，g'(x)<o,函數(shù)單調(diào)遞減,

所以函數(shù)g(x)的最大值是g(l)=l,所以421；

【小問2詳解】

若與與是方程/。)=。兩個不相等的實數(shù)根,

即=()又2個不同實數(shù)根.與，且X>0,x2>0,

2.1

x{InXj--aVj=01呻=彳⑻

得《；,BP-乙

x,\nx---or，=oInx)=—ax^

--y2

所以Inx}-Inx2=—a(xi-x2)f

不妨設(shè)0<X<x2,則In%-Inx2=^a(x]-x2)<0,

要證明%+%>-?

x]+x21

只需證明go(玉—X2)<“l(fā)nx-ln%)，

i-1

即證明<〉ln$_lnx2,即證明T_x>^-t

2($+%)2Jl*

令”五，/?0,l),

令函數(shù)〃。）二行可一足乙

1

<0,

所以〃（尸4（3；7制下(+1)2

所以函數(shù)/?（/）在（0,1）上單調(diào)遞減,

當,=1時，/?(1)=0,所以力(/)>0,re(o,l),

工T

所以老&〉用,，即一^~7>ln—,

即得X+x>—

2（八1）2五+1%2

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，屬于難題，導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題，往往采

用分析法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式的關(guān)系，通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可證明.

21、⑴和,

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的軸截面圖