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PISA類解直角三角形的應(yīng)用
1.(2024?溫州模擬)“圭表”是中國(guó)古代用來(lái)確定節(jié)氣的儀器.某“圭表”示意圖如圖所示,ACLBC,NC=3米,
測(cè)得某地夏至正午時(shí)“表”的影長(zhǎng)CD=1米,冬至?xí)r的正午太陽(yáng)高度角N/2C=a,則夏至到冬至,影長(zhǎng)差
的長(zhǎng)為()
表
北(子)南(午)
圭f
冬立春春分立夏夏
至立冬秋分立秋至
線
線
A.(3sina-1)米B.品D米
C.(3tanaT)米D米
【分析】根據(jù)垂直定義可得N/C8=90。,然后在中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出2c的長(zhǎng),從而利
用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算,即可解答.
【解答】-:AC±BC,
/.ZACB=90°,
在RtzX/BC中,ZABC=a,NC=3米,
:.BC=AC-―3_(米),
tanCltanCl
9:CD=1米,
:.BD=BC-CD=(-3__-1)米,
tanCL
影長(zhǎng)差2。的長(zhǎng)為(37)米,
tana
故選:D.
2.(2020秋?越城區(qū)期末)下表是小紅填寫(xiě)的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容:
C.x-10=xtan50°D.x=(x+10)sin50°
【分析】過(guò)。作?!?,跖于〃,則四邊形。是矩形,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/汨=CD=10,CE=DH,求得
FH=x-10,得到C£=x-10,根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解:過(guò)。作于凡
則四邊形DCEH是矩形,
:.HE=CD=10fCE=DH,
:.FH=x-10,
■:NFDH=CL=45°,
:.DH=FH=x-10,
:.CE=x-10,
*/tanB=tan50°=^-=--—,
CEx-10
Ax=(x-10)tan50°,
故選:A.
3.(2024?瑞安市二模)如圖,在RtA4BC中,ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形,記△45。的面積為
三個(gè)正方形的面積和為出,過(guò)點(diǎn)。作CM,/G于點(diǎn)連結(jié)CG交45于點(diǎn)N,設(shè)N4BC=a,ZMCG=^,
若(寒■)2二tana-tan叩則足:必為()
A.AB.C.3D.二
4488
【分析】設(shè)CW與45交于點(diǎn)P,證明四邊形APMG為矩形得尸8=MG,PM=BG=AB,再證△CPNs/XCA/G,
可得tanB?tana=/L0」l一進(jìn)而「史)2」!^,解得CN=1二ING,再由三角形面積及勾股定理
MGCGCN+NG、NG)CN+NG2
分別計(jì)算用,$2即可.
【解答】解:設(shè)CM與N8交于點(diǎn)尸,
在RtZXCPN中,tanB=fll,
CP
在RtZiCPB中,tana=S^,
BP
tanp,tana=更".史-上^,
CPBPBP
':CMLFG,BGLFG,
C.PM//BG,
:AB〃FG,
:.四邊形BPMG為矩形,
:.PB=MG,PM=BG=AB,
tanB?tana=WL,
MG
\'PN//MG,
.,.△CPNs4CMG,
?PNCNCPCNCP
"MC"CG'PM_NG-AB'
tanp,tana=~——,
MGCG=CN+NG
tanp"tana=(翳產(chǎn)
?(CN)2二CN,
,?喻)=CN+NG'
.,.Cl^+CN-NG-必=0,
,CN=Y1二ING(負(fù)值已舍),
2
?CPCNVs-1即Cp=Vs-i
ABNG22
S-BC=工XXCP=痣二4爐=Si,
24
:△NBC為直角三角形,
:.AC2+BC2^AB2,
2222
:.S2=AC+BC+AB=2AB,
S22AB2
故選:D.
4.(2024?嘉善縣一模)為了改善自己書(shū)房的照明,小明在書(shū)房?jī)?nèi)圓桌中央的上方安裝了一個(gè)吊燈,根據(jù)小明的設(shè)
計(jì),吊燈到桌面的距離可以調(diào)節(jié),這樣桌面上的光線亮度可以根據(jù)不同需要加以選擇.根據(jù)光學(xué)中的相關(guān)定律,
電燈/到圓桌邊緣3的照度1叵叫,其中人是電燈的發(fā)光強(qiáng)度"為常數(shù)且左>0),/是電燈到圓桌邊緣的
I2
距離,e是電燈到圓桌邊緣的光線與桌面所成的角.當(dāng)e=60°時(shí),電燈的照度記作人,當(dāng)電燈到圓桌距離與圓
桌半徑相等時(shí),電燈的照度記作七,則上=_?
126
【分析】由照度I=ksin8,得當(dāng)。=60°時(shí),電燈的照度/i=KSin600,當(dāng)電燈到圓桌距離與圓桌半徑相等
I2(V30B)2
時(shí),電燈的照度“KSin,。,得」_=
OB2T26
【解答】解:由照度i=ksi18,
I2
得當(dāng)6=60°時(shí),電燈的照度/i=KSin60°正邑,當(dāng)電燈到圓桌距離與圓桌半徑相等時(shí),電燈的照度
(V30B)260B2
KSin45°_V2K
------------------------,
OB22OB2
得土=運(yùn)
T26
故答案為:運(yùn).
6
5.(2024春?樂(lè)清市期中)如圖1是某位游客拍攝的景區(qū)纜車實(shí)景圖.如圖2是該段索道抽象出的平面示意圖,索
道N8的傾斜角為30°,長(zhǎng)度/8=82米,其兩端由BC、AD兩座等高的支架架設(shè),這一時(shí)刻索道N8之間如圖
均勻分布著五個(gè)車廂,車廂的寬高之比(PN:MN)是2:3,若點(diǎn)J,L,。恰好在同一直線上,KC=21米,
【分析】過(guò)點(diǎn)G作X7〃3c交48于X,交CD于點(diǎn)匕過(guò)點(diǎn)X作XZLG8于點(diǎn)Z,構(gòu)造兩個(gè)含30°的直角三角
形,由題意可得/6彩=/70丫=30°,在RtZXMy中,根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出。Y=2Jy=2X21
=42(米),進(jìn)而得出/r=DY=42米.再根據(jù)題意索道之間如圖均勻分布著五個(gè)車廂,/2=82米,由此得
出8G=/G=41米,在RtZ\G¥Z中,根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得出GZ=/GX卷米,再根據(jù)勾股定理
得出XZ的長(zhǎng)度,由30°角直角三角形的性質(zhì)得出〃,即PN的長(zhǎng)度,再根據(jù)車廂的寬高之比(PN:MN)是2:
3,進(jìn)而得出答案.
【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)G作交N8于X,交CD于點(diǎn)匕過(guò)點(diǎn)X作AZLG”于點(diǎn)Z,
Y
:索道48的傾斜角為30°,
:.ZGXZ=AJDY=30°,
;KC=21米,BC=XY,BK=XJ,
:.JY=KC=2\米.
在Rt/voy中,£>y=2Jy=2X21=42(米),
.,.AX—DY—42米.
:這一時(shí)刻索道之間如圖均勻分布著五個(gè)車廂,45=82米,
???3G=/G1AB卷x82,
=41(米),
GX=AX-AG=42-41=1(米).
在Rt^GM中,GZ^GX.(米),
由勾股定理,得G/G=GZ2+XZ2,
?'-XZ=VGX2-GZ2
=返_(米),
2
.=2AZ=2X與(米),即尸N=毒米,
:車廂的寬高之比(PN:MN)是2:3,
MN^PN^-XV3=3^^(米).
故答案為:1^2.
6.(2024?鹿城區(qū)一模)圖1是一個(gè)水平地面上的長(zhǎng)方體密封容器,內(nèi)部裝有水,其正方形底面的邊。。=8C加,棱
ND上標(biāo)有刻度,水面與交于點(diǎn)讀得。M=30c"?,如圖2將容器放在斜坡?!晟希藭r(shí)水面分別與ND,
8c交于點(diǎn)N,P〈NP〃OF),讀得DN=25ca若容器厚度不計(jì),貝Utan/E。尸=_9_.
【分析】過(guò)點(diǎn)P作尸0,4D于點(diǎn)0,確定尸。和0N的長(zhǎng)度,再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題.
【解答】解:過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)。,
A
圖1圖2
由將容器放在斜坡上,水的體積沒(méi)變,可知M為N。的中點(diǎn),
,:MN=DM-DN=3Q-25=5(cm),
:.QN=2MN=l0cm,
在Rt/\PNQ中,
PQ—CD—Scm,QN—lOcm,
tan/EOA=12.=-L=A.
QN105
故答案為:A.
5
7.(2024?湖北模擬)圖1是臨安區(qū)一地鐵站入口的雙翼閘機(jī),雙翼展開(kāi)時(shí)示意圖如圖2所示,它是一個(gè)軸對(duì)稱圖
形,AC^40cm,則雙翼邊緣端點(diǎn)C與。之間的距離為(60-80sina)5(用含a的三角函數(shù)表示).
【分析】作直線£尸,交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)£、F,由題意可得CE=DREF=60cm,解直角三角形/CE求出CE=
40sina,然后根據(jù)CD=EF-2CE即可得出答案.
【解答】解:如圖,作直線斯,交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)E、F,則CEL/E,DFLBF,
由題意可得CE=D尸,EF=60cm,
在直角三角形/CE中,
,"c;nrY—CE—CE
AC40
CE=40sina,
:.CD=EF-2CE=(60-80sina)cm;
故答案為:(60-80sina)cm.
8.(2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))利用無(wú)人機(jī)探照燈測(cè)量坡面的角度.如圖,一架無(wú)人機(jī)探照燈在點(diǎn)。處,測(cè)得它的下
邊緣光線落在坡腳點(diǎn)/處,上邊緣光線。8落在斜坡點(diǎn)3處,此時(shí)無(wú)人機(jī)離地面12米,將無(wú)人機(jī)沿水平方
向前進(jìn)5米到達(dá)點(diǎn)E處,探照燈的上下邊緣光線EC,即落在斜坡2,C處,AD//BE,DB//CE,此時(shí)點(diǎn)E恰
【分析】連接/E,作2尸,于尸,根據(jù)題意△NDE是直角三角形,根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng),證明
s^BCE,根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例,推出旭1=工,求出8E,推出△NDEs△即尸,分別求出8尸和£尸,進(jìn)而求出
BE6
AF,BF//MN,ZABF=ZBAN,進(jìn)而求出tan/BNN.
【解答】解:如圖,連接作于下,
?點(diǎn)E恰好在/的正上方,
.?.△4DE是直角三角形,
又,:DE=5,AE=\2,
根據(jù)勾股定理得,
^=VAE2+DE2=13,
,:AD〃BE,DB//CE,
:./DAB=ZEBC,ZABD=/BCE,
:.△NBAs△BCE,
.ADAB7
,?而同T
又,:AD//BE,
:.ZDAE=ZBEF,
/AED=NBFE=90°,
:.AADEsAEBF,
.DE_AE_AD;
"BF"EF'EB'
:.BF=迎,EF=TL,
77
:.AF=AE-EF=12-隹=衛(wèi),
77
■:/AFB=NF4N=9Q°,
J.BF//MN,
:.ZBAN=ZABF,
.".tanZBAN=tanZ.ABF=
BF5
故答案為:2.
5
9.(2023秋?樂(lè)清市校級(jí)期中)圖1為手機(jī)支架實(shí)物圖,圖2為它的側(cè)面示意圖,“工型”托架N-C-E用于放置
手機(jī),支架8。兩端分別與托架和底座兒W(其厚度忽略不計(jì))相連,支架8端可調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度,已知
6cm,AB=2BD=4BC,支架調(diào)整到圖2位置時(shí),/BDM=60°,/ABD=120;因?qū)嶋H需要,現(xiàn)將支架2端
角度調(diào)整為//8。=150°,如圖3所示,則點(diǎn)N的位置較原來(lái)的位置上升高度為_(kāi)(12-6愿)_c加.
圖1圖2圖3
【分析】如圖2,過(guò)點(diǎn)N作/交MN于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)3作3G〃兒W交N0于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作8尸,MN于點(diǎn)
F,如圖3,延長(zhǎng)3c交MV于點(diǎn)V在Rta/BG和RtAB。尸中分別算出/G和2R求出點(diǎn)/到的距離,
再在RtABDH中,算出BH,AH,再作差即可求得.
【解答】解:如圖2,過(guò)點(diǎn)N作NQLMN交MN于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)3作BG〃〃N交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作8
于點(diǎn)尸,如圖3,延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)、H
旋轉(zhuǎn)前如圖3:
:NBDM=60°,ZABD=UOa,BG//MN,
:./ABG=NDBG=60°,
,;AB=2BD=4BC,BD=6cm,
:?AB=12cm,BE=3cm,
VZAGB=ZBFD=90°,
在RtZX/BG和RtA5DF中,
AG=AB-sin600=12建~=啦皿
BF=BD'sin60°=6X與=3^加,
故點(diǎn)A到MN的距離為:673+373=^[3cm,
VAABD=150°,
ND3c=30°,
VZBDM=60°,
AZDHB=90°,
在RtABDH中,
BH=BD-sin600=6X亨=3^(皿),
故AH=AB+BH=(12+3f)cm,
點(diǎn)/的位置較原來(lái)的位置上升高度為:12+3F-5回=(12-6)行)(cm),
故答案為:(12-6盜).
10.(2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來(lái)源,綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方
面的先進(jìn)技術(shù),形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車.如圖1是某新能源汽車側(cè)面示意圖,圖2是
該車后備廂開(kāi)起側(cè)面示意圖,具體數(shù)據(jù)如圖所示(單位:cm),且NC=8£>,AF//BE,sinZ^F=0.8,箱蓋開(kāi)
起過(guò)程中,點(diǎn)N,C,尸不隨箱蓋轉(zhuǎn)動(dòng),點(diǎn)8,D,E繞點(diǎn)/沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)相同角度,分別到點(diǎn)女,D
E1的位置,氣簧活塞桿8隨之伸長(zhǎng)CD',已知直線E',CD'=HcD,則CD=45
cm.
3
圖1
【分析】過(guò)N作過(guò)8作由角相等得sinN3/M=sin/3/尸=0.8,故幽=9,4ABM%△
AB5
B'AN,再利用勾股定理計(jì)算即可.
【解答】解:過(guò)/作過(guò)夕作
ZBAM=ZBAF,
sinZBAM=sinZBAF=0.8,
???幽=生
**ABT
???設(shè)/Af=4加,AB=5m,
:?BM=3m,
VZB'AN+ZMAB=90°,
ZABM+ZMAB=90°,
???ZB'AN=NABM,
在和中,
'/B'NA=ZAMB
"NB'AN=ZMBA-
AB'=AB
:.AABM四八B,AN(AAS),
:?B'N=AM=4m,
:?EM=B'N=4m,
???4冽+3加=£5=105,
??YYl~~15,
???5W=60,45=75,
設(shè)C0=機(jī),
:.AC=DB」5-m,
2
AD'=/D=/C+CD=75-m+w?=75tm,
22
:.CD'=5CD=^-m,
33
在RtZX/CZT中,
2
(75―)2+(75-m2=(叵q
223
Am=45,
故答案為:45cm.
11.(2023秋?義烏市期末)有一長(zhǎng)桿花藝剪如圖1所示,上刀片與上把手固定在長(zhǎng)桿上,把手桿8GE的點(diǎn)G
固定在45上,NEG“大小不變,當(dāng)手握N5G“兩邊時(shí),G£繞著點(diǎn)G旋轉(zhuǎn),帶動(dòng)桿尸E,桿尸£再帶動(dòng)刀片桿
8尸繞固定點(diǎn)。旋轉(zhuǎn),且NCD尸=90°.圖2是該花藝剪自然張開(kāi)狀態(tài)下的示意圖,CD、斯都與48平行,
測(cè)得。尸=5<?加,CD=20cm,FE、49間的距離為lc〃z,當(dāng)桿“GE繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí),花藝剪完全閉合,
點(diǎn)C落在邊上,如圖3所示,此時(shí)GE_L/8,且EF還是與48平行,則sina=_2Y5__.
—5—
AGB
⑹F
D
(圖1)
(圖2)(圖3)
【分析】利用三角函數(shù)定義表示出線段長(zhǎng),進(jìn)而結(jié)合所桿兩端點(diǎn)移動(dòng)的距離始終相等列等式,化簡(jiǎn)求值即可得
到答案,
【解答】解:根據(jù)題意,作出平面圖形,如圖所示:
DM
VZCZ)F=90°,
由題意可知,a=ZEGEr=NNEG=/FDF'=ZDFM,
在RtdADFM中,sina=剪_,
,.?尸。=5,
.,.DAf=5sina,
在RtzXE'GN中,tana=N-,
由圖2知,F(xiàn)E、AB間的距離為1cm,
則NG=tana,
由題意可知DVf=GN,
即5sina=tana=^122_
cosCL
解得:cosa=X,
5
則sina=,
5
故答案為:2VL.
5
12.(2023秋?新化縣期末)小明家的腳踏式垃圾桶如圖,當(dāng)腳踩踏板時(shí)垃圾桶蓋打開(kāi)最大張角N/8C=50°,為節(jié)
省家里空間,小明想把垃圾桶放到桌下,經(jīng)測(cè)量桌子下沿離地面高55c加,垃圾桶高50=33.10%,桶蓋直徑8C=
28.2cm,當(dāng)垃圾桶放到桌下踩踏板時(shí),桶蓋完全打開(kāi)有沒(méi)有碰到桌子下沿?(參考數(shù)據(jù):sin50°^0.76,cos500
^0.64,tan50°仁1.19)
【分析】過(guò)點(diǎn)C作CGIDE交AB于H.想辦法求出CG與55比較即可解決問(wèn)題;
【解答】解:過(guò)點(diǎn)C作CHLOE分別交N2,DE于尸、H,如圖所示,
:.HF=BD=33.1cm,
在RtZXFBC中,ZCBF=50°,ZCFB=90°,BC=28.2cm,
.,.CF=2C?sin/C3尸=28.2Xsin50°^21.4(cm),
:.CH=CF+HF=21A+33.1=54.5(cm),
V54.5<55,
桶蓋完全打開(kāi)沒(méi)有碰到桌子下沿.
C
13.(2024?下城區(qū)校級(jí)模擬)如圖,氨氣球位于西溪濕地慢生活街區(qū),是目前唯一由我國(guó)自主研發(fā)、制造的載人觀
光氫氣球,也是杭州目前唯一的高空氧氣球體驗(yàn)項(xiàng)目.從氣球/上測(cè)得正前方的河流的兩岸8,C的俯角分別為
75°,30°,此時(shí)氣球的高是60m,求河流的寬度2c的長(zhǎng)度.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù):
sin75°^0.97,cos75°心0.26,tan75°仁3.73,日仁1.73)
【分析】根據(jù)題意可得:AE=60m,AD//CE,從而可得乙DNC=N4CE=30°,ZDAB=ZABE=75°,然后
分別在RtAABE和RtAACE中,分別利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE和CE的長(zhǎng),從而利用線段的和差關(guān)系
進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【解答】解:如圖:
由題意得:AE=60m,AD//CE,
:.ZDAC^ZACE^30°,NDAB=NABE=75°,
在Rtz\48E中,BE——AE----弋6?!?6.1(m),
tan7503.73
60
在RtzX/CE中,CEAE■—60y[3(m),
tan30°g
~3~
:.BC=CE-BE=6QM-16.1-88(m),
河流的寬度BC的長(zhǎng)度約為88m.
14.(2024?溫嶺市一模)如圖,某電腦顯示器由顯示屏(矩形/BCD)和支架組成,顯示屏對(duì)角線/C中點(diǎn)。固定
在支架直桿。尸一端處,顯示屏可繞點(diǎn)。順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),已知N8=36cHz,ZBAC=5S°.
(1)求3c長(zhǎng)度;
(2)為避免在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中顯示屏與支架平臺(tái)即發(fā)生磕碰,則支架直桿。尸的最小值是34cm
(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù):tan58°心1.60,cos58°~0.53,sin58°-0.85)
【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得:ZABC=90°,然后在中,利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即
可解答;
(2)在中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出/C的長(zhǎng),然后利用線段中點(diǎn)的定義可求出OC的長(zhǎng),從而
可得當(dāng)OP=OC時(shí),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中顯示屏與支架平臺(tái)跖剛好不發(fā)生磕碰,即可解答.
【解答】解:(1):四邊形/BCD是矩形,
AZABC=90°,
在RtzX/BC中,AB=36cm,/3/C=58°,
:.BC^AB^an5S°^36X1,6=57.6^58(cm),
:.BC長(zhǎng)度約為58c加;
(2)在RtZUBC中,AB=36cm,/A4c=58°,
;./C=__^_3L_^67.92(cm),
cos5800.53
:點(diǎn)。是NC的中點(diǎn),
/.OC=X4C=33.96(cm),
2
...當(dāng)。尸=OC時(shí),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中顯示屏與支架平臺(tái)跖剛好不發(fā)生磕碰,
.?.支架直桿OP的最小值約為3452,
故答案為:34c”?.
15.(2024?青田縣校級(jí)模擬)為建設(shè)美好公園社區(qū),增強(qiáng)民眾生活幸福感,如圖1,某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室
墻外安裝遮陽(yáng)篷,便于社區(qū)居民休憩.在如圖2的側(cè)面示意圖中,遮陽(yáng)篷靠墻端離地高記為8C,遮陽(yáng)篷長(zhǎng)
為5米,與水平面的夾角為16°.
(1)求點(diǎn)A到墻面BC的距離;
(2)當(dāng)太陽(yáng)光線4D與地面CE的夾角為45°時(shí),量得影長(zhǎng)8為1.8米,求遮陽(yáng)篷靠墻端離地高2c的長(zhǎng).(結(jié)
果精確到0.1米;參考數(shù)據(jù):sinl6°~0.28,cosl6°仁0.96,tanl6°-0.29)
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)N作垂足為尸,在RtZX/B尸中,利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算,即可解答;
(2)過(guò)點(diǎn)/作NGLCE,垂足為G,根據(jù)題意可得:4G=CF,4F=CG=4.8米,從而可得。G=3米,然后在
及△/DG中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出/G的長(zhǎng),從而求出CF的長(zhǎng),再在尸中,利用銳角三角函
數(shù)的定義求出8尸的長(zhǎng),最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算,即可解答.
【解答】解:(1)過(guò)點(diǎn)/作/尸,2C,垂足為尸,
在RtzX/2下中,A8=5米,ZBAF^16°,
尸=/2?cosl6°仁5X0.96=4.8(米),
/.點(diǎn)A到墻面BC的距離約為4.8米;
(2)過(guò)點(diǎn)/作/GLCE,垂足為G,
由題意得:AG=CF,4F=CG=4.8米,
:CD=1.8米,
:.DG=CG-C£>=4.8-1.8=3(米),
在RtZ\4DG中,N4DG=45°,
:.AG=DG-tan450=3(米),
:.CF=AG=3米,
在RtZ\4B尸中,48=5米,/BAF=16°,
:.BF=AB-sinl6°^5X0.28=1.4(米),
:.BC=BF+CF=1.4+3=4.4(米),
遮陽(yáng)篷靠墻端離地高BC的長(zhǎng)為4.4米.
16.(2023秋?浙江期末)實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一.如圖是小紅同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置,安裝
要求為試管略向下傾斜,試管夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.已知試管N8=24cm,BE』AB,試管傾斜角
3
a為10°.
(1)求酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CZ)的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到0.1c機(jī));
(2)實(shí)驗(yàn)時(shí),當(dāng)導(dǎo)氣管緊貼水槽延長(zhǎng)期交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,且(點(diǎn)C,D,N,尸在一條
直線上),經(jīng)測(cè)得:DE=21.36cm,MN=8cm,ZABM=145°,求線段DN的長(zhǎng)度(結(jié)果精確到0.1cm).(參考
數(shù)據(jù):sinlO0-0.17,coslO°仁0.98,tanlO0心0.18)
【分析】(1)求出NE、的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可;
(2)通過(guò)作垂線,構(gòu)造直角三角形,利用直角三角形的邊角關(guān)系求出答案即可.
【解答】解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)£作EG_LNC于點(diǎn)G,
?:AB^24cm,BE.AB,
o
.\BE=8cm,AE=16cm,
在RtZX/EG中,AE=\6cm,ZAEG=10°,
:.EG=cos100*AE
^0.98X16
p15.7(cm)=CD,
答:酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度約為15.7cm;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)5分別作BPLFC,垂足分別為〃、P,
在RL^AETf中,BE=10cm,ZEBH=10°,
.,./ffi=sinlO°?EBF36(cm),BH=cosT0°?EBF.84(cm),
:.HD=DE-/ffi=27.36-1.36=26(cm)=BP,
VZABF=145°,
AZPBF=145°-90°-10°=45°,
:.BP=PF=HD=26cm,
■:MNLCF,NNMF=45。,MN=8cm,
:.MN=NF=8cm,
:.DN=DP+PF-NF
=7.84+26-8
七25.8(c加),
答:線段。N的長(zhǎng)度約為25.8c冽.
17.(2024?浙江模擬)如圖1是我國(guó)古代提水的器具桔棒,創(chuàng)造于春秋時(shí)期.它選擇大小兩根竹竿,大竹竿中點(diǎn)架
在作為杠桿的竹梯上.大竹竿末端懸掛一個(gè)重物,前端連接小竹竿(小竹竿始終與地面垂直),小竹竿上懸掛水
桶.其原理是通過(guò)對(duì)架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力,從而提水出井.當(dāng)放松大竹竿時(shí),小竹竿下降,水桶就
會(huì)回到井里.如圖2是桔槨的示意圖,大竹竿48=6米,。為的中點(diǎn),支架。。垂直地面EF.
圖1圖2圖3
(1)當(dāng)水桶在井里時(shí),N4OD=120。,求此時(shí)支點(diǎn)。到小竹竿NC的距離(結(jié)果精確到0.1%);
(2)如圖3,當(dāng)水桶提到井口時(shí),大竹竿旋轉(zhuǎn)至小約的位置,小竹竿NC至小。的位置,此時(shí)/小。。=
143°,求點(diǎn)/上升的高度(結(jié)果精確到0.1加).
(參考數(shù)據(jù):73^1.73,sin37°-0.6,cos37°七0.8,tan37°"0.75)
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)。作OGL/C,垂足為G,根據(jù)垂直定義可得N/GO=90°,再根據(jù)題意可得:AC//OD,從
而可得NDOG=//GO=90°,進(jìn)而可得//OG=30°,然后根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得04=3米,從而在RtA
NOG中,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,即可解答;
(2)設(shè)OG交小Q于點(diǎn)〃,根據(jù)題意可得:OG_LNCi,ODZ/AiCi,。小=。4=3米,從而可得/小=37°
然后在RtACMi8中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出小〃的長(zhǎng),最后進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【解答】解:(1)過(guò)點(diǎn)。作。GL/C,垂足為G,
N/GO=90
由題意得:AC//OD,
:.ZDOG^ZAGO^9Q°,
VZAOD=nO°,
ZAOG=ZAOD-ZDOG=30°,
?;O為AB的中點(diǎn),
'.OA=1-AB=3(米),
2
在RtZUOG中,
:.AG=X4O=1.5(米),OG=V§4G=1.5我七2.6(米),
2
此時(shí)支點(diǎn)O到小竹竿/C的距離約為2.6米;
(2)設(shè)。G交小。于點(diǎn)H,
由題意得:OG_L/iG,OD//AXCX,。4=。/=3米,
Z^i=180°-/4。。=180°-143°=37°,
在RtAO/聲中,/iH=CM「cos37°=3X0.8弋2.4(米),
:/G=1.5米,
:.AXH-AG=2A-1.5=0.9(米),
...點(diǎn)A上升的高度約為0.9米.
18.(2024春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末)小明在周末去方特游樂(lè)園乘坐了海盜船,海盜船是一種繞水平軸往復(fù)擺動(dòng)的游樂(lè)項(xiàng)
目,它的主體是由一個(gè)大型的船身和兩側(cè)的搖擺機(jī)械臂構(gòu)成.游客坐在船內(nèi),隨著機(jī)械的運(yùn)動(dòng),仿佛置身于一場(chǎng)
海盜航海的冒險(xiǎn)之中.當(dāng)它靜止時(shí),我們可以把它抽象成如圖1所示的圖形,中心轉(zhuǎn)軸點(diǎn)。位于鉛垂線OC上,
兩條擺臂ON和OB均勻分布在鉛垂線兩側(cè),它們的長(zhǎng)度相同.
小明在乘坐過(guò)程中遇到了下列問(wèn)題:
(1)如圖2,當(dāng)海盜船右側(cè)船頭轉(zhuǎn)到最高點(diǎn))時(shí),左側(cè)船頭看最高點(diǎn)2'的仰角為23°,即
23°,已知兩擺臂之間的夾角/4。8=50°,求海盜船的最大擺角NCO夕的度數(shù).
(溫馨提示:在△H。8,由。H=。9可得NO49=/。夕4)
(2)如圖3,已知轉(zhuǎn)軸。到地面的距離。。=10加,在乘坐的過(guò)程中,當(dāng)海盜船右側(cè)船頭在位置尸時(shí),此時(shí)測(cè)得
點(diǎn)尸到地面的距離尸尸=7〃?;當(dāng)左側(cè)船頭擺動(dòng)到點(diǎn)尸'處時(shí),POLP,O.求點(diǎn)P'至UOC的距
【分析】(1)如圖2,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/OHB'=NOB‘A'^180°~50°=65°,求得NQ4'
2
D=ZB'A'D+ZOA'B'^23°+65°=88°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到?!?180°-ZOA'。=92°,于是得到
結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)P作PM_LOC于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作尸ALLOC于點(diǎn)N,再證明M會(huì)△PON,可得PM=ON,
證明CN=PF=1m,從而可得答案.
【解答】解:(1)如圖2,:。!'=OB',ZA'OB'=50°,
C.ZOA'B'=/0B'A'=1800-50°=65。,
2
:.ZOA'D=ZB'A'D+ZOA'B'=23°+65°=88°,
':OE//AD,
?!?180°-ZOA'0=92°,
圖2
:NCOE=90°,
0C=92°-90°=2°,
:.ZCOB'^50°-2°=48°;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)P作PATLOC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作尸NJ_OC于點(diǎn)N,
圖3
?:PO±P'O,P1MLOC,
:./OP'M=ZNOP,
在△OPM與叢PON中,
'/0P'M=ZP0N
<NOMP'=/PNO,
.OP'=0P
:./\OP'M^/\PONCAAS)
:.P'M=ON,
':PN±OC,CFLOC,PF1.CF,
四邊形CFPN是矩形,
:.CN=PF=1m,
:OC=10加,
:.ON=OC-CN=3m,
:.P'M=3m.
答:點(diǎn)P到OC的距離為3加.
19.(2024?龍灣區(qū)二模)如圖1,拐尺與水平尺是生活中重要的測(cè)量工具.圖2是某排水管道系統(tǒng)的部分實(shí)物圖,
圖3是其示意圖.已知管道與8c的長(zhǎng)度相同,8c與地面4D平行.現(xiàn)將拐尺和水平尺放在N8上,使PN
//AD,測(cè)得MN=12厘米,河尸=5厘米.
(1)求tan/24D的值.
(2)若12.5米,求C到地面的距離CD的長(zhǎng).
c
D
圖3
【分析】(1)在中,利用銳角三角函數(shù)的定義可得tan/MVP=±_,然后利用平行線的性質(zhì)可得NHW
12
=/BAD,從而可得tan/84D=tan/MA?=-5-,即可解答;
12
(2)過(guò)點(diǎn)8作垂足為£,根據(jù)題意可得:BC=DE,BE=CD,然后在中,利用銳角三角函
數(shù)的定義可設(shè)2E=5x厘米,則/E=12x厘米,從而利用勾股定理可得/2=13x厘米,進(jìn)而可得48=2C=DE=
13x厘米,最后根據(jù)AE+DE^AD列出關(guān)于x的方程,進(jìn)行計(jì)算即可解答.
【解答】解:(1)在RtAACVP中,ACV=12厘米,MP=5厘米,
MN12
,JPN//AD,
:./PNM=/BAD,
tan/BAD=tan/ACVf*=-^-;
12
由題意得:BC=DE,BE=CD,
在RtZk/BE中,1211/切。=些=且,
AE12
...設(shè)BE=5x厘米,則NE=12x厘米,
A^=VAE2+BE2=V(12X)2+(5X)2=13X(厘米),
■:AB=BC,
:.AB=BC=DE=13x厘米,
9:AD=12.5米=1250厘米,
:.AE+DE=1250,
A12x+13x=1250,
解得:x=50,
:.BE=CD=250厘米,
;.C到地面的距離CD的長(zhǎng)為250厘米.
20.(2024?海寧市校級(jí)模擬)綜合與實(shí)踐:測(cè)算校門所在斜坡的坡度.
【背景】如圖1,某學(xué)校校門在一道斜坡上,該校興趣小組想要測(cè)量斜坡的坡度.
圖1|?|2
【素材1】校門前的斜坡上鋪著相同的長(zhǎng)方形石磚,如圖2,從測(cè)量桿到校門所在位置在斜坡上有15塊
地磚.
【素材2】在點(diǎn)/處測(cè)得仰角tan/1=工,俯角tan/2=工;在點(diǎn)2處直立一面鏡子,光線2。反射至斜坡CE
95
的點(diǎn)N處,測(cè)得點(diǎn)8的仰角tan/3=§;測(cè)量桿上/8:8c=5:8,斜坡CE上點(diǎn)N所在位置恰好是第9塊地
24
磚右邊線.
【討論】只需要在Nl,N2,/3中選擇兩個(gè)角,再通過(guò)計(jì)算,可得CE的坡度.
任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)測(cè)量角的正切值:N2和Z3.(填“/
1",“/2”或“/3)
求NE:CN的值.
任務(wù)2推理計(jì)算求坡度tan/ECW的值.
【分析】任務(wù)1,選擇N2和/3,由CE=15,CN=9,可求得NE:CN=2:3;
任務(wù)2,過(guò)點(diǎn)E和N作/C的垂線,證明△CGNs/\C,推出”=典=里=3,設(shè)CG=3無(wú),CH=5x,HG
CHHECE5
=x,BH=a,貝!]BG=a+2x,求得〃£=Wit?+15x,GN=5a+10x,根據(jù)坦1=2,列式計(jì)算即可求解.
5HE5
【解答】解:任務(wù)1,選擇兩個(gè)測(cè)量角的正切值/2和/3,
:CE=15,CN=9,
:.NE=15-9=6,
:.NE:CN=6:9=2:3.
任務(wù)2,過(guò)點(diǎn)E和N作/C的垂線,垂足分別為點(diǎn)〃和G,
:.GN//HE,
:.4CGNS4CHE,
.CG=GN=CN=9=3
"CHIffiCE75
設(shè)CG=3x,CH=5x,HG=2x,BH=a,則2G=a+2x,
,:AB:BC=5:8,BPAB:(a+5x)=5:8,
=$(0+5x),4H■=48+&/=烏/+空x,
888
由題意得/BNG=/4=/3,ZAEH=Z2,
tanZ2=A,tan/3=-^-,
524
?AH=XBG_=_5_;
,?瓦TGN24)
:.HE=5(烏+至r)=%+磔_X,8G=%+組,
8888555
.?.GN—_—3,
HE5
2448
.55_3
"651255"
整理得x=L,
3
tanZECM=tanZHEC=空=?,二—=_L.
HE65.1258
l-ayx
21.(2024?浙江模擬)我們?cè)诳茖W(xué)課中學(xué)過(guò),光從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象(如圖1),記入射角為a,折射角
為B,我們把”=里嗎用為水的折射率.為了觀察光的折射現(xiàn)象,進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn):如圖2,/BCD為一圓柱形
敞口容器的縱切面,BC=32cm,容器未盛水時(shí)激光筆從。處發(fā)射光線,點(diǎn)。,A,C恰好共線,此時(shí)NA4C=
53°.往容器內(nèi)注水,當(dāng)水面所到達(dá)容器高度一半時(shí),激光筆在容器底面光斑落在點(diǎn)G處,測(cè)得CG=
7。加.(參考數(shù)據(jù):sin53°七當(dāng),cos53°七3,tan53°七三)
553
(1)求容器的高度AB.
(2)求水的折射率機(jī)
(3)若繼續(xù)往容器內(nèi)注水,光斑會(huì)往左側(cè)移動(dòng),如圖3,當(dāng)光斑G'移動(dòng)到2c的三等分點(diǎn)處(CG'=1CB),
3
求水面上升的高度(結(jié)果精確到0.1c加).
Si
【分析】(1
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