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文檔簡介

解直角三角形

(壓軸必刷30題5種題型專項訓練)

一.解直角三角形(共1小題)

I.(2023春?蕭山區(qū)期中)如圖,在△N3C中,CD是邊N8上的中線,是銳角,sinB=1,taM=工,

AC=y[S>

(1)求的度數(shù)和N8的長.

(2)求tan/CDB的值.

二.解直角三角形的應用(共18小題)

2.(2023?婺城區(qū)模擬)如圖1是小鳥牙簽盒實物圖,圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側面示

意圖,D、E為連接桿42上兩個定點,通過按壓點比連接桿繞點£旋轉,從而帶動連接桿。尸上

升,帶動連接桿FH與尸G繞點G旋轉,致使牙簽托盤印向外推出,在取牙簽過程中固定桿EG位置不

7cm,ZHFG=46°與/B=90°,桿長與桿長之間角度大小不變,已知,牙簽盒在初始狀態(tài),D、H、F

三點共線,在剛好取到牙簽時,E、H、G三點共線,且點C落在線段印上,(參考數(shù)據(jù):tan23°=互)

(1)從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時,牙簽托盤印在水平方向被向外推出<

(2)鳥嘴的長為cm.

圖1圖2

3.(2023?溫州模擬)如圖1是一張乒乓球桌,其側面簡化結構如圖2所示,臺面48=274c〃?(臺面厚度忽

略不計)與地面平行,且高度為76cHz(臺面與地面之間的距離),直線型支架PE與。尸的上端E,

廠與臺面AS下方相連,PE與。尸的下端P,0與直徑為4c加的腳輪(側面是圓)相連(銜接之間的距

離忽略不計),直線型支架CG與D"的上端C,。與臺面N8下方相連,下端G,H與PE,0尸相連,

圓弧形支架G77分別與PE,°尸在點G,,相連,MPCLAB,QD±AB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,

CE=DF,已知環(huán)=106cm,空■=S,tanZECG=tanZFDH=旦,貝?。軨G的長度為

CE93

cm,當由所在的圓經過點尸、0時,諭所在的圓的圓心到臺面N8之間的距離為cm.

圖1圖2

4.(2023?鹿城區(qū)校級二模)如圖1,是一種購物小拉車,底部兩側裝有軸承三角輪,可以在平路及樓梯上

推拉物品.拉桿固定在軸上,可以繞連接點旋轉,拉桿,置物板,腳架形狀保持不變.圖2,圖3為購物

車側面示意圖,拉桿。尸,DE,DP=24cm,cn,QA,QB,OC的半徑均為4cm,O為三角

3

輪的中心,OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZAOC.如圖2,當輪子08,0c及點G都放置在水平地

面印時,。恰好與。力的最高點重合.此時,D的高度為20CM則ON=cm;如圖3,拉動OP,

使輪子ON,QB在樓梯表面滾動,當OA//HL且8,O,。二點共線時,點G與8的垂直高度差為

5.(2023?金華模擬)如圖1是一款重型訂書機,其結構示意圖如圖2所示,其主體部分為矩形跖GH由

支撐桿CD垂直固定于底座48上,且可以繞點。旋轉.壓桿與伸縮片尸G連接,點M在//G上,

MN可繞點M旋轉,PGLBC,。尸=8厘米,不使用時,EF//AB,G是尸尸中點,tan/PMG=g,且點

4

。在M0的延長線上,則GB的長為_______厘米;使用時如圖3,按壓使得此時點尸落

在45上,若CD=2厘米,則壓桿MN到底座AB的距離為______________________厘米.

6.(2023?金東區(qū)一模)如圖1為某小區(qū)出入口柵欄道閘,BE,C廣為柵欄道閘的轉動桿,上面有10根等間

距的豎桿,未抬起時與地面保持水平,豎桿豎直地面,在道閘抬起時最大旋轉角度為70°,為門墻,

BE=CF=3.1m,AD=1,2m,AB=CD=0.2m,轉動桿外端E,尸距離桿G”與門墻MV均為0.1加,左側

9根豎桿底部離地面均為0.1%(sin70°=0.94,cos70°20.34,tan70°-2.75)

(1)如圖2,當?shù)篱l轉動30°抬起時,第五根豎桿的底端尸到地面的距離為;

(2)現(xiàn)有一輛貨車進小區(qū)裝貨,已知貨車寬22”,貨車進出需保持與門墻0.2加的安全距離,該貨車安

全進出小區(qū)的離地高度不得超過m.

圖1圖2|

7.(2023春?柯城區(qū)校級月考)如圖是一種手機三腳架,它通過改變鎖扣C在主軸N8上的位置調節(jié)三腳架

的高度,其它支架長度固定不變,已知支腳?!?/瓦底座BGLAB,MCD=BG,尸是上

的固定點,且£/:DF=2:3.

(1)當點B,G,E三點在同一直線上(如圖1所示)時,測得tan/BED=2.設BC=5a,則FG=

(用含。的代數(shù)式表示):

(2)在(1)的條件下,若將點C向下移動24cm,則點瓦G,尸三點在同一直線上(如圖2),此時點

A離地面的高度是cm.

8.(2022?鹿城區(qū)校級開學)“曲柄搖桿機構”是一種運動零件.圖1是某個“曲柄搖桿”的示意圖,它由四

條固定長度的線段組成,其中是靜止不動的機架,4D是繞/做圓周運動的曲柄,5c是繞3上下擺

動的搖桿,CD是連結和2C兩個運動的連桿,A,B,C,。始終在同一平面內.已知4B=8C=5.當

D運動到圖2位置時,記AB,CD的交點為E,現(xiàn)測得ADLBC,AD=DE,tanZDAE=^-,貝UCD

4

=.圖2之后,。繞/繼續(xù)運動,當C再次回到圖2位置時(如圖3),則此時

曲柄搖桿”所圍成的四邊形的面積為.

圖1圖2圖3

9.(2021?義烏市模擬)如圖1是一張雙擋位可調節(jié)靠背椅,擋位調節(jié)示意圖如圖2.兩腳N8,/C以及靠

背DE,座位FG,其中。,廠分別為NC,£史上固定連接點,G尸在點/上移動實現(xiàn)靠背的調節(jié),DC=

4AD,EF=4DF,已知N8=NC=Z)£=50分米,tan//8C=2.

(1)當G/〃3C時,點£離水平地面8c的高度為分米.

(2)當靠背DE'_L/C時,有G'E'//BC,則G尸的長為分米.

10.(2021?永嘉縣校級模擬)圖1是上下都安裝“摩擦錢鏈”的平開窗,滑軌固定在窗框,托懸臂C尸

安裝在窗扇.A,D,E分別是MN,CF,/D上固定的點,>BC^DE.當窗戶開到最大時,CFLMN,

且點C到上W的距離為10cm,此時主軸4D與MN的夾角ND/N=45°.如圖2,窗戶從開到最大到關

閉(CF,AD,BC,BE與MN重合)的過程中,控制臂2C,帶動上的滑塊2向點N滑動了20點

11.(2021?溫州三模)如圖是一款利用杠桿原理設計的平衡燈,燈管N2與支架祛碼桿NC均成120。

角,且4B=40ca,AC^lScm,AD6cm,底座是半徑為2c機的圓柱體,點尸是杠桿的支點.如圖1,

若祛碼E在端點C時,當杠桿平衡時,支架ND垂直于桌面,則此時垂直光線照射到最遠點M到支點尸

的距離尸初為cm.由于特殊設計,燈管的重力集中在端點2,祛碼桿重力集中在

祛碼E上,支架/。的重力忽略不計,由杠桿原理可知,平衡時重力保持垂直水平桌面向下,且GI"2=

G2"l,如圖2.為了使得平衡時祛碼桿與桌面平行,則祛碼K到離/點的距離為cm.

12.(2021?瑞安市模擬)如圖1為溫州樂園的游樂設施一摩天輪與飛天梭.當摩天輪一座艙/與飛天梭高

度相同時(如圖2),另一座艙8恰好位于摩天輪最低點;當座艙/順時針旋轉至與飛天梭相同高度的

N'點時,座艙8旋轉至點夕.此時地面某觀測點尸與點4,圓心。恰好在同一條直線上,且sin/4PC

=回,已知摩天輪的半徑為32米,則點8,8間的距離為米;現(xiàn)又測得

8

ZB'PC,則點方距離地面的高度為米.

13.(2021?瑞安市開學)如圖,在河對岸有一等腰三角形場地EFG,FG=EG,為了估測場地的大小,在筆

直的河岸上依次取點C,D,B,A,使尸CdJ,BGVl,EALI,點、E,G,。在同一直線上,在。觀測下

后,發(fā)現(xiàn)/FDC=NEDA,測得CD=12米,。3=6米,/8=12米,則尸G=米.

DB

14.(2023?鹿城區(qū)校級二模)根據(jù)以下素材,探索完成任務.

探究遮陽傘下的影子長度

素材1圖1是某款自動旋轉遮陽傘,傘面完全張開時張角呈180°,圖2是其側面示意圖.已知

支架N8長為2.5米,且垂直于地面8C,懸托架4E=Z)£=0.5米,點E固定在傘面上,

且傘面直徑。廠是DE的4倍.當傘面完全張開時,點。,E,尸始終共線.為實現(xiàn)遮陽效

果最佳,傘面裝有接收器可以根據(jù)太陽光線的角度變化,自動調整手柄。沿著N8移動,

以保證太陽光線與DF始終垂直.

素材2某地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角a(太陽光線與地面的夾角)參照表:

時刻12點13點14點15點16點17點

太陽高度907560453015

(度)

參考數(shù)據(jù):73^1.7,72^1.4.

素材3小明坐在露營椅上的高度(頭頂?shù)降孛娴木嚯x)約為1米,如圖2,小明坐的位置記為點

2.

問題解決

任務1確定影子長某一時刻測得BD=\J米.請求出此時影子GH的長度

任務2判斷是否照這天14點,小明坐在離支架3米處的Q點,請判斷此時小明是否會被太陽

射到光照射到?

任務3探究合理范小明打算在這天14:00-15:00露營休息,為保證小明全程不被太陽光照

圍射到,請計算80的取值范圍.

15.(2023?海寧市校級一模)小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1,紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱

圖形,其示意圖如圖2,已知40=2£=105?,CD=CE=5cm,AD.LCD,BELCE,NDCE=40°.

(1)連結DE,求線段DE的長.

(2)求點4,8之間的距離.

(結果精確到0.1c加.參考數(shù)據(jù):sin20°-0.34,cos20°~0.94,tan20°-0.36,sin40°=0.64,cos40°

圖1圖2

16.(2022春?龍游縣月考)如圖(1)是一種簡易臺燈,在其結構圖(2)中燈座為△NBC(8C伸出部分不

計),/、C、。在同一直線上.量得N/C3=90°,//=60°,AB=16cm,ZADE^135°,燈桿CD長

為40cm,燈管DE長為15cM.

(1)求。E與水平桌面G48所在直線)所成的角;

(2)求臺燈的高(點£到桌面的距離,結果精確至U0.1c加).

(參考數(shù)據(jù):sinl5°=0.26,cosl5°=0.97,tanl5°=0.27,sin30°=0.5,cos30°=0.87,tan30°=0.58.)

17.(2022?邦州區(qū)校級模擬)圖1是某小區(qū)入口實景圖,圖2是該入口抽象成的平面示意圖.已知入口8。

寬3.9米,門衛(wèi)室外墻AB上的。點處裝有一盞路燈,點O與地面BC的距離為3.3米,燈臂(W長為

1.2米(燈罩長度忽略不計),ZAOM=6Q°.

圖1圖2

(1)求點M到地面的距離;

(2)某搬家公司一輛總寬2.55米,總高3.5米的貨車從該入口進入時,貨車需與護欄CD保持0.65米

的安全距離,此時,貨車能否安全通過?若能,請通過計算說明;若不能,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):V3

~1.73,結果精確到0.01米)

18.(2022春?普陀區(qū)校級月考)圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景,圖2是小明鍛煉時

上半身由EN位置運動到與地面垂直的E"位置時的示意圖.已知8c=0.64米,/。=0.24米,a=18°

(sinl8°-0.31,cosl8°心0.95,tanl8°心0.32)

(1)求48的長(精確到0.01米)

(2)若測得£N=0.8米,計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑的長度(結果保留TT)

圖1

19.(2023?南湖區(qū)校級一模)圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時,鐵

環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個游戲抽象為數(shù)學問題,如圖2.己知鐵環(huán)的半徑為25c%,設鐵環(huán)中心為。,

鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為鐵環(huán)與地面接觸點為ZMOA=a,且sina=a.

5

o

(1)求點M離地面NC的高度BM;

(2)設人站立點C與點”的水平距離/C=55cm,求鐵環(huán)鉤MR的長度.

三.解直角三角形的應用-坡度坡角問題(共5小題)

20.(2022?義烏市模擬)圖1是某折疊式躺椅的實物圖,圖2是靠背垂直地面時的側面展開圖,此時四邊形

/BCD是矩形,AB=20cm,AD=30煙cm,DE=60cm,BF=30cm.點、H在BC上,椅子的支撐桿NR

BG、CE分別繞3、H、D轉動并帶動4轉動,支撐桿ZK、不動.躺椅在轉動時:

(1)若直線跖過點J,當乙4DE=120°時,的面積是cm2.

(2)若工<tan/&)/<2,與地面的夾角為a,貝Utana的取值范圍是.

2

圖I圖2

21.(2023秋?甌海區(qū)期中)根據(jù)以下素材,探索完成任務

探究紙傘中的數(shù)學問題

素材1我國紙傘制作工藝十I

入C

分巧妙,如圖1,傘不

管是張開還是收攏,

4P是傘柄,傘骨42=

AC,且/£=匕8,p圖1

3

AF^^AC,。點為傘

3

圈,DE=DF.

A

素材2傘圈D能沿著傘柄滑

E(F)

動,如圖2是完全收

攏時傘骨的示意圖,D'

此時傘圈D滑動到

D'的位置,且/、P圖2

E、D'三點共線,測

得=50cm,AE

=2Qcm,傘完全張開

時/8/C=120°,如

圖1所示.(參考值:

7600^24.5)

素材3項目化學習小組同學

經過研究發(fā)現(xiàn):雨往-,^±k

町c

往是斜打的,且都是bc

平行的.如圖3,某一

天,雨線2M與地面夾

角為60°小明同學站

在傘圈。點的正下方

G處,記為GH,此NGM

時,發(fā)現(xiàn)身上被雨淋

濕,測得BN=

150cm.

問題解決

任務1判斷NP位置求證:NP是的角平分線.

任務2探究傘圈移動距離當傘從完全張開到完全收攏,求傘圈。移動的距離.

任務3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離________cm,使得人站在G處身上

不被雨淋濕.(直接寫出答案)

22.(2022?寧波模擬)21、由于發(fā)生山體滑坡災害,武警救援隊火速趕往災區(qū)救援,探測出某建筑物廢墟下

方點c處有生命跡象.在廢墟一側地面上探測點A,B相距2m,探測線與該地面的夾角分別是30°和

60°(如圖所示),試確定生命所在點C的深度.(參考數(shù)據(jù):72^1.414,百-1.732,結果精確到0.1

米)

30°

A

23.(2022?麗水一模)如圖是一座人行天橋的示意圖,天橋的高C3為10米,坡面C4的坡角為30°.為

了方便行人推車過橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面8的坡角為18。,若新橋腳前需留4米的人

行道,問離原坡腳15米的花壇是否需要拆除?請說明理由.

(參考數(shù)據(jù):sinZ8°"0.3090,cosZ8°20.9511,tan/8°心0.3249,&g1.414,心1.732)

24.(2023?義烏市校級模擬)圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時情景.

圖2是小明鍛煉時上半身由E"位置運動到與地面垂直的EN位置時的示意圖.

已知8c=0.64米,/。=0.24米,48=1.30米.

(1)求的傾斜角a的度數(shù)(精確到x);(參考數(shù)據(jù):sinl8°-0.31)

(2)若測得£N=0.85米,試計算小明頭頂由M點運動到N點的路徑訕的長度.(精確到0.01米)

四.解直角三角形的應用-仰角俯角問題(共4小題)

25.(2023?龍游縣校級一模)如圖,一座山的一段斜坡AD的長度為600米,且這段斜坡的坡度i=1:3(沿

斜坡從8到。時,其升高的高度與水平前進的距離之比).已知在地面8處測得山頂/的仰角為33。,

在斜坡。處測得山頂N的仰角為45°.求山頂N到地面3C的高度NC是多少米?(結果用含非特殊角

的三角函數(shù)和根式表示即可)

26.(2023?北侖區(qū)一模)如圖,為了開發(fā)利用海洋資源,某勘測飛機預測量一島嶼兩端/、8的距離,飛機

在距海平面垂直高度為100米的點C處測得端點/的俯角為60°,然后沿著平行于的方向水平飛行

了500米,在點D測得端點B的俯角為45°,求島嶼兩端/、B的距離(結果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):

在?1.73,41)

27.(2022春?余杭區(qū)月考)如圖,為了測出旗桿的高度,在旗桿前的平地上選擇一點C,測得旗桿頂部

/的仰角為45°,在C、8之間選擇一點。(C、D、8三點共線),測得旗桿頂部N的仰角為75°,且

CD=8m

(1)求點。到CA的距離;

(2)求旗桿48的高.

(注:結果保留根號)

D

28.(2021?寧波模擬)圖1是電腦液晶顯示器的側面圖,顯示屏N8可以繞。點旋轉一定角度,研究表明:

如圖2,當眼睛E與顯示屏頂端/在同一水平線上,且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角(即望向屏幕

中心P的視線EP與水平線E4的夾角)時,對保護眼睛比較好,而且顯示屏頂端/與底座C的連線/C

與水平線CD垂直時,觀看屏幕最舒適,此時測得/8CD=30°,ZAPE=90°,液晶顯示屏的寬N8為

34cm.

(1)求眼睛£與顯示屏頂端N的水平距離NE;(結果精確到1c機)

(2)求顯示屏頂端/與底座C的距離NC.(結果精確到la”)

(參考數(shù)據(jù):sinl8°心0.3,cosl8°七0.95,我心1.4,我”1.7)

圖1圖2

五.解直角三角形的應用-方向角問題(共2小題)

29.(2022?新昌縣校級模擬)如圖,一艘貨船在燈塔C的正南方向,距離燈塔257海里的/處遇險,發(fā)出

求救信號.一艘救生船位于燈塔C的南偏東40。方向上,同時位于4處的北偏東60°方向上的2處,

救生船接到求救信號后,立即前往救援.求AB的長.(結果取整數(shù))參考數(shù)據(jù):tan40。心0.84,?取

1.73.

30.(2022春?邦州區(qū)校級月考)某海域有/,8兩個港口,8港口在N港口北偏西30°方向上,距/港口

60海里,有一艘船從/港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達位于8港口南偏東75。方向的C

處,求該船與2港口之間的距離即CB的長(結果保留根號).

解直角三角形

(壓軸必刷30題5種題型專項訓練)

一.解直角三角形(共1小題)

I.(2023春?蕭山區(qū)期中)如圖,在△N3C中,CD是邊N8上的中線,是銳角,sinB=1,tag=L,

22

AC=正,

(1)求/B的度數(shù)和N8的長.

【分析】(1)作于E,設CE=x,利用//的正切可得到NE=2x,則根據(jù)勾股定理得到NC=

娓X,所以解得x=l,于是得到CE=1,AE=2,接著利用sirLB=YI_得到/8=45°,則

2

BE=CE=1,最后計算AE+BE得到AB的長,

(2)利用CD為中線得到工48=1.5,則。E=8Z>-2E=0.5,然后根據(jù)正切的定義求解.

2

【解答】解:(1)作CEL/2于E,設CE=x,

在RtAUCE中,:tan4=%=」

AE2

:?AE=2x,

AC=y]x2+(2x)2=娓x,

V5x=V5,解得x=l,

;.CE=1,AE=2,

在RtAiBCE'中,:sin5=亞.

2

AZ5=45°,

...△BCE為等腰直角三角形,

:.BE=CE=\,

:.AB=AE+BE=3,

答:N8的度數(shù)為45°,AS的值為3;

(2):CD為中線,

'.BD=—AB=\.5,

2

:.DE=BD-BE=L5-1=0.5,

即tanZCDB的值為2.

【點評】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.解

決此類題目的關鍵是熟練應用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義.

二.解直角三角形的應用(共18小題)

2.(2023?婺城區(qū)模擬)如圖1是小鳥牙簽盒實物圖,圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側面示

意圖,。、E為連接桿N3上兩個定點,通過按壓點比連接桿繞點£旋轉,從而帶動連接桿。尸上

升,帶動連接桿制與FG繞點G旋轉,致使牙簽托盤印向外推出,在取牙簽過程中固定桿EG位置不

變且。尸與EG始終平行,牙簽托盤印始終保持水平,現(xiàn)測得kG=F〃=1CM,EB=^cm,DF=EG=

13

7cm,ZHFG=46°與/B=90°,桿長與桿長之間角度大小不變,已知,牙簽盒在初始狀態(tài),D、H、F

三點共線,在剛好取到牙簽時,E、H、G三點共線,且點C落在線段印上,(參考數(shù)據(jù):tan23°=互)

12

(1)從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時,牙簽托盤印在水平方向被向外推出cm;

(2)根據(jù)全等三角形的性質得到8C=NC,再利用三角函數(shù)建立方程求得3C即可

【解答】解:(1)如圖2,牙簽盒在初始狀態(tài),D,H,尸三點共線,NHFG=46°,桿長與桿長之間角

度大小不變,F(xiàn)G=FH=\cm,

圖2

連接"G,過F作于。

:.ZGFO^—X46°=23°,HO=GO,

2

.?里=tan23。=2

OF12

設OG=5xcm,則OF=12xcm,

?*-FG=*\/OG2-K)F2=(。加),

:.FO=Ux=—cm,GH=^-cm,

1313

S?GH=/F0?HG=yHM-HF,

故答案為:儂

169

':FD//EG,DF=EG=7cm,

...四邊形DFGE是平行四邊形,

J.DE//FG,

,:NHFG=46°,桿長與桿長之間角度大小不變,F(xiàn)G=FH=\cm,

:.NFGH=NFHG=67°,

過歹作77kL于N,

:.ZGFN^—X46°=23°,HN=GN,

?.膽=tan23°=5

12

設NG=5xcm,則NF=12xcm,

."G=13x(cw),

,.NG=5x=A~cm,GH^^-cm,

1313

.*EG=7cm,

?口口―81

?EH-----cm,

13

:EB=^cm,EC=EC,

13

,.RtAEBURtAEHC(HL),

,.BC=HC,

CDE//FG,NFGH=67°,

?.ZGW=67°,

NM=23°,

Ztan23o=巨,/B=90°,ZEHM=90°,

__5_

12

設BC=HC=5xcm,則Affi=12xcm,

:.MC=13x(cm),

._EH__5_

,,京W

.^_12XEH_1iZ2X—1354

??JJi"---------二一,

181813

故答案為:54.

13

【點評】本題考查了解直角三角形的應用,平行線的判定,等腰三角形的性質,正確地作出輔助線是解

題的關鍵.

3.(2023?溫州模擬)如圖1是一張乒乓球桌,其側面簡化結構如圖2所示,臺面48=274cm(臺面厚度忽

略不計)與地面平行,且高度為76。“(臺面與地面之間的距離),直線型支架PK與0尸的上端E,

廠與臺面48下方相連,PE與。尸的下端P,0與直徑為4c加的腳輪(側面是圓)相連(銜接之間的距

離忽略不計),直線型支架CG與。X的上端C,。與臺面N2下方相連,下端G,H馬PE,0尸相連,

圓弧形支架G"分別與PE,°尸在點G,〃相連,PCLAB,QD1.AB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,

CE=DF,已知斯=106cm,空~="tan/ECG=tan/FZ?T=a,則CG的長度為6A/73cm,當

CE93——

福所在的圓經過點P、。時,徭所在的圓的圓心到臺面48之間的距離為133.5cm.

圖1圖2

【分析】過點G作GMLAB,交AB于點M.連接CP、GH、PQ.過圓心點O作OKLGH,交GH于點

K,交PQ于點N.根據(jù)已知條件求出CM、MG,由勾股定理計算CG的長度;由垂徑定理求得GK、PN,

由勾股定理和半徑相等列方程,求出ON,進而求出圓心到N8的距離.

【解答】解:過點G作GML48,交于點連接CP.

..eAB-EF274-106AC5

22CE9

/.CE=-AE=—X84=54(cm).

1414

XVCP=76-4=72(cm),

:.tanZCEP=^-=^-=^.

CE543

':tanZECG=^-=—,tanZCEP=—=—,

CM3ME3

.CM=1

"ME~2

:.CM^1-CE=^-X54=18(cm),MG^—CM=^-X18=48(cm),

3333

CG=VCM2+MG2=V182+482=6^73(cm).

點。為&所在圓的圓心.連接GH、PQ,過點。作OKLGH交GH于點、K,交PQ于點、N.

由垂徑定理,得GK=、GH=ME4EF=CE-CM+^EF=54-18+—X106=89(cm),

2222

PN=^-PQ=Acz)=A(EF+2CE)=—X(106+2X54)=107(cm).

2222

:.KN=CP-MG=12-48=24(cm).

':OP2^PN2+ON2,0G2=GK2+OK2,且OP=OG,

Pl^+ON2=Gf^+OK2,

尸解+。解=6爛+(KN+ON)2,即1072+02\^=892+(24+ON)2,解得ON=61.5.

CWK?P=61.5+72=133.5(cm).

.??加所在的圓的圓心到臺面N5之間的距離為133.5cm.

故答案為:6773-133.5.

【點評】本題考查垂徑定理及解直角三角形的應用,理解和靈活運用垂徑定理,并能夠熟練地解直角三

角形是解答本題的關鍵.

4.(2023?鹿城區(qū)校級二模)如圖1,是一種購物小拉車,底部兩側裝有軸承三角輪,可以在平路及樓梯上

推拉物品.拉桿固定在軸上,可以繞連接點旋轉,拉桿,置物板,腳架形狀保持不變.圖2,圖3為購物

車側面示意圖,拉桿。尸,DE,DF=24cm,FG=,。8cir,。出。。的半徑均為4。"?,。為三角

3

輪的中心,OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZAOC.如圖2,當輪子08,G)C及點G都放置在水平地

面印時,。恰好與的最高點重合.此時,D的高度為20cm,則OA=cm;如圖3,拉動OP,

使輪子04。8在樓梯表面滾動,當OA〃印,且B,O,。三點共線時,點G與8的垂直高度差為

cm.

【分析】如圖2,連接8C,延長NO交BC于J,作80_L〃G于0,由圓的半徑為4CM,得47=12CTM,

設04=0B=xcm,利用勾股定理即可求出。/長;作FS_LHG,求出。、G的水平距離,如圖3,設02

交08于K,連接KG,作GATL過8的水平線BM于M,交過K的水平線于N,在△KNG和△87?K中,

利用三角函數(shù),求出GN和87?,即可求出GM.

【解答】解:如圖2,連接8C,延長/。交8C于J,作20,8G于0,

,:D的高度為20cm,

?*AJ~~12c加,

設OA=OB=xcm,

.'.0J=12-x(cm),

?:OA=OB=OC,NAOB=NBOC=NAOC,

:.ZBOC=nO°,ZBOJ=60°,/OBJ=30°,

:.OB=2OJ,SPx=2(12-x),

/.x=8,即OA=Scm.

故答案為:8;

如圖2,作尸S_LHG,

.'.FS=20cm,

???5G=iyFG2_FS2=2^3_,

如圖3,設OB交OB于K,連接KG,作6W,過8的水平線8河于M,交過K的水平線于N,

圖3_

由圖2得KG=>尸+SG=24+20我(Cm),

3

':OA//KN,DF//KG,

:.ZBR4=ZOBM=120°,ZBKG=ZBDF=90°,

:.ZNKG=30°,

GN=1KG=12+J°V3(cm),

23

作2R_L3于尺,

:.NKBR=30°,

\"BK=4cm,

:.BR=4-cos30°=273(cm),

,:NM=BR,

:.GM=GN+NM=\2+1&如

3

故答案為:(12+16遍).

3

【點評】本題考查了解直角三角的綜合應用,準確找到三角形的邊角關系是解題關鍵.

5.(2023?金華模擬)如圖1是一款重型訂書機,其結構示意圖如圖2所示,其主體部分為矩形EFG8,由

支撐桿CD垂直固定于底座上,且可以繞點。旋轉.壓桿"N與伸縮片尸G連接,點/在8G上,

MN可繞點M旋轉,PGLBC,。尸=8厘米,不使用時,EF//AB,G是P尸中點,tan/PMG=3,且點

4

。在的延長線上,則GF的長為________厘米;使用時如圖3,按壓使得〃/瓦此時點尸落

在N8上,若CD=2厘米,則壓桿MN到底座AB的距離為__________________厘米.

H

N

【分析】延長MW,則2W過點。,根據(jù)tan/PMG=3和止=8可得Gb的長;過點P作PK_L4B于

4

K,可得/PFK=NCDF=/MPF,利用勾股定理可得W的長,最后利用三角函數(shù)可得答案.

【解答】解:如圖2,延長NM,則7W過點

/./PMG=/PDF,

tanZPDF=tanZPMG==—,

DF4

即里=旦,PF=6,

84

■:PF=6,

;.GF=^PF=3(厘米).

2

如圖3,過點尸作PKL/B于K,

9:MN//AB,

:.PK±MN,ZMPF=ZPFK,

VZDFP=ZDCF=90°,

???ZCDF+ZDFC=ZPFK+ZDFC=90°,

JZPFK=ZCDF=/MPF,

由圖2可得,PG=3,tanN尸MG=3,

4

:.MG=4(厘米),

RtzXDCF中,CFyjg2-22-2V15,

tanZCDF=tan/MPF=2T,

2PG

:.PG=-^=r

,PF"+3,

V15推

nu/7FPK

VsinZCDF=sinZPFK=—

8'+只

Vl53

:.PK=厘米.

4

故答案為:3;(1+).

【點評】本題考查解直角三角形的應用,正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵.

6.(2023?金東區(qū)一模)如圖1為某小區(qū)出入口柵欄道閘,BE,CF為柵欄道閘的轉動桿,上面有10根等間

距的豎桿,未抬起時與地面保持水平,豎桿豎直地面,在道閘抬起時最大旋轉角度為70°

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