中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：幾何之三角形熱考模型（含答案及解析）

第四章三角形

重難點(diǎn)08幾何熱考題二三角形熱考模型

（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種方法解析）

【題型匯總】

1.（2021九年級?全國?專題練習(xí)）如圖，AABC^p,"=65。，直線DE交4B于點(diǎn)。，交4C于點(diǎn)E,貝（JNBDE+

MED=().

2.（2023?陜西西安?西安高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若

Z1=125。，則N2的度數(shù)為（）

2'

A.35°B.40°C.45°D.55°

3.（2020?四川廣安?中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30。的角后得到一個六邊形BCDEMN,

4.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得

到的N1與N2的和總是一個定值.則Nl+Z2=度.

5.（2023?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，4=50。,若沿圖中虛線剪去ND,則41+42='

1.如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,C4組成的平面圖形中，ND=28。，則〃+NB+NC+NF的度數(shù)為（）.

B

A.262°B.152°C.208°D.236°

2..（2023臨汾市模擬預(yù)測）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”,試說明：乙4+ZB=zC+ZD.

（2）如圖（2）,AP,CP分另IJ平分N84D,4BCD,若NZBC=36。，^ADC=16°.求NP的度數(shù).

（3）如圖（3）,直線2P平分NBA。，CP平分立BCD的外角乙BCE,猜想NP與NB、乙D的數(shù)量關(guān)系是；

（4）如圖（4）,直線4P平分NB4D的夕卜角NF4D,CP平分立BCD的夕卜角NBCE,猜想NP與NB、ND的數(shù)量關(guān)

系是?

A

P

A

D

圖(1)圖(2)圖(3)圖(4)

3.（2020九年級?全國?專題練習(xí)）閱讀材料:

如圖1,AB.CD交于點(diǎn)O,我們把△A。。和A80C叫做對頂三角形.

結(jié)論：若△49。和△80C是對頂三角形，則/A+NZ）=N3+NC.

結(jié)論應(yīng)用舉例：

如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即/A+/B+NACE+/AO8+/E的度數(shù).

解：連接CD,由對頂三角形的性質(zhì)得：ZB+ZE=Z1+Z2,

在△AC。中，VZA+ZACD+ZAZ）C=180o,

即ZA+Z3+Z1+Z2+Z4=180°,

，ZA+ZACE+ZB+ZE+ADB=ISQ°

即五角星的五個內(nèi)角之和為180。.

解決問題:

(1)如圖①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=

(2)如圖②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=_；

(3)如圖③，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=_；

(4)如圖④，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+ZN^

請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程.

4.（2024八年級上.全國?專題練習(xí)）閱讀材料，回答下列問題:

“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成.

【探索研究】

探索一：如圖1,在八字型中，探索乙4、乙8、NC、乙D之間的數(shù)量關(guān)系為;

探索二：如圖2,若28=36。，ZD=14°,求NP的度數(shù)為；

探索三：如圖3,CP、AG分另IJ平分NBCE、^FAD,4G反向延長線交CP于點(diǎn)P,貝吐P、乙B、AD之間的數(shù)量

關(guān)系為.

【模型應(yīng)用】

應(yīng)用一：如圖4,延長BM、CN,交于點(diǎn)4在四邊形MNCB中，設(shè)NM=a,NN=0,a+13>180°,四邊

形的內(nèi)角NMBC與外角NNCD的角平分線BP,CP相交于點(diǎn)P,貝此4=（用含有a和夕的代數(shù)式表

示），NP=.（用含有a和￡的代數(shù)式表示）

應(yīng)用二：如圖5,在四邊形MNCB中，設(shè)NM=a,NN=S，a+。<180°,四邊形的內(nèi)角NMBC與外角NNCD

的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,乙P=.（用含有a和0的代數(shù)式表示）

【拓展延伸】

拓展一：如圖6,若設(shè)NC=x,Z.B=y,/.CAP=^CAB,乙CDP=三乙CDB,試問NP與NC、NB之間的數(shù)

量關(guān)系為.（用％、y表示乙尸）

拓展二：如圖7,AP平分CP平分乙員:。的令R補(bǔ)角猜想乙尸與乙8、△。的關(guān)系，直接寫出結(jié)論

f,如圖③，在飛鏢模型中作乙48。靠4B的三等分線，作乙4CD靠4C的三等分線，兩條三等分線交于點(diǎn)

H，……，依次方法，在飛鏢模型中作428?？?B的”等分線，作乙4CD靠4c的”等分線，兩條”等分線

交于一點(diǎn)，貝（J/E九_1=.

圖①圖②圖③

2.(20-21八年級上?安徽亳州?階段練習(xí))如圖①所示是一個飛鏢圖案,連接AB,BC,我們把四邊形A8CZ)

叫做“飛鏢模型

(1)求證：ZXDC=^DAB+Z.DCB+ZXBC；

(2)如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)。,若NEDF=120。，求N4+NB+NC+NG+

NE+NF的度數(shù).

3.(21-22八年級?全國?假期作業(yè))利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果.

幾何模型：如圖(1),我們稱它為“A”型圖案，易證明：/EDF=NA+NB+NC.

運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問題:

(1)如圖(2),“五角星''形，求＞4+/(2+乙43+/4+/45=?

分析：圖中A/A3ZM4是乂”型圖，于是所以/4+NA2+/A3+/4+/A5=

(2)如圖(3),"七角星"形，求/A/+/A2+/A3+/A/+/As+/4+/A7的度數(shù).

圖⑴圖⑵圖⑶

4.（20-21七年級下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）模型規(guī)律：如圖1,延長CO交AB于點(diǎn)。，則NBOC=N1+NB=N4+

ZC+ZB.因?yàn)榘妓倪呅瘟?0C形似箭頭，其四角具有“乙BOC=乙4+/8+乙。”這個規(guī)律，所以我們把這個

模型叫做“箭頭四角形

模型應(yīng)用

（1）直接應(yīng)用：

①如圖2,N4=60。,48=20。,乙。=30。，貝！=°；

②如圖3,N4+NB+NC+ND+NE+乙F=°；

（2）拓展應(yīng)用：

①如圖4,乙48。、/AC。的2等分線（即角平分線）8。1、CO1交于點(diǎn)0「已知N80C=120。，ABAC=50°,

貝此BOW=°；

②如圖5,B。、CO分另U為乙4B0、NZCO的10等分線（i=1,2,3,...,8,9）.它們的交點(diǎn)從上到下依次為。602,

。3、…、0g.已知N80C=120°,ABAC=50°,則ZB。7。=°；

③如圖6,NAB0、NB4C的角平分線交于點(diǎn)。，已知NBOC=120°,ZC=44。,貝IJN/WB=°；

④如圖7,Z.BAC,NBOC的角平分線力。、0D交于點(diǎn)、D,則＜8、“、4。之間的數(shù)量關(guān)系為.

題型04老鷹抓小雞模型

老鷹抓小雞模型

1.（2023?廣東珠海?模擬預(yù)測）如圖，將AABC沿著DE翻折，使B點(diǎn)與B點(diǎn)重合，若/1+/2=80。廁NB的度

數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

2.（2022上?湖北恩施?八年級期末）如圖，把△ABC沿EP對折，折疊后的圖形如圖所示，乙4=60°,zl=96°,

則N2的度數(shù)為（）

A.30°B.24°C.25°D.26°

3.（2023杭州市模擬）如圖，將△ABC紙片沿QE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為4,若/B=60。，ZC=80°,則/

1+/2等于（）

B

4.（2022下?河南南陽?七年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形紙片ABC。中，Z/1=80°,乙B=75。,將紙片

折疊，使點(diǎn)C,。落在邊上的點(diǎn)C，，）處，折痕為EF,則41+42=（）

5.（2023下?河南鄭州?八年級?？奸_學(xué)考試）折紙是我國一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國特色的傳

統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀.已知在AABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中N1+N2（或N1-N2）

與44的數(shù)量關(guān)系.

CCC

圖①圖②圖③

（1）如圖①，若NA=60。，沿圖中虛線DE截去乙4,則Nl+N2=_.

（2）如圖②，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，若+N2=110。，求NB+NC的度數(shù).

（3）如圖③，△力8C紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，若Nl=80。，N2=28。，貝吐4的度數(shù)為

6.（2022下?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國特色的傳統(tǒng)文

化在幾何中可以得到新的解讀.已知在AABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中/1+/2（或/I—N2）與

/A的數(shù)量關(guān)系.

CCC

圖①圖②圖③

c

(1)如圖①，若NA=80。，沿圖中虛線。E截去NA,則/1+/2=.

(2)如圖②，若44=80。，沿圖中虛線。E將/A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)4處，則/1+/2=

(3)如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)々處，若Nl+N2=80。，求NB+NC的度數(shù)

(4)如圖④，△ABC紙片沿。E折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)々處，若Nl=80。，Z2=24°,求/A的度數(shù).

行折疊，使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)尸重合，折痕分別與4C、4B交于點(diǎn)。、點(diǎn)E.下列結(jié)論：①N3+NB=90。；

②41+42=90。；③N1=N2；@DFIIAB.其中一定正確的結(jié)論有()

2.(20-21七年級下?江蘇泰州?期末)如圖，將△A2C紙片沿OE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A處,且平分NABC,

AC平分/ACB,若/用VC=120。，則/1+/2的度數(shù)為()

B

A.90°B.100°C.110°D.120°

3.(21-22七年級下?江蘇南京?期末)已知△ABC中,〃=65。,將NB、NC按照如圖所示折疊，若=35°,

4.(24-25八年級上?全國?階段練習(xí))如圖，^AOB=a,點(diǎn)M是射線。4上的一個定點(diǎn)，點(diǎn)N是射線OB上的

一個動點(diǎn)，連接MN,把N20B沿MN折疊，點(diǎn)。落在乙4。8所在平面內(nèi)的點(diǎn)C處.

圖3備用圖

(1)如圖1,點(diǎn)C在乙4OB的內(nèi)部，若NCMA=20。，NCNB=60。，則a=_.

(2)如圖2,若a=45。，ON=V2,折疊后點(diǎn)C在直線。B上方，CM與OB交于點(diǎn)E,S.MN=ME,求NOMN的

度數(shù)及折痕MN的長.

(3)如圖3,若折疊后，直線MC10B,垂足為點(diǎn)E,且。M=5,ME=3,直接寫出此時ON的長.

5.(2024八年級上?黑龍江?專題練習(xí))新考向【動手操作】一個三角形的紙片4BC,沿OE折疊，使點(diǎn)2落在

點(diǎn)4處.

(1)如圖①，若乙4=40°,則Nl+Z2=°；

若乙4=55°,則Nl+Z2=°；

若N4=n°,貝!Ul+42=°；

【探索證明】

(2)利用圖①，探索N1,N2與N4的關(guān)系，并說明理由；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖②，把A4BC折疊后，B4平分N4BC,C4平分N4CB,若41+42=108。，利用(2)中的結(jié)論

求乙84c的度數(shù).

6.(2024.貴州貴陽.二模)綜合與實(shí)踐

問題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們以“折紙中的數(shù)學(xué)”為主題開展活動.

獨(dú)立思考：

(1)如圖①，將三角形紙片ABC沿OE折疊，使點(diǎn)4落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)4的位置，貝叱4與N1+N2之間的

數(shù)量關(guān)系為請說明理由；

深入探究：

(2)如圖②，若點(diǎn)4落在四邊形8CDE的邊下方時，試猜想此時乙4與41,42之間的數(shù)量關(guān)系，并說明

理由；

結(jié)論運(yùn)用：

(3)如圖③，在四邊形力BCD中，=ZC=90°,E,F分別是力B,CD邊上的一點(diǎn)，沿EF將四邊形2BCD折

疊，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)G恰好落在BC邊上，且N1=75°,Z2=15°.

①NB的度數(shù)為；

②若BE=2V2,AD=^AE,求點(diǎn)”到BC的距離.

(1)如圖1,B0平分△ABC的內(nèi)角/ABC,CO平分△ABC的外角/ACD,試證明：ZBOC=|ZA；

【變式應(yīng)用】：

(2)如圖2,直線PQLMN,垂足為點(diǎn)O,作/PON的角平分線0E,在0E上任取一點(diǎn)A,在ON上任

取一點(diǎn)B,連接AB,作/BAE的角平分線AC,AC的反向延長線與NABO的平分線相交于點(diǎn)F,請問：

ZF的大小是否隨著點(diǎn)A,B位置的變化而變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請求出其度數(shù);

(3)在(2)的基礎(chǔ)上，若FC〃MN,則AB與0E有何位置關(guān)系？請說明理由.

2.(22-23七年級下?江蘇鹽城?期中)如圖，是一個缺角(NZ)的三角板模型，現(xiàn)要知道乙4的大小.數(shù)學(xué)活動課

上，小李沒有采用先直接量得NMBC和NNCB的度數(shù)，再求得乙4的度數(shù)，而是分別畫出的角平分線與

A/VCB的外角平分線相交于點(diǎn)P,測得NP=26°,請告知N4=1

3.(22-23七年級下?吉林長春?期末)【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，劉華遇到了下面的這個問題:

如圖①，在△ABC中，BP平分乙4BC,CP平分乙4CB,請你判斷乙4和NP間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

劉華對這個問題進(jìn)行了判斷并給出了證明過程，下面是部分證明過程，請你補(bǔ)全余下的證明過程.

解：結(jié)論：NP=.

理由：；BP平分乙4BC,CP平分乙4C8,

:.4PBC=~^ABC,乙PCB=-AACB.

22

."P=180°-乙PBC-APCB

1

=180°--{/.ABC+ZXCB)

1

=180°--(180°-z4)

【模型發(fā)展】如圖②，點(diǎn)P是AABC的外角平分線BP與CP的交點(diǎn)，請你判斷N4和"間的數(shù)量關(guān)系并說明

理由.

【解決問題】如圖③，在AABC中，BP平分4ABC,CP平分N4CB,點(diǎn)。是△PBC的外角平分線BQ與CQ的

交點(diǎn).若乙4=68。，則NQ=度.

圖①圖②圖③

4.(1)如圖(1),在AABC中，/BAC=70。，點(diǎn)。在8c的延長線上，三角形的內(nèi)角/A8C與外角/AC。

的角平分線BP,CP相交于點(diǎn)P,求/P的度數(shù).(寫出完整的解答過程)

【感知】：圖（1）中，若/BAC=m。,那么/尸=_。（用含有m的代數(shù)式表示）

【探究】：如圖（2）在四邊形MNCB中，設(shè)NA/=a,NN=￡,a+￡>180。，四邊形的內(nèi)角與外角/NCD

的角平分線BP,CP相交于點(diǎn)P.為了探究/P的度數(shù)與a和4的關(guān)系，小明同學(xué)想到將這個問題轉(zhuǎn)化圖

（1）的模型，因此，他延長了邊BM與CN,設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)A,如圖（3）,則NA=_（用含有a

和P的代數(shù)式表示），因此/尸=_.（用含有a和￡的代數(shù)式表示）

【拓展工將（2）中的a+夕>180。改為a+￡<180。，四邊形的內(nèi)角NMBC與外角NNCD的角平分線所在

的直線相交于點(diǎn)P,其它條件不變，請直接寫出NP=.（用a,4的代數(shù)式表示）

5（22-23七年級下?江蘇蘇州?期中）在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分

線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題.聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進(jìn)行了深入的研究，他的研

究過程如下:

（1）【問題再現(xiàn)】如圖1,在AABC中，AABC,"CB的角平分線交于點(diǎn)P,若乙4=50。，貝此「=；

（2）【問題推廣】如圖2,在AABC中，NBAC的角平分線與△ABC的外角NCBM的角平分線交于點(diǎn)尸，過點(diǎn)8

作BH14P于點(diǎn)H,若=80°,求NPBH的度數(shù).

（3）如圖3,在△力BC中，AABC,N4CB的角平分線交于點(diǎn)P,將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若

Nl+N2=100°,則Z_8PC=；

（4）【拓展提升】如圖4,在四邊形8CDE中，EB||CD,點(diǎn)廠在直線ED上運(yùn)動（點(diǎn)尸不與￡,。兩點(diǎn)重合），

連接BF,CF,乙EBF、NDCF的角平分線交于點(diǎn)。，若NEBF=a,乙DCF=0,直接寫出/。和a,￡之間

的數(shù)量關(guān)系.

題型07三角形面積比問題

底相同高相同

1.（22-23八年級下?河北唐山?開學(xué)考試）小明學(xué)習(xí)了角的平分線后，發(fā)現(xiàn)角平分線力。分得的AABD和AADC

的面積比與兩邊長有關(guān)，在圖中，若AB=10,AC=6,你能幫小明算出下面兩個比值嗎？

SxABD

S^ADC

2.（24-25七年級上?廣西南寧?開學(xué)考試）如圖；在A4BC中，LABE.4BEF、△BCF和四邊形力￡TC的面

積都相等.若DF:FC=3:2,△力BC的面積為728.（注：符號“△”表示“三角形”三個字）

A

BC

（1）線段4。與線段的比值黑=_____；

DB

（2）AGEF的面積是.

3.（2023.山東青島.二模）【模型】

同高的兩個三角形面積之比等于底邊長度之比.

BD

已知，如圖1,△ABC中，。為線段BC上任意一點(diǎn),連接4。，則有:S?ABD_

SxACDCD

【模型應(yīng)用】

(1)如圖2,任意四邊形ABC。中，E、尸分別是4B、CD邊的中點(diǎn)，連接CE、AF,若四邊形力BCD的面積為

S，則S四邊形4ECF=--------

(2)如圖3,在任意四邊形力BCD中，點(diǎn)E、F分另I」是邊AB、CO上離點(diǎn)力和點(diǎn)C最近的三等分點(diǎn)，連接力F、CE,

若四邊形4BCD的面積為S,則S四邊形AECF

(3)如圖4,在任意四邊形4BCD中，點(diǎn)E、F分別是邊4B、CD上離點(diǎn)B和點(diǎn)D最近的幾等分點(diǎn)，連接2F、CE,

若四邊形力BCD的面積為S,則S四邊形AECF

【拓展與應(yīng)用】

(4)如圖5,若任意的十邊形的面積為100,點(diǎn)K、L、M、N、。、P、Q、R分另U是4B、CO、DE、EF、FG、H1、

〃、"邊上離點(diǎn)4、C、E、E、尸、H、I、4最近的四等分點(diǎn)，連接BL、DK、DR、MJ、NJ、FQ.01、GP,

則圖中陰影部分的面積是.

4閱讀與理解：

三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，是AABC中BC邊上的中線，則S^BD=

=

SRACD2SA4BC?

[11

理由：??,BD=CD,；.SA4BD=380x4/1=5(7。X4H=SAACD=5SA4BC，

即：等底同高的三角形面積相等.

操作與探索

在如圖2至圖4中，A2BC的面積為a.

(1)如圖2,延長2V1BC的邊BC至I］點(diǎn)D,使CD=BC,連接D4.若△4CD的面積為SI，則S1=(用

含a的代數(shù)式表示)；

(2)如圖3,延長&4BC的邊BC到點(diǎn)D,延長邊C4到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE.若ADEC的面積

為S2,則52=(用含a的代數(shù)式表示)，并寫出理由；

(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長4B到點(diǎn)尸，使BF=AB,連接FD,FE,得到ADEF(如圖4).若陰影部分的面積為S3,

則S3=；(用含a的代數(shù)式表示)

拓展與應(yīng)用：

(4)如圖5,已知四邊形48CD的面積是a,E、F、G、H分別是4B、BC、CD、的中點(diǎn)，連接FH,EG交于

5.(23-24九年級上?湖北武漢.階段練習(xí))如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)。為8c延長線上一點(diǎn)，連接4D,

點(diǎn)E為4D上一點(diǎn)，連接CE,ZDFC=60°,

圖1圖2

(1)求證：BE平分N4EC

(2)如圖2,點(diǎn)P是4B上一點(diǎn)、CD=BF,連接CF交BE于點(diǎn)求證：點(diǎn)M為CF中點(diǎn).

(3)在(2)的條件下，若黃=|，直接寫出AAEC與ABCM面積的比值.

6.閱讀下面資料:

小明遇到這樣一個問題：如圖1,對面積為a的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：分別延長AB、BC、CA至Ai、

Bi，Cl,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,順次連接Ai、Bi、Ci,得到AAiBiCi,記其面積為Si,

求Si的值.

小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2,連接AC、BiA、CiB,因?yàn)锳|B=2AB,BC=2BC,QA=2CA,

根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以S/AiBC=S^B1c4=SgBC=S"IAB=2SAABC=2a,由此繼續(xù)推

理，從而解決了這個問題.

（1）直接寫出Si=_（用含字母a的式子表示）.

請參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：

（2）如圖3,P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點(diǎn)D、E、F,則把

△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標(biāo)明，求△ABC的面積.

（3）如圖4,若點(diǎn)P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點(diǎn)，求SAAPE與SABPF的比值.

1.（24-25八年級上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完勾股定理的證明后，發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的

面積用不同方式計算結(jié)果相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為“等面積

法”.如圖1,在等腰三角形48c中，48=2C,2C邊上的高BD記為是底邊BC上的任意一點(diǎn)，M到腰AB、

AC的距離ME、MF分別記為h1、h2.

圖1圖2圖3

(1)興趣小組現(xiàn)需要證明八=hr+h2,請根據(jù)所學(xué)知識幫助其完成如下證明過程(將正確答案填在相應(yīng)的橫

線上).

證明：連接AM,由題意得BD=h,ME=電,MF=h2,

,*,^^ABC=^LABM+S_,S^ABM=萬'ABXME=Xll],

x

S—MC=5xACxMF—xh2>S>ABC=鼻"。BD=-ylCxh,

111

??—2ACx/i=—2ABx/i-1i4—2ACxh2z,

又??,4B=AC,

：.-ACxh=-ACx比+-ACxh2=-AC(),

fl=M+&?

(2)當(dāng)點(diǎn)M在BC延長線上時(M點(diǎn)在C點(diǎn)的右邊)，fl1、電、九之間又有什么樣的結(jié)論，請你寫出結(jié)論，并說明

理由(可利用圖2作圖進(jìn)行證明).

(3)利用以上結(jié)論解答：如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線小y=|x+6,Z2：y=—3x+6,若%上

的一點(diǎn)M到11的距離是2,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.(23-24八年級上?廣西南寧?期中)我們發(fā)現(xiàn)，“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決計算線段的

有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法.

⑴如圖1,BC是"邊上的高，CD是4B邊上的高，我們知道SA=：X底X高，貝凡謝=^AC-BC=.

(2)如圖1,若乙4cB=90。，AC=3,BC=4,AB=5,CD是斜邊AB上的高線，用等面積法求CD的長.

(3)如圖2,在等腰三角形力8c中，AB=AC=13,BC=10,過A作4H1BC于點(diǎn)X,且=12,尸為底

邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM1AB,PN1AC,垂足分別為M,N,連接4P,利用工"?=S4ABP+SFCP，

求PM+PN的值.

3.(23-24九年級上?四川成都?期中)教材再現(xiàn)：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰△48C中，SMBC=

A

S4PB+SAApc--DC=3AB-MP+^AC-PN,'：AB=AC,：.DC=SP+PN,MP+PN是個固定值.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在矩形4BCD中，AC與DB交于。，AB=3,AD=4,P是4D上不與A和。重合的一個動點(diǎn)，過

點(diǎn)尸分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E,F,貝IJPE+PF的值為.

知識應(yīng)用:

(2)如圖2,在矩形48CD中，點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上，將矩形力BCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)。恰好與點(diǎn)

B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)6處.點(diǎn)P為線段MN上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)N重合)，過點(diǎn)尸分別作直線BM,BC的垂

線，垂足分別為E和尸，以PE,PF為鄰邊作平行四邊形PEQF,若DM=13,CN=5,團(tuán)PEQF的周長是否為

定值？若是，請求出回PEQ尸的周長；若不是，請說明理由.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)尸是等邊.△力BC外一點(diǎn)時，過點(diǎn)P分別作直線AB、AC,BC的垂線、垂足分別為點(diǎn)E、D、

F.若PE+PF-PD=3,請直接寫出△4BC的面積.

4.(22-23八年級下?山東濟(jì)南?期末)已知△48C中，48=14C于點(diǎn)跖點(diǎn)Z)在直線BC上，DE148,

垂足為點(diǎn)E,DF1AC,垂足為點(diǎn)尸.

AAA

MM

EF

BDCD

圖1圖2圖3

(1)如圖1,點(diǎn)。在邊8c上時，小明同學(xué)利用①三角形全等知識和②圖形等面積法兩種方法發(fā)現(xiàn)了DE,DF,

三線段之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出三線段之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)8左邊或者在點(diǎn)C右邊的直線上時，問題(1)中DE,DF,三線段的數(shù)量

關(guān)系是否還成立？若成立請選擇一個圖形進(jìn)行證明，若不成立，請在圖2或圖3中選擇一個圖形，寫出三

線段新的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明.

題型09維維亞尼模型

類型點(diǎn)D在4ABC內(nèi)點(diǎn)D在4ABC外

條件△ABC是等邊三角形

圖示AE

D

BFC

BCF

G

結(jié)論DE-DG+DF=BHDE-DG-DF=HCDE+DF-DG=HC

1.(2023?寧夏銀川?二模)等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法.它是利用“同一個圖形的面積相

等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等

性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題.在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡

便快捷.

請用等面積法的思想解決下列問題：

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為

（2）如圖1,反比例函數(shù)y=〉0）的圖像上有一點(diǎn)尸，PAI無軸于點(diǎn)A,點(diǎn)B在y軸上，貝必P48的面

積為.

（3）如圖2,P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)。為△4BC的中心，設(shè)點(diǎn)2到44BC各邊距離分別為比，

修七，連接”，BP,CP,由等面積法,易知］（色+h2+七）=S-BC=3SAOAB，可得％+h2+h3=ya；

如圖3,若尸是邊長為4的正五邊形48CDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形4BCDE各邊距離分別為上，電，拉3，

h4,h5,參照上面的探索過程，求扭1+九2+九3+%+色的值.（參考數(shù)據(jù)：tan36°~|,tan54°~|）

（4）如圖4,已知。。的半徑為1,點(diǎn)A為。。外一點(diǎn)，。4=2,AB切O。于點(diǎn)2,弦BCIIQ4,連接4C,求

圖中陰影部分的面積.（結(jié)果保留兀）

（5）我國數(shù)學(xué)家祖唯，提出了一個祖地原理：“累勢既同，則積不容異”.意思是：兩個等高的幾何體若在所

有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等.如圖所示，某帳篷的造型是兩個全等圓柱垂

直相交的公共部分的一半（這個公共部分叫做牟合方蓋），其中曲線ZOC和BOD均是以1為半徑的半圓.用

任意平行于帳篷底面A8CD的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，且該正方形的面積恰好等于與帳篷

同底等高的正四棱柱中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐后同高度截面的面積（圖8中陰影部分的面積）,

因此該帳篷的體積為.（正棱錐的體積U1底面積x高）

2.（23-24八年級上?浙江紹興.階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱

為“面積法”.已知等邊A/IBC,點(diǎn)P是平面上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P至IU4BC邊力B、4C邊的距離分另IJ為PD、PE,

△ABC的邊上的高為ZM.回答以下問題：

（1）如圖（1）,若點(diǎn)P在三角形的BC邊上，PD、PE、AM存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程.

（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，已知4M=10,求PD+PE+PF的值.

（3）如圖（3）,當(dāng)點(diǎn)P在AABC外，請直接寫出4M與P。、PF、PE的數(shù)量關(guān)系，不用證明.

1.（24-25八年級上?貴州黔南?期中）如圖，已知D,E分別是等邊三角形ABC中4B,4C邊上的點(diǎn)，且力。=CE,

連接CD,BE,交于點(diǎn)F.請判斷NDFB與N2C8之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

2.（24-25九年級上?湖北?階段練習(xí)）在等邊△A8C中，點(diǎn)。，E分別是BC,4B上的動點(diǎn)，且4E=BD,4D交

CE于點(diǎn)F.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,填空：D,E在運(yùn)動過程中，4D與CE的數(shù)量關(guān)系為：；NCFD的度數(shù)為

(2)如圖2,過C作CP于尸，PF=1；

①求CF之長；

②若乙CEB=75°,求4B之長；

(3)如圖3,CPVAD^-P,連接BF,若BF1CF,求證：PF=AF.

第四章三角形

重難點(diǎn)08幾何熱考題二三角形熱考模型

（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種方法解析）

【題型匯總】

1.（2021九年級?全國?專題練習(xí)）如圖，AABC^p,"=65。，直線DE交4B于點(diǎn)。，交4C于點(diǎn)E,貝（JNBDE+

MED=().

A.180°B.215°C.235°D.245°

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出乙4DE+乙4ED,根據(jù)平角的概念計算即可.

【詳解】

解：：4力=65°,

???^ADE+^AED=180°-65°=115°,

???乙BDE+MED=360°-115°=245°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180。是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?陜西西安?西安高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若

zl=125°,則N2的度數(shù)為（）

A.35°B.40°C.45°D.55°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得N3=N1-N4,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N2=Z3.

【詳解】解:如圖,

D

由題意知44=90。，AB\ICD,

???41=N4+N3,Z1=125°,

z3=zl-Z4=125°-90°=35°,

???ABWCD,

z.2-z3=35°.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的外角等于與它

不相鄰的兩個內(nèi)角的和；兩直線平行，同位角相等.

3.（2020?四川廣安?中考真題）如圖,在五邊形ABCDE中,若去掉一個30。的角后得到一個六邊形BCDEMN,

則/1+N2的度數(shù)為（）

ED

--軍---、B

A.210°B.110°C.150°D.100°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NAMN+NANM=150。，根據(jù)平角的定義可得Nl+/AMN=180。，

Z2+ZANM=180°,從而求出結(jié)論.

【詳解】解：：NA=30。，

/.ZAMN+ZANM=180°-ZA=150°

VZl+ZAMN=180°,Z2+ZANM=180°

.\Zl+Z2=180o+1800-(ZAMN+ZANM)=210°

故選A.

【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.

4.(2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模)在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得

到的N1與N2的和總是一個定值.則41+42=度.

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得乙4=60。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖，

Z-A=60°,

???zl=Z.i4+Z.AED,42=4/+Z-ADE,

+42=乙4+Z,AED+Z.A+乙ADE,

???Z.AED++Z,ADE=180°,

Z1+Z2=+180°=60°+180°=240°,

故答案為：240.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌

握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

5.（2023?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，/。=50。,若沿圖中虛線剪去功，則Nl+/2='

【答案】230

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系可求解.

【詳解】解:三角形的內(nèi)角和等于180。，ZD=5O°,

1.Nl=ND+乙DFE,42=ND+4DEF.

???乙DEF+乙DFE+NO=180°,

???Z1+Z2=KDEF+乙DFE+ND+ND=180°+50°=230°.

故答案為：230.

1.如圖，在由線段48,。。,。尸,3￡以組成的平面圖形中，40=28。，則乙4+/8+“+/尸的度數(shù)為（）.

B

A.262°B.152°C.208°D.236°

【答案】C

【分析】如圖標(biāo)記41/213,然后利用三角形的外角性質(zhì)得=48+乙/=40+43,乙2=乙4+乙。,

再利用42,43互為鄰補(bǔ)角，即可得答案.

【詳解】解：如下圖標(biāo)記41/213,

???41=+4尸=+N3,

???乙D=28°,

z.3=Z-B+Z-F—28°,

又丁z2=乙4+Z.C,

z.2+z.3=Z-A+Z.C+Z-B+Z-F—28°,

???42+43=180°

180°=NZ+4C++乙產(chǎn)一28°,

.??+乙9=180°+28°=208°,

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角

的意義是解答此題的關(guān)鍵.

2..（2023臨汾市模擬預(yù)測）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”,試說明：NA+NB=NC+ND.

(2)如圖(2),AP,CP分另!］平分乙BCD,若Z71BC=36。，/.ADC=16°.求NP的度數(shù).

(3)如圖(3),直線2P平分NH4D,CP平分NBC。的外角乙BCE,猜想NP與乙8、乙D的數(shù)量關(guān)系是

(4)如圖(4),直線4P平分N8力。的夕卜角NF2D,CP平分ABCD的外角NBCE,猜想4P與NB、ND的數(shù)量關(guān)

系是.

A

P

圖⑴圖⑵圖⑶

【答案】(1)見解析；

(2)26°；

(3)乙P=90°+|(zB+ZD)；

(4)NP=180°-|(zF+ZD)

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。和對頂角的性質(zhì)即可得證；

(2)設(shè)NB4P=/.PAD=x,乙BCP=乙PCD=y，產(chǎn):解方程即可得到答案；

」(%+乙P=y+乙ADC

(3)根據(jù)直線4P平分NB力D,CP平分NBCD的外角NBCE,得到

4PAB=^PAD=^BAD,乙PCB="CE=沁⑺從而可以得至U180°-2("4B+乙PCB)+ND=出再

根據(jù)NP+^PAD=乙PCD+ND,4BAD+NB=4BCD+ND得至1」NP-AB=^PAD+乙PCB=4PAB+APCB

即可求解；

(4)連接PB,PD,求得N4PC+ZABC+乙PCB+^PAB=360°,AAPC+^ADC+乙PCD+4PAD=360°,

再力艮據(jù)NPCE+NPCD=180°,APAB+APAF=180°,^FAP=^PAO,Z.PCE=Z.PCB,即可求解.

???Z.A+Z.B+Z.AOB=180°,Z.C+Z.D+乙COD=180°,

Z-A+Z-B+Z-AOB=Z.C+z-D+(COD.

???乙AOB=乙COD,

Z-A+Z-B=Z.C+Z-D；

(2)如圖.

B

???AP,CP分另ij平分4840,(BCD,設(shè)NBZP=APAD=%,Z-BCP=匕PCD=y,

則有配歸

?'?Z-ABC—Z-P—Z-P—Z-ADC,

???4尸=：1^ABC+4ADC)=；1(36°+16°)=26°

(3)如圖.

,??直線4P平分NBA。，CP平分NBCO的外角NBCE,

11

???/.PAB=Z-PAD=-/-BAD,乙PCB=乙PCE=^cBCE,

22

：.2Z,PAB+=180°-2乙PCB+乙D,

???180°-2(乙PAB+乙PCB)+乙D=LB

VZP+乙PAD=乙PCD+ZD,乙BAD+乙8