直線與圓錐曲線（原卷版）

專題41直線與圓錐曲線

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

知識(shí)點(diǎn)一、直線和曲線聯(lián)立

22

(1)橢圓、■+多=1(。>人>0)與直線=+m相交于兩點(diǎn)，設(shè)A(玉，％),B(x2,y2)

ab

(22

土+2L=1

2122222222

<ab，(b+ka)x+2akmx+an^-ab=0

y=kx+m

22

橢圓=+==1(。>0,6>0)與過定點(diǎn)(a,0)的直線/相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)為x="+7〃，如此消去x,保

ab

P￡

留y,構(gòu)造的方程如下：，/+/=1,(02+fir)y2+2b2trny+b2m2-a2b2=0

x=ty+m

注意：

①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說(shuō)明直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都需要擺出A>0,

滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系.

②焦點(diǎn)在y軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述.

(2)拋物線=2px(°>0)與直線x=/y+相相交于A、3兩點(diǎn)，設(shè)A(占，%),B(x2,y2)

聯(lián)立可得=2p(zy+〃z),△>()時(shí)，2Pt

〔X%=-2pm

22

特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候，即根=K,yty2=-2pm=—p,X]X[=^~.^―=；p，因?yàn)锳B為通

徑的時(shí)候也滿足該式，根據(jù)此時(shí)A、8坐標(biāo)來(lái)記憶.

拋物線無(wú)2=2py(p>0)與直線y=Ax+相相交于C、Z)兩點(diǎn)，設(shè)C(X[,%)，D(x2,y2)

2

聯(lián)立可得尤2=2°(丘+㈤，△>()時(shí)，|"

[xxx2=-2pm

注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量.開口向上

選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析.

總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂栴}，面積問題，三點(diǎn)共線

問題，角度問題等?？純?nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的

形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞?

知識(shí)點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理

22

二+々=13>6>0)與y^kx+m聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上a2b2即可得到

ab

(a2k2+b2)x2+2hna2x+(m2-Z?2)=0,為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為+&+C=0.該式可以看成一個(gè)

關(guān)于X的一元二次方程，判別式為△=4°%2("左2+62一小)可簡(jiǎn)單記4/62(4-1).

22

同理三+多=1(。〉b〉0)和%=(y+相聯(lián)立(儲(chǔ)+t2b2yy2+2b2tmy+Z?2m2-a2b2=0,為了方便敘述，將上

ab

222222

式簡(jiǎn)記為A/+By+C=0,A=4ab(a+tb-m)f可簡(jiǎn)記4//(A一加2).

/與C相離oAvO;/與。相切oA=0；/與C相交oA>0.

注意：(1)由韋達(dá)定理寫出占+尤2=-g，^2=~,注意隱含條件△>().

AA

(2)求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意.

(3)如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把力,/互換位置即可.

(4)直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在無(wú)軸的雙曲線，只要把/換成即可；

焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把片換成即可，/換成/即可.

(5)注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用公判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下

往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根(一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制)，所以在遇到兩條二

次曲線交點(diǎn)問題的時(shí)候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo).

知識(shí)點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式

設(shè)”(占，》),N(X2,%)根據(jù)兩點(diǎn)距離公式I肱-%)2+(%-%)2?

(1)若"、N在直線y=Ax+m上，代入化簡(jiǎn)，得|MN|=J1+二,|.

(2)若A/、N所在直線方程為x=<y+〃z,代入化簡(jiǎn)，得|MN|=J1+『

(3)構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，|MN|=住7」一.其中左為直線肋7斜率，口為直線傾斜

|cosaIIsinaI

角.

注意：(1)上述表達(dá)式中，當(dāng)為左片0,時(shí)，ink=1.

(2)直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用.

(3)直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為祗2+母+c=0(A工0),判別式為A=4一4AC,△>0時(shí),

|不一%|=\(%+%)2—4為/=J(_J)2_4與產(chǎn)TAC咯,利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法

??丫VAA|A||A|

在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率.

(4)直線和圓相交的時(shí)候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單.

(5)直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式.

知識(shí)點(diǎn)四、已知弦4?的中點(diǎn)，研究4?的斜率和方程

(1)筋是橢圓，■+，=1(。>6.0)的一條弦，中點(diǎn)則AB的斜率為一片,

運(yùn)用點(diǎn)差法求AB的斜率；設(shè)A（石,％）,5（%2，%）（七0%2），A,5都在橢圓上,

2_22_2

,兩式相減得西二%+'二%=0

ab

&+%)(=-%)+(%+%)(乂-%)=0

a2b2''

22

（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若4?是雙曲線1r-方=1（。>6.0）的弦，中點(diǎn)則

1^=5；若曲線是拋物線y2=2p_r（p>0）,貝1aAi

4%為

【題型歸納目錄】

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

題型二：中點(diǎn)弦問題

方向1：求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；

方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；

方向3：對(duì)稱問題

方向4：斜率之積問題

題型三：弦長(zhǎng)問題

題型四：面積問題

方向1：三角形問題

方向2：四邊形問題

【典例例題】

題型一：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

4

例1.（2022泗川達(dá)州?二模（理））函數(shù)“xh;c+-+Sa〉-!）的最小值為機(jī)，貝U直線5x+3y-15=0與

曲線曲L+二址=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

m+3m+19

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧與總結(jié)】

（1）直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐曲線方程聯(lián)立方程消元后

得到一元二次方程，其中A,。；另一方面就是數(shù)形結(jié)合，如直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過判

定直線的斜率與雙曲線漸近線的斜率的大小得到.

（2）直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)則直線與雙曲線的一條漸近線平行，或直線與拋物線的對(duì)稱軸平

行，或直線與圓錐曲線相切.

例2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）直線：+5=1與橢圓上+《=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

43169

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

例3.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）若直線”+〃y=4與圓Y+y2=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓

r22

上+匕v=1的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

94

A.0或1B.2C.1D.0

22

例4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓C：土+上=1的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,點(diǎn)尸在C上且直線P4

43

的斜率的取值范圍是那么直線尸4斜率的取值范圍是（）

例5.（2022.安徽哈肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））直線/：y=Hx-D與雙曲線C:/-y2=2沒有公共點(diǎn),

則斜率左的取值范圍是（）

A.（—00,-5^）U（-\/2,+oo）B.（―A/2,-＞/2）

C.（-oo,-l）u（l,+oo）D.（-1,1）

22

例6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若雙曲線二-3=1（。＞0,。＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)為4,過點(diǎn)A的直線

ab

x-3y-3=0與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該雙曲線的焦距為（）

A.272B.4A/2C.275D.2M

例7.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）過點(diǎn)M（2,4）作直線/與拋物線V=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有

（）

A.1條B.2條C.3條D.無(wú)數(shù)條

例8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過點(diǎn)P（3,l）作直線/與拋物線產(chǎn)=Tx只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線，有

（）條

A.1B.2C.3D.4

例9.（2022?上海市吳淞中學(xué)高三開學(xué)考試）若方程^/711=°3-1）恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

例10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知尸是雙曲線］-y=1的右焦點(diǎn)，若直線、=丘卜>0）與雙曲線相

交于42兩點(diǎn)，且/AEBN120。，則上的范圍是.

題型二：中點(diǎn)弦問題

方向1：求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；

22

例11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若橢圓亍+1_=1的弦被點(diǎn)尸（1,1）平分，則所在的直線方程為

例12.（2022?全國(guó)?高三開學(xué)考試（理））已知雙曲線C:《=1（。>08>0）與斜率為1的直線交于A,8兩

ab

點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為（4,1）,貝UC的離心率0=（）

A.72B.典C.6D.百

32

22

例13.（2022.江蘇.南京市第一中學(xué)高三開學(xué)考試）己知雙曲線土一匕=1,

42

⑴過點(diǎn)〃（口）的直線交雙曲線于A3兩點(diǎn)，若M為弦的中點(diǎn)，求直線A5的方程；

⑵是否存在直線/,使得為/被該雙曲線所截弦的中點(diǎn)，若存在，求出直線/的方程，若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為E過尸且斜率為1的直線與拋

物線C交于42兩點(diǎn)，且A3的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.求C的方程.

例15.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）斜率為1的直線交拋物線C:y2=2px（p>0）于A,8兩點(diǎn)，且弦A8中

點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

例16.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線/與橢圓1?+4=1在第一象限交于A,B兩點(diǎn)，/與x軸，v軸

63

分別交于N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|,|MN|=2有，貝心的方程為.

例17.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與平面上點(diǎn)M（-L。），N（l,0）的距離之和等于2拒.

（1）求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C方程；

⑵若經(jīng)過點(diǎn)的直線/與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)，求直線/的方程.

方向2：求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；

丫21

例18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）橢圓工+丁=1,則該橢圓所有斜率為;的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為

4-2

方向3：對(duì)稱問題

例19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：±+，=1（。＞6＞0）過點(diǎn),手］,直線/：y=x+m

與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為-0.5.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)機(jī)=1時(shí)，橢圓C上是否存在P,Q兩點(diǎn)，使得尸，。關(guān)于直線/對(duì)稱，若存在，求出尸，。的坐標(biāo)，

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

例20.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：二+2=1（°＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，尸2，離

ab

心率為長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/的過定點(diǎn)若橢圓C上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于直線/對(duì)稱，求直線/斜率上的取值范

圍.

22

例21.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知橢圓E:上+上=1,試確定機(jī)的取值范圍，使得圓E上存在不同

43

的兩點(diǎn)關(guān)于直線/：y=4x+機(jī)對(duì)稱.

例22.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）已知拋物線C：丁=4》的焦點(diǎn)為E直線/：y=2x+a與拋物線C交于

A,2兩點(diǎn).

⑴若。=-1,求的面積；

（2）若拋物線C上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)N關(guān)于直線/對(duì)稱，求a的取值范圍.

2

例23.（2022?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測(cè)（理））若雙曲線/一匕=1上存在兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線/:〉=依+4（%>0）對(duì)

3

稱，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為.

方向4：斜率之積問題

例24.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓（?:]+必=1的右焦點(diǎn)為R直線/:y=%（%-2）（人中0）與橢圓C

交于A,3兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為P,若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線。尸，AF,的斜率分別為上”，kAF,kBF,且

%AF=^BF'k（）p,貝Uk~.

例25.（2022?河北?高三階段練習(xí)）離心率為爭(zhēng)勺橢圓，■+￡■=1（?！?gt;0）與直線尸質(zhì)的兩個(gè)交點(diǎn)分別

為A,B,P是橢圓不同于A、B、尸的一點(diǎn)，且R4、尸3的傾斜角分別為a,（3,若a+/=120。，則

cos(?-/?)=()

例26.（2022.河南.模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線C:=-々=1（°>0,6>0）的離心率為2,直線/與C交于

ab

尸，。兩點(diǎn)，D為線段PQ的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝心與。。的斜率的乘積為（）

A.2B.3C.4D.6

22o

例27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：「+2=1（?！?>0）經(jīng)過點(diǎn)尸（6二）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若

ab2

直線/與橢圓C交于A,8兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為直線/與直線OM的斜率乘積為求橢圓C的標(biāo)

4

準(zhǔn)方程；

【方法技巧與總結(jié)】

直線與圓錐曲線相交所得弦中點(diǎn)問題，是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問題.這類問

題一般有以下3種類型：（1）求中點(diǎn)弦所在直線方程問題；（2）求弦中點(diǎn)的軌跡方程問題；（3）對(duì)稱問題，

但凡涉及到弦的中點(diǎn)斜率的問題.首先要考慮是點(diǎn)差法.

即設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)端點(diǎn)在曲線上，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，尋找中點(diǎn)坐標(biāo)與弦的斜率之間的聯(lián)系.除

此之外，最好也記住如下結(jié)論：

2

尤22v2b

在橢圓一r+T=1（。>6>0）中，中點(diǎn)弦的斜率為左,滿足%

a'ba"

r22h2

在雙曲線r-1v=im,6>0）中，中點(diǎn)弦的斜率為左，滿足/?左=）.（其中即為原點(diǎn)與弦中點(diǎn)連線的

aba

斜率）.

在拋物線=2pxO>0）中，中點(diǎn)弦的斜率為左，滿足屋%=/?（%為中點(diǎn)縱坐標(biāo)）.

題型三：弦長(zhǎng)問題

22

例28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:±+匕=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳、B，過F?且斜率為1

43一一

的直線/交橢圓。于A、5兩點(diǎn)，則|的等于（）

A.*B.乜C.誣D.延

7777

【方法技巧與總結(jié)】

在弦長(zhǎng)有關(guān)的問題中，一般有三類問題：

22

（1）弦長(zhǎng)公式：\AB\=Vl+k\xt-x2\=y/l+k.

口I

（2）與焦點(diǎn)相關(guān)的弦長(zhǎng)計(jì)算，利用定義；

（3）涉及到面積的計(jì)算問題.

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）過橢圓三+：/=1的左焦點(diǎn)作傾斜角60。的直線，直線與橢圓交于A,B

2

兩點(diǎn)，貝U|AB|=.

例30.（2022?陜西?安康市教學(xué)研究室三模（文））過拋物線C：V=3x的焦點(diǎn)尸的直線交C于A,8兩點(diǎn),

若在其準(zhǔn)線上的投影長(zhǎng)為6,貝NA5|=（）

A.4A/3B.6A/3C.12D.12A/3

例31.（2022?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）己知拋物線C的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,過尸的直線”?與C交于A、B兩

AF

點(diǎn)，點(diǎn)A在/上的投影為A若|旗|=忸。|,則正=（）

35

A.—B.2C.—D.3

22

例32.（2022?山東.汶上縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知拋物線C：V=2px（。＞0）的焦點(diǎn)為E若直線

元=4與C交于A,2兩點(diǎn)，且|A5|=8,則|AF|=（）

A.3B.4C.5D.6

例33.（2022?湖南?高三階段練習(xí)）已知橢圓4為右焦點(diǎn)，直線/：y=心-1）與橢圓C相交于

A,8兩點(diǎn)，取A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)S,設(shè)線段AS與線段3S的中垂線交于點(diǎn)Q.

⑴當(dāng)f=2時(shí),求用;

（2）當(dāng)辦0時(shí)，求盟是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說(shuō)明理由.

\AB\

22

例34.(2022?四川省巴中中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知橢圓C：5+2=1(。>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為

cib

A、8,點(diǎn)尸［等］在橢圓C上，且直線上4的斜率與直線尸8的斜率之積為

⑴求橢圓C的方程；

⑵若圓/+丁=1的切線/與橢圓c交于/>、Q兩點(diǎn)，求|尸。|的最大值及此時(shí)直線/的斜率.

例35.(2022?安徽?高三開學(xué)考試)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C:=+上=1過點(diǎn)M,N,P,記線段肱V的中

1612

點(diǎn)為Q.

(1)若直線MN的斜率為3,求直線OQ的斜率；

(2)若四邊形OMW為平行四邊形，求|MN|的取值范圍.

22

例36.(2022?北京八中高三階段練習(xí))已知尸為橢圓E:j+與=l(a>6>0)上任意一點(diǎn)，耳鳥為左、右焦

ab

點(diǎn)，M為尸耳中點(diǎn).如圖所示：若|OM|+；|P￡|=2,離心率e=走.

22

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線/經(jīng)過|以且斜率為3與橢圓交于A8兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)卜理的值.

例37.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知橢圓C:=+口=1(°>6>0)的離心率為受，且過點(diǎn)尸(-2,1).

ab-2

⑴求C的方程；

⑵若是C上兩點(diǎn)，直線與圓Y+y2=2相切，求的取值范圍.

22

例38.（2022?陜西.安康市教學(xué)研究室三模（文））已知橢圓C：a+/=l（a>6>l）長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙曲線

《-耳=1實(shí)軸的頂點(diǎn)相同，且C的右焦點(diǎn)廠到。的漸近線的距離為叵.

4b17

⑴求C與。的方程；

（2）若直線/的傾斜角是直線>=（占-2）x的傾斜角的2倍，且/經(jīng)過點(diǎn)尸，/與C交于A、3兩點(diǎn)，與。交

例39.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)￡、歹2分別為雙曲線C:5-與=1（。>0力>0）的左右焦點(diǎn)，且工也

ab

為拋物線V=8x的的焦點(diǎn)，若點(diǎn)尸（0,26）,Ft,F?是等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn).

⑴雙曲線C的方程；

⑵若直線/：?=9-1與雙曲線（^相交于43兩點(diǎn)，求恒凡

題型四：面積問題

方向1：三角形問題

例40.（2022.上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓下方=1（°>6>0）的離心率為］其左焦點(diǎn)

到點(diǎn)尸（2,1）的距離為加.

（1）求橢圓的方程；

3

（2）直線>=-萬(wàn)工+機(jī)與橢圓相交于A8兩點(diǎn)，求尸的面積關(guān)于次的函數(shù)關(guān)系式，并求面積最大時(shí)直線

/的方程.

例41.(2022?陜西?安康市教學(xué)研究室三模(理))己知橢圓C：(+，=1(。>6>0)的離心率為孚，且

過點(diǎn)(1,2).

⑴求橢圓C的方程；

(2)若直線/被圓/+丁2=1截得的弦長(zhǎng)為2強(qiáng)，設(shè)直線,與橢圓C交于A,3兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求

面積的最大值.

例42.(2022.全國(guó)?清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))如圖所示，M、。分別為橢圓一+丁=1(。>1)的左、右

a

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過加點(diǎn)作兩條互相垂直的直線M4,A?與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，求ADAB面積的最大值.

例43.(2。22.廣東汕頭.高三階段練習(xí))已知橢圓C:1+Qm>“。)的離心率為今橢圓上一動(dòng)點(diǎn)尸

與左、右焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大值為6.

⑴求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A8,直線PQ交橢圓C于尸，。兩點(diǎn)，記直線AP的斜率為左，直線8。的斜

率為心，已知左=3口.

①求證：直線PQ恒過定點(diǎn)；

②設(shè)人4尸。和VBPQ的面積分別為岳,邑，求|S「閔的最大值.

22

例44.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知點(diǎn)42,1)在雙曲線C:5-一J=上，直線/交C于尸，Q

Cld—1

兩點(diǎn)，直線AP,人。的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

(2)若tanNPAQ=27I,求△尸AQ的面積.

例45.(2022?浙江?高三開學(xué)考試)如圖，已知雙曲線C:、-必=i,經(jīng)過點(diǎn)7(1,1)且斜率為左的直線/與

C交于A2兩點(diǎn)，與C的漸近線交于兩點(diǎn)(從左至右的順序依次為其中ZqO,三

(1)若點(diǎn)T是MN的中點(diǎn)，求女的值;

(2)求△OBN面積的最小值.

例46.(2022?江蘇?南京市第一中學(xué)高三階段練習(xí))已知A,B,C為橢圓］+丁=1上不同的三點(diǎn)，則4

ABC的面積最大為（）

B.也36n3灰

Au?---

-1444

例47.（2022?廣東茂名?高三階段練習(xí)）已知拋物線C：V=8x的準(zhǔn)線為/,/與x軸交于點(diǎn)「，直線》=1

與拋物線C交于A,3兩點(diǎn)，則△PAB的面積為（）

A.4A/2B.6他C.872D.1272

22

例48.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)百，F(xiàn)?是雙曲線C：L-匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在

48

OEOPEP+OPcU

C的右支上，且而",則耳的面積為.

例49.（2022?全國(guó)?高三階段練習(xí)（理））已知點(diǎn)廠為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，過尸作直線A3與拋物線交于

A3兩點(diǎn)，以A8為切點(diǎn)作兩條切線交于點(diǎn)尸，則△PAB的面積的最小值為.

方向2：四邊形問題

例50.（2022.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)（文））已知A、2分別為橢圓「：^-+/=1（?>1））的上、下頂點(diǎn)，尸是橢

圓「的右焦點(diǎn)，C是橢圓「上異于A、8的點(diǎn)，點(diǎn)。在坐標(biāo)平面內(nèi).

（1）若=求橢圓：T的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若a=2,且。1LAD,CB±BD,求四邊形。1DB面積S的最大值.

22

例51.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知點(diǎn)M是橢圓C：上+上=1上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)t,居分別為橢

43

圓的左、右焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，E為加月的中點(diǎn)，的平分線與直線E。交于點(diǎn)P,則四邊形

MF"的面積的最大值為.

22

例52.（2022?陜西?三模（文））已知橢圓石:j+斗=1（〃>匕〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳工，橢圓E的離

ab

心率為正，且通徑長(zhǎng)為1.

2

（1）求E的方程；

（2）直線/與E交于M,N兩點(diǎn)（M,N在x軸的同側(cè)），當(dāng)月M//KN時(shí)，求四邊形耳層NM面積的最大

值.

22

例53.（2022?湖南?武岡市第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓L+二=1,A是橢圓的右頂點(diǎn)，8是橢圓的上頂

169

點(diǎn)，直線/：'=丘+/化＞。）與橢圓交于/、N兩點(diǎn)，且M點(diǎn)位于第一象限.

（1）若6=0,證明：直線AM和AN的斜率之積為定值；

3

（2）若左=：,求四邊形4WBN的面積的最大值.

4

例54.（2022?四川.綿陽(yáng)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩定點(diǎn)￡（-1,0）,

F2（1,0）,平面上一動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和為20.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）過點(diǎn)可作兩條互相垂直的直線，分別與E交于A,B,C,￡＞四點(diǎn)，求四邊形AC3。面積的最小值.

【方法技巧與總結(jié)】

三角形的面積處理方法：.底.高（通常選弦長(zhǎng)做底，點(diǎn)到直線的距離為高）

四邊形或多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：分析圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點(diǎn)（尤其是

有平行條件的時(shí)候），可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化，降低計(jì)算量.特殊的，對(duì)角線互相垂直的四邊形，面積=對(duì)角

線長(zhǎng)度乘積的一半.

【過關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（理））已知拋物線E:Y=4y的準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)過點(diǎn)/作直線/交E于A,B

兩點(diǎn)，且的+麗=6，則直線/的斜率是（）

A.+也B.+述C.+述D.+迪

2432

22

2.（2022.四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））雙曲線0：土—21=1,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是雙曲線

48

C的斜率為正的漸近線與直線x=的交點(diǎn)，尸是雙曲線。的右焦點(diǎn)，。是線段。尸的中點(diǎn)，若B是圓

3

爐+丁=1上的一點(diǎn)，則△A3。的面積的最大值為（）

A2\/^+口2屈+3n6+1

233

2

3.（2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知點(diǎn)尸是雙曲線％2—2_=1的左焦點(diǎn)，直線以-丁-12=0

8

與該雙曲線交于兩點(diǎn)尸，。，則△FPQ的重心G到y(tǒng)軸的距離為（）

A.1B.4C.3D.2

4.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)（理））過雙曲線V—/=ie〉o）的右焦點(diǎn)/且斜率為—g的直線分別交雙曲線的

漸近線于A,3兩點(diǎn)，A在第一象限，3在第二象限，若麗=陽(yáng)，則人=（）

A.1B.&C.百D.2

22

5.（2022?山東煙臺(tái)?三模）過雙曲線C：三-2=1（fl>0,6>0）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于

ab

A,8兩點(diǎn)，。為A8中點(diǎn)，若kAB-k°D=g，則C的離心率為（）

A.76B.2C.73D.艙

2

22

6.（2022?湖北?襄陽(yáng)四中模擬預(yù)測(cè)）設(shè)耳，F(xiàn)?是雙曲線C：J—。=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在

169

雙曲線C上且|。尸|=5,則△尸片耳的面積為（）

A.3B.9C.12D.16

7.（2022.全國(guó)?哈師大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知圓C:（x-3）2+y2=i,若拋物線y?=2px（p>0）上存在點(diǎn)

M,過點(diǎn)/作圓C的兩條切線，切點(diǎn)48滿足NAMB=60。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.^0,3—A/5JB.—+A/5,+<?j

C.[3-A/5,3+A/5]D.[3+0,+可

2

8.（2022?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線f-4=1,若過點(diǎn)（2,2）能作該雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離

a

心率e取值范圍為（）

A.C.D.以上選項(xiàng)均不正確

二、多選題

9.（2022?遼寧?沈陽(yáng)二中模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A1卜0,0）,N（0,O）,若某直線上存在點(diǎn)尸，使得

\PM\-\PN\=2,則稱該直線為“好直線”，下列直線是“好直線”的是（）

A.x+y=OB.元一>一3=0C.2x+y+3=0D.2x+y—3=O

10.（2022?湖南常德?一模）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離為2,則（）

A.焦點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0）

B.過點(diǎn)4（-1,0）恰有2條直線與拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

C.直線》+'-1=。與拋物線C相交所得弦長(zhǎng)為8

D.拋物線C與圓《+丁=5交于M,N兩點(diǎn)，則|肱V|=4

11.（2022.福建?上杭一中模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：>2=2》的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線與拋物線交于P,

。兩點(diǎn)，M為線段尸。的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的有（）

A.M的坐標(biāo)可能為（1,2）B.坐標(biāo)原點(diǎn)在以PQ為直徑的圓內(nèi)

C.OP與。。的斜率之積為定值D,線段PQ的最小值為4

2

12.（2022?福建省漳州第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓尤2+匕=1的上下焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,