高中數(shù)學(xué)基本數(shù)列專項(xiàng)練習(xí)

高中數(shù)學(xué)基本數(shù)列專項(xiàng)練習(xí)

一、單選題

(5+2)2

1.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S"，若%%=4,%=1，則"4，的最小

2%

值為()

A.4B.6C.8D.12

2.在數(shù)列｛or?｝中，若。1+。2=2,Man+i—an_i=1+cosnnt則數(shù)列｛。"｝的前100項(xiàng)和為

()

A.2540B.2545C.2550D.2560

3.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取其中線的1，構(gòu)成新的等邊三角形，面積為R；再取

新的等邊三角形中線的撩，構(gòu)成等邊三角形，面積為邑；......如此下去，形成一個(gè)不斷縮小

的正三角形系列，則第5次構(gòu)成的等邊三角形的面積S$，為()

D.正

162

4.數(shù)列［/,1/，的前2022項(xiàng)和為()

+1+y/2n-\J

A.麗-1B.施-C.^4043-1

D.74045-1

22

5.下面利用分析法證明問題的推理過程中不正確的是()

A.要證石+4<2石，只需證(百+近)’<(2石『

B.要證42+62-1-/640,只需證("-1)(〃-1)20

C.要證一元二次方程的兩個(gè)根西，馬都大于2,只需證占+々>4,且不今>4

D.要證a,b,c,為等差數(shù)列，只需證a+c=%

6.已知等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式““=-”+5,則它的公差為()

A.1B.-1C.5D.-5

7.若三個(gè)數(shù)8,A,2成等差數(shù)列，則A=()

A.+5B.+4C.5D.4

8.等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，等差數(shù)列｛〃,｝滿足％=4,則()

A.a3+<zl3>bh+bi2B.a}+al}>bh+hl2C.a}+al3^b(t+bl2D.大小不定

9.已知等差數(shù)列{4}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前"項(xiàng)和為S“，且滿足6=17,S5=a2a3,則

?12=()

A.28B.30C.32D.35

10.已知公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列｛q,｝的前c項(xiàng)和為S“，若其=10'，則公比q=

()

D

A.3B.2C*-5

11.已知數(shù)列?！皾M足％則下列結(jié)論成立的是()

A.^2020<a2021V02022B.4022<〃2()2I<。2020

C.〃2021V〃2O2()<“2022D.〃2O21<“2022<〃2O2O

12.設(shè)｛叫是等比數(shù)列，若生=4,的5=64,貝ij4=()

A.8B.12C.16D.32

13.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書是有一道這樣的題目：把100

個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的;是較小的兩份之

和，則最小的一份為()

A.10B.15C.20D.15

14.等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為3,若$7-56=24,%=8,則數(shù)列｛凡｝的公差d=

()

A.2B.4C.6D.8

15.在等差數(shù)列｛q｝中，若％+%=18,則4=()

A.9B.18C.27D.36

二、填空題

16.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)(1)(2)(3)的數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式:

(1)數(shù)列｛為｝是無窮等比數(shù)列；(2)數(shù)列｛%｝不單調(diào)；(3)數(shù)列｛Ia,,|｝單調(diào)遞減.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且S.=3"-2,貝1」。“=.

18.已知數(shù)列｛q｝滿足“臼…,則“9=.

19.已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，若點(diǎn)在函數(shù)/(x)=x2-2x的圖象上，則數(shù)列

｛%｝的通項(xiàng)公式為=.

20.已知數(shù)列｛g｝的前n項(xiàng)和為S”，且a“+S“=2(〃GN+),則｛見｝的通項(xiàng)公式為

三、解答題

21.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，?,=1,數(shù)列｛〃,｝為等比數(shù)列，4=2,且滿足

4+4=13,%+2=41.

⑴求見，b?.

⑵若也｝中的各項(xiàng)均為正數(shù)，設(shè)數(shù)列｛log?%｝的前n項(xiàng)和為S“，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

T?.

22.已知等比數(shù)列｛叫，％-4=18,4+々=18.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)己知數(shù)列也,｝中，滿足〃=%+晦4,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和J

23.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,“2+4=8,S8=40.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若?|?2-a203+a3a4-a4a5H---Va2n-ia2n-a2iflzn+\之，，2""對(duì)〃6N"恒成立，求實(shí)數(shù)，的取值

范圍.

24.已知數(shù)列｛q｝的前n項(xiàng)和為S“(〃eN”),且+舁+???+[=3〃+5.

⑴求外,4及數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)〃=log2號(hào)(〃eN*),求使得a+&+…+2>2022成立的最小正整數(shù)"的值.

【參考答案】

一、單選題

1.C

【解析】

【分析】

先求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，得到%=?和5“=2了，代入后利用基本不等式求出

最小值.

【詳解】

因?yàn)?4=4,且等比數(shù)列｛%｝各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a；=4,4=2,

公比q=S=2,首項(xiàng)q=：,

“34

所以S“=幺腎2=嬰，通項(xiàng)a“=a0i=享，

1—(744

92

所以》席…,

當(dāng)且僅當(dāng)蘭=3,.?.“=3,

42"

所以當(dāng)〃=3時(shí)，6'+/一的最小值為8.

故選：C.

2.C

【解析】

【分析】

討論〃為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，｛q｝對(duì)應(yīng)的數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)奇偶數(shù)項(xiàng)分組求和，即可求數(shù)列｛。"｝

的前100項(xiàng)和.

【詳解】

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，an+2—。"」=0,數(shù)歹式4"一1｝是首項(xiàng)為4,公差為0的等差數(shù)列，即常數(shù)

列；

當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，an+1-an!=2,數(shù)列｛的“｝是首項(xiàng)為電，公差為2的等差數(shù)列，則

工00=(4+%+”?+%))+(生+%+…+4no)

50x49

=50^+50%+?0x2=50(q+%)+50x49=2550.

故選：C.

3.C

【解析】

【分析】

設(shè)第”次取中線的|,構(gòu)成新的等邊三角形的邊長(zhǎng)為%,則為“=|X*4,,(〃€四)，從而

可得等邊三角形的邊長(zhǎng)是等比數(shù)列，求出火,再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

【詳解】

解：設(shè)第〃次取中線的;，構(gòu)成新的等邊三角形的邊長(zhǎng)為明,

Pl!laj>所以&1=eN),

32"/3、'

故等邊三角形的邊長(zhǎng)是以史為公比的等比數(shù)列，

3

2名

所以第5次構(gòu)成的等邊三角形的邊長(zhǎng)％=

所以第5次構(gòu)成的等邊三角形的面積Ss=L]xsin6()o=3.

525243

故選：C.

4.B

【解析】

【分析】

依題意/1,=叵+1-利用裂項(xiàng)相法求和即可；

【詳解】

解.J2〃+1+，2〃-1(j2"+l++1-2

記1k、,)的前“項(xiàng)和為,，

[A/2〃+1J+\/2n-lj

則4022=萬(A/3-y/1+>/5—5/3+-x/7—y/5+…+J4045—44043)

=1(74045-1)；

故選：B

5.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，依次分析各選項(xiàng)中推理過程是否正確，即可得答案.

【詳解】

解：對(duì)A：6+方>0且2石>0,(6+療尸<(2不)2是6+近<2百的充分條件，A正

確；

對(duì)B：^(a2-l)(Z?2-l)>0,變形可得八Z-qZ-^+iNO,dPa2+b2-l-a2b2<0,貝！J

(片一1乂廿—1"0是i+6―1_。2%40的充分條件,B正確;

對(duì)C：%+%>4,且內(nèi)鄉(xiāng)>4不能推出證一元二次方程的兩個(gè)根小三都大于2,如

Xj=l,x2=5,C錯(cuò)誤；

對(duì)D：若a+c=?,則4,仇c為等差數(shù)列，所以。+。=助是”,仇c為等差數(shù)列充分條件，D

正確；

故選：C.

6.B

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式化為關(guān)于n的一次函數(shù)形式判斷公差即可.

【詳解】

由=q+(〃-1)4=而+q_</=_〃+5,

所以"=-1,4=4,即公差為口

故選：B

7.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差中項(xiàng)公式求解即可.

【詳解】

三個(gè)數(shù)8,A,2成等差數(shù)列，則24=2+8,所以A=5.

故選：C

8.B

【解析】

【分析】

利用等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)，結(jié)合基本不等式求解.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列也｝是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，

所以卬6，八成等比數(shù)列，

所以4+《322M-2。8，

又?jǐn)?shù)列他｝是等差數(shù)列，

所以包也,生成等差數(shù)列，

所以=助9，

又因?yàn)閐=%,

所以%+43仇2，

故選：B

9.D

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的性質(zhì)，通項(xiàng)公式及其前”項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】

因?yàn)?5=5""。=5%=詠，所以“2=5,

又因?yàn)椤?=17,所以公差1=呼察=3,

6—2

所以“2=4+6〃=17+18=35,

故選：D.

10.A

【解析】

【分析】

直接應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式建立方程就可解出q.

【詳解】

由題知公比不為1且為正，由54=10反得綽二?=10?駕二以，化簡(jiǎn)得

\-q\-q

22

(1-9)(?-9)=0,所以q=3.

故選：A.

11.D

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷％<%<%<%,即可猜想數(shù)列｛《,｝的奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，偶數(shù)項(xiàng)

單調(diào)遞減，且奇數(shù)項(xiàng)均小于偶數(shù)項(xiàng)，再證明即可，從而得解；

【詳解】

解：因?yàn)?H),"用，所以見=(;7'

因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=單調(diào)遞減，所以即(邛>(甲>(_1)'，

即4</<“2，故>(*)>(w)，即為<"a<“2，所以4<“3<“4<“2,

可猜想數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞減，且奇數(shù)項(xiàng)均小于偶數(shù)項(xiàng),

因?yàn)?=(｛T，當(dāng)〃22時(shí)””=［『，

,所以In爭(zhēng)=-(a“-4"T)ln4(〃22)①,

因?yàn)?生'所以噴<。，即…,進(jìn)而得到%>%,

a

以此類推得a2k>2k-\且a2k>〃2A'+1，所以。2022>“2021，

由①可得In.吁2刖4(“22),

an-\

由q<%，所以In旦<。，即4<。2，由4得到4<。4，

。2

以此類推得｛%/單調(diào)遞減，所以內(nèi))22</。2。，

所以“2021V“2022<°2020；

故選：D

12.C

【解析】

【分析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】

64

是等比數(shù)列，所以的4=46=64，?4=y=16.

故選：C.

13.A

【解析】

【分析】

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式求解.

【詳解】

設(shè)最小的一份為4個(gè)，公差為d,4>0,1(a3+a4+a5)=a4+a2,

5x4

5a,+--4=100“一4=10

由題意〈'2,解得

d=5

%+3d=2%+d

故選：A.

14.B

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首相為4,公差為"，則4=4+("-l)d,

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，

%=$7_$6=24,又“3=8

:.a-1-a,=q+61-(4+24)=44=16

解得d=4

故選：B.

15.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等差中項(xiàng)，可知%+%=2%，由此即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等差數(shù)列，由等差中項(xiàng)可知4+火=24=18,

所以%=9.

故選：A.

二、填空題

n

16.a?(答案不唯一)

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)列｛4｝需要滿足的條件，可寫出答案.

【詳解】

由題意可得，滿足（1）數(shù)列｛q｝是無窮等比數(shù)列；（2）數(shù)列｛%｝不單調(diào);

（3）數(shù)列｛I*｝單調(diào)遞減，

故答案為：4=「可

[2.3"-l,n>2

【解析】

【分析】

利用?！?，5“關(guān)系，討論〃=1、〃22求｛%｝的通項(xiàng)公式，注意兩種情況下的公式是否可以合

并.

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，q=S[=3-2=l,

當(dāng)〃22時(shí)，4=S〃一S,』=3〃—3〃T=2?3〃T,

顯然4=1不滿足上式，

所以年守1一

故答案為：/“If

81

188-80

【解析】

【分析】

先將〃=8和〃=9代入條件，然后兩式相除，可得答案.

【詳解】

8

當(dāng)〃=8時(shí)，，有q,%=~

9

當(dāng)〃=9時(shí)，有q?

10

Q1

兩式相除，可得%=i

oO

Q1

故答案為：.

O（J

19.2〃-3##-3+2〃

【解析】

【分析】

由題，把點(diǎn)（〃，5“）代入函數(shù)/（x）=/-2x得S“=/-2〃，利用4=SA-S,I（〃22）求得

冊(cè),最后驗(yàn)證〃=1即可

【詳解】

由題，點(diǎn)（〃，S“）在函數(shù)/（尤）=/-2x的圖象上，則S.=/-2〃，

="-2〃一（〃一1）2+2（〃-1）=2〃-3（n>2）,當(dāng)〃=1時(shí)，q=S1=-1符合《,

所以《=2〃-3,

故答案為：2/7-3

.r

【解析】

【分析】

S|,〃=l

利用%=*求解即可

,n>2

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，q+Sj=2,得《=1,

當(dāng)，亞2時(shí)，由a,,+S,,=2（〃wN+）,得為一I+%|=2,

所以a“+S,,-a“_|-S,i=0,

a1

所以2。“-%=0,所以--n-=-,

12

所以數(shù)列｛q｝是以1為首項(xiàng)，■為公比的等比數(shù)列,

所以“,,=（￡[’，

故答案為：

三、解答題

21.（l）an=2n-\,2=2"或4=2?（一2嚴(yán)

（2）%=三

【解析】

【分析】

（1）設(shè)等差數(shù)列｛瑪｝的公差為d,等比數(shù)列也“｝的公比為q,根據(jù)題意列出方程組，求得

d=2,4=±2,進(jìn)而求得數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）得a=2",得到log,"：”,求得數(shù)歹ij｛bg2d｝的前〃項(xiàng)和S,,=Mp,

得至==——-7）,結(jié)合裂項(xiàng)求和，即可求解.

Sn/?（/?+1）nn+\

⑴

解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,等比數(shù)列｛2｝的公比為q,

因?yàn)樯?33,-1,可得黑q2八41'

解得d=2,g=±2,

又由4=1,所以數(shù)列｛a?｝的通項(xiàng)公式為a,=2n-\,

因?yàn)?=2,所以當(dāng)q=2時(shí)，b,,=2"；當(dāng)q=-2時(shí)，bn=2-(-2)'-'.

(2)

解：因?yàn)橐?｝中的各項(xiàng)均為正數(shù)，由(1)得a=2",

所以Iog2〃,=log22"=〃，所以數(shù)列｛log血｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

則數(shù)列｛log24｝的前n項(xiàng)和S1t=嗎W,

—二------二2?(-----------)

Sn/?(/?+!)nn+\

⑵北=3x2"'+Z±Ltl)+rt.log23-6

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題中的等式，求解數(shù)列的首項(xiàng)及公比可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式，求解出數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用分組求和法求解數(shù)列

的前n項(xiàng)和.

【詳解】

(1)記等比數(shù)列｛%｝的公比為q,由4-。產(chǎn)0可知4片1，%-4=卬/-4=18,

<+。2=4+44=18,解得4=6,夕=2,

所以數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為。“=6?2”T=32.

Z,nZ,

(2)bn=an+log2an=3-2+log2(3-2)=3-2+n+Iog23,

2n

7；,=3(2+2+---+2)+(l+2+---+n)+??-log23

2(1-2")+n(n+\)

=3x—j—~~^+〃4og23=3x24----+nlog23-6?

23.⑴%=2〃-4

⑵卜8,-；

【解析】

【分析】

(1)由求和公式結(jié)合通項(xiàng)公式列出方程組，求解得出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)由生(6-%)+%(%-。5)+…+a2n(%,1一出"+1)=-4(g+4+…+%”)結(jié)合求和公式得

22

出品為:對(duì)〃eN*恒成立，再由/(")=菅"的單調(diào)性得出，的取值范圍.

⑴

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為

(2a,+6d=8,

,％+6=8o,,口1

由(C_向得＜。8x7,..

[Sg—40,8qH——-d=40,

故a,,=-2+2(〃-1)=2〃-4.

⑵

因?yàn)?4-+44-44+…+/“一口2”-

=。式4一%)+“4…(%1一4”+|)

=—4(%+〃4+','+%")=—x----—■—=—8/?~+8/?>

2

所以_8〃2+8"2r?2"+3即f<±M對(duì)〃?N*恒成立.