中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：正多邊形拓展運算的4種壓軸題型（含答案及解析）

正多邊形拓展運算的4種壓軸題型全攻略

血

...【考點導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【考點一正多邊形中邊心距的計算】........................................................1

【考點二正多邊形邊長的計算】.............................................................2

【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】......................................................2

【考點四正多邊形應(yīng)用的拓展提高】.........................................................3

【過關(guān)檢測】..................................................................................4

尸1

【典型例題】

【考點一正多邊形中邊心距的計算】

【例題1】如圖，正六邊形ASCDEF內(nèi)接于【O,若正六邊形的周長是12,則它的邊心距為（）

A.2B.V2C.V3D.2A/3

【變式1】如圖，正六邊形ABCDfF內(nèi)接于口。，過點。作OML3C于點M,若。的半徑為4,則

邊心距OM的長為.

AD

【變式2】已知正方形AHDG與正六邊形ABCDEF都內(nèi)接于圓。，若正方形邊長為0,則=.

【變式3】如圖，正六邊形ABCDE/內(nèi)接于O,O半徑為4.

f

⑴求正六邊形的邊心距.

⑵求正六邊形ABCDEF的面積.

【考點二正多邊形邊長的計算】

【例題2】如圖，已知圓的內(nèi)接正九邊形的半徑為R,則正九邊形的邊長為（）

A.2Rsin20°B.27?sin40°C.27?cos20°D.2Acos400

【變式1】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于1。、E為BC上一點、,連接BE,CE.若NCBE=15。,BE=5,則正

方形ABCD的邊長為.

AB

【變式2】如圖.在RSABC中，ZC=9O°,BC=3cm,AC=4cm,。。為Rt4WC的內(nèi)切圓，切點為D、E、

F,則。。的半徑為（）

3

A.gemB.1cmC.—cmD.2cm

2

【變式3】如圖，正,ABC外接圓的半徑為2,求正二AfiC的邊長，邊心距，周長和面積.

【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】

【例題3】如圖，已知在。。中，AB=4g,AF=6,AC是直徑，AC1BD于F,圖中陰影部分的面積是（)

C.-^-4>/3D.—^-473

33

【變式1】如圖，CD為0直徑，CQLAB于點尸，于E,AO=lcm,則陰影部分的面積為（）

D.VScm2

【變式2】如圖，正方形ABCD的邊長為4,以為直徑的半圓交對角線AC于點E,則陰影部分的面積是

)

A.16—2萬B.16—71C.8—2萬D.8—TC

【變式3】如圖，半圓。的直徑A8為10,點C、。在圓弧上，連接AC、BD,兩弦相交于點E.若CE=BC,

5250525

C.一兀----------D.—71--------

2222

【考點四同底數(shù)幕乘除法應(yīng)用的拓展提高】

【例題4】〃割圓術(shù)〃是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的計算圓周率的方法：〃割之彌細(xì)，所失彌少，割之

又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣〃，即隨著邊數(shù)增加，圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓，進而

可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積.設(shè)圓的半徑為R,則由圓內(nèi)接正十二邊形算得的圓周率約

為（）

A.3.14C.3.1D.3.141

【變式1】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，"周三徑一"不是圓周率值，實際

上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）.劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的

周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立"割圓術(shù)"，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,

六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點G為的中

點，連結(jié)BG,C￡BG交CF于點p,若CP=百-1,則PG的長為（）

A.0B.V3D-T

【變式2】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，"周三徑一"不是圓周率值，實際

上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）.劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的

周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立"割圓術(shù)"，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,

六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點6為8的中

點，連結(jié)BG,C￡BG交CF于點p,若CP=1二1,則PG的長為（）

2

,\/3—y/2,

2

【變式3】大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家"，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)

者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.一個巢房的橫截面為正六邊形MCDEF,如圖

所示，若邊心距OM=gmm,則這個正六邊形的面積是

【過關(guān)檢測】

一.選擇題

1.如圖，四邊形ABCD為。。的內(nèi)接正四邊形,△AEF為。。的內(nèi)接正三角形，若。F恰好是同圓的一個內(nèi)

接正n邊形的一邊，則n的值為（）

A.6B.8C.10D.12

2.如圖，點A,B,C在.。上，若BC,AB,AC分別是。內(nèi)接正三角形.正方形，正〃邊形的一邊,

A.9B.10C.12D.15

3.如圖，AB是O的直徑，將弦AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到AD,此時點C的對應(yīng)點。落在AB上,

延長8,交:O于點E,若CE=2,則圖中陰影部分的而積為（）

。?普

4.如圖，等腰三角形OAB的頂角NAO3=90。，O與底邊AB相切于點C,并與兩腰03分別相交

于。，E兩點，連接8,CE.若"4=4,則圖中陰影部分的面積為（）

C.2兀—4也D.—^--72

4

二、填空題

5.如果正六邊形的邊長是1,那么它的邊心距是

6.我國魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，

以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"."割圓術(shù)"孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率萬的

近似值為3.1416.如圖，.O的半徑為1,運用"割圓術(shù)"，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計。的面積，可得

萬的估計值為空，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計，可得I的估計值為

2

7.如圖，六邊形"CD跖是.。的內(nèi)接正六邊形，記ZXACE的周長為G，正六邊形A5CDEF的周長為C”

D

8.如圖，。的半徑為3,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于二O,則正六邊形的面積為

9.我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之和他的兒子發(fā)展了劉微的“割圓術(shù)"（即圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)不斷增加，它的周

長就越接近圓周長），他們從圓內(nèi)接正六邊形算起，一直算到內(nèi)接正24576邊形，將圓周率精確到小數(shù)點后

七位，使中國對圓周率的計算在世界上領(lǐng)先一千多年.依據(jù)“割圓術(shù)"，由圓內(nèi)接正六邊形算得的圓周率的近

似值是.

10.如圖，AB,AC,AD分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊.若筋=4,有下面三個結(jié)

論，①該圓的半徑為4；②BC=C￡＞；③圖中陰影部分的周長為40+4+§,其中正確結(jié)論的序號是

11如圖，內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH,若VADE的面積為12,則正八邊形ABCDEFGH的面積為

12.如圖，菱形ABCD中/ABC=60。，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，若BC=2,則圖中陰影部分的

面積為.(結(jié)果保留兀)

AD

三、解答題

13.如圖，在二。的內(nèi)接正八邊形ABCDEFG〃中，AB=2,連接DG.

A____//

T--------------

DE

⑴求證DG〃AB；

⑵DG的長為______.

14.(1)解方程：X2-X-2=0.

1(2)如圖，正六邊形ABCDE尸內(nèi)接于O,半徑“=4,求邊心距OM的長.

"------7

B'------々

15.如圖，AB,AC,AD分別是某圓內(nèi)接正六邊形、正方形、等邊三角形的一邊.若AB=2,

B

AD

(1)弧AC的長為；

(2)連接BC,CD,則ABC與ACD的面積比為.

16.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O.

⑴若P是CO上的動點，連接3尸,小，求/出步的度數(shù);

(2)己知△ADF的面積為2+.

①求NZMF的度數(shù)；

②求。的半徑.

17.如圖，五邊形ABCDE是半徑為R的圓內(nèi)接五邊形,P為粘的中點.求證：PAPB=R2-

⑴如圖1,如果AC=80,求弦AC的長;

(2)如圖2,如果E為弦2。的中點，求tan/鉆。的值;

(3)連接3C,CD,DA,如果3C是：。的內(nèi)接正”邊形的一邊，CD是.。的內(nèi)接正("+4)邊形的一邊,

求.ACD的面積.

19.如圖1,平行四邊形ABCD中，AB1AC,AB=6,AD=10,點P在邊AD上運動，以P為圓心，力為半徑

的OP與對角線AC交于A，E兩點.

(1)如圖2,當(dāng)OP與邊CD相切于點F時，求AP的長;

(2)不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP與邊CD相切時，OP與平行四邊形ABCD的邊有三個公共點，隨著AP的變化，OP

與平行四邊形ABCD的邊的公共點的個數(shù)也在變化，若公共點的個數(shù)為4,直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取

值范圍.

圖1

正多邊形拓展運算的4種壓軸題型全攻略

城S

【考點導(dǎo)航】

【典型例題】..................................................................................

【考點一正多邊形中邊心距的計算】.......................................................

【考點二正多邊形邊長的計算】............................................................

【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】......................................................

【考點四正多邊形應(yīng)用的拓展提高】........................................................

【過關(guān)檢測】..................................................................................

戶】

【典型例題】

【考點一正多邊形中邊心距的計算】

【例題1】如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于【。，若正六邊形的周長是12,則它的邊心距為（）

,V2C.6D.26

【答案】c

【分析】連接04、0B,過。作0GLAB于點G,根據(jù)正六邊形的特點得到408=60。，AB=2,進而

ZAOG=-ZAOB=30°

證明nQAB是等邊三角形，則。4=AB=2,2,據(jù)此可得答案.本題考查的是正多邊

形和圓，等邊三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接04、0B,過。作OGLAB于點G,則/AGO=90。，如圖所示,

多邊形ABCDEF是正六邊形，正六邊形的周長是12,

..ZAOB=60°,48=2,

OA=OB,

OR是等邊三角形,

ZAOG=-ZAOB=30°

._OA=AB=2,2

=cosZAOG=cos30°

AO

OG=AOcos30°=2x^=6

2

故選：C.

【變式1】如圖,正六邊形至CD所內(nèi)接于O,過點。作OMLBC于點/W,若匚。的半徑為4,則邊心

距的長為.

【答案】2君

【分析】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，連接O&OC.先證明△03C

是等邊三角形，求出BC、BM,再根據(jù)勾股定理求出0M.

【詳解】解：如圖，連接°以℃.

六邊形ABCDEF是正六邊形,

NBOC=60°,OB=OC=4

...△OBC是等邊三角形，

:.BC^OB=OC^4,

1."OMYBC,

:.BM=CM=2,

在RtAOBM中，OM=y)OB2-BM2=742-22=273,

故答案為：2道.

【變式2】已知正方形AHOG與正六邊形MCDEF都內(nèi)接于圓。，若正方形邊長為0,則=

C-1

【答案］二-

【分析】連接A。，0E、OF,OG,設(shè)°G與即交于點N,根據(jù)勾股定理求出

AD=y/AG2+DG2==2OE=OF=OG=OA=-AD=1

，得出2，證明△OAF為等邊三角形,

得出ZOAF=60。，AF==1,證明E尸〃AO,得出ZGMN=ZGAD=45°,利用垂徑定理得出OG工所,

NF=-EF=-ON=y/OF2-NF2=—

22,根據(jù)勾股定理求出2,證明GMN為等腰直角三角形，得出

MN=GN=1~—

2,求出結(jié)果即可.

【詳解】解：連接A。，OE、OF,OG,設(shè)0G與E尸交于點N,如圖所示:

四邊形AHDG為正方形，

...ZAGD=9Q°,AG=DG,

AD=7AG2+DG2=J（可+（何=2

.??人。為【。的直徑,

OE=OF=OG=OA=-AD=1

.-.2,

360°

ZAFE=ZBAF=180°--------=120°

正六邊形郎中6

360°

ZAOF=ZEOF=——=60°

6,

.；OF=OA,

??.AOA尸為等邊三角形，

,NOAF=60。，AF=OA=19

...六邊形ABCDEF為正六邊形，

，EF=AF=lf

,.,ZEFA+ZFAO=180°，

...EF//ADf

,,,NGMN=NGAD=450，

■■AG=DG,AF=DE,

...AG=OG,AF=DE

,.,GF=GE，

NF=-EF=-

...OGLEF,22,

,.?NGNM=ZOMF=90°，

ON=y/OF2-NF2=—

2

GN=OG-ON=1~—

2

.；/GNM=9Q°,ZGMN=45°,

...GMN為等腰直角三角形,

MN=GN=\-立

故答案為:2

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正六邊形的性質(zhì)，等邊三角

形的判定和性質(zhì)，等腰直角的三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)和判斷.

【變式3］如圖，正六邊形內(nèi)接于口。，O半徑為4.

(1)求正六邊形的邊心距.

⑵求正六邊形ABCDER的面積.⑴求正六邊形的邊心距.

⑵求正六邊形至CDEF的面積.

【答案】(1)正六邊形的邊心距為2出；

(2產(chǎn)6.

【分析】本題考查了正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

(1)連接℃、0D,過點。作CWCD于“，證明△COD等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解;

(2)根據(jù)正六邊形ABCDEF的面積=64c“即可求解；

【詳解】(1)連接℃、OD,過點。作加工CD于“，則NOHC=/°/TO=90。，

E/_3

六邊形ABCDEF是正六邊形，

:.NCOD=60°

.-.ZCOH=30°,為等邊三角形，

—=cosZCOH=cos30°

,.,OC,CD=OC=4,

.?.圓心O至U8的距離OH=4Xcos30°=2石，

即正六邊形的邊心距為2道；

=6Srnn=—x4x2^/3x6=24A/3

(2)正六邊形ABCDEF的面積-2.

【考點二正多邊形邊長的計算】

【例題2】如圖，已知圓的內(nèi)接正九邊形的半徑為R,則正九邊形的邊長為()

A.2Hsin20,B.27?sin40°C.2Acos200D.27?cos40°

【答案】A

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用及正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解

BD=CD=-BC

答此題的關(guān)鍵，過點。作加上3C,則2，根據(jù)正多邊形求出角度，解直角三角形即可得

到結(jié)論.

此多邊形是正九邊形，

360°

/.ZCOB=——=40°

9,

ZBOD=-ZBOC=20°

2,

在RtABDO中，

BD=OBsinZBOD=Rxsin20°,

.\BC=2BD=2Rsin200

故選：A.

【變式1】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。、E為BC上一點,連接3ECE,若NCBE=15。,BE=5,則正

方形ABCD的邊長為.

【分析】連接AO,2O，E°,由圓的性質(zhì)可得。4=OB=°E,再由圓內(nèi)接正四邊形的性質(zhì)以及/CBE=15。,

/OBC=45°,進而證得是等邊三角形，得到OB=BE=5,根據(jù)勾股定理求出AB,即可求解.

【詳解】解：連接AO,50,石°,如圖:

...正方形ABCD內(nèi)接于圓0,

,\OA=OB=OE.

360°

ZAOB=——=90°,AB=BC,

4ZABC=90°,

ZOBC=ZABC-AOBA=45°,

?ZCBE=15°,

/./OBE=ZOBC+ZCBE=60°,

。跖是等邊三角形,

:.OB=BE=5

:.OA=5,

AB=yJo^+OB2=50,

正方形甌D的邊長為5a,

故答案為：5E.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是證得一。旗

是等邊三角形.

【變式2】如圖.在RtzMBC中，ZC=9O°,BC=3cm,AC=^cm,。。為RtAABC的內(nèi)切圓，切點為。、E、

F,則。。的半徑為（）

A.2cmB.lcmC.2cmD.2cm

【答案】B

【詳解】連接OD、OE、OF,

?■?OO為AABC的內(nèi)切圓，

???AD=AE,BD=BF,CE=CF,OE1AC,OF1BC,即NOFC=NC)EC=90°,

?2C=90°,

四邊形CEOF是矩形，

?.?OE=OF,

.??四邊形CEOF是正方形，

設(shè)O。的半徑為rem,貝l|FC=EC=OE=rcm,

在RtZ^ABC中，zACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,

...AB=』AC~+BC~=5cm,

vAD=AE=AC-EC=4-r,BD=BF=BC-FC=3-r,

?1-4-r+3-r=5,

解得r=l,即。0的半徑為lcm,

故選B.

【變式3】如圖，正.ABC外接圓的半徑為2,求正ABC的邊長，邊心距，周長和面積.

【答案】正AABC的邊長為26，邊心距為工，周長為66，面積為36

【分析】如圖：連接延長A0交BC于D,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出,

BD=CD=-BC,ZOBD=30°

2,進而求得°。；再根據(jù)勾股定理求出8。，即可求出BC,進而求得周長和

面積.

【詳解】解：如圖：連接°旦0A,延長A。交于D,

...正口ABC外接圓是【O,

AD1BC,BD=CD=-BC,ZOBD=-ZABC=1x60°=30°

...222,

OD=OB=—OB=—x2=1

邊心距22,

BD2222

由勾股定理得：=^OB-OD=V2-l=V3；

...三角形邊長為23。=2g,AD—AO+OD=2+1=3,

r--BC-AD=-x2^x3=3V3

.-.ASC的周長是3BC=3x2代r=6g；AfiC的面積是22

【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識

點，正確作輔助線后求出的長是解題的關(guān)鍵.

【考點三正多邊形中有關(guān)面積的計算】

【例題3］如圖，已知在。0中，AB=4g，AF=6,AC是直徑，AC1BD于F,圖中陰影部分的面積是（）

-7T-2y[3—7T-2yj3-^--4^3—^--473

A.3B.3C.3D.3

【答案】D

【分析】利用勾股定理求得BD=2BF=4>/3,連接OB、OD、BC,先求得NABC=90。，進而根據(jù)射影定理求得

FC=2,從而求得直徑的長，根據(jù)余弦函數(shù)求得NBAF=30。,進而得出NBOD=120。,最后根據(jù)S陰影=S扇形-SZ\BOD

即可求得陰影的面積.

【詳解】解：「AC是直徑,AC1BD于F,

.-.BF=DF,BC=DC,

???ZBAC=ZDAC,

在RTAABF中，BF=^AB2-AF2=2百

...BD=2BF=45

連接OB、OD、BC,

vAC是直徑,

.■?ZABC=90°,

.-?BF2=AF?FC,即（2后）2=6FC,

???FC=2,

二直徑AC=AF+FC=6+2=8,

???OO的半徑為4,

vAB=4^3,AF=6,

6

cosZBAF=---

AB4A/3-2

.-.ZBAF=30°,

.-.ZBAD=60°,

.-.ZBOD=120°,

vOC=4,FC=2,

/.0F=2,

-興氏2號一班

.s陰影二s扇形一S,

故選擇：D.

【點睛】本題考查了垂徑定理，扇形的面積、及直角三角函數(shù)和勾股定理等知識，難度適中.

【變式1】如圖，CD為0直徑，。。，45于點尸，AOJ_BC于E,AO^lcm,則陰影部分的面積為（）

【答案】A

【分析】連接0B,由垂徑定理可得NAOD=NBOD,利用等量代換求出NC的度數(shù)，進而求出OF、AF、AB的

長度，根據(jù)S陰影=S扇形人。8-54人。8計算即可.

【詳解】連接0B,

???CD1AB,CD為直徑，

；.AF=BF,AD=BDI

/.ZAOD=ZBOD,

vZAOD=ZCOE,

.,.Z.BOD=ZCOE,

vZB0D=2ZC,

.,.ZC0E=2ZC,

vAOlBC,

.-.ZOEC=90°,

.-.ZCOE=60°,

.-.ZAOF=60°,

.-.ZOAF=30°,ZAOB=120°,

???OF=2cm,AF=2cm,

.■?AB=^cm,

120;rxl2IJ￡73

??.S陰影=S扇形AOB-Sz^AOB=360-2xV3x2=(3-4)cm2.

故選A.

【點睛】本題主要考查垂徑定理以及圓周角定理，求不規(guī)則圖形的面積一般采用割補法.

【變式2】如圖，正方形ABCD的邊長為4,以BC為直徑的半圓交對角線AC于點E,則陰影部分的面積是

A.16-2萬B.16—71C.8—27rD.8-7T

【答案】D

【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，利用三角形筋。的面積減去扇形0防的面積即可得出結(jié)果.

【詳解】解一?正方形ABCD,邊長為%

,AB=BC=4,ZABC=90°,ZACB=45°

???以5c為直徑的半圓交對角線AC于點E,

OE=OC=OB=LBC=2

2

?/CEO=45。

...ZEOC=90°,

.ZBOE=90°

1/90萬-2o

???陰影部分的面積一S枷"彩BOE=—x4x44-------x2=8一%

2360

故選：D.

【變式3】如圖，半圓。的直徑A8為10,點C、。在圓弧上，連接AC、BD,兩弦相交于點E.若CE=BC,

則陰影部分面積為（）

C.L*525

D.—71-----

2222

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角和弧之間的關(guān)系，扇形的面積，連接°D、OC,根據(jù)CE=BC,

得出/￡>3C=/C￡B=45°,得出“OC=90°,根據(jù)S陰影=S扇形一5口?；鸺纯汕蟮?

【詳解】連接°。、℃,

C

AB

A3是直徑，

ZACB=90°t

?:CE=BC,

:.ZDBC=ZCEB=45°,

???OC的度數(shù)為90°,

ZDOC=90°,

ac_90^X521<-2525

?.S陰影=S扇形ODC=—^-------X5x5=—7T-—

故選：B.

【考點四同底數(shù)幕乘除法應(yīng)用的拓展提高】

【例題4】"割圓術(shù)"是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)的計算圓周率的方法："割之彌細(xì)，所失彌少，割之

又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"，即隨著邊數(shù)增加，圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓，進而

可以用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似表示圓的面積.設(shè)圓的半徑為R,則由圓內(nèi)接正十二邊形算得的圓周率

D.3.141

【答案】B

【分析】過點A作求出帥C的面積，再表示出正十二邊形的面積，最后根據(jù)可以用圓內(nèi)接正

多邊形的面積近似表示圓的面積即可求解.

【詳解】解：如圖，A2是正十二邊形的一條邊，點c是正十二邊形的中心,

過點A作

NACB=^^=30°

則12AC=BC=R,

:.AD=-AC=-R

22,

111R2

:.S,=—AD-BC=—又一RxR=—

aAABRCr2224

2

R2,

12S,BC=12x—=37?

正十二邊形的面積為4

:圓的面積為兀叱，

3R2=TIR2

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式1】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，"周三徑一"不是圓周率值，實際

上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）.劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的

周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立"割圓術(shù)"，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,

六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點G為的中

點，連結(jié)8G,CRBG交CP于點P,若CP=6-1,則尸G的長為（）

【答案】A

【分析】設(shè)正六邊形MCD￡尸的外接圓的圓心為0,連接。A、OB、0G、0D,則NCO/=180。，所以

ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°

心。在CP上，由點6為8的中點，得2，可求得/GCP=75。，由BOC是

等邊三角形，得/℃8=60°,則/CBG=15。，所以/GPC=NGCP=75。，則PG=CG,作P/LCF交BC

于點I,則/P/C=30°,所以/3B=/CBG=15。，則C/=2G-2,8/=P/=3-追，于是得CO=3C=^+1,

CPCG______

再利用CGPsCOG,得CG-CO,則尸G=CG=J"C0,即可求得答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)正六邊形的外接圓的圓心為0,連接。4、OB、OG、0D.

ZA0F=ZA0B=ZB0C=NC0D=-x360°=60°

6

/CGP=-xNBOC=30°

.../CO產(chǎn)=3x60°=180°,2

二圓心在CF上,

...點G為CD的中點，

ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°

.2

.：OC=OG,

■:OB=OC,N3OC=60°,

80c是等邊三角形.

,.,ZOCB=60°，

ZCBG=-ZCOG=15°

.?.2,

,.?Z.GPC=ZOCB+ZCBG=75°=Z.GCP，

,.,PG=CG，

作尸/,CF交5c于點i,貝ij/CP/=90°,

...ZP/C=90°-60°=30°,

..CP=V3-1,

.C/=2CP=2x（百—l）=2g—2

...ZIPB=ZPIC-ZCBG=15°=ZCBG,

BI=PI=^CI2-CP2=J（2CP）2-CP2=V3CP=^X（V3-1）=3-V3

ACO=BC=2A/3-2+3-V3=V3+1

...ZCGP=ZCOGf/PCG=NGPO,

CP_CG

.CGPsCOG.'CG~~CO

??f??，

PG=CG=y/CPCO=百+1）=V2

故選:A.

【點睛】本題重點考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中30°角所對的

直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題

的關(guān)鍵.

【變式2】我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年攥《九章算術(shù)注》中指出，"周三徑一"不是圓周率值，實際

上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖1）.劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時，多邊形的

周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立"割圓術(shù)"，為計算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法.如圖2,

六邊形尸是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個圓內(nèi)接正十二邊形，點G為。的中

點，連結(jié)8G,CRBG交C尸于點P,若二1,則PG的長為（）

【答案】B

【分析】設(shè)正六邊形MCD跖的外接圓的圓心為0,連接。4、OB、0G、0D,則/C0口=3x60。=180。，

ZCOG=ZDOG=-ZCOD=30°

所以圓心0在W上，由點G為CD的中點，得2,可求得NGCP=75。，由

NCBG=-ZCOG=15°

BOC是等邊三角形,得NOCB=60。，則2，所以NGPC=/GCP=75。，則PG=CG,

作PIJ_CF交BC于點則ZP/C=30°,所以ZIPB=NCBG=15。,則

CO=BC=^^-CPCG

CI=2CP=若一1,BI=PI=y[3CP=

2,于是得2,再證明：CGPsCOG,得CGCO,

PG=CG=y/CPCO=—

則2,于是得到問題的答案.

【詳解】解：如圖2,設(shè)正六邊形至CD跖的外接圓的圓心為0,連接。4、OB、OG、OD,

(ffl2)

ZAOF=ZAOB=ZBOC=ZCOD=-x360°=60°

6

ZCOF=3x60°=180°,ZCGP=-ZBOC=30°

???圓心O在cv上,

??,點G為CO的中點，

ZCOG=NDOG=-ZCOD=30°

2,

QOC=OG,

ZGCP=ZOGC=|x(180°-30°)=75°

；OB=OC,ZBOC=60°

???BOC是等邊三角形，

ZOCB=60°

■■ZCBG=-ZCOG=15°

2

:.Z.GPC=NOCB+Z.CBG=75°=NGCP,

\PG=CG,

作P/J_CF交BC于點i,則/CP/=90。，

ZPIC=90°-60°=30。,CP=

2,

ZIPB=ZPIC-NCBG=15。=NCBG,CI=2CP=2x-——=g-1

2,

BI=PI=VCZ2-CP2=?2CP)2-CP?=6cp=&

,rnRrA1+3-V36+1

22,

?;ZCGP=/COG,ZPCG=ZGPO

.?.CGPsCOG,

CPCG

：.CG=cd,

D「rrImmly/3—l~~A/3+10

PG=CG=7CP?CO=J-------x--------=——

,.?V222，

故選：B.

【點睛】此題重點考查正多邊形與圓、圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中3?！憬撬鶎Φ?/p>

直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題

的關(guān)鍵.

【變式3】大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學(xué)家"，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學(xué)

者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.一個巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF,如圖

所示，若邊心距0河=石mm,則這個正六邊形的面積是mm2.

【答案】6也

【分析】連接08,℃,證明BOC為等邊三角形，得出03=3C=℃,根據(jù)勾股定理求出

=（石）SBOC=—BCOM=—x2x73=

（2）,得出30=2,求出22V,得出六邊形的面積

即可.

【詳解】解：連接08,℃,如圖所示:

???六邊形MCD跖是正六邊形,

0B=0C,

??.50c為等邊三角形,

,.,0B=BC=0C，

BM=MC=-BC/BOM=-/BOC=30°

f22

BM=-BO

2.

222

根據(jù)勾股定理得：BO-BM=OMt

解得：30=2,負(fù)值舍去,

...BC=BO=2mm,

2

S.]B0C=|BC-OM=1x2xV3=V3（mm）

q66mm之

?2六邊形ABCDE尸=6sB0C=

故答案為：6G.

【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積計算，解答本題

的關(guān)鍵是明確正六邊形的特點.

【過關(guān)檢測】

1.如圖，四邊形ABCD為的內(nèi)接正四邊形，AAEF為。。的內(nèi)接正三角形，若DF恰好是同圓的一個內(nèi)

接正n邊形的一邊，則n的值為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】連接AC，°n°b,先根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得點。在AC上，且AC是NR4D和/EA歹的

ACAD=-/BAD=45°,ZCAF=-ZEAF=30°

角平分線，從而可得22,再根據(jù)角的和差可得/04尸=15。，然

后根據(jù)圓周角定理可得產(chǎn)=2/加=30。，最后根據(jù)正多邊形的性質(zhì)即可得.

【詳解】解：如圖，連接ACOROJ

...四邊形ABC。為。的內(nèi)接正四邊形，△出為1°的內(nèi)接正三角形,

.?.點0在AC上，且AC是/BAD和/胡尸的角平分線，ZBAD=90°,ZEAF=60°；

ACAD=-/BAD=45°,ZCAF=-ZEAF=30°

22,

ZDAF=ZCAD-ZCAF=15°,

:.ZDOF=2ZDAF=30°,

。/恰好是圓。的一個內(nèi)接正〃邊形的一邊,

故選：D.

【點睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形、圓周角定理等知識點，熟練掌握圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.如圖，點A,B,C在。上，若BC,AB,AC分別是：。內(nèi)接正三角形.正方形，正“邊形的一邊,

A.9B.10C.12D.15

【答案】C

360。

【分析】分別連接OB、OA、OC,根據(jù)正多邊形的中心角=丁，可分別求得NBOC、NAOB的度數(shù)，從而可

360。

得NAOC的度數(shù)，再根據(jù)正多邊形的中心角=”,可求得邊數(shù)n.

【詳解】分別連接OB、OA、OC,如圖所示

???8C是1°內(nèi)接正三角形的一邊

.?.NBOC=3

同理，可得：ZAOB=90°

??.ZAOC=Z.BOC-ZAOB=30°

...AC是：。正〃邊形的一邊

亞=3。。

n

.，?n=12

故選：C.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的中心角=?,掌握這一知識是解決本題的關(guān)鍵.

3.如圖，AB是。的直徑，將弦AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30。得到AD,此時點C的對應(yīng)點。落在4B上,

延長CD,交：O于點、E,若CE=2,則圖中陰影部分的而積為（）

【答案】C

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積的計算，連接°E、

℃、BC,推出△EOC是等腰直角三角形，再由$陰影=$扇形。EC-S^EC,進行計算即可得出答案，熟練掌

握扇形面積的計算公式是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接°E、℃、BC,

由旋