2025中考數(shù)學(xué)熱點題型專練：函數(shù)（一次二次反比例）、方程與不等式的實際應(yīng)用（含答案解析）

專題02函數(shù)（一次二次反比例）、方程與不等式的實際應(yīng)用

目錄

熱點題型歸納.........................................................................................1

題型01—元一次方程的實際應(yīng)用.......................................................................1

題型02二元一次方程組的實際應(yīng)用.....................................................................4

題型03一元二次方程的實際應(yīng)用.......................................................................6

題型04一次函數(shù)的實際應(yīng)用...........................................................................8

題型05反比例函數(shù)的實際應(yīng)用........................................................................13

題型06二次函數(shù)的實際應(yīng)用..........................................................................16

中考練場............................................................................................21

題型01一元一次方程的實際應(yīng)用

01題型綜述______________________________________

一元一次方程的實際應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分的重要內(nèi)容，它是將數(shù)學(xué)知識與實際生活緊密相連的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在初中

數(shù)學(xué)整體分值占比中，約為5%-10%o

考查重點：考查如何從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，準確找出等量關(guān)系并列出一元一次方程求解。

高頻題型：常見高頻題型包括行程問題、工程問題、銷售問題、調(diào)配問題以及方案選擇問題等。

高頻考點：主要考點集中在根據(jù)不同實際情境構(gòu)建方程，求解方程以及對解的合理性進行檢驗與解釋。

能力要求：要求學(xué)生具備較強的閱讀理解能力、分析問題能力、數(shù)學(xué)建模能力以及計算求解能力。

易錯點：易錯點在于審題不清導(dǎo)致等量關(guān)系找錯，解方程過程中運算錯誤，以及對解的實際意義判斷失誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

L列方程解實際應(yīng)用題的步驟:

①審題一一仔細審題，找出題目中的等量關(guān)系。②設(shè)未知數(shù)一一根據(jù)問題與等量關(guān)系直接或間接設(shè)未知數(shù)。

③列方程：根據(jù)等量關(guān)系與未知數(shù)列出一元一次方程。④解方程一一按照解方程的步驟解一元一次方程。

④答一一檢驗方程的解是否滿足實際情況，然后作答。

2.常見的基本等量關(guān)系：

①行程問題基本等量關(guān)系：

路程=時間*速度；時間=路程+速度；速度=路程小時間。

順行：順行速度=自身速度+風(fēng)速（水速）；逆行速度=自身速度一風(fēng)速（水速）

②工程問題：工作總量=工作時間X工作效率。

③配談問題：實際生產(chǎn)比=配套比。

④商品銷售問題：利潤=售價一成本；售價=標價義0.1折扣；利潤率=利潤+進價X100%

⑤圖形的周長，面積，體積問題。

3.常見的建立方程的方法：

①基本等量關(guān)系建立方程。②同一個量的兩種不同表達式相等。

【典例分析】

例L（2023?浙江?中考真題）古代中國的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三斤十二兩.今

有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古代中國1斤等于16兩）.今有干

絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為斤.

例2.（2022?浙江紹興?中考真題）元朝朱世杰的《算學(xué)啟蒙》一書記載：“良馬日行二百四十里，鷲馬日行一百五十里，

弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之.”其題意為：“良馬每天行240里，劣馬每天行150里，劣馬先行12天，良馬

要幾天追上劣馬？”答：良馬追上劣馬需要的天數(shù)是.

例3.（2024?浙江?中考真題）小明和小麗在跑步機上慢跑鍛煉.小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑步時中間

休息了兩次.跑步機上C檔比8檔快40米/分、8檔比A檔快40米/分.小明與小麗的跑步相關(guān)信息如表所示，跑步累

計里程s（米）與小明跑步時間/（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

時間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00?16:50不分段A檔4000米

小麗16:10~16:50第一段2檔1800米

第一次休息

第二段B檔1200米

第二次休息

第三段C檔1600米

八a（米）-----小明-----小麗

⑴求A,B,C各檔速度（單位：米/分）；

（2）求小麗兩次休息時間的總和（單位：分）；

（3）小麗第二次休息后，在a分鐘時兩人跑步累計里程相等，求。的值.

【變式演練】

1.（2024?浙江杭州?一模）《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有剩余，將

剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設(shè)有x戶人家，則下列方程正確的是（）

A.x+3=100B.x+-=100C.x+3x=100D.x+-x=100

33

2.（2024?浙江嘉興?三模）已知物體自由下落的距離可以表示為v底表示物體下落的末速度，/表示物體下

落的時間，聲音傳播的速度為340米/秒.若將一塊石頭從井口自由落下，7秒后聽到它落水的聲音，測得限=60米/

秒，設(shè)石頭下落的時間為x,則可列得方程（）

A.30^=340x7B.30x=340（7-%）

C.30（7-^）=340xD.30（7+x）=340x7

3.（2024?浙江溫州?二模）一組同學(xué)一起去種樹，如果每人種4棵，還剩下3棵樹苗；如果每人種5棵，那么缺少5

棵樹苗.則需種植的樹苗數(shù)為棵.

4.（2024?浙江嘉興?二模）將飛鏢投向如圖所示的靶盤.計分規(guī)則如下：每次投中A區(qū)得5分，投中2區(qū)得3分，脫

靶扣2分.小曹玩了兩局，每局投10次飛鏢，在第一局中，小曹投中A區(qū)2次，B區(qū)4次，脫靶4次.

⑴求小曹第一局的得分，

(2)第二局，小曹投中A區(qū)上次，8區(qū)5次，其余全部脫靶.若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求上的值.

5.(2024?浙江?三模)如圖，將若干條完全相同的塑料板凳疊放成一摞.如圖1,測得一條板凳的高度為45cm；如圖

2,測得五條板凳的總高度為63cm.

圖1圖2

(1)求六條板凳疊放成一摞的總高度.

(2)運送時，板凳總高度限制為不超過90cm,則運送時最多可以將幾條板凳疊放成一摞?

題型02二元一次方程組的實際應(yīng)用

01題型綜述________________________________________

二元一次方程組的實際應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)代數(shù)板塊中解決復(fù)雜實際問題的有力工具，它承接一元一次方程，進一步拓展

學(xué)生運用方程思想處理多變量問題的能力。在初中數(shù)學(xué)試卷中，這部分內(nèi)容的分值占比通常在5%-10%。

考查重點：核心考查學(xué)生依據(jù)實際情境，精準分析出兩個獨立的等量關(guān)系，進而構(gòu)建二元一次方程組并求解。

高頻題型：行程問題中的相遇與追及、工程合作與分工問題、商品買賣中的價格與利潤問題，以及資源分配與方案

設(shè)計等問題較為常見。

高頻考點：主要圍繞根據(jù)不同場景正確列出方程組、熟練運用代入消元法或加減消元法準確求解，同時對解是否符

合實際情況進行驗證與說明。

能力要求：需要學(xué)生擁有出色的閱讀理解能力，能從冗長文字中提煉關(guān)鍵信息；具備較強邏輯思維，梳理出變量間

關(guān)系；掌握消元技巧，實現(xiàn)準確計算。

易錯點：容易因?qū)︻}目條件理解偏差，錯誤設(shè)定等量關(guān)系；在消元求解過程中，因計算粗心產(chǎn)生錯誤；還可能忽略

解在實際問題中的合理性，未對結(jié)果進行有效檢驗。

02解題攻略

【提分秘籍】

列方程解實際應(yīng)用題的步驟：

①審題一一仔細審題，找出題目中的等量關(guān)系。

②設(shè)未知數(shù)一一根據(jù)問題與等量關(guān)系直接或間接設(shè)未知數(shù)。

③列方程：根據(jù)等量關(guān)系與未知數(shù)列出二元一次方程。

④解方程一一按照解方程的步驟解二元一次方程。

⑤答一一檢驗方程的解是否滿足實際情況，然后作答。

高頻題型包括行程問題、工程問題、利潤問題、比例問題和混合問題，這些題型通常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，要求學(xué)生

靈活運用方程組知識解決實際問題。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如行程問題中的“路程=速度x時間”，利潤問題中的“利潤=售價-成本”等

【典例分析】

例1.（2023?浙江紹興?中考真題）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛.問

大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個，小容器1個，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容是單位）；大容器1個，小容

器5個，總?cè)荼?斛.問大容器、小容器的容量各是多少斛？設(shè)大容器的容量為x斛，小容器的容量為y斛，則可列

方程組是（）

5y=3[5x+y=315x=y+3[5x=y+2

?[5x+y=2°[x+5y=2*[x=5y+2*[%=5y+3

例2.（2023?浙江寧波?中考真題）茶葉作為浙江省農(nóng)業(yè)十大主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)之一，是助力鄉(xiāng)村振興的民生產(chǎn)業(yè).某村有土地

60公頃，計劃將其中10%的土地種植蔬菜，其余的土地開辟為茶園和種植糧食，已知茶園的面積比種糧食面積的2倍

少3公頃，問茶園和種糧食的面積各多少公頃？設(shè)茶園的面積為x公頃，種糧食的面積為y公頃，可列方程組為（）

（x+y=60卜+y=54（x+y=60卜+y=54

[y=2x-3?[x=2y-3,[x=2y-3,[y=2x-3

例3.（2023?浙江嘉興?中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《張丘建算經(jīng)》中有這樣一題：一只公雞值5錢，一只母雞值3

錢，3只小雞值1錢，現(xiàn)花100錢買了100只雞.若公雞有8只，設(shè)母雞有x只，小雞有y只，可列方程組為.

【變式演練】

1.（2024?浙江溫州.三模）某社區(qū)積極響應(yīng)“創(chuàng)文”活動，購買了甲、乙兩種樹木，其中甲種樹木每棵100元，乙種樹

木每棵80元，乙種樹木比甲種樹木少8棵，共用去資金8000元.設(shè)甲種樹木購買了x棵，乙種樹木購買了y棵，根據(jù)

題意，可列方程組（）

j元+8=yJx-y=8

A，1100x+80j=8000B-[100x+80y=8000

卜+8=y,-y=8

'[80x+100y=8000'[80x+100y=8000

2.（2024.浙江杭州?模擬預(yù)測）我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內(nèi)容如下“九百九十九文錢，甜果苦

果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設(shè)買甜果x個，買苦果y個，則

下列關(guān)于x,y的二元一次方程組中符合題意的是（）

Jx+y=1000（x+7=1000

A，[99x+28y=999B-[28x+99y=999

x+y=1000x+y=1000

C.1114

97

一%+—>=999—%+—y=999

97114

3.（2024?浙江寧波.模擬預(yù)測）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四

首二足，上有七十六首，下有四十六足.問獸、禽各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸

與鳥共有76個頭和46只腳，問獸、鳥各多少？設(shè)獸有x個，鳥有y只，列出的方程為（）

x+j=766x+4y=76

4%+2y=464x+2y=46

x+y=766x+4y=76

2x+4y=462x+4y=46

題型03一元二次方程的實際應(yīng)用

01題型綜述________________________________________

一元二次方程的實際應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中，用于解決涉及數(shù)量變化規(guī)律及幾何圖形面積等復(fù)雜問題的重要內(nèi)容,

在初中數(shù)學(xué)考試里，分值占比大致為8%-12%o

考查重點：重點考查從實際問題中挖掘出能構(gòu)建一元二次方程的數(shù)量關(guān)系，并通過求解方程來解決問題。

高頻題型：常見的有增長率問題、幾何圖形面積問題、商品定價與利潤問題以及傳播問題等。

高頻考點：考點聚焦于根據(jù)實際情境準確列出一元二次方程，運用合適方法求解方程，以及依據(jù)實際意義對所得方

程的解進行篩選和解釋。

能力要求：學(xué)生需具備良好的文字理解能力，能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，有較強的邏輯思維梳理數(shù)量關(guān)系，掌

握一元二次方程的求解方法并準確運算。

易錯點：易錯之處在于對實際情境分析不透，導(dǎo)致方程列錯；解方程過程中因方法不當或計算失誤出錯；同時，易

忽略實際問題對解的限制，未舍去不符合實際的根。

02解題攻略

【提分秘籍】

仔細審題，明確已知條件和未知量，找到等量關(guān)系，特別注意判別式的意義

熟記常見題型的解題套路，如面積問題中的“面積=長乂寬”，利潤問題中的“利潤=售價-成本”等。

列方程時確保系數(shù)a、b、c計算準確，求根時注意判別式的值，分析判別式時注意根的性質(zhì)。

【典例分析】

例1.（2023?浙江衢州?中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感.設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染

了x人，則可得到方程（）

A.x+（l+x）=36B.2（l+x）=36C.l+_x+x（l+_x）=36D.1+尤+x?=36

例2.（2023?浙江湖州?中考真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費人群的不斷增多，該品牌

新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了31.2萬輛.如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源

汽車銷售量的平均年增長率為x,那么可列出方程是（）

A.20（1+2x）=312B.20（1+2x）-20=31.2

C.2O（1+X）2=31.2D.20（l+x）2—20=31.2

例3.（2023.浙江金華?中考真題）如圖是一塊矩形菜地ABCD,AB=a（m）,AT>=6（m）,面積為S（11?）.現(xiàn)將邊AB增

加1m.

圖1圖2

(1)如圖1,若。=5,邊AD減少1m,得到的矩形面積不變，則6的值是.

(2)如圖2,若邊AD增加2m,有且只有一個。的值，使得到的矩形面積為2s(n?),則s的值是

【變式演練】

1.(2024?浙江臺州?模擬預(yù)測)某廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本從兩年前的100元，下降到的。元，求年平均下降率.設(shè)年

平均下降率為x,通過解方程得到一個根為1.8,則下列說法符合題意的是為()

A.i=64,x=0.8B.ci=64,x=0.2C.a=36,%=0.6D.Q=36,%=0.8

2.(2024?浙江溫州?三模)某品牌店銷售一款進價為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷售200件.值

此父親節(jié)來臨之際，該店實行降價促銷.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這款男士短袖的售價每下降1元，其銷售數(shù)量就增加20件.當

每件男士短袖降價多少元時，該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元？設(shè)每件男士短袖降價x元，可列出方程為()

A.(80-x)(200-20x)=8000B.(80-x)(200+20x)=8000

C.(80-50-x)(200-20x)=8000D.(80-50-x)(200+20x)=8000

3.(2024.浙江嘉興.一模)《九章算術(shù)》是我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.《九章

算術(shù)》中記載：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何？”大意：有一形狀是矩形的門，它

的高比寬多6尺8寸，它的對角線長1丈，問它的高與寬各是多少？利用方程思想，設(shè)矩形門高為x尺，則依題意所

列方程為(1丈=1。尺，1尺=10寸)()

A.%2+(%+6.8)2=102B.%2+(%-6.8)2=102

C.%(%+6.8)2=102D.X(X-6.8)2=102

題型04一次函數(shù)的實際應(yīng)用

01題型綜述

一次函數(shù)的實際應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊中，用于描述現(xiàn)實世界中變量間呈線性變化關(guān)系的重要內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)考

試里，分值占比約為10%-15%o

考查重點：考查如何從實際問題里提煉出變量關(guān)系，建立恰當?shù)囊淮魏瘮?shù)模型并借助其性質(zhì)解決問題。

高頻題型：常見高頻題型有行程問題（速度與時間的函數(shù)關(guān)系等）、費用問題（如出租車計費、水電費計算等）、

方案優(yōu)化問題（通過比較不同函數(shù)方案確定最優(yōu)解）。

高頻考點：主要考點包括依據(jù)實際背景確定函數(shù)表達式，分析函數(shù)的增減性并利用其求最值，以及結(jié)合實際情境對

函數(shù)圖象進行解讀。

能力要求：要求學(xué)生擁有較強的抽象概括能力、數(shù)學(xué)建模能力，能熟練運用一次函數(shù)知識分析和處理實際情境中的

變量關(guān)系。

易錯點：易錯點在于對實際情境中變量的理解偏差，導(dǎo)致函數(shù)關(guān)系式建立錯誤，在利用函數(shù)性質(zhì)時忽略實際意義對

取值范圍的限制。

02解題攻略

【提分秘籍】

一、透徹理解題意二、構(gòu)建函數(shù)模型三、結(jié)合實際求解四、檢驗與作答

高頻題型包括行程問題、利潤問題、費用問題、圖像分析問題等，這些題型通常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，要求學(xué)生靈活

運用一次函數(shù)知識解決實際問題。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如行程問題中的“路程=速度x時間”，利潤問題中的“利潤=售價-成本”等。

【典例分析】

例1.（2023?浙江紹興?中考真題）一條筆直的路上依次有M,尸,N三地，其中M,N兩地相距1000米.甲、乙兩機器

人分別從兩地同時出發(fā)，去目的地勻速而行.圖中。分別表示甲、乙機器人離〃地的距離y（米）

與行走時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系圖象.

⑴求。4所在直線的表達式.

（2）出發(fā)后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？

（3）甲機器人到尸地后，再經(jīng)過1分鐘乙機器人也到尸地，求兩地間的距離.

例2.(2023?浙江寧波?中考真題)某校與部隊聯(lián)合開展紅色之旅研學(xué)活動，上午7：00,部隊官兵乘坐軍車從營地出

發(fā)，同時學(xué)校師生乘坐大巴從學(xué)校出發(fā)，沿公路(如圖1)到愛國主義教育基地進行研學(xué)，上午8：00,軍車在離營地

60km的地方追上大巴并繼續(xù)前行，到達倉庫后，部隊官兵下車領(lǐng)取研學(xué)物資，然后乘坐軍車按原速前行，最后和師生

同時到達基地，軍車和大巴離營地的路程s(km)與所用時間r(h)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

(1)求大巴離營地的路程s與所用時間t的函數(shù)表達式及a的值,

(2)求部隊官兵在倉庫領(lǐng)取物資所用的時間.

例3.(2023?浙江金華?中考真題)兄妹倆放學(xué)后沿圖1中的馬路從學(xué)校出發(fā)，到書吧看書后回家，哥哥步行先出發(fā)，

途中速度保持不變；妹妹騎車，到書吧前的速度為200米/分.圖2中的圖象分別表示兩人離學(xué)校的路程$(米)與哥

哥離開學(xué)校的時間/(分)的函數(shù)關(guān)系.

(1)求哥哥步行的速度.

(2)已知妹妹比哥哥遲2分鐘到書吧.

①求圖中。的值；

②妹妹在書吧待了10分鐘后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上時兄妹倆離家還

有多遠；若不能，說明理由.

例4.（2023?浙江?中考真題）我市“共富工坊”問海借力，某公司產(chǎn)品銷售量得到大幅提升.為促進生產(chǎn)，公司提供了

兩種付給員工月報酬的方案，如圖所示，員工可以任選一種方案與公司簽訂合同.看圖解答下列問題：

（1）直接寫出員工生產(chǎn)多少件產(chǎn)品時，兩種方案付給的報酬一樣多；

（2）求方案二y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

（3）如果你是勞務(wù)服務(wù)部門的工作人員，你如何指導(dǎo)員工根據(jù)自己的生產(chǎn)能力選擇方案.

【變式演練】

1.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）某種溶液的體積V（L）與溫度之間的關(guān)系在一定范圍內(nèi)符合一次函數(shù)關(guān)系.現(xiàn)測

得一定量的這種溶液在0℃時的體積為5.2L,在40c時的體積為5.6L.

（D求該溶液體積V與溫度/的函數(shù)關(guān)系式，并求當f=30。。時，該溶液的體積.

⑵若用容積為5.4L的容器來盛這些溶液，為了不使溶液溢出，溫度應(yīng)控制在多少攝氏度內(nèi)？

2.（2024?浙江溫州?三模）“低碳生活，綠色出行”的理念正逐漸被人們所接受，越來越多的人選擇騎自行車上出行小

星某天騎自行車上班從家出發(fā)到圖書館的過程中行進速度v（米1/分）隨時間f（分鐘）變化的函數(shù)圖象大致如圖所示，

圖象由三條線段AB和3C組成.設(shè)線段OC上有一動點T&0）,直線/過點T且與橫軸垂直，梯形OLBC在直線

/左側(cè)部分的面積即為，分鐘內(nèi)小星行進的路程（米）.

卜（米/分鐘）

⑴①當仁2分鐘時，速度v=米/分鐘，路程s=米;

②當f=12分鐘時，速度"=米/分鐘，路程s=米；

(2)當0V/V3和3<fV12時，分別求出路程$(米)關(guān)于時間f(分鐘)的函數(shù)解析式.

3.(2024?浙江寧波.三模)學(xué)習(xí)了彈力及彈簧測力計的相關(guān)知識后，小明知道在彈性限度內(nèi)，彈簧的長度與它受到的

拉力成一次函數(shù)關(guān)系，他想進一步探究“某個彈簧伸長的長度y(cm)與它所受到的拉力^(N)(0<x<6)之間的關(guān)系”，

于是采用了如圖裝置進行探究.實驗中，他觀察到當拉力為2N時，彈簧長度為10cm,同時還收集到了如下數(shù)據(jù)：

彈簧受到的拉力x(N)0.511.526

彈簧伸長的長度y(cm)1.534.5618

I

uEJ

⑴在受到的拉力為ON時，彈簧的長度是多少？

(2)求彈簧伸長的長度y關(guān)于它所受到的拉力尤的函數(shù)表達式.

(3)當彈簧的長度為16cm時，求彈簧受到的拉力尤的值.

4.(2024?浙江溫州?二模)某生物學(xué)習(xí)小組正在研究同一盆栽內(nèi)兩種植物的共同生長情況，當他們嘗試施用某種藥物

時，發(fā)現(xiàn)會對A,B兩種植物分別產(chǎn)生促進生長和抑制生長的作用.通過實驗，48植物的生長高度力(cm),力(cm)

與藥物施用量x(mg)的關(guān)系數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：

x(mg)046810151821

A(cm)25211916141074

B(cm)1018222731404552

任務(wù)1：根據(jù)以上數(shù)據(jù)，在下面帶網(wǎng)格的平面直角坐標系中通過描點，連線，畫出A,8植物的生長高度力(cm),%(cm)

與藥物施用量x(mg)的函數(shù)圖象.

任務(wù)2：猜想A,B植物的生長高度力（cm）,力（cm）與藥物施用量x（mg）的函數(shù)關(guān)系，并分別求出函數(shù)關(guān)系式.

任務(wù)3：同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)，當兩種植物高度差距不超過5cm時，兩種植物的生長會處于一種良好的平衡狀態(tài)，請求出滿

足平衡狀態(tài)時，該藥物施用量x（mg）的取值范圍.

題型05反比例函數(shù)的實際應(yīng)用

01題型綜述

反比例函數(shù)的實際應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識體系中，用以刻畫現(xiàn)實世界中兩個變量乘積為定值這類特殊數(shù)量關(guān)系的重

要部分，在初中數(shù)學(xué)考試中，分值占比通常在5%-10%?

考查重點：考查從具體實際情境中洞察變量間的反比例關(guān)系，構(gòu)建反比例函數(shù)模型并運用其性質(zhì)解決問題。

高頻題型：常見的高頻題型包含工程進度問題（工作時間與工作效率的關(guān)系）、物理力學(xué)問題（如壓力與受力面積

的關(guān)系）、行程問題（路程一定時，速度與時間的關(guān)系）等。

高頻考點：主要考點為根據(jù)實際背景準確確定反比例函數(shù)表達式，利用反比例函數(shù)的單調(diào)性分析變量變化趨勢，以

及結(jié)合實際對函數(shù)圖象的特殊點和變化情況進行解讀。

能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的觀察分析能力，能從復(fù)雜情境中抽象出反比例函數(shù)模型，還需熟練掌握反比例函數(shù)

性質(zhì)并靈活運用。

易錯點：易錯點在于對實際問題中變量關(guān)系判斷失誤，導(dǎo)致函數(shù)模型建立錯誤，同時容易忽略實際問題中自變量的

取值范圍對函數(shù)的限制。

02解題攻略

【提分秘籍】

高頻題型包括面積問題、速度問題、工程問題、物理問題等，這些題型通常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，要求學(xué)生靈活運用

反比例函數(shù)知識解決實際問題。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如面積問題中的“面積=長＞＜寬"，速度問題中的“路程=速度X時間”，利潤問題

等。

【典例分析】

例1.（2023?浙江?中考真題）如果100N的壓力F作用于物體上，產(chǎn)生的壓強P要大于lOOOPa,則下列關(guān)于物體受力

面積S（nf）的說法正確的是（）

A.S小于O.lm?B.S大于O.ln?C.S小于lOn?D.S大于lOm?

例2.（2023?浙江溫州?中考真題）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽

缸壁所產(chǎn)生的壓強尸（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，尸關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示.若壓強由75kPa

mL.

例3.（2023?浙江臺州?中考真題）科學(xué)課上，同學(xué)用自制密度計測量液體的密度.密度計懸浮在不同的液體中時，浸

在液體中的高度場（單位：cm）是液體的密度夕（單位：g/cn?）的反比例函數(shù)，當密度計懸浮在密度為lg/cn?的水

中時，/?=20cm.

I

二

二

二

二-

〃

K二

-

_一

（1）求關(guān)于P的函數(shù)解析式.

（2）當密度計懸浮在另一種液體中時，〃=25cm,求該液體的密度".

例4.（2022?浙江臺州?中考真題）如圖，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當像距（小孔到像的距離）和物高（蠟燭火焰高

度）不變時，火焰的像高y（單位：cm）是物距（小孔到蠟燭的距離）X（單位：cm）的反比例函數(shù)，當X=6時，y=2.

（1）求〉關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）若火焰的像高為3cm,求小孔到蠟燭的距離.

【變式演練】

1.（2024?浙江溫州?二模）圖1是某電路圖，滑動變阻器為R,電源電壓為U,電功率為PP=—尸關(guān)于R的函

數(shù)圖象如圖2所示.小溫同學(xué)通過兩次調(diào)節(jié)電阻，發(fā)現(xiàn)當R從100增加到20。時，電功率尸減少了20w,則當R=15O

2.（2024?浙江寧波.模擬預(yù)測）科學(xué)課中，同學(xué)們用如圖電路做《探究電流與電壓、電阻的關(guān)系》的實驗，采用控制

變量法，發(fā)現(xiàn)當U（V）一定時，電流/（A）與電阻R（Q）成反比例函數(shù)關(guān)系.小甬所在小組控制電壓不變，測得當

電阻尺=2.5（。）時，電流/=2（A）.

（1）求/與滅的函數(shù)關(guān)系式.

（2）調(diào)節(jié)變阻器，測得電流為/=8（A）,求此時電阻的值.

3.（2024?浙江臺州?模擬預(yù)測）某導(dǎo)線的電阻R（k。）與溫度”單位：℃）（在一定范圍內(nèi)）滿足反比例關(guān)系，通電

后下表記錄了發(fā)熱材料溫度從上升到30℃的過程中電阻與溫度的數(shù)值：

r（℃）10152030

R（kQ）...6432...

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出R與r之間的函數(shù)解析式；

（2）當溫度超過50。（2,或低于2。（2時，導(dǎo)線性能不佳，某一時刻測得電阻為L5kQ,請判斷此時導(dǎo)線性能是否正常.

4.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測）某種新藥在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第5分鐘起每分鐘每

毫升血液中含藥量增加0.1微克，第100分鐘達到最高，接著開始衰退，衰退時y與尤成反比例函數(shù)關(guān)系.血液中含藥

量M微克）與時間M分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，

⑴求血液中含藥量y（微克）與時間x（分鐘）的函數(shù)表達式；

⑵如果每毫升血液中含藥量不低于5微克時是有效的，一次服藥后的有效時間能超過130分鐘嗎？

題型06二次函數(shù)的實際應(yīng)用

01題型綜述

二次函數(shù)的實際應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)函數(shù)板塊中，用于解決涉及最值、拋物線形狀等現(xiàn)實問題的核心內(nèi)容，在初中數(shù)學(xué)考

試中，分值占比約為10%-15%o

考查重點：考查如何將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值以及分析變量間的關(guān)系。

高頻題型：常見高頻題型有銷售利潤問題（求最大利潤）、幾何圖形面積問題（求圖形面積最大值或最小值）、物

體運動軌跡問題（如拋物線形的投籃、拋球等運動）。

高頻考點：主要考點為確定二次函數(shù)表達式，運用頂點坐標求最值，分析函數(shù)圖象在實際情境中的意義，如與x軸

交點表示的實際情況等。

能力要求：要求學(xué)生具備較強的建模能力，能將實際問題數(shù)學(xué)化，同時要熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的運用，具

備分析數(shù)據(jù)和推理的能力。

易錯點：易錯點在于建模過程中對實際情境理解不透徹導(dǎo)致函數(shù)表達式錯誤，求最值時忽略自變量的實際取值范圍，

以及對函數(shù)圖象與實際問題結(jié)合的解讀偏差。

02解題攻略

【提分秘籍】

高頻題型包括最值問題（如利潤最大、成本最小）、拋物線運動問題（如拋體運動）、面積優(yōu)化問題（如矩形面積最

大）、利潤最大化問題等。

秘籍：熟記常見題型的解題套路，如最值問題通常需要找到頂點坐標，拋物線運動問題需要分析拋物線的開口方向和

頂點位置。

【典例分析】

例1.（2023?浙江湖州?中考真題）某水產(chǎn)經(jīng)銷商以每千克30元的價格購進一批某品種淡水魚，由銷售經(jīng)驗可知，這種

淡水魚的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）（30Wx<60）存在一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：

銷售價格X（元/千克）5040

日銷售量y（千克）100200

⑴試求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式.

（2）設(shè)該經(jīng)銷商銷售這種淡水魚的日銷售利潤為W元，如果不考慮其他因素，求當銷售價格尤為多少時，日銷售利潤W

最大？最大的日銷售利潤是多少元？

例2.（2023?浙江溫州?中考真題）一次足球訓(xùn)練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線.當

球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m.已知球門高為2.44m,現(xiàn)以。為原點建立如圖所示

直角坐標系.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）.

（2）對本次訓(xùn)練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應(yīng)該帶球向正后方移動多少米射門，才

能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？

例3.(2023?浙江衢州?中考真題)某龍舟隊進行500米直道訓(xùn)練，全程分為啟航，途中和沖刺三個階段.圖1,圖2

分別表示啟航階段和途中階段龍舟劃行總路程s(m)與時間f(s)的近似函數(shù)圖象.啟航階段的函數(shù)表達式為

S=方2化/0),途中階段勻速劃行，函數(shù)圖象為線段;在沖刺階段，龍舟先加速后勻速劃行，加速期龍舟劃行總路程s(m)

與時間外)的函數(shù)表達式為s=7oy+*0).

圖1圖2

(1)求出啟航階段s(m)關(guān)于f(s)的函數(shù)表達式(寫出自變量的取值范圍)，

(2)已知途中階段龍舟速度為5m/s.

①當r=90s時，求出此時龍舟劃行的總路程，

②在距離終點125米處設(shè)置計時點，龍舟到達時，tV8520s視為達標，請說明該龍舟隊能否達標；

(3)沖刺階段，加速期龍舟用時1s將速度從5m/s提高到5.25m/s,之后保持勻速劃行至終點.求該龍舟隊完成訓(xùn)練所需時

間(精確到0.01s).

例4.(2023?浙江臺州?中考真題)【問題背景】

“刻漏”是我國古代的一種利用水流計時的工具.綜合實踐小組準備用甲、乙兩個透明的豎直放置的容器和一根帶節(jié)流

閥(控制水的流速大小)的軟管制作簡易計時裝置.

【實驗操作】

綜合實踐小組設(shè)計了如下的實驗：先在甲容器里加滿水，此時水面高度為30cm,開始放水后每隔lOmin觀察一次甲容

器中的水面高度，獲得的數(shù)據(jù)如下表：

流水時間〃min010203040

水面高度/z/cm(觀察值)302928.12725.8

任務(wù)1分別計算表中每隔lOmin水面高度觀察值的變化量.

【建立模型】

小組討論發(fā)現(xiàn)：“/=0,/?=30”是初始狀態(tài)下的準確數(shù)據(jù)，水面高度值的變化不均勻，但可以用一次函數(shù)近似地刻畫

水面高度/i與流水時間f的關(guān)系.

任務(wù)2利用r=0時，/z=30；f=10時，6=29這兩組數(shù)據(jù)求水面高度人與流水時間r的函數(shù)解析式.

【反思優(yōu)化】

經(jīng)檢驗，發(fā)現(xiàn)有兩組表中觀察值不滿足任務(wù)2中求出的函數(shù)解析式，存在偏差.小組決定優(yōu)化函數(shù)解析式，減少偏差.通

過查閱資料后知道：/為表中數(shù)據(jù)時，根據(jù)解析式求出所對應(yīng)的函數(shù)值，計算這些函數(shù)值與對應(yīng)〃的觀察值之差的平方

和，記為w；w越小，偏差越小.

任務(wù)3（1）計算任務(wù)2得到的函數(shù)解析式的卬值.

（2）請確定經(jīng)過（0,30）的一次函數(shù)解析式，使得w的值最小.

【設(shè)計刻度】

得到優(yōu)化的函數(shù)解析式后，綜合實踐小組決定在甲容器外壁設(shè)計刻度，通過刻度直接讀取時間.

任務(wù)4請你簡要寫出時間刻度的設(shè)計方案.

【變式演練】

1.（2024?浙江寧波?二模）蛟蛟水果店現(xiàn)出售一批高級水果，以每千克45元的價格購入，再以每千克57元的價格出售，

統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)9月份的銷售量為500千克.

⑴由于水果暢銷，預(yù)計11月份的銷售量將達到605千克.求9月份到11月份的銷售量月平均增長率；

（2）經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，以9月份為標準，保持進價不變的基礎(chǔ)之上，若每千克售價上漲1元，月銷量將減少20千克，同

時運輸?shù)南拿吭掳凑珍N售量每千克支出2元.

①設(shè)上漲x元（x為正整數(shù)），當月總利潤為V,試求〉與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

②現(xiàn)要保證每月的總利潤達到6080元，同時又要盡可能的給予顧客優(yōu)惠，則每千克應(yīng)漲價多少元.

2.（2024?浙江寧波.模擬預(yù)測）如圖，將球從點。的正上方3m的點A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運

行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)n-Jf+fer+c.

(1)若當小球運動的水平距離為1m時，小球達到最大高度，求小球達到的最大高度.

(2)若小球的正前方4m(OC=4m)處有一個截面為長方形的球筐CD/，其中CD為2m,DE為1m,若要使小球落人筐中，

求6的取值范圍.

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測)某個農(nóng)場有一個花卉大棚，是利用部分墻體建造的.其橫截面頂部為拋物線型，大棚的一

端固定在墻體上，另一端固定在墻體BC上，其橫截面有2根支架DE,R7,相關(guān)數(shù)據(jù)如圖1所示，其中支架=

OF=DF=BD,這個大棚用了400根支架.

圖1圖2

為增加棚內(nèi)空間，農(nóng)場決定將圖1中棚頂向上調(diào)整，支架總數(shù)不變，對應(yīng)支架的長度變化，如圖2所示，調(diào)整后C與

E上升相同的高度，增加的支架單價為60元/米(接口忽略不計)，需要增加的經(jīng)費不超過32000元.

(D分別以O(shè)B和。4所在的直線為x軸和y軸建立平面直角坐標系.

①求出改造前的函數(shù)解析式.

②當CG=1米，求GG'的長度.

(2)只考慮經(jīng)費情況下，求出CC'的最大值.

4.(2024?浙江臺州?模擬預(yù)測)如圖1為彈球游戲示意圖，彈力球從桌子左邊沿正上方某一高度向右發(fā)射后與桌面接

觸，連續(xù)彈起降落，以。為原點，為x軸，為y軸建立平面直角坐標系如圖2,設(shè)小球高度為Am,水平方向

的距離為xcm.小球運動軌跡由多個拋物線組成，其中第一段拋物線的解析式為丫=-3/+匕，后續(xù)拋物線均可由第

80

Q

一段拋物線平移得到.已知桌長為80cm,小球每次撞擊桌面后彈跳的最大高度為前一次最大高度的三.(忽略小

球體積)

B,

圖1圖2

⑴若第一次落點剛好在桌子正中間，求第一段拋物線的解析式；

（2）在（1）的情況下，判斷小球是否會再次接觸桌面，并說明理由；

（3）若小球只接觸桌面一次，求發(fā)射高度的取值范圍.

5.（2024?浙江?模擬預(yù)測）籃球是一項廣受喜愛的運動.學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，小江同學(xué)打籃球時發(fā)現(xiàn)，籃球投出時在

空中的運動可近似看作一條拋物線，于是建立模型，展開如下研究：

如圖，籃框距離地面3m,某同學(xué)身高2m,站在距離籃球架L=4m處，從靠近頭部的。點將球正對籃框投出，球經(jīng)過

最高點時恰好進入籃框，球全程在同一水平面內(nèi)運動，軌跡可看作一條拋物線C.不計籃框和球的大小、籃板厚度等.

（1）求拋物線C的表達式；

（2）研究發(fā)現(xiàn)，當球擊在籃框上方0.2m及以內(nèi)范圍的籃板上時，球會打板進框.若該同學(xué)正對籃框，改用跳投的方式,

出手點。位置升高了0.5m,要能保證進球，求L的取值范圍.（計算結(jié)果保留小數(shù)點后一位）

03中考練場

一、單選題

1.（2024?浙江.模擬預(yù)測）學(xué)校要制作一塊廣告牌，請來兩名工人，已知甲單獨完成需4天，乙單獨完成需6天，若

先由乙做1天，再兩人合作，完成任務(wù)后共得到報酬900元，若按各人的工作量計算報酬，則分配方案為（）

A,甲360元，乙540元B,甲450元，乙450元

C.甲300元，乙600元D.甲540元，乙360元

2.（2024?浙江金華?二模）一工坊用鐵皮制作糖果盒，每張鐵皮可制作盒身20個，或制作盒底30個，一個盒身與兩

個盒底配成一套糖果盒.現(xiàn)有35張鐵皮，設(shè)用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成糖果盒，則下列方程組中

符合題意的是（）

%+y=35x+y=35

y=2x2x20x=30y

x+y=35

x+y=35

D.2x_

20元=2x30yy

_20-30

二、解答題

3.(2024?浙江湖州?一模)己知某可變電阻兩端的電壓為定值，使用該可變電阻時，電流/(A)與電阻R(C)是反比例

函數(shù)關(guān)系，函數(shù)圖象如圖所示.

⑴求/關(guān)于我的函數(shù)表達式；

(2)若要求電流/不超過4A,則該可變電阻R應(yīng)控制在什么范圍？

4.(2024?浙江.模擬預(yù)測)己知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/(單位：A)與電阻R(單位：Q)是

反比例函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系如表：

R/Q45678

//Aabcmn

(1)若。=c+3,

①求c的值；

②求電流/(A)關(guān)于電阻R(Q)的函數(shù)關(guān)系式.

(2)通過計算，比較。與的大小.

5.(2024?浙江溫州.二模)為了解新建道路的通行能力，查閱資料獲知：在某種情況下，車流速度V(單位：千米/時)

是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示.

(1)當28VxV188時，求丫關(guān)于尤的函數(shù)表達式.

（2）車流量是單位時間內(nèi)通過觀測點的車輛數(shù)，計算公式為：車流量2=車流速度Vx車流密度x.若車流速度V不超過

80千米/時，求當車流密度x為多少時，車流量尸（單位：輛/時）達到最大，并求出這一最大值.

6.（2024?浙江金華?三模）隨著“體育進公園”提檔改造的不斷推進,金華沿江綠道成為這座城市的一個超大型“體育場”.在

筆直的綠道上，平平和安安分別從相距。千米的甲、乙兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，已知平平的速度大于安安的速

度，兩人相遇后，一起聊天停留6分鐘后，各自按原速度原方向繼續(xù)前行，分別到達乙地、甲地后原地休息.兩人之

間的距離s（千米）與時間f（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

圖1圖2

⑴根據(jù)圖象信息，a=,b=.

（2）求平平和安安的