中考數(shù)學專項復習：圓與射影定理結合型壓軸題（含答案及解析）

圓與射影定理結合型壓軸題專題

知識剖析

射影定理模型：

射影定理，又稱“歐幾里德定理”:在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每

一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。射影定理是數(shù)學圖形計算的重要定理，在初

三各名校的數(shù)學和各地中考試題中都多次考查了這一模型的應用。

圖形推導過程結論

①AC2=AD-AB-,

口為t/ABC=NACD

②BC?=BD?BA;

???AABC-AACD③亦=AD-BD

T--------------B.AC_AB

經(jīng)典例題

題目①（長沙中考）如圖，點P在以上W為直徑的半圓上運動（點P不與",雙重合），平分

2MNP,交PM于點、E,交PQ于點、F.

⑴理+包=

PQPM---------'

（2）若PN2=PA介腦V,則爍=.

00

???

題目⑨（北雅）如圖，點P在以AW為直徑的半圓上運動（不與N重合），PH，AW于〃點，過N點作

NQ與PH平行交MP的延長線于Q點.

（1）求/QPN的度數(shù)；

（2）求證：QN與。。相切；

（3）若PN2=PM-MN,求的值.

NH

MHON

意目國］（長沙中考）如圖，點力，8,。在OO上運動,滿足AB2=BC2+AC2，延長AC至點O,使得ADBC=

/CAB,點E是弦AC上一動點（不與點A,。重合）,過點E作弦AB的垂線，交AB于點F,交BC的延長

線于點N,交。。于點M■（點〃■在劣弧衣上）.

（1）BD是。O的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；

⑵記ABDC,^ABC,AADB的面積分別為Si，S2,S,若S/S=⑸/,求（tan。）?的值；

⑶若。。的半徑為1,設FM=①，F(xiàn)E?網(wǎng)?+,試求“關于7的函數(shù)解析式,并

V±50,JD1NAHJ,A。

寫出自變量。的取值范圍.

N

題目@（長沙中考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,對角線AC為。。的直徑，過點。作AC的垂線交AO

的延長線于點瓦點F為。E的中點,連接DB,DC,DF.

⑴求/CDE的度數(shù)；

（2）求證：DF是?。的切線；

（3）若AC=2遙DE,求tan/ABD的值.

題目回（青竹湖三模）如圖，在Rt/\ABC中，/ABC=90°，。是AC的中點，。O經(jīng)過A、B、D三點,

CB的延長線交OO于點E.

（1）求證：AE=CE；

⑵EF與（DO相切于點E,交AC的延長線于點F,若CD=CF=2cm,求⑷。的直徑;

⑶在⑵的條件下,若CF-.CD=n（n>0）,求sinZCAB.

題目包（長郡）如圖，AB為。。的直徑，弦CD與AB相交于=過點B的切線與AD的延長線

交于F,過E作EG_LBC于G,延長GE交40于H.

（1）求證：AH=HD；

⑵若黑=5,。尸=9,求③。的半徑.

B卜5

題目⑦如圖，AB是。。的直徑，點。是。。上一點，AD與過點。的切線垂直，垂足為。，直線。。與

的延長線交于點P,弦CE平分NACB，交于點F,連接BE,BE=572.

（1）求證：AC平分/DAB；

（2）若BC=5,求陰影部分的面積；

（3）若CD=3,求PC的長度（射影定理）.

題目曳〕（雅禮）如圖，已知J_AC,圓心。在AC上，點/■與點。分別是AC與。。的交點，點。是

與。。的交點，點P是40延長線與BC的交點，且AD-49=⑷AP.

（1）連接OP,證明：4ADM?△APO；

（2）證明：PD是。。的切線；

⑶若AD=24,4A1=MC,求華的值.

題目國（廣益）如圖，已知PB與。。相切于點B,A是。。上的一點，滿足PA=PB,連接P。,交AB于

E,交。。于C,。兩點，E在線段QD上，連接A。，OB.

⑴求證:直線PA是。。的切線；

⑵①求證:點。是APAB的內(nèi)心

②若PA=13,sinZAPE=磊，求。E的長;

JLJ

⑶已知第=■，求tanC

AE3

5

題目叵（長郡）如圖，4ABC中，以AB為直徑的。。分別與AC、BC交于點F、。,過點。作。E，AC于

點、E,且CE=FE.

（1）求證：DE是OO的切線；

（2）連OE.若OE=Vii,AB=10,求CE的長.

題目RTI如圖，已知。。的半徑為2,AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點M,將弧CD沿著CD翻折后,

點A與圓心。重合，延長。4至P,使4P=O4連接PC.

（1）求證：PC是。。的切線；

（2）點G為弧ADB的中點，在P。延長線上有一動點Q,連接QG交AB于點E,交弧BC于點F（F與6、

。不重合）.問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值;如果不是,請說明理由.

?M

題目J2j如圖，已知AB是半圓。直徑，點。為半圓上一動點，連接AC,過點。作CD，AB于點。，將

△ACD沿AC翻折,得到△ACE,AE交半。O于點F.

(1)求證:直線CE與③。相切；

(2)若/OCA=/ECF,人。=8,七。=6,求。尸的長.

題目遠在平面直角坐標系中，已知4一4,O),B(1,0),且以AB為直徑的圓交y軸的正半軸于點。(0,2),

過點。作圓的切線交立軸于點D.

⑴求過4三點的拋物線的解析式；

(2)求點。的坐標；

(3)設平行于n軸的直線交拋物線于兩點，問：是否存在以線段ER為直徑的圓，恰好與力軸相切？若

存在，求出該圓的半徑;若不存在,請說明理由.

7

圓與射影定理結合型壓軸題專題

知識剖析

射影定理模型：

射影定理，又稱“歐幾里德定理”:在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每

一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。射影定理是數(shù)學圖形計算的重要定理，在初

三各名校的數(shù)學和各地中考試題中都多次考查了這一模型的應用。

圖形推導過程結論

（ZA=ZA①AC2=AD-AB-,

口為t/ABC=NACD

②BC?=BD?BA;

???AABC-AACD③亦=AD-BD

T--------------B.AC_AB

經(jīng)典例題

題目①（長沙中考）如圖，點P在以上W為直徑的半圓上運動（點P不與",雙重合），平分

2MNP,交PM于點、E,交PQ于點、F.

⑴理+包=

PQPM---------'

（2）若PN2=PA介■V,則嚓=.

P

【解答】解：（1）ACV為?O的直徑，,4MpN=90°,VPQ±MN,：.2PQN=4MPN=90°,

,:NE平分NPNM,：.AMNE=APNE,:ZEN?4QFN,牖=黑，即票=寨，①,

xa^LVJ-d.VV

?/APNQ+NNPQ=APNQ+APMQ=90°,/LNPQ=APMQ,VZPQN=APQM=90°,

???△NPQ?中的.??需=修②，，①x②得普=黑,??@=PQ-耽.?.孺=黑=1-

PF

~PQ9

?旦1+工^_=1故答案為?1-

"PQPMJ1

（2）???APNQ=AMNPfANQP=ANPM,：.由射影是理得：PN?=QN?MN,PN》=PM,MN,工PM=

NQ

CN.MQ_=MQ_..MQPM.MQ_=PM_.MQ_：.NQ2=MQ2+MQ?NQ,1

用…NQ—PM，*PM—MNNQMNNQMQ+NQ，

器+■'設器=*'則解得V5-1V5+1

1=°''X,或xVO（舍去）.

22

題目團（北雅）如圖，點P在以AW為直徑的半圓上運動（不與M、N重合），PHI.MN于H點，過N點作

NQ與PH平行交MP的延長線于Q點.

（1）求/QPN的度數(shù)；

（2）求證：QN與。。相切；

（3）若PN2=PM-MN,求的值.

NH

MHON

【解答】(1)解：???7W是直徑，，ZMPN=90°,：./QPN=90°;

(2)證明：.?.APHM=90°,VQN//PHf：.AQNM=APHM=90°,ONI.QN,

???ON是半徑，???ON與。O相切；

(3)解：???4MNP+/PNQ=90°,ZF7VQ+ZQ=90°,A4MNP=4Q,?:4MPN=4QPN,

：.ANPM八QPN,.PN=PM,：.PN2=PM-QP,-：PN2=PM-MN,：.QP=MN,-：PH//QN,

，9~QP~^N

MH.MHMP.MP=MH

=，同理得，\MHP八MPN,:?HN=MP,設PQ=MN=a,MP

~NH…HN—MN'*MN~MP

舍)或&二

?色二1b_(1V5)(V5+1);.MHa-bV5-1

…HNPQ-ba

：題目CO（長沙中考）如圖，點在。。上運動,滿足AB2=BC2+AC2，延長AC至點。，使得ADBC=

/CAB,點E是弦AC上一動點（不與點A,。重合），過點E作弦AB的垂線，交AB于點F,交BG的延長

線于點N,交。。于點M■（點M■在劣弧20上）.

（1）2。是。O的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；

⑵記ABDC,^ABC,A4DB的面積分別為Si，S2,S,若S「S=網(wǎng)＞,求（tan。）?的值；

（3）若。。的半徑為1,設FM=x,FE-FN-+,試求y關于，的函數(shù)解析式,并

V-DO,JD1NAB,AC

寫出自變量，的取值范圍.

N

【解答】解：(1)BD是?。的切線.證明：如圖，在XABC中，AB2=BC2+AC2,

AACB=90°.又點A,B,。在OO上，.?.AB是0O的直徑.VAACB=90°,/.ACAB+AABC=

90°.

又ADBC=4CAB,：.ADBC+NABC=90°.ZABD=90".，BD是。。的切線.

2

⑵由題意得，S產(chǎn)-BC-CD,$2=^BC-AC,S^^AD-BC.?：S/S=(S2),

：.^BC-CD-^AD-BC=(yBC-AC1)2.：.CD-AD=AC2.：.CD(CD+AC)=AC2.又：ND+

^DBC=90°,/ABC+/A=90°,NDBC=/A,：.ND=/ABC....tan/。=第=tan/ABC=

AC._BC2

~BC--CrnD-^C-

又CD(CD+AC)=AC2,+B(f=AC2.：.B^+AC2-BC?=AC\：.l+

.rlO

由題意，設(tarLD)2=m,,?二=?7i.1+m=rrt.:'m=】m>0,：.m=-

\BC>，22

.?.(tanO)2=l^<.

⑶設/A=a,???ZA+AABC+ADBC=AABC+/N=90°,ZA=NDBC=2N=a.

如圖，連接CW.

■■在RtAOFM中，OF=dOMZ—FM?=Jl—a?.BF^BO+OF=1+^1-x2,AF^OA-OF^

1—V1—cc2.

2

?'?在RtAAFE中，EF=AF-tana=(1-Vl-rc)-tana,AE=1一6一工".在Rt/\ABC

coscucosa

中，BC=AB-sina=2sina.(Vr=1,.\AB=T).AC—AB?cos^z=2cosa.在Rt/\BFN中，BN—"

sin。

22

1+A/1—x口zBF1+V1—x

=----；------,FN=-------=---------------.

sinatanatana

22

y—FE?FN?、/CCA)+〃」.——x■/-------:、H---------:。—x■

vBC-BNAE-ACV2+271^1?2-271^1?

/2—2"1-/+2+2J1二/

V4-4(1-?2)

=X2-P^=X2--=X.即y=;r.；FA工LAB,.?.EM■最大值為F與O重合時，即為1..-.0<a;<l.

Vxx

綜上，y—xf0<T<1.

題目@（長沙中考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于0O,對角線AC為。O的直徑，過點。作AC的垂線交AD

的延長線于點E,點F為CE的中點,連接DB,DC,DF.

（1）求/CDE的度數(shù)；

（2）求證：DF是。。的切線；

（3）若AC=2函?！?；,求tan/ABD的值.

解：（1）對角線AC為OO的直徑，/.ZADC=90°,ZEDC=90°;

（2）證明：連接。O,???/EDC=90°,F是EC的中點，：.DF=FC,；.ZFDC=AFCD,?：OD=OC,：.

AOCD=ZODC,'：ZOCF=90°,AODF=ZODC+ZFDC=AOCD+4DCF=90°,。?是OO的

切線；

（3）設DE=1,則2/，由射影定理得：AC2=ADxAE,：.20=4D（AD+1）,

AD=4或一5（舍去）,?/DC?：AC2-AD2：.DC=2,：.tan/ABD=tan/ACD=需=2;

JLZO

題目區(qū)（青竹湖三模）如圖，在7?必48。中，乙43。=90°,。是入。的中點，。。經(jīng)過4、3、。三點，

CB的延長線交O。于點E.

（1）求證：AE=CE；

（2）EF與（DO相切于點E,交AC的延長線于點F,若CD=CF=2cm,求。。的直徑；

（3）在（2）的條件下,若CF-.CD="（">0）,求sinZCAB.

解：（1）證明：連接DE,90°AABE=90°二AE是。O直徑，

2ADE=90°ADE_LAC叉；。是AC的中點二DE是AC的垂直平分線AAE=CE;

⑵解：在4ADE和AEFA中，：NADE=AAEF=90°,由射影定理得：4^=ADxAF,二人爐=2x6,:.

AE—2V3cm;

(3)解：???AE是。O直徑，EF是＜30的切線，,??CF:CD=%令。。=1,則CF=n,VNADE=NAEF=

90°,由射影定理得：.?.AB2=IX(TZ+2),/.AE=Vn+2=CE,1/ACAB=ADEC,

：.sinZCAB=sinADEC=孕=1Yn+2

CEVn+2n+2

題目回（長郡）如圖，AB為（DO的直徑，弦CD與AB相交于=過點B的切線與AD的延長線

交于F,過E作EG_LBC于G,延長GE交AD于X.

（1）求證：AH=HD-,

⑵若第=”,。尸=9,求。。的半徑.

5

F

2

T

【解答】（1）證明：???AB為。。的直徑，=.?.AB_LCD,，2C+ZCBE=90°J；EG上BC,

：.ZC+4CEG=90°,：.2CBE=4CEG,；4CBE=ACDA,ZCEG=NDEH,：.ACDA=NDEH,

：.HD^EH,?/ZA+AADC=90°,NAEH+NDEH=90°,：.AH=EH,：.AH=HD;

（2）解：：ABDF=90°,嗎=3,令B。=4a;,BF=5c,則（4力2+92=（5s）2,：.x=2,BD=12,

BF5

由射影定理得：BD?=DF-DA,：.144=9xDA,/.DA=16,又由射影定理得：AB2^AF-DA,：.AB2^

25x16,：.AB=20,即半徑為10.

題目可如圖，AB是。。的直徑，點。是。。上一點，AO與過點。的切線垂直，垂足為D,直線。。與AB

的延長線交于點P,弦CE平分乙4CB,交AB于點F,連接BE,BE=52.

（1）求證：AC平分/DAB；

（2）若BC=5,求陰影部分的面積；

（3）若CD=3,求PC的長度（射影定理）.

【解答】⑴證明：連接OC.VOA^OC,AOAC^AOCA.?rPC是OO的切線，AD_LCD,

zocp=zn=90°,ocnAD.：.ZCAD=AOCA=ZOAC.即AC平分NDAB.

（2）解：連接AE.ZACE=ABCE,：.AE=BE,：.AE=BE.又；4B是直徑，=90°.

AB=，^BE=，^X52=10,???OB=5,.?.BC=OB=OC=5,即△OBC是等邊三角形，

A/BOC=60°,.?.OH=；OC=￡,砥=四0〃=,7^,.?.$謝0=］乂5*.g=岑0，

ZZ乙ZZ4

S扇彩BOC=及］x兀x52=票兀，，陰影部分的面積為空無一-^-A/3;

360664

（3）解:過點。作SLAB垂足為點H,如圖：由（2）得：OC=OB=5,

（1）平分/DAB,S_L4B,CD_L4D,.?.S=CD=3,?.?乙4cB=/B8C=90°,由射影定理得:

CH2—BH?AH,iSiBH—x,AH—10—a:,3?=a?（10—x）,解得：a;=1或9（舍），又由射影定理得：

CH2=OH^HP,/.32=4HF,解得：門=號.

題目回（雅禮）如圖，已知AC,圓心。在4。上，點/■與點。分別是AC與0O的交點，點D是MB

與。。的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且AD?AO=4W-AP.

（1）連接OP,證明：AADM?AAPO；

（2）證明：PD是。。的切線；

（3）若AD=24,,求端的值.

BB

解：（1）證明：連接O。、OP、CD.vAD^AO=AM-AP,

：.用=用",ZA=ZA,/.△ADM-/\APO.

APAO

（2）V&ADM?/\APO,/ADA1=AAPO,：.MD//PO,

Z1=Z4,Z2=Z3,OD=OM,：.Z3=Z4,Z1=Z2,

OP=OP,OD=OC,：./XODP空/\OCP,：.AODP=/.OCP,VBC±AC,：.AOCP=90°,

：.OD±AP,.?.「￡>是（DO的切線.

（2）連接CD.由⑴可知：PC=PD,?.?AW=_MC,.?.4Vf=2A/O=2R,

在Rt/XAOD中,。。2+4。2=OA2,R2+242=9R2,：.R=672,OD=6^/2,MC=1272,

V=乎=2,DP=12,?.?。是MC的中點，.?.修=嘉=J,.?.點P是BC的中點，

.?.BP=CP=DP=12,是。。的直徑，ZBDC=NCDM=90°,

在RtABCM中，：BC=2DP=24,MC=1272,/.BM=1276,

由射影定理得：MC2=MDxMB,：.12V22=1276xMD,：.MD=476,貧^=乎.

題目9（廣益）如圖，已知PB與（DO相切于點B,人是。。上的一點，滿足P4=PB,連接PO,交AB于

E,交OO于C,。兩點，E在線段OD上，連接AD,OBo

⑴求證:直線PA是。。的切線；

⑵①求證:點。是4PAB的內(nèi)心

②若P4=13,sin/APE=磊■，求DE的長；

⑶已知噌■=*&，求tan。.

AHo

【解答】（1）證明：連接。4,???PB與OO相切于點B,.?./OBP=90°,

OA^OB

在△OAP和AOBF中，｛OP=OP,AOAF豈△OBP（SSS），,AOAP=zLOBP=

PA=PB

90°,：.OA±PA,

r.直線P力是。。的切線；

（2）①由（1）得△OAPWaOBP,/.AAPO=ABPO,AAPB,?：PA=PB,：.PE±AB,

：.NDAE+ZADE=90°,/AOAP=90°,NDAP+AOAD=90°，:OA=OD,：.NADE=ZOAD,

：./DAE=/D4P,AD平分/P4B,同理可得出BD平分/PR4,.?.點。是△PAB的內(nèi)心；

②解：作DF_LAP于F,在Rt/\APE中，AB=PA?sinAAPE=13x2=5,PE=^AP2-AE2=

22

V13-5=12,；AD平分APAB,PE±AB,DF±AP,：.DE=DFj：SAAPE^SAAPD+SAAED,Ayx5

X12=9X13XDE+：X5XDE,解得：DE=

（1）解：AB,.?.才力=曲，ADAE^ZOCA,V/DEA=/ABC=90",由射影定理得：4^=

CE'DE,'：設CD=4\后2，AE=3x,DE=y,：.（3z）2=（4A/32：—y）?y,解得:y—V3x或

A.E3

y=（不合題意，舍去），DE=V3x,CE=,在_Rt△力CE中，tanC==—筆==

GB3v3ic3

題目,（長郡）如圖，△ABC中，以AB為直徑的。。分別與力。、BC交于點F、過點。作DE，AC于

點、E,且CE=FE.

（1）求證：DE是③。的切線；

（2）連OE.若OE=@,AB=10,求CE的長.

【解答】證明：⑴連接OF,OD,過點。作于X,?.?DELAC,CE=FE,：.DF=DC,

：.ZC=/LDFC,■：四邊形4BDF是圓內(nèi)接四邊形，/.AOBD+NAFD=180°,VNAFD+ACFD=180°,

AOBD=NCFD,?：OD=OB,：.2ODB=ZOBD,/.ZODB=ZC,/.OD//AC，;DE±AC,：.OD

_1。瓦又；。。為半徑，.?._DE是。。的切線；

（1）-：OH±AC,DE±AC,OD±DE,：.四邊形ODEH是矩形，：.DE=OH,OD=EH,vAB=10,

AO=OB=OD=EH=5,：.DE=-JOE2-EH2=V41-25=4,由射影定理得：DE2=CExAE,：.16

=CE（10-CE）,r.CE=2或8（舍去），.,.無=2.

題目叵j如圖，已知。。的半徑為2,AB為直徑，CD為弦，AB與CD交于點M,將弧CD沿著CD翻折后,

點A與圓心。重合，延長。4至P,使AP=O4連接PC.

（1）求證：PC是。。的切線；

（2）點G為弧4DB的中點，在PC延長線上有一動點Q,連接QG交4B于點E,交弧BC于點F（F與B、

。不重合）.問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值;如果不是,請說明理由.

?M

O

解:(1)???PA=04=2,AM^OM=1,CM=4l,又1/ACMP=4OMC=90°,二PC^y/M(f+PM2

24，；OC=2,P。=4,APC2+OC2^PO1,：.APCO=90°,PC與。O相切；

⑵GE?GF為定值，理由如下：如圖2,

連接GH、AF、GB,?點G為弧ADB的中點，.?.念=怎，/.Z.BAG=AAFG，,:NAGE=AFGA,

.?.△AGE?△FG4.?.券=怨，.?.GE?GF=4G2,???為直徑，AB=4,/.ZBAG=ZABG=45°,

GEAG

：.AG=2V2,：.GE-GF=AG2=8.

〔題目