2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（蘇科版）專題69 圖形的相似章末測試卷（拔尖卷）（舉一反三）（蘇科版）含解析

2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列第6章圖形的相似章末測試

卷（拔尖卷）

【蘇科版】

考試時間：60分鐘；滿分：100分

姓名：班級：____________考號：

考卷信息:

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋

面廠，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況!

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2021秋?昭平縣期中）若％=康=系=品，則x等于（）

A.-1或；B.-1C.；D.不能確定

2.（2021?河北）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點。為位似中心，四邊形A8C。的位似圖形是（）

A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形NHA1QD.四邊形N/7MR

3.（2021?玉環(huán)市一模）商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價

最高銷售限價力最＞。）

以及實數(shù)x（OVxVl）確定實際銷售價格c=a+x（〃-“）,這里.1被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明，最佳樂

觀系數(shù)尸恰好使得一=—,據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于（）

c-ab-c

1V5V5+1V5-1

A."B.—C.-----D.----

2422

4.（2021?浙江自主招生）等腰△ABC中，AB=AC,E、尸分別是AZLAC上的點，且比：=”，連接CE、

rp3AE

BF交于點P,若而=￥則而的值為（）

5.（2021秋?沙灣區(qū)期末）下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）

6.（2021秋?南潺區(qū)期末）如圖，己知在△A8C紙板中，AC=4,3C=8,AB=\\,P是3c上一點，沿過

點P的直線剪下一個與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么CP長的取值范圍是

C.1WCPC8D.2WCPC8

7.（2021?溫州模擬）如圖，在RtZXABC中，NAC5=90°,CZ>_L/W于點。，正方形CQEF的頂點上在

線段A。上，G是邊EF上一點,連接AG,記AAEG面積為Si,△CBD面積為S2,若EG=BD,S1+S2

=16,則QE的長為（）

c

C.4D.8

8.（2021秋?射洪市期末）如圖，E是矩形4BCZ）的邊CB上的一點，于點凡48=3,AD=2,

CE=1,則點A到直線OE的距離A尸的長度為（）

C.2.5D.-V10

3

9.（2021?多城區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,AC=4,BC=3,尸是AB邊上一動點,

PQJ_AC于點。，點E在P的右側(cè)，且尸E=l,連接CE,尸從點A出發(fā)，沿方向運動，當(dāng)上到達點

B時，P停止運動，在整個運動過程中，陰影部分面積S1+S2的大小變化的情況是（）

B.一直增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

10.（2021秋?內(nèi)江期末）如圖，正方形ABCO中，E為BC中點,連接AE,?？贚AE于點F,連接CR

2*,

FG上CF交AD于點G,下列結(jié)論：?CF=CD；②G為AD中點；③△OC/sAAGF；丁其中

結(jié)論正確的個數(shù)有（)

D

16.（2021秋?雙流區(qū)校級月考）如圖，在四邊形A3CO中，AUL4C于點C,N/MC=NAOC,且BC=弘。,

當(dāng)CQ=4,AO=2時，線段8D的長度為.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

a+b—ca—b+c-a+b+c

17.（2021秋?雁江區(qū)校級月考）已知a、b、c均為非零的實數(shù)，且滿足-------=——=--------，求

cba

[a+b)(b+c)(c+a)

的值.

求絲、些

18.（2021?杭州模擬）如圖,設(shè)77?=P

QFPE

BD

19.（2021?撫順）如圖，將△48。在網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1）依次進行位似變換、軸

對稱變換和平移變換后得到3c3.

（I）△AUC與△Aim。的位似比等于;

(2)在網(wǎng)格中畫例△AiBiCi關(guān)于)，軸的軸對稱圖形AAzB2c2；

(3)請寫出383c3是由Z\A2及C2怎樣平移得到的？

(4)設(shè)點P(x,)，)為aABC內(nèi)一點，依次經(jīng)過上述三次變換后，點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)

20.(2021秋?徐匯區(qū)期中)如圖，在△A8C中，AB=AC,AQ_L8C,點E為4。中點，連結(jié)BE,DFLBE

于點F,連結(jié)AF、CF.

4-EFFD

（1）求證：一=一.

AEDC

(2)若點G為AC中點，連結(jié)尸G、DG,求證：FG=DG.

21.（2021?無錫）王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級互相平行的踏板，每相鄰兩級踏板之間的

孔離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度AiBi=05〃，最下面一級踏板的長度/康=0.8〃?.木工師

傅在制作這些踏板時，截取的木板要比踏板長，以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為4口〃的樣

頭（如圖2所示），以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為2.1〃?的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的

寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），請問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木

板？請說明理由.（不考慮鋸縫的損耗）

%

/頭

4區(qū)

圖1圖2

22.(2021?寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線

段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角

形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

(1)如圖1,在△A/3C中，CD為角平分線，NA=40。，N4=60°,求證：CO為AA3c的完美分割

線.

(2)在△AZJC中，ZA=48°,CD足的完美分割線，且/SACO為等腰二角形，求NAC4的度數(shù).

(3)如圖2,△48C中，AC=2,BC=?CO是△A8C的完美分割線，且△4CO是以C7)為底邊的等

腰三角形，求完美分割線CO的長.

23.（2021?阜新模擬）在m?中，NAC8=45°.點。（與點8、。不重合）為射線8C上一動點，連

接A。，以A。為一邊且在A。的右側(cè)作正方形4?！辍?/p>

（1）如果AB=4C.如圖①，且點。在線段8c上運動.試判斷線段C/與BD之間的位置關(guān)系，并證

明你的結(jié)論.

（2）如果如圖②，且點。在線段上運動.（I）中結(jié)論是否成立，為什么？

（3）若正方形AQE/的邊所在直線與線段C尸所在直線相交于點P,設(shè)AC=4企，BC=3,CD=x,

求線段CP的長.（用含x的式子表示）

第6章圖形的相似章末測試卷（拔尖卷）

【蘇科版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（2021秋?昭平縣期中）若產(chǎn)品二忌=缶，則x等于（）

U?Uvc-ICL<?u

A.-1或三B.-1C.-D.不能確定

22

【解題思路】分兩種情況討論：當(dāng)a+b+c^O時和當(dāng)a+b+c=l）時.

【解答過程】解：“箴=島=品

???當(dāng)"力+的）時，戶端%另；

當(dāng)a+b+c=0時，x==g=-I,

故選：A.

2.（2021?河北）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點O為位似中心，四邊形ABC。的位似圖形是（）

A.四邊形NPMQB.四邊形NPMRC.四邊形NMVQD.四邊形

【解題思路】由以點。為位似中心，確定出點。對應(yīng)點M,設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,則OC=瓜

0M=2倔0D=V2,0B=V10,0A=V13,0R=V5,0Q=2或,OP=2y110,0H=3岳,0N=2A，

OM

由H；=2,得點。對應(yīng)點。，點9對應(yīng)點P,點A對應(yīng)點N,即可得出結(jié)果.

【解答過程】解：???以點。為位似中心，

???點C對應(yīng)點歷，

設(shè)網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1,

則0C=V22+I2=V5,0M=V42+22=2炳,0D=V2,0B=V32+l2=V10,0A=V32+22=V13,

OR=V2?+1?=瓜OQ=2>/2,OP=心+22=2\/10,OH=QS+3?=375,ON=V62+42=2/13,

?O?_M___2_x_^5__0

?-L-49

ocVs

???點。對應(yīng)點。點8對應(yīng)點P,點A對應(yīng)點N,

???以點0為位似中心，四邊形A8C。的位似圖形是四邊形NPMQ,

故選：A.

3.(2021?玉環(huán)市一模)商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價格，即根據(jù)商品的最低銷售限價

最高銷售限價b(b>a)

以及實數(shù)x(0<rVI)確定實際銷售價格c=〃+x(〃-〃)，這里x被稱為樂觀系數(shù).經(jīng)驗表明，最佳樂

觀系數(shù)4恰好使得片=言’據(jù)此可得,最佳樂觀系數(shù)1的值等于()

1B.匹V5+1V5-1

A.-C.----D.----

2422

匕-ac―a

【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件，由有二有，知1-2=(…#7(…)2,由此能求出最

佳樂觀系數(shù)x的值.

b—ac—a

【解答過程】解法「??.c”=x，酢=五

/.[x(b-a)]2=(h-a)2-x(b-a)2,

.*.JT+X-1=0,

解得A-=夷4

V0<x<l,

,-1+V5

?"―_2-

解法二:

由c=a+x(b?a),可得x=^~￡，

b—a

,b-ac-a一一,、,

由----=----,可得(c-?)■=(b-a)(Z?-c),

c-ab-c

即(c-a)2=(A-a)["?tz)-(c-a)],

(c-a)2=(b-a)2-(.b-a)(c-?),

兩邊同時除以(力-。)2可得,

簿一Q、2c-a

詬)T一西'

將后公代入，可得f+x7=(),

解得x=斗⑤

VO<x<l,

—l+v'5

2

故選：D.

4.（2021?浙江自主招生）等腰△ABC中，AB=AC,E、尸分別是AB、4c上的點，且跖=AF,連接CE、

x/5-1

D.-------

2

【解題思路】作交BF于Z）,如圖，根據(jù)平行于三足形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延

長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例，設(shè)ED=4x,BE=y,則FC

=3x,AF=y,易得/IE=PC=3無，再利用OE〃人尸得到對應(yīng)邊成比例，利用比例的性質(zhì)和解方程得到1y

=6x,進而可得結(jié)果.

【解答過程】解：作EO〃AC交3小于。，如圖,

■:ED/IFC,

.EDEP4

**EP~PC~3

設(shè)ED=4x,BE=y,則/C=3x,AF=y,

f：AB=AC,

：.AE=FC=3x,

'：DE//AFt

BEDE,y4x

:.-=--,BP--=一,

BAAFy+3xy

整理得y2-4xy-12：=0,

:.(y+2t)Cy-6A)=0,

AE3x1

??——

AF6x2

故選：A.

5.（2021秋?沙灣區(qū)期末）下列四個三角形中，與圖中的三角形相似的是（）

D.

【解題思路】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及勾股定理可得所給圖形是兩直角邊分別為a，2好的直角三角形，然后

利用相似三角形的判定方法選擇答案即可.

【解答過程】解：根據(jù)勾股定理，所給圖形的兩直角邊為懺中區(qū)二式，后不斗=2或，

所以，夾直角的兩邊的比為奈-去

觀各選項，只有4選項三角形符合，與所給圖形的三角形相似.

故選:B.

6.（2021秋?南潺區(qū)期末）如圖，己知在8c紙板中，AC=4,8C=8,AB=\\,。是上一點，沿過

點P的直線剪下-一個與△A3C相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么CP長的取值范圍是

)

c

-----------------，

A.0VCPW1B.0VCPW2C.1WCPV8D.2WCPV8

【解題思路】分四種情況討論，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得到AP的長的取值范圍.

【解答過程】解：如圖所示，過P作交AC于?；騊E〃AC交A8于E,則△PCDs/\8CA或

△BPEs/XBCA,

此時0cpeV8；

如圖所示，過。作N8P〃=NA交于凡則

此時0VPCV8；

r

如圖所示，過P作NCPG=NA交AC于G,則△CPGS4CAB,

此時，XCPGsXCBA,

當(dāng)點G與點A重合時，CA1=CPXCB,即42=CPX8,

:.CP=2,

???止匕時，0VCPW2；

綜上所述，CP長的取值范圍是0VCPW2.

故選：B.

7.（2021?溫州模擬）如圖,在RtZkABC中,N4CB=90°,C7）_L/W于點。，正方形CQ"的頂點E在

線段AO上，G是邊EF上一點,連接AG,記△AEG面積為Si,△CB。面積為S2,若EG=BD,S1+S2

=16,則的長為（）

c

A.4V2B.8V2C.4D.8

【解題思路】證明△4COS/\CB。，可得CQ2=AO?A。，根據(jù)EG=8O,SI+S2=16,可得CO的長，進

而可得OK的長.

【解答過程】解：???CQJ_AB,

???NCQ4=NAC8=90°,

/.ZACD+ZBCD=9Qa,N8+/8c0=90°,

JNACD=NB,

???△ACDs/\CBD,

CDAD

??,

BDCD

：.CD2=AD*BD,

???四邊形CDE/是正方形，

：.CD=DE,

?.?△A￡G面積=Si=4xA￡?￡G,/XCB。面積=S2=x8O?CO,且EG=8O,

：.S\+S2=Ix/lfEG+lxBD*CD=1xBD*（AE+C。）=|xBD*（AE+ED）=^xBD*AD=1cD2=16,

乙乙乙乙乙乙

/.CD2=32,

：.CD=4y[2.

：.DE=CD=4>/2.

故選：A.

8.（2021秋?射洪市期末）如圖，E是矩形/WCO的邊CB上的一點，A凡LOE于點F,48=3,4。=2,

CE=\,則點A到直線?！甑木嚯x的長度為（）

---------------------------1。

B

A.-V10B.—\1OC.2.5D.-V1O

5103

【解題思路】由四邊形ABC。是矩形，得到NAOC=/C=90°,CD=AB=3,BC=AD=2,根據(jù)勾股

定理得到。E的長，通過△AOFSZXQCE,得到對應(yīng)邊成比例，列方程即可得到結(jié)果.

【解答過程】解：???四邊形ABC。是矩形，

???N4Z）C=NC=90°,CD=AB=3,BC=AD=2,

DE="A+CE2=V32+I2=VW,

VAF.LDE,

AZAFD=ZC=90°,

/.ZDAF+ZADF=ZADF+ZCDE=9（）G,

：.ZDAF=ZCDE,

???△ADFS/\DCE,

,CDAF

''DE~AD'

._3___AF

’而二

?“3710

故選:A.

9.（2021?若城區(qū)校級一模）如圖，在△44C中，NAC8=90°,AC=4,4c=3,。是43邊上一動點，

POJ_AC于點。，點后在尸的右側(cè)，且PE=1,連接CE,P從點A出發(fā)，沿A4方向運動，當(dāng)E到達點

B時，P停止運動，在整個運動過程中，陰影部分面積9+52的大小變化的情況是（）

B.一直增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

【解題思路】設(shè)夕。=工，A4ii上的高為力，想辦法求出A。、h,構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解

決問題即可.

【解答過程】解：在RtZ\A3C中，VZACB=90°,AC=4,8C=3,

：.AB=y/AC2+BC2=V324-42=5,設(shè)PO=x,48邊上的高為

ACBC_12

*：PD//BC,

，△A。尸SAACB,

.PDAD

''BC-AC'

4s

.\AD=尹，PA=尹,

14i6、122°?3o16

5I+52=52*3~V\V4-52(5—乎3)5,一3=-v-32x+6=Z□(x—35)一+丁

???當(dāng)OVxV,時，S1+S2的值隨x的增大而減小，

當(dāng):<r<確寸，S1+S2的值隨A的增大而增大.

21

故選：D.

10.（2021秋?內(nèi)江期末）如圖，正方形A。。。中，E為BC中點、,連接。nLAE于點八連接C",

FGLCF交AD于點G,下列結(jié)論：?CF=CD；②G為AD中點;③△OC/S^AGF；=|，其中

結(jié)論正確的個數(shù)有（）

C.3個D.4個

【解題思路】如圖，作CM_L。/于M.首先證明△￡>?!尸絲△CDM,推出。M=AF,再證明OF=2AF,

推出。M=MF,推出CD=CF,再證明NGDF=NGF。，推出GD=GF,再證明Gr=G4即可證明GA

=GD，由此即可一一判斷;

【解答過程】解：如圖，作CM_L。/于M.

B

GE

C

???四邊形ABC。是正方形,

：.AB=BC=CD=AD,：,ZDAB=ZB=ZADC=9^,

VZADF+ZCDF=90°,ZCDF+ZDCM=90°,

JZADF=ZDCM,

*：DFLAE,CMLDF,

；?/AFD=NCMD=90°,

???△。人尸式/XCOM,

:.CM=DF,DM=AF,

VZADF+ZDAE=9()°,NDAE+NBAE=9()°,

ZBAE=ZADF,

■:BE=CE,

:?AB=2BE,

易證NBAEs/bDA,

*BEAF1

ABDF2

:?DM=MF,VCM1DF,

：.CD=CF,故①正確，

：.ZCDF=ZCFD,

???NCOG=NCVG=90°,

：.ZGFD=ZGDF,

:.GF=GD,

VZGDF+ZD/4F=90°,ZGFD+ZAFG=9Q°,

???NGA"=NGM,

：.GF=GA,

:?GD=GA,

，G是AQ中點，故②正確，

???ZAFD=ZGFC,

：?4AFG=4CFD,/GAF=/CDF,

:.XDCFSXAGF、故③正確，

]^AF=a,則。尸=2。，AB=BE=^a,

3

/.AE=于，EF=2-

4/72

故④正確，

故選：D.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（2021?欽州）如圖，以O(shè)為位似中心，將邊長為256的正方形O/WC依次作位似變換，經(jīng)第一次變化

后得正方形0481。，其邊長OA\縮小為OA的點經(jīng)第二次變化后得正方形OA2B2C2,其邊長042縮

小為。Al的點經(jīng)第三次變化后得正方形。4383c3,其邊長OA3縮小為042的J,…，依此規(guī)律，經(jīng)第〃

次變化后，所得正方形。4曲心的邊長為正方形Q4BC邊長的倒數(shù)，則〃=16.

【解題思路】由圖形的變化規(guī)律可知正方形QA〃8〃Q的邊長為?）nx256,據(jù)此即可求解.

【解答過程】解：由圖形的變化規(guī)律可得

物X256=/，

解得M=16.

故答案為：16.

12.（2021秋?高州市期末）若線段a,b,c滿足關(guān)系￡-=-?貝I]a：h：c=9：12：20.

b4c5

【解題思路】此類題做的時候可以根據(jù)分式的基本性質(zhì)把兩個比例式中的相同字母變成所占的份數(shù)相同,

即可把三個字母的比的關(guān)系求解出來.

a3b3

【解答過程】解：??；=「-=

b4c5

a9b12

?*?丁=.

b12c20

?*.a：b：c=9：12：20.

故填9：12：20.

13.（2021春?雙流縣校級期中）已知線段/W=10c,〃，「、Q足線段AZ7的黃金分割點，則尸。=（106-

20）c〃」.

【解題思路】把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段

V5-1

分割叫做黃金分割，他們的比值（不一）叫做黃金比.

【解答過程】解：根據(jù)黃金分割點的概念，可知AQ=BP=要XIO=（5V5-5）cm.

MPQ=AQ+BP-AB=（5V5-5）X2-10=（10遍-20）cm.

故本題答案為：（10西-20）cm.

?-----?------?-------?

ApoB

14.（2021?濰坊）如圖，某水平地面上建筑物的高度為/W,在點。和點尸處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CO

和￡“，兩標(biāo)桿相隔52米，并且建筑物A3、標(biāo)桿CO和EF在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿CD后退2米到

點、G處,在G處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端。在同一條直線上；從標(biāo)桿后退4米到點”處，在“

處測得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端￡在同一條直線上，則建筑物的高.足54米.

【解題思路】根據(jù)題意可■得出4EFHs△人RH,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即

可得出結(jié)論.

【解答過程】解：法一：:AB±BH,CDIBH,EFVBH,

：.AB//CD//EF,

:.ACDGs^ABG,△EFHs^ABH,

*CDDGEFFH

''AB-DG+BD’AB~FH+DF+BD'

?：CD=DG=EF=2m,。尸=52〃?，F(xiàn)H=4m,

22

''AB~2+B。'

24

AB~4+52+BD'

24

**2+SD-4+52+8。'

解得80=52〃?,

*22

''AB-2+52'

解得A8=54m.

法二：AB=X.則8H=2X,BG=X,

則有2x-x=54,

解得x=54,

故答案為：54.

4P1

15.（2021秋?流水縣期中）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,尸點在邊上的高AZ）上，且一=BP

PD2

的延長線交4c于￡,若Sd5C=10,則S,w2；SADEC=4.

【解題思路】如果把AABE與dABC看作同高的兩個三角形，那么它們的面積之比等于底之比，即等于

AEtAC.所以為了求出△ABE的面積，由于己知S&48C=10,只需求出人石：AC即可.為此，取石C中

點凡連接OF.先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出。為8C中點，又產(chǎn)為EC中點，根據(jù)三角形中位

線定理證出。尸〃再由平行線分線段成比例定理求出AE：EF,進而得出4氏AC；根據(jù)S“EC=SA

入BC-S公ABE，先求出SMEC,再根據(jù)三角形的中線將三角形的面枳二等分，得出S△力EC.

【解答過程】解：取EC中點凡連接。F.

'：AB=AC,A。為8C邊上的高，

???。為8C中點.

?：F為EC中點,

：.DF//BE,則。/〃PF,

*AEAP1

''EF~PD~2

?A_E__1

''AC-5'

.S“BESE1

S^ABCAC5

:.S^ABE=vS/ABC=<X10=2;

*.*S^BEC=SMBC-SMBE=10-2=8,

又???。為8c中點,

:?S&DEC=聶\8EC=1X8=4.

故答案為2；4.

16.（2021秋?雙流區(qū)校級月考）如圖，在四邊形ABC。中，AC_L8C于點C,ZBAC=ZADC,JLBC=^AC,

當(dāng)C/）=4,AO=2時，線段BD的長度為.

2

【解題思路】在A3上截取4朋=從。=2,過M作MN〃4。交AC于N,把△AMN繞4逆時針旋轉(zhuǎn)得△

ADE,連接CE,則A/N_LAC,DE=MN,/DAE=/BAC,證出4C：AC：AB=3：4：5,由△ABQs4

BDAB5RCQ

ACE,得出一=一=證明△AMNs/XABC,求出MN=^XAM=1證出AE〃CO,得出NCQ￡

CEAC4AB5

=90°,由勾股定理得出CE二名譽，即可得出答案.

【解答過程】解：如圖，在48上截取4M=AD=2,過M作MN〃BC交AC于N,把△AMN繞A逆時

針旋轉(zhuǎn)得△AOE，連接CE,

則/NJ_4C,DE=MN,ZDAE=ZBAC,

??4EO=NANM=9()°,

^3c

.?AC_LBC于點C,ZBAC=ZADC,BC=.

?B_C3

,AC-4

?.BC：AC：A8=3：4：5,

:MN//BC,

?.叢ABCs叢AMN,

：△八MNG△人。石，

??XhBCs

?A_BA_C

"AD~AEf

?A_BAD

AC-AE'

又???ZDAE+ZCAD=N8AC+/CAD,

??/BAD=NCAE,

??AABD^AACE,

tBD_AB_5

'CE~AC~A

：△AMNs^ABC,

,MNAM

'BC~AB'

?.MN=%XAM=JX2=4

：ZBAC=ZADC,

ZDAE=ZADC,

：.AE//CD,

：.ZCDE+ZAED=\SO°,

AZCDE=180°?NA￡Q=90°，

2

+29一

在RtACDE中,CE=>/CD2+DE25一

但

71^

故答案為:2

三.解答題（共7小題，滿分52分）

口MS■口a+b-ca-b+c-a+b+c

17.（2017秋?雁江區(qū)校級月考）已知〃、b、c均為非零的實數(shù),且泄足丁二二二^^’求

H+匕）（b+c）（c+a）

的值.

abc

【解題思路】已知等式利用比例的性質(zhì)化簡表示出a+c,He,代入原式計算即可得到結(jié)果.

【解答過程】解：當(dāng)4+O+cWO時，

▼，一一，，，，一~“一，2、…a+b-ca-b+c-a+b+ca+b-c+a-b-i-c-a+b+c

利用比例的性質(zhì)化簡已知等式得：------=---=---------=-----------;-----------

cbaQ+b+c

a+b+c

---------=1?

a+b+c

即a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,

整理得：a+b=2c,a+c=2b,b+c=2a,

此時原式=鬻=8：

當(dāng)a+b+c=0時,可得：a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,

則原式=-1.

力L-w（a+b）（b+c）（c+a）m.,

綜上可知，--------;--------的1y值為8o或-I.

abc

BDCEAFCQBP

（?杭州模擬）如圖，設(shè)；=〃，，求京、

18.20217C7D17AE7=41-FB=/*?QF7P7E,

【解題思路】作QM"交AB于M.設(shè)尸M=x,FQ=y.利用平行線分線段成比例定理求出CF（用），

表示）即可解次問題.

【解答過程】解：作。M〃C尸交A/3于M.設(shè)FQ=y.

'DM//CF,

BMBD

'FM-CD~l

?BM=xp,

.AF：FB=r,

?AF=xr(p+1)，

.FQ_AF_

DM-AM'

y="(P+l)

?DM-x+xr(p+l),

?DM=l+r(p+l).

r(P+l)■

DMBMpxp

CF~FB~px+x-p+1

.CF=l+r（P+l）小

l+r(p+l)_..

CQ_pry-y_山

QF_ypr

BP1+a

作FN〃座交AC于M同法可得而=干.

19.（2021?撫順）如圖，將△ABC在網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1）依次進行位似變換、軸

對稱變換和平移變換后得到△八343c3.

（1）AABC與△AIBICI的位似比等于1；

2

（2）在網(wǎng)格中畫出△AiBi。關(guān)于），軸的軸對稱圖形4A282c2；

（3）請寫出383c3是由282c2怎樣平移得到的？

（4）設(shè)點P（x,>'）為△ABC內(nèi)一點，依次經(jīng)過上述三次變賣后，點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（-2x-2,

2v+2)

【解題思路】（1）根據(jù)位似圖形可得位似比即可;

（2）根據(jù)軸對稱圖形的畫法畫出圖形即可；

（3）根據(jù)△A3&C3與AA282c2的關(guān)系過程其變化過程即可;

（4）根據(jù)三次變換規(guī)律得出坐標(biāo)即可.

【解答過程】解：⑴）ZUBC與由6的位似比等于二者-另

（2）如圖所示

（3）△A3B3C3是由2c2沿x軸向左平移2個單位，再沿y軸向上平移2個單位得到；

（4）點P（x,），）為△ABC內(nèi)一點，依次經(jīng)過上述三次變換后，點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（?2.r?2,2），+2）.

故答案為：-2,2）葉2）.

20.（2021秋?徐匯區(qū)期中）如圖，在△A8C中，AB=AC,點E為4。中點，連結(jié)BE,DFLBE

于點F,連結(jié)4/、CF.

EFFD

（1）求證;~AE='DC

（2）若點6為AC中點，連結(jié)尸G、DG,求證：FG=DG.

【解題思路】（I）由4OIACDFIRF.,可得/用?。=/?！攴布从小餍?OS/\EQR,從而——=——.

EDBD

L口EFFD

又ED=AE,BD=DC,故不=77：

AEDC

（2）由NDBF=NEDF,可得NA￡r=NCDR結(jié)合（1）的結(jié)論即知△AE”S/\CQF,故NAFE=NCFQ,

可得NAR7=90°,從而產(chǎn)G=±\C,而N4Z）C=90°,G為AC中點，WDG=^AC,即可證/7=。6.

【解答過程】證明：（1）'：AD1BC,DFA.BE,

???NOB/=90°-ZFDB=ZEDF,

而NBED=NDEF,

:.叢EFDs叢EDB,

*_E_F__F_D

EDBD

???點E為AQ中點,

:?ED=AE,

?：AB=AC,AD±BC,

:,BD=DC,

.EFFD

''AE~DC'

（2）VZAEF=ZADB^ZDBF=^+NDBF,

NCDF=NCDA+NEDF=90°+NEDF,

而NDBI；=NEDF,

???NAEF=/CDF,

EFFD

由（1）知f—=,

AEDC

???XAEFsXCDF,

：.4AFE=4CFD,

yLZCFD+ZCFE=90o,

/.ZAFE+ZCFE=90°，即N'AfC=90°，

???G為AC中點，

：.FG=^AC,

VZADC=90°,G為AC中點，

ADG=|AC,

:,FG=DG.

21.（2021?無錫）王大伯要做一張如圖1的梯子，梯子共有8級互相平行的踏板，每相鄰兩級踏板之間的

走離都相等.已知梯子最上面一級踏板的長度44=0.5加，最下面一級踏板的長度4帖8=0&〃.木工師

傅在制作這些踏板時，截取的木板要比踏板長，以保證在每級踏板的兩個外端各做出一個長為的樣

頭（如圖2所示），以此來固定踏板.現(xiàn)市場上有長度為2.1加的木板可以用來制作梯子的踏板（木板的

寬厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），請問：制作這些踏板，王大伯最少需要買幾塊這樣的木

板？請說明理由.（不考慮鋸縫的損耗）

a

/頭

，福板j

UA6B;

圖i圖2

【解題思路】在解此題的過程中，一定要構(gòu)建相似三角形，因為踏板之間是相互平行，而且間隔相等，

所以可利用這一組平行線來構(gòu)建相似二角形，從而依次求出自上而下各條踏板的長度.另外千萬不要忽

略樺頭的長度；

解法二：可以把梯子看做一個等腰梯形，由中位線定理即可求解；

解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位線，只不過又做了一條踏板A9B9,有Aia和A9B9能求出心心,

然后有A585和A9B9求出A7歷.再有A787和A989求出小國=80,從而算出A989的具體數(shù)值，這樣的話,

All至小風(fēng)的長就都能準(zhǔn)確求出，從而算出一共需要多少材料.

【解答過程】解：法一：如圖，設(shè)自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為A2B2,A383,A7B7,

過4作BB8的平行線分別交他及，心明，加風(fēng)于點C2,C3，…，C8.

???每兩級踏板之間的距離相等，

Cs^8=C7B7=?,?=C2B2=A\B\=50（772,A8c8=80-50=30CVM.

■A2C2〃A8B8,

N4A2c2=NAiA8c8,ZA\C2A2=ZAiCsAs,

1A2c2sZ\A1A8c8,

/.A2C2：A8c8=1：7,

.._30

??A2「r2="y"?

：.A2B2=50+孚

設(shè)要制作AiBi,A2B2,…,AiBi,A838這些踏板需用木板的長度分別為Mem,…，485,

則m=50+8=58,。2=50+當(dāng)+8=58+乎,。3=58+苧,。4=58+莽。5=58+苧,%=58+

號。,ci-j=58+—,。8=58+30,

??&+。2+。3+。4=232+苧>210,

???王大伯買的木板肯定不能少于3塊，

71n

又丁。1+a3+a6=174+寧=204<210,

240252

3+。4+。5=174+寧<174+等=210,

%+。8=146+拳=1711<210,

???王大伯最少買3塊這樣的木板就行了.

法二：如圖，分別取4A8,冏璘的中點P,Q,連接PQ.

設(shè)自上往下第2,3,4,5,6,7級踏板的長依次為42&,人3必，…，AiBj,則由梯形中位線定理可得:

A?B?=A2B2+A7Bi=A3B3+A6Bc>=A4B4+A5li5=2PQ.（2分）

*/AIBI=50?！ǎ珹sBs=80?！?，

.\A\B\+AsBs=A2B2+A7B~=A?,B3,+A6Bf>=A4B4+A5B5=130.（3分）

設(shè)要制作A]Bi,A282,…，AiBi,AsBs,

這些踏板需用木板的長度為mem,（12cm,48cm,

則41+48=42+47=。3+。6=44+。5=146.

?；ai+a2+…+〃8=I46X4=584>2IOX2,

???王大伯買的木板肯定不能少于3塊.（4分）

過4作8出8的平行線分別交A2B2,43例，…,A8B8,

于點C2,C3,…，。8.

???每兩級踏板之間的距離相等，

/.CsBs=CiBi=???=CiBi=A1Si=50c///,A8c8=80?50=30cm.

*.*A2C2//A8&!，

N