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文檔簡介
2023-2024學(xué)年北京市懷柔區(qū)名校中考聯(lián)考數(shù)學(xué)試題
注意事項(xiàng):
1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。
2.答題時請按要求用筆。
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。
4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。
一、選擇題(木大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的
1.如圖,AD為AABC的中線,點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn),連接DE,則下列結(jié)論中不一定成立的是()
BDC
A.DC=DEB.AB=2DEC.SCDE=-SAABCD.DE/7AB
A4
2.下列說法中,正確的是()
A.長度相等的弧是等弧
B.平分弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧
C.經(jīng)過半徑并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
D.在同圓或等圓中90。的圓周角所對的弦是這個圓的直徑
3.PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5pm(IpmR.OOOOOlm)的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,它們含有大量的有
毒、有害物質(zhì),對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大危害.2.5Nm用科學(xué)記數(shù)法可表示為()
A.2.5x105,〃B.0.25X10-7WC.2.5xlO-6,??D.25xl0-5w
4.下列各式計(jì)算正確的是()
A.a24-2fl3=3a5B.a*a2=a3C.D.(a2)i=a5
5.已知。O及。O外一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作出。O的一條切線(只有圓規(guī)和三角板這兩種工具),以下是甲、乙兩同學(xué)的作
業(yè):
甲:①連接OP,作OP的垂直平分線1,交OP于點(diǎn)A:
②以點(diǎn)A為圓心、OA為半徑畫弧、交。O于點(diǎn)M;
③作直線PM,則直線PM即為所求(如圖1).
乙:①讓直角三角板的一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)P;
②調(diào)整直角三角板的位置,讓它的另一條直角邊過圓心O,直角頂點(diǎn)落在。O上,記這時直角頂點(diǎn)的位置為點(diǎn)M;
③作直線PM,則直線PM即為所求(如圖2).
對于兩人的作業(yè),下列說法正確的是()
A.甲乙都對B.甲乙都不對
C.甲對,乙不對D.甲不對,己對
6.如圖,在△ABC中,ZC=90°,點(diǎn)D在AC上,DE〃AB,若NCDE=165。,則NB的度數(shù)為()
A.15°B.55°C.65°D.75°
7.在一個不透明的口袋中裝有4個紅球和若干個白球.他們除顏色外其他完全相同.通過多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn),摸到
紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近,則口袋中白球可能有()
A.16個B.15個C.13個D.12個
8.一元二次方程/一21=0的根是()
A.-V1=0,X?——2B.-V1=1,X]—2
C.M=1,x?~—2D.X1=0,Xy=2
9.如圖,E為平行四邊形ABCD的邊AB延長線上的一點(diǎn),且BE:AB=2:,△BEF的面積為4,則平行四邊形ABCD的
面積為。
10.在GO中,已知半徑為5,弦AB的長為8,則圓心O到AB的距離為()
A.3B.4D.6
11.如圖,在五邊形48coE中,NA+NB+NE=300。,OP,CP分別平分NEO。、/BCD,則NP的度數(shù)是()
£
A.60°B.65°I).50°
12.如甌在A4BC中,AB=10,4C=8,BC=6,以邊AB的中點(diǎn)。為圓心,作半圓與AC相切,點(diǎn)P,Q分別是
邊BC和半圓上的動點(diǎn),連接PQ,則尸。長的最大值與最小值的和是()
A.6B.2V13+1C.9D.—
二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)
3
13.如圖,在RtAABC中,ZC=90°,AM是BC邊上的中線,cosZAMC=-,貝!1tanZB的值為
14.如圖,四邊形ABCD與四邊形EFGH位似,位似中心點(diǎn)是點(diǎn)O,—則:四】=
OA531nl邊形八sc。
A
15.如圖,線段AC=n+l(其中n為正整數(shù)),點(diǎn)B在線段AC上,在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF,
連接AM、ME、EA得到△AME.當(dāng)AB=1時,△AME的面積記為Si;當(dāng)AB=2時,△AME的面積記為S2;當(dāng)AB=3
時,AAME的面積記為S3;…;當(dāng)AB=n時,AAME的面積記為Sn.當(dāng)吃2時,S?-Sn.i=_
16.如匡,將邊長為12的正方形ABCD沿其對角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,得到△A,B,C,當(dāng)兩個三角
形重疊部分的面積為32時,它移動的距離AA,等于,
17.用換元法解方程+三二1=2,設(shè)y=_J,那么原方程化為關(guān)于y的整式方程是___
x2-lx2X--1
18.不等式二壬1的正整數(shù)解為_______________.
2
三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
19.(6分)自學(xué)下面材料后,解答問題。
分母中含有未知數(shù)的不等式叫分式不等式。如:言>。;等<°等。那么如何求出它們的解集呢?
根據(jù)我他學(xué)過的有理數(shù)除法法則可知:兩數(shù)相除,同號得正,異號得負(fù)。其字母表達(dá)式為:
若a>0,b>0廁£>0;若a<0,bv0,則;>0;
bb
若a>0,b<0測巴v0;若av0,b>0,則巴v0.
bb
反之:若1>o,貝心>0或演o,
(1)若fvo,則—或
9
r—2
(2)根據(jù)上述規(guī)律,求不等式二>0的解集.
x+1
20.(6分)某企業(yè)信息部進(jìn)行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):
信息一:如果單獨(dú)投資A種產(chǎn)品,所獲利潤(萬元)與投資金額x(萬元)之間存在某種關(guān)系的部分對應(yīng)值如下表:
x(萬元)122.535
yA(萬元)0.40.811.22
信息二:如果單獨(dú)投資R種產(chǎn)品,則所獲利潤yM萬元)與投資金額x(萬元)之間存在二次函數(shù)關(guān)系:yH=a/+bx,且投
資2萬元時獲利潤2.4萬元,當(dāng)投資4萬元時,可獲利潤3.2萬元.
(1)求出YB與X的函數(shù)關(guān)系式;
⑵從所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)中確定哪種函數(shù)能表示與X之間的關(guān)系,并求出yA與X的函數(shù)關(guān)
系式;
(3)如果企業(yè)同時對A、B兩種產(chǎn)品共投資15萬元,請?jiān)O(shè)計(jì)一個能獲得最大利潤的投資方案,并求出按此方案能獲得的
最大利潤是多少?
21.(6分)如圖,拋物線y=?(x-1)2代與x軸交于A,B(A,B分別在y軸的左右兩側(cè))兩點(diǎn),與y軸的正半軸
交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D,已知A(-1,0).
(1)求點(diǎn)B,C的坐標(biāo);
(2)判斷△CDB的形狀并說明理由;
(3)將ACOB沿x軸向右平移t個單位長度(0VtV3)得到△QPE.△QPE與^CDB重疊部分(如圖中陰影部分)
面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍.
22.(8分)如圖LB(2m,0),C(3m,0)是平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn),其中m為常數(shù),且m>0,E(0,n)為y
軸上一動點(diǎn),以BC為邊在x軸上方作矩形ABCD,使AB=2BC,畫射線OA,把△ADC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得
△A'D'C',連接ED',拋物線y=+c(。00)過E,A'兩點(diǎn).
(1)填空;NAOB=。,用m表示點(diǎn)/V的坐標(biāo);A,(,);
(2)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為A,,拋物線與線段AB交于點(diǎn)P,且絲二』時,AD,OE與AABC是否相似?說明理由;
(3)若E與原點(diǎn)O重合,拋物線與射線OA的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)M,過M作MN_Ly軸,垂足為N:
①求a,b,m滿足的關(guān)系式;
②當(dāng)m為定值,拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn),線段MN的最大值為10,請你探究a的取值范圍.
23.(8分)如圖,小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置,設(shè)法使斜邊DF保
持水平,并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上,已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m,EF=0.2m,測得邊DF離地面的高度
AC=1.5m,CD=8m,求樹高.
24.(10分)如圖①,有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點(diǎn)A與點(diǎn)E重合),已知AC=8cm,
BC=6cm,ZC=90°,EG=4cm,ZEGF=90°,O是AEFG斜邊上的中點(diǎn).
如圖②,若整個△EFG從圖①的位置出發(fā),以lcm/s的速度沿射線AB方向平移,在△EFG平移的同時,點(diǎn)P從4EFG
的頂點(diǎn)G出發(fā),以lcm/s的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時,點(diǎn)P停止運(yùn)動,△EFG也隨之停
止平移.設(shè)運(yùn)動時間為x(s),FG的延長線交AC于H,四邊形OAHP的面積為y(cm?)(不考慮點(diǎn)P與G、F重合
的情況).
(1)當(dāng)x為何值時,OP〃AC;
(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并確定自變量x的取值范圍;
(3)是否存在某一時刻,使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13:24?若存在,求出x的值;若不存在,說明
理由.(參考數(shù)據(jù):1142=12996,1152=13225,1162=134564.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)
25.(10分)如圖,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,點(diǎn)尸從A出發(fā),以每秒2厘米的速度向8運(yùn)動,點(diǎn)。從C
同時出發(fā),以每秒3厘米的速度向A運(yùn)動,其中一個動點(diǎn)到端點(diǎn)時,另一個動點(diǎn)也相應(yīng)停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時間為九
⑴用含,的代數(shù)式表示:AP=,AQ=.
⑵當(dāng)以4尸,。為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時,求運(yùn)動時間是多少?
■IWT
27.(12分)小明和小剛玩“石頭、剪刀、布”的游戲,每一局游戲雙方各自隨機(jī)做出“石頭”、“剪刀”、“布”三種手勢
的一種,規(guī)定“石頭”勝“剪刀”,“剪刀"勝"布”,“布”勝“石頭”,相同的手勢是和局.
(1)用樹形圖或列表法計(jì)算在一局游戲中兩人獲勝的概率各是多少?
(2)如果兩人約定:只要誰率先勝兩局,就成了游戲的贏家.用樹形圖或列表法求只進(jìn)行兩局游戲便能確定贏家的概
率.
參考答案
一、選擇題(本大題共12個小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)
1、A
【解析】
根據(jù)三角形中位線定理判斷即可.
【詳解】
YAD為AABC的中線,點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn),
11
/.DC=-BC,DE=-AB,
22
VBC不一定等于AB,
???DC不一定等于DE,A不一定成立;
AAB=2DE,B一定成立;
SACDE=1SAABC,C一定成立;
4
DE〃AB,D一定成立;
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是三角形中位線定理,掌握三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.
2、D
【解析】
根據(jù)切線的判定,圓的知識,可得答案.
【詳解】
解:A、在等圓或同圓中,長度相等的弧是等弧,故A-錯誤;
B、平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧,故B錯誤;
C、經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,故C錯誤;
D、在同圓或等圓中90。的圓周角所對的弦是這個圓的直徑,故D正確;
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的判定及圓的知識,利用圓的知識及切線的判定是解題關(guān)鍵.
3、C
【解析】
試題分析:大于0而小于I的數(shù)用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示,10的指數(shù)是負(fù)整數(shù),其絕對值等于第一個不是0的數(shù)字前所有0
的個數(shù).
考點(diǎn):用科學(xué)計(jì)數(shù)法計(jì)數(shù)
4、B
【解析】
根據(jù)募的乘方,底數(shù)不變指數(shù)相乘;同底數(shù)累相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減;同底數(shù)嘉相乘,底數(shù)不變指數(shù)相加,對各選項(xiàng)分析判
斷利用排除法求解
【詳解】
A./與方3不是同類項(xiàng),故A不正確;
8.”?。2="3,正確;
C.原式故C不正確;
D.原式=06,故D不正確;
故選:B.
【點(diǎn)睛】
此題考查同底數(shù)器的乘法,器的乘方與積的乘方,解題的關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則.
5、A
【解析】
(1)連接OM,OAt連接OP,作。尸的垂直平分線/可得。A=M4=AP,進(jìn)而得到NO=NAMO,N4M%NMB4,
所以NOM4+NAMP=NO+NMB4=90。,得出MP是。。的切線,(1)直角三角板的一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)P,它的
另一條直角邊過圓心O,直角頂點(diǎn)落在。。上,所以NOMP=90。,得到MP是。。的切線.
【詳解】
證明:(1)如圖1,連接OM,OA.
二?連接OP,作。尸的垂直平分線。交OP于點(diǎn)A,:.OA=AP,
:以點(diǎn)A為圓心、04為半徑畫弧、交00于點(diǎn)
:.OA=MA=APf:.ZO=ZAMOfZAMP=ZMPAf:.ZOMA+ZAMP=ZO+ZMPA=^°f:.OM±MPt是。。
的切線;
(1)如圖1.
???直角三角板的一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)P,它的另一條直角邊過圓心。直角頂點(diǎn)落在。。上,???NOA/P=90。,???MP
是。。的切線.
故兩位同學(xué)的作法都正確.
故選A.
本題考查了復(fù)雜的作圖,重點(diǎn)是運(yùn)用切線的判定來說明作法的正確性.
6、D
【解析】
根據(jù)鄰補(bǔ)角定義可得NADE=15。,由平行線的性質(zhì)可得NA=NADE=15。,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得NB=75。.
【詳解】
解:VZCDE=165°,/.ZADE=15°,
VDE/7AB,.,.ZA=ZADE=15°,
/.ZB=1800-ZC-ZA=180°-90°-15°=75°,
故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等,熟練掌握平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.
7、D
【解析】
由摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%附近得出口袋中得到紅色球的概率,進(jìn)而求出白球個數(shù)即可.
【詳解】
解:設(shè)白球個數(shù)為:x個,
二?摸到紅色球的頻率穩(wěn)定在25%左右,
???口袋中得到紅色球的概率為25%,
.41
:.----=一,
4+x4
解得:x=12,
經(jīng)檢驗(yàn)、=12是原方程的根,
故白球的個數(shù)為12個.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用頻率估計(jì)概率,根據(jù)大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率得出是解題的關(guān)鍵.
8、D
【解析】
試題分析:此題考察一元二次方程的解法,觀察發(fā)現(xiàn)可以采用提公因式法來解答此題.原方程可化為:?一1二
因此二0或二二0,所以毛=0,.Y:=二.故選D.
考點(diǎn):一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.
9、A
【解析】
丁四邊形ABCD是平行四邊形,
AAB//CD,AB=CD,AD//BC,
AABEF^ACDF,△BEF^AAED,
ABE:CD=2:3,BE:AE=2:5,
?9qAREF__4.q&BEF__42_
VSABEF=4,
??SACDF=9,SAAED=25,
AS四邊形ABFD=SAAED-SABEF=25-4=21,
?*?S平行四動形ABCD=SACDF'+S四邊形ABFD=9+21=30,
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)等,熟記相似三角形的面積等于相似比的平方是解
題的關(guān)鍵.
10、A
【解析】
解:作0C\L4A于C,連結(jié)04,如圖.*:OCLAB:.AC=BC=-AB=-x8=l.在RtAAOC中,04=5,
t22
:.0C=S曾—AC?=正-42=3,即圓心。到AB的距離為2.故選A.
11、A
【解析】
試題分析:根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540。,由NA+NB+NE=300。,可求NBCD+NCDE的度數(shù),再根據(jù)角平分線的
定義可得NPDC與NPCD的角度和,進(jìn)一步求得NP的度數(shù).
解:???五邊形的內(nèi)角和等于540。,NA+NB+NE=300。,
:.ZBCD+ZCDE=540°-300=240°,
???NBCD、ZCDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點(diǎn)O,
/.ZPDC+ZPCD=-^(ZBCD+ZCDE)=120°,
AZP=180°-120°=60°.
故選A.
考點(diǎn):多邊形內(nèi)角與外角;三角形內(nèi)角和定理.
12、C
【解析】
如圖,設(shè)€)0與AC相切于點(diǎn)E,連接OE,作OPi_LBC垂足為P1交。O于Q1,此時垂線段OPi最短,PIQI最小值
為OPi?OQi,求出OPi,如圖當(dāng)Q2在AB邊上時,P2與B重合時,P2Q2最大值=5+3=8,由此不難解決問題.
【詳解】
解:如圖,設(shè)OO與AC相切于點(diǎn)E,連接OE,作OP】_LBC垂足為Pi交。O于Qi,
VAB=104AC=8.BC=6.
/.AB2=AC2+BC2,
/.ZC=1D°,
VZOPiB=10°,
AOPi/ZAC
VAO=OB,\
???P1SP1B,
1
AOPi=-AC=4,
AP1Q1最小值為OPi-OQi=L
如圖,當(dāng)Q2在AB邊上時,P2與B重合時,P2Q2經(jīng)過圓心,經(jīng)過圓心的弦最長,
P2Q2最大值=5+3=8,
???PQ長的最大值與最小值的和是1.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識,解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)PQ取得最大值、最小值時的位置,屬于
中考??碱}型.
二、填空題:(本大題共6個小題,每小題4分,共24分.)
【解析】
3
根據(jù)cos/AMC=-,設(shè)MC=3x,AM=5xf由勾股定理求出AC的長度,根據(jù)中線表達(dá)出BC即可求解.
【詳解】
3
解:VcosZAMC=-,
5
MC=3
cosZAMC=
AM-5
設(shè)MC=3x,AM=5xf
???在RtAACM中,4。=y]AM2-MC2=4x
?/AM是BC邊上的中線,
/.BM=MC=3x,
/.BC=6x,
AC4v2
???在RtAABC中,tanZB=——=—=-,
BC6x3
故答案為:
【點(diǎn)睛】
本題考查了銳角三角函數(shù)值的求解問題,解題的關(guān)鍵是熟記銳角三角函數(shù)的定義.
【解析】
試題分析:???四邊形ABCO與四邊形EFGH位似,位似中心點(diǎn)是點(diǎn)0,
.EF_OE_3
??=------,
ABOA5
S四邊腕FGHOE
則
S四邊物8。)OA
9
故答案為A.
點(diǎn)睛:本題考查的是位似變換的性質(zhì),掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【解析】
連接BE,
???在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF,
ABE/7AM.AAAME與^AMB同底等高.
/.△AME的面積=△AMB的面積.
,當(dāng)AB=n時,△AME的面積為S"=一[]]當(dāng)AB=n-l時,△AME的面積為S”=一(11-.
“2"2、/
22
工當(dāng)吃2時,SI1-Sn_1=1n-1(n-l)=1(n+n-l)(n-n+l)=^^
16、4或8
【解析】
由平移的性質(zhì)可知陰影部分為平行四邊形,設(shè)A,D=x,根據(jù)題意陰影部分的面積為(12-x)xx,即x(12-x),當(dāng)x(12-x)=32
時,解得:x=4或x=8,所以AA,=8或AA,=4。
【詳解】
設(shè)AA=x,AC與相交于點(diǎn)E,
VAACD是正方形ABCD剪開得到的,
/.△ACD是等腰直角三角形,
ZA=45o,
.,.△AAT是等腰直角三角形,
AArE=AAr=x,
A,D=AD-AA,=12-x,
???兩個三角形重疊部分的面積為32,
x(12-x)=32?
整理得,X2-12X+32=0,
解得x,=4,x2=8,
即移動的距離AA,等4或8.
【點(diǎn)睛】
本題考查正方形和圖形的平移,熟練掌握計(jì)算法則是解題關(guān)鍵?.
17、6y2-5y+2=0
【解析】
x
根據(jù)二,將方程變形即可.
【詳解】
根據(jù)題意得:3j+-=1,
y2
得到6/-5j+2=0
故答案為6y2—5y+2=0
【點(diǎn)睛】
此題考查了換元法解分式方程,利用了整體的思想,將方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵.
18、1,2,1.
【解析】
去分母,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),系數(shù)化成1即可求出不等式的解集,根據(jù)不等式的解集即可求出答案.
【詳解】
??-X>-19
1—x
??.不等式一之的正整數(shù)解是1,2,1,
2
故答案為:1,2,1.
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整數(shù)解,關(guān)鍵是求出不等式的解集.
三、解答題:(本大題共9個小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
?>0<0—
19、(1).或]/_;(2)x>2或x<T.
b<0n[/?>0
【解析】
(1)根據(jù)兩數(shù)相除,異號得負(fù)解答;
(2)先根據(jù)同號得正把不等式轉(zhuǎn)化成不等式組,然后根據(jù)一元一次不等式組的解法求解即可.
【詳解】
,,UrIfl<0
(1)若丁>0,則)
b<0
a<0
故答案為:
b>0
(2)由上述規(guī)律可知,不等式轉(zhuǎn)化為t一:或
[A+I>0[x+]<0
所以,x>2或XVT.
【點(diǎn)睛】
此題考查一元一次不等式組的應(yīng)用,解題關(guān)鍵在于掌握掌握運(yùn)算法則.
2
20、(l)yB=-0.2x+1.6X(2)一次函數(shù),y*0.4x(3)該企業(yè)投資A產(chǎn)品12萬元,投資B產(chǎn)品3萬元,可獲得最大利潤
7.8萬元
【解析】
(1)用待定系數(shù)法將坐標(biāo)(2,2.4)(4,3.2)代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)B=ax2+bx求解即可;
(2)根據(jù)表格中對應(yīng)的關(guān)系可以確定為一次函數(shù),通過待定系數(shù)法求得函數(shù)表達(dá)式;
(3)根據(jù)等量關(guān)系“總利潤=投資A產(chǎn)品所獲利潤+投資B產(chǎn)品所獲利潤”列出函數(shù)關(guān)系式求得最大值
【詳解】
解:(1)VB=-0.2x2+1.6x,
(2)一次函數(shù),yA=0.4x,
(3)設(shè)投資B產(chǎn)品x萬元,投資A產(chǎn)品(15-x)萬元,投資兩種產(chǎn)品共獲利W萬元,則W=(-0.2X2+1.6X)+0.4
(15—x)=—0.2X2+1.2x+6=—0.2(x—3)2+7.8,
***當(dāng)x=3時,W.大值=7.8,
答:該企業(yè)投資A產(chǎn)品12萬元,投資B產(chǎn)品3萬元,可獲得最大利潤7.8萬元.
33
--r0+3r(0<r<-)
(I)B(3,0);C(0,3);(II)ACOB為直角三角形;(111為二?
=-r2-3z+-(-<r<3)
222
【解析】
(1)首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,然后進(jìn)一步確定點(diǎn)B,C的坐標(biāo).
(2)分別求出^CDB三邊的長度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形.
(3)△COB沿x軸向右平移過程中,分兩個階段:
3
①當(dāng)0<£不時,如答圖2所示,此時重疊部分為一個四邊形;
2
3
②當(dāng)不VtV3時,如答圖3所示,此時重疊部分為一個三角形.
2
【詳解】
解:(I).??點(diǎn)4(-1,0)在拋物線),二一(工一1『+c上,
/.0=-(-l-l)2+c,得c=4
???拋物線解析式為:),=一(工一1)?+4,
令無=0,得y=3,???C(0,3);
令>=0,得工=一1或x=3,???B。,。).
(n)ACD3為直角三角形.理由如下:
由拋物線解析式,得頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4).
如答圖1所示,過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)M,
則OM=1,DM=4,BM=OB-OM=2.
過點(diǎn)。作CN_LDM于點(diǎn)N,則CV=1,DN=DM-MN=DM-OC=1.
在RAOBC中,由勾股定理得:BC=y]OB2+OC2=732+32=3\/2;
在R/AQVD中,由勾股定理得:CD=yjCN2+DN2=>/12+12=;
在RABMD中,由勾股定理得:BDVBMRDM?=也\?=2石.
■:BC'CD'BD"
???△CD5為直角三角形.
(ID)設(shè)直線BC的解析式為y=6+b,
???8(3,0),C(0,3),
(3女+/7=0
:.<,
b=3
解得%=-1/=3,
:.y=-.r+3,
直線QE是直線BC向右平移r個單位得到,
,直線QE的解析式為:y=-(x-,)+3=-x+3+,;
設(shè)直線BD的解析式為y=如+",
???3(3,0),0(1,4),
3m+/?=()
/./,解得:6=一2,〃=6,
m+n=A
:.y=-2x+6.
(3、
連續(xù)CQ并延長,射線CQ交3。交于G,則G-,3
IN7
在ACO6向右平移的過程中:
(1)當(dāng)時,如答圖2所示:
設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K,可得QK=CQ=r,PB=PK=3-t.
fy=-2x+6
設(shè)。后與的交點(diǎn)為尸,貝必\,?
[y=-x+3+r
x=3-t
解得J「,
y=2t
???尸(3—2).
S=S,orF-S.\PBK-S\FBF=-PEPQ--PBPK--BEyF
=-x3x3--(3-t}2--t-2t=--t2+3t.
22V722
3
⑵當(dāng);</<3時,如答圖3所示;
2
?:CQ=t,
:?KQ=i,PK=PB=3T.
直線8。解析式為),=-2X+6,令%=/,得),=6-21,
:.J(1,6-21).
S=S“SaBK=”P*PBPK
=((3-/)(6-2/)一;(3T『
12>9
=-/-3/+-.
22
3ra、
一"+3f0<r<-
2I2
綜上所述,S與/的函數(shù)關(guān)系式為:S=\?
=-/2-3r+-f-</<3
2212)
22、(1)45;(m,-m);(2)相似;(3)①人二一1一。m;?-<a<\.
4
【解析】
試題分析:(1)由B與C的坐標(biāo)求出OB與OC的長,進(jìn)一步表示出BC的長,再證三角形AOB為等腰直角三角形,
即可求出所求角的度數(shù);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得,即可確定出A,坐標(biāo);
RP1
(2)△DOE^AABC.表示出A與B的坐標(biāo),由一=-,表示出P坐標(biāo),由拋物線的頂點(diǎn)為A,,表示出拋物線
AP3
解析式,把點(diǎn)E坐標(biāo)代入即可得到m與n的關(guān)系式,利用三角形相似即可得證;
(3)①當(dāng)E與原點(diǎn)重合時,把A與E坐標(biāo)代入),=雙2+/瑣+的整理即可得到a,b,m的關(guān)系式;
②拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn),可得出拋物線過點(diǎn)C時的開口最大,過點(diǎn)A時的開口最小,分兩種情況考慮:
若拋物線過點(diǎn)C(3m,0),此時MN的最大值為10,求出此時a的值;若拋物線過點(diǎn)A(2m,2m),求出此時a的
值,即可確定出拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn)時a的范圍.
試題解析:(1)VB(2m,0),C(3m,0),/.OB=2m,OC=3m,即BC=m,VAB=2BC,/.AB=2m=0B,VZABO=90°,
???△ABO為等腰直角三角形,???NAOB=45。,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OD'=D'A'=m,即A'(m,-m);故答案為45;m,
-m;
(2)△DOE^AABC,理由如下:由已知得:A(2m,2m),B(2m,0),V—=-,:.P(2m,-m),N為
AP32
2
拋物線的頂點(diǎn),,設(shè)拋物線解析式為y=a(x-〃?)2-’?,拋物線過點(diǎn)E(0,n),n=a(0-m)-mt即m=2n,
AOE:OD'=BC:AB=1:2,VZEOD,=ZABC=90°,/.AD'OE^AABC;
_n=0
(3)①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時,E(0,0),???拋物線丁=改2+法+(.過點(diǎn)七,A,/.{,,整理得:
2+bm+〃=-ni
am+b=-\,即匕=一1一a/%;
②.??拋物線與四邊形ABCD有公共點(diǎn),,拋物線過點(diǎn)C時的開口最大,過點(diǎn)A時的開口最小,若拋物線過點(diǎn)C(3m,
113
0),此時MN的最大值為10,/.a(3m)2-(l+am)?3m=0,整理得:ani=—,即拋物線解析式為),=---X92-----X,
22m2
y=x
由A(2m,2m),可得直線OA解析式為產(chǎn)x,聯(lián)立拋物線與直線OA解析式得:(1。3,解得:x=5m,
V=—X——X
-2m2
V=5m,即M(5m,5m),令5m=10,即m=2,當(dāng)m=2時,a=—;
4
若拋物線過點(diǎn)A(2m,2m),則4(2〃?尸-(1-c〃〃)2〃=2〃?,解得:am=2,Vm=2,/.a=L則拋物線與四邊形ABCD
有公共點(diǎn)時a的范圍為上?!?/p>
考點(diǎn):1.二次函數(shù)綜合題;2.壓軸題;3.探究型;4.最值問題.
23、樹高為5.5米
【解析】
DEEF
根據(jù)兩角相等的兩個三角形相似,可得ADEFsaDCB,利用相似三角形的對邊成比例,可得=二古,代入
DCCB
數(shù)據(jù)計(jì)算即得BC的長,由AB=AC+BC,即可求出樹高.
【詳解】
VZDEF=ZDCB=90°,ZD=ZD,
AADEF^ADCB
DEEF
:?----=-----,
DCCB
VDE=0.4m,EF=0.2m,CD=8m,
.0.40.2
?.—f
8CB
ACB=4(m),
AAB=AC+BC=1.5+4=5.5(米)
答:樹高為5.5米.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型.
24、(1)1.5s;(2)S=—6x2+1—7x+3(0<x<3);(3)當(dāng)x=52(s)時,四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13:
2552
1.
【解析】
(1)由于O是EF中點(diǎn),因此當(dāng)P為FG中點(diǎn)時,OP〃EG〃AC,據(jù)此可求出x的值.
(2)由于四邊形AHPO形狀不規(guī)則,可根據(jù)三角形AFH和三角形OPF的面積差來得出四邊形AHPO的面積.三角
形AHF中.AH的長可用AF的長和/FAH的余弦值求出.同理可求出FH的表達(dá)式(也可用相似二角形來得出AH、
FH的長).三角形OFP中,可過O作OD_LFP于D,PF的長易知,而OD的長,可根據(jù)OF的長和NFOD的余弦
值得出.由此可求得y、x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)先求出三角形ABC和四邊形OAHP的面積,然后將其代入(2)的函數(shù)式中即可得出x的值.
【詳解】
解:(1)VRtAEFG<^RtAABC
.EGFG4FG
..---=----,即Bn一二----
ACBC86
.4x6
??FG=----=3cm
8
???當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時,OP〃EG,EG/7AC
.,.OP/7AC
-FG1
Ax=V?=—2x3=1.5(s)
,當(dāng)x為l.5s時,OP/7AC.
(2)在RtAEFG中,由勾股定理得EF=5cm
VEG/7AH
/.△EFG^AAFH
,EG_EF_FG
??而一而一麗’
43
/.AH=—(x+5),FH=—(x+5)
55
過點(diǎn)O作OD_LFP,垂足為D
,??點(diǎn)O為EF中點(diǎn)
OD=—EG=2cm
2
VFP=3-x
四邊形OAHP=SAAFH-SAOEP
11
=-*AH-FH-一?OD?FP
22
1431
=—?—(x+5)?—(x+5)-----x2x(3-x)
2552
6,17、
=—x2+—x+3z(0<x<3).
255
(3)假設(shè)存在某一時刻x,使得四邊形OAHP面積與AABC面積的比為13:1
…13
貝!JS四邊形OAHP=—XSAABC
24
,6,17131
??—x2+—x+3=—x-x6x8
255242
A6x2+85x-250=0
解得xi=2,X2=-77(舍去)
2
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