中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí):最值模型之胡不歸與阿氏圓模型(含答案及解析)_第1頁
中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí):最值模型之胡不歸與阿氏圓模型(含答案及解析)_第2頁
中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí):最值模型之胡不歸與阿氏圓模型(含答案及解析)_第3頁
中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí):最值模型之胡不歸與阿氏圓模型(含答案及解析)_第4頁
中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí):最值模型之胡不歸與阿氏圓模型(含答案及解析)_第5頁
已閱讀5頁,還剩24頁未讀 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

最值模型之胡不歸與阿氏圓模型

模型一胡不歸模型

知徐機理

【模型來源】

從前有個少年外出求學(xué),某天不幸得知老父親病危的消息,便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”,

雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地,但他義無反顧踏上歸途,當(dāng)趕到家時,老人剛咽了氣,小伙子

追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?”

看到這里很多人都會有一個疑問,少年究竟能不能提前到家呢?假設(shè)可以提早到家,那么他該選擇怎樣的一

條路線呢?這就是今天要講的“胡不歸”問題.

【模型建立】

如圖1,一動點P在直線7WN外的運動速度為弘,在直線AW上運動的速度為%,且弘V%,A、B為定點,點C

在直線上,確定點。的位置使平+等的值最小.(注意與阿氏圓模型的區(qū)分)

CHkAC

圖2圖3

記k=粵,即求BC+ALAC的最小值.

卜2

⑵如圖2,構(gòu)造射線AD使得sin/D4N=R,CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

⑶如圖3,過B點作BH_LAD交MN于點、。,交AD于H點,此時BC+CH取到最小值,即BC+比4。最

小.

例題解析

【題型1】胡不歸模型?已有相關(guān)角直接作垂線

的]如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,交于點O,AB=03=3,點在線段上,且4M=2.點

P為線段05上的一個動點,則MP+yPB的最小值為.?M

AD

血]2如圖,在矩形ABC。中,48=4,AD=8,點分別在邊AD,BC上,且AE=3,沿直線EF翻折,點

A的對應(yīng)點4恰好落在對角線AC上,點B的對應(yīng)點為B',點/■為線段AA'上一動點,則EM+與NM

5

的最小值為.

【題型2】胡不歸模型.構(gòu)造相關(guān)角再作垂線

題1如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)"=/2+3/-4的圖象與立軸交于4、。兩點,與夕軸交于點B,若

P是2軸上一動點,點Q(0,2)在沙軸上,連接PQ,則PQ+孚PC的最小值是.

題2如圖,在長方形ABCD中,AB=2,AO=2通,點E在反7上,連接DE,在點E的運動過程中,BE+

V2DE的最小值為.

變式劑株

[題目①如圖,在菱形ABCD中,/ABC=60°,AD=6,對角線AC、BD相交于點。,點E在線段AC上,且

AE=2,點F為線段BD上的一個動點,則EF+的最小值為.

?M

AD

題目。如圖,。。是等邊三角形ABC的外接圓,其半徑為4.過點B作于點E,點P為線段BE

上一動點(點P不與B,E重合),則CP+-j-BP的最小值為.

癲目§如圖,在出△ABC中,/ACB=90°,4LBC=30°,AC=4,按下列步驟作圖:①在AC和AB上分別

截取AD.AE,使AD=AE.②分別以點D和點E為圓心,以大于^DE的長為半徑作弧,兩弧在ABAC

內(nèi)交于點W③作射線W交BC于點F.若點P是線段AF上的一個動點,連接CF,則CP+卷”的

最小值是.

題目可如圖,在菱形ABCD中,乙4BC=60°,人。=6,對角線力。、相交于點。,點E在線段AC上,且

AE=2,點F為線段上的一個動點,則EF+^-BF的最小值為.

題目可如圖,AACB=90°,=2,=4,點P為AB上一點,連接PC,則PC+^PB的最小值為

A

題目⑤如圖,在bABC中,乙4=15°,AB=10,P為力。邊上的一個動點(不與力、。重合),連接BP,則

孚AP+PB的最小值是()

A.5V2B.5V3C.D.8

O

題目可如圖,在RtAABC中,NACB=90°,AC=4,BC=3,點。是斜邊AB上的動點,則CD+與AD

的最小值為.

、題目刊如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=V^,點”是對角線47上的動點,連接ZW,則。河+右4”

模型二阿氏圓模型

和擁僦理

【模型來源】

所謂阿氏圓,就是動點到兩定點距離之比為定值,那么動點的軌跡就是圓,這個圓,稱為阿波羅尼斯圓,簡

稱為阿氏圓.其本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似,化去比例系數(shù),轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值,難點在于如

何構(gòu)造母子相似.

p

【模型建立】

如圖1所示,OO的半徑為T,點A、B都在。。外,P為。。上一動點,已知r=A>OB,連接PA、PB,則當(dāng)

“PA+MP3”的值最小時,P點、的位置如何確定?

【解題方法】

如圖2,在線段OB上截取OC使OC=上度,則可說明4BPO與APCO相似,即k-PB=PC。

故本題求“P4+bPB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“P4+PC”的最小值,

其中與A與。為定點,P為動點,故當(dāng)A、P、。三點共線時,“PA+PC”值最小,如圖3所示。

例題斛新

【題型1】兩定點在圓外:向內(nèi)取點(系數(shù)小于1)

網(wǎng)]1如圖,在放A4B。中,乙4CB=90°,CB=4,CA=6,圓。的半徑為2,點P為圓上一動點,連接AP,

BP.求①AP+三BP;②2Ap+BP;③^-AP+BP;?AP+3BP的最小值.

???

【題型2】兩定點在圓內(nèi):向外取點(系數(shù)大于1)

畫]如圖,在。。中,點4、點8在G)。上,ZAOB=90°,OA=6,點。在。4上,且OC=2AC,點。是OB

的中點,點河是劣弧48上的動點,則CM+2ZW的最小值為.

【題型3】兩定點一個在圓內(nèi),一個在圓外(提系數(shù))

血]1如圖,在AABC中,/ABC=90°,AB=2BC=6,RD=1,P在以B為圓心3為半徑的圓上,則AP+

6PD的最小值為.

【題型4】隱圓型阿氏圓

的1如圖,在菱形ABCD中,對角線AC、相交于點。,點E、F分別是QD、。。上的兩個動點,且EF=

4,P是HF的中點,連接OP、PC、PD,若AC=12,BD=16,則PC+:PD的最小值為.

?M

D

變式利揀

題目UJ如圖,在中,/ACB=90°,。8=7,力。=9,以。為圓心、3為半徑作0。,9為0。上一

動點,連接4P、BP,則與4P+BP的最小值為()

O

B.5V2c.4+VioD.2V13

題目也如圖,正方形的邊長AB=8,E為平面內(nèi)一動點,且AE=4,F為CD上一點,CF=2,連接

則EF+g即的最小值為()

A.6V2B.4D.6

題目叵如圖,已知正方形4BCD的邊長為4,的半徑為2,點P是。B上的一個動點,則PD—如。的

最大值為

7

D

[題目目如圖,菱形ABCD的邊長為2,銳角大小為60°,。A與5。相切于點E,在。A上任取一點P,則

題目回如圖,正方形ABCD的邊長為4,點E為邊AO上一個動點,點F在邊CD上,且線段EF=4,點G

為線段EF的中點,連接BG、CG,則BG+gcG的最小值為.

、題目0如圖,在電AABC中,乙4cB=90°,47=6,BC=8,。、E分別是邊BC、AC上的兩個動點,且

?!?4,。是。石的中點,連接PA,PB,則P4+j-PB的最小值為.

B

題目⑶如圖,在邊長為6的正方形ABCD中,加■為AB上一點,且BM=2,N為邊BC上一動點.連接

MN,將4BMN沿翻折得到"MN,點P與點B對應(yīng),連接PA,PC,貝|PA+2PC的最小值為

???

???

最值模型之胡不歸與阿氏圓模型

模型一胡不歸模型

知徐機理

【模型來源】

從前有個少年外出求學(xué),某天不幸得知老父親病危的消息,便立即趕路回家.根據(jù)“兩點之間線段最短”,

雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地,但他義無反顧踏上歸途,當(dāng)趕到家時,老人剛咽了氣,小伙子

追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說,老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸?胡不歸?”

看到這里很多人都會有一個疑問,少年究竟能不能提前到家呢?假設(shè)可以提早到家,那么他該選擇怎樣的一

條路線呢?這就是今天要講的“胡不歸”問題.

【模型建立】

如圖1,一動點P在直線7WN外的運動速度為弘,在直線AW上運動的速度為%,且弘V%,A、B為定點,點C

在直線上,確定點。的位置使平+等的值最小.(注意與阿氏圓模型的區(qū)分)

CHkAC

圖2圖3

記k=粵,即求BC+ALAC的最小值.

卜2

⑵如圖2,構(gòu)造射線AD使得sin/D4N=R,CH=kAC,將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.

⑶如圖3,過B點作BH_LAD交MN于點、。,交AD于H點,此時BC+CH取到最小值,即BC+比4。最

小.

例題解析

【題型1】胡不歸模型?已有相關(guān)角直接作垂線

的]如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,交于點O,AB=03=3,點在線段上,且4M=2.點

P為線段05上的一個動點,則MP+yPB的最小值為.?M

AD

【分析】過點P作PE_L8。于點E,過點“作詼_L3。于點F,證明TWP++PE>MF,進

一求解MR即可得到答案.

【詳解】解:;四邊形ABCD是矩形,,OA=OB^OC^OD,NABC=90°,

?.?AB^OB,:.AB^OB^OA,:./\OAB是等邊三角形,,AABO=60°,

4OBC=AABC-AABO=90°-60°=30°□

過點P作PE_LBC于點、E,過點“作BC于點F,

在用ABFE中,由⑴知:4PBE=30。,;.PE=±PB,;.MP+^PB=MP+PE>MF,

在矩形ABCD中,4。=2OA=2OB=6,VAM=2,CM=AC-AM=6-2=4,

在①△CMF中,/MCF=/OBC=30°,.?.MF=^CM=2,+的最小值為2,故答案為:2.

吼2如圖,在矩形ABCD中,4B=4,AD=8,點分別在邊4D,BC上,且AE=3,沿直線EF翻折,點

A的對應(yīng)點4恰好落在對角線AC上,點B的對應(yīng)點為B',點M為線段AA上一動點,則EM+李

5

的最小值為.

【分析】過點刊作MN,HE于點N,作點E關(guān)于的對稱點G,連接7WG.由勾股定理求出4D的長,

根據(jù)銳角三角函數(shù)的知識可得MN=項A'E,從而可得當(dāng)G,河,N三點共線時GM+九W取得最小值,

即硒■+項4M■取得最小值,然后利用銳角三角函數(shù)和勾股定理可求出GN的長.

5

【詳解】解:如圖,過點河作于點N,作點E關(guān)于的對稱點G,連接MG,則EM?=MG?.?

由折疊的性質(zhì)可知,EF_LAC,AE=AE,/AEF=AAEF,

ZDAC=AAAE.?.?四邊形ABCD是矩形,:.CD=AB=^,ZZ?=90°.

AD=y/AD2+CD2=4V5.

?/sinZDAC=卷=艱,,sin/A4'E=跡=MLAMN=迪從初,

AC55AM5

EM+攣AM=GM+MN,

5

當(dāng)G,M,N三點共線時GM+MN取得最小值,即EM+項4M■取得最小值,

5

???ZDAC+/AEF=90°,AEGN+AAEF=90°,/EGN=ADAC,

si.nZ.EGN=sinZDAC=.

5GE

???sin/ZMC=^=?,AE=3,??.OE=^^,??.GE=^^,?=??.EN=M

XIPJ3ODObV3O

5

???GN=J(陪)y第=3

即EM+艱WM■取得最小值是孕.

55

【題型2】胡不歸模型.構(gòu)造相關(guān)角再作垂線

刖]如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)g=/+3力一4的圖象與力軸交于4、。兩點,與g軸交于點8,若

P是立軸上一動點,點Q(0,2)在沙軸上,連接PQ,則PQ+與PC的最小值是.

【答案】32

【分析】過P作PH工8。,過Q作QH',8。.再由PH=警PC得PQ+浮PC=PQ+PH,根據(jù)垂線

段最短可知,PQ+PH的最小值為Q/T,求出QH'即可.

【詳解】解:連接BC,過P作PH,BC,過Q作QH'±BC,

令g=0,即力旺3/-4=0,解得x=—4或1,,4(1,0),。(一4,0),???

;OB=OC=4,/BOC=90°,

ZPCH=45°,/.PH=PCsin45。=孚PC.

APQ+亨PC=PQ+PH,根據(jù)垂線段最短可知,PQ+PH的最小值為

QH',

BQ=OB+OQ=4+2=6,/QBH'=45°,QHf=sin45°?BQ=3V2,

.?.PQ+卑PC的最小值為32.故答案為:32.

血]2如圖,在長方形中,48=2,40=2四,點后在反7上,連接。£;,在點£;的運動過程中,跳;+

V2DE的最小值為.

【答案】2+2,^/2代+2

【分析】在線段BC下方作/CBM=45°,過點E作石F,于點F,連接。F,求出此時的。F的長度便

可.

【詳解】解::四邊形48。。是矩形,人8=2,4。=2遍,

ADCE=9Q°,CD=AB=2,BC=AD=2V3,

BE—2A/3—CE,

在線段BC下方作/困以=45°,過點后作石尸_16河于點尸,連接。下,

:.EF=^BE,

與BE+DE=EF+DE>DF,

當(dāng)D、E、F三點共線時,烏BE+DE=EF+DE=DF的4直最小,

此時ZDEC=ZBEF=45°,

:.CE=CD=2,

BE=2A/3-2,DE^V22+22=272,

EF=華BE=V6-V2,

當(dāng)BE+DE的最小值為:EF+DE=&+V^,

:.BE+V2DE的最小值為BE+V2DE=V2(^^BE+DE)=2+2V3

變式制揀

[題目曰如圖,在菱形ABCD中,乙45。=60°,40=6,對角線AC、BD相交于點O,點E在線段AC上,且

AE=2,點F為線段B。上的一個動點,則EF+^BF的最小值為.?M

AD

BC

【答案】2/

【分析】過F作可_LBC,由菱形ABOD,乙48。=60°,得到BD為/ABC平分線,求出/FW=30°,在

Rt/\FBM中,利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,得至IFM=-j-F,故EF+^BF=EF+FM,求出

EF+EM'的最小值即為所求最小值,當(dāng)E、F、”三點共線時最小,求出即可.

【詳解】解:過F作

菱形ABCD,60°,

ZFBM=^AABC=30°,=B。,即△ABC為等邊三角形,AACM=60°,

在Rt/XFBM中,F(xiàn)AC^-BF,AD

:.EF+^-BF=EF+FM,/

.?.當(dāng)E、F、M三點共線時,取得最小值,/

AE=2,AC=AB=BC=6,上——R

匕bMC

:.EC=AC-AE=6-2=4:f

在Rt^ECM中,EM=EC-sin60°=4x2=2四,

則EF+5BF的最小值為2心

故答案為:2V3.

題目。如圖,0O是等邊三角形ABC的外接圓,其半徑為4.過點B作BE,AC于點E,點P為線段BE

上一動點(點P不與B,E重合),則CP+-j-BP的最小值為.

【答案】6

【分析】過點P作PD,AB,連接CO并延長交于點F,連接AO,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角

形的性質(zhì)得到OA=OB=4,CF_LAB,然后利用含30°角直角三角形的性質(zhì)得到OE=]<X4=2,進而

求出BE=BO+EO=6,然后利用CP+]BP=CP+PD<Cr代入求解即可.

【詳解】如圖所示,過點P作PD_LAB,連接CO并延長交于點F,連接AO

AAB。是等邊三角形,BE_LAC

ANABE=ACBE=-j-ZABC=30°

VOO是等邊三角形ABC的外接圓,其半徑為4

.?.OA=OB=4,CF±AB,

:.ZOBA=ZOAB=30°

AOAE=AOAB=30°

?:BE±AC

:.OE=^-OA=2

:.BE=BO+EO=6

?:PD±AB,/ABE=30°

PD=±PB

:.CP+卷BP=CP+PDWCF

.?.CP+qBP的最小值為CF的長度

?.?△ABC是等邊三角形,BE_LAC,CF±AB

:.CF=BE=6

.,.CP+]BP的最小值為6

題目回如圖,在RtAABC中,/ACS=90°,/ABC=30°,AC=4,按下列步驟作圖:①在AC和4B上分別

截取AD.AE,使AD=AE.②分別以點。和點E為圓心,以大于^DE的長為半徑作弧,兩弧在ABAC

內(nèi)交于點③作射線⑷W■交于點F.若點P是線段AF上的一個動點,連接CP,則CP+/AP的

最小值是.

【分析】過點P作PQ,AB于點Q,過點。作CH±48于點先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理

求出/BAF=30°,然后利用含30°的直角三角的性質(zhì)得出PQ=〈4P,則CP+^-APCP+PQ>CH,

當(dāng)C、P、Q三點共線,且與AB垂直時,CP+4AP最小,CP+/AP最小值為CH,利用含30°的直角三

角的性質(zhì)和勾股定理求出48,BC,最后利用等面積法求解即可.

【詳解】解:過點P作PQ±于點Q,過點。作8,48于點H,

由題意知:AF平分乙民4。,

?/乙4cB=90°,/LABC=30°,

AZBAC=60°,

ZBAF=-j-ZBAC=30°,/.PQ=yAP,

:.CP+^-AP^CP+PQ>CH,

當(dāng)C、P、Q三點共線,且與AB垂直時,CP+,4P最小,CF+44P最小值為CH,

?:ZACB=90°,ZABC=30°,AC=4,:.AB=2AC=8,:.BC=-JA&-AC2=4V3,

VSMBC=^AC-BC^^-AB?CH,:.CH=AC^C=4=273,

即。最小值為2/.故答案為:2遍.

題目⑷如圖,在菱形ABCD中,NABC=60°,人。=6,對角線AC、BD相交于點。,點E在線段AC上,且

AE=2,點、F為線段BD上的一個動點,則EF+^BF的最小值為.

AD

BC

【答案】2小

【分析】過干作N_LBC,由菱形ABCD,乙4BC=60°,得到為乙4BC平分線,求出/FBA1=3O°,在

RtAFBM中,利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,得到FM=,故EF+^-BF=EF+EM,求出

EF+FM的最小值即為所求最小值,當(dāng)E、F、河三點共線時最小,求出即可.

【詳解】解:過F作FN_LBC,菱形ABCD,AABC=6Q°,

:.NFBM=^-AABC=30°,AB=B。,即△ABC為等邊三角形,4ACM=60°,

在RtAFBM中,^BF,AD

:.EF+gBF=EF+FM,//

.?.當(dāng)E、F、M三點共線時,取得最小值,/^\\/

?:AE=2,AC=AB=BC=6,由----黑

匕bMC

??.EC=AC-4石=6—2=4,

在RtZXECAf中,助1=夙7,1160°=4*乎=2-,則EF+—BF的最小值為2/.故答案為:2』.

「題目可如圖,AACB=90°,AC=2,AB=4,點P為AB上一點,連接PC,則PC+gpB的最小值為

【答案】3

【解答】解:作NABE=30°,過點。作CD_LBE于點D,

則此時PC+手犯最小,

/ACB=90°,AC=2,AB=4,

7

sin/CBA—dg-,BC=V42-22=2A/3,

A.B42

??.ZGBA=30°,

??.DP=[pB,

??.ZCBE=60°,

—60。=卷CD_V3

2V32

解得:DC=3,

:.PC+^-PB^DC^3.

故答案為:3.

題目回如圖,在AABC中,乙4=15°,AB=10,P為AC邊上的一個動點(不與A、C重合),連接BP,則

空AP+PB的最小值是()

B

A.5V2B.5V3C.D.8

O

【答案】B

【解答】解:如圖,以AP為斜邊在AC下方作等腰R1AADP,過8作BE_LAD于E,

?//PAD=45°,

.??sin/P4D=%=亭

:.DP=與AP,

號AP+PB=DP+PB>BE,

?:ABAC=15°,

:./BAD=60°,

BE=ABsin60°=5A/3,

.?.WAP+PB的最小值為5g.故選:A

題目]可如圖,在Rt/XABC中,AACB=90°,AC=4,BC=3,點。是斜邊AB上的動點,則CD+率AD

【分析】根據(jù)兩點之間線段最短畫出圖形,再根據(jù)銳角三角函數(shù)及相似三角形判定可知△BCE?△BAG,最

后利用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解:過點人做ABAM=45°,過點。作。H_L入河于H,過點。作CE_L4B于點E,

DH=AD-sin^DAH=AD-sin45°=殍皿

.-.CD+^AD^CD+DH,

?.?兩點之間線段最短,

當(dāng)C、D、H共線時,CD+DH的值最小,

即CD+DH的最小值為CH,

【法一:正切和角公式】詳情見本專輯1—3“12345模型”

tan/G4H=——%=7,故的三邊之比為1:7:52,則答案為衛(wèi)衛(wèi)

I-A5

14

【法二:常規(guī)法】

???ZACB=90°,AC=4,BC=3,

??.AB=A/AC2+BC2=5,

?:CE±AB9

:.26£石=乙4cB=90°,

???ZB=ZB,

:./\BCE-/\BAC,

.CE=BE=BC=3

**AC-BC-AB--5-,

.?.CE=1_X4=.,BE=1~X3=£,

5555

ZCDE=4ADH=45°,DE=CE=",

5

:.CD=6CE=^f^,AD=AB-OE-BE=5-孕一?=二,

5555

DH=^-AD=x4=,ACH=CD+DH=衛(wèi)返+22二四2,故答案為辿2

22555555

題目回如圖,在矩形ABCD中,AB=1,BC=V^,點兇是對角線AC上的動點,連接。河,則。河+;4河

的最小值為.

【答案】等

[分析】直接利用已知得出2CAB=60°,再將原式變形,進而得出ZW+^-AM最小值,進而得出答案.

【詳解】過點A作NCAN=30°,過點。作DH_LAN于點H,交AC于點M',

在矩形ABCD中,AB=1,BC=四,.?.tan/CAB=四,:./-CAB=60°,則ADAC=30°,

?:5Ao+M'D=HM'+M'D=DH=AD-sin60°=V3x^=-1,

此時zw+fw最小,.?.zw+/w的最小值是故答案為:告.

模型二阿氏圓模型

和鶴楹理

【模型來源】

所謂阿氏圓,就是動點到兩定點距離之比為定值,那么動點的軌跡就是圓,這個圓,稱為阿波羅尼斯圓,簡

稱為阿氏圓.其本質(zhì)就是通過構(gòu)造母子相似,化去比例系數(shù),轉(zhuǎn)化為兩定一動將軍飲馬型求最值,難點在于如

何構(gòu)造母子相似.

【模型建立】

如圖1所示,。。的半徑為了,點4B都在0。外,P為。。上一動點,已知丁=上??冢B接則當(dāng)

“PA+的值最小時,P點的位置如何確定?

圖1圖2

【解題方法】

如圖2,在線段OB上截取。。使OC=k-r,則可說明/\BPO與/\PCO相似,即k-PB=PC.

故本題求“PA+的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值,

其中與力與。為定點,P為動點,故當(dāng)A、P、。三點共線時,“P4+PC”值最小,如圖3所示。

例題斛新

【題型1】兩定點在圓外:向內(nèi)取點(系數(shù)小于1)

血_如圖,在用△ABC中,ZACB=90°,CB=4,=6,圓。的半徑為2,點P為圓上一動點,連接4P,

BP.求①AP+三BP;②2Ap+BP;③^-AP+BP;?AP+3BP的最小值.

【解答】解:①取CE的中點。,連結(jié)PD,AD,4

,:CD=\,CB=4,CP=2,\\

.CD=CP=XV

"CPBC2)\

APCD=ZBCP,^PCD?^BCP,

PDCDI/,

.PB=CP=2_'/\/i

:.PD=^-PB,1D

AP+4PB=AP+PD,當(dāng)P在AD上時,AP+PD最小,---/

最小值為AF的長,AF=^AC2+CF2=V37,AP+^BP的最小值為V37,

②^.^2AP+BP=2(4P+。BP),.^.2AP+BP的最小值為2扃,

③在DC取一點G,使CG=^-DC=-f

oo???

2

CG=3=1CP=2=1

CG=CP

PC~ACf

???AACP=APCG,???ACGF?bCPA,

?gp—CG—x?QP——AP

"AP~PC~39*3,

???三AP+BP=GP+BP>BG,當(dāng)P在BG上B,GP+BP=BG,

o

BG=-JBC\CG2=“|&二等工,.?."AP+RP的最小值為2?

④?/AP+3BP=3(yAF+BP),??.AP+3BF的最小值為2抵.

【題型2】兩定點在圓內(nèi):向外取點(系數(shù)大于1)

血]1如圖,在。。中,點4、點3在OO上,ZAOB=90°,。4=6,點。在。4上,且OC=2AC,點。是OB

的中點,點乂是劣弧AB上的動點,則CM+2ZW的最小值為.

【答案】461

【分析】延長OB到T,使得BT=OB,連接MT,CT,利用相似三角形的性質(zhì)證明AfT=2DM,求CM+

2ZW的最小值問題轉(zhuǎn)化為求C7W+MT的最小值.求出CT即可判斷.

【詳解】解:延長OB到T,使得BT=OB,連接MT,CT.

■:OM=6,OD=DB=3,OT=12,

:.OM2=OD-OT,

.OM_OT

"OD~OM'

■:AMOD=ATOM,

.-.△won-ATOM,

.DM_OM1

"MT~OT~~2)

:.MT=2DM,

?:CM+2DM=CM+MT>CT,

又?.?在A/OCT中,/COT=90°,OC=4,OT=12,

CT=VOC2+OT2=A/42+122=4V10,

:.CM+2DM>^VW,

:.CM+2DM■的最小值為4V10

【題型3】兩定點一個在圓內(nèi),一個在圓外(提系數(shù))

而J1如圖,在AABC中,/ABC=90°,AB=2BC=6,RD=1,P在以B為圓心3為半徑的圓上,則AP+

6P。的最小值為3抵

???AB=2BC=6,

.BP=BE=1

"BP-T,

???/PBE=/ABP,

???XPBE?XABP,

.PE=BP=1

**FA-AB-T,

:.PE=^-PA,

在BO延長線上取BF=9,

BD=1,

則理=理=3

PBBD'

又APBD=AFBP,

:.XPBDfFBP,

?PF_PB__

"PD~BD-3o,

:.PF=3PD,

:.PA+6PD=2(-PA+3PD)=2(PE+PF),

當(dāng)P為EF和圓的交點時PE+PF最小,即P4+6P。最小,且值為2EF,

?:EF=^/BE2+BF2=J傳):92=,

PA+6PD的最小值為2E尸=3〃方,

故答案為:3府.

【題型4】隱圓型阿氏圓

@]j_如圖,在菱形4BCD中,對角線A。、BD相交于點。,點E、F分別是OD、OC上的兩個動點,且EF=

4,P是EF的中點,連接OP、PC、PD,若AC=12,BD=16,則PC+^PD的最小值為.

D

【答案】上野

【分析】在OD上取一點G,使得OG=J,連接PG、CG.根據(jù)菱形的性質(zhì)可知00=6,00=8,則黑

=OD=[,結(jié)合2GOP=APOD,可得4POG?△OOP,利用相似三角形的性質(zhì)證得PG+^-PD.根

據(jù)PC+POCG可知CG的長即為PC+--PD的最小值,利用勾股定理求出CG便可解決問題.

【詳解】解:如圖,在OD上取一點G,使得OG=],連接PG、CG.

?:四邊形ABCD為菱形,AC=12,BZ)=16,

OC=^-AC=Q,OD=^-BD=8,AC±BD,

?.?^^^《,?是后尸的中點,

OP=^-EF=2,

1

.OG=J=1OP=2=1

"OF-T-T,on--8-T*

又???/GOP=/PO。,

???AFOG?ADOP,

罌J,即GP=%D,

■:PC+PG>CG,

:.當(dāng)點G、P、C在同一直線上時,PC+:PD取得最小值,

此時PC+~PD=PC+PG=CG=JS+OG?=

42

變式制揀

題目上如圖,在中,乙4cB=90°,CB=7,AC=9,以。為圓心、3為半徑作。C,P為。。上一

動點,連接AP、BP,則:AP+BP的最小值為()

O

A

B.5V2c.4+VioD.2V13

【答案】B

【詳解】思路引領(lǐng):如圖,在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質(zhì)證

明MP=^-PA,可得^-AP+BP=PM+PB>利用勾股定理求出BM即可解決問題.

OO

答案詳解:如圖,在CA上截取C7W;使得671^=1,連接PA/,PC,A

vFC=3,CM=\,CA=9,N

vZPCM=Z.ACP,NPCM-/\ACP,/

.??^-=^-=4,:.PM=^-PA,:.j-AP+BP=PM+PB,(少午A

JrJT.AC/O00\U/

?:PM+PB>BM,在RtABCM中,

?:ZBCM=9Q°,CM=1,BC=7,

:.BM=A/12+72=5V2,^-AP+BP>5V2,

o

.?.《AP+BP的最小值為52.故選:B.

題目⑨如圖,正方形ABC。的邊長AB=8,H為平面內(nèi)一動點,且AE=4,F為CD上一點,CF=2,連接

則的最小值為()

AD

B

A.6V2C.4V2

【答案】A

【分析】如圖(見解析),在AD邊上取點H,使得4H=2,連接EH、FH,先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=

CD=AB=8,/ADC=90°,再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)得出黑=萼,從而可得然

EDAD2

后利用三角形的三邊關(guān)系定理、兩點之間線段最短可得EF+片ED取得最小值時,點E的位置,最后利用

勾股定理求解即可得.

【詳解】如圖,在AD邊上取點玄,使得AH=2,連接EH、FH

?.?四邊形48co是正方形:.AD=CD=AB=8,AADC=90°

??AE=4?人石=2=2=3=2即=""=2

?**AH2JAE4f?AHAE

又?.?NEAH=/DAE:.AAEH-/\ADE:.--=嘴=小,即m=&ED

h/L)AD82

:.EF+三ED=EF+EH由三角形的三邊關(guān)系定理得:EF+EH>FH

由題意得:點E的軌跡是在以點A為圓心,AE長為半徑的圓上

由兩點之間線段最短可知,當(dāng)點E位于FH與圓?1的交點E'時,EF+EH取得最小值,最小值為FH

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論