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文檔簡介
解直角三角形
(壓軸必刷30題5種題型專項訓練)
一.解直角三角形(共1小題)
I.(2023春?蕭山區(qū)期中)如圖,在△N3C中,CD是邊N8上的中線,是銳角,sinB=1,taM=工,
AC=y[S>
(1)求的度數(shù)和N8的長.
(2)求tan/CDB的值.
二.解直角三角形的應用(共18小題)
2.(2023?婺城區(qū)模擬)如圖1是小鳥牙簽盒實物圖,圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側面示
意圖,D、E為連接桿42上兩個定點,通過按壓點比連接桿繞點£旋轉,從而帶動連接桿。尸上
升,帶動連接桿FH與尸G繞點G旋轉,致使牙簽托盤印向外推出,在取牙簽過程中固定桿EG位置不
7cm,ZHFG=46°與/B=90°,桿長與桿長之間角度大小不變,已知,牙簽盒在初始狀態(tài),D、H、F
三點共線,在剛好取到牙簽時,E、H、G三點共線,且點C落在線段印上,(參考數(shù)據(jù):tan23°=互)
(1)從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時,牙簽托盤印在水平方向被向外推出<
(2)鳥嘴的長為cm.
圖1圖2
3.(2023?溫州模擬)如圖1是一張乒乓球桌,其側面簡化結構如圖2所示,臺面48=274c〃?(臺面厚度忽
略不計)與地面平行,且高度為76cHz(臺面與地面之間的距離),直線型支架PE與。尸的上端E,
廠與臺面AS下方相連,PE與。尸的下端P,0與直徑為4c加的腳輪(側面是圓)相連(銜接之間的距
離忽略不計),直線型支架CG與D"的上端C,。與臺面N8下方相連,下端G,H與PE,0尸相連,
圓弧形支架G77分別與PE,°尸在點G,,相連,MPCLAB,QD±AB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,
CE=DF,已知環(huán)=106cm,空■=S,tanZECG=tanZFDH=旦,貝?。軨G的長度為
CE93
cm,當由所在的圓經過點尸、0時,諭所在的圓的圓心到臺面N8之間的距離為cm.
圖1圖2
4.(2023?鹿城區(qū)校級二模)如圖1,是一種購物小拉車,底部兩側裝有軸承三角輪,可以在平路及樓梯上
推拉物品.拉桿固定在軸上,可以繞連接點旋轉,拉桿,置物板,腳架形狀保持不變.圖2,圖3為購物
車側面示意圖,拉桿。尸,DE,DP=24cm,cn,QA,QB,OC的半徑均為4cm,O為三角
3
輪的中心,OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZAOC.如圖2,當輪子08,0c及點G都放置在水平地
面印時,。恰好與。力的最高點重合.此時,D的高度為20CM則ON=cm;如圖3,拉動OP,
使輪子ON,QB在樓梯表面滾動,當OA//HL且8,O,。二點共線時,點G與8的垂直高度差為
5.(2023?金華模擬)如圖1是一款重型訂書機,其結構示意圖如圖2所示,其主體部分為矩形跖GH由
支撐桿CD垂直固定于底座48上,且可以繞點。旋轉.壓桿與伸縮片尸G連接,點M在//G上,
MN可繞點M旋轉,PGLBC,。尸=8厘米,不使用時,EF//AB,G是尸尸中點,tan/PMG=g,且點
4
。在M0的延長線上,則GB的長為_______厘米;使用時如圖3,按壓使得此時點尸落
在45上,若CD=2厘米,則壓桿MN到底座AB的距離為______________________厘米.
6.(2023?金東區(qū)一模)如圖1為某小區(qū)出入口柵欄道閘,BE,C廣為柵欄道閘的轉動桿,上面有10根等間
距的豎桿,未抬起時與地面保持水平,豎桿豎直地面,在道閘抬起時最大旋轉角度為70°,為門墻,
BE=CF=3.1m,AD=1,2m,AB=CD=0.2m,轉動桿外端E,尸距離桿G”與門墻MV均為0.1加,左側
9根豎桿底部離地面均為0.1%(sin70°=0.94,cos70°20.34,tan70°-2.75)
(1)如圖2,當?shù)篱l轉動30°抬起時,第五根豎桿的底端尸到地面的距離為;
(2)現(xiàn)有一輛貨車進小區(qū)裝貨,已知貨車寬22”,貨車進出需保持與門墻0.2加的安全距離,該貨車安
全進出小區(qū)的離地高度不得超過m.
圖1圖2|
7.(2023春?柯城區(qū)校級月考)如圖是一種手機三腳架,它通過改變鎖扣C在主軸N8上的位置調節(jié)三腳架
的高度,其它支架長度固定不變,已知支腳?!?/瓦底座BGLAB,MCD=BG,尸是上
的固定點,且£/:DF=2:3.
(1)當點B,G,E三點在同一直線上(如圖1所示)時,測得tan/BED=2.設BC=5a,則FG=
(用含。的代數(shù)式表示):
(2)在(1)的條件下,若將點C向下移動24cm,則點瓦G,尸三點在同一直線上(如圖2),此時點
A離地面的高度是cm.
8.(2022?鹿城區(qū)校級開學)“曲柄搖桿機構”是一種運動零件.圖1是某個“曲柄搖桿”的示意圖,它由四
條固定長度的線段組成,其中是靜止不動的機架,4D是繞/做圓周運動的曲柄,5c是繞3上下擺
動的搖桿,CD是連結和2C兩個運動的連桿,A,B,C,。始終在同一平面內.已知4B=8C=5.當
D運動到圖2位置時,記AB,CD的交點為E,現(xiàn)測得ADLBC,AD=DE,tanZDAE=^-,貝UCD
4
=.圖2之后,。繞/繼續(xù)運動,當C再次回到圖2位置時(如圖3),則此時
曲柄搖桿”所圍成的四邊形的面積為.
圖1圖2圖3
9.(2021?義烏市模擬)如圖1是一張雙擋位可調節(jié)靠背椅,擋位調節(jié)示意圖如圖2.兩腳N8,/C以及靠
背DE,座位FG,其中。,廠分別為NC,£史上固定連接點,G尸在點/上移動實現(xiàn)靠背的調節(jié),DC=
4AD,EF=4DF,已知N8=NC=Z)£=50分米,tan//8C=2.
(1)當G/〃3C時,點£離水平地面8c的高度為分米.
(2)當靠背DE'_L/C時,有G'E'//BC,則G尸的長為分米.
10.(2021?永嘉縣校級模擬)圖1是上下都安裝“摩擦錢鏈”的平開窗,滑軌固定在窗框,托懸臂C尸
安裝在窗扇.A,D,E分別是MN,CF,/D上固定的點,>BC^DE.當窗戶開到最大時,CFLMN,
且點C到上W的距離為10cm,此時主軸4D與MN的夾角ND/N=45°.如圖2,窗戶從開到最大到關
閉(CF,AD,BC,BE與MN重合)的過程中,控制臂2C,帶動上的滑塊2向點N滑動了20點
11.(2021?溫州三模)如圖是一款利用杠桿原理設計的平衡燈,燈管N2與支架祛碼桿NC均成120。
角,且4B=40ca,AC^lScm,AD6cm,底座是半徑為2c機的圓柱體,點尸是杠桿的支點.如圖1,
若祛碼E在端點C時,當杠桿平衡時,支架ND垂直于桌面,則此時垂直光線照射到最遠點M到支點尸
的距離尸初為cm.由于特殊設計,燈管的重力集中在端點2,祛碼桿重力集中在
祛碼E上,支架/。的重力忽略不計,由杠桿原理可知,平衡時重力保持垂直水平桌面向下,且GI"2=
G2"l,如圖2.為了使得平衡時祛碼桿與桌面平行,則祛碼K到離/點的距離為cm.
12.(2021?瑞安市模擬)如圖1為溫州樂園的游樂設施一摩天輪與飛天梭.當摩天輪一座艙/與飛天梭高
度相同時(如圖2),另一座艙8恰好位于摩天輪最低點;當座艙/順時針旋轉至與飛天梭相同高度的
N'點時,座艙8旋轉至點夕.此時地面某觀測點尸與點4,圓心。恰好在同一條直線上,且sin/4PC
=回,已知摩天輪的半徑為32米,則點8,8間的距離為米;現(xiàn)又測得
8
ZB'PC,則點方距離地面的高度為米.
13.(2021?瑞安市開學)如圖,在河對岸有一等腰三角形場地EFG,FG=EG,為了估測場地的大小,在筆
直的河岸上依次取點C,D,B,A,使尸CdJ,BGVl,EALI,點、E,G,。在同一直線上,在。觀測下
后,發(fā)現(xiàn)/FDC=NEDA,測得CD=12米,。3=6米,/8=12米,則尸G=米.
DB
14.(2023?鹿城區(qū)校級二模)根據(jù)以下素材,探索完成任務.
探究遮陽傘下的影子長度
素材1圖1是某款自動旋轉遮陽傘,傘面完全張開時張角呈180°,圖2是其側面示意圖.已知
支架N8長為2.5米,且垂直于地面8C,懸托架4E=Z)£=0.5米,點E固定在傘面上,
且傘面直徑。廠是DE的4倍.當傘面完全張開時,點。,E,尸始終共線.為實現(xiàn)遮陽效
果最佳,傘面裝有接收器可以根據(jù)太陽光線的角度變化,自動調整手柄。沿著N8移動,
以保證太陽光線與DF始終垂直.
素材2某地區(qū)某天下午不同時間的太陽高度角a(太陽光線與地面的夾角)參照表:
時刻12點13點14點15點16點17點
太陽高度907560453015
(度)
參考數(shù)據(jù):73^1.7,72^1.4.
素材3小明坐在露營椅上的高度(頭頂?shù)降孛娴木嚯x)約為1米,如圖2,小明坐的位置記為點
2.
問題解決
任務1確定影子長某一時刻測得BD=\J米.請求出此時影子GH的長度
度
任務2判斷是否照這天14點,小明坐在離支架3米處的Q點,請判斷此時小明是否會被太陽
射到光照射到?
任務3探究合理范小明打算在這天14:00-15:00露營休息,為保證小明全程不被太陽光照
圍射到,請計算80的取值范圍.
15.(2023?海寧市校級一模)小華將一張紙對折后做成的紙飛機如圖1,紙飛機機尾的橫截面是一個軸對稱
圖形,其示意圖如圖2,已知40=2£=105?,CD=CE=5cm,AD.LCD,BELCE,NDCE=40°.
(1)連結DE,求線段DE的長.
(2)求點4,8之間的距離.
(結果精確到0.1c加.參考數(shù)據(jù):sin20°-0.34,cos20°~0.94,tan20°-0.36,sin40°=0.64,cos40°
圖1圖2
16.(2022春?龍游縣月考)如圖(1)是一種簡易臺燈,在其結構圖(2)中燈座為△NBC(8C伸出部分不
計),/、C、。在同一直線上.量得N/C3=90°,//=60°,AB=16cm,ZADE^135°,燈桿CD長
為40cm,燈管DE長為15cM.
(1)求。E與水平桌面G48所在直線)所成的角;
(2)求臺燈的高(點£到桌面的距離,結果精確至U0.1c加).
(參考數(shù)據(jù):sinl5°=0.26,cosl5°=0.97,tanl5°=0.27,sin30°=0.5,cos30°=0.87,tan30°=0.58.)
17.(2022?邦州區(qū)校級模擬)圖1是某小區(qū)入口實景圖,圖2是該入口抽象成的平面示意圖.已知入口8。
寬3.9米,門衛(wèi)室外墻AB上的。點處裝有一盞路燈,點O與地面BC的距離為3.3米,燈臂(W長為
1.2米(燈罩長度忽略不計),ZAOM=6Q°.
圖1圖2
(1)求點M到地面的距離;
(2)某搬家公司一輛總寬2.55米,總高3.5米的貨車從該入口進入時,貨車需與護欄CD保持0.65米
的安全距離,此時,貨車能否安全通過?若能,請通過計算說明;若不能,請說明理由.(參考數(shù)據(jù):V3
~1.73,結果精確到0.01米)
18.(2022春?普陀區(qū)校級月考)圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景,圖2是小明鍛煉時
上半身由EN位置運動到與地面垂直的E"位置時的示意圖.已知8c=0.64米,/。=0.24米,a=18°
(sinl8°-0.31,cosl8°心0.95,tanl8°心0.32)
(1)求48的長(精確到0.01米)
(2)若測得£N=0.8米,計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑的長度(結果保留TT)
圖1
19.(2023?南湖區(qū)校級一模)圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲,鐵環(huán)是圓形的,鐵環(huán)向前滾動時,鐵
環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切.將這個游戲抽象為數(shù)學問題,如圖2.己知鐵環(huán)的半徑為25c%,設鐵環(huán)中心為。,
鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為鐵環(huán)與地面接觸點為ZMOA=a,且sina=a.
5
o
(1)求點M離地面NC的高度BM;
(2)設人站立點C與點”的水平距離/C=55cm,求鐵環(huán)鉤MR的長度.
三.解直角三角形的應用-坡度坡角問題(共5小題)
20.(2022?義烏市模擬)圖1是某折疊式躺椅的實物圖,圖2是靠背垂直地面時的側面展開圖,此時四邊形
/BCD是矩形,AB=20cm,AD=30煙cm,DE=60cm,BF=30cm.點、H在BC上,椅子的支撐桿NR
BG、CE分別繞3、H、D轉動并帶動4轉動,支撐桿ZK、不動.躺椅在轉動時:
(1)若直線跖過點J,當乙4DE=120°時,的面積是cm2.
(2)若工<tan/&)/<2,與地面的夾角為a,貝Utana的取值范圍是.
2
圖I圖2
21.(2023秋?甌海區(qū)期中)根據(jù)以下素材,探索完成任務
探究紙傘中的數(shù)學問題
素材1我國紙傘制作工藝十I
入C
分巧妙,如圖1,傘不
管是張開還是收攏,
4P是傘柄,傘骨42=
AC,且/£=匕8,p圖1
3
AF^^AC,。點為傘
3
圈,DE=DF.
A
素材2傘圈D能沿著傘柄滑
E(F)
動,如圖2是完全收
攏時傘骨的示意圖,D'
此時傘圈D滑動到
D'的位置,且/、P圖2
E、D'三點共線,測
得=50cm,AE
=2Qcm,傘完全張開
時/8/C=120°,如
圖1所示.(參考值:
7600^24.5)
素材3項目化學習小組同學
經過研究發(fā)現(xiàn):雨往-,^±k
町c
往是斜打的,且都是bc
平行的.如圖3,某一
天,雨線2M與地面夾
角為60°小明同學站
在傘圈。點的正下方
G處,記為GH,此NGM
時,發(fā)現(xiàn)身上被雨淋
濕,測得BN=
150cm.
問題解決
任務1判斷NP位置求證:NP是的角平分線.
任務2探究傘圈移動距離當傘從完全張開到完全收攏,求傘圈。移動的距離.
任務3擬定撐傘方案求傘至少向下移動距離________cm,使得人站在G處身上
不被雨淋濕.(直接寫出答案)
22.(2022?寧波模擬)21、由于發(fā)生山體滑坡災害,武警救援隊火速趕往災區(qū)救援,探測出某建筑物廢墟下
方點c處有生命跡象.在廢墟一側地面上探測點A,B相距2m,探測線與該地面的夾角分別是30°和
60°(如圖所示),試確定生命所在點C的深度.(參考數(shù)據(jù):72^1.414,百-1.732,結果精確到0.1
米)
30°
A
23.(2022?麗水一模)如圖是一座人行天橋的示意圖,天橋的高C3為10米,坡面C4的坡角為30°.為
了方便行人推車過橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面8的坡角為18。,若新橋腳前需留4米的人
行道,問離原坡腳15米的花壇是否需要拆除?請說明理由.
(參考數(shù)據(jù):sinZ8°"0.3090,cosZ8°20.9511,tan/8°心0.3249,&g1.414,心1.732)
24.(2023?義烏市校級模擬)圖1是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時情景.
圖2是小明鍛煉時上半身由E"位置運動到與地面垂直的EN位置時的示意圖.
已知8c=0.64米,/。=0.24米,48=1.30米.
(1)求的傾斜角a的度數(shù)(精確到x);(參考數(shù)據(jù):sinl8°-0.31)
(2)若測得£N=0.85米,試計算小明頭頂由M點運動到N點的路徑訕的長度.(精確到0.01米)
四.解直角三角形的應用-仰角俯角問題(共4小題)
25.(2023?龍游縣校級一模)如圖,一座山的一段斜坡AD的長度為600米,且這段斜坡的坡度i=1:3(沿
斜坡從8到。時,其升高的高度與水平前進的距離之比).已知在地面8處測得山頂/的仰角為33。,
在斜坡。處測得山頂N的仰角為45°.求山頂N到地面3C的高度NC是多少米?(結果用含非特殊角
的三角函數(shù)和根式表示即可)
26.(2023?北侖區(qū)一模)如圖,為了開發(fā)利用海洋資源,某勘測飛機預測量一島嶼兩端/、8的距離,飛機
在距海平面垂直高度為100米的點C處測得端點/的俯角為60°,然后沿著平行于的方向水平飛行
了500米,在點D測得端點B的俯角為45°,求島嶼兩端/、B的距離(結果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):
在?1.73,41)
27.(2022春?余杭區(qū)月考)如圖,為了測出旗桿的高度,在旗桿前的平地上選擇一點C,測得旗桿頂部
/的仰角為45°,在C、8之間選擇一點。(C、D、8三點共線),測得旗桿頂部N的仰角為75°,且
CD=8m
(1)求點。到CA的距離;
(2)求旗桿48的高.
(注:結果保留根號)
D
28.(2021?寧波模擬)圖1是電腦液晶顯示器的側面圖,顯示屏N8可以繞。點旋轉一定角度,研究表明:
如圖2,當眼睛E與顯示屏頂端/在同一水平線上,且望向顯示器屏幕形成一個18°俯角(即望向屏幕
中心P的視線EP與水平線E4的夾角)時,對保護眼睛比較好,而且顯示屏頂端/與底座C的連線/C
與水平線CD垂直時,觀看屏幕最舒適,此時測得/8CD=30°,ZAPE=90°,液晶顯示屏的寬N8為
34cm.
(1)求眼睛£與顯示屏頂端N的水平距離NE;(結果精確到1c機)
(2)求顯示屏頂端/與底座C的距離NC.(結果精確到la”)
(參考數(shù)據(jù):sinl8°心0.3,cosl8°七0.95,我心1.4,我”1.7)
圖1圖2
五.解直角三角形的應用-方向角問題(共2小題)
29.(2022?新昌縣校級模擬)如圖,一艘貨船在燈塔C的正南方向,距離燈塔257海里的/處遇險,發(fā)出
求救信號.一艘救生船位于燈塔C的南偏東40。方向上,同時位于4處的北偏東60°方向上的2處,
救生船接到求救信號后,立即前往救援.求AB的長.(結果取整數(shù))參考數(shù)據(jù):tan40。心0.84,?取
1.73.
30.(2022春?邦州區(qū)校級月考)某海域有/,8兩個港口,8港口在N港口北偏西30°方向上,距/港口
60海里,有一艘船從/港口出發(fā),沿東北方向行駛一段距離后,到達位于8港口南偏東75。方向的C
處,求該船與2港口之間的距離即CB的長(結果保留根號).
解直角三角形
(壓軸必刷30題5種題型專項訓練)
一.解直角三角形(共1小題)
I.(2023春?蕭山區(qū)期中)如圖,在△N3C中,CD是邊N8上的中線,是銳角,sinB=1,tag=L,
22
AC=正,
(1)求/B的度數(shù)和N8的長.
【分析】(1)作于E,設CE=x,利用//的正切可得到NE=2x,則根據(jù)勾股定理得到NC=
娓X,所以解得x=l,于是得到CE=1,AE=2,接著利用sirLB=YI_得到/8=45°,則
2
BE=CE=1,最后計算AE+BE得到AB的長,
(2)利用CD為中線得到工48=1.5,則。E=8Z>-2E=0.5,然后根據(jù)正切的定義求解.
2
【解答】解:(1)作CEL/2于E,設CE=x,
在RtAUCE中,:tan4=%=」
AE2
:?AE=2x,
AC=y]x2+(2x)2=娓x,
V5x=V5,解得x=l,
;.CE=1,AE=2,
在RtAiBCE'中,:sin5=亞.
2
AZ5=45°,
...△BCE為等腰直角三角形,
:.BE=CE=\,
:.AB=AE+BE=3,
答:N8的度數(shù)為45°,AS的值為3;
(2):CD為中線,
'.BD=—AB=\.5,
2
:.DE=BD-BE=L5-1=0.5,
即tanZCDB的值為2.
【點評】本題考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.解
決此類題目的關鍵是熟練應用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義.
二.解直角三角形的應用(共18小題)
2.(2023?婺城區(qū)模擬)如圖1是小鳥牙簽盒實物圖,圖2是牙簽盒在取牙簽過程中一個狀態(tài)的部分側面示
意圖,。、E為連接桿N3上兩個定點,通過按壓點比連接桿繞點£旋轉,從而帶動連接桿。尸上
升,帶動連接桿制與FG繞點G旋轉,致使牙簽托盤印向外推出,在取牙簽過程中固定桿EG位置不
變且。尸與EG始終平行,牙簽托盤印始終保持水平,現(xiàn)測得kG=F〃=1CM,EB=^cm,DF=EG=
13
7cm,ZHFG=46°與/B=90°,桿長與桿長之間角度大小不變,已知,牙簽盒在初始狀態(tài),D、H、F
三點共線,在剛好取到牙簽時,E、H、G三點共線,且點C落在線段印上,(參考數(shù)據(jù):tan23°=互)
12
(1)從初始狀態(tài)到剛好取到牙簽時,牙簽托盤印在水平方向被向外推出cm;
(2)根據(jù)全等三角形的性質得到8C=NC,再利用三角函數(shù)建立方程求得3C即可
【解答】解:(1)如圖2,牙簽盒在初始狀態(tài),D,H,尸三點共線,NHFG=46°,桿長與桿長之間角
度大小不變,F(xiàn)G=FH=\cm,
圖2
連接"G,過F作于。
:.ZGFO^—X46°=23°,HO=GO,
2
.?里=tan23。=2
OF12
設OG=5xcm,則OF=12xcm,
?*-FG=*\/OG2-K)F2=(。加),
:.FO=Ux=—cm,GH=^-cm,
1313
S?GH=/F0?HG=yHM-HF,
故答案為:儂
169
':FD//EG,DF=EG=7cm,
...四邊形DFGE是平行四邊形,
J.DE//FG,
,:NHFG=46°,桿長與桿長之間角度大小不變,F(xiàn)G=FH=\cm,
:.NFGH=NFHG=67°,
過歹作77kL于N,
:.ZGFN^—X46°=23°,HN=GN,
?.膽=tan23°=5
12
設NG=5xcm,則NF=12xcm,
."G=13x(cw),
,.NG=5x=A~cm,GH^^-cm,
1313
.*EG=7cm,
?口口―81
?EH-----cm,
13
:EB=^cm,EC=EC,
13
,.RtAEBURtAEHC(HL),
,.BC=HC,
CDE//FG,NFGH=67°,
?.ZGW=67°,
NM=23°,
Ztan23o=巨,/B=90°,ZEHM=90°,
__5_
12
設BC=HC=5xcm,則Affi=12xcm,
:.MC=13x(cm),
._EH__5_
,,京W
.^_12XEH_1iZ2X—1354
??JJi"---------二一,
181813
故答案為:54.
13
【點評】本題考查了解直角三角形的應用,平行線的判定,等腰三角形的性質,正確地作出輔助線是解
題的關鍵.
3.(2023?溫州模擬)如圖1是一張乒乓球桌,其側面簡化結構如圖2所示,臺面48=274cm(臺面厚度忽
略不計)與地面平行,且高度為76。“(臺面與地面之間的距離),直線型支架PK與0尸的上端E,
廠與臺面48下方相連,PE與。尸的下端P,0與直徑為4c加的腳輪(側面是圓)相連(銜接之間的距
離忽略不計),直線型支架CG與。X的上端C,。與臺面N2下方相連,下端G,H馬PE,0尸相連,
圓弧形支架G"分別與PE,°尸在點G,〃相連,PCLAB,QD1.AB,PE=QF,CG=DH,AC=BD,
CE=DF,已知斯=106cm,空~="tan/ECG=tan/FZ?T=a,則CG的長度為6A/73cm,當
CE93——
福所在的圓經過點P、。時,徭所在的圓的圓心到臺面48之間的距離為133.5cm.
圖1圖2
【分析】過點G作GMLAB,交AB于點M.連接CP、GH、PQ.過圓心點O作OKLGH,交GH于點
K,交PQ于點N.根據(jù)已知條件求出CM、MG,由勾股定理計算CG的長度;由垂徑定理求得GK、PN,
由勾股定理和半徑相等列方程,求出ON,進而求出圓心到N8的距離.
【解答】解:過點G作GML48,交于點連接CP.
..eAB-EF274-106AC5
22CE9
/.CE=-AE=—X84=54(cm).
1414
XVCP=76-4=72(cm),
:.tanZCEP=^-=^-=^.
CE543
':tanZECG=^-=—,tanZCEP=—=—,
CM3ME3
.CM=1
"ME~2
:.CM^1-CE=^-X54=18(cm),MG^—CM=^-X18=48(cm),
3333
CG=VCM2+MG2=V182+482=6^73(cm).
點。為&所在圓的圓心.連接GH、PQ,過點。作OKLGH交GH于點、K,交PQ于點、N.
由垂徑定理,得GK=、GH=ME4EF=CE-CM+^EF=54-18+—X106=89(cm),
2222
PN=^-PQ=Acz)=A(EF+2CE)=—X(106+2X54)=107(cm).
2222
:.KN=CP-MG=12-48=24(cm).
':OP2^PN2+ON2,0G2=GK2+OK2,且OP=OG,
Pl^+ON2=Gf^+OK2,
尸解+。解=6爛+(KN+ON)2,即1072+02\^=892+(24+ON)2,解得ON=61.5.
CWK?P=61.5+72=133.5(cm).
.??加所在的圓的圓心到臺面N5之間的距離為133.5cm.
故答案為:6773-133.5.
【點評】本題考查垂徑定理及解直角三角形的應用,理解和靈活運用垂徑定理,并能夠熟練地解直角三
角形是解答本題的關鍵.
4.(2023?鹿城區(qū)校級二模)如圖1,是一種購物小拉車,底部兩側裝有軸承三角輪,可以在平路及樓梯上
推拉物品.拉桿固定在軸上,可以繞連接點旋轉,拉桿,置物板,腳架形狀保持不變.圖2,圖3為購物
車側面示意圖,拉桿。尸,DE,DF=24cm,FG=,。8cir,。出。。的半徑均為4。"?,。為三角
3
輪的中心,OA=OB=OC,ZAOB=ZBOC=ZAOC.如圖2,當輪子08,G)C及點G都放置在水平地
面印時,。恰好與的最高點重合.此時,D的高度為20cm,則OA=cm;如圖3,拉動OP,
使輪子04。8在樓梯表面滾動,當OA〃印,且B,O,。三點共線時,點G與8的垂直高度差為
cm.
【分析】如圖2,連接8C,延長NO交BC于J,作80_L〃G于0,由圓的半徑為4CM,得47=12CTM,
設04=0B=xcm,利用勾股定理即可求出。/長;作FS_LHG,求出。、G的水平距離,如圖3,設02
交08于K,連接KG,作GATL過8的水平線BM于M,交過K的水平線于N,在△KNG和△87?K中,
利用三角函數(shù),求出GN和87?,即可求出GM.
【解答】解:如圖2,連接8C,延長/。交8C于J,作20,8G于0,
,:D的高度為20cm,
?*AJ~~12c加,
設OA=OB=xcm,
.'.0J=12-x(cm),
?:OA=OB=OC,NAOB=NBOC=NAOC,
:.ZBOC=nO°,ZBOJ=60°,/OBJ=30°,
:.OB=2OJ,SPx=2(12-x),
/.x=8,即OA=Scm.
故答案為:8;
如圖2,作尸S_LHG,
.'.FS=20cm,
???5G=iyFG2_FS2=2^3_,
如圖3,設OB交OB于K,連接KG,作6W,過8的水平線8河于M,交過K的水平線于N,
圖3_
由圖2得KG=>尸+SG=24+20我(Cm),
3
':OA//KN,DF//KG,
:.ZBR4=ZOBM=120°,ZBKG=ZBDF=90°,
:.ZNKG=30°,
GN=1KG=12+J°V3(cm),
23
作2R_L3于尺,
:.NKBR=30°,
\"BK=4cm,
:.BR=4-cos30°=273(cm),
,:NM=BR,
:.GM=GN+NM=\2+1&如
3
故答案為:(12+16遍).
3
【點評】本題考查了解直角三角的綜合應用,準確找到三角形的邊角關系是解題關鍵.
5.(2023?金華模擬)如圖1是一款重型訂書機,其結構示意圖如圖2所示,其主體部分為矩形EFG8,由
支撐桿CD垂直固定于底座上,且可以繞點。旋轉.壓桿"N與伸縮片尸G連接,點/在8G上,
MN可繞點M旋轉,PGLBC,。尸=8厘米,不使用時,EF//AB,G是P尸中點,tan/PMG=3,且點
4
。在的延長線上,則GF的長為________厘米;使用時如圖3,按壓使得〃/瓦此時點尸落
在N8上,若CD=2厘米,則壓桿MN到底座AB的距離為__________________厘米.
H
N
【分析】延長MW,則2W過點。,根據(jù)tan/PMG=3和止=8可得Gb的長;過點P作PK_L4B于
4
K,可得/PFK=NCDF=/MPF,利用勾股定理可得W的長,最后利用三角函數(shù)可得答案.
【解答】解:如圖2,延長NM,則7W過點
/./PMG=/PDF,
tanZPDF=tanZPMG==—,
DF4
即里=旦,PF=6,
84
■:PF=6,
;.GF=^PF=3(厘米).
2
如圖3,過點尸作PKL/B于K,
9:MN//AB,
:.PK±MN,ZMPF=ZPFK,
VZDFP=ZDCF=90°,
???ZCDF+ZDFC=ZPFK+ZDFC=90°,
JZPFK=ZCDF=/MPF,
由圖2可得,PG=3,tanN尸MG=3,
4
:.MG=4(厘米),
RtzXDCF中,CFyjg2-22-2V15,
tanZCDF=tan/MPF=2T,
2PG
:.PG=-^=r
,PF"+3,
V15推
nu/7FPK
VsinZCDF=sinZPFK=—
8'+只
Vl53
:.PK=厘米.
4
故答案為:3;(1+).
【點評】本題考查解直角三角形的應用,正確作出輔助線構造直角三角形是解題關鍵.
6.(2023?金東區(qū)一模)如圖1為某小區(qū)出入口柵欄道閘,BE,CF為柵欄道閘的轉動桿,上面有10根等間
距的豎桿,未抬起時與地面保持水平,豎桿豎直地面,在道閘抬起時最大旋轉角度為70°
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