專項(xiàng)訓(xùn)練：PISA類解直角三角形的應(yīng)用（解析版）-2024-2025學(xué)年浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

PISA類解直角三角形的應(yīng)用

1.（2024?溫州模擬）“圭表”是中國(guó)古代用來(lái)確定節(jié)氣的儀器.某“圭表”示意圖如圖所示，ACLBC,NC=3米,

測(cè)得某地夏至正午時(shí)“表”的影長(zhǎng)CD=1米，冬至?xí)r的正午太陽(yáng)高度角N/2C=a,則夏至到冬至，影長(zhǎng)差

的長(zhǎng)為（）

表

北（子）南（午）

圭f

冬立春春分立夏夏

至立冬秋分立秋至

線

線

A.(3sina-1)米B.品D米

C.(3tanaT)米D米

【分析】根據(jù)垂直定義可得N/C8=90。，然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出2c的長(zhǎng)，從而利

用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】-：AC±BC,

/.ZACB=90°,

在RtzX/BC中，ZABC=a,NC=3米,

：.BC=AC-―3_(米)，

tanCltanCl

9：CD=1米，

:.BD=BC-CD=(-3__-1)米，

tanCL

影長(zhǎng)差2。的長(zhǎng)為(37)米，

tana

故選：D.

2.（2020秋?越城區(qū)期末）下表是小紅填寫(xiě)的實(shí)踐活動(dòng)報(bào)告的部分內(nèi)容:

C.x-10=xtan50°D.x=（x+10）sin50°

【分析】過(guò)。作?！?，跖于〃，則四邊形。是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到/汨=CD=10,CE=DH,求得

FH=x-10,得到C￡=x-10,根據(jù)三角函數(shù)的定義列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：過(guò)。作于凡

則四邊形DCEH是矩形,

：.HE=CD=10fCE=DH,

：.FH=x-10,

■:NFDH=CL=45°,

：.DH=FH=x-10,

：.CE=x-10,

*/tanB=tan50°=^-=--—,

CEx-10

Ax=（x-10）tan50°,

故選：A.

3.（2024?瑞安市二模）如圖，在RtA4BC中，ZACB=90°,以其三邊為邊向外作正方形，記△45。的面積為

三個(gè)正方形的面積和為出，過(guò)點(diǎn)。作CM,/G于點(diǎn)連結(jié)CG交45于點(diǎn)N,設(shè)N4BC=a,ZMCG=^,

若（寒■）2二tana-tan叩則足：必為（）

A.AB.C.3D.二

4488

【分析】設(shè)CW與45交于點(diǎn)P,證明四邊形APMG為矩形得尸8=MG,PM=BG=AB,再證△CPNs/XCA/G,

可得tanB?tana=/L0」l一進(jìn)而「史）2」!^,解得CN=1二ING,再由三角形面積及勾股定理

MGCGCN+NG、NG）CN+NG2

分別計(jì)算用,$2即可.

【解答】解：設(shè)CM與N8交于點(diǎn)尸，

在RtZXCPN中，tanB=fll,

CP

在RtZiCPB中，tana=S^,

BP

tanp,tana=更".史-上^,

CPBPBP

'：CMLFG,BGLFG,

C.PM//BG,

:AB〃FG,

：.四邊形BPMG為矩形，

：.PB=MG,PM=BG=AB,

tanB?tana=WL,

MG

\'PN//MG,

.,.△CPNs4CMG,

?PNCNCPCNCP

"MC"CG'PM_NG-AB'

tanp,tana=~——,

MGCG=CN+NG

tanp"tana=（翳產(chǎn)

?（CN）2二CN,

,?喻）=CN+NG'

.,.Cl^+CN-NG-必=0,

，CN=Y1二ING（負(fù)值已舍），

2

?CPCNVs-1即Cp=Vs-i

ABNG22

S-BC=工XXCP=痣二4爐=Si,

24

：△NBC為直角三角形，

:.AC2+BC2^AB2,

2222

：.S2=AC+BC+AB=2AB,

S22AB2

故選：D.

4.(2024?嘉善縣一模)為了改善自己書(shū)房的照明，小明在書(shū)房?jī)?nèi)圓桌中央的上方安裝了一個(gè)吊燈，根據(jù)小明的設(shè)

計(jì)，吊燈到桌面的距離可以調(diào)節(jié)，這樣桌面上的光線亮度可以根據(jù)不同需要加以選擇.根據(jù)光學(xué)中的相關(guān)定律,

電燈/到圓桌邊緣3的照度1叵叫，其中人是電燈的發(fā)光強(qiáng)度"為常數(shù)且左＞0),/是電燈到圓桌邊緣的

I2

距離，e是電燈到圓桌邊緣的光線與桌面所成的角.當(dāng)e=60°時(shí)，電燈的照度記作人，當(dāng)電燈到圓桌距離與圓

桌半徑相等時(shí)，電燈的照度記作七，則上=_?

126

【分析】由照度I=ksin8,得當(dāng)。=60°時(shí)，電燈的照度/i=KSin600,當(dāng)電燈到圓桌距離與圓桌半徑相等

I2(V30B)2

時(shí)，電燈的照度“KSin,。，得」_=

OB2T26

【解答】解：由照度i=ksi18,

I2

得當(dāng)6=60°時(shí)，電燈的照度/i=KSin60°正邑,當(dāng)電燈到圓桌距離與圓桌半徑相等時(shí)，電燈的照度

（V30B）260B2

KSin45°_V2K

------------------------，

OB22OB2

得土=運(yùn)

T26

故答案為：運(yùn).

6

5.（2024春?樂(lè)清市期中）如圖1是某位游客拍攝的景區(qū)纜車實(shí)景圖.如圖2是該段索道抽象出的平面示意圖，索

道N8的傾斜角為30°,長(zhǎng)度/8=82米，其兩端由BC、AD兩座等高的支架架設(shè)，這一時(shí)刻索道N8之間如圖

均勻分布著五個(gè)車廂，車廂的寬高之比（PN：MN）是2：3,若點(diǎn)J,L,。恰好在同一直線上，KC=21米,

【分析】過(guò)點(diǎn)G作X7〃3c交48于X,交CD于點(diǎn)匕過(guò)點(diǎn)X作XZLG8于點(diǎn)Z,構(gòu)造兩個(gè)含30°的直角三角

形，由題意可得/6彩=/70丫=30°,在RtZXMy中，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出。Y=2Jy=2X21

=42（米），進(jìn)而得出/r=DY=42米.再根據(jù)題意索道之間如圖均勻分布著五個(gè)車廂，/2=82米，由此得

出8G=/G=41米，在RtZ\G￥Z中，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得出GZ=/GX卷米，再根據(jù)勾股定理

得出XZ的長(zhǎng)度，由30°角直角三角形的性質(zhì)得出〃，即PN的長(zhǎng)度，再根據(jù)車廂的寬高之比（PN：MN）是2：

3,進(jìn)而得出答案.

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作交N8于X,交CD于點(diǎn)匕過(guò)點(diǎn)X作AZLG”于點(diǎn)Z,

Y

:索道48的傾斜角為30°,

：.ZGXZ=AJDY=30°,

；KC=21米，BC=XY,BK=XJ,

：.JY=KC=2\米.

在Rt/voy中，￡>y=2Jy=2X21=42（米），

.,.AX—DY—42米.

:這一時(shí)刻索道之間如圖均勻分布著五個(gè)車廂，45=82米,

???3G=/G1AB卷x82，

=41（米），

GX=AX-AG=42-41=1（米）.

在Rt^GM中，GZ^GX.（米），

由勾股定理，得G/G=GZ2+XZ2,

?'-XZ=VGX2-GZ2

=返_（米），

2

.=2AZ=2X與（米），即尸N=毒米，

:車廂的寬高之比（PN：MN）是2：3,

MN^PN^-XV3=3^^（米）.

故答案為：1^2.

6.（2024?鹿城區(qū)一模）圖1是一個(gè)水平地面上的長(zhǎng)方體密封容器，內(nèi)部裝有水，其正方形底面的邊。。=8C加，棱

ND上標(biāo)有刻度，水面與交于點(diǎn)讀得。M=30c"?,如圖2將容器放在斜坡?！晟希藭r(shí)水面分別與ND,

8c交于點(diǎn)N,P〈NP〃OF）,讀得DN=25ca若容器厚度不計(jì)，貝Utan/E。尸=_9_.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作尸0，4D于點(diǎn)0,確定尸。和0N的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問(wèn)題.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)。，

A

圖1圖2

由將容器放在斜坡上，水的體積沒(méi)變，可知M為N。的中點(diǎn)，

,:MN=DM-DN=3Q-25=5(cm),

：.QN=2MN=l0cm,

在Rt/\PNQ中，

PQ—CD—Scm,QN—lOcm,

tan/EOA=12.=-L=A.

QN105

故答案為：A.

5

7.(2024?湖北模擬)圖1是臨安區(qū)一地鐵站入口的雙翼閘機(jī)，雙翼展開(kāi)時(shí)示意圖如圖2所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖

形，AC^40cm,則雙翼邊緣端點(diǎn)C與。之間的距離為(60-80sina)5(用含a的三角函數(shù)表示).

【分析】作直線￡尸，交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)￡、F,由題意可得CE=DREF=60cm,解直角三角形/CE求出CE=

40sina,然后根據(jù)CD=EF-2CE即可得出答案.

【解答】解：如圖，作直線斯，交雙翼閘機(jī)于點(diǎn)E、F,則CEL/E,DFLBF,

由題意可得CE=D尸，EF=60cm,

在直角三角形/CE中，

,"c；nrY—CE—CE

AC40

CE=40sina,

：.CD=EF-2CE=(60-80sina)cm；

故答案為：(60-80sina)cm.

8.(2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué))利用無(wú)人機(jī)探照燈測(cè)量坡面的角度.如圖，一架無(wú)人機(jī)探照燈在點(diǎn)。處，測(cè)得它的下

邊緣光線落在坡腳點(diǎn)/處，上邊緣光線。8落在斜坡點(diǎn)3處，此時(shí)無(wú)人機(jī)離地面12米，將無(wú)人機(jī)沿水平方

向前進(jìn)5米到達(dá)點(diǎn)E處，探照燈的上下邊緣光線EC,即落在斜坡2,C處，AD//BE,DB//CE,此時(shí)點(diǎn)E恰

【分析】連接/E,作2尸，于尸，根據(jù)題意△NDE是直角三角形，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，證明

s^BCE,根據(jù)對(duì)應(yīng)線段成比例，推出旭1=工，求出8E,推出△NDEs△即尸，分別求出8尸和￡尸，進(jìn)而求出

BE6

AF,BF//MN,ZABF=ZBAN,進(jìn)而求出tan/BNN.

【解答】解：如圖，連接作于下，

?點(diǎn)E恰好在/的正上方,

.?.△4DE是直角三角形，

又,：DE=5,AE=\2,

根據(jù)勾股定理得，

^=VAE2+DE2=13,

,:AD〃BE,DB//CE,

：./DAB=ZEBC,ZABD=/BCE,

：.△NBAs△BCE,

.ADAB7

,?而同T

又,：AD//BE,

：.ZDAE=ZBEF,

/AED=NBFE=90°,

：.AADEsAEBF,

.DE_AE_AD；

"BF"EF'EB'

：.BF=迎,EF=TL,

77

:.AF=AE-EF=12-隹=衛(wèi)，

77

■:/AFB=NF4N=9Q°,

J.BF//MN,

：.ZBAN=ZABF,

.".tanZBAN=tanZ.ABF=

BF5

故答案為：2.

5

9.（2023秋?樂(lè)清市校級(jí)期中）圖1為手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2為它的側(cè)面示意圖，“工型”托架N-C-E用于放置

手機(jī)，支架8。兩端分別與托架和底座兒W（其厚度忽略不計(jì)）相連，支架8端可調(diào)節(jié)旋轉(zhuǎn)角度，已知

6cm,AB=2BD=4BC,支架調(diào)整到圖2位置時(shí)，/BDM=60°,/ABD=120；因?qū)嶋H需要，現(xiàn)將支架2端

角度調(diào)整為//8。=150°,如圖3所示，則點(diǎn)N的位置較原來(lái)的位置上升高度為_(kāi)（12-6愿）_c加.

圖1圖2圖3

【分析】如圖2,過(guò)點(diǎn)N作/交MN于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)3作3G〃兒W交N0于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作8尸，MN于點(diǎn)

F,如圖3,延長(zhǎng)3c交MV于點(diǎn)V在Rta/BG和RtAB。尸中分別算出/G和2R求出點(diǎn)/到的距離，

再在RtABDH中，算出BH,AH,再作差即可求得.

【解答】解：如圖2,過(guò)點(diǎn)N作NQLMN交MN于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)3作BG〃〃N交于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)8作8

于點(diǎn)尸，如圖3,延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)、H

旋轉(zhuǎn)前如圖3：

:NBDM=60°,ZABD=UOa,BG//MN,

：./ABG=NDBG=60°,

,;AB=2BD=4BC,BD=6cm,

：?AB=12cm,BE=3cm,

VZAGB=ZBFD=90°,

在RtZX/BG和RtA5DF中,

AG=AB-sin600=12建~=啦皿

BF=BD'sin60°=6X與=3^加，

故點(diǎn)A到MN的距離為：673+373=^[3cm,

VAABD=150°,

ND3c=30°,

VZBDM=60°,

AZDHB=90°，

在RtABDH中,

BH=BD-sin600=6X亨=3^（皿），

故AH=AB+BH=（12+3f）cm,

點(diǎn)/的位置較原來(lái)的位置上升高度為：12+3F-5回=（12-6）行）（cm）,

故答案為：（12-6盜）.

10.（2024?鹿城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動(dòng)力來(lái)源，綜合車輛的動(dòng)力控制和驅(qū)動(dòng)方

面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)、具有新技術(shù)、新結(jié)構(gòu)的汽車.如圖1是某新能源汽車側(cè)面示意圖，圖2是

該車后備廂開(kāi)起側(cè)面示意圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示（單位：cm）,且NC=8￡>,AF//BE,sinZ^F=0.8,箱蓋開(kāi)

起過(guò)程中，點(diǎn)N,C,尸不隨箱蓋轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)8,D,E繞點(diǎn)/沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)相同角度，分別到點(diǎn)女，D

E1的位置，氣簧活塞桿8隨之伸長(zhǎng)CD',已知直線E',CD'=HcD,則CD=45

cm.

3

圖1

【分析】過(guò)N作過(guò)8作由角相等得sinN3/M=sin/3/尸=0.8,故幽=9，4ABM%△

AB5

B'AN,再利用勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：過(guò)/作過(guò)夕作

ZBAM=ZBAF,

sinZBAM=sinZBAF=0.8,

???幽=生

**ABT

???設(shè)/Af=4加，AB=5m,

:?BM=3m,

VZB'AN+ZMAB=90°,

ZABM+ZMAB=90°,

???ZB'AN=NABM,

在和中，

'/B'NA=ZAMB

"NB'AN=ZMBA-

AB'=AB

：.AABM四八B，AN（AAS）,

:?B'N=AM=4m,

:?EM=B'N=4m,

???4冽+3加=￡5=105,

??YYl~~15,

???5W=60,45=75,

設(shè)C0=機(jī)，

：.AC=DB」5-m,

2

AD'=/D=/C+CD=75-m+w?=75tm,

22

：.CD'=5CD=^-m,

33

在RtZX/CZT中，

2

（75―）2+（75-m2=（叵q

223

Am=45,

故答案為：45cm.

11.（2023秋?義烏市期末）有一長(zhǎng)桿花藝剪如圖1所示，上刀片與上把手固定在長(zhǎng)桿上，把手桿8GE的點(diǎn)G

固定在45上，NEG“大小不變，當(dāng)手握N5G“兩邊時(shí)，G￡繞著點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)，帶動(dòng)桿尸E,桿尸￡再帶動(dòng)刀片桿

8尸繞固定點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，且NCD尸=90°.圖2是該花藝剪自然張開(kāi)狀態(tài)下的示意圖，CD、斯都與48平行，

測(cè)得。尸=5<?加，CD=20cm,FE、49間的距離為lc〃z,當(dāng)桿“GE繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)，花藝剪完全閉合，

點(diǎn)C落在邊上，如圖3所示，此時(shí)GE_L/8,且EF還是與48平行，則sina=_2Y5__.

—5—

AGB

⑹F

D

（圖1）

（圖2）（圖3）

【分析】利用三角函數(shù)定義表示出線段長(zhǎng)，進(jìn)而結(jié)合所桿兩端點(diǎn)移動(dòng)的距離始終相等列等式，化簡(jiǎn)求值即可得

到答案，

【解答】解：根據(jù)題意，作出平面圖形，如圖所示：

DM

VZCZ）F=90°,

由題意可知，a=ZEGEr=NNEG=/FDF'=ZDFM,

在RtdADFM中，sina=剪_,

,.?尸。=5,

.,.DAf=5sina,

在RtzXE'GN中，tana=N-,

由圖2知，F(xiàn)E、AB間的距離為1cm,

則NG=tana,

由題意可知DVf=GN,

即5sina=tana=^122_

cosCL

解得：cosa=X,

5

則sina=，

5

故答案為：2VL.

5

12.（2023秋?新化縣期末）小明家的腳踏式垃圾桶如圖，當(dāng)腳踩踏板時(shí)垃圾桶蓋打開(kāi)最大張角N/8C=50°,為節(jié)

省家里空間，小明想把垃圾桶放到桌下，經(jīng)測(cè)量桌子下沿離地面高55c加，垃圾桶高50=33.10%,桶蓋直徑8C=

28.2cm,當(dāng)垃圾桶放到桌下踩踏板時(shí)，桶蓋完全打開(kāi)有沒(méi)有碰到桌子下沿？（參考數(shù)據(jù)：sin50°^0.76,cos500

^0.64,tan50°仁1.19）

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CGIDE交AB于H.想辦法求出CG與55比較即可解決問(wèn)題;

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CHLOE分別交N2,DE于尸、H,如圖所示，

:.HF=BD=33.1cm,

在RtZXFBC中，ZCBF=50°,ZCFB=90°,BC=28.2cm,

.,.CF=2C?sin/C3尸=28.2Xsin50°^21.4（cm）,

：.CH=CF+HF=21A+33.1=54.5（cm）,

V54.5<55,

桶蓋完全打開(kāi)沒(méi)有碰到桌子下沿.

C

13.（2024?下城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，氨氣球位于西溪濕地慢生活街區(qū)，是目前唯一由我國(guó)自主研發(fā)、制造的載人觀

光氫氣球，也是杭州目前唯一的高空氧氣球體驗(yàn)項(xiàng)目.從氣球/上測(cè)得正前方的河流的兩岸8,C的俯角分別為

75°,30°,此時(shí)氣球的高是60m，求河流的寬度2c的長(zhǎng)度.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：

sin75°^0.97,cos75°心0.26,tan75°仁3.73,日仁1.73)

【分析】根據(jù)題意可得：AE=60m,AD//CE,從而可得乙DNC=N4CE=30°,ZDAB=ZABE=75°,然后

分別在RtAABE和RtAACE中，分別利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE和CE的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系

進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖:

由題意得：AE=60m,AD//CE,

：.ZDAC^ZACE^30°,NDAB=NABE=75°,

在Rtz\48E中，BE——AE----弋6?！?6.1(m),

tan7503.73

60

在RtzX/CE中，CEAE■—60y[3(m),

tan30°g

~3~

:.BC=CE-BE=6QM-16.1-88(m),

河流的寬度BC的長(zhǎng)度約為88m.

14.（2024?溫嶺市一模）如圖，某電腦顯示器由顯示屏（矩形/BCD）和支架組成，顯示屏對(duì)角線/C中點(diǎn)。固定

在支架直桿。尸一端處，顯示屏可繞點(diǎn)。順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，已知N8=36cHz,ZBAC=5S°.

（1）求3c長(zhǎng)度;

（2）為避免在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中顯示屏與支架平臺(tái)即發(fā)生磕碰，則支架直桿。尸的最小值是34cm

(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：tan58°心1.60,cos58°~0.53,sin58°-0.85)

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：ZABC=90°,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即

可解答；

(2)在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出/C的長(zhǎng)，然后利用線段中點(diǎn)的定義可求出OC的長(zhǎng)，從而

可得當(dāng)OP=OC時(shí)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中顯示屏與支架平臺(tái)跖剛好不發(fā)生磕碰，即可解答.

【解答】解：(1):四邊形/BCD是矩形，

AZABC=90°,

在RtzX/BC中，AB=36cm,/3/C=58°,

：.BC^AB^an5S°^36X1,6=57.6^58(cm),

：.BC長(zhǎng)度約為58c加；

(2)在RtZUBC中，AB=36cm,/A4c=58°,

；./C=__^_3L_^67.92(cm),

cos5800.53

:點(diǎn)。是NC的中點(diǎn)，

/.OC=X4C=33.96(cm),

2

...當(dāng)。尸=OC時(shí)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中顯示屏與支架平臺(tái)跖剛好不發(fā)生磕碰，

.?.支架直桿OP的最小值約為3452,

故答案為：34c”?.

15.(2024?青田縣校級(jí)模擬)為建設(shè)美好公園社區(qū)，增強(qiáng)民眾生活幸福感，如圖1,某社區(qū)服務(wù)中心在文化活動(dòng)室

墻外安裝遮陽(yáng)篷，便于社區(qū)居民休憩.在如圖2的側(cè)面示意圖中，遮陽(yáng)篷靠墻端離地高記為8C,遮陽(yáng)篷長(zhǎng)

為5米，與水平面的夾角為16°.

(1)求點(diǎn)A到墻面BC的距離；

(2)當(dāng)太陽(yáng)光線4D與地面CE的夾角為45°時(shí)，量得影長(zhǎng)8為1.8米，求遮陽(yáng)篷靠墻端離地高2c的長(zhǎng).(結(jié)

果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù):sinl6°~0.28,cosl6°仁0.96,tanl6°-0.29)

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)N作垂足為尸，在RtZX/B尸中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(2)過(guò)點(diǎn)/作NGLCE,垂足為G,根據(jù)題意可得：4G=CF,4F=CG=4.8米，從而可得。G=3米，然后在

及△/DG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出/G的長(zhǎng)，從而求出CF的長(zhǎng)，再在尸中，利用銳角三角函

數(shù)的定義求出8尸的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)/作/尸，2C,垂足為尸，

在RtzX/2下中，A8=5米，ZBAF^16°,

尸=/2?cosl6°仁5X0.96=4.8（米），

/.點(diǎn)A到墻面BC的距離約為4.8米；

（2）過(guò)點(diǎn)/作/GLCE,垂足為G,

由題意得：AG=CF,4F=CG=4.8米，

：CD=1.8米，

：.DG=CG-C￡>=4.8-1.8=3（米），

在RtZ\4DG中，N4DG=45°,

：.AG=DG-tan450=3（米），

:.CF=AG=3米，

在RtZ\4B尸中，48=5米，/BAF=16°,

：.BF=AB-sinl6°^5X0.28=1.4（米），

：.BC=BF+CF=1.4+3=4.4（米），

遮陽(yáng)篷靠墻端離地高BC的長(zhǎng)為4.4米.

16.（2023秋?浙江期末）實(shí)驗(yàn)是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要途徑之一.如圖是小紅同學(xué)安裝的化學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置，安裝

要求為試管略向下傾斜，試管夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.已知試管N8=24cm,BE』AB，試管傾斜角

3

a為10°.

（1）求酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CZ）的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1c機(jī)）；

（2）實(shí)驗(yàn)時(shí)，當(dāng)導(dǎo)氣管緊貼水槽延長(zhǎng)期交CN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，且（點(diǎn)C,D,N,尸在一條

直線上），經(jīng)測(cè)得：DE=21.36cm,MN=8cm,ZABM=145°,求線段DN的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1cm）.（參考

數(shù)據(jù)：sinlO0-0.17,coslO°仁0.98,tanlO0心0.18）

【分析】(1)求出NE、的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)通過(guò)作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系求出答案即可.

【解答】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)￡作EG_LNC于點(diǎn)G,

?：AB^24cm,BE.AB，

o

.\BE=8cm,AE=16cm,

在RtZX/EG中，AE=\6cm,ZAEG=10°,

：.EG=cos100*AE

^0.98X16

p15.7(cm)=CD,

答：酒精燈與鐵架臺(tái)的水平距離CD的長(zhǎng)度約為15.7cm；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)5分別作BPLFC,垂足分別為〃、P,

在RL^AETf中，BE=10cm,ZEBH=10°,

.,./ffi=sinlO°?EBF36(cm),BH=cosT0°?EBF.84(cm),

：.HD=DE-/ffi=27.36-1.36=26(cm)=BP,

VZABF=145°,

AZPBF=145°-90°-10°=45°,

:.BP=PF=HD=26cm,

■:MNLCF,NNMF=45。,MN=8cm,

：.MN=NF=8cm,

：.DN=DP+PF-NF

=7.84+26-8

七25.8(c加)，

答：線段。N的長(zhǎng)度約為25.8c冽.

17.（2024?浙江模擬）如圖1是我國(guó)古代提水的器具桔棒，創(chuàng)造于春秋時(shí)期.它選擇大小兩根竹竿，大竹竿中點(diǎn)架

在作為杠桿的竹梯上.大竹竿末端懸掛一個(gè)重物，前端連接小竹竿（小竹竿始終與地面垂直），小竹竿上懸掛水

桶.其原理是通過(guò)對(duì)架在竹梯上的大竹竿末端下壓用力，從而提水出井.當(dāng)放松大竹竿時(shí)，小竹竿下降，水桶就

會(huì)回到井里.如圖2是桔槨的示意圖，大竹竿48=6米，。為的中點(diǎn)，支架。。垂直地面EF.

圖1圖2圖3

（1）當(dāng)水桶在井里時(shí)，N4OD=120。，求此時(shí)支點(diǎn)。到小竹竿NC的距離（結(jié)果精確到0.1%）；

（2）如圖3,當(dāng)水桶提到井口時(shí)，大竹竿旋轉(zhuǎn)至小約的位置，小竹竿NC至小。的位置，此時(shí)/小。。=

143°,求點(diǎn)/上升的高度（結(jié)果精確到0.1加）.

（參考數(shù)據(jù)：73^1.73,sin37°-0.6,cos37°七0.8,tan37°"0.75）

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作OGL/C,垂足為G,根據(jù)垂直定義可得N/GO=90°,再根據(jù)題意可得：AC//OD,從

而可得NDOG=//GO=90°,進(jìn)而可得//OG=30°,然后根據(jù)線段的中點(diǎn)定義可得04=3米，從而在RtA

NOG中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

（2）設(shè)OG交小Q于點(diǎn)〃，根據(jù)題意可得：OG_LNCi，ODZ/AiCi，。小=。4=3米，從而可得/小=37°

然后在RtACMi8中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出小〃的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)。作。GL/C,垂足為G,

N/GO=90

由題意得：AC//OD,

：.ZDOG^ZAGO^9Q°,

VZAOD=nO°,

ZAOG=ZAOD-ZDOG=30°,

?；O為AB的中點(diǎn)，

'.OA=1-AB=3（米），

2

在RtZUOG中，

：.AG=X4O=1.5（米），OG=V§4G=1.5我七2.6（米）,

2

此時(shí)支點(diǎn)O到小竹竿/C的距離約為2.6米；

（2）設(shè)。G交小。于點(diǎn)H,

由題意得：OG_L/iG，OD//AXCX,。4=。/=3米，

Z^i=180°-/4。。=180°-143°=37°,

在RtAO/聲中，/iH=CM「cos37°=3X0.8弋2.4（米），

：/G=1.5米，

：.AXH-AG=2A-1.5=0.9（米），

...點(diǎn)A上升的高度約為0.9米.

18.（2024春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）小明在周末去方特游樂(lè)園乘坐了海盜船，海盜船是一種繞水平軸往復(fù)擺動(dòng)的游樂(lè)項(xiàng)

目，它的主體是由一個(gè)大型的船身和兩側(cè)的搖擺機(jī)械臂構(gòu)成.游客坐在船內(nèi)，隨著機(jī)械的運(yùn)動(dòng)，仿佛置身于一場(chǎng)

海盜航海的冒險(xiǎn)之中.當(dāng)它靜止時(shí)，我們可以把它抽象成如圖1所示的圖形，中心轉(zhuǎn)軸點(diǎn)。位于鉛垂線OC上,

兩條擺臂ON和OB均勻分布在鉛垂線兩側(cè)，它們的長(zhǎng)度相同.

小明在乘坐過(guò)程中遇到了下列問(wèn)題：

（1）如圖2,當(dāng)海盜船右側(cè)船頭轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)）時(shí)，左側(cè)船頭看最高點(diǎn)2'的仰角為23°,即

23°,已知兩擺臂之間的夾角/4。8=50°,求海盜船的最大擺角NCO夕的度數(shù).

（溫馨提示：在△H。8,由。H=。9可得NO49=/。夕4）

(2)如圖3,已知轉(zhuǎn)軸。到地面的距離。。=10加，在乘坐的過(guò)程中，當(dāng)海盜船右側(cè)船頭在位置尸時(shí)，此時(shí)測(cè)得

點(diǎn)尸到地面的距離尸尸=7〃?；當(dāng)左側(cè)船頭擺動(dòng)到點(diǎn)尸'處時(shí)，POLP,O.求點(diǎn)P'至UOC的距

【分析】(1)如圖2,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/OHB'=NOB‘A'^180°~50°=65°，求得NQ4'

2

D=ZB'A'D+ZOA'B'^23°+65°=88°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到?！?180°-ZOA'。=92°,于是得到

結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)P作PM_LOC于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作尸ALLOC于點(diǎn)N,再證明M會(huì)△PON,可得PM=ON,

證明CN=PF=1m,從而可得答案.

【解答】解：(1)如圖2,:。!'=OB',ZA'OB'=50°,

C.ZOA'B'=/0B'A'=1800-50°=65。,

2

：.ZOA'D=ZB'A'D+ZOA'B'=23°+65°=88°,

'：OE//AD,

?！?180°-ZOA'0=92°,

圖2

：NCOE=90°,

0C=92°-90°=2°,

：.ZCOB'^50°-2°=48°；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PATLOC于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作尸NJ_OC于點(diǎn)N,

圖3

?：PO±P'O,P1MLOC,

：./OP'M=ZNOP,

在△OPM與叢PON中,

'/0P'M=ZP0N

<NOMP'=/PNO，

.OP'=0P

：./\OP'M^/\PONCAAS)

：.P'M=ON,

'：PN±OC,CFLOC,PF1.CF,

四邊形CFPN是矩形，

:.CN=PF=1m,

：OC=10加，

：.ON=OC-CN=3m,

：.P'M=3m.

答：點(diǎn)P到OC的距離為3加.

19.(2024?龍灣區(qū)二模)如圖1,拐尺與水平尺是生活中重要的測(cè)量工具.圖2是某排水管道系統(tǒng)的部分實(shí)物圖，

圖3是其示意圖.已知管道與8c的長(zhǎng)度相同，8c與地面4D平行.現(xiàn)將拐尺和水平尺放在N8上，使PN

//AD,測(cè)得MN=12厘米，河尸=5厘米.

(1)求tan/24D的值.

(2)若12.5米，求C到地面的距離CD的長(zhǎng).

c

D

圖3

【分析】（1）在中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得tan/MVP=±_,然后利用平行線的性質(zhì)可得NHW

12

=/BAD,從而可得tan/84D=tan/MA?=-5-,即可解答；

12

（2）過(guò)點(diǎn)8作垂足為￡,根據(jù)題意可得：BC=DE,BE=CD,然后在中，利用銳角三角函

數(shù)的定義可設(shè)2E=5x厘米，則/E=12x厘米，從而利用勾股定理可得/2=13x厘米，進(jìn)而可得48=2C=DE=

13x厘米，最后根據(jù)AE+DE^AD列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）在RtAACVP中，ACV=12厘米，MP=5厘米,

MN12

,JPN//AD,

：./PNM=/BAD,

tan/BAD=tan/ACVf*=-^-；

12

由題意得：BC=DE,BE=CD,

在RtZk/BE中，1211/切。=些=且,

AE12

...設(shè)BE=5x厘米,則NE=12x厘米，

A^=VAE2+BE2=V(12X)2+(5X)2=13X(厘米)，

■:AB=BC,

：.AB=BC=DE=13x厘米,

9：AD=12.5米=1250厘米,

：.AE+DE=1250,

A12x+13x=1250,

解得：x=50,

：.BE=CD=250厘米,

；.C到地面的距離CD的長(zhǎng)為250厘米.

20.（2024?海寧市校級(jí)模擬）綜合與實(shí)踐：測(cè)算校門所在斜坡的坡度.

【背景】如圖1,某學(xué)校校門在一道斜坡上，該校興趣小組想要測(cè)量斜坡的坡度.

圖1|?|2

【素材1】校門前的斜坡上鋪著相同的長(zhǎng)方形石磚，如圖2,從測(cè)量桿到校門所在位置在斜坡上有15塊

地磚.

【素材2】在點(diǎn)/處測(cè)得仰角tan/1=工，俯角tan/2=工；在點(diǎn)2處直立一面鏡子，光線2。反射至斜坡CE

95

的點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)8的仰角tan/3=§；測(cè)量桿上/8：8c=5：8,斜坡CE上點(diǎn)N所在位置恰好是第9塊地

24

磚右邊線.

【討論】只需要在Nl,N2,/3中選擇兩個(gè)角，再通過(guò)計(jì)算，可得CE的坡度.

任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)測(cè)量角的正切值：N2和Z3.（填“/

1"，“/2”或“/3）

求NE：CN的值.

任務(wù)2推理計(jì)算求坡度tan/ECW的值.

【分析】任務(wù)1,選擇N2和/3,由CE=15,CN=9,可求得NE：CN=2：3；

任務(wù)2,過(guò)點(diǎn)E和N作/C的垂線，證明△CGNs/\C,推出”=典=里=3,設(shè)CG=3無(wú)，CH=5x,HG

CHHECE5

=x,BH=a,貝!]BG=a+2x,求得〃￡=Wit?+15x,GN=5a+10x,根據(jù)坦1=2，列式計(jì)算即可求解.

5HE5

【解答】解：任務(wù)1,選擇兩個(gè)測(cè)量角的正切值/2和/3,

：CE=15,CN=9,

:.NE=15-9=6,

:.NE：CN=6：9=2：3.

任務(wù)2,過(guò)點(diǎn)E和N作/C的垂線，垂足分別為點(diǎn)〃和G,

：.GN//HE,

：.4CGNS4CHE,

.CG=GN=CN=9=3

"CHIffiCE75

設(shè)CG=3x,CH=5x,HG=2x,BH=a,則2G=a+2x,

,:AB：BC=5：8,BPAB：（a+5x）=5：8,

=$（0+5x）,4H■=48+&/=烏/+空x,

888

由題意得/BNG=/4=/3,ZAEH=Z2,

tanZ2=A,tan/3=-^-,

524

?AH=XBG_=_5_；

,?瓦TGN24）

:.HE=5（烏+至r）=%+磔_X,8G=%+組，

8888555

.?.GN—_—3，

HE5

2448

.55_3

"651255"

整理得x=L,

3

tanZECM=tanZHEC=空=?,二—=_L.

HE65.1258

l-ayx

21.（2024?浙江模擬）我們?cè)诳茖W(xué)課中學(xué)過(guò)，光從空氣射入水中會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1）,記入射角為a,折射角

為B，我們把”=里嗎用為水的折射率.為了觀察光的折射現(xiàn)象，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：如圖2,/BCD為一圓柱形

敞口容器的縱切面，BC=32cm,容器未盛水時(shí)激光筆從。處發(fā)射光線，點(diǎn)。，A,C恰好共線，此時(shí)NA4C=

53°.往容器內(nèi)注水，當(dāng)水面所到達(dá)容器高度一半時(shí)，激光筆在容器底面光斑落在點(diǎn)G處，測(cè)得CG=

7。加.（參考數(shù)據(jù)：sin53°七當(dāng)，cos53°七3,tan53°七三）

553

（1）求容器的高度AB.

（2）求水的折射率機(jī)

（3）若繼續(xù)往容器內(nèi)注水，光斑會(huì)往左側(cè)移動(dòng)，如圖3,當(dāng)光斑G'移動(dòng)到2c的三等分點(diǎn)處（CG'=1CB）,

3

求水面上升的高度（結(jié)果精確到0.1c加）.

Si

【分析】(1