2024秋高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列第1課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式練習(xí)含解析新人教A版必修5

PAGEPAGE1第1課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．有窮等差數(shù)列5，8，11，…，3n＋11(n∈N*)的項(xiàng)數(shù)是()A．n B．3n＋11C．n＋4 D．n＋3解析：在3n＋11中令n＝1，結(jié)果為14，它是這個(gè)數(shù)列的第4項(xiàng)，前面還有5，8，11三項(xiàng)，故這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為n＋3.答案：D2．若{an}是等差數(shù)列，則由下列關(guān)系確定的數(shù)列{bn}也肯定是等差數(shù)列的是()A．bn＝aeq\o\al(2,n) B．bn＝an＋n2C．bn＝an＋an＋1 D．bn＝nan解析：{an}是等差數(shù)列，設(shè)an＋1－an＝d，則數(shù)列bn＝an＋an＋1滿意：bn＋1－bn＝(an＋1＋an＋2)－(an＋an＋1)＝an＋2－an＝2d.答案：C3．在等差數(shù)列{an}中，a2＝2，a3＝4，則a10＝()A．12 B．14 C．16 D．18解析：設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閐＝a3－a2＝2，所以a1＝a2－d＝0，所以an＝0＋2(n－1)＝2(n－1)，所以a10＝2×(10－1)＝18.答案：D4．2018是等差數(shù)列4，6，8，…的()A．第1005項(xiàng) B．第1006項(xiàng)C．第1007項(xiàng) D．第1008項(xiàng)解析：由題易知通項(xiàng)an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，令2018＝2n＋2，所以n＝1008.答案：D5．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差數(shù)列，則x的值等于()A．0 B．log25 C．32 D．0或32解析：依題意得2lg(2x－1)＝lg2＋lg(2x＋3)，所以(2x－1)2＝2(2x＋3)，所以(2x)2－4·2x－5＝0，所以(2x－5)(2x＋1)＝0，所以2x＝5或2x＝－1(舍)，所以x＝log25.答案：B二、填空題6．已知a，b，c成等差數(shù)列，那么二次函數(shù)y＝ax2＋2bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)有________個(gè)．解析：因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c，又因?yàn)棣ぃ?b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，所以二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)有1或2個(gè)．答案：1或27．已知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且a4＝6，a6＝4，則a10＝________．解析：設(shè)公差為d，因?yàn)閑q\f(1,a6)－eq\f(1,a4)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,12)＝2d，所以d＝eq\f(1,24).同理，eq\f(1,a10)－eq\f(1,a6)＝4d＝4×eq\f(1,24)＝eq\f(1,6)，所以a10＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)8．?dāng)?shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－2，公差為4的等差數(shù)列．若an＝bn，則n的值為________．解析：an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝－2＋(n－1)×4＝4n－6，令an＝bn，得3n－1＝4n－6，所以n＝5.答案：5三、解答題9．等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝eq\f(2,5).所以{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n＋3,5).(2)由(1)知，bn＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n＋3,5))).當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，1≤eq\f(2n＋3,5)＜2，bn＝1；當(dāng)n＝4，5時(shí)，2≤eq\f(2n＋3,5)＜3，bn＝2；當(dāng)n＝6，7，8時(shí)，3≤eq\f(2n＋3,5)＜4，bn＝3；當(dāng)n＝9，10時(shí)，4≤eq\f(2n＋3,5)＜5，bn＝4.所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知數(shù)列{an}滿意an＋1＝eq\f(1＋an,3－an)(n∈N*)，且a1＝0.(1)求a2，a3的值．(2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))為等差數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,2).(2)存在．理由：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))為等差數(shù)列，則eq\f(1,a1－λ)，eq\f(1,a2－λ)，eq\f(1,a3－λ)成等差數(shù)列，所以eq\f(2,a2－λ)＝eq\f(1,a1－λ)＋eq\f(1,a3－λ)，所以eq\f(2,\f(1,3)－λ)＝eq\f(1,0－λ)＋eq\f(1,\f(1,2)－λ)，解得λ＝1.因?yàn)閑q\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,\f(1＋an,3－an)－1)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(3－an,2（an－1）)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1－an,2（an－1）)＝－eq\f(1,2)，又eq\f(1,a1－1)＝－1，所以存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ＝1，使得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－λ)))是首項(xiàng)為－1，公差為－eq\f(1,2)的等差數(shù)列．B級(jí)實(shí)力提升1．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于()A．0 B．37 C．100 D．－37解析：設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，所以{an＋bn}為等差數(shù)列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{an＋bn}為常數(shù)列，所以a37＋b37＝100.答案：C2．在數(shù)列{an}中，a1＝3，且對(duì)于隨意大于1的正整數(shù)n，點(diǎn)(eq\r(an)，eq\r(an－1))都在直線x－y－eq\r(3)＝0上，則an＝________．解析：由題意得eq\r(an)－eq\r(an－1)＝eq\r(3)，所以數(shù)列{eq\r(an)}是首項(xiàng)為eq\r(3)，公差為eq\r(3)的等差數(shù)列，所以eq\r(an)＝eq\r(3)n，an＝3n2.答案：3n23．已知數(shù)列{an}滿意a1＝4，an＋1＝4－eq\f(4,an)，其中n∈N*.設(shè)bn＝eq\f(1,an－2).(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(1)證明：因?yàn)閎n＋1＝eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)＝eq\f(an,2an－4)，所以bn＋1－bn＝eq\f(an,2（an－2）)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2（an－2）)＝eq\f(1,2)，b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列．(2)由(1)知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an