軸對稱（易錯必刷40題13種題型專項訓(xùn)練）（解析版）

「I年級上數(shù)學(xué)人教版期末考試專題復(fù)習(xí)

猜想03軸對稱（易錯必刷40題13種題型專項訓(xùn)練）

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一.線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）二.等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）

三.等腰三角形的判定（共3小題）四.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

五.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

七.含30度角的直角三角形（共3小題）八.生活中的軸對稱現(xiàn)象（共1小題）

九.軸對稱的性質(zhì)（共2小題）十.軸對稱圖形（共2小題）

十一.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)（共8小題）十二.作圖-軸對稱變換（共1小題）

十三.軸對稱-最短路線問題（共2小題）

?題型通關(guān)專訓(xùn)?

一.線段垂直平分線的性質(zhì)（共4小題）

1.（2023春?定邊縣校級期末）如圖，在△48C中，DE垂直平分2C,分別交3C、AB于D、E,連接CE,BF

平分//8C,交CE于F,若BE=AC,NACE=20°,則/￡7螢的度數(shù)為（）

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得班=EC,從而可得/EBC=NECB,再根據(jù)已知可得CE=/C,從

而利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得//=//￡C=80°,然后利用三角形的外角性質(zhì)可得/

EBC=NECB=40°,再利用角平分線的定義/EBC=20°,最后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：垂直平分3C,

：.EB=EC,

：.NEBC=/ECB,

?；BE=AC,

：.CE=AC,

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VZACE^20°,

/.ZA=ZAEC=1-（180°-/ACE）=80°,

2

/AEC=ZEBC+ZECB=80°,

：.ZEBC=ZECB=40°,

?:BF平分NABC,

:./FBC=L/EBC=20°,

2

:./EFB=NFBC+NECB=6Q°,

故選：C.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?漣源市期末）如圖，在足球場內(nèi)，A,B,C表示三個足球運動員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在足球

場內(nèi)放置一個足球，使它到三個運動員的距離相等，則足球應(yīng)放置在（）

A.AC,5c兩邊高線的交點處

B.AC,兩邊中線的交點處

C.AC,8C兩邊垂直平分線的交點處

D.N4,兩內(nèi)角平分線的交點處

【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，即可解答.

【解答】解：如圖，在足球場內(nèi)，A,B,C表示三個足球運動員，為做折返跑游戲，現(xiàn)準(zhǔn)備在足球場內(nèi)放置

一個足球，使它到三個運動員的距離相等，則足球應(yīng)放置在/C,3c兩邊垂直平分線的交點處，

故選：C.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?吉林期末）如圖，在△/班;中，48的垂直平分線交8C于點E,/C的垂直平分線交3C于點?若

Z5+ZC=70°,則/瓦4/的度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【分析】先利用三角形的內(nèi)角和定理求出/3/C=110。，再利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得￡/=班，F(xiàn)A=

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FC,從而可得NB=/B4E,/C=NE4C,然后利用等量代換可得NR4E+4E4C=70°,最后利用角的和差

關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：,.?/2+NC=70°,

.?./R4C=180°-(ZB+ZC)=110°,

,：AB的垂直平分線交BC于點E,AC的垂直平分線交BC于點F,

：.EA=EB,E4=FC,

：.ZB=ZBAE,ZC=ZFAC,

：.ZBAE+ZFAC=10°,

AZEAF=ZBAC-(ZBAE+ZFAC)=40°,

故選：C.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2022秋?懷化期末)如圖，直線/與根分別是△/8C邊/C和2C的垂直平分線，/與加分別交邊48于點。

和點E.

(1)若/2=10,則△(7￡)￡的周長是多少？為什么？

(2)若N/C8=125°,求乙DCE■的度數(shù).

【分析】(1)依據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得到△CDE的周長=CD+DE+CE=/O+DE+8E=N5；

(2)依據(jù)NO=CD,BE=CE,即可得到=NB=/BCE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到

ZA+ZB=55°,進(jìn)而得到N/CD+NBCE=55°,再根據(jù)NDCE=N/C8-(N/CD+N8CE)進(jìn)行計算即可.

【解答】解：(1)△<?￡)￡的周長為10.

V直線/與加分別是△NBC邊AC和BC的垂直平分線，

：.AD=CD,BE=CE,

：./\CDE的周長=CD+D￡+C￡=/D+r>￡+8￡=/8=10；

(2)V直線I與m分別是△NBC邊AC和BC的垂直平分線,

:.AD=CD,BE=CE,

：.ZA^ZACD,/B=/BCE,

又?.,N4CB=125°,

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AZA+ZB=180°-125°=55°,

：.ZACD+ZBCE=55°,

：./DCE=NACB-（/ACD+/BCE）=125°-55°=70°.

【點評】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.

二.等腰三角形的性質(zhì)（共9小題）

5.（2022秋?門頭溝區(qū)期末）一個等腰三角形的兩條邊分別是2cm和5cm,則第三條邊的邊長是（）

A.2cmB.5cmC.2cm或5cmD.不能確定

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2c加，底邊長為5c加時，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5c加，底邊長

為2cm時，然后分別進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為2cm,底邊長為5cm時，

：2+2=4<5,

不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5cm,底邊長為2cm時，

...等腰三角形的三邊長分別為5c%,5cm,2cm,

綜上所述：等腰三角形的第三條邊的邊長是5cm,

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?番禺區(qū)校級期末）等腰三角形的一條邊長為6,另一邊長為14,則它的周長為（）

A.26B.26或34C.34D.20

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時；當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為6時,

然后分別進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為6,底邊長為14時，

V6+6=12<14,

???不能組成三角形；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為14,底邊長為6時，

.?.它的周長=14+14+6=34；

綜上所述：它的周長為34,

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

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7.(2022秋?南開區(qū)校級期末)等腰三角形的一個外角是70°,則它的頂角的度數(shù)為()

A.70°B.70°或40°C.110°D.110°或40°

【分析】利用平角定義，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：如圖：在△NBC中，AB=AC,

：.ABAC=\^°-ZDAC=U0°,

等腰三角形的頂角的度數(shù)為110°,

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

8.(2022秋?聊城期末)若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50°,則這個等腰三角形的底角的度數(shù)為

()

A.20°B.50°或70°C.70°D.20°或70°

【分析】分兩種情況討論：①若該等腰三角形為鈍角三角形；②若該等腰三角形為銳角三角形；先求出頂角

ABAC,即可求出底角的度數(shù).

【解答】解：①如圖1,當(dāng)該等腰三角形為鈍角三角形時，

:一腰上的高與另一腰的夾角是50°,

.?.底角=上(90°-50°)=20°,

2

②如圖2,當(dāng)該等腰三角形為銳角三角形時，

?.?一腰上的高與另一腰的夾角是50°,

.?.底角=上口80°-(90°-50°)]=70°.

2

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A

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及余角和鄰補角的定義；注意分類討論方法的運用，避免漏解.

9.（2022秋?平谷區(qū)期末）如圖，LABC中，AB=AC,D是B4延長線上一點，且/￡UC=100°，則/C=50°

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得NB=/C,再利用三角形的外角性質(zhì)可得ND4c=/3+/C=100。，然

后進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：；4B=/C,

ZB=ZC,

?/ZDAC是△4BC的一個外角，

AZDAC^ZB+ZC^100°,

/.ZB=ZC=50°,

故答案為：50°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?衡山縣期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為10和4,則三角形的周長是24.

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時，當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為10時,

然后分別進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為10,底邊長為4時，

，這個等腰三角形的周長=10+10+4=24；

當(dāng)?shù)妊切蔚难L為4,底邊長為10時，

V4+4=8<10,

不能組成三角形；

綜上所述：這個等腰三角形的周長為24,

故答案為：24.

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【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

II.（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，在△/BC中，AB=AC,。為的是中點，AD=AE,NBAD=30°,

求/EDC的度數(shù).

【分析】先利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得//DC=90°,/BAD=/CAD=30。，然后再利用等腰三

角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理可得m=75°,從而利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：。為3C的是中點，

AZADC^9Q°,/BAD=/CAD=30°,

,JAD^AE,

；.NADE=/AED=L（1800-ZCAD）=75°,

2

/EDC=ZADC-ZADE=15°,

.?.NEDC的度數(shù)為15°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.（2022秋?忠縣期末）如圖△4BC中，點。在43上，己知4D=3Z）=CD.

（1）求/4CB的大??；

（2）若N/=30°,48=4,求△BCD的周長.

【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)可得/B=/BCD,然后利用三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)

行計算即可解答；

（2）利用（1）的結(jié)論，在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得2。=工/2=2,然后再根

2

據(jù)已知可得NO=8O=CD=2,從而利用三角形的周長公式，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）'：AD=BD=CD,

；.N4=NACD,/B=/BCD,

VZA+ZACD+ZBCD+ZB=ISO°,

第7頁共28頁

：.2ZACD+2ZBCD^1SO0,

：.ZACD+ZBCD=9Q°,

AZACB=90°；

（2）：N/=30°,ZACB=90°,AB=4,

.?.2C=148=2,

2

?；AD=BD=CD,

'.AD=BD=CD=—AB=2,

2

j△BCD的周長為6.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，

以及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?開封期末）已知在中，/B=20,BC=8,AC=2m-2.

（1）求加的取值范圍；

（2）若△/BC是等腰三角形，求△/BC的周長.

【分析】（1）利用三角形的三邊關(guān)系可得：20-8<2m-2<20+8,然后進(jìn)行計算即可解答；

（2）分兩種情況：當(dāng)NB=NC=20時；當(dāng)3C=/C=8時，然后分別進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）在△A8C中，AB=20,BC=8,AC=2m-2.

.,.20-8<2m-2<20+8,

解得：7Vm<15；

二加的取值范圍為：7cm<15；

（2）?；△/8C是等腰三角形，

分兩種情況：

當(dāng)A8=/C=20時，

4ABC的周長=20+20+8=48；

當(dāng)BC=/C=8時，

V8+8=16<20,

不能組成三角形；

綜上所述，△48C的周長為48.

【點評】本題考查了三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形三邊關(guān)系，以及等腰三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三.等腰三角形的判定（共3小題）

14.（2022秋?平橋區(qū)校級期末）線段在如圖所示的8X8網(wǎng)格中（點/、8均在格點上），在格點上找一點C,

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使△NBC是以為頂角的等腰三角形，則所有符合條件的點。的個數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

【分析】根據(jù)題意可得，以點8為圓心，歷1長為半徑畫圓，圓與格點的交點即為符合條件的點C

【解答】解：如圖所示：

使△NBC是以為頂角的等腰三角形,

所以所有符合條件的點C的個數(shù)是6個.

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定,解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定.

15.（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）如圖，正方形的網(wǎng)格中，點4,3是小正方形的頂點，如果C點是小正方形的

頂點，且使△NBC是等腰三角形，則點C的個數(shù)為（）

C.8D.9

【分析】當(dāng)N3是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與/、3頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三

角形；當(dāng)是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，N3垂直平分線上的格點都可

以作為點C,然后相加即可得解.

【解答】解：如圖，分情況討論:

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@AB為等腰A/BC的底邊時，符合條件的C點有4個；

②為等腰△N8C其中的一條腰時，符合條件的C點有4個.

所以△/BC是等腰三角形，點C的個數(shù)為8個，

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實際條件的圖形.分類討論思

想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

16.（2022秋?邳州市期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知8是兩格點，如果C也

是圖中的格點，且使得△NBC為等腰三角形，則符合條件的點C的個數(shù)是（）

【分析】分N3是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與N、3頂點相對的頂點，連接即可得到等腰三

角形，是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，垂直平分線上的格點都可以

作為點C,然后相加即可得解.

【解答】解：①為等腰△/BC底邊時，符合條件的。點有4個；

@AB為等腰△N8C其中的一條腰時，符合條件的C點有4個.

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵，要注意分是腰長與底邊

兩種情況討論求解.

四.等腰三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

17.（2022秋?潢川縣校級期末）如圖，在△/BC中，48=3,4c=4,//2C和//C2的平分線交于點E,過點

￡作兒W〃8c分別交NB、/C于M、N,則△4W的周長為（）

A.4B.6C.7D.8

【分析】利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△的和是等腰三角形，從而可得NE

=NC,然后利用等量代換可得的周長=/2+/C,進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：平分N/BC,CE平分/ACB,

：.ZABE=ZEBC,ZACE=ZECB,

第10頁共28頁

U：MN//BC,

：?NMEB=/EBC,/NEC=NECB,

；?NABE=/MEB,NACE=NNEC,

:?MB=ME,NE=NC,

?：AB=3,4C=4,

???AAMN的周長=4V+JW+ZN

=AM+ME+EN+AN

=AM+MB+CN+AN

=AB+AC

=3+4

=7,

故選：C.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證等腰三角

形是解題的關(guān)鍵.

18.（2022秋?荊門期末）如圖，在△/5C中，ED//BC,和N4C3的平分線分別交ED于點G、F,若FG

=4,￡7）=8,求EB+DC=12.

【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△EBG和△?；?。是等腰三角形，從而可得或=EG,DF=

DC,進(jìn)而可得防+。。=助+方G,然后進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解??：EDIIBC,

:?NEGB=/GBC,ZDFC=AFCB,

???2G平分NZBC,CF平分NACB,

:?/ABG=/CBG,ZACF=ZFCB,

:?/EBG=/EGB,ZDFC=ZACFf

:?EB=EG,DF=DC,

???bG=4,ED=8,

：.EB+DC=EG+DF

=ED+FG

=12,

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故答案為：12.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握利用角平分線的定義和平行線的性

質(zhì)可證等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

五.等邊三角形的性質(zhì)（共1小題）

19.（2022秋?睢陽區(qū)期末）已知△48C為等邊三角形，48=10,M在48邊所在直線上，點N在NC邊所在直

線上，且〃若NM=16,則CN的長為4或36.

【分析】分兩種情形：①當(dāng)點M在N5的延長線上時，作〃C于。.②當(dāng)點M在胡的延長線上時,

作于。.分別求解即可.

【解答】解：由題意可知，BM=AN=6,

①如圖，當(dāng)點M在48的延長線上時，作于D.

VZADM=9Q°,ZA=60°,AM=16,

.".AD=-AM=S,

2

：.CD=AC-AD=2,

,:MN=MC,MDLCN,

：.DN=CD,

：.CN=2CD=4.

②如圖，當(dāng)點M在R4的延長線上時，作M)_LCN于D,

第12頁共28頁

N,

I

BL------Xc

在RtAAMD中，

VZADM^90°,ZDAM=6Q°,/M=16,

.".AD=-AM=S,

2

：.CD=AD+AC^1S,

,:MN=MC,MDLCN,

：.DN=CD,

：.CN=2CD=36,

故答案為：4或36.

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，

學(xué)會添加常用輔助線面構(gòu)造直角三角形解決問題.

六.等邊三角形的判定與性質(zhì)（共2小題）

20.（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，已知/2=/C,4D平分/A4C,NDEB=/EBC=60°,若BE=5,DE

=2,則BC=7.

【分析】作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出△BE"為等邊三角形，得出從而得出

3N的長，進(jìn)而求出答案.

【解答】解：延長ED交8C于延長/。交3C于N,如圖，

'：AB=AC,AD平分/BAC,

：.AN.LBC,BN=CN,

第13頁共28頁

；NEBC=/DEB=6Q°,

...△5EM為等邊三角形，

：.BM=EM=BE=5,ZEMB=60°,

?：DE=2,

：.DM=3,

■:ANLBC,

：.ZDNM=90°,

:.NNDM=30°,

NM=—DM=—,

22

:.BN=BM-MN=5-3=工，

22

:.BC=2BN=7.

故答案為：7.

【點評】本題主要考查的是等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)等知識,

根據(jù)題意構(gòu)造含30。的直角三角形是解題的關(guān)鍵.

21.（2022秋?東洲區(qū)期末）如圖，直線a〃6,△/BC是等邊三角形，點/在直線a上，邊2C在直線b上，把

△A8C沿3c方向平移的一半得到△/'B'C（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平

移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是400.

【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第"個圖形中大等邊三角形有2〃個，小等邊三

角形有2〃個，據(jù)此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù).

【解答】解：如圖①

?.?△48C是等邊三角形，

第14頁共28頁

：.AB=BC=AC,

\"A'B'//AB,BB'=B'C=1.BC,

2

：.B'O^l.AB,CO=^-AC,

22

...△夕0c是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形.

又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個,

第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個，

第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，…

依次可得第?個圖形中大等邊三角形有In個，小等邊三角形有In個.

故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是：2X100+2X100=400.

故答案為：400.

【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是據(jù)圖找出規(guī)律.

七.含30度角的直角三角形（共3小題）

22.（2022秋?白云區(qū)校級期末）若等腰三角形腰上的高是腰長的一半，則這個等腰三角形的底角是（）

A.75°或15°B.75°C.15°D.75°和30°

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時；然后分別進(jìn)行計算即

可解答.

【解答】解：分兩種情況：

當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖：

在△N3C中，AB=AC,BDLAC,

：.NBDA=90°,

?：BD=^AB,

2

第15頁共28頁

，/BAD=30°,

?：AB=AC,

(180°-//)=75

，這個等腰三角形的底角是75°；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖:

B

在△A8C中，AB=AC,BDLAC,

：.ZBDA=90°,

:BD=LAB,

2

ZBAD=30°,

；./48C+/C=30°,

;AB=AC,

:./ABC=/C=L/BAD=15°

這個等腰三角形的底角是15°；

綜上所述：這個等腰三角形的底角是75?；?5。，

故選：A.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

23.（2022秋?洪山區(qū)校級期末）如圖，在中，/BAC=90°,ZB=30°,ADLBC,則下列等式成立

的是（

A.BD=3DCB.AD=2DCC.AB=4DCD.BD=2AC

【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出BD=3DC,BD=3AC,BC=4DC,

AC=2DC.

【解答】解：?.?NA4C=90°,Z5=30°,

:?BC=2AC,ZC=60°,

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U：ADA.BC,

：.ZDAC=30°,

：.AC=2DC,

???5不符合要求；

：.BC=4DC,

???C不符合要求；

：.BD=3DC,

?9?A符合要求；

U：AC=2DC,BC=4DC

:.BD=3AC,

2

不符合要求；

故選：A.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)30°的角所對的直角邊，點

明斜邊，是解題的關(guān)鍵.

24.（2022秋?楊浦區(qū)期末）已知，如圖，在△/8C中，/D為邊上的中線，且/。=上3。，AELBC.

2

（1）求證：NCAE=/B；

（2）若NC4E=30°,CE=2,求的長.

【分析】（1）根據(jù)三角形的中線定義可得從而可得4D=DC=BD,然后利用等腰三角形的

2

性質(zhì)可得4ZC=ADAC,再利用三角形的內(nèi)角和定理可得/3+/C=90°,最后根據(jù)垂直定義

可得//EC=90°,從而可得NC4E+/C=90°,進(jìn)而根據(jù)同角的余角相等即可解答；

（2）在Rt^NEC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出/C的長，然后在中，利用含30度

角的直角三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】（1）證明：?.2。為3C邊上的中線，

;.BD=DC=LBC,

2

?：AD=^BC,

2

：.AD=DC=BD,

第17頁共28頁

:?/B=/BAD,NC=NDAC,

VZB+ZBAD+ZDAC+ZC=1SO°,

A2（NB+NC）=180°,

AZ5+ZC=90°,

U：AELBC,

：.ZAEC=90°,

：.ZCAE+ZC=90°,

；?/CAE=/B；

（2）解：VZAEC=90°,ZCAE=30°,CE=2,

：.AC=2CE=4,

VZ5+ZC=90°,

ZBAC=1SO°-（NB+NC）=90°,

VZB=ZCAE=30°,

AB=yf"^AC=4f3,

???/B的長為4日.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

八.生活中的軸對稱現(xiàn)象（共1小題）

25.（2022秋?高陽縣校級期末）如圖是跳棋盤，其中格點上的黑色點為棋子，剩余的格點上沒有棋子，我們約

定跳棋游戲的規(guī)則是：把跳棋棋子在棋盤內(nèi)沿直線隔著棋子對稱跳行，跳行一次稱為一步，已知點4為乙方

一枚棋子，欲將棋子4跳進(jìn)對方區(qū)域（陰影部分的格點），則跳行的最少步數(shù)為（）

A.2步B.3步C.4步D.5步

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，由軸對稱的性質(zhì)判定正確選項.

【解答】解：觀察圖形可知：先向右跳行，在向左，最后沿著對稱的方法即可跳到對方那個區(qū)域，所以最少

是3步.

故選8.

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【點評】此題考查軸對稱的基本性質(zhì)，注意：對稱軸垂直平分對應(yīng)點的連線.通過對稱的性質(zhì)找到最短的路

線是解題的關(guān)鍵.

九.軸對稱的性質(zhì)（共2小題）

26.（2022秋?大連期末）如圖，在2X2的正方形格紙中，有一個以格點為頂點的△N3C,在格紙中能畫出與△

/2C成軸對稱且也以格點為頂點的三角形（不包括△/2C本身），這樣的三角形共有3個

【分析】依據(jù)大正方形的對稱軸，即可畫出與3c成軸對稱且也以格點為頂點的三角形.

【解答】解：如圖所示，與△NBC成軸對稱且也以格點為頂點的三角形有3個：

故答案為：3.

【點評】本題考查軸對稱圖形的定義與判斷，如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形能完全重合，這

個圖形就是軸對稱圖形.折痕所在的這條直線叫做對稱軸.

27.（2022秋?華容區(qū)期末）如圖，四邊形48CD中，點2關(guān)于/C的對稱點方恰好落在CD上，若/

氏4O=a,則的度數(shù)為（）

A.45°B.a-45°C.LD.90°-

22

【分析】連接48',BB',過4作/￡_LCD于E,依據(jù)ZDAE=ZB'AE,即可得出

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ZBAD=-Q，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)，即可得到//C8=//C8'=90°--Q.

22

【解答】解：如圖，連接/夕，BB',過/作4B_LCD于E,

:點B關(guān)于AC的對稱點9恰好落在CD上，

垂直平分89，

：.AB=AB',

：./R4C=ZB'AC,

'：AB=AD,

：.AD=AB',

又；4E'_LCD,

ZDAE=AB'AE,

ZCAE=—ZBAD=-rr，

22

又?：NAEB，=N40B』90°,

，四邊形中，ZEB'O=18Q°-Xa,

2

：.ZACB'=ZEB'O-ZC05'=180°-A.a-90°=90°--1-a,

22

；./4CB=/4CB'=90°-—a>

2

故選：D.

【點評】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和以及三角形外角性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔

助線構(gòu)造四邊形/。2石，解題時注意：如果兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線

段的垂直平分線.

一十.軸對稱圖形（共2小題）

28.（2022秋?海安市期末）觀察如圖的網(wǎng)絡(luò)圖標(biāo)，其中可以看成軸對稱圖形的是（）

【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直

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線叫做對稱軸.

【解答】解：選項。的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

所以是軸對稱圖形，

選項/、2、。的圖形均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，

所以不是軸對稱圖形，

故選：C.

【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

29.（2023?岳麓區(qū)校級三模）”致中和，天地位焉，萬物育焉對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現(xiàn)，常被運

用于建筑、器物、繪畫、標(biāo)識等作品的設(shè)計上，使對稱之美驚艷了千年的時光.下列大學(xué)的?；請D案是軸對

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這

條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.

【解答】解：A,C,。選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分

能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

5選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸

對稱圖形；

故選：B.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合.

一十一.關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)（共8小題）

30.（2022秋?天河區(qū)校級期末）下列說法正確的是（）

A.已知點M（2,-5）,則點M到x軸的距離是2

B.若點/（a-1,0）在x軸上，則a=0

C.點/（-1,2）關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為（-1,-2）

D.點C（-3,2）在第一象限內(nèi)

【分析】分別根據(jù)點的幾何意義；在x軸上的點的縱坐標(biāo)為零；關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變,

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縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；各個象限上的點的坐標(biāo)符號逐一判斷即可.

【解答】解：A.已知點M(2,-5),則點M到x軸的距離是|-5|=5,故本選項不合題意；

B.若點/(a-1,0)在x軸上，則?？梢允侨w實數(shù)，故本選項不合題意；

C.點/(-1,2)關(guān)于x軸對稱的點坐標(biāo)為(-1,-2),故本選項符合題意；

D.C(-3,2)在第二象限內(nèi)，故本選項不合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)以及點的坐標(biāo)，掌握平面直角坐標(biāo)系中的點的坐標(biāo)特點是解答

本題的關(guān)鍵.

31.(2022秋?廣宗縣期末)若點/(a,3),B(2,-Z?)關(guān)于〉軸對稱，則點M(a,b)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【分析】根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”求出。、6的值，即可得到結(jié)論.

【解答】解：:?點/(a,3)、點3(2,-6)關(guān)于y軸對稱，

??(7=2?~6=3,

解得：。=-2,b=-3,

.,.點M(a,b)在第三象限，

故選：C.

【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)以及各點所在象限的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱

點的坐標(biāo)規(guī)律：(1)關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；(2)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)

相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；(3)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù).

32.(2022秋?扶溝縣校級期末)已知點"(a,3)和N(4,b)關(guān)于y軸對稱，則a-b=-7.

【分析】直接利用關(guān)于夕軸對稱點的性質(zhì)(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變)得出。，6的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：；點M(。，3)和N(4,b)關(guān)于y軸對稱，

??t7=-4,6=3,

:.a-b=-4-3=-7.

故答案為：-7.

【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

33.(2022秋?靈寶市期末)在平面直角坐標(biāo)系中，點/(1+m,1-與點、B(-1,2)關(guān)于y軸對稱，貝!

=1.

【分析】關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變.直接利用關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)

得出加，"的值，進(jìn)而得出答案.

【解答】解：：點/(1+m,1-；7)與點B(-1,2)關(guān)于y軸對稱，

第22頁共28頁

".m+\—1,1-n—2,

解得：m=0,n=-1,

.,.m+n—Q-1=-1.

故答案為：-1.

【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的特征，點P（x,y）關(guān)于y軸的對稱點P的坐標(biāo)是（-x,y）.

34.（2022秋?辛集市期末）規(guī)定：在平面直角坐標(biāo)系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個

點作“1”變換表示將它關(guān)于x軸作對稱點，一個點作“2”變換表示將它關(guān)于y軸作對稱點.由數(shù)字0,1,2

組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續(xù)變換.例如：如圖，點N（-2,3）按序列“012”作變換，表

示點/先向右平移一個單位得到?。?1,3）,再將由（-1,3）關(guān)于x軸對稱得到?。?1，-3）,再將

山（-1,-3）關(guān)于〉軸對稱得到出（1,-3）…依次類推?點（1,1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后

【分析】根據(jù)變換的定義解決問題即可.

【解答】解：點B（1,1）按序列“012”作變換，表示點3先向右平移一個單位得到為（2,1）,再將?。?,

1）關(guān)于x軸對稱得到歷（2,-1）,再將&（2,-1）關(guān)于y軸對稱得到期（-2,-1）…依次類推，點（1,

1）經(jīng)過“012”變換得到點（-2,-1）,點（-2,-1）經(jīng)過“012”變換得到點（1,I）,說明經(jīng)過6次變

換回到原來的位置，

1004-6=16....4,

所以點（1,1）經(jīng)過“012012012…”100次變換后得到點的坐標(biāo)為（-1,-1）.

故選：D.

【點評】本題考查規(guī)律型：點的坐標(biāo)，平移變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)

知識解決問題.

35.（2022秋?金牛區(qū)校級期末）已知有序數(shù)對（a,b）及常數(shù)左，我們稱有序數(shù)對Cka+b,a-b）為有序數(shù)對（a,

b）的“左階結(jié)伴數(shù)對”.如（3,2）的“1階結(jié)伴數(shù)”對為（1X3+2,3-2）即（5,1）.若有序數(shù)對（a,b）

第23頁共28頁

（6N0）與它的“左階結(jié)伴數(shù)對“關(guān)于〉軸對稱，則此時左的值為（）

A.-2B.-3C.0D.-A

22

【分析】根據(jù)新定義可得：有序數(shù)對（。，b）1W0）的"階結(jié)伴數(shù)對”是（h+6,a-b）,并根據(jù)/軸對稱:

橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，可列方程組，從而可解答.

【解答】解：：有序數(shù)對（。，6）（*0）的“左階結(jié)伴數(shù)對”是（ka+b,a-b\

.（a_b=b

la+ka+b=O

解得」=-2.

2

故選：B.

【點評】本題考查了解二元一次方程組，新定義“左階結(jié)伴數(shù)對”的理解和運用，能根據(jù)題意列出方程組是解

此題的關(guān)鍵.

36.（2022秋?寧波期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點/（-3,-4）平移后能與原來的位置關(guān)于y軸對稱，則應(yīng)把

點/（）

A.向左平移6個單位B.向右平移6個單位

C.向下平移8個單位D.向上平移8個單位

【分析】關(guān)于〉軸成軸對稱的兩個點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，那么向右平移兩個橫坐標(biāo)差的絕對

值即可.

【解答】解：???點/（-3,-4）平移后能與原來的位置關(guān)于y軸軸對稱，

...平移后的坐標(biāo)為（3,-4）,

..?橫坐標(biāo)增大，

???點是向右平移得到，平移距離為|3-（-3）|=6,

故選：B.

【點評】本題考查了平移中點的變化規(guī)律及點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的知識點，用到的知識點為：兩點關(guān)于y軸對

稱，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；點的左右移動只改變點的橫坐標(biāo).

37.（2022秋?欽州期末）下列各點中，點M（1,-2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（-1,-2