高中數(shù)學(xué)學(xué)案2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修 第二冊 《向量的加法運(yùn)算》

6.2.1向量的加法運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

1.理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義。（重點(diǎn)）

2.掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會用它們解決實(shí)1.數(shù)學(xué)運(yùn)算；

際問題。（重點(diǎn)）2.直觀想象

3.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會用它們進(jìn)行計(jì)算。（難點(diǎn)）

【自主學(xué)習(xí)】

一.向量加法的定義及其運(yùn)算法則

1.定義：求的運(yùn)算，叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是向量。

2.三角形法則

已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)力，作花=a,BC=b,則向量衣

叫做a與6的和，記作a+6,即a+6=荔+瓦=衣

這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則，運(yùn)用三角形法則

的關(guān)鍵是首尾相連，即荔+瓦=衣，這里的B點(diǎn)具有任意性。

3.平行四邊形法則

以同一點(diǎn)。為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、力為鄰邊作口如％,則沆就是ah/a+b

與6的和.我們把這種作向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則./

運(yùn)用平行四邊形法則的關(guān)鍵是共起點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，不能用平0=a/

行四邊形法則。

4.對于零向量與任意向量a,我們規(guī)定：a+0=0+a=a.

二.|a+引與|a|,|引之間的關(guān)系

（1）對于任意向量a,b,都有Wa+b\<；

⑵當(dāng)a,b共線，且同向時(shí)，有|a+b|=；

⑶當(dāng)a,6共線，且反向時(shí)，有|a+61=或.

點(diǎn)撥:根據(jù)向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”,

可以得出上述結(jié)論.

三.向量加法的運(yùn)算律

①交換律：a-\-b=b+a-,

②結(jié)合律：a+8+c=(a+力)+c=a+(6+c).

i

【小試牛刀】

思維辨析（對的打“J”，錯(cuò)的打“X”）

⑴任意兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.（）

⑵兩個(gè)向量相加實(shí)際上就是兩個(gè)向量的模相加.（）

⑶對于任意兩個(gè)向量，都可利用平行四邊形法則求出它們的和向量.（）

⑷若恭+反+冷=0,則4B,。為一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn).（）

⑸對于任意的點(diǎn)力，B,C,D,都有四+反+乃+為1=0.（）

⑹如果a,6是共線的非零向量，那么a+b的方向必與a,6之一的方向相同.（）

【經(jīng)典例題】

題型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則

點(diǎn)撥：（1）當(dāng)兩個(gè)不共線向量求和時(shí)，三角形法則和平行四邊形法則都可以用.

（2）利用向量的三角形法則求a+b,務(wù)必使它們的“首尾順次連接“；利用平行四邊形法則

求a+6,務(wù)必使它們的起點(diǎn)重合.

（3）多個(gè)向量求和時(shí)，可先求兩個(gè)向量的和，再和其他向量求和.

例1如圖⑴，（2）,（3）,已知向量a,b,分別求作向量

(1)(2)(3)

【跟蹤訓(xùn)練】1如圖所示，已知向量a、b、c,試作出向量a+b+c.

分析：本題是求作三個(gè)向量的和向量的問題，首先應(yīng)作出兩個(gè)向量的和，由于這兩個(gè)向量的和

仍為一個(gè)向量，然后再作出這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和，方法是多次使用三角形法則或平行四

邊形法則.

2

題型二向量的加法運(yùn)算律的應(yīng)用

點(diǎn)撥：運(yùn)用向量加法的交換律和結(jié)合律，將向量轉(zhuǎn)化為“首尾相接”，向量的和即為第一個(gè)向

量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，加快解題速度.

例24瓦6為平面上的任意點(diǎn)，化簡下列各式：

⑴池+赤+劭+反'+兩；

（2）（泡+施+CD+BC+EA.

【跟蹤訓(xùn)練】2如圖，E,F,G,〃分別是梯形力四的邊N8BC,CD,物的中點(diǎn)，化簡下列

各式：

⑴花+囪+蒸

（2）所+西+加礪

題型三向量加法的應(yīng)用

點(diǎn)撥：向量加法的實(shí)際應(yīng)用中，要注意如下：（1）準(zhǔn)確畫出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化

為向量；（2）將所求問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運(yùn)算，進(jìn)而利用向量加法的幾何意義進(jìn)行求解；

（3）將向量問題還原為實(shí)際問題.

例3長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖所示，一艘船從長江南岸/

點(diǎn)出發(fā)，以5鎘km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東5km/h.

⑴試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度；

⑵求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度方向間的夾角表示）.

3

【跟蹤訓(xùn)練】3輪船從/港沿東偏北30。方向行駛了40km到達(dá)8處，再由8處沿正北方向

行駛40km到達(dá)。處，求此時(shí)輪船與力港的相對位置.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.化簡辦+加畫+函的結(jié)果等于（）

A.QPB.OQ

C.SPD.SQ

2.如圖，在口力皿中，點(diǎn)￡是”的中點(diǎn)，若恭=a,AD=b,則應(yīng)=（）

A.B.萬&+8

C.a-D.5a-b

3.在口/皿中，^\BC+BA\=\BC+AB\,則四邊形加切是（）

A.菱形B.矩形

C.正方形D.不確定

4.若a,力是非零向量，且|a+引=|引一?,則（）

A.a,6同向共線

B.a,6反向共線

C.a,6同向共線且|引>|a]

D.a,8反向共線且共|>|a|

5.已知非零向量a,b,|a|=8,|Z>|=5,則|a+引的最大值為

4

6.某人在靜水中游泳，速度為"舟千米/小時(shí)，他在水流速度為4千米/小時(shí)的河中游泳.

他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度大小為多少？

【課堂小結(jié)】

1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法.當(dāng)兩個(gè)向量首尾相連時(shí)常選用三

角形法則，當(dāng)兩個(gè)向量共始點(diǎn)時(shí)，常選用平行四邊形法則.

2.向量的加法滿足交換律，因此在進(jìn)行多個(gè)向量的加法運(yùn)算時(shí)，可以按照任意的次序和任意

的組合去進(jìn)行.

3.向量加法的三角形法則可以推廣為多個(gè)向量求和的多邊形法則，即把每個(gè)向量平移，使這

些向量首尾相連，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量就是這些向量的和向量.

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【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

一.兩個(gè)向量和

二.\a\—\b\\a\+\b\\a\+\b\\b\—\a\a|—b\

【小試牛刀】

(1)V(2)X(3)X(4)X(5)V(6)X

【經(jīng)典例題】

例1解：⑴作應(yīng)=a,AB=b,則應(yīng)=a+b,如圖⑴.

⑵作灑=a,AB=b,則應(yīng)=a+6,如圖(2).

⑶作灑=a,AB=b,則應(yīng)=a+6,如圖(3).

【跟蹤訓(xùn)練】1作法1：如圖1所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作向量澇=&,接著作向量森

=b,則得向量應(yīng)=a+b；然后作向量比=小則向量沅‘=(a+5)+c=a+b+c即為所求.

作法2：如圖2所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，作向量^=a,OB=b,OC=c,以O(shè)A、OB

為鄰邊作。力施，連接劃，則應(yīng)=而+為=&+6.再以如、0C為然邊作LJODEC,連接陽則無

=0D+^C=a+b+c即為所求.

例2［解析］(1)恭+■+⑦+比+必=花+比+⑦+■+池=衣+⑦+雄+池=通+而=0.

6

(2)(森+施+CD+~BC+~EA

二(崩+砌+(Cb+D^)+曲=衣+游+9=漉+成=0.

［跟蹤訓(xùn)練】2解：⑴DG+EA+CB=GC+BE+CB=GC+CB+BE=GB+BE=GE.

(2)EG+宓+而+EB=EG+GD+~DA-VAE=ED+1M+AE=9+赤=0.

例3［解］⑴如圖所示，通表示船速，瀛表示江水速度.易知以四,"為鄰邊作

矩形40,則主表示船實(shí)際航行速度.

⑵在Rt&48C中，|靠|=5,|反1=5/，

22

所以1AC\=^|^p+|^p=^5+5r(3)—=也6=10.

―?

Igd

因?yàn)閠anNO6=J一~-二小,所以NO8=60°.

留

因此，船實(shí)際航行的速度大小為10km/h,方向與江水速度方向間的夾角為60°.

【跟蹤訓(xùn)練】3解：如圖所示，設(shè)念、灰分別是輪船的兩次位移，則而表示最終位移，且衣=

AB+BC.

的

在Rt△力劭中，|龐|=20km,\AD\=20^3km,

在Rt△力切中，衣|Y|"「+|比「=4(h/5km,ZCAD=60°,

即此時(shí)輪船位于A港東偏北60°,且距離A港4附km處.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】