中考數(shù)學專項復習：解直角三角形（壓軸必刷30題5種題型）含答案及解析

解直角三角形

（壓軸必刷30題5種題型專項訓練）

一.解直角三角形（共1小題）

I.（2023春?蕭山區(qū)期中）如圖，在△N3C中，CD是邊N8上的中線，是銳角，sinB=1,taM=工,

AC=y[S>

（1）求的度數(shù)和N8的長.

(2)求tan/CDB的值.

二.解直角三角形的應用（共18小題）

2.（2023?婺城區(qū)模擬）如圖1是小鳥牙簽盒實物圖，圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側面示

意圖，D、E為連接桿42上兩個定點，通過按壓點比連接桿繞點￡旋轉，從而帶動連接桿。尸上

升，帶動連接桿FH與尸G繞點G旋轉，致使牙簽托盤印向外推出，在取牙簽過程中固定桿EG位置不

7cm,ZHFG=46°與/B=90°,桿長與桿長之間角度大小不變，已知，牙簽盒在初始狀態(tài)，D、H、F

三點共線，在剛好取到牙簽時，E、H、G三點共線，且點C落在線段印上，（參考數(shù)據(jù)：tan23°=互）

（1）從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時，牙簽托盤印在水平方向被向外推出<

（2）鳥嘴的長為cm.

圖1圖2

3.（2023?溫州模擬）如圖1是一張乒乓球桌，其側面簡化結構如圖2所示，臺面48=274c〃？（臺面厚度忽

略不計）與地面平行，且高度為76cHz（臺面與地面之間的距離），直線型支架PE與。尸的上端E,

廠與臺面AS下方相連，PE與。尸的下端P,0與直徑為4c加的腳輪（側面是圓）相連（銜接之間的距

離忽略不計），直線型支架CG與D"的上端C,。與臺面N8下方相連，下端G,H與PE,0尸相連，

圓弧形支架G77分別與PE,°尸在點G,，相連，MPCLAB,QD±AB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,

CE=DF,已知環(huán)=106cm,空■=S,tanZECG=tanZFDH=旦，貝?。軨G的長度為

CE93

cm,當由所在的圓經過點尸、0時，諭所在的圓的圓心到臺面N8之間的距離為cm.

圖1圖2

4.（2023?鹿城區(qū)校級二模）如圖1,是一種購物小拉車，底部兩側裝有軸承三角輪，可以在平路及樓梯上

推拉物品.拉桿固定在軸上，可以繞連接點旋轉，拉桿，置物板，腳架形狀保持不變.圖2,圖3為購物

車側面示意圖，拉桿。尸，DE,DP=24cm,cn，QA,QB,OC的半徑均為4cm,O為三角

3

輪的中心，OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZAOC.如圖2,當輪子08,0c及點G都放置在水平地

面印時，。恰好與。力的最高點重合.此時，D的高度為20CM則ON=cm；如圖3,拉動OP,

使輪子ON,QB在樓梯表面滾動，當OA//HL且8,O,。二點共線時，點G與8的垂直高度差為

5.（2023?金華模擬）如圖1是一款重型訂書機，其結構示意圖如圖2所示，其主體部分為矩形跖GH由

支撐桿CD垂直固定于底座48上，且可以繞點。旋轉.壓桿與伸縮片尸G連接，點M在//G上，

MN可繞點M旋轉,PGLBC,。尸=8厘米，不使用時，EF//AB,G是尸尸中點，tan/PMG=g,且點

4

。在M0的延長線上，則GB的長為_______厘米；使用時如圖3,按壓使得此時點尸落

在45上，若CD=2厘米，則壓桿MN到底座AB的距離為______________________厘米.

6.（2023?金東區(qū)一模）如圖1為某小區(qū)出入口柵欄道閘，BE,C廣為柵欄道閘的轉動桿，上面有10根等間

距的豎桿，未抬起時與地面保持水平，豎桿豎直地面，在道閘抬起時最大旋轉角度為70°,為門墻，

BE=CF=3.1m,AD=1,2m,AB=CD=0.2m,轉動桿外端E,尸距離桿G”與門墻MV均為0.1加，左側

9根豎桿底部離地面均為0.1%（sin70°=0.94,cos70°20.34,tan70°-2.75）

（1）如圖2,當?shù)篱l轉動30°抬起時，第五根豎桿的底端尸到地面的距離為；

（2）現(xiàn)有一輛貨車進小區(qū)裝貨，已知貨車寬22”，貨車進出需保持與門墻0.2加的安全距離，該貨車安

全進出小區(qū)的離地高度不得超過m.

圖1圖2|

7.（2023春?柯城區(qū)校級月考）如圖是一種手機三腳架，它通過改變鎖扣C在主軸N8上的位置調節(jié)三腳架

的高度，其它支架長度固定不變，已知支腳?！?/瓦底座BGLAB,MCD=BG,尸是上

的固定點，且￡/：DF=2：3.

（1）當點B,G,E三點在同一直線上（如圖1所示）時，測得tan/BED=2.設BC=5a,則FG=

（用含。的代數(shù)式表示）:

（2）在（1）的條件下，若將點C向下移動24cm,則點瓦G,尸三點在同一直線上（如圖2）,此時點

A離地面的高度是cm.

8.（2022?鹿城區(qū)校級開學）“曲柄搖桿機構”是一種運動零件.圖1是某個“曲柄搖桿”的示意圖，它由四

條固定長度的線段組成，其中是靜止不動的機架，4D是繞/做圓周運動的曲柄，5c是繞3上下擺

動的搖桿，CD是連結和2C兩個運動的連桿，A,B,C,。始終在同一平面內.已知4B=8C=5.當

D運動到圖2位置時，記AB,CD的交點為E,現(xiàn)測得ADLBC,AD=DE,tanZDAE=^-,貝UCD

4

=.圖2之后，。繞/繼續(xù)運動，當C再次回到圖2位置時（如圖3）,則此時

曲柄搖桿”所圍成的四邊形的面積為.

圖1圖2圖3

9.（2021?義烏市模擬）如圖1是一張雙擋位可調節(jié)靠背椅，擋位調節(jié)示意圖如圖2.兩腳N8,/C以及靠

背DE,座位FG,其中。，廠分別為NC,￡史上固定連接點，G尸在點/上移動實現(xiàn)靠背的調節(jié)，DC=

4AD,EF=4DF,已知N8=NC=Z）￡=50分米，tan//8C=2.

（1）當G/〃3C時，點￡離水平地面8c的高度為分米.

（2）當靠背DE'_L/C時，有G'E'//BC,則G尸的長為分米.

10.（2021?永嘉縣校級模擬）圖1是上下都安裝“摩擦錢鏈”的平開窗，滑軌固定在窗框，托懸臂C尸

安裝在窗扇.A,D,E分別是MN,CF,/D上固定的點，＞BC^DE.當窗戶開到最大時，CFLMN,

且點C到上W的距離為10cm,此時主軸4D與MN的夾角ND/N=45°.如圖2,窗戶從開到最大到關

閉（CF,AD,BC,BE與MN重合）的過程中，控制臂2C,帶動上的滑塊2向點N滑動了20點

11.（2021?溫州三模）如圖是一款利用杠桿原理設計的平衡燈，燈管N2與支架祛碼桿NC均成120。

角，且4B=40ca,AC^lScm,AD6cm,底座是半徑為2c機的圓柱體，點尸是杠桿的支點.如圖1,

若祛碼E在端點C時，當杠桿平衡時，支架ND垂直于桌面，則此時垂直光線照射到最遠點M到支點尸

的距離尸初為cm.由于特殊設計，燈管的重力集中在端點2,祛碼桿重力集中在

祛碼E上,支架/。的重力忽略不計，由杠桿原理可知，平衡時重力保持垂直水平桌面向下，且GI"2=

G2"l,如圖2.為了使得平衡時祛碼桿與桌面平行，則祛碼K到離/點的距離為cm.

12.（2021?瑞安市模擬）如圖1為溫州樂園的游樂設施一摩天輪與飛天梭.當摩天輪一座艙/與飛天梭高

度相同時（如圖2）,另一座艙8恰好位于摩天輪最低點；當座艙/順時針旋轉至與飛天梭相同高度的

N'點時，座艙8旋轉至點夕.此時地面某觀測點尸與點4,圓心。恰好在同一條直線上，且sin/4PC

=回,已知摩天輪的半徑為32米，則點8,8間的距離為米；現(xiàn)又測得

8

ZB'PC,則點方距離地面的高度為米.

13.（2021?瑞安市開學）如圖，在河對岸有一等腰三角形場地EFG,FG=EG,為了估測場地的大小，在筆

直的河岸上依次取點C,D,B,A,使尸CdJ,BGVl,EALI,點、E,G,。在同一直線上，在。觀測下

后，發(fā)現(xiàn)/FDC=NEDA,測得CD=12米，。3=6米，/8=12米，則尸G=米.

DB

14.（2023?鹿城區(qū)校級二模）根據(jù)以下素材，探索完成任務.

探究遮陽傘下的影子長度

素材1圖1是某款自動旋轉遮陽傘，傘面完全張開時張角呈180°,圖2是其側面示意圖.已知

支架N8長為2.5米，且垂直于地面8C,懸托架4E=Z）￡=0.5米，點E固定在傘面上，

且傘面直徑。廠是DE的4倍.當傘面完全張開時，點。，E,尸始終共線.為實現(xiàn)遮陽效

果最佳，傘面裝有接收器可以根據(jù)太陽光線的角度變化，自動調整手柄。沿著N8移動，

以保證太陽光線與DF始終垂直.

素材2某地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角a（太陽光線與地面的夾角）參照表:

時刻12點13點14點15點16點17點

太陽高度907560453015

（度）

參考數(shù)據(jù)：73^1.7,72^1.4.

素材3小明坐在露營椅上的高度（頭頂?shù)降孛娴木嚯x）約為1米，如圖2,小明坐的位置記為點

2.

問題解決

任務1確定影子長某一時刻測得BD=\J米.請求出此時影子GH的長度

度

任務2判斷是否照這天14點，小明坐在離支架3米處的Q點，請判斷此時小明是否會被太陽

射到光照射到？

任務3探究合理范小明打算在這天14：00-15：00露營休息，為保證小明全程不被太陽光照

圍射到，請計算80的取值范圍.

15.（2023?海寧市校級一模）小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1,紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱

圖形，其示意圖如圖2,已知40=2￡=105?,CD=CE=5cm,AD.LCD,BELCE,NDCE=40°.

(1)連結DE,求線段DE的長.

（2）求點4,8之間的距離.

(結果精確到0.1c加.參考數(shù)據(jù)：sin20°-0.34,cos20°~0.94,tan20°-0.36,sin40°=0.64,cos40°

圖1圖2

16.（2022春?龍游縣月考）如圖（1）是一種簡易臺燈，在其結構圖（2）中燈座為△NBC（8C伸出部分不

計），/、C、。在同一直線上.量得N/C3=90°,//=60°,AB=16cm,ZADE^135°,燈桿CD長

為40cm,燈管DE長為15cM.

（1）求。E與水平桌面G48所在直線）所成的角;

（2）求臺燈的高（點￡到桌面的距離，結果精確至U0.1c加）.

(參考數(shù)據(jù)：sinl5°=0.26,cosl5°=0.97,tanl5°=0.27,sin30°=0.5,cos30°=0.87,tan30°=0.58.)

17.（2022?邦州區(qū)校級模擬）圖1是某小區(qū)入口實景圖，圖2是該入口抽象成的平面示意圖.已知入口8。

寬3.9米，門衛(wèi)室外墻AB上的。點處裝有一盞路燈，點O與地面BC的距離為3.3米，燈臂（W長為

1.2米（燈罩長度忽略不計），ZAOM=6Q°.

圖1圖2

（1）求點M到地面的距離;

（2）某搬家公司一輛總寬2.55米，總高3.5米的貨車從該入口進入時，貨車需與護欄CD保持0.65米

的安全距離，此時，貨車能否安全通過？若能，請通過計算說明；若不能，請說明理由.（參考數(shù)據(jù)：V3

~1.73,結果精確到0.01米）

18.（2022春?普陀區(qū)校級月考）圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖2是小明鍛煉時

上半身由EN位置運動到與地面垂直的E"位置時的示意圖.已知8c=0.64米，/。=0.24米，a=18°

（sinl8°-0.31,cosl8°心0.95,tanl8°心0.32）

（1）求48的長（精確到0.01米）

（2）若測得￡N=0.8米，計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑的長度（結果保留TT）

圖1

19.（2023?南湖區(qū)校級一模）圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動時，鐵

環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個游戲抽象為數(shù)學問題，如圖2.己知鐵環(huán)的半徑為25c%,設鐵環(huán)中心為。，

鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為鐵環(huán)與地面接觸點為ZMOA=a,且sina=a.

5

o

(1)求點M離地面NC的高度BM；

(2)設人站立點C與點”的水平距離/C=55cm,求鐵環(huán)鉤MR的長度.

三.解直角三角形的應用-坡度坡角問題(共5小題)

20.(2022?義烏市模擬)圖1是某折疊式躺椅的實物圖，圖2是靠背垂直地面時的側面展開圖，此時四邊形

/BCD是矩形，AB=20cm,AD=30煙cm,DE=60cm,BF=30cm.點、H在BC上,椅子的支撐桿NR

BG、CE分別繞3、H、D轉動并帶動4轉動，支撐桿ZK、不動.躺椅在轉動時：

(1)若直線跖過點J,當乙4DE=120°時，的面積是cm2.

(2)若工<tan/&)/<2,與地面的夾角為a,貝Utana的取值范圍是.

2

圖I圖2

21.（2023秋?甌海區(qū)期中）根據(jù)以下素材，探索完成任務

探究紙傘中的數(shù)學問題

素材1我國紙傘制作工藝十I

入C

分巧妙，如圖1,傘不

管是張開還是收攏，

4P是傘柄，傘骨42=

AC,且/￡=匕8,p圖1

3

AF^^AC,。點為傘

3

圈，DE=DF.

A

素材2傘圈D能沿著傘柄滑

E(F)

動，如圖2是完全收

攏時傘骨的示意圖，D'

此時傘圈D滑動到

D'的位置，且/、P圖2

E、D'三點共線，測

得=50cm,AE

=2Qcm,傘完全張開

時/8/C=120°,如

圖1所示.（參考值：

7600^24.5）

素材3項目化學習小組同學

經過研究發(fā)現(xiàn)：雨往-,^±k

町c

往是斜打的，且都是bc

平行的.如圖3,某一

天，雨線2M與地面夾

角為60°小明同學站

在傘圈。點的正下方

G處，記為GH,此NGM

時，發(fā)現(xiàn)身上被雨淋

濕，測得BN=

150cm.

問題解決

任務1判斷NP位置求證：NP是的角平分線.

任務2探究傘圈移動距離當傘從完全張開到完全收攏，求傘圈。移動的距離.

任務3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離________cm,使得人站在G處身上

不被雨淋濕.（直接寫出答案）

22.（2022?寧波模擬）21、由于發(fā)生山體滑坡災害，武警救援隊火速趕往災區(qū)救援，探測出某建筑物廢墟下

方點c處有生命跡象.在廢墟一側地面上探測點A,B相距2m,探測線與該地面的夾角分別是30°和

60°（如圖所示），試確定生命所在點C的深度.（參考數(shù)據(jù)：72^1.414,百-1.732,結果精確到0.1

米）

30°

A

23.（2022?麗水一模）如圖是一座人行天橋的示意圖，天橋的高C3為10米，坡面C4的坡角為30°.為

了方便行人推車過橋，市政部門決定降低坡度，使新坡面8的坡角為18。，若新橋腳前需留4米的人

行道，問離原坡腳15米的花壇是否需要拆除？請說明理由.

（參考數(shù)據(jù)：sinZ8°"0.3090,cosZ8°20.9511,tan/8°心0.3249,&g1.414,心1.732）

24.（2023?義烏市校級模擬）圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時情景.

圖2是小明鍛煉時上半身由E"位置運動到與地面垂直的EN位置時的示意圖.

已知8c=0.64米，/。=0.24米，48=1.30米.

（1）求的傾斜角a的度數(shù)（精確到x）；（參考數(shù)據(jù)：sinl8°-0.31）

（2）若測得￡N=0.85米，試計算小明頭頂由M點運動到N點的路徑訕的長度.（精確到0.01米）

四.解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共4小題）

25.（2023?龍游縣校級一模）如圖，一座山的一段斜坡AD的長度為600米，且這段斜坡的坡度i=1：3（沿

斜坡從8到。時，其升高的高度與水平前進的距離之比）.已知在地面8處測得山頂/的仰角為33。，

在斜坡。處測得山頂N的仰角為45°.求山頂N到地面3C的高度NC是多少米？（結果用含非特殊角

的三角函數(shù)和根式表示即可）

26.（2023?北侖區(qū)一模）如圖，為了開發(fā)利用海洋資源，某勘測飛機預測量一島嶼兩端/、8的距離，飛機

在距海平面垂直高度為100米的點C處測得端點/的俯角為60°,然后沿著平行于的方向水平飛行

了500米，在點D測得端點B的俯角為45°,求島嶼兩端/、B的距離（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：

在?1.73,41)

27.（2022春?余杭區(qū)月考）如圖，為了測出旗桿的高度，在旗桿前的平地上選擇一點C,測得旗桿頂部

/的仰角為45°,在C、8之間選擇一點。（C、D、8三點共線），測得旗桿頂部N的仰角為75°,且

CD=8m

（1）求點。到CA的距離；

（2）求旗桿48的高.

（注：結果保留根號）

D

28.（2021?寧波模擬）圖1是電腦液晶顯示器的側面圖，顯示屏N8可以繞。點旋轉一定角度，研究表明：

如圖2,當眼睛E與顯示屏頂端/在同一水平線上，且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角（即望向屏幕

中心P的視線EP與水平線E4的夾角）時，對保護眼睛比較好，而且顯示屏頂端/與底座C的連線/C

與水平線CD垂直時，觀看屏幕最舒適，此時測得/8CD=30°,ZAPE=90°,液晶顯示屏的寬N8為

34cm.

（1）求眼睛￡與顯示屏頂端N的水平距離NE；（結果精確到1c機）

（2）求顯示屏頂端/與底座C的距離NC.（結果精確到la”）

（參考數(shù)據(jù)：sinl8°心0.3,cosl8°七0.95,我心1.4,我”1.7）

圖1圖2

五.解直角三角形的應用-方向角問題（共2小題）

29.（2022?新昌縣校級模擬）如圖，一艘貨船在燈塔C的正南方向，距離燈塔257海里的/處遇險，發(fā)出

求救信號.一艘救生船位于燈塔C的南偏東40。方向上，同時位于4處的北偏東60°方向上的2處，

救生船接到求救信號后，立即前往救援.求AB的長.（結果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan40。心0.84,?取

1.73.

30.（2022春?邦州區(qū)校級月考）某海域有/,8兩個港口，8港口在N港口北偏西30°方向上，距/港口

60海里，有一艘船從/港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達位于8港口南偏東75。方向的C

處，求該船與2港口之間的距離即CB的長（結果保留根號）.

解直角三角形

（壓軸必刷30題5種題型專項訓練）

一.解直角三角形（共1小題）

I.（2023春?蕭山區(qū)期中）如圖，在△N3C中，CD是邊N8上的中線，是銳角，sinB=1,tag=L,

22

AC=正,

（1）求/B的度數(shù)和N8的長.

【分析】（1）作于E,設CE=x,利用//的正切可得到NE=2x,則根據(jù)勾股定理得到NC=

娓X,所以解得x=l,于是得到CE=1,AE=2,接著利用sirLB=YI_得到/8=45°,則

2

BE=CE=1,最后計算AE+BE得到AB的長，

（2）利用CD為中線得到工48=1.5,則。E=8Z>-2E=0.5,然后根據(jù)正切的定義求解.

2

【解答】解：（1）作CEL/2于E,設CE=x,

在RtAUCE中，：tan4=%=」

AE2

：?AE=2x,

AC=y]x2+(2x)2=娓x,

V5x=V5，解得x=l,

；.CE=1,AE=2,

在RtAiBCE'中，：sin5=亞.

2

AZ5=45°,

...△BCE為等腰直角三角形,

：.BE=CE=\,

:.AB=AE+BE=3,

答：N8的度數(shù)為45°,AS的值為3；

(2)：CD為中線，

'.BD=—AB=\.5,

2

:.DE=BD-BE=L5-1=0.5,

即tanZCDB的值為2.

【點評】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.解

決此類題目的關鍵是熟練應用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義.

二.解直角三角形的應用（共18小題）

2.（2023?婺城區(qū)模擬）如圖1是小鳥牙簽盒實物圖，圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側面示

意圖，。、E為連接桿N3上兩個定點，通過按壓點比連接桿繞點￡旋轉，從而帶動連接桿。尸上

升，帶動連接桿制與FG繞點G旋轉，致使牙簽托盤印向外推出，在取牙簽過程中固定桿EG位置不

變且。尸與EG始終平行，牙簽托盤印始終保持水平，現(xiàn)測得kG=F〃=1CM,EB=^cm,DF=EG=

13

7cm,ZHFG=46°與/B=90°,桿長與桿長之間角度大小不變，已知，牙簽盒在初始狀態(tài)，D、H、F

三點共線，在剛好取到牙簽時，E、H、G三點共線，且點C落在線段印上，（參考數(shù)據(jù)：tan23°=互）

12

（1）從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時，牙簽托盤印在水平方向被向外推出cm；

（2）根據(jù)全等三角形的性質得到8C=NC,再利用三角函數(shù)建立方程求得3C即可

【解答】解：(1)如圖2,牙簽盒在初始狀態(tài)，D,H,尸三點共線，NHFG=46°,桿長與桿長之間角

度大小不變，F(xiàn)G=FH=\cm,

圖2

連接"G,過F作于。

：.ZGFO^—X46°=23°,HO=GO,

2

.?里=tan23。=2

OF12

設OG=5xcm,則OF=12xcm,

?*-FG=*\/OG2-K）F2=（。加），

：.FO=Ux=—cm,GH=^-cm,

1313

S?GH=/F0?HG=yHM-HF，

故答案為：儂

169

'：FD//EG,DF=EG=7cm,

...四邊形DFGE是平行四邊形,

J.DE//FG,

,:NHFG=46°，桿長與桿長之間角度大小不變，F(xiàn)G=FH=\cm,

:.NFGH=NFHG=67°,

過歹作77kL于N,

：.ZGFN^—X46°=23°,HN=GN,

?.膽=tan23°=5

12

設NG=5xcm,則NF=12xcm,

."G=13x(cw),

,.NG=5x=A~cm,GH^^-cm,

1313

.*EG=7cm,

?口口―81

?EH-----cm,

13

：EB=^cm,EC=EC,

13

,.RtAEBURtAEHC(HL),

,.BC=HC,

CDE//FG,NFGH=67°,

?.ZGW=67°,

NM=23°,

Ztan23o=巨，/B=90°,ZEHM=90°,

__5_

12

設BC=HC=5xcm,則Affi=12xcm,

：.MC=13x(cm),

._EH__5_

,,京W

.^_12XEH_1iZ2X—1354

??JJi"---------二一,

181813

故答案為：54.

13

【點評】本題考查了解直角三角形的應用，平行線的判定，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解

題的關鍵.

3.（2023?溫州模擬）如圖1是一張乒乓球桌，其側面簡化結構如圖2所示，臺面48=274cm（臺面厚度忽

略不計）與地面平行，且高度為76。“（臺面與地面之間的距離），直線型支架PK與0尸的上端E,

廠與臺面48下方相連，PE與。尸的下端P,0與直徑為4c加的腳輪（側面是圓）相連（銜接之間的距

離忽略不計），直線型支架CG與。X的上端C,。與臺面N2下方相連，下端G,H馬PE,0尸相連，

圓弧形支架G"分別與PE,°尸在點G,〃相連，PCLAB,QD1.AB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,

CE=DF,已知斯=106cm,空~="tan/ECG=tan/FZ?T=a,則CG的長度為6A/73cm,當

CE93——

福所在的圓經過點P、。時，徭所在的圓的圓心到臺面48之間的距離為133.5cm.

圖1圖2

【分析】過點G作GMLAB,交AB于點M.連接CP、GH、PQ.過圓心點O作OKLGH,交GH于點

K,交PQ于點N.根據(jù)已知條件求出CM、MG,由勾股定理計算CG的長度；由垂徑定理求得GK、PN,

由勾股定理和半徑相等列方程，求出ON,進而求出圓心到N8的距離.

【解答】解：過點G作GML48,交于點連接CP.

..eAB-EF274-106AC5

22CE9

/.CE=-AE=—X84=54(cm).

1414

XVCP=76-4=72(cm),

：.tanZCEP=^-=^-=^.

CE543

'：tanZECG=^-=—,tanZCEP=—=—,

CM3ME3

.CM=1

"ME~2

：.CM^1-CE=^-X54=18(cm),MG^—CM=^-X18=48(cm),

3333

CG=VCM2+MG2=V182+482=6^73(cm).

點。為&所在圓的圓心.連接GH、PQ,過點。作OKLGH交GH于點、K,交PQ于點、N.

由垂徑定理，得GK=、GH=ME4EF=CE-CM+^EF=54-18+—X106=89(cm),

2222

PN=^-PQ=Acz)=A(EF+2CE)=—X(106+2X54)=107(cm).

2222

:.KN=CP-MG=12-48=24(cm).

'：OP2^PN2+ON2,0G2=GK2+OK2,且OP=OG,

Pl^+ON2=Gf^+OK2,

尸解+。解=6爛+(KN+ON)2,即1072+02\^=892+(24+ON)2,解得ON=61.5.

CWK?P=61.5+72=133.5(cm).

.??加所在的圓的圓心到臺面N5之間的距離為133.5cm.

故答案為：6773-133.5.

【點評】本題考查垂徑定理及解直角三角形的應用，理解和靈活運用垂徑定理，并能夠熟練地解直角三

角形是解答本題的關鍵.

4.(2023?鹿城區(qū)校級二模)如圖1,是一種購物小拉車，底部兩側裝有軸承三角輪，可以在平路及樓梯上

推拉物品.拉桿固定在軸上，可以繞連接點旋轉，拉桿，置物板，腳架形狀保持不變.圖2,圖3為購物

車側面示意圖，拉桿。尸，DE,DF=24cm,FG=，。8cir，。出。。的半徑均為4。"?，。為三角

3

輪的中心，OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZAOC.如圖2,當輪子08,G)C及點G都放置在水平地

面印時，。恰好與的最高點重合.此時，D的高度為20cm,則OA=cm；如圖3,拉動OP,

使輪子04。8在樓梯表面滾動，當OA〃印,且B,O,。三點共線時，點G與8的垂直高度差為

cm.

【分析】如圖2,連接8C,延長NO交BC于J,作80_L〃G于0,由圓的半徑為4CM,得47=12CTM,

設04=0B=xcm,利用勾股定理即可求出。/長；作FS_LHG,求出。、G的水平距離，如圖3,設02

交08于K,連接KG,作GATL過8的水平線BM于M,交過K的水平線于N,在△KNG和△87?K中，

利用三角函數(shù)，求出GN和87?,即可求出GM.

【解答】解：如圖2,連接8C,延長/。交8C于J,作20，8G于0,

,:D的高度為20cm,

?*AJ~~12c加，

設OA=OB=xcm,

.'.0J=12-x(cm),

?：OA=OB=OC,NAOB=NBOC=NAOC,

：.ZBOC=nO°,ZBOJ=60°,/OBJ=30°,

：.OB=2OJ,SPx=2(12-x),

/.x=8,即OA=Scm.

故答案為：8；

如圖2,作尸S_LHG,

.'.FS=20cm,

???5G=iyFG2_FS2=2^3_,

如圖3,設OB交OB于K,連接KG,作6W，過8的水平線8河于M,交過K的水平線于N,

圖3_

由圖2得KG=＞尸+SG=24+20我(Cm),

3

'：OA//KN,DF//KG,

：.ZBR4=ZOBM=120°,ZBKG=ZBDF=90°,

：.ZNKG=30°,

GN=1KG=12+J°V3(cm),

23

作2R_L3于尺，

:.NKBR=30°,

\"BK=4cm,

：.BR=4-cos30°=273（cm）,

,:NM=BR,

:.GM=GN+NM=\2+1&如

3

故答案為：（12+16遍）.

3

【點評】本題考查了解直角三角的綜合應用，準確找到三角形的邊角關系是解題關鍵.

5.（2023?金華模擬）如圖1是一款重型訂書機，其結構示意圖如圖2所示，其主體部分為矩形EFG8,由

支撐桿CD垂直固定于底座上，且可以繞點。旋轉.壓桿"N與伸縮片尸G連接，點/在8G上，

MN可繞點M旋轉,PGLBC,。尸=8厘米，不使用時，EF//AB,G是P尸中點，tan/PMG=3,且點

4

。在的延長線上，則GF的長為________厘米；使用時如圖3,按壓使得〃/瓦此時點尸落

在N8上，若CD=2厘米，則壓桿MN到底座AB的距離為__________________厘米.

H

N

【分析】延長MW,則2W過點。，根據(jù)tan/PMG=3和止=8可得Gb的長；過點P作PK_L4B于

4

K,可得/PFK=NCDF=/MPF,利用勾股定理可得W的長，最后利用三角函數(shù)可得答案.

【解答】解：如圖2,延長NM,則7W過點

/./PMG=/PDF,

tanZPDF=tanZPMG==—,

DF4

即里=旦，PF=6,

84

■:PF=6,

；.GF=^PF=3（厘米）.

2

如圖3,過點尸作PKL/B于K,

9：MN//AB,

：.PK±MN,ZMPF=ZPFK,

VZDFP=ZDCF=90°,

???ZCDF+ZDFC=ZPFK+ZDFC=90°,

JZPFK=ZCDF=/MPF,

由圖2可得，PG=3,tanN尸MG=3,

4

：.MG=4（厘米）,

RtzXDCF中，CFyjg2-22-2V15,

tanZCDF=tan/MPF=2T,

2PG

：.PG=-^=r

,PF"+3,

V15推

nu/7FPK

VsinZCDF=sinZPFK=—

8'+只

Vl53

:.PK=厘米.

4

故答案為：3；（1+).

【點評】本題考查解直角三角形的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵.

6.（2023?金東區(qū)一模）如圖1為某小區(qū)出入口柵欄道閘，BE,CF為柵欄道閘的轉動桿，上面有10根等間

距的豎桿，未抬起時與地面保持水平，豎桿豎直地面，在道閘抬起時最大旋轉角度為70°