2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列(蘇科版)專題69 圖形的相似章末測試卷(拔尖卷)(舉一反三)(蘇科版)含解析_第1頁
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文檔簡介

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列第6章圖形的相似章末測試

卷(拔尖卷)

【蘇科版】

考試時間:60分鐘;滿分:100分

姓名:班級:____________考號:

考卷信息:

本卷試題共23題,單選10題,填空6題,解答7題,滿分100分,限時60分鐘,本卷題型針對性較高,覆蓋

面廠,選題有深度,可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況!

一.選擇題(共10小題,滿分30分,每小題3分)

1.(2021秋?昭平縣期中)若%=康=系=品,則x等于()

A.-1或;B.-1C.;D.不能確定

2.(2021?河北)在如圖所示的網(wǎng)格中,以點。為位似中心,四邊形A8C。的位似圖形是()

A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形NHA1QD.四邊形N/7MR

3.(2021?玉環(huán)市一模)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價

最高銷售限價力最>。)

以及實數(shù)x(OVxVl)確定實際銷售價格c=a+x(〃-“),這里.1被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明,最佳樂

觀系數(shù)尸恰好使得一=—,據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)x的值等于()

c-ab-c

1V5V5+1V5-1

A."B.—C.-----D.----

2422

4.(2021?浙江自主招生)等腰△ABC中,AB=AC,E、尸分別是AZLAC上的點,且比:=”,連接CE、

rp3AE

BF交于點P,若而=¥則而的值為()

5.(2021秋?沙灣區(qū)期末)下列四個三角形中,與圖中的三角形相似的是()

6.(2021秋?南潺區(qū)期末)如圖,己知在△A8C紙板中,AC=4,3C=8,AB=\\,P是3c上一點,沿過

點P的直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板,如果有4種不同的剪法,那么CP長的取值范圍是

C.1WCPC8D.2WCPC8

7.(2021?溫州模擬)如圖,在RtZXABC中,NAC5=90°,CZ>_L/W于點。,正方形CQEF的頂點上在

線段A。上,G是邊EF上一點,連接AG,記AAEG面積為Si,△CBD面積為S2,若EG=BD,S1+S2

=16,則QE的長為()

c

C.4D.8

8.(2021秋?射洪市期末)如圖,E是矩形4BCZ)的邊CB上的一點,于點凡48=3,AD=2,

CE=1,則點A到直線OE的距離A尸的長度為()

C.2.5D.-V10

3

9.(2021?多城區(qū)校級一模)如圖,在△ABC中,NAC8=90°,AC=4,BC=3,尸是AB邊上一動點,

PQJ_AC于點。,點E在P的右側(cè),且尸E=l,連接CE,尸從點A出發(fā),沿方向運動,當(dāng)上到達點

B時,P停止運動,在整個運動過程中,陰影部分面積S1+S2的大小變化的情況是()

B.一直增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

10.(2021秋?內(nèi)江期末)如圖,正方形ABCO中,E為BC中點,連接AE,??贚AE于點F,連接CR

2*,

FG上CF交AD于點G,下列結(jié)論:?CF=CD;②G為AD中點;③△OC/sAAGF;丁其中

結(jié)論正確的個數(shù)有()

D

16.(2021秋?雙流區(qū)校級月考)如圖,在四邊形A3CO中,AUL4C于點C,N/MC=NAOC,且BC=弘。,

當(dāng)CQ=4,AO=2時,線段8D的長度為.

三.解答題(共7小題,滿分52分)

a+b—ca—b+c-a+b+c

17.(2021秋?雁江區(qū)校級月考)已知a、b、c均為非零的實數(shù),且滿足-------=——=--------,求

cba

[a+b)(b+c)(c+a)

的值.

求絲、些

18.(2021?杭州模擬)如圖,設(shè)77?=P

QFPE

BD

19.(2021?撫順)如圖,將△48。在網(wǎng)格中(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1)依次進行位似變換、軸

對稱變換和平移變換后得到3c3.

(I)△AUC與△Aim。的位似比等于;

(2)在網(wǎng)格中畫例△AiBiCi關(guān)于),軸的軸對稱圖形AAzB2c2;

(3)請寫出383c3是由Z\A2及C2怎樣平移得到的?

(4)設(shè)點P(x,),)為aABC內(nèi)一點,依次經(jīng)過上述三次變換后,點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)

20.(2021秋?徐匯區(qū)期中)如圖,在△A8C中,AB=AC,AQ_L8C,點E為4。中點,連結(jié)BE,DFLBE

于點F,連結(jié)AF、CF.

4-EFFD

(1)求證:一=一.

AEDC

(2)若點G為AC中點,連結(jié)尸G、DG,求證:FG=DG.

21.(2021?無錫)王大伯要做一張如圖1的梯子,梯子共有8級互相平行的踏板,每相鄰兩級踏板之間的

孔離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度AiBi=05〃,最下面一級踏板的長度/康=0.8〃?.木工師

傅在制作這些踏板時,截取的木板要比踏板長,以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為4口〃的樣

頭(如圖2所示),以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為2.1〃?的木板可以用來制作梯子的踏板(木板的

寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求),請問:制作這些踏板,王大伯最少需要買幾塊這樣的木

板?請說明理由.(不考慮鋸縫的損耗)

%

/頭

4區(qū)

圖1圖2

22.(2021?寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線

段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角

形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

(1)如圖1,在△A/3C中,CD為角平分線,NA=40。,N4=60°,求證:CO為AA3c的完美分割

線.

(2)在△AZJC中,ZA=48°,CD足的完美分割線,且/SACO為等腰二角形,求NAC4的度數(shù).

(3)如圖2,△48C中,AC=2,BC=?CO是△A8C的完美分割線,且△4CO是以C7)為底邊的等

腰三角形,求完美分割線CO的長.

23.(2021?阜新模擬)在m?中,NAC8=45°.點。(與點8、。不重合)為射線8C上一動點,連

接A。,以A。為一邊且在A。的右側(cè)作正方形4?!辍?/p>

(1)如果AB=4C.如圖①,且點。在線段8c上運動.試判斷線段C/與BD之間的位置關(guān)系,并證

明你的結(jié)論.

(2)如果如圖②,且點。在線段上運動.(I)中結(jié)論是否成立,為什么?

(3)若正方形AQE/的邊所在直線與線段C尸所在直線相交于點P,設(shè)AC=4企,BC=3,CD=x,

求線段CP的長.(用含x的式子表示)

第6章圖形的相似章末測試卷(拔尖卷)

【蘇科版】

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題,滿分30分,每小題3分)

1.(2021秋?昭平縣期中)若產(chǎn)品二忌=缶,則x等于()

U?Uvc-ICL<?u

A.-1或三B.-1C.-D.不能確定

22

【解題思路】分兩種情況討論:當(dāng)a+b+c^O時和當(dāng)a+b+c=l)時.

【解答過程】解:“箴=島=品

???當(dāng)"力+的)時,戶端%另;

當(dāng)a+b+c=0時,x==g=-I,

故選:A.

2.(2021?河北)在如圖所示的網(wǎng)格中,以點O為位似中心,四邊形ABC。的位似圖形是()

A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形NMVQD.四邊形

【解題思路】由以點。為位似中心,確定出點。對應(yīng)點M,設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,則OC=瓜

0M=2倔0D=V2,0B=V10,0A=V13,0R=V5,0Q=2或,OP=2y110,0H=3岳,0N=2A,

OM

由H;=2,得點。對應(yīng)點。,點9對應(yīng)點P,點A對應(yīng)點N,即可得出結(jié)果.

【解答過程】解:???以點。為位似中心,

???點C對應(yīng)點歷,

設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,

則0C=V22+I2=V5,0M=V42+22=2炳,0D=V2,0B=V32+l2=V10,0A=V32+22=V13,

OR=V2?+1?=瓜OQ=2>/2,OP=心+22=2\/10,OH=QS+3?=375,ON=V62+42=2/13,

?O?_M___2_x_^5__0

?-L-49

ocVs

???點。對應(yīng)點。點8對應(yīng)點P,點A對應(yīng)點N,

???以點0為位似中心,四邊形A8C。的位似圖形是四邊形NPMQ,

故選:A.

3.(2021?玉環(huán)市一模)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格,即根據(jù)商品的最低銷售限價

最高銷售限價b(b>a)

以及實數(shù)x(0<rVI)確定實際銷售價格c=〃+x(〃-〃),這里x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明,最佳樂

觀系數(shù)4恰好使得片=言’據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)1的值等于()

1B.匹V5+1V5-1

A.-C.----D.----

2422

匕-ac―a

【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件,由有二有,知1-2=(…#7(…)2,由此能求出最

佳樂觀系數(shù)x的值.

b—ac—a

【解答過程】解法「??.c”=x,酢=五

/.[x(b-a)]2=(h-a)2-x(b-a)2,

.*.JT+X-1=0,

解得A-=夷4

V0<x<l,

,-1+V5

?"―_2-

解法二:

由c=a+x(b?a),可得x=^~£,

b—a

,b-ac-a一一,、,

由----=----,可得(c-?)■=(b-a)(Z?-c),

c-ab-c

即(c-a)2=(A-a)["?tz)-(c-a)],

(c-a)2=(b-a)2-(.b-a)(c-?),

兩邊同時除以(力-。)2可得,

簿一Q、2c-a

詬)T一西'

將后公代入,可得f+x7=(),

解得x=斗⑤

VO<x<l,

—l+v'5

2

故選:D.

4.(2021?浙江自主招生)等腰△ABC中,AB=AC,E、尸分別是AB、4c上的點,且跖=AF,連接CE、

x/5-1

D.-------

2

【解題思路】作交BF于Z),如圖,根據(jù)平行于三足形的一邊,并且和其他兩邊(或兩邊的延

長線)相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例,設(shè)ED=4x,BE=y,則FC

=3x,AF=y,易得/IE=PC=3無,再利用OE〃人尸得到對應(yīng)邊成比例,利用比例的性質(zhì)和解方程得到1y

=6x,進而可得結(jié)果.

【解答過程】解:作EO〃AC交3小于。,如圖,

■:ED/IFC,

.EDEP4

**EP~PC~3

設(shè)ED=4x,BE=y,則/C=3x,AF=y,

f:AB=AC,

:.AE=FC=3x,

':DE//AFt

BEDE,y4x

:.-=--,BP--=一,

BAAFy+3xy

整理得y2-4xy-12:=0,

:.(y+2t)Cy-6A)=0,

AE3x1

??——

AF6x2

故選:A.

5.(2021秋?沙灣區(qū)期末)下列四個三角形中,與圖中的三角形相似的是()

D.

【解題思路】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及勾股定理可得所給圖形是兩直角邊分別為a,2好的直角三角形,然后

利用相似三角形的判定方法選擇答案即可.

【解答過程】解:根據(jù)勾股定理,所給圖形的兩直角邊為懺中區(qū)二式,后不斗=2或,

所以,夾直角的兩邊的比為奈-去

觀各選項,只有4選項三角形符合,與所給圖形的三角形相似.

故選:B.

6.(2021秋?南潺區(qū)期末)如圖,己知在8c紙板中,AC=4,8C=8,AB=\\,。是上一點,沿過

點P的直線剪下-一個與△A3C相似的小三角形紙板,如果有4種不同的剪法,那么CP長的取值范圍是

)

c

-----------------,

A.0VCPW1B.0VCPW2C.1WCPV8D.2WCPV8

【解題思路】分四種情況討論,依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可得到AP的長的取值范圍.

【解答過程】解:如圖所示,過P作交AC于?;騊E〃AC交A8于E,則△PCDs/\8CA或

△BPEs/XBCA,

此時0cpeV8;

如圖所示,過。作N8P〃=NA交于凡則

此時0VPCV8;

r

如圖所示,過P作NCPG=NA交AC于G,則△CPGS4CAB,

此時,XCPGsXCBA,

當(dāng)點G與點A重合時,CA1=CPXCB,即42=CPX8,

:.CP=2,

???止匕時,0VCPW2;

綜上所述,CP長的取值范圍是0VCPW2.

故選:B.

7.(2021?溫州模擬)如圖,在RtZkABC中,N4CB=90°,C7)_L/W于點。,正方形CQ"的頂點E在

線段AO上,G是邊EF上一點,連接AG,記△AEG面積為Si,△CB。面積為S2,若EG=BD,S1+S2

=16,則的長為()

c

A.4V2B.8V2C.4D.8

【解題思路】證明△4COS/\CB。,可得CQ2=AO?A。,根據(jù)EG=8O,SI+S2=16,可得CO的長,進

而可得OK的長.

【解答過程】解:???CQJ_AB,

???NCQ4=NAC8=90°,

/.ZACD+ZBCD=9Qa,N8+/8c0=90°,

JNACD=NB,

???△ACDs/\CBD,

CDAD

??,

BDCD

:.CD2=AD*BD,

???四邊形CDE/是正方形,

:.CD=DE,

?.?△A£G面積=Si=4xA£?£G,/XCB。面積=S2=x8O?CO,且EG=8O,

:.S\+S2=Ix/lfEG+lxBD*CD=1xBD*(AE+C。)=|xBD*(AE+ED)=^xBD*AD=1cD2=16,

乙乙乙乙乙乙

/.CD2=32,

:.CD=4y[2.

:.DE=CD=4>/2.

故選:A.

8.(2021秋?射洪市期末)如圖,E是矩形/WCO的邊CB上的一點,A凡LOE于點F,48=3,4。=2,

CE=\,則點A到直線?!甑木嚯x的長度為()

---------------------------1。

B

A.-V10B.—\1OC.2.5D.-V1O

5103

【解題思路】由四邊形ABC。是矩形,得到NAOC=/C=90°,CD=AB=3,BC=AD=2,根據(jù)勾股

定理得到。E的長,通過△AOFSZXQCE,得到對應(yīng)邊成比例,列方程即可得到結(jié)果.

【解答過程】解:???四邊形ABC。是矩形,

???N4Z)C=NC=90°,CD=AB=3,BC=AD=2,

DE="A+CE2=V32+I2=VW,

VAF.LDE,

AZAFD=ZC=90°,

/.ZDAF+ZADF=ZADF+ZCDE=9()G,

:.ZDAF=ZCDE,

???△ADFS/\DCE,

,CDAF

''DE~AD'

._3___AF

’而二

?“3710

故選:A.

9.(2021?若城區(qū)校級一模)如圖,在△44C中,NAC8=90°,AC=4,4c=3,。是43邊上一動點,

POJ_AC于點。,點后在尸的右側(cè),且PE=1,連接CE,P從點A出發(fā),沿A4方向運動,當(dāng)E到達點

B時,P停止運動,在整個運動過程中,陰影部分面積9+52的大小變化的情況是()

B.一直增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

【解題思路】設(shè)夕。=工,A4ii上的高為力,想辦法求出A。、h,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解

決問題即可.

【解答過程】解:在RtZ\A3C中,VZACB=90°,AC=4,8C=3,

:.AB=y/AC2+BC2=V324-42=5,設(shè)PO=x,48邊上的高為

ACBC_12

*:PD//BC,

,△A。尸SAACB,

.PDAD

''BC-AC'

4s

.\AD=尹,PA=尹,

14i6、122°?3o16

5I+52=52*3~V\V4-52(5—乎3)5,一3=-v-32x+6=Z□(x—35)一+丁

???當(dāng)OVxV,時,S1+S2的值隨x的增大而減小,

當(dāng):<r<確寸,S1+S2的值隨A的增大而增大.

21

故選:D.

10.(2021秋?內(nèi)江期末)如圖,正方形A。。。中,E為BC中點、,連接。nLAE于點八連接C",

FGLCF交AD于點G,下列結(jié)論:?CF=CD;②G為AD中點;③△OC/S^AGF;=|,其中

結(jié)論正確的個數(shù)有()

C.3個D.4個

【解題思路】如圖,作CM_L。/于M.首先證明△£>?!尸絲△CDM,推出。M=AF,再證明OF=2AF,

推出。M=MF,推出CD=CF,再證明NGDF=NGF。,推出GD=GF,再證明Gr=G4即可證明GA

=GD,由此即可一一判斷;

【解答過程】解:如圖,作CM_L。/于M.

B

GE

C

???四邊形ABC。是正方形,

:.AB=BC=CD=AD,:,ZDAB=ZB=ZADC=9^,

VZADF+ZCDF=90°,ZCDF+ZDCM=90°,

JZADF=ZDCM,

*:DFLAE,CMLDF,

;?/AFD=NCMD=90°,

???△。人尸式/XCOM,

:.CM=DF,DM=AF,

VZADF+ZDAE=9()°,NDAE+NBAE=9()°,

ZBAE=ZADF,

■:BE=CE,

:?AB=2BE,

易證NBAEs/bDA,

*BEAF1

ABDF2

:?DM=MF,VCM1DF,

:.CD=CF,故①正確,

:.ZCDF=ZCFD,

???NCOG=NCVG=90°,

:.ZGFD=ZGDF,

:.GF=GD,

VZGDF+ZD/4F=90°,ZGFD+ZAFG=9Q°,

???NGA"=NGM,

:.GF=GA,

:?GD=GA,

,G是AQ中點,故②正確,

???ZAFD=ZGFC,

:?4AFG=4CFD,/GAF=/CDF,

:.XDCFSXAGF、故③正確,

]^AF=a,則。尸=2。,AB=BE=^a,

3

/.AE=于,EF=2-

4/72

故④正確,

故選:D.

二.填空題(共6小題,滿分18分,每小題3分)

11.(2021?欽州)如圖,以O(shè)為位似中心,將邊長為256的正方形O/WC依次作位似變換,經(jīng)第一次變化

后得正方形0481。,其邊長OA\縮小為OA的點經(jīng)第二次變化后得正方形OA2B2C2,其邊長042縮

小為。Al的點經(jīng)第三次變化后得正方形。4383c3,其邊長OA3縮小為042的J,…,依此規(guī)律,經(jīng)第〃

次變化后,所得正方形。4曲心的邊長為正方形Q4BC邊長的倒數(shù),則〃=16.

【解題思路】由圖形的變化規(guī)律可知正方形QA〃8〃Q的邊長為?)nx256,據(jù)此即可求解.

【解答過程】解:由圖形的變化規(guī)律可得

物X256=/,

解得M=16.

故答案為:16.

12.(2021秋?高州市期末)若線段a,b,c滿足關(guān)系£-=-?貝I]a:h:c=9:12:20.

b4c5

【解題思路】此類題做的時候可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)把兩個比例式中的相同字母變成所占的份數(shù)相同,

即可把三個字母的比的關(guān)系求解出來.

a3b3

【解答過程】解:??;=「-=

b4c5

a9b12

?*?丁=.

b12c20

?*.a:b:c=9:12:20.

故填9:12:20.

13.(2021春?雙流縣校級期中)已知線段/W=10c,〃,「、Q足線段AZ7的黃金分割點,則尸。=(106-

20)c〃」.

【解題思路】把一條線段分成兩部分,使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項,這樣的線段

V5-1

分割叫做黃金分割,他們的比值(不一)叫做黃金比.

【解答過程】解:根據(jù)黃金分割點的概念,可知AQ=BP=要XIO=(5V5-5)cm.

MPQ=AQ+BP-AB=(5V5-5)X2-10=(10遍-20)cm.

故本題答案為:(10西-20)cm.

?-----?------?-------?

ApoB

14.(2021?濰坊)如圖,某水平地面上建筑物的高度為/W,在點。和點尸處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CO

和£“,兩標(biāo)桿相隔52米,并且建筑物A3、標(biāo)桿CO和EF在同一豎直平面內(nèi),從標(biāo)桿CD后退2米到

點、G處,在G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端。在同一條直線上;從標(biāo)桿后退4米到點”處,在“

處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端£在同一條直線上,則建筑物的高.足54米.

【解題思路】根據(jù)題意可■得出4EFHs△人RH,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即

可得出結(jié)論.

【解答過程】解:法一::AB±BH,CDIBH,EFVBH,

:.AB//CD//EF,

:.ACDGs^ABG,△EFHs^ABH,

*CDDGEFFH

''AB-DG+BD’AB~FH+DF+BD'

?:CD=DG=EF=2m,。尸=52〃?,F(xiàn)H=4m,

22

''AB~2+B。'

24

AB~4+52+BD'

24

**2+SD-4+52+8。'

解得80=52〃?,

*22

''AB-2+52'

解得A8=54m.

法二:AB=X.則8H=2X,BG=X,

則有2x-x=54,

解得x=54,

故答案為:54.

4P1

15.(2021秋?流水縣期中)如圖,等腰三角形ABC中,AB=AC,尸點在邊上的高AZ)上,且一=BP

PD2

的延長線交4c于£,若Sd5C=10,則S,w2;SADEC=4.

【解題思路】如果把AABE與dABC看作同高的兩個三角形,那么它們的面積之比等于底之比,即等于

AEtAC.所以為了求出△ABE的面積,由于己知S&48C=10,只需求出人石:AC即可.為此,取石C中

點凡連接OF.先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出。為8C中點,又產(chǎn)為EC中點,根據(jù)三角形中位

線定理證出。尸〃再由平行線分線段成比例定理求出AE:EF,進而得出4氏AC;根據(jù)S“EC=SA

入BC-S公ABE,先求出SMEC,再根據(jù)三角形的中線將三角形的面枳二等分,得出S△力EC.

【解答過程】解:取EC中點凡連接。F.

':AB=AC,A。為8C邊上的高,

???。為8C中點.

?:F為EC中點,

:.DF//BE,則。/〃PF,

*AEAP1

''EF~PD~2

?A_E__1

''AC-5'

.S“BESE1

S^ABCAC5

:.S^ABE=vS/ABC=<X10=2;

*.*S^BEC=SMBC-SMBE=10-2=8,

又???。為8c中點,

:?S&DEC=聶\8EC=1X8=4.

故答案為2;4.

16.(2021秋?雙流區(qū)校級月考)如圖,在四邊形ABC。中,AC_L8C于點C,ZBAC=ZADC,JLBC=^AC,

當(dāng)C/)=4,AO=2時,線段BD的長度為.

2

【解題思路】在A3上截取4朋=從。=2,過M作MN〃4。交AC于N,把△AMN繞4逆時針旋轉(zhuǎn)得△

ADE,連接CE,則A/N_LAC,DE=MN,/DAE=/BAC,證出4C:AC:AB=3:4:5,由△ABQs4

BDAB5RCQ

ACE,得出一=一=證明△AMNs/XABC,求出MN=^XAM=1證出AE〃CO,得出NCQ£

CEAC4AB5

=90°,由勾股定理得出CE二名譽,即可得出答案.

【解答過程】解:如圖,在48上截取4M=AD=2,過M作MN〃BC交AC于N,把△AMN繞A逆時

針旋轉(zhuǎn)得△AOE,連接CE,

則/NJ_4C,DE=MN,ZDAE=ZBAC,

??4EO=NANM=9()°,

^3c

.?AC_LBC于點C,ZBAC=ZADC,BC=.

?B_C3

,AC-4

?.BC:AC:A8=3:4:5,

:MN//BC,

?.叢ABCs叢AMN,

:△八MNG△人。石,

??XhBCs

?A_BA_C

"AD~AEf

?A_BAD

AC-AE'

又???ZDAE+ZCAD=N8AC+/CAD,

??/BAD=NCAE,

??AABD^AACE,

tBD_AB_5

'CE~AC~A

:△AMNs^ABC,

,MNAM

'BC~AB'

?.MN=%XAM=JX2=4

:ZBAC=ZADC,

ZDAE=ZADC,

:.AE//CD,

:.ZCDE+ZAED=\SO°,

AZCDE=180°?NA£Q=90°,

2

+29一

在RtACDE中,CE=>/CD2+DE25一

71^

故答案為:2

三.解答題(共7小題,滿分52分)

口MS■口a+b-ca-b+c-a+b+c

17.(2017秋?雁江區(qū)校級月考)已知〃、b、c均為非零的實數(shù),且泄足丁二二二^^’求

H+匕)(b+c)(c+a)

的值.

abc

【解題思路】已知等式利用比例的性質(zhì)化簡表示出a+c,He,代入原式計算即可得到結(jié)果.

【解答過程】解:當(dāng)4+O+cWO時,

▼,一一,,,,一~“一,2、…a+b-ca-b+c-a+b+ca+b-c+a-b-i-c-a+b+c

利用比例的性質(zhì)化簡已知等式得:------=---=---------=-----------;-----------

cbaQ+b+c

a+b+c

---------=1?

a+b+c

即a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,

整理得:a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a,

此時原式=鬻=8:

當(dāng)a+b+c=0時,可得:a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,

則原式=-1.

力L-w(a+b)(b+c)(c+a)m.,

綜上可知,--------;--------的1y值為8o或-I.

abc

BDCEAFCQBP

(?杭州模擬)如圖,設(shè);=〃,,求京、

18.20217C7D17AE7=41-FB=/*?QF7P7E,

【解題思路】作QM"交AB于M.設(shè)尸M=x,FQ=y.利用平行線分線段成比例定理求出CF(用),

表示)即可解次問題.

【解答過程】解:作。M〃C尸交A/3于M.設(shè)FQ=y.

'DM//CF,

BMBD

'FM-CD~l

?BM=xp,

.AF:FB=r,

?AF=xr(p+1),

.FQ_AF_

DM-AM'

y="(P+l)

?DM-x+xr(p+l),

?DM=l+r(p+l).

r(P+l)■

DMBMpxp

CF~FB~px+x-p+1

.CF=l+r(P+l)小

l+r(p+l)_..

CQ_pry-y_山

QF_ypr

BP1+a

作FN〃座交AC于M同法可得而=干.

19.(2021?撫順)如圖,將△ABC在網(wǎng)格中(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1)依次進行位似變換、軸

對稱變換和平移變換后得到△八343c3.

(1)AABC與△AIBICI的位似比等于1;

2

(2)在網(wǎng)格中畫出△AiBi。關(guān)于),軸的軸對稱圖形4A282c2;

(3)請寫出383c3是由282c2怎樣平移得到的?

(4)設(shè)點P(x,>')為△ABC內(nèi)一點,依次經(jīng)過上述三次變賣后,點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(-2x-2,

2v+2)

【解題思路】(1)根據(jù)位似圖形可得位似比即可;

(2)根據(jù)軸對稱圖形的畫法畫出圖形即可;

(3)根據(jù)△A3&C3與AA282c2的關(guān)系過程其變化過程即可;

(4)根據(jù)三次變換規(guī)律得出坐標(biāo)即可.

【解答過程】解:⑴)ZUBC與由6的位似比等于二者-另

(2)如圖所示

(3)△A3B3C3是由2c2沿x軸向左平移2個單位,再沿y軸向上平移2個單位得到;

(4)點P(x,),)為△ABC內(nèi)一點,依次經(jīng)過上述三次變換后,點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(?2.r?2,2),+2).

故答案為:-2,2)葉2).

20.(2021秋?徐匯區(qū)期中)如圖,在△A8C中,AB=AC,點E為4。中點,連結(jié)BE,DFLBE

于點F,連結(jié)4/、CF.

EFFD

(1)求證;~AE='DC

(2)若點6為AC中點,連結(jié)尸G、DG,求證:FG=DG.

【解題思路】(I)由4OIACDFIRF.,可得/用?。=/?!攴布从小餍?OS/\EQR,從而——=——.

EDBD

L口EFFD

又ED=AE,BD=DC,故不=77:

AEDC

(2)由NDBF=NEDF,可得NA£r=NCDR結(jié)合(1)的結(jié)論即知△AE”S/\CQF,故NAFE=NCFQ,

可得NAR7=90°,從而產(chǎn)G=±\C,而N4Z)C=90°,G為AC中點,WDG=^AC,即可證/7=。6.

【解答過程】證明:(1)':AD1BC,DFA.BE,

???NOB/=90°-ZFDB=ZEDF,

而NBED=NDEF,

:.叢EFDs叢EDB,

*_E_F__F_D

EDBD

???點E為AQ中點,

:?ED=AE,

?:AB=AC,AD±BC,

:,BD=DC,

.EFFD

''AE~DC'

(2)VZAEF=ZADB^ZDBF=^+NDBF,

NCDF=NCDA+NEDF=90°+NEDF,

而NDBI;=NEDF,

???NAEF=/CDF,

EFFD

由(1)知f—=,

AEDC

???XAEFsXCDF,

:.4AFE=4CFD,

yLZCFD+ZCFE=90o,

/.ZAFE+ZCFE=90°,即N'AfC=90°,

???G為AC中點,

:.FG=^AC,

VZADC=90°,G為AC中點,

ADG=|AC,

:,FG=DG.

21.(2021?無錫)王大伯要做一張如圖1的梯子,梯子共有8級互相平行的踏板,每相鄰兩級踏板之間的

走離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度44=0.5加,最下面一級踏板的長度4帖8=0&〃.木工師

傅在制作這些踏板時,截取的木板要比踏板長,以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為的樣

頭(如圖2所示),以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為2.1加的木板可以用來制作梯子的踏板(木板的

寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求),請問:制作這些踏板,王大伯最少需要買幾塊這樣的木

板?請說明理由.(不考慮鋸縫的損耗)

a

/頭

,福板j

UA6B;

圖i圖2

【解題思路】在解此題的過程中,一定要構(gòu)建相似三角形,因為踏板之間是相互平行,而且間隔相等,

所以可利用這一組平行線來構(gòu)建相似二角形,從而依次求出自上而下各條踏板的長度.另外千萬不要忽

略樺頭的長度;

解法二:可以把梯子看做一個等腰梯形,由中位線定理即可求解;

解法三:和解法二相同,都是利用梯形中位線,只不過又做了一條踏板A9B9,有Aia和A9B9能求出心心,

然后有A585和A9B9求出A7歷.再有A787和A989求出小國=80,從而算出A989的具體數(shù)值,這樣的話,

All至小風(fēng)的長就都能準(zhǔn)確求出,從而算出一共需要多少材料.

【解答過程】解:法一:如圖,設(shè)自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為A2B2,A383,A7B7,

過4作BB8的平行線分別交他及,心明,加風(fēng)于點C2,C3,…,C8.

???每兩級踏板之間的距離相等,

Cs^8=C7B7=?,?=C2B2=A\B\=50(772,A8c8=80-50=30CVM.

■A2C2〃A8B8,

N4A2c2=NAiA8c8,ZA\C2A2=ZAiCsAs,

1A2c2sZ\A1A8c8,

/.A2C2:A8c8=1:7,

.._30

??A2「r2="y"?

:.A2B2=50+孚

設(shè)要制作AiBi,A2B2,…,AiBi,A838這些踏板需用木板的長度分別為Mem,…,485,

則m=50+8=58,。2=50+當(dāng)+8=58+乎,。3=58+苧,。4=58+莽。5=58+苧,%=58+

號。,ci-j=58+—,。8=58+30,

??&+。2+。3+。4=232+苧>210,

???王大伯買的木板肯定不能少于3塊,

71n

又丁。1+a3+a6=174+寧=204<210,

240252

3+。4+。5=174+寧<174+等=210,

%+。8=146+拳=1711<210,

???王大伯最少買3塊這樣的木板就行了.

法二:如圖,分別取4A8,冏璘的中點P,Q,連接PQ.

設(shè)自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為42&,人3必,…,AiBj,則由梯形中位線定理可得:

A?B?=A2B2+A7Bi=A3B3+A6Bc>=A4B4+A5li5=2PQ.(2分)

*/AIBI=50?!ǎ珹sBs=80?!?,

.\A\B\+AsBs=A2B2+A7B~=A?,B3,+A6Bf>=A4B4+A5B5=130.(3分)

設(shè)要制作A]Bi,A282,…,AiBi,AsBs,

這些踏板需用木板的長度為mem,(12cm,48cm,

則41+48=42+47=。3+。6=44+。5=146.

?;ai+a2+…+〃8=I46X4=584>2IOX2,

???王大伯買的木板肯定不能少于3塊.(4分)

過4作8出8的平行線分別交A2B2,43例,…,A8B8,

于點C2,C3,…,。8.

???每兩級踏板之間的距離相等,

/.CsBs=CiBi=???=CiBi=A1Si=50c///,A8c8=80?50=30cm.

*.*A2C2//A8&!,

N

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