重慶某中學(xué)2025屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

重慶育才中學(xué)高2025屆高三（上）一診模擬考試

數(shù)學(xué)試題

（本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，請(qǐng)考生先在答題卡上準(zhǔn)確工整地填寫(xiě)本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào).

2、選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非洗擇顆必須使用0.5mm黑色簽字筆答題.

3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答，超出區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效：在草稿紙、試題卷上答題

無(wú)效.

4.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀：考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知集合,則滿(mǎn)足N=|1,2,3,4的集合A/的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.7C.8D.16

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（”,0）上單調(diào)遞減的是（）

A.r=x1B.y=|.xj

C.y=ln（-x）D.y=2'-2'

3.已知平面向量Z=|I.-215=（4,-3），且口￡+可1￡,則的值為（）

2

A.-2B.——C.2D.6

4.已知圓。：1+/_6工一2.1，+8=0的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別是18，則它們到直線/rH

的距離之和為（）

A.3陋B.47rC.66D.86

5.已知直線I=。與雙曲線C?匚-匚=lio>0b>01的兩條漸近線圍成的三角形面積為4,則雙曲線的

a'b:

焦距的最小值為（）

A.2B.2y/1C.4D.4>/T

第1頁(yè)/共5頁(yè)

6.如圖，現(xiàn)有一塊半徑為10m的半圓形草坪，圓心記為0,.40是圓。的一條直徑，現(xiàn)計(jì)劃在草坪內(nèi)修建一

條步道]-8-C-D,8和C在弧4。上（不與人。重合）AB=CD則步道長(zhǎng)的最大值為（）

A.25mB.30mC.20cmD.15+6缶

7.在平面直角坐標(biāo)系xO.r中，1,（）（,曲線,=sinx與圓v-+廠=I在第一象限交于點(diǎn)A,設(shè)扇形。48的

面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）

兀C兀r兀Cn

A.——<S<—B.—<S<—

24161612

ITc兀兀c兀

C.—<S<-D.-<S<-

12886

8.對(duì)于數(shù)列q,：,若存在某三項(xiàng)41n,4,%（〃]<〃<p）成等差數(shù)列，則稱(chēng)它們是；《二的一個(gè)三元等差子數(shù)

列.現(xiàn)已知數(shù)列；@八中，fl,=1,0.=2x3--2-（〃22],則：*的三元等差子數(shù)列的個(gè)數(shù)是（

）

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)=1,2.“I，另一組樣本數(shù)據(jù)工=ax.?例">0|Ii=1,2...川，下列說(shuō)法正確

的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)，.7:的極差為R,則樣本數(shù)據(jù)上（，=1,2，…,〃）的極差為加

B.若樣本數(shù)據(jù)其〃=1,2，…,”的方差為廣，則樣本數(shù)據(jù)工什=1,2，…,”的方差為

C.若樣本數(shù)據(jù)v|/=l,2…n\的中位數(shù)為M，則樣本數(shù)據(jù)r.|/=l,2…,〃I的中位數(shù)為fl.W+h

D.若樣本數(shù)據(jù)v,|/=l,2…〃I的平均值為v,則樣本數(shù)據(jù)r,|/=1.2…,”的平均值為ax-b

10.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?X.0iu|0.trI./I,yv|=/'(x)+/(r|-I,且當(dāng)x>1時(shí)，/]x)>I,

則()

A./(1)=1

第2頁(yè)/共5頁(yè)

B.是偶函數(shù)

c/(；)+/(；)+川)+八2)+/(3)=3

D.不等式〃2)+/(x)</(x+l)+l的解集為(-；,0卜(0,1)

11.平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)川-1,0),8(1,0),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足陷|+|尸8|=歸/卜仍用，設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為C，

則()

A.曲線C是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形

B.I/^I?|/J/?|>4

C.曲線C與圓t-廠=16有公共點(diǎn)

D.42<|/<4|<2>72

第n卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

13.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為*Mu<卜，且.，.卜=22,側(cè)面與下底面所成的二面角大小為

45-若四棱臺(tái)的體積則。的最大值為.

14.已知，48('中，，48=65/5',/。8=/力6。=30"/分別是線段八.8(,上的點(diǎn)，且」￡=2，

BF=L'為EF的中點(diǎn)，貝1Jtan/NBA=.

四、解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐P.4BCD中，底面.4BCO是等腰梯形，,4。〃BC.PA1底面

ABCD.PA=tfC=4,4B=2,NABC=60.

第3頁(yè)/共5頁(yè)

(1)證明：.481PC；

(2)求二面角.』PCD的正弦值.

16.近年來(lái)，開(kāi)盲盒深受年輕人的喜愛(ài).甲商店推出一款售價(jià)為1元/個(gè)且外觀相同的盲盒，每開(kāi)一個(gè)盲盒，

會(huì)等可能地開(kāi)出3款玩偶(分別記為A款、8款、C款)中的某一款.乙商店出售與甲商店款式相同的非盲盒

玩偶且售價(jià)為3元/個(gè).

(1)若小明一次性購(gòu)買(mǎi)了甲商店的3個(gè)盲盒，求他至少開(kāi)出2個(gè)A款玩偶的概率；

(2)若小明只想要A款玩偶，方案一：直接去乙商店購(gòu)買(mǎi)；方案二：在甲商店以開(kāi)盲盒方式購(gòu)買(mǎi)，并與

老板協(xié)商一致，每次開(kāi)一個(gè)盲盒，如果開(kāi)出A款玩偶則停止，否則再開(kāi)一個(gè)盲盒，若連續(xù)四次均未開(kāi)出A款

玩偶，老板就贈(zèng)送一個(gè)A款玩偶給他.為了得到A款玩偶，你認(rèn)為小明應(yīng)該選擇去哪家商店購(gòu)買(mǎi)更劃算，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

17.已知.48C的三邊u所對(duì)的角分別為48.030畝(/+8|=50M(.4B].

⑴若求tanC取值范圍；

(2)若(二二acos8+/)cosJS=2，求4BC的面積.

18.已知函數(shù)f(x)=Rnx(入>0),g(x)=亨(a>0,x>0)，曲線y=f(x)與y=g(x)有公共

點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.

(1)用工表示a,并求a的最小值；

(2)求證：當(dāng).1>o時(shí)，/(、12g(x|；

(3)已知川=\山，若方程力(有兩個(gè)不等實(shí)根r：,證明：A,,V(<w?1

19.已知〃個(gè)不同的橢圓￡：:./+3/>O,i=l,2，…,用，射線(：y=4x(x20)與昂￡,

“」，分別交于點(diǎn)4,4，一、4,射線與￡pJ…分別交于點(diǎn)4，區(qū)，….8..

第4頁(yè)/共5頁(yè)

(1)證明：”4區(qū)；

(2)作射線/:.r=h(xNO|(異于/")與居,仆….E,,分別交于點(diǎn)月記/川上的面積為

S,(i=1,2,…，川.

(i)求當(dāng)、的值；

I?31

(ii)若I二IJ,--4，且卬=二〃=1.2...〃卜記S=ZS'證明：S<—.

Ii=i42

(參考數(shù)據(jù)：4.5<vrr<4.6)

第5頁(yè)/共5頁(yè)

重慶育才中學(xué)高2025屆高三（上）一診模擬考試

數(shù)學(xué)試題

（本試卷共150分，考試時(shí)間120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，請(qǐng)考生先在答題卡上準(zhǔn)確工整地填寫(xiě)本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào).

2、選擇題必須使用2B鉛筆填涂，非洗擇顆必須使用0.5mm黑色簽字筆答題.

3.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中題號(hào)對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)作答，超出區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效：在草稿紙、試題卷上答題

無(wú)效.

4.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要折疊、損毀：考試結(jié)束后，將答題卡交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選

項(xiàng)是符合題目要求的.

1,已知集合,則滿(mǎn)足N-M=U，2,3,4的集合A/的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.7C.8D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)集合的并集得出GMG[1,2,3,4｝，進(jìn)而得出集合M的個(gè)數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)榧螻=；1,2,3；且NuM=；1,2,3,41,

所以⑶匚“U123,4；,

則集合A/為：，

所以集合M的個(gè)數(shù)是8個(gè).

故選：C.

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（-凡0）上單調(diào)遞減的是（）

A.）-=,r!B.

C.y=ln（-x）D.>-=2*-2*

【答案】D

第1頁(yè)/共23頁(yè)

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，不滿(mǎn)足單調(diào)性，BC選項(xiàng)，不滿(mǎn)足奇偶性；D選項(xiàng)滿(mǎn)足奇偶性和單調(diào)性，得到答案.

【詳解】A選項(xiàng)，「=J在小上單調(diào)遞增，不合要求，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，定義域?yàn)镽,且/(-X)=卜川=卜|，故J=N不是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，令7>(),解得1<。，故丁=ln|的定義域?yàn)?—人0),則j=ln|x)不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，，g(x|=2'-2'的定義域?yàn)镽,且g(-x)=2'-2-'=-(27-21=-g(x|，

故g(x|=2'，2'為奇函數(shù)，且「一2'在R上單調(diào)遞減，尸=2‘在R上單調(diào)遞增，

故.「-2'-2'在R上單調(diào)遞減，則.1-2’一2’在「8,0「上單調(diào)遞減，滿(mǎn)足要求，D正確.

故選：D.

3.已知平面向量2=(1.2)萬(wàn)=(4,-3),且口￡+可二，則/.的值為()

2

A.—2B.——C.2D.6

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可得;17+人￡=(),利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求得;.的值.

【詳解】因?yàn)?乂+可1G,所以(白+葉Z=o,所以筋\3=0，

又因?yàn)椤?(L-2)1=(4,一3),所以；?10二0，解得Z=-2.

故選：A.

4.已知圓C：Y+.F_6K_2.F+8=0的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別是乩8,則它們到直線-J一〕

的距離之和為()

A.38B.4x/TC.66D.8a

【答案】D

【解析】

【分析】求出圓心C到直線的距離，再借助梯形中位線性質(zhì)求得答案.

【詳解】圓。：(、一3)2+(卜一1尸=2的圓心,

過(guò)LC.6分別作直線的垂線，垂足分別為r.c'./r,

第2頁(yè)/共23頁(yè)

圓心（.到直線4='I的距離為|CC'卜回芳批=45/1,

由C是線段,18的中點(diǎn)，乩4'//CCMBM，

故選：D.

5.已知直線I=6與雙曲線C：L-匚=]">0力>0'，的兩條漸近線圍成的三角形面積為4,則雙曲線的

4rb

焦距的最小值為（）

A.2B.2aC.4D.4y/2

【答案】D

【解析】

【分析】求出雙曲線的兩條漸近線方程，借助三角形面積求出口,/）的關(guān)系，再利用基本不等式求出最小值.

【詳解】雙曲線c?二-工=1漸近線方程為I土妙=。，由r="，解得一=土”,

a2h2[hx±ay=O[y=/>

因此直線I=「與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn)為（7J）,（0,6）,

直線「二”與雙曲線C的兩條漸近線圍成的三角形面積?力=4,則"=4,

2

雙曲線C的焦距2c=2^ci'4h:>2J2ah=45/2，當(dāng)且僅當(dāng)u=h時(shí)取等號(hào)，

所以雙曲線C的焦距的最小值為46.

故選：D

6.如圖，現(xiàn)有一塊半徑為10m的半圓形草坪，圓心記為0,40是圓。的一條直徑，現(xiàn)計(jì)劃在草坪內(nèi)修建一

條步道4-8-C-D,8和。在弧,40上（不與工。重合）.IB=CD,則步道長(zhǎng)的最大值為（）

第3頁(yè)/共23頁(yè)

A.25mB.30mC.2。后D.15+156nl

【答案】B

【解析】

【分析】作出輔助線，設(shè)NCO。=8，0<0<-,表達(dá)出CN二DN二10§in上，（,1/=BM=lOcosfl，

22

/石、2

化簡(jiǎn)求出/6+CD+5C=-40（sing-；］+30，結(jié)合0<64］，得到最大值.

【詳解】取8JCD的中點(diǎn)M不，連接0”,0\,08.0C，

則OM±fiC,o.v±CD，

因?yàn)锳8=CD，所以=/DOC=乙aOB，

因?yàn)镺B=OC,所以N0C8=ZOBC，

因?yàn)?DOC+N.4O8+/8OC=/OC8+NO8C+/8OC=x，

所以/OC8=/O8C=NDOC=//O8，

故.48CD，故?！薄繟D，

設(shè)/CO0=8，O<0<-,則/DON=NCON=2，ACOM=--6>

222

故CN=0N=IO$ing，CM=BM=10sin|y-0j=lOcosO,

^LAB+CD+BC=20sin—+20sin—+20cos9=40sin—+2ofl-2sin2—

22212）

oo（oiy

=-40sin2—+40sin—+20=-40sin-------+30，

22I22）

因?yàn)?<84P，所以0<2勺￥,0<sin-<>

22422

第4頁(yè)/共23頁(yè)

故當(dāng)sin2=，，即e=￥時(shí)，T0（sin，一1丫+30取得最大值，最大值為30,

223{22）

故步道長(zhǎng)的最大值為30m

7.在平面直角坐標(biāo)系工。>中，8（1,0）,曲線J=sinr與圓「+廠=|在第一象限交于點(diǎn)A，設(shè)扇形048的

面積為，則下列說(shuō)法正確的是（）

兀c兀兀cn

A.——<S<—B.——<S<—

24161612

7T7T—兀c兀

C.—<S<—D.—<S<—

12886

【答案】C

【解析】

【分析】令/（x）=sinx--r（0<x<—）,可得r=sin,r在J-r的下方，設(shè)直線「=（與圓「+/=|交于

點(diǎn)C，從而可得S<P,設(shè)點(diǎn)。（口,1）,設(shè)00與單位圓交于點(diǎn).，可得S>Sr,可得結(jié)論.

8、2，則jtjoo.w12

【詳解】令/（x）=sinx-x（0<》<；），求導(dǎo)得門(mén)【）=cosx-I<0，

所以所以<I，所以「二sin.r在J=I的下方，

設(shè)直線J:工與圓v：+廠:I交于點(diǎn)C，直線的傾斜角為石，弧長(zhǎng)1B二Nxl二四，

444

則扇形。48的面積S<=-x—x1=—,

248

設(shè)點(diǎn)。（：，I），y=sin.v（0<.v<勺在直線00的上方，直線0。的斜率為三>巫，

22n3

所以00的傾斜角大于三，設(shè)00與單位圓交于點(diǎn)“，sK??>lx-xi=2L,

6G龍。8"2612

又扇形0.48的面積S>=—.

故選：c.

8.對(duì)于數(shù)列aj,若存在某三項(xiàng)牝|，4，%（小〈〃<.）成等差數(shù)列，則稱(chēng)它們是：《二的一個(gè)三元等差子數(shù)

第5頁(yè)/共23頁(yè)

歹U.現(xiàn)已知數(shù)歹中，%1=2x3--21〃之2],則；q；的三元等差子數(shù)列的個(gè)數(shù)是(

)

A.0B.1C.2D.無(wú)數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】由已知，求出數(shù)列|““：的通項(xiàng)公式，若存在某三項(xiàng)41n,4,%(，”<〃<p)成等差數(shù)列，由

a.+4Nq=3"“-2””+1和=2x3"-2"”，得見(jiàn),+q>2%，所以數(shù)列｛q｝的三元等差子

數(shù)列的個(gè)數(shù)是0.

【詳解】因?yàn)閿?shù)歹!J：q：中，％=1,%=2x3-2"

則%=4+(%“』+&%)+...+(%-%)

=I+(2X3-2|+(2X32-22)+-+(2X3*'1-2-')

=1+2(3+32+???+3"-')-(2+2:+-+2-')

3(1-3-')2(1-2-')

=l+2x_l-----L__1-----1=3'-2"(〃N2)，

1-31-2

又4=|滿(mǎn)足上式，所以勺=3"-2",

若存某三項(xiàng)(m<〃<p)成等差數(shù)列，

則一方面，…=|3-2)+(3“-2-1=3八-2'+1,

另一方面，2%=2(3"-2"j=2x3"-2"，,

顯然—>2。,,，

所以數(shù)列|?二中不存在三元等差子數(shù)列.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用累加法求出數(shù)列：q：的通項(xiàng)公式是求解問(wèn)題的關(guān)鍵.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知一組樣本數(shù)據(jù)門(mén)i=1,2，…,〃|,另一組樣本數(shù)據(jù)上=?！讣觓>0"i=l,2…下列說(shuō)法正確

第6頁(yè)/共23頁(yè)

的是（）

A.若樣本數(shù)據(jù)，：的極差為R,則樣本數(shù)據(jù)=1,2…〃）的極差為加

B.若樣本數(shù)據(jù)工（，=1,2，…,的方差為則樣本數(shù)據(jù)工|，=1,2，…,n\的方差為八：

C.若樣本數(shù)據(jù)工"=1,2…川的中位數(shù)為“，則樣本數(shù)據(jù)］=1,2，…,〃|的中位數(shù)為a"+b

D.若樣本數(shù)據(jù).v,|/=l,2…,//I的平均值為x,則樣本數(shù)據(jù)M〃=12，…,〃I的平均值為af?h

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，設(shè)最大值為工,，最小值為工，占-Q=R，根據(jù)F=ax+/）|a>（"在R上單調(diào)遞增得

到樣本數(shù)據(jù)上（，=1,2，…,山的極差為,次；B選項(xiàng)，根據(jù)方差的性質(zhì)得到B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，根據(jù)

r=ax+h\a>（））的單調(diào)性得到C正確；D選項(xiàng)，由平均數(shù)的性質(zhì)得到D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)=，…,〃1中，最大值為X,,最小值為

則\\-X,=R,

由于】=axb\a>0|在R上單調(diào)遞增，

故樣本數(shù)據(jù)J1，=1.2〃|中，最大值為Ini-b,最小值為?-；?r+卜，

故）\y.=axK4hax,b=a\x;|=a/?,

則樣本數(shù)據(jù).1,2，…,n\的極差為,火，A正確；

B選項(xiàng)，根據(jù)方差的性質(zhì)，樣本數(shù)據(jù)y|j=l,2，…,〃i的方差為0：.『，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由于）,=ax+/>（a>0）在R上單調(diào)遞增,

樣本數(shù)據(jù)\（/=1,2，…,〃）與相對(duì)應(yīng)的上（，=1.2，…,〃|從小到大排列的順序不變，

則樣本數(shù)據(jù)］2…〃|的中位數(shù)為u”+h，C正確；

D選項(xiàng)，由平均數(shù)的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)y{i=1,2，…,川的平均值為/>,D正確.

故選：ACD

10.已知函數(shù)/5）的定義域?yàn)椋?8,0）30,+8）,/5，）=/K）+〃田-1，且當(dāng)x>l時(shí)，f{x}>\，

第7頁(yè)/共23頁(yè)

則()

A-/111=1

B.是偶函數(shù)

c./(；)+/(；)+*[+”2)+川)=3

D.不等式/(2)+/(x)</(x+l)+l的解集為(-g,0u(O,l|

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到=kB選項(xiàng)，令r=「=-I得〃-1)=1,再令尸-1得

f(-X)=/(.VbB正確；C選項(xiàng)，令A(yù)W得/(；)+/(4=2,從而

/(；)+/⑶=/(；)+〃2)=2,求出/(；)+/(；)+/口+/|2)+〃3)=5；D選項(xiàng)，定義法得

到〃在(0,+<?)上單調(diào)遞增,變形得到

/P，r)</|x+l|=>/(|2x|)</(|x+l|).所以|2x|<|x+l],兩邊平方，結(jié)合函數(shù)定義域，求出解集

【詳解】A選項(xiàng)，/(=/(1)+/")1中，令x=j=l得

./'(II=2/|li1,解得〃11=1,A正確；

B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?x,OiUlO,-Fxj,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

又/IvvI=/(.vi+/(yI?1中，令JT=「=-I得

II,又〃1|=1,故/(1|=1,

/(XV)=/(x)+/()?)-1+>令y=-I得==,

故/(x)是偶函數(shù)，B正確;

C選項(xiàng)，/(、),)=〃x)+/(,)T中，令得

第8頁(yè)/共23頁(yè)

川)=/3+/]卜，即/3+咽=2,

所以/(；)+〃3)=/(；)+〃2)=2,

故/(1+/(；)+/⑴+/I2+.3)=5,

又/⑴=1,c錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，任取為,與w(0,+8],Y[<Y,

/(AT)=/(.\)+/(.F)1中，令工=.卬I=上得

X|

=〃$)+/隹]—1,即/(制一/㈤=/(%]—1,

<Xl)IX|/

因?yàn)?Ww<0,+工I,L<丫，所以”>1,

x\

/\

又x>l時(shí),r(x)>b故/Z-l>o,

UJ

故/($)</(xJ,在(O,+<?)上單調(diào)遞增，

/(2)+/(x)</(x+l)+l=>/(2)+/(x)-l</(x+l)

=>/(2x|</|x+l|=>/(|2x|)<+.

所以|2\<x+1，兩邊平方得$/<「+?x+1，

解得一,<x<l,又xwO，

3

故解集為j-1,0u(0,l|,D正確.

故選：ABD

11.平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn).4(-1,0),8(1,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|P4|+|P8|=|/MPB，設(shè)點(diǎn)p的軌跡為C，

則()

A.曲線。是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形

B.\PA\+\PB\>4

第9頁(yè)/共23頁(yè)

C.曲線C與圓「-rIh有公共點(diǎn)

D.y/2<\PA\<2+y/2

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)于A：根據(jù)題意結(jié)合幾何性質(zhì)分析判斷即可；對(duì)于D：根據(jù)題意結(jié)合|P$-|P8<48=2運(yùn)

算求解即可；對(duì)于B：根據(jù)題意結(jié)合對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性運(yùn)算求解即可；對(duì)于C：假設(shè)成立，根據(jù)

|P/『+|P8『=2（|「0『+|0廠）解得|尸/|+|?6|=屈±1,進(jìn)而得出矛盾.

【詳解】因?yàn)榇?1,0）,8（1,0|,可知0（o,o）為線段AB的中點(diǎn)，

又動(dòng)點(diǎn)?滿(mǎn)足/川+|尸8|=|尸/卜儼川，則可得|PA|>1-

四|=晶>0

對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)動(dòng)點(diǎn)「關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P,則儼川=/洶”到=山山，

可得出川+出8|=PtA\PtB，所以曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);

設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為P：,可知尸為平行四邊形,

網(wǎng)=/4可得艮川+內(nèi)用=歸4|代用，所以曲線c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);

綜上所述：曲線（’是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)镻$-|P8<AB\=2,

即伊力一/"r'2,解得應(yīng)《|戶(hù)山42+JI,故D正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因|F+|P8|=|P/|+合+=（儼/|-1）+由「>+2,

令r=[拒-1,VF+l],則|P4|+|PB|=r+l+2,

第10頁(yè)/共23頁(yè)

由對(duì)勾函數(shù)可知（|=/+1+2在[Jf-lj]內(nèi)單調(diào)遞減，在（I,JJ+1]內(nèi)單調(diào)遞增，

且/（1）=4,/（6-1）=/（"+1）=2+28，可得/（“"4.2+2C]，

所以|P/|+|P8|￡[4,2+28],故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭?而2=（所+方『+（而一刀/=2（而，+萬(wàn)

即|P/『+|P8『=2（|P01+|0廠），

若曲線C與圓、-廠;16有公共點(diǎn)，則仍。|=4,

可得|P"+|P8『=2伊0『+|0硝=34,則（附|+則/-2附卜網(wǎng)=34，

又因?yàn)閨P/|+儼訓(xùn)=歸/卜仍用，

可得（|P川+|P8『-2（附|+|P8|）=34，解得儼H+|P8|=屈±1，

注意到附|+|「同6[4,2+26],且2+2逝＜屈一1＜屈+1，

可知|?才|+|尸6|=屈±1均不符合題意，

所以曲線C與圓t-「二16沒(méi)有公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于選項(xiàng)BD：根據(jù)幾何性質(zhì)歸山-|P8＜482解出的取值范圍，再結(jié)合對(duì)

勾函數(shù)單調(diào)性求|“/為|的范圍，進(jìn)而解決問(wèn)題.

第II卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)二=-1—,貝。|二=__________.

1+i11

【答案】^##1x/2

22

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則得到二=L-L,利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)公式求出答案.

77

第11頁(yè)/共23頁(yè)

故答案為邛

13.已知正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為“小川〈h,且d+廠=22，側(cè)面與下底面所成的二面角大小為

45>若四棱臺(tái)的體積J7>1，則。的最大值為.

【答案】2

【解析】

【分析】先設(shè)正四棱臺(tái)，再根據(jù)二面角的平面角的大小計(jì)算出高OG=PT=i,然后利用臺(tái)體體積公

2

式結(jié)合/+獷=22化簡(jiǎn)求解即可.

【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)為,43CD—44G。，

如下圖，延長(zhǎng)棱臺(tái)母線交于點(diǎn)，過(guò)作SG1平面.48CD于G,交平面」B1于0,連接S,G與A2

中點(diǎn)RSF交兒用于尸

因?yàn)閭?cè)面與下底面所成的二面角大小為45,所以』SFG=45".

過(guò)p作戶(hù)TiFG于T，則FT=?，所以。G=P7="m,

22

?I/,.,,\b-ab}-o'

=才。一+V+ab)x——=---，

JL0

又因?yàn)閛'+b'=22

所以匕…=22~2a->1,所以u(píng)<2，則”的最大值為2.

故答案為：2?

14.已知.48。中，48=66,/。48=/48。=30',￡,廠分別是線段，4('.8('上的點(diǎn)，且」￡=2,

第12頁(yè)/共23頁(yè)

BF=4..V為EF的中點(diǎn)，則tan/N/M=

【解析】

(八.

【分析】先根據(jù)已知條件建系再應(yīng)用邊長(zhǎng)關(guān)系得出-；-，：，進(jìn)而得出正切值

(221

即可.

【詳解】

4

在ABC中，AB=66*NCAB=ZABC=30,則40=BO=3?NOCB=ZACO=60-JO

AC=BC=6,

分別以18,0C為T(mén).J,軸建系，

因?yàn)?2..4C=6,8F=i.8C=6.V為EF的中點(diǎn)，

所以E(-2VJ,1"(VI,2),N--，

所以lan/NB/=

故答案為：避

7

四、解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐P-18C0中，底面.48C0是等腰梯形，,4。//BC,PA,底面

IBCD.PA=5(=4,AB=2,^ABC=60

第13頁(yè)/共23頁(yè)

（1）證明：.481PC；

（2）求二面角.』PCD的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵晅

19

【解析】

【分析】（1）利用余弦定理可求得H'=利用勾股定理的逆定理可得/8.4C=90-可證JS1AC

,由題意可證Pd,IB，可證,48i平面，可證結(jié)論；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PC。的一個(gè)法向量］又可得刀;（2,0、0）為平面

PAC的一個(gè)法向量，利用向量法可求二面角』PCD的正弦值.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镻X1底面.48CD，48底面.48。。，所以PX一48，

又,48=2.448C=60.8C=4，

由余弦定理可得=48?+8C，-2/B?BC?cos//BC=4+16-2x2x4x1=12,

2

所以4C=24,所以1（.：?48：=，12=16=8L，所以/84C=9（T，

所以.461JC,又P41,1C-.1,PJ.JCc平面P.4C，

所以彳81平面廣」（、，又PCu平面P.4C，所以.481PC；

【小問(wèn)2詳解】

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，48JC,.■!P所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

第14頁(yè)/共23頁(yè)

二

因?yàn)?4?！?C，Z.4BC=60'"所以/8/D=120，所以一C.1D=3Q'，

因?yàn)榈酌鎑BCD是等腰梯形，所以j」DC=12(T，所以一KD=3(l

所以=CD=8C=2，

則4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2瓜0),P(0,0,4),。(一1,6,0)，

所以?=(0,0,4),X=(0,2>/3,0),CD=(-1,-AO),CT=(0,-2>/J,4)，

設(shè)平面PCD的法向量為G：(,t,r,-)>

nr[wCD=-x-V3v=0人.，ll

則，___,令r=2,則<=-?5>2—,

/rP=-2V3y+4z=O

所以平面PC。的一個(gè)法向量為7=(-26.2、JJ)，

又481平面P4C，所以而=(2,0.0)為平面P4C的一個(gè)法向量,

彳展斤_-4。2x/57

所以cosAB,n=

|jfi||w|-2xVl2+4+319

因?yàn)?4而，萬(wàn)，兀，所以sin,4反”=

所以二面角」PC。的正弦值為鬧.

19

16.近年來(lái)，開(kāi)盲盒深受年輕人的喜愛(ài).甲商店推出一款售價(jià)為1元/個(gè)且外觀相同的盲盒，每開(kāi)一個(gè)盲盒，

會(huì)等可能地開(kāi)出3款玩偶(分別記為A款、8款、C款)中的某一款.乙商店出售與甲商店款式相同的非盲盒

玩偶且售價(jià)為3元/個(gè).

(1)若小明一次性購(gòu)買(mǎi)了甲商店的3個(gè)盲盒，求他至少開(kāi)出2個(gè)A款玩偶的概率；

第15頁(yè)/共23頁(yè)

（2）若小明只想要A款玩偶，方案一：直接去乙商店購(gòu)買(mǎi)；方案二：在甲商店以開(kāi)盲盒的方式購(gòu)買(mǎi)，并與

老板協(xié)商一致，每次開(kāi)一個(gè)盲盒，如果開(kāi)出A款玩偶則停止，否則再開(kāi)一個(gè)盲盒，若連續(xù)四次均未開(kāi)出A款

玩偶，老板就贈(zèng)送一個(gè)A款玩偶給他.為了得到A款玩偶，你認(rèn)為小明應(yīng)該選擇去哪家商店購(gòu)買(mǎi)更劃算，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

【答案】（1）—

27

（2）去甲家商店購(gòu)買(mǎi)更劃算，理由見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）首先設(shè)至少開(kāi)出2個(gè)僦玩偶為事件￡,結(jié)合獨(dú)立重復(fù)事件概率公式，即可求解概率；

（2）根據(jù)方案二的結(jié)果求分布列及再根據(jù)方案一平均花費(fèi)為元，即可比較判斷.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)至少開(kāi)出2個(gè)A款玩偶為事件E

【小問(wèn)2詳解】

方案一：直接去乙商店購(gòu)買(mǎi)花費(fèi)3元；

方案二：設(shè)X表示開(kāi)盲盒的次數(shù)，即花費(fèi)為丫=工，

故X的所有可能取值為1，2,3,4,

P(X=4)=P(Y=4)=信)xl=5P(x=3)=P(y=3)=徑]=*

(2121

p[x=2)=p(r=2)=l、pix=i|=p(y=i)=1,

方案二平均花費(fèi)為上＜3元，方案一平均花費(fèi)為元，故小明應(yīng)該選擇去甲家商店購(gòu)買(mǎi)更劃算.

27

第16頁(yè)/共23頁(yè)

17.已知的三邊u.k所對(duì)的角分別為人民C,3sin(4+6)=5sin(4-8).

(1)若8求tanC的取值范圍;

(2)若=acosfi+/?co、4./>—2,求.48('的面積.

【答案】(1)tanC

⑵巫

10

【解析】

【分析】(1)利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)為sinAcos/J=4cosAsinB，整理得tanJ=4tan,所以

tanC=51anB,換元后得(un。〃八=二_,最后利用函數(shù)單調(diào)性即可求解；

4tanfi-1'4廠-I

(2)余弦定理代入=oco$8+frcosJ中得c=1，由sin,4co$8二4co$/sin8與

c'=acosB+6cosJ=I可以計(jì)算出cosA=—，進(jìn)而得sinA=-——，最后代入S郎=—Acsin.1即可

10102

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?§in(4+B)=5sin(4一8),所以3§in4co§8+3co$.4§in8=5§in/co§8?5co§/$in8，

則sinAcosB=4cosAsinB，即tanJ=4tanfl，

ABB

tanC=tan[-(J+S)J=-tan|J+51tan+tan5tan

I-tanAtanB4tan:fl-1

H/6^,1時(shí)，.r=4jy=」均為增函數(shù)，所以入⑺在為增函數(shù),

所以，?卜川/)<大(1),即冬入(r)<3，

第17頁(yè)/共23頁(yè)

所以即tanC.你5閭

3

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镃：=0COS0+ftcosX'

由cos3=上士Q,cosA=力+U代入整理有：

2ac2bc

2tr+L-6,b+c-a*2c,

-ax———+ftx--=---二cnc二1，

lac2bc2c

所以r=?cos8+bcos/=l，

因?yàn)閟inAcos￡=4cosAsinB，力二2，

由正弦定理有：acosB=46cosA=8cosA,

代入c*=tfcosfi*frcos.1=1^:10C0sJ=1，得cos/I=—?

因?yàn)?<4<IT,所以sin/=Jl-coy4=Jl=土叵,

Vlioj10

所以c111)i3而3而

所以S=-ftcsinJ=-x2x1x-----=-----.

山221010

所以48C的面積為：力叵.

10

18.已知函數(shù)/(x)=Ahr(，>0|,g[x)=~—(a>0,x>0|,曲線y=f(x)與y=g(x)有公共點(diǎn)，

且在該點(diǎn)處的切線相同.

(1)用A表示a,并求。的最小值；

(2)求證:當(dāng)x>0時(shí)，〃“2g(x|；

(3)已知川x)=xliu，若方程力(x|="I有兩個(gè)不等實(shí)根T1.一，證明：V,-A,<W-I.

【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)公共點(diǎn)處切線相同可得利用導(dǎo)數(shù)可求。的最小值；

第18頁(yè)/共23頁(yè)

(2)利用同構(gòu)即證e」2x,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立;

(3)結(jié)合(2)可得0<玉4，〃+1.0<壬1，從而可得不等式成立.

【小問(wèn)1詳解】

f\-vl=--=

XX

AInx0=----

設(shè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x.，貝/A°，故；llng=l-;l，

A_aA

XoV

故0=入廣其中」設(shè)叩i)=Ae