2025年高考數(shù)學(xué)必刷題分類：第27講、多元最值問題（教師版）

第27講多元最值問題

知識梳理

解決多元函數(shù)的最值問題不僅涉及到函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、均值不等式等知識，還涉及到消元

法、三角代換法、齊次式等解題技能．

必考題型全歸納

題型一：消元法

例1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正實數(shù)x，y滿足lnxyexlny，則yex的最大值

為______.

1

【答案】/e2

e2

x

xxxxxxln

【解析】由lnxyexlny得lnye，所以lnxe，則xexlney，

yyyy

x

xlnx

因為x0，e0，y，所以ln0，

e0y

令f(x)xexx0，則f(x)ex(x1)0，所以fx在0,上單調(diào)遞增，

x

xlnxxx

所以由xexlney，即fxfln，得xln，所以y，

yyyex

x1x1

所以yex，

exexex

x12x

令g(x)x0，則g(x)，

exex

令g(x)0，得0x2；令g(x)0，得x2，

所以g(x)在0,2上單調(diào)遞增，在2,上單調(diào)遞減，

1x1

所以g(x)maxg(2)，即ye的最大值為．

e2e2

1

故答案為：．

e2

例2．（2024·廣東梅州·高三五華縣水寨中學(xué)校考階段練習(xí)）已知實數(shù)m,n滿足：

lnt

mem(n1)ln(n1)t(t0)，則的最大值為___________.

m(n1)

1

【答案】

e

【解析】由已知得，m0,n10,lnn10，

令fxxex(x0)，則f'xx1ex0，

\f(x)在0,上單調(diào)遞增，

又因為mem(n1)ln(n1)，

所以fmflnn1,

mlnn1，

mn1(n1)lnn1t,

lntlnt

，

mn1t

lnt

令gt(t0),

t

1lnt

所以g't，

t2

則當(dāng)t(0,e)時，g'(t)0，g(t)單調(diào)遞增；當(dāng)t(e,)時，g'(t)0，g(t)單調(diào)遞減；

1

所以g(t)g(e).

maxe

1

故答案為：.

e

例3．（2024·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）對任給實數(shù)xy0,不等式

x22y2cx(yx)恒成立,則實數(shù)c的最大值為__________.

【答案】224

【解析】因為對任給實數(shù)xy0,不等式x22y2cx(yx)恒成立，

2

x

2

x22y2y

所以c22，

xyxxx

yy

xt22

令t1，則cf(t)，

ytt2

2

t4t2(t22)(t22)

f(t)22，

tt2tt2

當(dāng)t22時，f(t)0，函數(shù)f(t)單調(diào)遞增；當(dāng)1t22時，f(t)0，函數(shù)f(t)單調(diào)

遞減，

所以當(dāng)t22時，f(t)取得最小值，f(22)224，

所以實數(shù)c的最大值為224

故答案為：224

題型二：判別式法

例4．（2024·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤魓,yR，4x2y2xy1，則當(dāng)

x______時，xy取得最大值，該最大值為______.

1514154

【答案】/15/15

30301515

【解析】令xyt，則ytx，

2

則4x2y2xy4x2txxtx4x2txt21，

即4x2txt210，

22415415

由t16t10，解得：t，

1515

415

故xy，

15

415

xy15715

故15，解得：x，y，

223030

4xyxy1

15715

所以當(dāng)且僅當(dāng)x，y時，等號成立，

3030

故答案為：15，415

3015

例5．（2024·全國·高三競賽）在ABC中，2cosA3cosB6cosC，則cosC的最大值為

_______________．

【答案】141

6

2

【解析】令cosAx,cosBy,cosCz，則2x3y6z，即y2zx．

3

因為cos2Acos2Bcos2C2cosAcosBcosC1，

2

2222

所以x2zxz12x2zxz，

33

1342282

整理得zx4zzx5z10，

933

2

282134z

Δ4zz45z10，

393

24z13

化簡得(z1)(z1)4z0，

39

24z13141

于是4z0，得z，

396

141

所以cosC的最大值為．

6

141

故答案為：.

6

axb

例6．（2024·高一課時練習(xí)）設(shè)非零實數(shù)a，b滿足a2b24，若函數(shù)y存在最大

x21

值M和最小值m，則Mm_________.

【答案】2

b2b2

【解析】化簡得到y(tǒng)x2axyb0，根據(jù)0和a2b24得到y(tǒng)，解得

22

axb

答案.y，則yx2axyb0，則a24yyb0，

x21

即4y24yba20，a2b24，故4y24ybb240，

b2b2b2b2

2yb22yb20，即y，即m,M，

2222

Mm2.

故答案為：2.

1

變式1．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）若正實數(shù)x,y滿足(2xy1)2(5y2)(y2)，則x

2y

的最大值為________．

32

【答案】1

2

【解析】令x1t,(t0)，則22，即

2y(2xy1)(2yt2)(5y2)(y2)

(4t25)y2(88t)y80，因此

22232

(88t)32(4t5)02t4t70，解得：0t1，當(dāng)t132時，

22

4t462835242132

y0，x0，因此x的最大值為1

4t2517122122162y2

32

故答案為：1

2

變式2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a,bR，0，若a2b24，且ab的最大值

是5，則___________.

【答案】4

abd2222

【解析】令ab=d，由22消去a得：(db)b4，即(1)b2dbd40，

ab4

24(1)11

而bR，0，則(2d)24(1)(d24)0，d，2d2，

1

依題意25，解得4.

故答案為：4

題型三：基本不等式法

xyyz

例7．設(shè)x、y、z是不全是0的實數(shù).則三元函數(shù)fx,y,z的最大值是_____.

x2y2z2

【答案】2

2

【解析】引入正參數(shù)λ、μ.

因為2x2y22xy，2y2z22yz，所以，

1212

xyx2y2，yzyz.

2222

21212

兩式相加得xyyzxyz.

2222

111

令，得2，

22222

2

故xyyzx2y2z2.

2

xyyz

2

因此，fx,y,z222的最大值為.

xyz2

例8．（2024·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實數(shù)x,y滿足2x2xyy21，則

x2y

的最大值為________.

5x22xy2y2

【答案】2

4

【解析】由2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，

1

設(shè)2xyt,xy，其中t0.

t

112111

則xt,yt，從而x2yt,5x22xy2y2t2，

33t3t3tt2

1x2yu

記ut，則，

t5x22xy2y2u22

112

不妨設(shè)u0，則224,

u2u

uu

22

當(dāng)且僅當(dāng)u，即u2時取等號，即最大值為.

u4

2

故答案為：.

4

abbc

例9．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)a,b,c，則的最大值為_________．

2a2b2c2

【答案】6

4

abbcabbcabbc16

222

【解析】2abc2122222224（當(dāng)且僅

2abbc2ab2bc2

33333

36

當(dāng)2ab，bc時取等號），

33

abbc6

的最大值為.

2a2b2c24

6

故答案為：.

4

題型四：輔助角公式法

例10．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)角、均為銳角，則sinsincos

的范圍是______________．

3

【答案】1,

2

【解析】因為角、均為銳角，所以sin,cos,sin,cos的范圍均為0,1，

所以sinsincoscossinsinsin，

π

所以sinsincossincos2sin

4

ππππ3π

因為0,0,，

22444

π2

所以2sin21，

42

sinsincossinsincoscossinsin

2

=1sinsincoscossin1sincos2sin

=21sinsin，

當(dāng)且僅當(dāng)1sincos=sincos時取等，

令1sint，t0,1，sin1t2，

2

233

所以2

=21sinsin2t1tt.

222

3

則sinsincos的范圍是：1,.

2

3

故答案為：1,

2

例11．ycos()coscos1的取值范圍是．

1

【答案】[4,]

2

【解析】ycoscossinsincoscos1

(cos1)cos(sin)sin(cos1)

(cos1)2sin2sin()(cos1)

22cossin()(cos1)

因為sin()[1,1]，

所以22cos(cos1)y22cos(cos1)，

令t1cos，則t[0,2]，

則2tt2y2tt2，

21

所以y2tt2(t)24，（當(dāng)且僅當(dāng)t2即cos1時取等）；

22

21121

且y2tt2(t)2，（當(dāng)且僅當(dāng)t即cos時取等）．

22222

1

故y的取值范圍為[4,]．

2

題型五：柯西不等式法

例12．（2024·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知實數(shù)ai，biR，（i＝1，2…，n），且滿足

222222

a1a2an1，b1b2bn1，則a1b1a2b2anbn最大值為（）

A．1B．2C．n2D．2n

【答案】A

22L222L2L2

【解析】根據(jù)柯西不等式，a1a2anb1b2bna1b1a2b2anbn，故

1

ababab1，又當(dāng)a1b1a2b2...anbn時等號成立，故

1122nnn

a1b1a2b2anbn最大值為1

故選：A

例13．（2024·陜西渭南·高二校考階段練習(xí)）已知x，y，z是正實數(shù)，且xyz5，則

x22y2z2的最小值為______.

【答案】10

2

2222122

【解析】由柯西不等式可得x2yz11(xyz)，

2

5

所以x22y2z225，即x22y2z210，

2

x2yz

當(dāng)且僅當(dāng)111即x2yz也即x2,y1,z2時取得等號，

2

故答案為：10

例14．（2024·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知x2y2z21，a3b6c16，則

222

xaybzc的最小值為______.

【答案】9

2

【解析】∵a3b6c1612326a2b2c24a2b2c2

abc

∴a2b2c24,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即a1,b3,c6，

136

222

∵xaybzc12xabycza2b2c2

12x2y2z2a2b2c2a2b2c212a2b2c2a2b2c2

2

222abc136

abc19，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，可取x,y,z

xyz444

故答案為：9

變式3．（2024·全國·高三競賽）已知x、y、zR，且sx2y5z10，

tx1y1z1，則s2t2的最小值為.

A．35B．410

C．36D．45

【答案】C

【解析】由stx2x1y5y1z10z1，

149

st.

x1x2y1y5z1z10

2

知s2t2stst12336.

11

當(dāng)x1x2y1y5z1z10時，取得最小值36.

23

故答案為C

變式4．（2024·全國·高三競賽）設(shè)a、b、c、d為實數(shù)，且a2b2c2d240.則

3a2bc4d的最大值等于.

A．2B．0C．2D．22

【答案】D

【解析】由題意得a2b2c222d2，所以

22

222222222

4dabc232123a2bc22(利用柯西不等式）.

從而，4d3a2bc223a2bc22.

故3a2bc4d22.

當(dāng)且僅當(dāng)a32，b22，c2，d42時，等號成立.

題型六：權(quán)方和不等式法

11

例15．（2024·甘肅·高三校聯(lián)考）已知x>0，y>0，且1，則x+2y的最小值為

2xyy1

____________.

1

【答案】3

2

【解析】設(shè)x2y1(2xy)2(y1)t，

133

可解得,,t，

12222

133

從而x2y(2xy)(y1)

222

131131

(2xy)(y1)3，

222xyy122

133

當(dāng)且僅當(dāng)x,y時取等號.

233

1

故答案為：3．

2

21

例16．已知實數(shù)x,y滿足xy0且xy1，則的最小值是

x3yxy

【答案】322

2

2

2121322

【解析】．

x3yxy2x2y2

2113

當(dāng)時，x2,y2取等號．

x3yxy22

a2b2

例17．已知a1,b1，則的最小值是．

b1a1

【答案】8

22

a2b2abt24

【解析】ab2t0，t48.

b1a1ab2tt

ab22

當(dāng)ab時，即a2,b2，兩個等號同時成立．

b1a1

122

變式5．已知x,y0,1，則x2y2的最小值是．

xy

【答案】33

333

122122212233

【解析】1．

11122

xy2222

x2y2xy2xy

12

22

xy

即當(dāng)時，即x3,y32，有x2y2的最小值為33．

122

1

xy

題型七：拉格朗日乘數(shù)法

例18．x0，y0，xyxy17，求x2y3的最小值．

【解析】令F(x,y,)x2y3(xyxy17)

，，，

Fx1y0Fy2x0F(xyxy)170

1

聯(lián)立解得x5，y2，，故x2y3最小為12．

3

例19．設(shè)x,y為實數(shù)，若4x2y2xy1，則2xy的最大值是．

【答案】210

5

【解析】令L2xy(4x2y2xy1)，

10

Lx28x3y0x

由，解得10，

Ly12y3x0

2210

L4xyxy10y

5

1010210

所以2xy的最大值是2．

1055

題型八：三角換元法

例20．（2024·山西晉中·高三祁縣中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)3x33x3x3x3，

若f(3a2)f(b21)6，則a1b2的最大值是________

【答案】3

3

【解析】設(shè)g(x)=f(x)-3,所以g(x)=

3x33x3x3x,

所以g(x)3(x)33x3x3x,g(x)g(x)0,

所以g(-x)=-g(x),所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，

由題得g(x)9x233xln33xln30，

所以函數(shù)g（x）是減函數(shù)，

因為f3a2fb216，

所以f3a23fb2130，

所以g3a2gb21=0,

223

所以g3a=g(1-b),所以3a21b2,3a2b21,設(shè)acos,bsin,

3

不妨設(shè)cos0，

333

所以a1b2=cos1sin2(1sin2)cos2(1sin2)(1sin2)

333

333

=1sin4，所以a1b2的最大值為.

333

故答案為3

3

例21．（2024·浙江溫州·高一校聯(lián)考競賽）2x2xyy21，則x2xy2y2的最小值為

______.

【答案】429

7

2coscos

【解析】根據(jù)條件等式可設(shè)x,ysin，代入所求式子，利用二倍角公式和

77

輔助角公式化簡，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求出最值.2x2xyy21，則

2

222

7xx2，即7xx，

xyy1y1

4422

7xx2coscos

設(shè)cos,ysin，則x,ysin，

2277

22

222cos2coscoscos

xxy2ysin2sin

7777

4cos22sincos

2sin2

77

41cos2sin2

1cos2

727

159

sin2cos2

777

42935

sin2，其中是輔助角，且tan，

777

429

當(dāng)sin21時，原式取得最小值為.

7

429

故答案為：.

7

題型九：構(gòu)造齊次式

2xyxy

例22．（2024·江蘇·高一專題練習(xí)）已知x0，y0，則的最大值是______.

x28y2x22y2

【答案】2

3

x4y

3()

2xyxy3x3y12xy3yx

【解析】由題意，22224224

x2y2

x8yx2yx10xy16y()16()10

yx

x4yx4y

3()3()

yxyx

x4yx4y2，

()22()

x4y

yxyx

yx

x4yx4yx4yx4y

設(shè)t，則t24，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y取等號，

yxyxyxyx

2

又由yt在[4,)上單調(diào)遞增，

t

2929

所以yt的最小值為，即t，

t2t2

x4y

3()

yx32

所以x4y22，

()t3

x4y

yxt

yx

2xyxy2

所以的最大值是.

x24y2x22y23

2

故答案為：.

3

3a1

例23．（2024·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知實數(shù)a,b0，若a2b1，則

bab

的最小值為（）

A．12B．23C．63D．8

【答案】A

3a1

【解析】由，a2b1，a,b0，

bab

2

3a13aa2b

所以

babbab

3aa24ab4b2

bab

3aa4b

4

bba

4a4b4a4b

4248412，

baba

4a4b1

當(dāng)且僅當(dāng)ab時，取等號，

ba3

3a1

所以的最小值為：12，

bab

故選：A.

ab

例24．（2024·天津南開·高三統(tǒng)考期中）已知正實數(shù)a，b，c滿足a22ab9b2c0，則

c

的最大值為____________．

1

【答案】/0.25

4

【解析】由a22ab9b2c0，得ca22ab9b2，

∵正實數(shù)a，b，c

abab1

∴則22a9b

ca2ab9b2

ba

a9ba9b

則26，

baba

a9b

當(dāng)且僅當(dāng)，且a，b>0，即a=3b時，等號成立

ba

a9b

240

ba

11

則a9b

24

ba

ab1

所以，的最大值為.

c4

1

故答案為：.

4

題型十：數(shù)形結(jié)合法

例25．（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)fxx2axb（a，bR）在區(qū)間[0，c]（c0）

上的最大值為M，則當(dāng)M取最小值2時，abc_____

【答案】2

【解析】解法一：因為函數(shù)yx2axb是二次函數(shù)，

所以fxx2axb（a，bR）在區(qū)間[0，c]（c0）上的最大值是在[0，c]的端點取到

a

或者在x處取得．

2

aa2

若在x0取得，則b2；若在x取得，則b2；

24

若在xc取得，則c2acb2；

進(jìn)一步，若b2，則頂點處的函數(shù)值不為2，應(yīng)為0，符合題意；

若b2，則頂點處的函數(shù)值的絕對值大于2，不合題意；

a2

由此推斷b，即有b2，ac0，

4

于是有abc2．

解法二：設(shè)gxx2，hxaxb，則fxgxhx．

22

首先作出gxx在x0,c時的圖象，顯然經(jīng)過（0，0）和c,c的直線為h1xcx，

該曲線在[0，c]上單調(diào)遞增；

2

其次在gxx圖象上找出一條和h1xcx平行的切線，

2

不妨設(shè)切點為x0,x0，于是求導(dǎo)得到數(shù)量關(guān)系2x0c．

2

結(jié)合點斜式知該切線方程為hxcxc．

24

1c2c2

因此Mmin02，即得c4．此時hxcx，

248

即hx4x2，那么a4，b2．從而有abc2．

xlnx,x0

例26．（2024·江蘇揚(yáng)州·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)fx，若x1x2且

2x4e,x0

fx1fx2，則x1x2的最大值為（）

15

A．2eB．2e1C．5eD．e

e2

【答案】D

【解析】當(dāng)x0時，fxxlnx，

1

求導(dǎo)fxlnx1，令fx0，得x

e

11￠

當(dāng)x0,時，fx0，fx單調(diào)遞減；當(dāng)x,時，f(x)>0，fx單調(diào)遞增；

ee

作分段函數(shù)圖象如下所示：

設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x1，過點A作y軸的垂線交函數(shù)yfx于另一點B，設(shè)點B的橫坐標(biāo)為

5

x2，并過點B作直線y2x4e的平行線l，設(shè)點A到直線l的距離為d，xxd，

122

由圖形可知，當(dāng)直線l與曲線yxlnx相切時，d取最大值，

令fxlnx12，得xe，切點坐標(biāo)為e,e，

2ee4e

此時，d5e，

5

55

xx5ee，

12max22

故選：D

xlnx,x0

例27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx，若x1x2且fx1fx2，

x1,x0

則x1x2的最大值為（）

A．22B．2C．2D．1

【答案】B

【解析】設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x1，過點A作y軸的垂線交函數(shù)yfx于另一點B，設(shè)點B的

橫坐標(biāo)為x2，并過點B作直線yx1的平行線l，設(shè)點A到直線l的距離為d，計算出直線l

的傾斜角為，可得出xx2d，于是當(dāng)直線l與曲線yxlnx相切時，d取最大值，

412

從而x1x2取到最大值.當(dāng)x0時，fxxlnx，

1

求導(dǎo)fxlnx1，令fx0，得x

e

11￠

當(dāng)x0,時，fx0，fx單調(diào)遞減；當(dāng)x,時，f(x)>0，fx單調(diào)遞增；

ee

如下圖所示：

設(shè)點A的橫坐標(biāo)為x1，過點A作y軸的垂線交函數(shù)yfx于另一點B，設(shè)點B的橫坐標(biāo)為

x2，并過點B作直線yx1的平行線l，設(shè)點A到直線l的距離為d，x1x22d，

由圖形可知，當(dāng)直線l與曲線yxlnx相切時，d取最大值，

令fxlnx11，得x1，切點坐標(biāo)為1,0，

101

此時，d2，x1x2222，

2max

故選：B.

x,0x1,

變式6．（2024·江蘇·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx若存在實數(shù)x1，x2滿

ln2x,1x2,

足0x1x22，且fx1fx2，則x2x1的最大值為（）

ee

A．B．1C．1ln2D．2ln4

22

【答案】B

x,0x1,

【解析】fx的圖象如下

ln2x,1x2

存在實數(shù)x1，x2滿足0x1x22，且fx1fx2，即x1ln2x2

e

∴x21,，則x2x1x2ln2x2

2

ex1

令gxxln2x，x1,，則gx

2x

eee

∴gx在上單調(diào)遞增，故

1,gxmaxg1

222

故選：B

題型十一：向量法

例28．（2024·江蘇南通·高一海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友

的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的有趣問題：在三角