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文檔簡介
2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列第6章圖形的相似章末測試
卷(拔尖卷)
【蘇科版】
考試時間:60分鐘;滿分:100分
姓名:班級:____________考號:
考卷信息:
本卷試題共23題,單選10題,填空6題,解答7題,滿分100分,限時60分鐘,本卷題型針對性較高,覆蓋
面廠,選題有深度,可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況!
一.選擇題(共10小題,滿分30分,每小題3分)
1.(2021秋?昭平縣期中)若%=康=系=品,則x等于()
A.-1或;B.-1C.;D.不能確定
2.(2021?河北)在如圖所示的網(wǎng)格中,以點。為位似中心,四邊形A8C。的位似圖形是()
A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形NHA1QD.四邊形N/7MR
3.(2021?玉環(huán)市一模)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價
最高銷售限價力最>。)
以及實數(shù)x(OVxVl)確定實際銷售價格c=a+x(〃-“),這里.1被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明,最佳樂
觀系數(shù)尸恰好使得一=—,據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)x的值等于()
c-ab-c
1V5V5+1V5-1
A."B.—C.-----D.----
2422
4.(2021?浙江自主招生)等腰△ABC中,AB=AC,E、尸分別是AZLAC上的點,且比:=”,連接CE、
rp3AE
BF交于點P,若而=¥則而的值為()
5.(2021秋?沙灣區(qū)期末)下列四個三角形中,與圖中的三角形相似的是()
6.(2021秋?南潺區(qū)期末)如圖,己知在△A8C紙板中,AC=4,3C=8,AB=\\,P是3c上一點,沿過
點P的直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板,如果有4種不同的剪法,那么CP長的取值范圍是
C.1WCPC8D.2WCPC8
7.(2021?溫州模擬)如圖,在RtZXABC中,NAC5=90°,CZ>_L/W于點。,正方形CQEF的頂點上在
線段A。上,G是邊EF上一點,連接AG,記AAEG面積為Si,△CBD面積為S2,若EG=BD,S1+S2
=16,則QE的長為()
c
C.4D.8
8.(2021秋?射洪市期末)如圖,E是矩形4BCZ)的邊CB上的一點,于點凡48=3,AD=2,
CE=1,則點A到直線OE的距離A尸的長度為()
C.2.5D.-V10
3
9.(2021?多城區(qū)校級一模)如圖,在△ABC中,NAC8=90°,AC=4,BC=3,尸是AB邊上一動點,
PQJ_AC于點。,點E在P的右側(cè),且尸E=l,連接CE,尸從點A出發(fā),沿方向運動,當(dāng)上到達點
B時,P停止運動,在整個運動過程中,陰影部分面積S1+S2的大小變化的情況是()
B.一直增大
C.先增大后減小D.先減小后增大
10.(2021秋?內(nèi)江期末)如圖,正方形ABCO中,E為BC中點,連接AE,??贚AE于點F,連接CR
2*,
FG上CF交AD于點G,下列結(jié)論:?CF=CD;②G為AD中點;③△OC/sAAGF;丁其中
結(jié)論正確的個數(shù)有()
D
16.(2021秋?雙流區(qū)校級月考)如圖,在四邊形A3CO中,AUL4C于點C,N/MC=NAOC,且BC=弘。,
當(dāng)CQ=4,AO=2時,線段8D的長度為.
三.解答題(共7小題,滿分52分)
a+b—ca—b+c-a+b+c
17.(2021秋?雁江區(qū)校級月考)已知a、b、c均為非零的實數(shù),且滿足-------=——=--------,求
cba
[a+b)(b+c)(c+a)
的值.
求絲、些
18.(2021?杭州模擬)如圖,設(shè)77?=P
QFPE
BD
19.(2021?撫順)如圖,將△48。在網(wǎng)格中(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1)依次進行位似變換、軸
對稱變換和平移變換后得到3c3.
(I)△AUC與△Aim。的位似比等于;
(2)在網(wǎng)格中畫例△AiBiCi關(guān)于),軸的軸對稱圖形AAzB2c2;
(3)請寫出383c3是由Z\A2及C2怎樣平移得到的?
(4)設(shè)點P(x,),)為aABC內(nèi)一點,依次經(jīng)過上述三次變換后,點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)
20.(2021秋?徐匯區(qū)期中)如圖,在△A8C中,AB=AC,AQ_L8C,點E為4。中點,連結(jié)BE,DFLBE
于點F,連結(jié)AF、CF.
4-EFFD
(1)求證:一=一.
AEDC
(2)若點G為AC中點,連結(jié)尸G、DG,求證:FG=DG.
21.(2021?無錫)王大伯要做一張如圖1的梯子,梯子共有8級互相平行的踏板,每相鄰兩級踏板之間的
孔離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度AiBi=05〃,最下面一級踏板的長度/康=0.8〃?.木工師
傅在制作這些踏板時,截取的木板要比踏板長,以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為4口〃的樣
頭(如圖2所示),以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為2.1〃?的木板可以用來制作梯子的踏板(木板的
寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求),請問:制作這些踏板,王大伯最少需要買幾塊這樣的木
板?請說明理由.(不考慮鋸縫的損耗)
%
/頭
4區(qū)
圖1圖2
22.(2021?寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線
段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角
形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△A/3C中,CD為角平分線,NA=40。,N4=60°,求證:CO為AA3c的完美分割
線.
(2)在△AZJC中,ZA=48°,CD足的完美分割線,且/SACO為等腰二角形,求NAC4的度數(shù).
(3)如圖2,△48C中,AC=2,BC=?CO是△A8C的完美分割線,且△4CO是以C7)為底邊的等
腰三角形,求完美分割線CO的長.
23.(2021?阜新模擬)在m?中,NAC8=45°.點。(與點8、。不重合)為射線8C上一動點,連
接A。,以A。為一邊且在A。的右側(cè)作正方形4?!辍?/p>
(1)如果AB=4C.如圖①,且點。在線段8c上運動.試判斷線段C/與BD之間的位置關(guān)系,并證
明你的結(jié)論.
(2)如果如圖②,且點。在線段上運動.(I)中結(jié)論是否成立,為什么?
(3)若正方形AQE/的邊所在直線與線段C尸所在直線相交于點P,設(shè)AC=4企,BC=3,CD=x,
求線段CP的長.(用含x的式子表示)
第6章圖形的相似章末測試卷(拔尖卷)
【蘇科版】
參考答案與試題解析
一.選擇題(共10小題,滿分30分,每小題3分)
1.(2021秋?昭平縣期中)若產(chǎn)品二忌=缶,則x等于()
U?Uvc-ICL<?u
A.-1或三B.-1C.-D.不能確定
22
【解題思路】分兩種情況討論:當(dāng)a+b+c^O時和當(dāng)a+b+c=l)時.
【解答過程】解:“箴=島=品
???當(dāng)"力+的)時,戶端%另;
當(dāng)a+b+c=0時,x==g=-I,
故選:A.
2.(2021?河北)在如圖所示的網(wǎng)格中,以點O為位似中心,四邊形ABC。的位似圖形是()
A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形NMVQD.四邊形
【解題思路】由以點。為位似中心,確定出點。對應(yīng)點M,設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,則OC=瓜
0M=2倔0D=V2,0B=V10,0A=V13,0R=V5,0Q=2或,OP=2y110,0H=3岳,0N=2A,
OM
由H;=2,得點。對應(yīng)點。,點9對應(yīng)點P,點A對應(yīng)點N,即可得出結(jié)果.
【解答過程】解:???以點。為位似中心,
???點C對應(yīng)點歷,
設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,
則0C=V22+I2=V5,0M=V42+22=2炳,0D=V2,0B=V32+l2=V10,0A=V32+22=V13,
OR=V2?+1?=瓜OQ=2>/2,OP=心+22=2\/10,OH=QS+3?=375,ON=V62+42=2/13,
?O?_M___2_x_^5__0
?-L-49
ocVs
???點。對應(yīng)點。點8對應(yīng)點P,點A對應(yīng)點N,
???以點0為位似中心,四邊形A8C。的位似圖形是四邊形NPMQ,
故選:A.
3.(2021?玉環(huán)市一模)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價
最高銷售限價b(b>a)
以及實數(shù)x(0<rVI)確定實際銷售價格c=〃+x(〃-〃),這里x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明,最佳樂
觀系數(shù)4恰好使得片=言’據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)1的值等于()
1B.匹V5+1V5-1
A.-C.----D.----
2422
匕-ac―a
【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件,由有二有,知1-2=(…#7(…)2,由此能求出最
佳樂觀系數(shù)x的值.
b—ac—a
【解答過程】解法「??.c”=x,酢=五
/.[x(b-a)]2=(h-a)2-x(b-a)2,
.*.JT+X-1=0,
解得A-=夷4
V0<x<l,
,-1+V5
?"―_2-
解法二:
由c=a+x(b?a),可得x=^~£,
b—a
,b-ac-a一一,、,
由----=----,可得(c-?)■=(b-a)(Z?-c),
c-ab-c
即(c-a)2=(A-a)["?tz)-(c-a)],
(c-a)2=(b-a)2-(.b-a)(c-?),
兩邊同時除以(力-。)2可得,
簿一Q、2c-a
詬)T一西'
將后公代入,可得f+x7=(),
解得x=斗⑤
VO<x<l,
—l+v'5
2
故選:D.
4.(2021?浙江自主招生)等腰△ABC中,AB=AC,E、尸分別是AB、4c上的點,且跖=AF,連接CE、
x/5-1
D.-------
2
【解題思路】作交BF于Z),如圖,根據(jù)平行于三足形的一邊,并且和其他兩邊(或兩邊的延
長線)相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例,設(shè)ED=4x,BE=y,則FC
=3x,AF=y,易得/IE=PC=3無,再利用OE〃人尸得到對應(yīng)邊成比例,利用比例的性質(zhì)和解方程得到1y
=6x,進而可得結(jié)果.
【解答過程】解:作EO〃AC交3小于。,如圖,
■:ED/IFC,
.EDEP4
**EP~PC~3
設(shè)ED=4x,BE=y,則/C=3x,AF=y,
f:AB=AC,
:.AE=FC=3x,
':DE//AFt
BEDE,y4x
:.-=--,BP--=一,
BAAFy+3xy
整理得y2-4xy-12:=0,
:.(y+2t)Cy-6A)=0,
AE3x1
??——
AF6x2
故選:A.
5.(2021秋?沙灣區(qū)期末)下列四個三角形中,與圖中的三角形相似的是()
D.
【解題思路】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及勾股定理可得所給圖形是兩直角邊分別為a,2好的直角三角形,然后
利用相似三角形的判定方法選擇答案即可.
【解答過程】解:根據(jù)勾股定理,所給圖形的兩直角邊為懺中區(qū)二式,后不斗=2或,
所以,夾直角的兩邊的比為奈-去
觀各選項,只有4選項三角形符合,與所給圖形的三角形相似.
故選:B.
6.(2021秋?南潺區(qū)期末)如圖,己知在8c紙板中,AC=4,8C=8,AB=\\,。是上一點,沿過
點P的直線剪下-一個與△A3C相似的小三角形紙板,如果有4種不同的剪法,那么CP長的取值范圍是
)
c
-----------------,
A.0VCPW1B.0VCPW2C.1WCPV8D.2WCPV8
【解題思路】分四種情況討論,依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可得到AP的長的取值范圍.
【解答過程】解:如圖所示,過P作交AC于?;騊E〃AC交A8于E,則△PCDs/\8CA或
△BPEs/XBCA,
此時0cpeV8;
如圖所示,過。作N8P〃=NA交于凡則
此時0VPCV8;
r
如圖所示,過P作NCPG=NA交AC于G,則△CPGS4CAB,
此時,XCPGsXCBA,
當(dāng)點G與點A重合時,CA1=CPXCB,即42=CPX8,
:.CP=2,
???止匕時,0VCPW2;
綜上所述,CP長的取值范圍是0VCPW2.
故選:B.
7.(2021?溫州模擬)如圖,在RtZkABC中,N4CB=90°,C7)_L/W于點。,正方形CQ"的頂點E在
線段AO上,G是邊EF上一點,連接AG,記△AEG面積為Si,△CB。面積為S2,若EG=BD,S1+S2
=16,則的長為()
c
A.4V2B.8V2C.4D.8
【解題思路】證明△4COS/\CB。,可得CQ2=AO?A。,根據(jù)EG=8O,SI+S2=16,可得CO的長,進
而可得OK的長.
【解答過程】解:???CQJ_AB,
???NCQ4=NAC8=90°,
/.ZACD+ZBCD=9Qa,N8+/8c0=90°,
JNACD=NB,
???△ACDs/\CBD,
CDAD
??,
BDCD
:.CD2=AD*BD,
???四邊形CDE/是正方形,
:.CD=DE,
?.?△A£G面積=Si=4xA£?£G,/XCB。面積=S2=x8O?CO,且EG=8O,
:.S\+S2=Ix/lfEG+lxBD*CD=1xBD*(AE+C。)=|xBD*(AE+ED)=^xBD*AD=1cD2=16,
乙乙乙乙乙乙
/.CD2=32,
:.CD=4y[2.
:.DE=CD=4>/2.
故選:A.
8.(2021秋?射洪市期末)如圖,E是矩形/WCO的邊CB上的一點,A凡LOE于點F,48=3,4。=2,
CE=\,則點A到直線?!甑木嚯x的長度為()
---------------------------1。
B
A.-V10B.—\1OC.2.5D.-V1O
5103
【解題思路】由四邊形ABC。是矩形,得到NAOC=/C=90°,CD=AB=3,BC=AD=2,根據(jù)勾股
定理得到。E的長,通過△AOFSZXQCE,得到對應(yīng)邊成比例,列方程即可得到結(jié)果.
【解答過程】解:???四邊形ABC。是矩形,
???N4Z)C=NC=90°,CD=AB=3,BC=AD=2,
DE="A+CE2=V32+I2=VW,
VAF.LDE,
AZAFD=ZC=90°,
/.ZDAF+ZADF=ZADF+ZCDE=9()G,
:.ZDAF=ZCDE,
???△ADFS/\DCE,
,CDAF
''DE~AD'
._3___AF
’而二
?“3710
故選:A.
9.(2021?若城區(qū)校級一模)如圖,在△44C中,NAC8=90°,AC=4,4c=3,。是43邊上一動點,
POJ_AC于點。,點后在尸的右側(cè),且PE=1,連接CE,P從點A出發(fā),沿A4方向運動,當(dāng)E到達點
B時,P停止運動,在整個運動過程中,陰影部分面積9+52的大小變化的情況是()
B.一直增大
C.先增大后減小D.先減小后增大
【解題思路】設(shè)夕。=工,A4ii上的高為力,想辦法求出A。、h,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解
決問題即可.
【解答過程】解:在RtZ\A3C中,VZACB=90°,AC=4,8C=3,
:.AB=y/AC2+BC2=V324-42=5,設(shè)PO=x,48邊上的高為
ACBC_12
*:PD//BC,
,△A。尸SAACB,
.PDAD
''BC-AC'
4s
.\AD=尹,PA=尹,
14i6、122°?3o16
5I+52=52*3~V\V4-52(5—乎3)5,一3=-v-32x+6=Z□(x—35)一+丁
???當(dāng)OVxV,時,S1+S2的值隨x的增大而減小,
當(dāng):<r<確寸,S1+S2的值隨A的增大而增大.
21
故選:D.
10.(2021秋?內(nèi)江期末)如圖,正方形A。。。中,E為BC中點、,連接。nLAE于點八連接C",
FGLCF交AD于點G,下列結(jié)論:?CF=CD;②G為AD中點;③△OC/S^AGF;=|,其中
結(jié)論正確的個數(shù)有()
C.3個D.4個
【解題思路】如圖,作CM_L。/于M.首先證明△£>?!尸絲△CDM,推出。M=AF,再證明OF=2AF,
推出。M=MF,推出CD=CF,再證明NGDF=NGF。,推出GD=GF,再證明Gr=G4即可證明GA
=GD,由此即可一一判斷;
【解答過程】解:如圖,作CM_L。/于M.
B
GE
C
???四邊形ABC。是正方形,
:.AB=BC=CD=AD,:,ZDAB=ZB=ZADC=9^,
VZADF+ZCDF=90°,ZCDF+ZDCM=90°,
JZADF=ZDCM,
*:DFLAE,CMLDF,
;?/AFD=NCMD=90°,
???△。人尸式/XCOM,
:.CM=DF,DM=AF,
VZADF+ZDAE=9()°,NDAE+NBAE=9()°,
ZBAE=ZADF,
■:BE=CE,
:?AB=2BE,
易證NBAEs/bDA,
*BEAF1
ABDF2
:?DM=MF,VCM1DF,
:.CD=CF,故①正確,
:.ZCDF=ZCFD,
???NCOG=NCVG=90°,
:.ZGFD=ZGDF,
:.GF=GD,
VZGDF+ZD/4F=90°,ZGFD+ZAFG=9Q°,
???NGA"=NGM,
:.GF=GA,
:?GD=GA,
,G是AQ中點,故②正確,
???ZAFD=ZGFC,
:?4AFG=4CFD,/GAF=/CDF,
:.XDCFSXAGF、故③正確,
]^AF=a,則。尸=2。,AB=BE=^a,
3
/.AE=于,EF=2-
4/72
故④正確,
故選:D.
二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)
11.(2021?欽州)如圖,以O(shè)為位似中心,將邊長為256的正方形O/WC依次作位似變換,經(jīng)第一次變化
后得正方形0481。,其邊長OA\縮小為OA的點經(jīng)第二次變化后得正方形OA2B2C2,其邊長042縮
小為。Al的點經(jīng)第三次變化后得正方形。4383c3,其邊長OA3縮小為042的J,…,依此規(guī)律,經(jīng)第〃
次變化后,所得正方形。4曲心的邊長為正方形Q4BC邊長的倒數(shù),則〃=16.
【解題思路】由圖形的變化規(guī)律可知正方形QA〃8〃Q的邊長為?)nx256,據(jù)此即可求解.
【解答過程】解:由圖形的變化規(guī)律可得
物X256=/,
解得M=16.
故答案為:16.
12.(2021秋?高州市期末)若線段a,b,c滿足關(guān)系£-=-?貝I]a:h:c=9:12:20.
b4c5
【解題思路】此類題做的時候可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)把兩個比例式中的相同字母變成所占的份數(shù)相同,
即可把三個字母的比的關(guān)系求解出來.
a3b3
【解答過程】解:??;=「-=
b4c5
a9b12
?*?丁=.
b12c20
?*.a:b:c=9:12:20.
故填9:12:20.
13.(2021春?雙流縣校級期中)已知線段/W=10c,〃,「、Q足線段AZ7的黃金分割點,則尸。=(106-
20)c〃」.
【解題思路】把一條線段分成兩部分,使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項,這樣的線段
V5-1
分割叫做黃金分割,他們的比值(不一)叫做黃金比.
【解答過程】解:根據(jù)黃金分割點的概念,可知AQ=BP=要XIO=(5V5-5)cm.
MPQ=AQ+BP-AB=(5V5-5)X2-10=(10遍-20)cm.
故本題答案為:(10西-20)cm.
?-----?------?-------?
ApoB
14.(2021?濰坊)如圖,某水平地面上建筑物的高度為/W,在點。和點尸處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CO
和£“,兩標(biāo)桿相隔52米,并且建筑物A3、標(biāo)桿CO和EF在同一豎直平面內(nèi),從標(biāo)桿CD后退2米到
點、G處,在G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端。在同一條直線上;從標(biāo)桿后退4米到點”處,在“
處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端£在同一條直線上,則建筑物的高.足54米.
【解題思路】根據(jù)題意可■得出4EFHs△人RH,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即
可得出結(jié)論.
【解答過程】解:法一::AB±BH,CDIBH,EFVBH,
:.AB//CD//EF,
:.ACDGs^ABG,△EFHs^ABH,
*CDDGEFFH
''AB-DG+BD’AB~FH+DF+BD'
?:CD=DG=EF=2m,。尸=52〃?,F(xiàn)H=4m,
22
''AB~2+B。'
24
AB~4+52+BD'
24
**2+SD-4+52+8。'
解得80=52〃?,
*22
''AB-2+52'
解得A8=54m.
法二:AB=X.則8H=2X,BG=X,
則有2x-x=54,
解得x=54,
故答案為:54.
4P1
15.(2021秋?流水縣期中)如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,尸點在邊上的高AZ)上,且一=BP
PD2
的延長線交4c于£,若Sd5C=10,則S,w2;SADEC=4.
【解題思路】如果把AABE與dABC看作同高的兩個三角形,那么它們的面積之比等于底之比,即等于
AEtAC.所以為了求出△ABE的面積,由于己知S&48C=10,只需求出人石:AC即可.為此,取石C中
點凡連接OF.先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出。為8C中點,又產(chǎn)為EC中點,根據(jù)三角形中位
線定理證出。尸〃再由平行線分線段成比例定理求出AE:EF,進而得出4氏AC;根據(jù)S“EC=SA
入BC-S公ABE,先求出SMEC,再根據(jù)三角形的中線將三角形的面枳二等分,得出S△力EC.
【解答過程】解:取EC中點凡連接。F.
':AB=AC,A。為8C邊上的高,
???。為8C中點.
?:F為EC中點,
:.DF//BE,則。/〃PF,
*AEAP1
''EF~PD~2
?A_E__1
''AC-5'
.S“BESE1
S^ABCAC5
:.S^ABE=vS/ABC=<X10=2;
*.*S^BEC=SMBC-SMBE=10-2=8,
又???。為8c中點,
:?S&DEC=聶\8EC=1X8=4.
故答案為2;4.
16.(2021秋?雙流區(qū)校級月考)如圖,在四邊形ABC。中,AC_L8C于點C,ZBAC=ZADC,JLBC=^AC,
當(dāng)C/)=4,AO=2時,線段BD的長度為.
2
【解題思路】在A3上截取4朋=從。=2,過M作MN〃4。交AC于N,把△AMN繞4逆時針旋轉(zhuǎn)得△
ADE,連接CE,則A/N_LAC,DE=MN,/DAE=/BAC,證出4C:AC:AB=3:4:5,由△ABQs4
BDAB5RCQ
ACE,得出一=一=證明△AMNs/XABC,求出MN=^XAM=1證出AE〃CO,得出NCQ£
CEAC4AB5
=90°,由勾股定理得出CE二名譽,即可得出答案.
【解答過程】解:如圖,在48上截取4M=AD=2,過M作MN〃BC交AC于N,把△AMN繞A逆時
針旋轉(zhuǎn)得△AOE,連接CE,
則/NJ_4C,DE=MN,ZDAE=ZBAC,
??4EO=NANM=9()°,
^3c
.?AC_LBC于點C,ZBAC=ZADC,BC=.
?B_C3
,AC-4
?.BC:AC:A8=3:4:5,
:MN//BC,
?.叢ABCs叢AMN,
:△八MNG△人。石,
??XhBCs
?A_BA_C
"AD~AEf
?A_BAD
AC-AE'
又???ZDAE+ZCAD=N8AC+/CAD,
??/BAD=NCAE,
??AABD^AACE,
tBD_AB_5
'CE~AC~A
:△AMNs^ABC,
,MNAM
'BC~AB'
?.MN=%XAM=JX2=4
:ZBAC=ZADC,
ZDAE=ZADC,
:.AE//CD,
:.ZCDE+ZAED=\SO°,
AZCDE=180°?NA£Q=90°,
2
+29一
在RtACDE中,CE=>/CD2+DE25一
但
71^
故答案為:2
三.解答題(共7小題,滿分52分)
口MS■口a+b-ca-b+c-a+b+c
17.(2017秋?雁江區(qū)校級月考)已知〃、b、c均為非零的實數(shù),且泄足丁二二二^^’求
H+匕)(b+c)(c+a)
的值.
abc
【解題思路】已知等式利用比例的性質(zhì)化簡表示出a+c,He,代入原式計算即可得到結(jié)果.
【解答過程】解:當(dāng)4+O+cWO時,
▼,一一,,,,一~“一,2、…a+b-ca-b+c-a+b+ca+b-c+a-b-i-c-a+b+c
利用比例的性質(zhì)化簡已知等式得:------=---=---------=-----------;-----------
cbaQ+b+c
a+b+c
---------=1?
a+b+c
即a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,
整理得:a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a,
此時原式=鬻=8:
當(dāng)a+b+c=0時,可得:a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,
則原式=-1.
力L-w(a+b)(b+c)(c+a)m.,
綜上可知,--------;--------的1y值為8o或-I.
abc
BDCEAFCQBP
(?杭州模擬)如圖,設(shè);=〃,,求京、
18.20217C7D17AE7=41-FB=/*?QF7P7E,
【解題思路】作QM"交AB于M.設(shè)尸M=x,FQ=y.利用平行線分線段成比例定理求出CF(用),
表示)即可解次問題.
【解答過程】解:作。M〃C尸交A/3于M.設(shè)FQ=y.
'DM//CF,
BMBD
'FM-CD~l
?BM=xp,
.AF:FB=r,
?AF=xr(p+1),
.FQ_AF_
DM-AM'
y="(P+l)
?DM-x+xr(p+l),
?DM=l+r(p+l).
r(P+l)■
DMBMpxp
CF~FB~px+x-p+1
.CF=l+r(P+l)小
l+r(p+l)_..
CQ_pry-y_山
QF_ypr
BP1+a
作FN〃座交AC于M同法可得而=干.
19.(2021?撫順)如圖,將△ABC在網(wǎng)格中(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1)依次進行位似變換、軸
對稱變換和平移變換后得到△八343c3.
(1)AABC與△AIBICI的位似比等于1;
2
(2)在網(wǎng)格中畫出△AiBi。關(guān)于),軸的軸對稱圖形4A282c2;
(3)請寫出383c3是由282c2怎樣平移得到的?
(4)設(shè)點P(x,>')為△ABC內(nèi)一點,依次經(jīng)過上述三次變賣后,點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-2x-2,
2v+2)
【解題思路】(1)根據(jù)位似圖形可得位似比即可;
(2)根據(jù)軸對稱圖形的畫法畫出圖形即可;
(3)根據(jù)△A3&C3與AA282c2的關(guān)系過程其變化過程即可;
(4)根據(jù)三次變換規(guī)律得出坐標(biāo)即可.
【解答過程】解:⑴)ZUBC與由6的位似比等于二者-另
(2)如圖所示
(3)△A3B3C3是由2c2沿x軸向左平移2個單位,再沿y軸向上平移2個單位得到;
(4)點P(x,),)為△ABC內(nèi)一點,依次經(jīng)過上述三次變換后,點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(?2.r?2,2),+2).
故答案為:-2,2)葉2).
20.(2021秋?徐匯區(qū)期中)如圖,在△A8C中,AB=AC,點E為4。中點,連結(jié)BE,DFLBE
于點F,連結(jié)4/、CF.
EFFD
(1)求證;~AE='DC
(2)若點6為AC中點,連結(jié)尸G、DG,求證:FG=DG.
【解題思路】(I)由4OIACDFIRF.,可得/用?。=/?!攴布从小餍?OS/\EQR,從而——=——.
EDBD
L口EFFD
又ED=AE,BD=DC,故不=77:
AEDC
(2)由NDBF=NEDF,可得NA£r=NCDR結(jié)合(1)的結(jié)論即知△AE”S/\CQF,故NAFE=NCFQ,
可得NAR7=90°,從而產(chǎn)G=±\C,而N4Z)C=90°,G為AC中點,WDG=^AC,即可證/7=。6.
【解答過程】證明:(1)':AD1BC,DFA.BE,
???NOB/=90°-ZFDB=ZEDF,
而NBED=NDEF,
:.叢EFDs叢EDB,
*_E_F__F_D
EDBD
???點E為AQ中點,
:?ED=AE,
?:AB=AC,AD±BC,
:,BD=DC,
.EFFD
''AE~DC'
(2)VZAEF=ZADB^ZDBF=^+NDBF,
NCDF=NCDA+NEDF=90°+NEDF,
而NDBI;=NEDF,
???NAEF=/CDF,
EFFD
由(1)知f—=,
AEDC
???XAEFsXCDF,
:.4AFE=4CFD,
yLZCFD+ZCFE=90o,
/.ZAFE+ZCFE=90°,即N'AfC=90°,
???G為AC中點,
:.FG=^AC,
VZADC=90°,G為AC中點,
ADG=|AC,
:,FG=DG.
21.(2021?無錫)王大伯要做一張如圖1的梯子,梯子共有8級互相平行的踏板,每相鄰兩級踏板之間的
走離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度44=0.5加,最下面一級踏板的長度4帖8=0&〃.木工師
傅在制作這些踏板時,截取的木板要比踏板長,以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為的樣
頭(如圖2所示),以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為2.1加的木板可以用來制作梯子的踏板(木板的
寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求),請問:制作這些踏板,王大伯最少需要買幾塊這樣的木
板?請說明理由.(不考慮鋸縫的損耗)
a
/頭
,福板j
UA6B;
圖i圖2
【解題思路】在解此題的過程中,一定要構(gòu)建相似三角形,因為踏板之間是相互平行,而且間隔相等,
所以可利用這一組平行線來構(gòu)建相似二角形,從而依次求出自上而下各條踏板的長度.另外千萬不要忽
略樺頭的長度;
解法二:可以把梯子看做一個等腰梯形,由中位線定理即可求解;
解法三:和解法二相同,都是利用梯形中位線,只不過又做了一條踏板A9B9,有Aia和A9B9能求出心心,
然后有A585和A9B9求出A7歷.再有A787和A989求出小國=80,從而算出A989的具體數(shù)值,這樣的話,
All至小風(fēng)的長就都能準(zhǔn)確求出,從而算出一共需要多少材料.
【解答過程】解:法一:如圖,設(shè)自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為A2B2,A383,A7B7,
過4作BB8的平行線分別交他及,心明,加風(fēng)于點C2,C3,…,C8.
???每兩級踏板之間的距離相等,
Cs^8=C7B7=?,?=C2B2=A\B\=50(772,A8c8=80-50=30CVM.
■A2C2〃A8B8,
N4A2c2=NAiA8c8,ZA\C2A2=ZAiCsAs,
1A2c2sZ\A1A8c8,
/.A2C2:A8c8=1:7,
.._30
??A2「r2="y"?
:.A2B2=50+孚
設(shè)要制作AiBi,A2B2,…,AiBi,A838這些踏板需用木板的長度分別為Mem,…,485,
則m=50+8=58,。2=50+當(dāng)+8=58+乎,。3=58+苧,。4=58+莽。5=58+苧,%=58+
號。,ci-j=58+—,。8=58+30,
??&+。2+。3+。4=232+苧>210,
???王大伯買的木板肯定不能少于3塊,
71n
又丁。1+a3+a6=174+寧=204<210,
240252
3+。4+。5=174+寧<174+等=210,
%+。8=146+拳=1711<210,
???王大伯最少買3塊這樣的木板就行了.
法二:如圖,分別取4A8,冏璘的中點P,Q,連接PQ.
設(shè)自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為42&,人3必,…,AiBj,則由梯形中位線定理可得:
A?B?=A2B2+A7Bi=A3B3+A6Bc>=A4B4+A5li5=2PQ.(2分)
*/AIBI=50?!ǎ珹sBs=80?!?,
.\A\B\+AsBs=A2B2+A7B~=A?,B3,+A6Bf>=A4B4+A5B5=130.(3分)
設(shè)要制作A]Bi,A282,…,AiBi,AsBs,
這些踏板需用木板的長度為mem,(12cm,48cm,
則41+48=42+47=。3+。6=44+。5=146.
?;ai+a2+…+〃8=I46X4=584>2IOX2,
???王大伯買的木板肯定不能少于3塊.(4分)
過4作8出8的平行線分別交A2B2,43例,…,A8B8,
于點C2,C3,…,。8.
???每兩級踏板之間的距離相等,
/.CsBs=CiBi=???=CiBi=A1Si=50c///,A8c8=80?50=30cm.
*.*A2C2//A8&!,
N
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