第5講-離散方程的求解

第五講離散方程求解屠基元教授清華大學墨爾本皇家理工大學第1頁2控制方程向代數(shù)方程轉化I均勻發(fā)燒無限大平板穩(wěn)定導熱問題。xyzABTA=100oCTB=400oCLq=500W/m3控制體體積

x

x

xPEWew1234TATB

x/2

x/2大平板區(qū)域有限體積離散第2頁3控制方程向代數(shù)方程轉化

II對于恒定傳熱系數(shù)和熱流量，方程變?yōu)椋阂刖€性近似梯度：將上述方程進行重新整理，得到代數(shù)方程：第3頁4控制方程向代數(shù)方程轉化III對于節(jié)點2和節(jié)點3，系數(shù)為

：對于節(jié)點1，系數(shù)為：對于節(jié)點4，系數(shù)為：控制體體積

x

x

xPEWew1234TATB

x/2

x/2第4頁5控制方程向代數(shù)方程轉化

IV控制體每一節(jié)點系數(shù)值代數(shù)方程矩陣形式：代入第5頁6二維離散化I一維網(wǎng)格二維網(wǎng)格第6頁7二維離散化

II因為代數(shù)方程式以上方程適合用于內(nèi)部點:對于節(jié)點或點第7頁8矩陣求解I

對于線性代數(shù)：

反演方法效率不高

高斯消元法并非最好方法

對于方程個數(shù)較多方程組，能夠利用迭代法求解第8頁9矩陣求解II

每個節(jié)點未知變量普通形式能夠寫成：重新排列上述方程，用雅可比喻法迭代：k+1

為新迭代級

對于高斯-賽德爾迭代方法k為上一步迭代級

收斂性判據(jù)第9頁10迭代法

–雅可比喻法利用雅可比迭代方法求解方程組演示第10頁11迭代方法–高斯-賽德爾方法利用高斯-賽德爾迭代方法求解方程組示例第11頁12二維熱傳導–高斯-賽德爾方法利用高斯-賽德爾迭代方法求解方程組第12頁差分方程求解將前面得到差分方程改寫為，或者簡單寫成矩陣形式，其中，第13頁差分方程求解第14頁差分方程求解與方程（1）對比，知，由方程（1）系數(shù)陣[A]特殊性，通常稱之為三對角方程（Tri-diagonalequation)三對角方程能夠采取非常高效追趕法（TDMA法）求解基于矩陣分解屬于必須掌握內(nèi)容第15頁差分方程求解TDMA法Fortran源程序第16頁計算機實現(xiàn)：算例求解下面一維穩(wěn)態(tài)導熱問題：第17頁計算機實現(xiàn)：算例求解區(qū)域離散化：內(nèi)節(jié)點法：先劃分控制容積，在確定節(jié)點均勻網(wǎng)格：

x=x將整個求解區(qū)域劃分為（N-2）個控制容積，N個節(jié)點（包含2個邊界節(jié)點）內(nèi)部節(jié)點差分方程第18頁計算機實現(xiàn)：算例其中，第19頁計算機實現(xiàn)：算例注意：采取內(nèi)節(jié)點法劃分網(wǎng)格時，近邊界節(jié)點與其它內(nèi)部節(jié)點不盡相同，所以必須單獨考慮。123NN-1(

x)w(

x)e(

x)e當i＝2時(

x)w=?

x

w=W=1所以，當i＝2時第20頁計算機實現(xiàn)：算例所以，當i＝2時，第21頁計算機實現(xiàn)：算例當i＝3，4，…，N-2時，第22頁計算機實現(xiàn)：算例一樣，當i＝N-1時(

x)e=?

x

e=E=N所以，當i＝N-1時123NN-1(

x)w(

x)e(

x)e第23頁計算機實現(xiàn)：算例所以，當i＝N-1時，第24頁計算機實現(xiàn)：算例最終得到由（N－2）個方程組成方程組為求解上面方程，即可得到（N－2）個未知數(shù)，即，T2,T3,T4,…….,TN-1。第25頁計算機實現(xiàn)：算例注意：上面方程組是非線性，必須用迭代法求解求解方法：假定一個溫度分布：Ti，i＝1，2，3，。。。，N計算

i，i＝1，2，3，。。。，N計算a,b,c,d用TDMA法求解方程組，得到新溫度分布：Ti’計算：Max{abs(Ti-Ti’),i＝1,2,3,……,N}判斷：abs(Ti-Ti’)是否小于（精度要求）假如不能滿足精度要求，令Ti＝Ti’，重復上面計算滿足精度要求：計算結束第26頁計算機實現(xiàn)：算例希望大家用計算機完成上面計算，并與下面分析解結果比較：第27頁尤其提醒計算機實現(xiàn)基礎地位關鍵：掌握循環(huán)變量使用基礎：對算法清楚透徹把握保障：細心細心再細心第28頁29迎格調(diào)式I包含對流項和擴散項控制方程：網(wǎng)格雷諾數(shù)第2