天一大聯(lián)考·天一小高考2024-2025學(xué)年（下）高三第四次考試數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟用前天一小高考2024—2025學(xué)年(下)高三第四次考試考生注意:1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上,并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)Z滿足Z(1—2i)=3+i,則Z=2.已知集合A={0,1},B={0,a+1,a—1},若A≤B,則a=2+y22x2y+1=0與圓x2+y2+4x+6y+9=0的位置關(guān)系是A.相切B.外離C.內(nèi)含D.相交4.已知兩個(gè)不相等的向量a=(2,m+1),b=(2—4m,1),若aⅡ(2a—b),則m=A.B.0C.D.5.已知函數(shù)f(x)=ax3—2x23x+1在R上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為C.A.8B.1C.D.7.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為\2,2\2,該四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,且球心O是下底面的中心,則該四棱臺(tái)的體積為8.已知雙曲線E:=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)M在E上,滿足MF1丄MF2,直線MF1與y軸交于點(diǎn)N,且MN=3MFA.2B.\3+1C.3D.2\3二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.在正方體ABCDA1B1C1D1中,下列結(jié)論正確的是A.BC1丄平面A1B1C1D1B.BC1Ⅱ平面ACD1C.平面A1C1B丄平面B1D1CD.平面A1C1B丄平面B1CD10.已知函數(shù)f(x)=|ln(x—1)|—kx+k—2,則下列結(jié)論正確的是A.存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)沒(méi)有零點(diǎn)B.若f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則—e<k≤0C.若f(x)恰有1個(gè)零點(diǎn),則k=—eD.當(dāng)0<k<e—3時(shí),f(x)恰有3個(gè)零點(diǎn)11.蔓葉線是公元前2世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家狄?jiàn)W克勒(Diocle)為了解決倍立方問(wèn)題發(fā)現(xiàn)的曲線,因形似植物藤蔓而得名.按照如下方式可得到一條蔓葉線:在拋物線C:y2=—8x上取一動(dòng)點(diǎn),作C在該動(dòng)點(diǎn)處的切線,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作這條切線的垂線,垂足的軌跡就是如圖所示的蔓葉線E.下列結(jié)論正確的是A.點(diǎn)(1,1)在E上B.直線x=2是E的漸近線C.點(diǎn)(2,0)到E上的點(diǎn)的距離最小值為8\3—12D.若過(guò)點(diǎn)O的直線l與E和拋物線y2=x分別交于點(diǎn)A,B(異于點(diǎn)O),則12.用1,2,3,…,9這9個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.13.已知f(x)=3sinx+cos(x+φ)(0<φ<π)是奇函數(shù),則f(x)的最大值為.14.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,角B的平分線與AC交于點(diǎn)D,若AD=BD,則的取值范圍是c數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)(共4頁(yè))數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)(共4頁(yè))數(shù)學(xué)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程已知等比數(shù)列{an}滿足a2=a1+2,且a2是a1+1,a3-3的等差中項(xiàng).(I)求{an}的通項(xiàng)公式;a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,已知函數(shù)f(x)=2\3sinxco(I)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(Ⅱ)令函數(shù)g(x)=f-若A,B,C(A,B,C≠kπ+,k∈Z)成公差為的等差數(shù)列,證明:g(A)g(B)+g(B)g(C)+g(C)g(A)為定值.某商場(chǎng)舉辦購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng),在一個(gè)不透明的袋子中放入24個(gè)大小、材質(zhì)都相同的小球,小球有紅和藍(lán)兩種顏色,每個(gè)小球上都畫(huà)有符號(hào)“O”或“×”,不同顏色和符號(hào)的小球個(gè)數(shù)如紅球藍(lán)球畫(huà)O626(I)求P(A)和P(A|B).(Ⅱ)該商場(chǎng)規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中,每人有放回地摸兩次球,每次只摸出一個(gè)球,根據(jù)兩次摸出球的顏色和符號(hào)是否相同設(shè)置三種獎(jiǎng)項(xiàng),等級(jí)從高到低依次為:顏色和符號(hào)均相同為一等獎(jiǎng);僅顏色相同或僅符號(hào)相同為二等獎(jiǎng);顏色和符號(hào)均不相同為三等獎(jiǎng).(i)以“結(jié)果發(fā)生的可能性越小,獎(jiǎng)項(xiàng)等級(jí)越高”為標(biāo)準(zhǔn),請(qǐng)你判斷該獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置是否合理;(i)若按(i)中的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)上述三種結(jié)果重新設(shè)置獎(jiǎng)項(xiàng),并且一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)4a元,二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)2a元,三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)勵(lì)a元,要使一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金期望值不超過(guò)340元,則a的最大值為多少?已知函數(shù)f(x)=x3+(2-a)x2-ax+1.(I)若a=3,求f(x)在[-4,4]上的最值.(Ⅱ)若a>1且b>-1,關(guān)于x的方程f(x)+xex+b+(a-3)x2=0在(0,+∞)上僅有一個(gè)實(shí)根x0.(i)證明:a=ex0+x0;(i)求4a-b的最大值.如圖,在四面體ABCD中,點(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的射影H恰在棱CD上,M為HC的中點(diǎn),AB=2,匕BAH=,△ABD和△ABM的面積均為1.(I)若MH=DH,且匕ABD與匕ABM均為銳角,證明:CD丄平面ABH;(Ⅱ)若將A,B,H三點(diǎn)在空間中的位置固定,試分析D點(diǎn)的軌跡是什么曲線;(Ⅲ)求CD的最小值.天一小高考2024—2025學(xué)年(下)高三第四次考試數(shù)學(xué).答案一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.1.答案A命題透析本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.解析2.答案C命題透析本題考查集合之間的關(guān)系.解析若a+1=1,則a=0,此時(shí)B={0,1,-1},符合題意;若a-1=1,則a=2,此時(shí)B={0,3,1},符合題意,3.答案B命題透析本題考查圓與圓的位置關(guān)系.+y2-2x-2y+1=0即(x-1)2+(y-1)2=1,圓心為(1,1),半徑為1;圓x2+y2+4x+6y+9=0即(x+2)2+(y+3)2=4,圓心為(-2,-3),半徑為2,圓心距為因?yàn)?>1+2,所以兩個(gè)圓外離.4.答案C命題透析本題考查平面向量的線性運(yùn)算. 解析因?yàn)閍Ⅱ(2a-b),所以aⅡb,所以2×1-(m+1)(2-4m)=0,解得m=0或-2.當(dāng)m=0時(shí),a= (2,1),不符合題意;當(dāng)時(shí)符合題意.5.答案D命題透析本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.解析因?yàn)閒(x)在R上為減函數(shù),所以fI(x)=3ax2-4x-3≤0在R上恒成立,所以3a<0且Δ=16+36a≤0,解得6.答案D命題透析本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系.解析令n=1,得(-1)×(-8)+2×(-8)=-1+m,解得m=-7,所以anan+1+2an+1=an-7,所以an≠-2,7.答案B命題透析本題考查多面體與球的關(guān)系.解析設(shè)正四棱臺(tái)為ABCD-A1B1C1D1,如圖所示為正四棱臺(tái)過(guò)上、下底面相應(yīng)對(duì)角線的截面,由題可知AC=2,A1C1=4,且點(diǎn)。為A1C1的中點(diǎn),設(shè)正四棱臺(tái)的高為h,則球。的半徑R=\1+h2=2,得h=\3,所以正四棱臺(tái)的體積8.答案B命題透析本題考查雙曲線與直線的位置關(guān)系.解析設(shè)E的半焦距為c(c>0),如圖,設(shè)|MN|=X,則|MF1|=3X,|NF1|=2X,由雙曲線的定義,得|MF2|=3X-2a,易證△。NF1一△MF2F1,所以即解得則在Rt△F1MF2中,由勾股定理,得|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(\3c)2+(\3c-2a)2=(2c)2,化簡(jiǎn)得c2-2\3ac+二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.每小題全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的9.答案BD命題透析本題考查空間位置關(guān)系的判斷.解析對(duì)于B,BC1ⅡAD1→BC1Ⅱ平面ACD1,故B正確;對(duì)于→BC1丄平面B1CD→平面A1C1B丄平面B1CD,故D正確.易知選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤.10.答案AD命題透析本題考查利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)零點(diǎn).解析由題意知f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=|ln(x-1)|和y=k(x-1)+2的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y=|ln(x-1)|和y=k(x-1)+2的大致圖象.先考慮相切的情形:當(dāng)y=k(x-1)+2與y=-ln(x-1)的圖象相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為Q(x0,-ln解得x0=e-1+1,故切線斜率k=-e.當(dāng)y=k(x-1)+2與y=ln(x-1)的圖象相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為P(x1,ln(x1-1)),則,解得x1=e3+1,故切線斜率k=e-3.對(duì)于A,當(dāng)k<-e時(shí),兩圖象沒(méi)有公共點(diǎn),故A正確;對(duì)于B,當(dāng)-e<k≤0或k=e-3時(shí),兩圖象有2個(gè)公共點(diǎn),故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)k=-e或k>e-3時(shí),兩圖象僅有1個(gè)公共點(diǎn),故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)0<k<e-3時(shí),兩圖象有3個(gè)交點(diǎn),故D正確.11.答案ABD命題透析本題考查曲線與方程,曲線與直線的位置關(guān)系.解析設(shè)P(x0,y0)為E上與點(diǎn)。不重合的任意一點(diǎn),則由題意可知,直線與C:y2=-8x相切,二者聯(lián)立消去x,可得則整理得yEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)=,又點(diǎn)P為原點(diǎn)。時(shí),其坐標(biāo)也符合該方程,故蔓葉線E的方程為對(duì)于A,(1,1)符合該方程,故A正確.2-x,,,y2,,,對(duì)于B,因?yàn)閥2=x3≥0所以0≤x2-x,,,y2,,,→0,即2-x→0,從圖象上看,當(dāng)曲線向上或向下無(wú)限延伸時(shí),曲線上的點(diǎn)與直線x=2的距離趨向于0,即直線x=2是E的漸近線,故B正確.對(duì)于C,設(shè)圓(x-2)2+y2=r2與E有公共點(diǎn),則當(dāng)二者相切時(shí),r最小,r的最小值就是點(diǎn)(2,0)到E上的點(diǎn)的距離的最小值.聯(lián)立圓與E的方程,消去y,整理可得6x2+(r2-12)x+8-2r2=0,由Δ=0,得(r2-12)2-24(8-2r2)=0,解得r2=8\3-12,則r≠8\3-12,故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,設(shè)l與E的交點(diǎn)為A(x1,y1),與拋物線y2=x的交點(diǎn)為B(x2,y2),則kEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),OA)==,kEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),OB)==,xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(3),1)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),1)2,得x2=x2(x2+1)= xxxEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),1)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.命題透析本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.解析偶數(shù)的個(gè)數(shù)為CEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(1),4)AEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),8)=224.命題透析本題考查三角函數(shù)的奇偶性與最值.解析因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),y=3s,nx也是奇函數(shù),所以cos(x+φ)=f(x)-3s,nx是奇函數(shù),又因?yàn)?<φ<π, 所以φ=2,所以f(x)=3s,nx-s,nx=2s,nx,最大值為 命題透析本題考查正弦定理與三角恒等變換的綜合應(yīng)用.解析若AD=BD,則匕A=匕ABD,所以匕ABC=2匕A,即2A=B,又A+B=3A∈(0,π),所以A∈(0,.由正四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.命題透析本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與運(yùn)算.解析(I)設(shè){an}的公比為q,………………(2分)1+2,所以解得………………………(7分)2,23,24,25,26,27,,(Ⅱ)由(I2,23,24,25,26,27,,1………………(13分)16.命題透析本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換的應(yīng)用.解析(I)f(x)=\3s,n2x+cos2x=2s,n(2x+,……………………(2分)最小正周期T=π.……………(4分)令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+,k∈Z.…………………(7分)(Ⅱ)由題意可得g(x)=tanx,因?yàn)锳,B,C成公差為π所以A=B-,C=B+.…………………(8分)由此可得2B,故g(A)g(B)+g(B)g(C)+g(C)g(A)=9tan2B-3=-2B,17.命題透析本題考查概率的計(jì)算及隨機(jī)變量期望的應(yīng)用. 解析( P(A|B)=n(AB)=6(Ⅱ)(i)在一次摸球的結(jié)果中,………………(6分)所以兩次摸球的結(jié)果中,………………(7分)××2=,…………(8分)……(9分)P3<P1<P2,不符合“結(jié)果發(fā)生的可能性越小,獎(jiǎng)項(xiàng)等級(jí)越高”的標(biāo)準(zhǔn),故該獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置不合理.………(10分)(i)設(shè)一次抽獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為X元,由題意知X=4a,2a,a.按照題意,獎(jiǎng)金越高,概率越小,結(jié)合(i),可知X的分布列為XaP 2………………(12分)…………(14分)令a≤340,得a≤180,即a的最大值為180.……………(15分)18.命題透析本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì).解析(I)若a=3,則f(x)=x3-x2-3x+1,所以f/(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1),…………………(1分)令f/(x)<0,得-1<x<3,令f/(x)>0,得x<-1或x>3,故f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上單調(diào)遞增,在(-1,3)上單調(diào)遞減,…………………(3分)所以f(x)極小值=f(3)=-8,f(x)極大值=f(-1)=,……………………(4分)又因?yàn)閒(-4)=-<-8,f(4)=-<,……………(5分)所以f(x)在[-4,4]上的最小值為f(-4)=-,最大值為f(-1)=.……………(6分)(Ⅱ)(i)令g(x)=f(x)+xex+b+(a-3)x2=x3+(1-a)x2-ax+xex+b+1,則g/(x)=x2+(1-a)x-a+(x+1)ex=(x+1)(x-a)+(x+1)ex=(x+1)(ex+x-a),…………(8分)令h(x)=ex+x-a,顯然h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又h(0)=1-a<0,h(a)=ea>0,所以存在唯一的m∈(0,a),滿足h(m)=0,即a=em+m,………………(9分)且當(dāng)0<x<m時(shí),h(x)<0,即g/(x)<0,當(dāng)x>m時(shí),h(x)>0,即g/(x)>0,故g(x)在(0,m)上單調(diào)遞減,在(m,+∞)上單調(diào)遞增,g(m)是g(x)在(0,+∞)上的極小值,也是最小值,………………(10分)又因?yàn)間(0)=b+1>0,要使g(x)=0在(0,+∞)上僅有一個(gè)實(shí)根x0,必需x0=m,所以a=ex0+x0.………………(11分)(i)由(i)知g(x0)=xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(3),0)+(1-a)xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)-ax0+x0ex0+b+1=0,EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(3),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(3),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)EQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up4(2),0)x0-1.………………………(13分)0-xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(3),0)-xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),0)-xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up3(2),0)ex0+1,………………(15分)令Ul(x)>0,得0<x<2,令Ul(x)<0,得x>2,所以U(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減,所以U(x)max=U(2)=2e2+17………………………(17分)19.命題透析本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征.解析(I)因?yàn)辄c(diǎn)B在平面ACD內(nèi)的射影H在棱CD上,所以BH丄CD,