高階微分方程課件

高階微分方程

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、令因此即同理可得依次通過

n

次積分,可得含

n

個任意常數(shù)的通解.型的微分方程

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.解:

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.質(zhì)量為

m

的質(zhì)點受力F

的作用沿ox

軸作直線運動,在開始時刻隨著時間的增大,此力

F

均勻地減直到t=T時

F(T)=0.如果開始時質(zhì)點在原點,解:據(jù)題意有t=0

時設(shè)力F僅是時間t

的函數(shù):F=F(t).小,求質(zhì)點的運動規(guī)律.初初速度為0,且對方程兩邊積分,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束利用初始條件于是兩邊再積分得再利用故所求質(zhì)點運動規(guī)律為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束型的微分方程

設(shè)則原方程化為關(guān)于p的一階微分方程:設(shè)其通解為則得再一次積分,得原方程的通解二、機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:

方程特點是不顯含變元y.例3.求解解:代入方程得分離變量積分得利用于是有兩端再積分得利用因此所求特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.繩索僅受重力作用而下垂,解:取坐標系如圖.考察最低點A到(

:

密度,s:弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件,有故有設(shè)有一均勻,柔軟的繩索,兩端固定,問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線?任意點M(x,y)弧段的受力情況:

A

點受水平張力HM

點受切向張力T兩式相除得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則得定解問題:原方程化為兩端積分得則有兩端積分得故所求繩索的形狀為懸鏈線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、型的微分方程

令故方程化為設(shè)其通解為即得分離變量后積分,得原方程的通解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注:

方程特點是不顯含變元x,故可把y暫做這類方程的自變量.例5.求解代入方程得兩端積分得(一階線性齊次方程)故所求通解為解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.解初值問題解:

令代入方程得積分得利用初始條件,根據(jù)積分得故所求特解為得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與x

軸圍成的三角形面例7.二階可導(dǎo),且上任一點P(x,y)

作該曲線的切線及x軸的垂線,區(qū)間[0,x]上以解:于是在點P(x,y)處的切線傾角為

,滿足的方程.積記為(99考研)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束再利用y(0)=1得利用得兩邊對x

求導(dǎo),得定解條件為方程化為利用定解條件得得故所求曲線方程為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法——降階法逐次積分令令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.方程如何代換求解?答:

令或一般說,用前者方便些.均可.有時用后者方便.例如,2.解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題?答:(1)一般情況,邊解邊定常數(shù)計算更簡便.(2)遇到開平方時,要根據(jù)題意確定正負號.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束速度大小為2v,方向指向A,提示:設(shè)t時刻

B位于(x,y),如圖所示,則有去分母后兩邊對

x

求導(dǎo),得又由于設(shè)物體

A

從點(0,1)出發(fā),以大小為常數(shù)v練習(xí):的速度沿y軸正向運動,物體B

從(–1,0)出發(fā),試建立物體