高中數(shù)學(xué)經(jīng)典試題

1,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一對集合的理解及集合思想應(yīng)用的問題

高考要求；

集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基本概念的認(rèn)識和理解，以及作為工具，

考查集合語言和集合思想的運(yùn)用,本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不斷加深對集合概念、集合語言、集合

思想的理解與應(yīng)用.

重難點(diǎn)歸納：

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合

要緊緊抓住豎線前面的代表元素X以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直

觀地解決問題.

2,注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如力1氏則有走0

或4卉0兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論

典型題例示范講解

例1設(shè)/={(x,y)[/—x—1=0},5={(XJ)|4X2+2X—2尹5=0},C={(xj)片去+6},是否存在k、66N,使得(ZU2)n

C=0,證明此結(jié)論.

命題意圖：本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點(diǎn)，

進(jìn)而解決問題.

知識依托：解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(力U8)nc=0轉(zhuǎn)化為AnC=0且8CC=0,這樣難度就降低了.

錯解分析：此題難點(diǎn)在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無

從下手,

技巧與方法：由集合力與集合8中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對根的情況進(jìn)行限制，可得到反人的

范圍，又因從A6N,進(jìn)而可得值.

解；?.,(/U8)nc=0,，/nc=0且snc=0

VJ7=X+l：.^+(2bk~l)x+b2-1=0'：AQC=0

y=kx+b

/]=(2必一I)?—4%2s2-1)<04b%+l<0,此不等式有解，

其充要條件是16Z>2-16>0,

即Z>2>1①

...4x2+2一尸5=0；心2+(2—2枷+(5+2。尸0

y=kx+b

,.?finC=0,A/2=(1一發(fā))2-4(5—26)<0

.?.必一2什86—19<0,從而8b<20,

即b<25②

由①②及bWN,得6=2代入由4i<0和42Vo組成的不等式組，得

4f-％+1<°，...1,故存在自然數(shù)力=2,使得(/us)nc=0.

k2-2k-3<0

例2向50名學(xué)生調(diào)查對4、8兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成力的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊

成，贊成8的比贊成力的多3人，其余的不贊成：另外，對力、8都不贊成的學(xué)生數(shù)比對/、8都贊成的學(xué)生數(shù)

的三分之一多1人.問對N、8都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握,本題主

要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.

錯解分析：本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索.

技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.

3

解：贊成/的人數(shù)為50X2=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33,如上圖，記

5

50名學(xué)生組成的集合為LZ,贊成事件“的學(xué)生全體為集合從贊成事件8的學(xué)

生全體為集合B.

設(shè)對事件/、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對A.B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為

土+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x,贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x.

3

X

依題意(30—x)+(33—x)+x+(§+1尸50,解得x=21.

所以對/、8都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.

例3已知集合/={(可),2+必一y+2=0},5={(x,y)|x—八1=0,且0WxW2},如果405W0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

.,\x2+tnx-y+2=0/曰2/,八小

解：由V得x2+(m—1)A+1=0①

x-y+l=0(0<x<2)

U：AHB^0

???方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

首先，山」=(〃7—if—420,得加23或〃?W—1,當(dāng)機(jī)23時(shí)，由X|+M=一(加一1)<0及修必=1>0知，方程①只

有負(fù)根，不符合要求.

當(dāng)1時(shí)，山Xi+、2=—("?—1)>。及用工2=1>。知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1］內(nèi)，從而

方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間［0,2］內(nèi).

故所求力的取值范圍是后一L

2,題目；高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一充要條件的理解及判定方法

高考要求：

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件O和結(jié)論g之間的關(guān)系本節(jié)

主要是通過不同的知識點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.

重難點(diǎn)歸納：

⑴要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當(dāng)“若p則形式的命題為真時(shí)，就記作p=q，稱p是q的充

分條件，同時(shí)稱g是P的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“o”要熟悉它的各種同義詞語:“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須

并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概

念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看，若Z=則/是8的充分條件，8是/的必要條件：若4=8,則4、3互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時(shí)一，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要

性)

典型題例示范講解；

例1一知網(wǎng)1-X|^2,^:x2—2x+1一機(jī)2?0(〃7>0),若Q?是F的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種

命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)的靈活性.

知識依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解

變得簡單明了.

錯解分析：對四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對否命題，學(xué)生本身存在著語

言理解上的困難.

技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解

集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.

解:由題意知:

命題:若“是F的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為:p是q的充分不必要條件.

X—1r—1r—1

p:|l—2n——1W2n—W3n—2WxW10

333

g，一2x+l—”<0=>[x—(1—〃z)][x-(l+加)]WO*

,:p是q的充分不必要條件，

不等式|1—11IW2的解集是2x+l—〃?2?0(加>0)解集的子集.

又*/m>0

——、，，,.小,f1-zw<-2>1

?,?不等式*的解集為1—zwWxWl+m\=><,.,?加29,

[1+w>10[m>9

???實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是[9,+8).

例2已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)S不〃+心W0,p#l),求數(shù)列｛仇｝是等比數(shù)列的充要條件.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

知識依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格

利用定義去判定.

錯解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.

技巧與方法：由為=|'(〃=1)關(guān)系式去尋找?！ㄅc%+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.

解如=Si=p+s

當(dāng)心2時(shí)，a,,=Sn—S”7=p"T(p-l)?.7r(),0#I,；.R(PT)=p

P~("-1)

若｛a,,｝為等比數(shù)列，則”=口Y次二D=p,

%%p+q

'.’pWO,；.p—]=p+q,-'-q=~1

這是｛an｝為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=T是｛。,｝為等比數(shù)列的充分條件，

n

當(dāng)g=-1時(shí)，.'.Sn=p—a\=S\=p~1

n

當(dāng)”22時(shí),a?=Sn—Sn-i=p—p"'=p'(p—1)

n1

：.an=(p-\)p(pW0,pWl)2-二(PT)P“_2=p為常數(shù)

an-\(pT)P

：.q=~\時(shí)，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列腳數(shù)列｛"”｝是等比數(shù)列的充要條件為疔一1，

例3已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程f+ax+AO有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a、8,

證明：|a|<2且|￡|<2是21al<4+6且網(wǎng)<4的充要條件.

證明()充分性:由韋達(dá)定理，得向=|。?￡|=|。卜|￡|V2X2=4.

設(shè)y(x)=f+冰+6,則/(X)的圖象是開口向上的拋物線.

又|。|<2,|￡|<2,.?成±2)>0,

即有<n4+b>2a>—(4+6)又血<4=>4+b>0n2|a|V4+b

4-2。+6>0

⑵必要性：

由2團(tuán)<4+6=義±2)>0且孔。的圖象是開口向上的拋物線.

，方程兀0=0的兩根。，￡同在(一2,2)內(nèi)或無實(shí)根.

￡是方程兀v)=0的實(shí)根，￡同在(一2,2)內(nèi)，即|。|V2且|￡|<2,

例4寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假.

(1)若x、y都是奇數(shù)，則xtF是偶數(shù)；

(2)若x尸0,貝i」x=0或尸0；

(3)若一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù).

解：(1)命題的否定：x、y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，為假命題.

原命題的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題.

(2)命題的否定：所0則xWO且yWO,為假命題.

原命題的否命題：若號W0,則x#0且y#0,是真命題.

(3)命題的否定：一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，是假命題.

原命題的否命題：若一個(gè)數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，為假命題.

例5有Z、8、C三個(gè)盒子，其中一個(gè)內(nèi)放有一個(gè)蘋果，在三個(gè)盒子上各有一張紙條.

A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內(nèi)”，

B盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內(nèi)”，

C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在/盒內(nèi)”.

如果三張紙條中只有?張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個(gè)盒子里？

解：若蘋果在4盒內(nèi)，則Z、8兩個(gè)盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

若蘋果在8盒內(nèi)，則/、8兩個(gè)盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在B

盒內(nèi).

同樣，若蘋果在C盒內(nèi)，則8、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

綜上，蘋果在8盒內(nèi).

3,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一運(yùn)用向量法解題

高考要求：

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考

查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.

重難點(diǎn)歸納；

1.解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)

算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識,二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.

2,向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中,常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明

向量的垂直和平行問題：利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.

3,用空間向量解決立體兒何問題?般可按以下過程進(jìn)行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用己知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未

知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？

(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？

典型題例示范講解：

例1如圖，已知平行六面體/8CD—小81Goi的底面,88是菱形，且NGCB=NCCD=NBCD.

(1)求證：CiCLBD.

DBi.AAi

(2)當(dāng)出CD的值為多少時(shí)，能使小CL平面G8。？請給?%n出證明.

CC,

命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論

證變得簡單.

錯解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中

提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.

技巧與方法：利用OG?B=o來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.

⑴證明：設(shè)瓦=方，甌=兀西=己,依題意，\a\=\b\,CD.CB,西中兩兩所成夾角為，，于是

CC\BD=c(a~h)=c?a—c?h=\c\*\a|cosRA0—\C|?|cos^=0,.\C\CLBD?

產(chǎn)----b

(2)解：若使小C_L平面GB。，只須證4c_L8Q,aCJ_OG，

由E*=0+麴)?(麗-西)

=(5+6+c)?(5—c)=|a|2+5?b—b?c—|c|2

=\a^—\c『+|B|?15|cos0—\b\*\c\*cos夕=0,得

當(dāng)m=Q|時(shí)，A\CLDC\,同理可證當(dāng)I，|=|5|時(shí),A\CX.BD,

CD

：.——=1時(shí)，4cl.平面CiBD,

CCy

例2如圖，直三棱柱ZBCfJiG，底面AABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°,

44產(chǎn)2,初、N分別是小5、小力的中點(diǎn).。

⑴求麗的長;

⑵求cos<84，CB|>的值;

(3)求證:AiB±C1M.

命題意圖:本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾

何問題.

知識依托:解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。一平，進(jìn)而找到

點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).

錯解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).

技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的X、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的

點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一師

依題意得：8(0,1,0),Ml，0,1)

222

；.|BN|=A/(1-0)+(0-1)+(1-0)=6.

(2)解：依題意得：小(1,0,2),C(0,0,0),B((0,1,2>

BA}=(0,1,2)

0/C

By

BAX-CB{=1X0+(-1)X1+2X2=3

|必|=J(l-0)2+(0—1)2+(2-0)2=屈

ICBX|=J(0-0)2+(1-0)2+(2-0)2=V5

BA}CB}_3_V30

/.cos<>=|西函—五記

(3)證明:依題意得：C,(0,0,2),

——■11—-

GM=(n，0)，48=(—l,l,—2)

.?.福?*=(—l)x；+lx；+(—2)x0=0,.?.福，而，

例3三角形/!宛中，4(5,-1)、6(—1,7)、C(l,2),求：(1)重邊上的中線4%的長；(2)/伙?的平分

線4〃的長；(3)cos4%的值.

解：⑴點(diǎn)M的坐標(biāo)為XA尸匚里=0；外,=出=I，.'.A/(0,1)

?'?I1=^(5-0)2+(-l-1)2=

(2)|AB|=7(5+l)2+(-l-7)2=10,|就|=7(5-l)2+(-l-2)2=5

。點(diǎn)分比的比為2,

.-1+2x117+2x211

?'XD1+2-3，y°-1+2-T

I4D|=^(5-1)2+(-l-y)2=yV2.

(3)/N8C是加與前的夾角，而直=(6,8),5C=(2,—5).

BABC6x2+(-8)x(-5)52_2629

cosABC=-

\BA\-\BC\762+(-8)2-722+(-5)210729145

4,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系

高考要求：

三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和

密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具.高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問

題有關(guān),本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法.

重難點(diǎn)歸納：

1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)二次函數(shù)的三種表示法：

y=ca2+hx+c;y=a(x—x】)(x—12)/三。(工一工。了十"

(2)當(dāng)。>0J(x)在區(qū)間［p,g］上的最大值M,最小值加，令x0=g(p+q)

若一二vp,則/(p)=m禽戶M若pW—二〈必,則火一二)=嗎/(q)=M

2a2a2a

若XoW—多<%則J［p}=MJ{—g)=m-若一二2夕，則J(p)=MJ(q)=m,

2a2a2a

2.二次方程y(x)=af+6x+c=0的實(shí)根分布及條件.

(1)方程外尸0的兩根中一根比廣大，另一根比尸小<=>。?7(r)<0;

\=b2-4ac>0,

b

(2)二次方程4x)=0的兩根都大于尸=?-->r,

2a

。?/⑺>0

△=b2-4ac>0,

h

p<一〈<q，

(3)二次方程凡￥尸0在區(qū)間3?)內(nèi)有兩根=,2a

a?f(q)>0,

[?/(P)>0；

(4)二次方程兀v)=0在區(qū)間(p,g)內(nèi)只有一根<=>加)?.聞)<0,或加)=0(檢驗(yàn))或加)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另…根若在(p,q)

內(nèi)成立.

4?/(p)<o

(5)方程小尸0兩根的一根大于p,另一根小于c/(p<q)<=><

。/(夕)>0‘

3.二次不等式轉(zhuǎn)化策略

(1)二次不等式J(x)=a^+bx+c0的解集是：

(―oo,a］)U［￡,+8)0々<0且真°)y￡)=0；

⑵當(dāng)心0時(shí)，大。)勺(￡)=|。+.<|6+不

當(dāng)。<0時(shí)，火。)儂￡)o|a+二|>|￡+二］;

2a2a

(3)當(dāng)。>0時(shí)，二次不等式<x)>0在1,夕］恒成立

,b

h?<一h<4，-怖Np;

2a或

0<2a或<2cl

/(P)>0,/(<7)>0；

2a

(4)/(無)>0恒成立

”或a=b=0,o.<7<0,a=b=0

<=><f(x)<0怛成乂<=>?八或《

A<0,Ic>0;A<0,c<0.

典型題例示范講解；

例1已知二次函數(shù)./)=。/+反+。和-次函數(shù)g(x)=—bx,其中。、b、c滿足a>6>c,o+b+c=0,(a,b,cWR),

(1)求證:兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)1、B；

(2)求線段N8在x軸上的射影/歸|的長的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合.

錯解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解

問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.

技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化.

⑴證明油<'aX+'消去y得ax2+2bx^-c=0

y=-bx

c3

4=4/—4QC=4(—Q—op—4化=4(。2+々什/)=4[(6r+—)2+—c2]

*.*a-^b+c=09a>b>c,/.t7>0,c<0

a

A-c2>0,.\/>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).

4

r

(2)解:設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為%1和%則陽+必=——7陽=一.

aa

222

—|=(X1—x2)=(X|+x2)—4X1X2

22

/2b、24c4b-4ac4(-a-c)-4acAr/cx2c,,Ar/clx23,

aaaaaaaz.4

*/a>h>c,a-^h+c=0,a>0,c<0

r?1

a>~a~c>c,MW—^(—2,——)

a2

,//(-)=4[(-)2+-+1]的對稱軸方程是-=

aaaa2

1

—￡(—2,——)時(shí)，為減函數(shù)

a2

???M同2￡(3,12),故M1固e(6,26).

例2L_L知關(guān)于x的二次方程X2+2加工+2〃7+1=0,

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求“7的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求機(jī)的范圍.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題.

知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.

錯解分析:用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn).

技巧與方法：設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.

解：(1)條件說明拋物線<x)=f+2/Mx+2w+l與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(一1,0)和(1,2)內(nèi)，畫出示意圖，得

1

m<——

/(0)=2w+l<0,2

mGR,

/(-1)=2>0,

=<1

/(l)=4w+2<0,m<——，

2

八2)=6加+5〉0

5

m>——

6

2

(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，列不等式組

1

m>9

/(0)>0,-2V

/(1)>0,1

m>——,

A>0,2

0<-m<1m>\+6或m<1-6,~13

-1<w<0.

(這里0<-w<l是因?yàn)閷ΨQ軸x=-m應(yīng)在區(qū)間(0,D內(nèi)通過)

例3已知對于x的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)加)=f-4辦+2o+12(aeR)的值都是非負(fù)的,求關(guān)于x的方程上一巾

a+2

一1|+2的根的取值范圍.

解:山條件知/W0,即(一4a)2—4(2a+12)^0,.,.——

3

(1)當(dāng)一時(shí)，原方程化為

x=~a2+a+6,".'—a2+o+6=—(a——)2+.

.3H91.25

?.a=一不時(shí)，Xi,,=-,￡7=-nT，X=—.

2m42max4

31

(2)當(dāng)1W〃W2時(shí)，x=a2+3a+2=(a+—)2——

.,.當(dāng)0=1時(shí)，Xmin=6,當(dāng)0=2時(shí)，Xmax=12,6WxW12.

綜上所述，乙9WxW12.

4

5,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一求解函數(shù)解析式的幾種常用方法

高考要求；

求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，需引起重視,本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)匕

掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力.

重難點(diǎn)歸納;

求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有：

1.待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，用待定系數(shù)法；

2換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)/[g(x)]的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡單時(shí)也可用配湊法；

3.消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解人刈；

另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

典型題例示范講解：

a1

例1⑴已知函數(shù)本)滿足408戶)=不一(X--)(其中4>0,21/>0b求人X)的表達(dá)式.

a-1x

(2)已知二次函數(shù)於尸亦2+bx+c滿足貝1)|=火一1)|=貝0)|=1,求y(x)的表達(dá)式.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念中的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則，以及計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識

的能力.

知識依托：利用函數(shù)基礎(chǔ)知識，特別是對“尸的理解，用好等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意定義域

錯解分析：本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價(jià)轉(zhuǎn)化易出錯.

技巧與方法；(1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法.

解；(1)令Ho&M心l,/>O;O<a<lJVO),貝I」x=a.

因此7(。=—^—(4一夕一’)

a-1

?—(/—aA)(a>1^>0;0<4?<1x<0)

a-1

(2)山火1)=〃+b+cJ(—l)=a—b+cJ(0)=c

得

c=/(0)

并且負(fù)1)、義—1)、<0)不能同時(shí)等于1或一1,

所以所求函數(shù)為：

f(x)=2x2—1或J(x)=-2X2+1或/(x尸—X2—x+1

或/(X)=X2—X—1或兀0=—才2+》+]或兀0=/+》一1.

例2設(shè)<x)為定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)xW-l時(shí)，詞x)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(-2,0),斜率為1的射線，又在

尸=〃)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0,2),且過點(diǎn)(一1,1)的一段拋物線，試寫出函數(shù).危)的表達(dá)式，并在圖中作

出其圖象，

命題意圖：本題主要考查函數(shù)基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數(shù)的分析需

要較強(qiáng)的思維能力.因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點(diǎn)題型.

知識依托：函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線.

錯解分析：本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運(yùn)用知識易發(fā)生混亂，

技巧與方法：合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.

解：⑴當(dāng)xW—1時(shí)，設(shè)於)=x+6

???射線過點(diǎn)(一2,0),：.0=~2+bIPb=2,：.J(x)=x+2.

(2)當(dāng)一11時(shí)，設(shè)J(X)=ax+2.

???拋物線過點(diǎn)(-1,1),，l=a?(-19+2,即a=T

.,.f(x)=—x2+2.

(3)當(dāng)時(shí)?，/(x)=-x+2

x+l,x<-l

綜上可知：2-x2,-1<X<1作圖由讀者來完成

一x+2,x>1

例3已知7(2—cosx尸cos2x+co&x,求加一

解法一：(換元法)

*//(2-cosx)=cos2x_cosx=2cos2x-cosx—1

令w=2—cosx(lW〃W3),則cosx=2—M

.'.y(2—cosx)=y(M)=2(2—w)2—(2—w)—l=2w2-7M+5(1^W^3)

：.f(x-1)=2(X-1)2-7(X-1)+5=2X2-11X+4(2WXW4)

解法二：(配湊法)

fi2~COSX)=2COS2X-COSJC_1=2(2—cosx)2—7(2-co&x)+5

.'.fix)=2x2_7x_5(1Wx<3),

即F(D=2(A—DT(x—1)+5=2/-UA+14(2WA<4).

6,題目；高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用

高考要求

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，

并會用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問題.

重難點(diǎn)歸納：

(1)求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法

等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域

(2)函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今后的命題趨勢中綜

合性題型仍會成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng).

(3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題

此類問題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力

和數(shù)學(xué)建模能力.

典型題例示范講解：

例1設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2,畫面的寬與高的比為4(八<1),畫面的上、下各留8cm的空

白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？

23

如果要求4W那么無為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最小？

34

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能

力.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識.

錯解分析：證明s(4)在區(qū)間［47」a］上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來

34

解決.

技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

解：設(shè)畫面高為xcm,寬為cm,則4寸=4840,設(shè)紙張面積為Scm2,

則S=(x+16)(^x+10)=x2+(164+10)x+160,

將產(chǎn)名理代入上式得：s=5000+44師(8VI+岸

),

當(dāng)871=2,即4=9(9<1)時(shí)s取得最小值.

。九88

48405

此時(shí)高：x=----=88cm,寬：Ax=—X88=55cm.

A8

?3?a

如果xe可設(shè)

3434

則由S的表達(dá)式得：

S(4)-S(4)=44而(8亞+提-8M—沁

=44\/10(及7—yl-^2)(81)

又北區(qū)故8一萬皂>0,

387^2

23

...S()i)—S(/l2)<0,，S(2)在區(qū)間［-,-］內(nèi)單調(diào)遞增.

34

232

從而對于AS［4,士］，當(dāng)時(shí)，S(A)取得最小值.

343

232

答：畫面高為88cm,寬為55cm時(shí)，所用紙張面積最小,如果要求4e［一,_］,當(dāng)4=一時(shí)，所用紙張面

343

積最小.

例2已知函數(shù)危尸土+2土+gKG口,+8)

X

(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)1》)的最小值.

(2)若對任意［1,+8)於)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力.

知識依托：本題主要通過求加0的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.

錯解分析：考生不易考慮把求“的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把.危)>0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得.

⑴解：當(dāng)斫!時(shí)，f(x)=x+—+2

22x

??7(X)在區(qū)間［1,+8)上為增函數(shù)，

7

???兀0在區(qū)間［1，+8)上的最小值為刀尸展

(2)解法一：在區(qū)間［1,+8)上，

f(x)='+2"+">0恒成立of+Zx+q〉。，恒成立，

x

2

設(shè)y=x+2x+<7rx￡［1,+8)

???y=f+2x+斫(/1)2+4一］遞增，

當(dāng)x=\時(shí)，Vmin=3+d當(dāng)且僅當(dāng)凹］而=3+。>0時(shí)，函數(shù)作)>0恒成立，

故。>一3.

解法二：fi,)=x+-+2^c&［1,+8)

XX

當(dāng)時(shí)，函數(shù)段)的值恒為正；

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)人X)遞增，故當(dāng)X=1時(shí)，40min=3+。，

當(dāng)且僅當(dāng)F(x)min=3+a>0時(shí),函數(shù)F(x)>0恒成立，故a〉一工

例3設(shè)，%是實(shí)數(shù)，記M=｛刈掰>1｝女尸log3(f—4/WX+4/+/H+—--).

(D證明：當(dāng)機(jī)￡〃時(shí)，火X)對所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若/工)對所有實(shí)數(shù)X都有意義，則加

(2)當(dāng)加W/時(shí)，求函數(shù)人x)的最小值.

(3)求證：對每個(gè)函數(shù)./(X)的最小值都不小于1.

(1)證明：先將傘)變形：/(x)=log3［(x—2加了+加+—-—］,

777-1

當(dāng)初仁加時(shí)，m>1,(x—AW)2+/??4---—>0恒成立，

777—1

故作)的定義域?yàn)镽

反之，若加)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x2—4WX+4W2+W+一］一>0,令/V0,即16毋一4(4〃P+加+--一)

V0,解得加>1,故mGM.

(2)解析：設(shè)w=x2—4〃?工+4/+〃?+—!—,

in-\

*/y=log3w是增函數(shù)，，當(dāng)〃最小時(shí)，./)最小.

__nI

而W=(x-2加)-----,

m-\

顯然，當(dāng)x=m時(shí)，"取最小值為m+——,

m-\

此時(shí)負(fù)2⑼=log3(??+—--)為最小值.

m-1

(3)證明：當(dāng)〃?eA/時(shí)，m+—-—=(w—1)+—-—+1?3,

m-1m-1

當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=2時(shí)等號成立.

Iog3(加一--)>log3=l.

m-\3

7,題目；高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一

處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法(1)

高考要求

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出,本

節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象,幫助

考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識

重難點(diǎn)歸納：

(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性.

若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.

同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的訓(xùn)練認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,問題的解決關(guān)鍵在于；既把握復(fù)合過程，又掌握基木函數(shù).

(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目.

(3)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具

有綜合分析問題和解決問題的能力，

(4)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的

思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決,特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求

實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.

典型題例示范講解：

例1已知奇函數(shù);(X)是定義在(一3,3)上的減函數(shù)，且滿足不等式義工—3)找2一3)<0,設(shè)不等式解集為/,B=A

U{x|lWxWy/5}，求函數(shù)g(x尸一3x?+3x—4(x68)的最大值.

命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.

錯解分析：題目不等式中的號如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易

漏掉定義域.

技巧與方法：借助奇偶性脫去“廣號，轉(zhuǎn)化為x的不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.

-3<x-3<30<x<6

解:得L且xWO,故04<癡,

一遍<x<V6

又：益)是奇函數(shù)，/./x-3)<-/x2-3)=/(3-x2),

又/(x)在(-3,3)上是減函數(shù)，

.?.X—3>3-V即工2+工—6>0,解得工>2或3,

綜一上得2Vxv而，即A={x\2<x<y[6},

B=AU{x|lWxW右}={x|l^x<V6},

又g(x)=-3JC2+3X—4=—3(x——)2——知g(x)在B上為減函數(shù)，

?'?gWmax=g(l)=-4.

例2已知奇函數(shù)大x)的定義域?yàn)镽,且次x)在［0,+8)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)〃?，使;(C0S2。-3)/4加一

2mcos?)>/(0)對所有［0,1］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)，〃的范圍，若不存在，說明理由.

命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力.

知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間

上的最值問題.

錯解分析：考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.

技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.

解；；外)是R上的奇函數(shù)，且在［0,+8)上是增函數(shù)，.?加x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化

為/(cos2，-3)寸(2mcos9一4次)，

即cos20_3>2/wcos4私即cos2。一加cos9+2m-2>0.

設(shè)片cos。，則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)

2

g(0=/2—wZ+2/w—2=(/――)2—^—+2m—2在［0,1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(。在［0,1］上的

24

最小值為正.

:.當(dāng)—<0,即m<0時(shí),g(0)=2加一2>0nm>\與m<0不符；

當(dāng)0W—<1時(shí)，即0W加W2時(shí)，g(加尸——+2m—2>0

24

=4-2y/2<w<4+2V?,.*.4—26<mW2.

當(dāng)萬>1,即加>2時(shí)，g(1)=w—1>0=>m>1.:.m>2

綜上，符合題目要求的機(jī)的值存在，其取值范圍是m>4-2班.

另法(僅限當(dāng)加能夠解出的情況)；cos2。一〃7cos〃+2加一2>0對于0e［0,—］恒成立，

2

等價(jià)于加>(2—cos?。)/(2—