新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題05 解析幾何 解答題 鞏固練習(xí)五（教師版）

專題05解析幾何解答題鞏固練習(xí)五1．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的長軸長是短軸長的2倍，直線被橢圓截得的弦長為4．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)M，N，P，Q為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形MNPQ為菱形，原點(diǎn)О在直線MN上的垂足為點(diǎn)H，求H的軌跡方程．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意可得，則橢圓：，聯(lián)立，解得或，所以弦長，解得，所以，所以橢圓的方程為，即；（2）因?yàn)樗倪呅蜯NPQ為菱形，所以垂直且平分，設(shè)，則，兩式相減得，即，設(shè)菱形的中心為，若直線的斜率都存在，設(shè)直線的斜率分別為，由，得，所以，即，同理，所以，由得，所以，即菱形的中心為原點(diǎn)，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以，同理，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在圓上；若直線中有一條直線的斜率不存在，由對(duì)稱性可知棱形的中心為原點(diǎn)，四點(diǎn)分別為橢圓的頂點(diǎn)，不妨設(shè)為右頂點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，則，同理可得，點(diǎn)任在圓上，綜上所述，H的軌跡方程為.2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知雙曲線：（，）的離心率為，右頂點(diǎn)到漸近線的距離等于.(1)求雙曲線的方程.(2)點(diǎn)，在上，且，直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)直線過定點(diǎn)【解析】（1）由題意，取漸近線，右頂點(diǎn)到該漸近線的距離，又，，解得，，，的方程為.（2）由題意知直線的斜率存在且不為，設(shè)直線：，與的方程聯(lián)立，消去得，易知，由韋達(dá)定理得，則.因?yàn)椋?，用代替（顯然此時(shí)），同理得，得，直線：，過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，易知直線的方程為，過左焦點(diǎn).綜上，直線過定點(diǎn).

3．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與、不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】（1）解：設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所?即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)榇藭r(shí)，所以，所以，所以.因?yàn)?，所以，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，則，解得，所以，

由題知不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消整理得，，設(shè)、，則，.因?yàn)榈姆匠虨?，的方程為兩直線方程聯(lián)立得：.因?yàn)?所以，解得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)，直線、的傾斜角為、，由圖可知，且，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，所以的最大值為.4．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學(xué)家、物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.過點(diǎn)的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為P，Q，直線PA與直線交于點(diǎn)F，試證明B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）依題意有，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在，易知，，或，，當(dāng)，時(shí)，直線PA的方程為：，所以點(diǎn)，此時(shí)，，，顯然B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線，同理，時(shí)，B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線；（ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，顯然斜率，設(shè)直線的方程：，設(shè)，，由整理可得：，，，由（1）可得左右頂點(diǎn)分別為，，直線PA的方程為，又因?yàn)橹本€與交于F，所以，所以，，因?yàn)?，又，所以，所以，所以B，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線；5．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C：經(jīng)過圓：的圓心，C的左焦點(diǎn)F到圓上的點(diǎn)的距離的最小值為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)過點(diǎn)F作斜率之積為－1的兩條直線，，與C相交于A，B兩點(diǎn)，與C相交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別滿足，，問：直線PQ是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，試說明理由．【答案】(1)(2)直線PQ過定點(diǎn)．【解析】（1）圓的方程可化為，故，半徑，將代入橢圓方程得．設(shè)C的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（－c，0），則，解得，所以，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）直線PQ過定點(diǎn)，理由如下．由（1）知，因?yàn)椋男甭手e為－1，所以，易知，的斜率存在且不為0．由，，可知點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN的中點(diǎn)．設(shè)的