2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圓

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圓

選擇題（共10小題）

1.（2025?天心區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為a,點(diǎn)E是正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，滿足NAE8=90°,連

接CE.給出四個(gè)結(jié)論：①力E+CE2金a；②CEW與^a；③N2CE的度數(shù)最大值為60°；④當(dāng)CE

=a時(shí)，tan/AB￡=｝上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

2.（2025?秦都區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AB為。。的直徑，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，連接OC、

BD、CD,若/OCB=58°,則/。的度數(shù)為（）

3.（2025?長(zhǎng)沙模擬）如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。。，過(guò)點(diǎn)8作8E〃C。交于點(diǎn)E.若NAEB=75°,

則N48C的度數(shù)為（）

4.（2025?天心區(qū)校級(jí)一模）如圖，A8為。。的直徑，弦CZ）_LAB于點(diǎn)若AB=10,CD=8,則?！钡?/p>

長(zhǎng)為（）

C.4D.5

5.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在。。中，弦AB,相交于點(diǎn)P,ZA=35°,ZAPD=80°,那么

N2度數(shù)為（）

C.65°D.45°

6.（2025?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正五邊形ABCQE中，點(diǎn)。是對(duì)角線4c上一點(diǎn)，連接

OD,OE后將正五邊形分成了①、②、③、④、⑤這五個(gè)三角形，則下列能確定大小的是（）

A.①與②的面積和B.②與③的面積和

C.②與④的面積和D.④與⑤的面積和

7.（2025?長(zhǎng)安區(qū)一模）是△ABC的外接圓，在弧BC上找一點(diǎn)使點(diǎn)M平分弧BC.對(duì)圖中的三種

作法，下列說(shuō)法正確的是（）

做法一做法二做法三

A.三種作法均正確

B.只有作法一和作法二正確

C.只有作法二和作法三正確

D.只有作法二正確

8.（2025?四川模擬）如圖，A2是半徑為6的O。的直徑，2。是弦，C是弧2。的中點(diǎn)，AC與8。相交

于點(diǎn)E.若E為AC的中點(diǎn)，則2。的長(zhǎng)為（）

A.4V2B.6C.8V2D.4

9.（2025?武漢模擬）如圖所示，在平面中O尸和02分別與直線相切，。尸的直徑為4,OQ的直徑為

6,做直線人與OP相切于點(diǎn)A且平行于直線/,直線/2與。。相切于點(diǎn)8且平行于直線/,若線段A8

與直線的夾角恰為30。，則兩圓心尸。的距離是（）

A.9B.4V3C.V13D.10

10.（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）如圖，OA交于點(diǎn)B,AC切。。于點(diǎn)C,。點(diǎn)在。。上，若/。=26°,

則NA為（）

A.38°B.30°C.64°D.52°

填空題（共5小題）

11.（2025?浦口區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在團(tuán)ABC。中，過(guò)A,C,。三點(diǎn)的。。與AB相交于點(diǎn)E.若乙4=104°,

則/BCE=

12.（2025?肇州縣模擬）已知如圖，A8是。。的直徑，DB,OC分別切于點(diǎn)8,C,若NACE=26°,

13.（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）將圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開(kāi)后展平，所得扇形的面積為6m圓心角6為

120°,則圓錐的底面圓的半徑為.

14.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，△AOE內(nèi)接于。。，A8是。。的直徑，OC〃A。交0。于點(diǎn)C,若/

BOC=62°,則NE的度數(shù)為°.

15.（2025?蘇州模擬）如圖，A8是。。的直徑，AC是。。的切線，切點(diǎn)為A,8c交。。于點(diǎn)。，點(diǎn)E

是AC的中點(diǎn)，若。。半徑為1,BC=4,則圖中陰影部分的面積為.

16.（2025?新鄉(xiāng)模擬）圖1是清明上河園中供人們游玩的中國(guó)古代的馬車，彰顯了古代人們的智慧.圖2

是馬車的側(cè)面示意圖,AC為過(guò)圓心O的車架，且AC與。O交于點(diǎn)8,地面CD與車輪。。相切于點(diǎn)D,

連接AD,BD.

(1)求證：ZBDC^ZA.

(2)小李測(cè)出車輪的直徑為1米，CD為展米,求8c的長(zhǎng)度.

圖1圖2

17.(2025?碑林區(qū)校級(jí)二模)如圖，AC是。。的直徑，點(diǎn)B在。O上，BD平分/ABC交。。于點(diǎn)D,

OE是。。的切線，交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：DE//AC；

求BE的長(zhǎng).

18.(2025?合肥一模)如圖，為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作O。的切線CE交AB的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作2。，“交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，垂足為點(diǎn)?

(1)求證：C為AO的中點(diǎn);

(2)若AB=10,AC=2Vn,求BE的長(zhǎng).

19.(2025?烏魯木齊一模)如圖,QO是AABC的外接圓，AB為。。的直徑，在AABC外側(cè)作/CAO=

ZCAB,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)。，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

(1)求證：PC是。。的切線;

(2)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出/AC8所對(duì)弧的中點(diǎn)尸.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(3)在(2)基礎(chǔ)上連接CF,交AB于點(diǎn)E,連接8尸，若BF=5五,tan^PCB=求線段PB的長(zhǎng).

DC

AP

20.(2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬)如圖，AC為。。的直徑，NAOC的平分線交。0于點(diǎn)8以為。。的切線,

B4*CB=AB-AC,連接尸艮

(1)求NAC3的度數(shù)；

(2)求證：PB+BC=PC；

一DB

(3)若DB=2V2PX,求一的值.

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之圓

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號(hào)12345678910

答案CBCBDCACCA

選擇題（共10小題）

1.（2025?天心區(qū)校級(jí)一模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為m點(diǎn)E是正方形ABC。內(nèi)一點(diǎn)，滿足NAEB=90°,連

接CE.給出四個(gè)結(jié)論：①AE+CEN/a；②CEW與ia；③NBCE的度數(shù)最大值為60°；④當(dāng)CE

=a時(shí)，tan/ABE=*.上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

【考點(diǎn)】圓周角定理；解直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；

運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】①以為直徑作O。，連接AC,BD交于點(diǎn)、H,連接OE,OC,則點(diǎn)X,點(diǎn)E都在上，

由勾股定理得AC=&a,根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得AE+CENAC,則AE+CEN&a,據(jù)此即可對(duì)結(jié)

論①進(jìn)行判斷；

②由。2=。4=。￡=去得OC=孚，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得CE+OENOC,則CE2與上，

據(jù)此可對(duì)結(jié)論②進(jìn)行判斷；

③依題意得當(dāng)CE與。。相切時(shí)，BCE的度數(shù)為最大，連接OE,證明RtAOEC和RtAOBC得CE=BC

=a,NOCE=/OCB,進(jìn)而得tan/OCE=黑=5則NOCEW30°,繼而得/8CEW60°,據(jù)此可對(duì)

結(jié)論③進(jìn)行判斷;

④證明OC是線段8E的垂直平分線，由此可得出NA8E=/BCO,在Rt^BCO中根據(jù)正切函數(shù)的定義

得tan/8CO=器=±,則tan/tanNBCO=會(huì)據(jù)此可對(duì)結(jié)論④進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答

案.

【解答】解：①以A8為直徑作。。，連接AC,BO交于點(diǎn)H,連接OE,0C,如圖1所示：

?.?四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為a,

：.AB=BC^CD=AD=a,ZABC=90°,/AHB=9Q°,

二點(diǎn)X在。。上，

VZAEB=90°,

.?.點(diǎn)E也在OO上，

在RtZXABC中，由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V2a,

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：AE+CE^AC,

即AE+CE>V2a,

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)”重合時(shí)，等號(hào)成立，

故結(jié)論①正確；

②為。。，點(diǎn)E在。。上，

：.OB=OA=OE=^,

在RtZ\08C中，由勾股定理得：OC=7BC2+OB2=/+（多產(chǎn)=學(xué),

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得：CE+OE'OC,

：.CE20C-OE=孚-；與，，

當(dāng)點(diǎn)。，E,C在同一條直線上時(shí)，等號(hào)成立，

故結(jié)論②不正確；

③當(dāng)CE與。。相切時(shí)，8CE的度數(shù)為最大，連接OE,如圖2所示：

圖2

/.ZOEC=90°,OE=OB,

在RtAOEC和RtAOBC中，

(OE=OB

IOC=OC'

ARtAOEC^RtAOBC(HL),

：.CE=BC=a,ZOCE=ZOCB,

：.OE=1I2CE,

在RtZkOEC中，tan/OCE=^=g,

Vtan30°=J3/3,

：.ZOCE^30°,

：.ZBCE^60°,

.../BCE的度數(shù)最大值不是60°,

故結(jié)論③不正確；

④當(dāng)CE=a時(shí)，則CE=BC=a,如圖3所示:

點(diǎn)C在線段BE的垂直平分線上,

:點(diǎn)E在。。上，

'：OB=OE,

點(diǎn)O在線段BE的垂直平分線上,

/.OC是線段BE的垂直平分線，

ZABE^-ZBOC=90°,

又?.?N50C+N3co=90°,

：.NABE=/BCO,

i

在RtABCO中，OB=?BC,

???+tanz_nCC/=OB_=1a，

1

tanZABE=tanZBCO=

故結(jié)論④正確，

綜上所述：正確結(jié)論是①④.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練

掌握?qǐng)A周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.（2025?秦都區(qū)校級(jí)模擬）如圖，ZXABC內(nèi)接于OO,A8為0。的直徑，點(diǎn)。為。。上一點(diǎn)，連接0C、

BD、CD,若/OC8=58°,則/。的度數(shù)為（）

A.38°B.32°C.29°D.28°

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【答案】B

【分析】根據(jù)NOCB=58°,OB=OC,得到/20C,再根據(jù)同弧所對(duì)圓周角等于圓心角一半求解即可

得到答案.

【解答】解：：NOC8=58°,OB=OC,

/.ZJBOC=180°-2X58°=64°,

'：BC=BC,

：.ZD=^z.BOC=32°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理及等腰三角形內(nèi)角和運(yùn)用，掌握其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2025?長(zhǎng)沙模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,過(guò)點(diǎn)8作8E〃C。交于點(diǎn)E.若/AEB=75°,

則/ABC的度數(shù)為（）

A.95°B.100°C.105°D.110°

【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/ADC,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA8C.

【解答】解：'：BE//CD,NAEB=75°,

：.ZADC=ZAEB=15°,

:四邊形ABC。內(nèi)接于O。，

AZADC+ZABC=180°,

AZABC=180°-75°=105°,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

4.（2025?天心區(qū)校級(jí)一模）如圖，A2為O。的直徑，弦CDLA2于點(diǎn)凡若A3=10,C￡>=8,則的

長(zhǎng)為（）

A

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】垂徑定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理由得到CH=CD=4,再根據(jù)勾股定理計(jì)算出OH=3.

【解答】解：?..COLA8,

11

CH=DH=^CD=|x8=4,

:直徑A3=10,

：.0C=5,

在RtAOCH中，OH=VOC2-CH2=3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩

條弧是解題的關(guān)鍵.

5.（2025?金安區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，弦A3,相交于點(diǎn)P,NA=35°,ZAPD=80°,那么

NB度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.45°

【考點(diǎn)】圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)求出N3的度數(shù)即可.

【解答】解：：/A=35°,

.?.ND=NA=35°,

VZAP￡>=80°,

：.ZB=ZAPD-ZZ）=80°-35°=45°.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，熟練掌握并靈活運(yùn)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

6.（2025?長(zhǎng)安區(qū)一模）如圖，在邊長(zhǎng)為5的正五邊形中，點(diǎn)。是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接02,

OD,OE后將正五邊形分成了①、②、③、④、⑤這五個(gè)三角形，則下列能確定大小的是（)

A

A.①與②的面積和B.②與③的面積和

C.②與④的面積和D,④與⑤的面積和

【考點(diǎn)】正多邊形和圓；全等三角形的判定.

【專題】正多邊形與圓；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定得到AC〃即，再根據(jù)三角形面積

公式計(jì)算即可.

【解答】解：：五邊形A8C0E是正五邊形，

/AED=/EAB=/ABC=二底。,BA=BC,

；.NEAC=108°-36°=72°,

/.ZAEZ）+Z￡AC=108°+72°=180°,

：.AC//ED,

③的面積可以確定，

②與④的面積和可以確定，

而①與②的面積和、②與③的面積和、④與⑤的面積和都會(huì)隨著點(diǎn)。的位置的變化而變化，其大小不

能確定，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正五邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵.

7.（2025?長(zhǎng)安區(qū)一模）是△ABC的外接圓，在弧8C上找一點(diǎn)使點(diǎn)M平分弧BC.對(duì)圖中的三種

作法，下列說(shuō)法正確的是（）

B.只有作法一和作法二正確

C.只有作法二和作法三正確

D.只有作法二正確

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀.

【答案】A

【分析】根據(jù)垂徑定理，圓周角定理一一判斷即可.

【解答】解：甲、由作圖可知AM平分

：.ZBAM=ZCAM,

：.BM=CM,故作法一正確.

乙、由作圖可知0M平分N80C,

：0B=0C,

：.OM±CB,

經(jīng)過(guò)圓心O,

：.BM=CM,故作法二正確.

丙、由作圖可知垂直平分線段BC,0M經(jīng)過(guò)圓心0,

：.BM=CM,故作法三正確.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形的外接圓與外心，垂徑定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象

信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

8.（2025?四川模擬）如圖，A8是半徑為6的。。的直徑，BD是弦,C是弧3。的中點(diǎn)，AC與8。相交

于點(diǎn)E.若E為AC的中點(diǎn)，則8。的長(zhǎng)為（

D

A.4V2B.6C.8V2D.4

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】C

【分析】先根據(jù)圓周角定理得到NAZ)5=90°,根據(jù)垂徑定理得到DF=BF,則可證明OF

為△A3。的中位線，所以AO=20R接著證明△ADE之△CbE得到A0=CR所以CF=20R則可計(jì)

算出0b=2,然后利用勾股定理計(jì)算出3R從而得到BD的長(zhǎng).

【解答】解：TAB是半徑為6的。。的直徑，

ZADB=90°,

???。是弧5。的中點(diǎn),

???OCLBD,

:?DF=BF,

?：OA=OB,

：?0F為AABD的中位線，

：.AD=20F,

YE為AC的中點(diǎn)，

：.AE=CE,

在△AOE和△CbE中，

ND=/CFE

'DE=FE，

^AED=乙CEF

：.AADE^ACFE(ASA),

：.AD=CF,

：.CF=20F,

???OC=6,

BP0F+CF=6,

/.OF+2OF=6,

解得0F=2,

在RtAOBF中，BF=VOS2-OF2=V62-22=4魚(yú)，

:.BD=2BF=8位.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有

一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.也考查了垂徑定理和圓周角定理.

9.（2025?武漢模擬）如圖所示，在平面中OP和OQ分別與直線相切，O尸的直徑為4,OQ的直徑為

6,做直線/1與OP相切于點(diǎn)A且平行于直線/,直線/2與OQ相切于點(diǎn)8且平行于直線/,若線段

與直線的夾角恰為30°,則兩圓心尸。的距離是（）

A.9B.4V3C.V13D.10

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】連接AP并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)C,連接2。并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E,

過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)區(qū)連接尸。，則有APEE、ACDE是矩形，先根據(jù)正切的定義求出PF長(zhǎng)，然后

利用勾股定理求出PQ長(zhǎng)解題.

【解答】解：連接AP并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)C,連接8。并延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)A作于

點(diǎn)、E,過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)R連接P。，

根據(jù)題意可得/B4E=/AEO=/CTD=Nf'Z)C=NPC￡)=90°,AC=4,BD=6,

：.AC=DE=4,

：.BE=BD-DE=6-4=2,

???夾角恰為30°,

RFf—

："AE=tan^BAE=

：.PF=AE=2V3,

又；PC=DF=2,DQ=3,

：.PQ=y]PF2+QF2=J（2V3）2+I2=V13,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正確進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵.

10.（2025?西青區(qū)校級(jí)一模）如圖，。4交。。于點(diǎn)8,AC切。。于點(diǎn)C,。點(diǎn)在。。上，若/。=26°,

則NA為（）

A.38°B.30°C.64°D.52°

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】A

【分析】先由圓周角定理得到/AOC=52°,由切線的性質(zhì)得到NACO=90°,即可利用三角形內(nèi)角和

定理求出NA的度數(shù).

【解答】解：?.?/￡>=26°,

/.ZAOC=2ZD=52°,

：AC切。。于點(diǎn)C,

：.ZACO=9Q°,

：.ZA=180°-ZACO-ZAOC=38°,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，利用圓周角定理求出/AOC

=52°是解題的關(guān)鍵.

填空題（共5小題）

11.（2025?浦口區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在團(tuán)ABC。中，過(guò)A,C,。三點(diǎn)的與A8相交于點(diǎn)E.若NA=104°,

則28°.

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】28.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出/A=NBCD=104°,求出NECZ）=180°-ZA=76°,則可得出

答案.

【解答】解：???四邊形AC8。是平行四邊形，

AZA=ZBCD=104°,

,/四邊形AECD是圓內(nèi)接四邊形，

AZA+ZECD=180°,

.?.ZECD=180°-ZA=76°,

AZBCE=ZBCD-ZECD=104°-76°=28°,

故答案為：28.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；熟練掌握以上知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.（2025?肇州縣模擬）已知如圖，是O。的直徑，DB,。。分別切。。于點(diǎn)3,C,若NACE=26°,

ECD

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；幾何直觀；推理能力.

【答案】52°.

【分析】連接8C,由切線長(zhǎng)定理證明再求得N8CD=180°-90°-26°=64°,最

后由三角形的內(nèi)角和定理求得的度數(shù).

【解答】解：AB是O。的直徑，DB,OC分別切O。于點(diǎn)3,C,如圖，連接8C,

ECD

：.ZACB=90°,BD=DC,

:./DBC=/DCB,

VZACE=26°,

AZBCD=180°-90°-26°=64°,

：.ZDBC^ZDCB^64°,

.?.ZZ）=180°-2X64°=52°,

故答案為：52°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理.

13.（2025?越秀區(qū)校級(jí)一模）將圓錐的側(cè)面沿一條母線剪開(kāi)后展平，所得扇形的面積為6m圓心角6為

120°,則圓錐的底面圓的半徑為2.

【考點(diǎn)】圓錐的計(jì)算；扇形面積的計(jì)算.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力.

【答案】2

【分析】圓錐的母線長(zhǎng)為R,根據(jù)扇形面積公式列關(guān)于R的方程并求解；設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,

根據(jù)弧長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)公式列關(guān)于r的方程并求解即可.

120

【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為R,則病冗爐=6e，

解得R=6或R=-6（舍去）.

設(shè)圓錐的底面圓的半徑為廠，則2m

解得r=2,

...圓錐的底面圓的半徑為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的計(jì)算、扇形面積的計(jì)算，掌握扇形面積計(jì)算公式、弧長(zhǎng)和圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式是

解題的關(guān)鍵.

14.（2025?永壽縣校級(jí)一模）如圖，△&￡）￡內(nèi)接于。。，A8是。。的直徑，。?〃4。交0。于點(diǎn)（7,若/

BOC=62°,則NE的度數(shù)為28°.

【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】28.

【分析】連接8。，根據(jù)圓周角定理得到乙4。8=90。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到/5W=/8OC=62。，

根據(jù)圓周角定理得到結(jié)論.

【解答】解：連接3，

是的直徑，

ZADB=90°,

'.'OC//AD,

：.ZBAD=ZBOC^62°,

：.ZABZ）=180°-ZADB-ZZ）AB=28°,

：.ZE=ZABD=28°,

故答案為：28.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題

的關(guān)鍵.

15.（2025?蘇州模擬）如圖，是O。的直徑，AC是。。的切線，切點(diǎn)為A,交O。于點(diǎn)。，點(diǎn)、E

是AC的中點(diǎn)，若。。半徑為1,BC=4,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)g—

C

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】V3-|.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到/BAC=90°,求出AC,AE的長(zhǎng)，得出/4。。=120°，根據(jù)扇形的面

積公式計(jì)算即可.

【解答】解：是。。的直徑，AC是。。的切線，

AZBAC=90°,

半徑為1,

：.AB=2f

VZBAC=90°,BC=4,

AZC=30°,AC=VBC2-AB2=V42-22=2A/3,

???NB=60°,

AZAOD=2ZB=120°,

又二點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

：.AE=1AC=V3,

2

圖中陰影部分的面積=2SMOE-S扇形AOD=2X/X遍xl-博察-=WY，

乙。UVz

故答案為：V3—金

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半

徑，也考查了圓周角定理和扇形的面積公式.熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?新鄉(xiāng)模擬）圖1是清明上河園中供人們游玩的中國(guó)古代的馬車，彰顯了古代人們的智慧.圖2

是馬車的側(cè)面示意圖,AC為過(guò)圓心O的車架，且AC與0O交于點(diǎn)8,地面CD與車輪。。相切于點(diǎn)D,

連接A。，BD.

（1）求證：ZBDC=ZA.

(2)小李測(cè)出車輪的直徑為1米，CD為展米,求8c的長(zhǎng)度.

圖1圖2

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見(jiàn)解答過(guò)程;

(2)2米.

【分析】(1)如圖，連接0D,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NOOC=90°,即根據(jù)圓周

角定理得到NAD8=90°,即/A+/ORD=90°根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NOBD,求得/

BDC=/A；

(2)由(1)知根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖，連接。。，

：與。。相切于點(diǎn)。，

圖2

：.ZODC=9Q°,即/O￡)B+N8Z)C=90°,

,：AB為O。的直徑，

/.ZADB=90°,

即NA+NOM=90°,

?/OB=OD,

；./OBD=/ODB,

；.NBDC=NA；

(2)解：由(1)知

又：/C=NC,

：.ACBD^/\CDA,

：.CD2^CA'CB.

：O。的直徑AB=1,CA^CB+l,CZ)2=6,

(CB+1)?C8=6,

解得CB=2,CB=-3（舍去）.

答：BC的長(zhǎng)度為2米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是證明

求出AC的長(zhǎng)，從而求出A3、OA的長(zhǎng).

17.（2025?碑林區(qū)校級(jí)二模）如圖，AC是。。的直徑，點(diǎn)B在。O上，BD平分/ABC交。。于點(diǎn)D,

DE是。。的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：DE//AC-,

1,,

（2）右tcmA=之，CE=5,求BE的長(zhǎng).

DE

【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形；平行線的判定；圓周角定理.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；

（2）9.

【分析】（1）連接OD根據(jù)AC是O。的直徑，可得NABC=90°,由2。平分/ABC,可得Nl=45°

根據(jù)圓周角定理可得/OOC=2NCBD=90°,再由。E是O。的切線，可得NODE=90°,進(jìn)而可以

解決問(wèn)題；

⑵根據(jù)圓周角定理得到NA8C=90°,得到tanA=器=/,如圖，過(guò)點(diǎn)C作CHOE于F,設(shè)EF

=k,CF=2k,根據(jù)勾股定理得到CE=*%=5,求得CP=2有，求得AC=2OC=4有，根據(jù)三角函數(shù)

的定義得到結(jié)論.

【解答】（1）證明：如圖，連接。

：AC是。。的直徑,

ZABC=90°,

???5O平分NABC,

：.ZCBD=45°,

ZDOC=2ZCBD=90°,

??,DE是。。的切線，

：.ZODE=90°,

：.ZODE=ZDOC=90°,

：.DE//AC；

(2)解：??,AC是。。的直徑,

ZABC=90°,

.’ABC1

??tanA=麗=中

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CfU。后于凡

'：AC//DEf

/ABC=NE,

:./ECF=/BAC,

FF1

tanA=tanNECF=市=工,

:.設(shè)EF=k,CF=2k,

：.CE=?=5,

k—V5,

：.CF=2y/5,

■:/COD=/ODF=/CFD=90°,

四邊形OOFC是矩形，

,：OC^OD,

四邊形OOFC是正方形，

：.OC=CF=2瓜

：.AC=2OC=4>/5,

,BC1

?tanA=45=2,

.BCV5

??—,

AC5

：.BC=4,

：.BE=BC+CE=4+5=9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的性質(zhì).

18.(2025?合肥一模)如圖，為。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作。。的切線CE交4B的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)2作BOLCE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)垂足為點(diǎn)?

(1)求證：C為AD的中點(diǎn)；

(2)若A8=10,AC=2Vn,求BE的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)BE=瑞.

04AC

【分析】(1)連接BC,OC.根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLCE,由。C〃8。，得到二得到AC=

CD,即C為A。的中點(diǎn)；

(2)方法一：根據(jù)圓周角定理得到NACB=90°,根據(jù)勾股定理得到BC=7AB2—=

[1。2_(2&1)2=4,求得NBCE=NA,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BF=?s譏NBCE由⑴

知0C〃8。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=患；

解法2：根據(jù)圓周角定理得到NACB=/8C￡)=90°.根據(jù)勾股定理得至UBC=AMB?—AC?=

J102-(2V21)2=4,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接BC,OC.

是O。的切線，

J.OCLCE,

:BDLCE,

：.OC//BD,

.OAAC

，9OB~CD'

*：OA=OB,

：.AC=CD,

即。為A。的中點(diǎn)；

(2)解：方法一：TAB為。。的直徑，

ZACB=90°,

在Rt^ABC中，BC=VAB2-AC2=J102-(2VH)2=4,

ZA+ZOBC=ZOCB+ZBCE=90°,

OB=OC,

；?NOBC=NOCB,

：.ZBCE=NA,

:?sin/BCE=sinA=器=5，

：.BF=BC-sinZBCE=

由(1)知0C〃8D,

△BEFs/\OEC,

tBFBEBE

??OC-OE—OB+BE9

8

,gBE

??5-5+BE'

解得BE=患；

解法2：TAB為OO的直徑，

ZACB=ZBCD=90°.

在Rt^ABC中，BC=yJAB2-AC2=J102-(2VM)2=4,

IC為AD的中點(diǎn),

：.BD=AB=10,

'：BD±CE,

：.ZBFC=90°,

△BCDs^BFC,

.BCBD

??—,

BFBC

由（1）知OC//BD,

:.△BEFS^OEC,

.BFBEBE

"OC~0E~OB+BE'

8

.gBE

,?5-5+BE'

【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，勾股定理,

三角函數(shù)的定義，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.(2025?烏魯木齊一模)如圖，是△ABC的外接圓，A8為。。的直徑，在△ABC外側(cè)作/CAD=

ACAB,過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)。，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出/AC8所對(duì)弧的中點(diǎn)尸.(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)

(3)在(2)基礎(chǔ)上連接CF,交AB于點(diǎn)、E,連接8尸，若BF=5五,tan^PCB=求線段的長(zhǎng).

【專題】幾何綜合題；應(yīng)用意識(shí).

10

【答案】(1)(2)見(jiàn)解析；(3)y..

【分析】(1)直接證尸即可；

(2)過(guò)點(diǎn)0作OfUAB交0。于點(diǎn)F；

(3)90°的圓周角被平分出現(xiàn)45。，繼而推出等腰直角三角形，可求出半徑，然后通過(guò)相似三角形的

性質(zhì)列方程求解即可.

【解答】(1)證明：連接OC,

U：OA=OC,

：.ZOCA=ZCAB,

9：ZCAD=ZCAB,

：.ZCAD=ZOCAf

J.AD//OC,

VCD±A￡),

???OCLDP,

?/oc是圓半徑，

???PC是OO的切線;

(2)解：如圖，點(diǎn)方即為所求；

(3)解：VZACB=90°,。方平分NAC8,

：.ZBCF=45°,

：.ZBOF=90°,

VOF=OB,BF=5五,

BF

???在/中，OB=7T=5,

,/NACO+/OCB=/PCB+/OCB,

：./ACO=/PCB,

：.ZCAO=/PCB=/CAD,

1

VtanZPBC=^,

/11

tanNCAO=立,tanNCAD=),

?*22V52V5

??tan/CAO=——g-,cosz_CAD=-g—,

VAB=10,

：.AC=AB*cosZCAO=lOx等=4^5,AO=AC?cosNCAO=4愿x等=8,

9：AD//0C,

：.AOCP^AADPf

.O￡OP_

??J—,

ADAP

設(shè)5尸=羽則OP=5+x,AP=10+x,

55+x

解得X=號(hào),

810+x

10

：.BP=

T-

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于圓的綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵是找出特殊角求邊

長(zhǎng)，靈活使用勾股定理和相似三角形.

20.(2025?官渡區(qū)校級(jí)模擬)如圖，AC為。。的直徑，/ADC的平分線交。。于點(diǎn)3,融為。。的切線,

PA'CB^AB'AC,連接尸B.

(1)求/ACB的度數(shù)；

(2)求證：PB+BC=PC；

「DB

(3)若DB=2V2DA,求一的值.

【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)ZACB=45°；

(2)見(jiàn)解析；

2V2

(3)-----.

3

【分析】(1)根據(jù)直徑所對(duì)的角為直角可得N">C=90°,再利用角平分線的定義可得乙位圖=/2。。

=45°,然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求得答案；

(2)先證明結(jié)合可得△B4BsA4CB,進(jìn)而證明NPB4=/A8C=90°,

即可得出尸、2、C三點(diǎn)在同一直線上，即可證明結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)A作AE_L5O交5。于點(diǎn)在RtZkADE中，DE=AD-cosZADE=再證明

DCEB

ss,可得一=一，繼而求出。。=2ZM,由此即可解題.

DAEA

【解答】(1)解：:AC是。0的直徑，

ZADC=ZABC=90°,

1

???ZADB=NBDC=^/.ADC=45°,

'：AB=AB

：.ZACB=ZADB=45°,

(2)證明：???AC為。。的直徑，以為OO的切線，

AAPAC=ZR\B+ZBAC=90°,ZACB+ZBAC=90°,

：.APAB=AACB,

胃PAAB

VB4*CB=AB-AC,即：一=—,

ACCB

???ARABS△ACS,

：.ZPBA=ZABC=9Q°,

???尸、B、。三點(diǎn)在同一直線上，

：.PB+BC=PC；

(3)解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作垂足為E,

P

VZABD=45°,

在RtZXAOE中，DE=AD-cosZADE=AD-cos450=*AD,

:?DE=EA=：AD,

又?：DB=2五DA,

：.BE=BD-ED=242DA-^DA=竽D4

VAS=AB,

???/ABD=NACD,

又,.?NAM=NADC=90°,ZAEB=ZADC=90°,

△ABEs△AC。,

DCEB

DA~EA

DC乎DA

布二靠,即DC=3DA,

2

DB2y[2DA2V2

DC3DA3

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓的綜合題，主要考查的是切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，掌

握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.平行線的判定

(1)定理1:兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：同位角相等，

兩直線平行.

(2)定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：內(nèi)錯(cuò)角相等，

兩直線平行.

(3)定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.簡(jiǎn)單說(shuō)成：同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，兩直線平行.

(4)定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

(5)定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時(shí)垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

2.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

3.全等三角形的判定

(I)判定定理I：SSS--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(3)判定定理3：A&4--兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(4)判定定理4：A4S--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

4.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為C,那么/+廿=02.

(2)勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+廬=C2的變形有：a—Vc—b,b—7c2—必及c—7a2+爐.

(4)由于/+廬=C2>/，所以c>a,同理c>"即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角

邊.

6.平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

(2)平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等.

②角：平行四邊形的對(duì)角相等.

③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

(3)平行線間的距離處處相等.

(4)平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.

②同底(等底)同高(等高)的平行四邊形面積相等.

7.正方形的性質(zhì)

(1)正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.