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文檔簡介
正多邊形拓展運算的4種壓軸題型全攻略
血
...【考點導(dǎo)航】
目錄
【典型例題】...................................................................................1
【考點一正多邊形中邊心距的計算】........................................................1
【考點二正多邊形邊長的計算】.............................................................2
【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】......................................................2
【考點四正多邊形應(yīng)用的拓展提高】.........................................................3
【過關(guān)檢測】..................................................................................4
尸1
【典型例題】
【考點一正多邊形中邊心距的計算】
【例題1】如圖,正六邊形ASCDEF內(nèi)接于【O,若正六邊形的周長是12,則它的邊心距為()
A.2B.V2C.V3D.2A/3
【變式1】如圖,正六邊形ABCDfF內(nèi)接于口。,過點。作OML3C于點M,若。的半徑為4,則
邊心距OM的長為.
AD
【變式2】已知正方形AHDG與正六邊形ABCDEF都內(nèi)接于圓。,若正方形邊長為0,則=.
【變式3】如圖,正六邊形ABCDE/內(nèi)接于O,O半徑為4.
f
⑴求正六邊形的邊心距.
⑵求正六邊形ABCDEF的面積.
【考點二正多邊形邊長的計算】
【例題2】如圖,已知圓的內(nèi)接正九邊形的半徑為R,則正九邊形的邊長為()
A.2Rsin20°B.27?sin40°C.27?cos20°D.2Acos400
【變式1】如圖,正方形ABCD內(nèi)接于1。、E為BC上一點、,連接BE,CE.若NCBE=15。,BE=5,則正
方形ABCD的邊長為.
AB
【變式2】如圖.在RSABC中,ZC=9O°,BC=3cm,AC=4cm,。。為Rt4WC的內(nèi)切圓,切點為D、E、
F,則。。的半徑為()
3
A.gemB.1cmC.—cmD.2cm
2
【變式3】如圖,正,ABC外接圓的半徑為2,求正二AfiC的邊長,邊心距,周長和面積.
【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】
【例題3】如圖,已知在。。中,AB=4g,AF=6,AC是直徑,AC1BD于F,圖中陰影部分的面積是()
C.-^-4>/3D.—^-473
33
【變式1】如圖,CD為0直徑,CQLAB于點尸,于E,AO=lcm,則陰影部分的面積為()
D.VScm2
【變式2】如圖,正方形ABCD的邊長為4,以為直徑的半圓交對角線AC于點E,則陰影部分的面積是
)
A.16—2萬B.16—71C.8—2萬D.8—TC
【變式3】如圖,半圓。的直徑A8為10,點C、。在圓弧上,連接AC、BD,兩弦相交于點E.若CE=BC,
5250525
C.一兀----------D.—71--------
2222
【考點四同底數(shù)幕乘除法應(yīng)用的拓展提高】
【例題4】〃割圓術(shù)〃是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的計算圓周率的方法:〃割之彌細(xì),所失彌少,割之
又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣〃,即隨著邊數(shù)增加,圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓,進而
可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積.設(shè)圓的半徑為R,則由圓內(nèi)接正十二邊形算得的圓周率約
為()
A.3.14C.3.1D.3.141
【變式1】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出,"周三徑一"不是圓周率值,實際
上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值(如圖1).劉徽發(fā)現(xiàn),圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,多邊形的
周長就無限逼近圓周長,從而創(chuàng)立"割圓術(shù)",為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,
六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形,把每段弧二等分,可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形,點G為的中
點,連結(jié)BG,C£BG交CF于點p,若CP=百-1,則PG的長為()
A.0B.V3D-T
【變式2】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出,"周三徑一"不是圓周率值,實際
上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值(如圖1).劉徽發(fā)現(xiàn),圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,多邊形的
周長就無限逼近圓周長,從而創(chuàng)立"割圓術(shù)",為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,
六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形,把每段弧二等分,可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形,點6為8的中
點,連結(jié)BG,C£BG交CF于點p,若CP=1二1,則PG的長為()
2
,\/3—y/2,
2
【變式3】大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家",蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料,多名學(xué)
者通過觀測研究發(fā)現(xiàn):蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.一個巢房的橫截面為正六邊形MCDEF,如圖
所示,若邊心距OM=gmm,則這個正六邊形的面積是
【過關(guān)檢測】
一.選擇題
1.如圖,四邊形ABCD為。。的內(nèi)接正四邊形,△AEF為。。的內(nèi)接正三角形,若。F恰好是同圓的一個內(nèi)
接正n邊形的一邊,則n的值為()
A.6B.8C.10D.12
2.如圖,點A,B,C在.。上,若BC,AB,AC分別是。內(nèi)接正三角形.正方形,正〃邊形的一邊,
A.9B.10C.12D.15
3.如圖,AB是O的直徑,將弦AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到AD,此時點C的對應(yīng)點。落在AB上,
延長8,交:O于點E,若CE=2,則圖中陰影部分的而積為()
。?普
4.如圖,等腰三角形OAB的頂角NAO3=90。,O與底邊AB相切于點C,并與兩腰03分別相交
于。,E兩點,連接8,CE.若"4=4,則圖中陰影部分的面積為()
C.2兀—4也D.—^--72
4
二、填空題
5.如果正六邊形的邊長是1,那么它的邊心距是
6.我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的割圓術(shù):“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,
以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣"."割圓術(shù)"孕育了微積分思想,他用這種思想得到了圓周率萬的
近似值為3.1416.如圖,.O的半徑為1,運用"割圓術(shù)",以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。的面積,可得
萬的估計值為空,若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計,可得I的估計值為
2
7.如圖,六邊形"CD跖是.。的內(nèi)接正六邊形,記ZXACE的周長為G,正六邊形A5CDEF的周長為C”
D
8.如圖,。的半徑為3,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于二O,則正六邊形的面積為
9.我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子發(fā)展了劉微的“割圓術(shù)"(即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加,它的周
長就越接近圓周長),他們從圓內(nèi)接正六邊形算起,一直算到內(nèi)接正24576邊形,將圓周率精確到小數(shù)點后
七位,使中國對圓周率的計算在世界上領(lǐng)先一千多年.依據(jù)“割圓術(shù)",由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近
似值是.
10.如圖,AB,AC,AD分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊.若筋=4,有下面三個結(jié)
論,①該圓的半徑為4;②BC=C£>;③圖中陰影部分的周長為40+4+§,其中正確結(jié)論的序號是
11如圖,內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH,若VADE的面積為12,則正八邊形ABCDEFGH的面積為
12.如圖,菱形ABCD中/ABC=60。,以點A為圓心,AB長為半徑作弧,若BC=2,則圖中陰影部分的
面積為.(結(jié)果保留兀)
AD
三、解答題
13.如圖,在二。的內(nèi)接正八邊形ABCDEFG〃中,AB=2,連接DG.
A____//
T--------------
DE
⑴求證DG〃AB;
⑵DG的長為______.
14.(1)解方程:X2-X-2=0.
1(2)如圖,正六邊形ABCDE尸內(nèi)接于O,半徑“=4,求邊心距OM的長.
"------7
B'------々
15.如圖,AB,AC,AD分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊.若AB=2,
B
AD
(1)弧AC的長為;
(2)連接BC,CD,則ABC與ACD的面積比為.
16.如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O.
⑴若P是CO上的動點,連接3尸,小,求/出步的度數(shù);
(2)己知△ADF的面積為2+.
①求NZMF的度數(shù);
②求。的半徑.
17.如圖,五邊形ABCDE是半徑為R的圓內(nèi)接五邊形,P為粘的中點.求證:PAPB=R2-
⑴如圖1,如果AC=80,求弦AC的長;
(2)如圖2,如果E為弦2。的中點,求tan/鉆。的值;
(3)連接3C,CD,DA,如果3C是:。的內(nèi)接正”邊形的一邊,CD是.。的內(nèi)接正("+4)邊形的一邊,
求.ACD的面積.
19.如圖1,平行四邊形ABCD中,AB1AC,AB=6,AD=10,點P在邊AD上運動,以P為圓心,力為半徑
的OP與對角線AC交于A,E兩點.
(1)如圖2,當(dāng)OP與邊CD相切于點F時,求AP的長;
(2)不難發(fā)現(xiàn),當(dāng)OP與邊CD相切時,OP與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點,隨著AP的變化,OP
與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)也在變化,若公共點的個數(shù)為4,直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取
值范圍.
圖1
正多邊形拓展運算的4種壓軸題型全攻略
城S
【考點導(dǎo)航】
【典型例題】..................................................................................
【考點一正多邊形中邊心距的計算】.......................................................
【考點二正多邊形邊長的計算】............................................................
【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】......................................................
【考點四正多邊形應(yīng)用的拓展提高】........................................................
【過關(guān)檢測】..................................................................................
戶】
【典型例題】
【考點一正多邊形中邊心距的計算】
【例題1】如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于【。,若正六邊形的周長是12,則它的邊心距為()
,V2C.6D.26
【答案】c
【分析】連接04、0B,過。作0GLAB于點G,根據(jù)正六邊形的特點得到408=60。,AB=2,進而
ZAOG=-ZAOB=30°
證明nQAB是等邊三角形,則。4=AB=2,2,據(jù)此可得答案.本題考查的是正多邊
形和圓,等邊三角形的性質(zhì)與判定,解直角三角形等知識,數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:連接04、0B,過。作OGLAB于點G,則/AGO=90。,如圖所示,
多邊形ABCDEF是正六邊形,正六邊形的周長是12,
..ZAOB=60°,48=2,
OA=OB,
OR是等邊三角形,
ZAOG=-ZAOB=30°
._OA=AB=2,2
=cosZAOG=cos30°
AO
OG=AOcos30°=2x^=6
2
故選:C.
【變式1】如圖,正六邊形至CD所內(nèi)接于O,過點。作OMLBC于點/W,若匚。的半徑為4,則邊心
距的長為.
【答案】2君
【分析】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識,連接O&OC.先證明△03C
是等邊三角形,求出BC、BM,再根據(jù)勾股定理求出0M.
【詳解】解:如圖,連接°以℃.
六邊形ABCDEF是正六邊形,
NBOC=60°,OB=OC=4
...△OBC是等邊三角形,
:.BC^OB=OC^4,
1."OMYBC,
:.BM=CM=2,
在RtAOBM中,OM=y)OB2-BM2=742-22=273,
故答案為:2道.
【變式2】已知正方形AHOG與正六邊形MCDEF都內(nèi)接于圓。,若正方形邊長為0,則=
C-1
【答案]二-
【分析】連接A。,0E、OF,OG,設(shè)°G與即交于點N,根據(jù)勾股定理求出
AD=y/AG2+DG2==2OE=OF=OG=OA=-AD=1
,得出2,證明△OAF為等邊三角形,
得出ZOAF=60。,AF==1,證明E尸〃AO,得出ZGMN=ZGAD=45°,利用垂徑定理得出OG工所,
NF=-EF=-ON=y/OF2-NF2=—
22,根據(jù)勾股定理求出2,證明GMN為等腰直角三角形,得出
MN=GN=1~—
2,求出結(jié)果即可.
【詳解】解:連接A。,OE、OF,OG,設(shè)0G與E尸交于點N,如圖所示:
四邊形AHDG為正方形,
...ZAGD=9Q°,AG=DG,
AD=7AG2+DG2=J(可+(何=2
.??人。為【。的直徑,
OE=OF=OG=OA=-AD=1
.-.2,
360°
ZAFE=ZBAF=180°--------=120°
正六邊形郎中6
360°
ZAOF=ZEOF=——=60°
6,
.;OF=OA,
??.AOA尸為等邊三角形,
,NOAF=60。,AF=OA=19
...六邊形ABCDEF為正六邊形,
,EF=AF=lf
,.,ZEFA+ZFAO=180°,
...EF//ADf
,,,NGMN=NGAD=450,
■■AG=DG,AF=DE,
...AG=OG,AF=DE
,.,GF=GE,
NF=-EF=-
...OGLEF,22,
,.?NGNM=ZOMF=90°,
ON=y/OF2-NF2=—
2
GN=OG-ON=1~—
2
.;/GNM=9Q°,ZGMN=45°,
...GMN為等腰直角三角形,
MN=GN=\-立
故答案為:2
【點睛】本題主要考查了圓周角定理,垂徑定理,正方形的性質(zhì),勾股定理,正六邊形的性質(zhì),等邊三角
形的判定和性質(zhì),等腰直角的三角形的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是作出輔助線,熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判斷.
【變式3]如圖,正六邊形內(nèi)接于口。,O半徑為4.
(1)求正六邊形的邊心距.
⑵求正六邊形ABCDER的面積.⑴求正六邊形的邊心距.
⑵求正六邊形至CDEF的面積.
【答案】(1)正六邊形的邊心距為2出;
(2產(chǎn)6.
【分析】本題考查了正六邊形和圓,等邊三角形的判定與性質(zhì),三角函數(shù),掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的
關(guān)鍵.
(1)連接℃、0D,過點。作CWCD于“,證明△COD等邊三角形,利用三角函數(shù)即可求解;
(2)根據(jù)正六邊形ABCDEF的面積=64c“即可求解;
【詳解】(1)連接℃、OD,過點。作加工CD于“,則NOHC=/°/TO=90。,
E/_3
六邊形ABCDEF是正六邊形,
:.NCOD=60°
.-.ZCOH=30°,為等邊三角形,
—=cosZCOH=cos30°
,.,OC,CD=OC=4,
.?.圓心O至U8的距離OH=4Xcos30°=2石,
即正六邊形的邊心距為2道;
=6Srnn=—x4x2^/3x6=24A/3
(2)正六邊形ABCDEF的面積-2.
【考點二正多邊形邊長的計算】
【例題2】如圖,已知圓的內(nèi)接正九邊形的半徑為R,則正九邊形的邊長為()
A.2Hsin20,B.27?sin40°C.2Acos200D.27?cos40°
【答案】A
【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用及正多邊形和圓,根據(jù)題意畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求解是解
BD=CD=-BC
答此題的關(guān)鍵,過點。作加上3C,則2,根據(jù)正多邊形求出角度,解直角三角形即可得
到結(jié)論.
此多邊形是正九邊形,
360°
/.ZCOB=——=40°
9,
ZBOD=-ZBOC=20°
2,
在RtABDO中,
BD=OBsinZBOD=Rxsin20°,
.\BC=2BD=2Rsin200
故選:A.
【變式1】如圖,正方形ABCD內(nèi)接于。、E為BC上一點,連接3ECE,若NCBE=15。,BE=5,則正
方形ABCD的邊長為.
【分析】連接AO,2O,E°,由圓的性質(zhì)可得。4=OB=°E,再由圓內(nèi)接正四邊形的性質(zhì)以及/CBE=15。,
/OBC=45°,進而證得是等邊三角形,得到OB=BE=5,根據(jù)勾股定理求出AB,即可求解.
【詳解】解:連接AO,50,石°,如圖:
...正方形ABCD內(nèi)接于圓0,
,\OA=OB=OE.
360°
ZAOB=——=90°,AB=BC,
4ZABC=90°,
ZOBC=ZABC-AOBA=45°,
?ZCBE=15°,
/./OBE=ZOBC+ZCBE=60°,
。跖是等邊三角形,
:.OB=BE=5
:.OA=5,
AB=yJo^+OB2=50,
正方形甌D的邊長為5a,
故答案為:5E.
【點睛】本題考查了正多邊形和圓,正方形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,解題的關(guān)鍵是證得一。旗
是等邊三角形.
【變式2】如圖.在RtzMBC中,ZC=9O°,BC=3cm,AC=^cm,。。為RtAABC的內(nèi)切圓,切點為。、E、
F,則。。的半徑為()
A.2cmB.lcmC.2cmD.2cm
【答案】B
【詳解】連接OD、OE、OF,
?■?OO為AABC的內(nèi)切圓,
???AD=AE,BD=BF,CE=CF,OE1AC,OF1BC,即NOFC=NC)EC=90°,
?2C=90°,
四邊形CEOF是矩形,
?.?OE=OF,
.??四邊形CEOF是正方形,
設(shè)O。的半徑為rem,貝l|FC=EC=OE=rcm,
在RtZ^ABC中,zACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,
...AB=』AC~+BC~=5cm,
vAD=AE=AC-EC=4-r,BD=BF=BC-FC=3-r,
?1-4-r+3-r=5,
解得r=l,即。0的半徑為lcm,
故選B.
【變式3】如圖,正.ABC外接圓的半徑為2,求正ABC的邊長,邊心距,周長和面積.
【答案】正AABC的邊長為26,邊心距為工,周長為66,面積為36
【分析】如圖:連接延長A0交BC于D,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出,
BD=CD=-BC,ZOBD=30°
2,進而求得°。;再根據(jù)勾股定理求出8。,即可求出BC,進而求得周長和
面積.
【詳解】解:如圖:連接°旦0A,延長A。交于D,
...正口ABC外接圓是【O,
AD1BC,BD=CD=-BC,ZOBD=-ZABC=1x60°=30°
...222,
OD=OB=—OB=—x2=1
邊心距22,
BD2222
由勾股定理得:=^OB-OD=V2-l=V3;
...三角形邊長為23。=2g,AD—AO+OD=2+1=3,
r--BC-AD=-x2^x3=3V3
.-.ASC的周長是3BC=3x2代r=6g;AfiC的面積是22
【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識
點,正確作輔助線后求出的長是解題的關(guān)鍵.
【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】
【例題3]如圖,已知在。0中,AB=4g,AF=6,AC是直徑,AC1BD于F,圖中陰影部分的面積是()
-7T-2y[3—7T-2yj3-^--4^3—^--473
A.3B.3C.3D.3
【答案】D
【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4>/3,連接OB、OD、BC,先求得NABC=90。,進而根據(jù)射影定理求得
FC=2,從而求得直徑的長,根據(jù)余弦函數(shù)求得NBAF=30。,進而得出NBOD=120。,最后根據(jù)S陰影=S扇形-SZ\BOD
即可求得陰影的面積.
【詳解】解:「AC是直徑,AC1BD于F,
.-.BF=DF,BC=DC,
???ZBAC=ZDAC,
在RTAABF中,BF=^AB2-AF2=2百
...BD=2BF=45
連接OB、OD、BC,
vAC是直徑,
.■?ZABC=90°,
.-?BF2=AF?FC,即(2后)2=6FC,
???FC=2,
二直徑AC=AF+FC=6+2=8,
???OO的半徑為4,
vAB=4^3,AF=6,
6
cosZBAF=---
AB4A/3-2
.-.ZBAF=30°,
.-.ZBAD=60°,
.-.ZBOD=120°,
vOC=4,FC=2,
/.0F=2,
-興氏2號一班
.s陰影二s扇形一S,
故選擇:D.
【點睛】本題考查了垂徑定理,扇形的面積、及直角三角函數(shù)和勾股定理等知識,難度適中.
【變式1】如圖,CD為0直徑,。。,45于點尸,AOJ_BC于E,AO^lcm,則陰影部分的面積為()
【答案】A
【分析】連接0B,由垂徑定理可得NAOD=NBOD,利用等量代換求出NC的度數(shù),進而求出OF、AF、AB的
長度,根據(jù)S陰影=S扇形人。8-54人。8計算即可.
【詳解】連接0B,
???CD1AB,CD為直徑,
;.AF=BF,AD=BDI
/.ZAOD=ZBOD,
vZAOD=ZCOE,
.,.Z.BOD=ZCOE,
vZB0D=2ZC,
.,.ZC0E=2ZC,
vAOlBC,
.-.ZOEC=90°,
.-.ZCOE=60°,
.-.ZAOF=60°,
.-.ZOAF=30°,ZAOB=120°,
???OF=2cm,AF=2cm,
.■?AB=^cm,
120;rxl2IJ£73
??.S陰影=S扇形AOB-Sz^AOB=360-2xV3x2=(3-4)cm2.
故選A.
【點睛】本題主要考查垂徑定理以及圓周角定理,求不規(guī)則圖形的面積一般采用割補法.
【變式2】如圖,正方形ABCD的邊長為4,以BC為直徑的半圓交對角線AC于點E,則陰影部分的面積是
A.16-2萬B.16—71C.8—27rD.8-7T
【答案】D
【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積,利用三角形筋。的面積減去扇形0防的面積即可得出結(jié)果.
【詳解】解一?正方形ABCD,邊長為%
,AB=BC=4,ZABC=90°,ZACB=45°
???以5c為直徑的半圓交對角線AC于點E,
OE=OC=OB=LBC=2
2
?/CEO=45。
...ZEOC=90°,
.ZBOE=90°
1/90萬-2o
???陰影部分的面積一S枷"彩BOE=—x4x44-------x2=8一%
2360
故選:D.
【變式3】如圖,半圓。的直徑A8為10,點C、。在圓弧上,連接AC、BD,兩弦相交于點E.若CE=BC,
則陰影部分面積為()
C.L*525
D.—71-----
2222
【答案】B
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì),圓周角和弧之間的關(guān)系,扇形的面積,連接°D、OC,根據(jù)CE=BC,
得出/£>3C=/C£B=45°,得出“OC=90°,根據(jù)S陰影=S扇形一5口?;鸺纯汕蟮?
【詳解】連接°。、℃,
C
AB
A3是直徑,
ZACB=90°t
?:CE=BC,
:.ZDBC=ZCEB=45°,
???OC的度數(shù)為90°,
ZDOC=90°,
ac_90^X521<-2525
?.S陰影=S扇形ODC=—^-------X5x5=—7T-—
故選:B.
【考點四同底數(shù)幕乘除法應(yīng)用的拓展提高】
【例題4】"割圓術(shù)"是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的計算圓周率的方法:"割之彌細(xì),所失彌少,割之
又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣",即隨著邊數(shù)增加,圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓,進而
可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積.設(shè)圓的半徑為R,則由圓內(nèi)接正十二邊形算得的圓周率
D.3.141
【答案】B
【分析】過點A作求出帥C的面積,再表示出正十二邊形的面積,最后根據(jù)可以用圓內(nèi)接正
多邊形的面積近似表示圓的面積即可求解.
【詳解】解:如圖,A2是正十二邊形的一條邊,點c是正十二邊形的中心,
過點A作
NACB=^^=30°
則12AC=BC=R,
:.AD=-AC=-R
22,
111R2
:.S,=—AD-BC=—又一RxR=—
aAABRCr2224
2
R2,
12S,BC=12x—=37?
正十二邊形的面積為4
:圓的面積為兀叱,
3R2=TIR2
【點睛】本題考查了正多邊形與圓,三角形的面積的計算,正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.
【變式1】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出,"周三徑一"不是圓周率值,實際
上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值(如圖1).劉徽發(fā)現(xiàn),圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,多邊形的
周長就無限逼近圓周長,從而創(chuàng)立"割圓術(shù)",為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,
六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形,把每段弧二等分,可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形,點G為的中
點,連結(jié)8G,CRBG交CP于點P,若CP=6-1,則尸G的長為()
【答案】A
【分析】設(shè)正六邊形MCD£尸的外接圓的圓心為0,連接。A、OB、0G、0D,則NCO/=180。,所以
ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°
心。在CP上,由點6為8的中點,得2,可求得/GCP=75。,由BOC是
等邊三角形,得/℃8=60°,則/CBG=15。,所以/GPC=NGCP=75。,則PG=CG,作P/LCF交BC
于點I,則/P/C=30°,所以/3B=/CBG=15。,則C/=2G-2,8/=P/=3-追,于是得CO=3C=^+1,
CPCG______
再利用CGPsCOG,得CG-CO,則尸G=CG=J"C0,即可求得答案.
【詳解】解:如圖,設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為0,連接。4、OB、OG、0D.
ZA0F=ZA0B=ZB0C=NC0D=-x360°=60°
6
/CGP=-xNBOC=30°
.../CO產(chǎn)=3x60°=180°,2
二圓心在CF上,
...點G為CD的中點,
ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°
.2
.:OC=OG,
■:OB=OC,N3OC=60°,
80c是等邊三角形.
,.,ZOCB=60°,
ZCBG=-ZCOG=15°
.?.2,
,.?Z.GPC=ZOCB+ZCBG=75°=Z.GCP,
,.,PG=CG,
作尸/,CF交5c于點i,貝ij/CP/=90°,
...ZP/C=90°-60°=30°,
..CP=V3-1,
.C/=2CP=2x(百—l)=2g—2
...ZIPB=ZPIC-ZCBG=15°=ZCBG,
BI=PI=^CI2-CP2=J(2CP)2-CP2=V3CP=^X(V3-1)=3-V3
ACO=BC=2A/3-2+3-V3=V3+1
...ZCGP=ZCOGf/PCG=NGPO,
CP_CG
.CGPsCOG.'CG~~CO
??f??,
PG=CG=y/CPCO=百+1)=V2
故選:A.
【點睛】本題重點考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的
直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,正確地作出所需要的輔助線是解題
的關(guān)鍵.
【變式2】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出,"周三徑一"不是圓周率值,實際
上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值(如圖1).劉徽發(fā)現(xiàn),圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時,多邊形的
周長就無限逼近圓周長,從而創(chuàng)立"割圓術(shù)",為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,
六邊形尸是圓內(nèi)接正六邊形,把每段弧二等分,可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形,點G為。的中
點,連結(jié)8G,CRBG交C尸于點P,若二1,則PG的長為()
【答案】B
【分析】設(shè)正六邊形MCD跖的外接圓的圓心為0,連接。4、OB、0G、0D,則/C0口=3x60。=180。,
ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°
所以圓心0在W上,由點G為CD的中點,得2,可求得NGCP=75。,由
NCBG=-ZCOG=15°
BOC是等邊三角形,得NOCB=60。,則2,所以NGPC=/GCP=75。,則PG=CG,
作PIJ_CF交BC于點則ZP/C=30°,所以ZIPB=NCBG=15。,則
CO=BC=^^-CPCG
CI=2CP=若一1,BI=PI=y[3CP=
2,于是得2,再證明:CGPsCOG,得CGCO,
PG=CG=y/CPCO=—
則2,于是得到問題的答案.
【詳解】解:如圖2,設(shè)正六邊形至CD跖的外接圓的圓心為0,連接。4、OB、OG、OD,
(ffl2)
ZAOF=ZAOB=ZBOC=ZCOD=-x360°=60°
6
ZCOF=3x60°=180°,ZCGP=-ZBOC=30°
???圓心O在cv上,
??,點G為CO的中點,
ZCOG=NDOG=-ZCOD=30°
2,
QOC=OG,
ZGCP=ZOGC=|x(180°-30°)=75°
;OB=OC,ZBOC=60°
???BOC是等邊三角形,
ZOCB=60°
■■ZCBG=-ZCOG=15°
2
:.Z.GPC=NOCB+Z.CBG=75°=NGCP,
\PG=CG,
作P/J_CF交BC于點i,則/CP/=90。,
ZPIC=90°-60°=30。,CP=
2,
ZIPB=ZPIC-NCBG=15。=NCBG,CI=2CP=2x-——=g-1
2,
BI=PI=VCZ2-CP2=?2CP)2-CP?=6cp=&
,rnRrA1+3-V36+1
22,
?;ZCGP=/COG,ZPCG=ZGPO
.?.CGPsCOG,
CPCG
:.CG=cd,
D「rrImmly/3—l~~A/3+10
PG=CG=7CP?CO=J-------x--------=——
,.?V222,
故選:B.
【點睛】此題重點考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中3?!憬撬鶎Φ?/p>
直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識,正確地作出所需要的輔助線是解題
的關(guān)鍵.
【變式3】大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家",蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料,多名學(xué)
者通過觀測研究發(fā)現(xiàn):蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF,如圖
所示,若邊心距0河=石mm,則這個正六邊形的面積是mm2.
【答案】6也
【分析】連接08,℃,證明BOC為等邊三角形,得出03=3C=℃,根據(jù)勾股定理求出
=(石)SBOC=—BCOM=—x2x73=
(2),得出30=2,求出22V,得出六邊形的面積
即可.
【詳解】解:連接08,℃,如圖所示:
???六邊形MCD跖是正六邊形,
0B=0C,
??.50c為等邊三角形,
,.,0B=BC=0C,
BM=MC=-BC/BOM=-/BOC=30°
f22
BM=-BO
2.
222
根據(jù)勾股定理得:BO-BM=OMt
解得:30=2,負(fù)值舍去,
...BC=BO=2mm,
2
S.]B0C=|BC-OM=1x2xV3=V3(mm)
q66mm之
?2六邊形ABCDE尸=6sB0C=
故答案為:6G.
【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,三角形面積計算,解答本題
的關(guān)鍵是明確正六邊形的特點.
【過關(guān)檢測】
1.如圖,四邊形ABCD為的內(nèi)接正四邊形,AAEF為。。的內(nèi)接正三角形,若DF恰好是同圓的一個內(nèi)
接正n邊形的一邊,則n的值為()
A.6B.8C.10D.12
【答案】D
【分析】連接AC,°n°b,先根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得點。在AC上,且AC是NR4D和/EA歹的
ACAD=-/BAD=45°,ZCAF=-ZEAF=30°
角平分線,從而可得22,再根據(jù)角的和差可得/04尸=15。,然
后根據(jù)圓周角定理可得產(chǎn)=2/加=30。,最后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)即可得.
【詳解】解:如圖,連接ACOROJ
...四邊形ABC。為。的內(nèi)接正四邊形,△出為1°的內(nèi)接正三角形,
.?.點0在AC上,且AC是/BAD和/胡尸的角平分線,ZBAD=90°,ZEAF=60°;
ACAD=-/BAD=45°,ZCAF=-ZEAF=30°
22,
ZDAF=ZCAD-ZCAF=15°,
:.ZDOF=2ZDAF=30°,
。/恰好是圓。的一個內(nèi)接正〃邊形的一邊,
故選:D.
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形、圓周角定理等知識點,熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
2.如圖,點A,B,C在。上,若BC,AB,AC分別是:。內(nèi)接正三角形.正方形,正“邊形的一邊,
A.9B.10C.12D.15
【答案】C
360。
【分析】分別連接OB、OA、OC,根據(jù)正多邊形的中心角=丁,可分別求得NBOC、NAOB的度數(shù),從而可
360。
得NAOC的度數(shù),再根據(jù)正多邊形的中心角=”,可求得邊數(shù)n.
【詳解】分別連接OB、OA、OC,如圖所示
???8C是1°內(nèi)接正三角形的一邊
.?.NBOC=3
同理,可得:ZAOB=90°
??.ZAOC=Z.BOC-ZAOB=30°
...AC是:。正〃邊形的一邊
亞=3。。
n
.,?n=12
故選:C.
【點睛】本題考查了正多邊形與圓,正多邊形的中心角=?,掌握這一知識是解決本題的關(guān)鍵.
3.如圖,AB是。的直徑,將弦AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到AD,此時點C的對應(yīng)點。落在4B上,
延長CD,交:O于點、E,若CE=2,則圖中陰影部分的而積為()
【答案】C
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積的計算,連接°E、
℃、BC,推出△EOC是等腰直角三角形,再由$陰影=$扇形。EC-S^EC,進行計算即可得出答案,熟練掌
握扇形面積的計算公式是解此題的關(guān)鍵.
【詳解】解:如圖,連接°E、℃、BC,
由旋
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