高考熱點：函數(shù)大題

1/12函數(shù)大題【高考真題重溫】1.【新課標全國理，21】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)如果當，且時，，求的取值范圍．2.【新課標全國文，21】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(Ⅰ)求，的值；(Ⅱ)證明：當，且時，．3.【新課標全國理，21】設函數(shù).（1）若，求的單調區(qū)間；（2）若當時，求的取值范圍.4.【新課標全國文，21】設函數(shù).（Ⅰ）若，求的單調區(qū)間；（Ⅱ）若當≥0時≥0，求的取值范圍.時＜0，即＜0.綜合得的取值范圍為.5.【新課標全國理】（本小題滿分12分）已知函數(shù)滿足滿足；（1）求的解析式及單調區(qū)間；（2）若，求的最大值。6.【新課標全國文】設函數(shù)f(x)=ex－ax－2(Ⅰ)求f(x)的單調區(qū)間(Ⅱ)若a=1，k為整數(shù)，且當x>0時，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值【命題意圖猜想】1.近三年的高考試題基本上形成了一個模式，第一問求解函數(shù)的解析式，以切線方程、極值點或者最值、單調區(qū)間等為背景得到方程進而確定解析式，或者給出解析式探索函數(shù)的最值、極值、單調區(qū)間等問題，較為簡單；第二問均為和不等式相聯(lián)系，考查不等式恒成立問題、證明不等式等綜合問題，難度較大.預測函數(shù)大題，以對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)以及一次函數(shù)、二次函數(shù)中的兩個或者三個為背景，組合成一個函數(shù)，然后考查函數(shù)的性質，與不等式相結合時一個永恒的話題.2.從近幾年的高考試題來看，利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調性和極值問題已成為炙手可熱的考點，既有小題，也有解答題，小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，解答題主要考查導數(shù)與函數(shù)單調性，或方程、不等式的綜合應用．預測高考仍將以利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值為主要考向．【最新考綱解讀】1．導數(shù)概念及其幾何意義(1)了解導數(shù)概念的實際背景．(2)理解導數(shù)的幾何意義．2．導數(shù)的運算(1)能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，(理)y＝eq\r(x)的導數(shù)．(2)能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，(理)能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b))的導數(shù)．(3)會使用導數(shù)公式表．3．導數(shù)在研究函數(shù)中的應用(1)結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間．(2)結合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性．4．生活中的優(yōu)化問題舉例．例如，通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用．【回歸課本整合】導數(shù)的定義：設函數(shù)在處附近有定義，當自變量在處有增量時，則函數(shù)相應地有增量，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù)在處的導數(shù)，記作，即.注意：在定義式中，設，則，當趨近于時，趨近于，因此，導數(shù)的定義式可寫成.導數(shù)的幾何意義：導數(shù)是函數(shù)在點的處瞬時變化率，它反映的函數(shù)在點處變化的快慢程度.它的幾何意義是曲線上點（）處的切線的斜率.因此，如果在點可導，則曲線在點（）處的切線方程為注意：“過點的曲線的切線方程”與“在點處的切線方程”是不相同的，后者必為切點，前者未必是切點.導數(shù)的物理意義：函數(shù)在點處的導數(shù)就是物體的運動方程在點時刻的瞬時速度，即4．幾種常見函數(shù)的導數(shù)：(為常數(shù))；()；；；；；；.5.求導法則：法則：；法則：,；法則：.6.復合函數(shù)的導數(shù)：設函數(shù)在點處有導數(shù)，函數(shù)在點的對應點處有導數(shù)，則復合函數(shù)在點x處也有導數(shù)，且或7.導數(shù)與函數(shù)的單調性1）函數(shù)在某個區(qū)間內有導數(shù)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是增函數(shù),該區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間；若，那么函數(shù)在這個區(qū)間上是減函數(shù)，該區(qū)間是函數(shù)的減區(qū)間.2）利用導數(shù)研究多項式函數(shù)單調性的一般步驟:求;確定在內符號;若在上恒成立，則在上是增函數(shù)；若在上恒成立，則在上是減函數(shù)8.導數(shù)與函數(shù)的極（最）值1）極大值：一般地，設函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有的點，都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作極大值，是極大值點.2）極小值：一般地，設函數(shù)在附近有定義，如果對附近的所有的點，都有就說是函數(shù)的一個極小值，記作極小值，是極小值點.3）極值：極大值與極小值統(tǒng)稱為極值在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值請注意以下幾點：（）極值是一個局部概念由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小.（）函數(shù)的極值不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極xs大值或極小值可以不止一個.（）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，如下圖所示，是極大值點，是極小值點，而>.（）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內部，也可能在區(qū)間的端點.4.當在點連續(xù)時，判別是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側的導數(shù)異號，則是的極值點，是極值，并且如果在兩側滿足“左正右負”，則是的極大值點，是極大值；如果在兩側滿足“左負右正”，則是的極小值點，是極小值.5.求可導函數(shù)的極值的步驟:確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導數(shù)；求方程的根；用函數(shù)的導數(shù)為的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么在這個根處無極值.如果函數(shù)在某些點處連續(xù)但不可導，也需要考慮這些點是否是極值點.9.函數(shù)的最大值和最小值:一般地，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值．注意：在開區(qū)間內連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內連續(xù)，但沒有最大值與最小值；函數(shù)的最值是比較整個定義域內的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近函數(shù)值得出的．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個.10.利用導數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點的函數(shù)值進行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設函數(shù)在上連續(xù)，在內可導，則求在上的最大值與最小值的步驟如下：求在內的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值p【方法技巧提煉】1.利用導數(shù)求切線問題中的“在”與“過”在解決曲線的切線問題時，利用導數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點處的切線若有則只有一條，曲線過某點的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點不一定只有一個.因此在審題時應首先判斷是“在”還是“過”.若“在”，利用該點出的導數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過”，解決問題關鍵是設切點，利用“待定切點法”,即：設點A（x,y）是曲線y=f(x)上的一點，則以A為切點的切線方程為y－y=f,再根據(jù)題意求出切點.2.利用導數(shù)處理恒成立問題不等式在某區(qū)間的恒成立問題，可以轉化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題來解決，函數(shù)的最值問題的求解，利用求導分析函數(shù)單調性是常規(guī)途徑，例如：①為增函數(shù)（為減函數(shù)）.②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立.3.利用導數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題在高考題的大題中，每年都要設計一道函數(shù)大題.在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式)，研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎初等函數(shù)的知識已經無能為力，就需要根據(jù)導數(shù)的方法進行解決．使用導數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構造函數(shù)，通過導數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)．因為導數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結合的題目時，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結合點，不清楚解決技巧.解題技巧總結如下（1）樹立服務意識：所謂“服務意識”是指利用給定函數(shù)的某些性質（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調性、最值等，服務于第二問要證明的不等式.（2）強化變形技巧：所謂“強化變形技巧”是指對于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后，再去證明.例如采用兩邊取對數(shù)（指數(shù)），移項通分等等.要注意變形的方向：因為要利用函數(shù)的性質，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關系式.（3）巧妙構造函數(shù)：所謂“巧妙構造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結構特征，構造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進行解決.在構造函數(shù)的時候靈活多樣，注意積累經驗，體現(xiàn)一個“巧妙”.【考場經驗分享】1．利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性需注意的幾個問題(1)確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內，通過討論導數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調區(qū)間．(2)在對函數(shù)劃分單調區(qū)間時，除了必須確定使導數(shù)等于0的點外，還要注意定義區(qū)間內的不連續(xù)點或不可導點．(3)注意在某一區(qū)間內f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件．2．可導函數(shù)的極值(1)極值是一個局部性概念，一個函數(shù)在其定義域內可以有許多個極大值和極小值，在某一點的極小值也可能大于另一點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系．(2)若f(x)在(a，b)內有極值，那么f(x)在(a，b)內絕不是單調函數(shù)，即在某區(qū)間上單調增或減的函數(shù)沒有極值．3.如果一個函數(shù)單調性相同的區(qū)間不止一個，這些區(qū)間之間不能用“∪”連接，只能用逗號或“和”字隔開，如把增區(qū)間寫為“(－∞，－eq\f(2,3))∪(1，＋∞)”是不正確的，因為“(－∞，－eq\f(2,3))∪(1，＋∞)”不是一個區(qū)間，該函數(shù)