2025版高中數(shù)學第三章變化率與導(dǎo)數(shù)專題突破五利用導(dǎo)數(shù)求切線方程學案含解析北師大版選修1-1

PAGEPAGE7專題突破五利用導(dǎo)數(shù)求切線方程曲線的切線問題是高考的常見題型之一．而導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率，所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問題是常用的方法．下面對“求過一點的切線方程”的題型做以下歸納．一、已知切點，求曲線的切線方程此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′(x)，并代入點斜式方程即可．例1已知f(x)為偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是________．考點題點答案2x－y＝0解析設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x，因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝2，y－2＝2(x－1)，即y＝2x.點評本題可以先利用分段型奇偶性原則，求出函數(shù)的解析式，再求函數(shù)切線，或者利用原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系來求解．跟蹤訓練1曲線y＝eq\f(x,x－2)在點(1，－1)處的切線方程為()A．y＝x－2 B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1考點題點答案D解析由題意知，點(1，－1)在該曲線上，又y′＝eq\f(x－2－x,x－22)＝eq\f(－2,x－22)，所以曲線在點(1，－1)處的切線的斜率k＝eq\f(－2,1－22)＝－2，故所求切線的方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.二、已知過某點，求切線方程過某點的切線，該點未必是切點，故應(yīng)先設(shè)切點，再求切點，即用待定切點法．例2求過曲線f(x)＝x3－2x上的點(1，－1)的切線方程．考點題點解設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－2.所以切線方程為y－y0＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)，即y－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(x－x0)．又知切線過點(1，－1)，所以－1－(xeq\o\al(3,0)－2x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－eq\f(1,2).故所求切線方程為y－(1－2)＝(3－2)(x－1)，或y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.點評可以發(fā)覺直線5x＋4y－1＝0并不以(1，－1)為切點，事實上是經(jīng)過點(1，－1)，且以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(7,8)))為切點的直線．這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點．跟蹤訓練2求過點(2,0)且與曲線f(x)＝eq\f(1,x)相切的直線方程．考點題點解設(shè)P(x0，y0)為切點，則切線的斜率為f′(x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).所以切線方程為y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)，即y－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．又已知切線過點(2,0)，代入上述方程，得－eq\f(1,x0)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(2－x0)．解得x0＝1，y0＝eq\f(1,x0)＝1，即切線方程為x＋y－2＝0.三、求兩條曲線的公切線例3(2024·河南南陽一中月考)若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9(a≠0)都相切．(1)求切線方程；(2)求實數(shù)a的值．考點題點解(1)因為y＝x3，所以y′＝3x2，設(shè)過點(1,0)的直線與曲線y＝x3相切于點(x0，xeq\o\al(3,0))，則在點(x0，xeq\o\al(3,0))處的切線斜率為k＝3xeq\o\al(2,0)，所以切線方程為y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0).又點(1,0)在切線上，所以3xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝0，解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).故所求的切線方程為y＝0或y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4).(2)由直線y＝0與曲線y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切可得方程ax2＋eq\f(15,4)x－9＝0有一個實數(shù)根，此時Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,4)))2－4a×(－9)＝0，解得a＝－eq\f(25,64)；由直線y＝eq\f(27,4)x－eq\f(27,4)與曲線y＝ax2＋eq\f(15,4)x－9相切，兩方程聯(lián)立消去y，得ax2－3x－eq\f(9,4)＝0，此時Δ＝9－4×a×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)))＝0，解得a＝－1.綜上可得，a＝－1或a＝－eq\f(25,64).點評本例是先求過某點的切線方程，由切線與另一曲線——拋物線相切，利用判別式Δ＝0即可求得參數(shù)．跟蹤訓練3已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m＜0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖像都相切，且與f(x)圖像的切點為(1，f(1))，則m的值為()A．－1B．－3C．－4D．－2考點導(dǎo)數(shù)的運算法則題點導(dǎo)數(shù)的運算法則的運用答案D解析∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設(shè)直線l與g(x)的圖像的切點為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m<0，于是解得m＝－2.1．函數(shù)f(x)＝exlnx的圖像在點(1，f(1))處的切線方程是()A．y＝2e(x－1) B．y＝ex－1C．y＝e(x－1) D．y＝x－e考點題點答案C解析∵f(x)＝exlnx，∴f′(x)＝(ex)′lnx＋ex(lnx)′＝exlnx＋eq\f(ex,x)，∴f′(1)＝e，又f(1)＝0，∴在(1,0)處的切線方程為y＝e(x－1)．2．已知f(x)＝ex－x，則過原點與f(x)圖像相切的直線方程是()A．y＝(e－1)x B．y＝exC．y＝x D．y＝e2x考點題點答案A解析設(shè)切點坐標為(x0，－x0)，由題意可得切線斜率k＝f′(x0)＝－1，所以切線方程為y＝(－1)x，由－x0＝(－1)x0，解得x0＝1，所以切線方程為y＝(e－1)x.3．過點P(3,9)與曲線y＝2x2－7相切的切線的方程為________．考點題點答案8x－y－15＝0或16x－y－39＝0解析令y＝f(x)＝2x2－7，則f′(x)＝4x，由點P(3,9)不在曲線上，設(shè)所求切線的切點為A(x0，y0)，則切線的斜率k＝4x0，故所求的切線方程為y－y0＝4x0(x－x0)，將P(3,9)及y0＝2xeq\o\al(2,0)－7代入上式，得9－(2xeq\o\al(2,0)－7)＝4x0(3－x0)，解得x0＝2或4，故切點為(2,1)或(4,25)．從而所求切線方程為8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.4．已知f(x)為偶函數(shù)，當x<0時，f(x)＝ln(－x)＋3x，則曲線y＝f(x)在點(1，－3)處的切線方程是__________．考點題點答案2x＋y＋1＝0解析設(shè)x>0，則－x<0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)＝lnx－3x，f′(x)＝eq\f(1,x)－3，f′(1)＝－2，切線方程為y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.5．已知函數(shù)y＝x2lnx(x>0)．(1)求這個函數(shù)的圖像在x＝1處的切線方程；(2)若過點(0,0)的直線l與這個函數(shù)的圖像相切，求直線l的方程．考點題點解(1)函數(shù)y＝x2lnx的導(dǎo)數(shù)為y′＝2xlnx＋x，函數(shù)的圖像在x＝1處的切線斜率為2ln1＋1＝1，切點為(1,0)，可得切線的方程為y－0＝x－1，即x－y－1＝0.(2)設(shè)切點為(m，m2lnm)，可得切線的斜率為2mlnm＋m，則切線的方程為y－m2lnm＝(2mlnm＋m)(x－m)，由于切線過點(0,0)，∴－m2lnm＝(2mlnm＋m)(－m)，由m>0，可得－lnm＝－2lnm－1，即lnm＝－1，解得m＝eq\f(1,e)，所以直線l的方程為x＋ey＝0.6．已知雙曲線C：y＝eq\f(m,x)(m<0)與點M(1,1)．(1)求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C的兩支相切；(2)設(shè)(1)中的兩個切點分別為A，B，求證：直線AB的斜率為定值．考點題點證明(1)設(shè)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(m,t)))在雙曲線C上，要證明命題成立，只須要證明關(guān)于t的方程有兩個符號相反的實根．－eq\f(m,t2)＝eq\f(\f(m,t)－1,t－1)?t2－2mt＋m＝0，且t≠0，t≠1.因為Δ＝4m2－4m>0，所以方程t2－2mt＋m＝0有兩個不相等實根，設(shè)兩根分別為t1與t2，則由t1t2＝m