中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等與相似模型-對(duì)角互補(bǔ)模型（含答案及解析）

全等與相似模型-對(duì)角互補(bǔ)模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了.本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型

對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問(wèn)題常用的輔助線畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋

轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。

常見(jiàn)的對(duì)角互補(bǔ)模型含90。-90。對(duì)角互補(bǔ)模型、120。-60。對(duì)角互補(bǔ)模型、2a-(180°-2a)對(duì)角互補(bǔ)模型。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)

結(jié)論：①CD=C￡,②OD+OE=4ioC,③

結(jié)論：①CD=CE,②OE-OD=MOC,③S$-OC2-

2

3)”等邊三角形對(duì)120。模型”(1)

條件：如圖，已知/NO8=2/DCE=120°,0c平分//O氏

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③Sd,=BoC。.

△CCZtJACC/JC4

4）”等邊三角形對(duì)120。模型”（2）

條件：如圖，已知N/O3=2NOCE=120。，OC平分//OB,/DCE的一邊與2。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

結(jié)論：①C?=CE,②OD—OE=OC,③$5「冰=走0。2.

ACC/ZJ△CC/zl4

5)“120。等腰三角形對(duì)60。模型”

條件：△N3C是等腰三角形，且/歷1C=12O。，NBPC=60。。結(jié)論：①PB+PO^PA；

6)“2a對(duì)180。-2a模型”

條件：四邊形48。中，乙4+乙8=180。結(jié)論：0P平分入102

注意：①AP=BP,②乙4+乙8=180。，③OP平分乙―以上三個(gè)條件可知二推一。

7）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”

例1.（2023?黑龍江黑河?八年級(jí)期中）R04BC中，AB=/C,點(diǎn)。為2c中點(diǎn).^MDN=90°,AIDN繞點(diǎn)D

旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊48、/C交于E、尸兩點(diǎn).下列結(jié)論：?（BE+CF）=^BC,②SAAEF.SAABC，

24

③S四邊形AEDF="。?即，④即其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

例2.（2022遼寧九年級(jí)期末模擬）已知NAOB=90。，在NAOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角板的直

角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,0B（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D,E.

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與0A垂直時(shí)（如圖①），易證：OD+OE=72OC；

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

例3.(2022秋?四川綿陽(yáng)?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))已知//CD=90。，AC=DC,MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)

點(diǎn)、D作DBLMN于點(diǎn)B,連接C8.⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖(1),過(guò)點(diǎn)C作CE_LCB,與龍W交于點(diǎn)E,BD、48、

C2之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明.(2)拓展探究：當(dāng)"N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時(shí)，BD、4B、CB

之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.

例4.(2022四川宜賓八年級(jí)期末)如圖1,ZAOB=90°，OC平分/AOB,以C為頂點(diǎn)作/DCE=90°，

交OA于點(diǎn)D,03于點(diǎn)E.(1)求證：CD=CE；(2)圖1中，若。C=3,求。。+OE的長(zhǎng)；

(3)如圖2,4405=120°,。。平分2/。8,以C為頂點(diǎn)作/DCE=6CT,交CM于點(diǎn)D,。8于點(diǎn)E.若。C=3,

求四邊形OECD的面積.

OEB

圖1圖2

例5.（2022湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知乙408=120。，在乙408的平分線（W上有一點(diǎn)C,將一

個(gè)60。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線08相交于點(diǎn)。、E.

（1）當(dāng)乙DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C。與。4垂直時(shí)（如圖1）,請(qǐng)猜想OE+8與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）當(dāng)NOCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C。與ON不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由;

（3）當(dāng)四CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與。”的反向延長(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；

若不成立，線段與0C之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

例6.（2023?山東?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),NEDF=120。,

把4EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使NEDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點(diǎn)E、F.（1）當(dāng)DF1AC時(shí)，求證：BE=CF；

（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由

例7.（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知//。2=60。，在的角平分線上有一點(diǎn)C,將一個(gè)120。

角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與射線相交于點(diǎn)

（1）如圖1,當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CO與。/垂直時(shí)，請(qǐng)猜想0D+0E與0C的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到8與。/不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；

（3）如圖3,當(dāng)/DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。位于的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，求線段與OC之間又有怎樣

的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

例8.（2023?浙江金華??？既＃┤鐖D，點(diǎn)P為定角〃0B的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且ZJWPN與NA0B互補(bǔ),

若NMPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、0B相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒

成立；（2）0M-ON的值不變；（3）△0MN的周長(zhǎng)不變；（4）四邊形P/WON的面積不變，其中正確的序號(hào)

為.

'N

B

模型2.對(duì)角互補(bǔ)模型（相似模型）

【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向

兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.

【常見(jiàn)模型及結(jié)論】

1）對(duì)角互補(bǔ)相似1

條件：如圖，在及A/BC中，乙C=LEOF=90。,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

輔助線：過(guò)點(diǎn)。作0DL/C,垂足為。，過(guò)點(diǎn)。作。垂足為

結(jié)論：①40DE?AOHF；@—=—（思路提示：—=—=—=—）.

OFACOFOHOHAC

2）對(duì)角互補(bǔ)相似2

條件：如圖，已知41。2=〃》尊=90。，4BOC=a.

輔助線：作法1：如圖1,過(guò)點(diǎn)C作CCM,垂足為尸，過(guò)點(diǎn)C作CGL02,垂足為G；

結(jié)論：①4ECG?ADCF；②（思路提示：—,CF=OG,在MACOG中，tana=—^

CDCFOG

輔助線：作法2：如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。尸，。C,交OB于F；

一CFCFCF

結(jié)論：@ACFE-ACOD-,②C￡=CZ>to?a.（思路提示：—=—=tana,在MAOCP中，tana=—）

CDCOOC

3）對(duì)角互補(bǔ)相似3

條件：已知如圖，四邊形/BCD中，ZB+ZD=18O°?

E

A

DD

O

B

輔助線：過(guò)點(diǎn)。作垂足為過(guò)點(diǎn)。作。尸，2C,垂足為尸;

結(jié)論：①4DAE?4DCF；②Z3CD四點(diǎn)共圓。

例L（2023?成者B市?九年級(jí)期中）如圖所示，在Rt"3C中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,在R"MPN中,

/MW=90。，點(diǎn)尸在/C上，PM交AB于點(diǎn)、E,PN交BC于■點(diǎn)、F.當(dāng)尸E=2Pb時(shí)，/尸的值為（）.

C.3D.4

例2.（2023?河南南陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角“BC中，AACB=9G°,AC=BC,過(guò)點(diǎn)C

作射線C尸過(guò)48,D為射線CP上一點(diǎn)，E在邊2c上（不與8,C重合）且ND4E=45。，/C與?！杲挥邳c(diǎn)

O.(1)求證：AADC-AAEB;(2)求證：AADE~AACB；(3)如果CD=CE,求證：CD2=CO-CA.

例3.（2023?廣西河池?校聯(lián)考一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在RtZXABC中，ZBAC=9Q°,AB=3,AC=4,

在直角三角板EDF中，NEDF=9Q°,將三角板的直角頂點(diǎn)。放在斜邊3C的中點(diǎn)處，并將三角

板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),三角板的兩邊DE,。尸分別與邊/B,/C交于點(diǎn)M,N.

【猜想證明】如圖1,在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)M為邊48的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)

明理由.【問(wèn)題解決】如圖2,在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)=時(shí)，求線段CN的長(zhǎng).

例4.（2023年江西省南昌市月考）如圖，兩個(gè)全等的四邊形/3CZ）和其中四邊形049。的頂點(diǎn)

。位于四邊形/8C。的對(duì)角線交點(diǎn)O.

（1）如圖1,若四邊形和夕C都是正方形，則下列說(shuō)法正確的有.（填序號(hào)）

①OE=。尸；②重疊部分的面積始終等于四邊形N8C。的;；③BE+BF（DB.

（2）應(yīng)用提升:如圖2,若四邊形ABCD和OA'B'C都是矩形，/。=a,DC=6,寫(xiě)出OE與O尸之間的數(shù)量關(guān)系,

并證明.

⑶類比拓展:如圖3,若四邊形/BCD和04月。都是菱形，NDAB=a,判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立;

如不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論（可用。表示），并選取你所寫(xiě)結(jié)論中的一個(gè)說(shuō)明理由.

例5.（2023.遼寧中考模擬）如圖，在RS48C中，AC=BC,乙4c8=90。，點(diǎn)O在線段48上（點(diǎn)。不與

點(diǎn)N,B重合），且OB=kOA,點(diǎn)”是NC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作射線OM,將射線（W繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,

交射線C8于點(diǎn)N.（1）如圖1,當(dāng)左=1時(shí)，判斷線段（W與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2,當(dāng)左>1時(shí)，判斷線段與ON的數(shù)量關(guān)系（用含左的式子表示），并證明；（3）點(diǎn)P在射

線3C上，若乙BON=15。，PN=kAM（k"）,且生<1二1,請(qǐng)直接寫(xiě)出生的值（用含左的式子表示）.

例6.（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1,已知在RS/2C中，Z^AC=90°,AB=AC,取5c邊

上中點(diǎn)。，連接（，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，連接DE,作DF1DE交4c于點(diǎn)F,求證：BE=AF-

（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2,已知在必A/BC中，484c=90°,AB=AC=3,取8C邊上中點(diǎn)。，連接4D,點(diǎn)

E為A4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，NE=1,連接DE,作。尸IDE交NC延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，求/尸的長(zhǎng);

（3）類比遷移：如圖3,已知在A4BC中，的C=120。，AB=AC=4,取BC邊上中點(diǎn)￡>,連接4D,點(diǎn)E

為射線A4上一點(diǎn)（不與點(diǎn)/、點(diǎn)3重合），連接。打，將射線繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。交射線C/于點(diǎn)尸,

當(dāng)/￡二44尸時(shí)，求/尸的長(zhǎng).

F

圖1圖2圖3

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2022,江蘇?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上,

且OA=OB,點(diǎn)C在第一象限，0C=3,連接BC,AC,若NBCA=90。，貝ljBC+AC的值為.

2.（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，AZBC為等邊三角形，以48為邊向外作△43。，使N4D8=120。，再

以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把ACBD旋轉(zhuǎn)到VC4E,則給出下列結(jié)論：①D,A,E三點(diǎn)共線；②DC平分NBD4；

③/E=/BAC；④DC=DB+DA.其中正確的有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）在菱形48CD中，ZABC=60°,AC=6,對(duì)角線/C,AD交于點(diǎn)O,E,F

分別是“A4。邊上的點(diǎn)，且/ECF=60°,BE=2,CF與BD交于點(diǎn)、G,則段的值為.

4.（2023青島版九年級(jí)月考）如圖，在火a48c中，ZACB=90°,4BC=30°,直角/MCW的頂點(diǎn)。在

r）A1op

上，OM,ON分別交C/、CB于點(diǎn)P、Q,/MON繞點(diǎn)。任意旋轉(zhuǎn).當(dāng)——=—時(shí)，"行的值為；

OB2OQ

r）Aop

當(dāng)空=▲1時(shí)，=為_(kāi)_____.（用含"的式子表示）

OBnOQ

5.（2023?西城區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在四邊形48。中，BOBA,Z^+ZC=180°,DELBC,BD

平分/48C,試說(shuō)明/D=DC.

6.（2023?阜新中考模擬）如圖，在△4BC中，NA4c=90°,AB=AC,4D_L2C于點(diǎn)。.

（1）如圖1,點(diǎn)E,尸在48,AC±,且/瓦加=90°.求證：BE=AF；

(2)點(diǎn)M,N分別在直線4D,AC±,且/8MV=90°.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃■在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AB+AN=J^AM；

②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)/,。之間，且/4W=30°時(shí)，已知/2=2,直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng).

7、（2023.重慶九年級(jí)期中）已知：如圖，在等邊A/BC中，點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，乙DOE=120°,繞著

點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與相交于點(diǎn)。，與NC相交于點(diǎn)￡

（1）若。。,OE者B在8c的上方，如圖1,求證：OD=OE.⑵在圖1中，3O,CE與8C的數(shù)量關(guān)系是.

⑶若點(diǎn)。在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)￡在線段NC上，如圖2,直接寫(xiě)出AD,CE與8C的數(shù)量關(guān)系是.

8.（2022山西省呂梁市八年級(jí)期末）如圖，已知/DCE與/,OC平分/AOB.

⑴如圖L/DCE與的兩邊分別相交于點(diǎn)。、E,ZAOB=ZDCE=90°,試判斷線段CD與CE的

數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解:CD=CE.

理由如下：如圖1,過(guò)點(diǎn)。作C/_LOC,交08于點(diǎn)尸，則NOCF=90。，…

請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分.

⑵你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程.⑶若408=120。，ZDCE=60°.

①如圖3,/DCE與/403的兩邊分別相交于點(diǎn)。、￡時(shí)，（1）中的結(jié)論成立嗎？為什么？線段OE、

OC有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由.②如圖4,NDCE的一邊與/。的延長(zhǎng)線相交時(shí)，請(qǐng)回答⑴中的結(jié)論是

否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線段。。、OE、OC有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5,NDCE的一邊與8。的延長(zhǎng)線相交

時(shí)，請(qǐng)回答⑴中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線段。￡、OC有什么數(shù)量關(guān)系.

9.（2022?湖北武漢?八年級(jí)?？计谀┮阎谒倪呅?3C。中，ZABC+ZADC=1^°，AB=BC.

（1）如圖L連接3。，若/8/。=90°,求證：AD=CD.

⑵如圖2,點(diǎn)尸,。分別在線段DC上，滿足尸0=/P+C0,求證：NPBQ=ZABP+NQBC；

⑶若點(diǎn)。在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在D4的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=/P+CQ,請(qǐng)寫(xiě)出/尸

與//OC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程.

10.（2023?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期中）［問(wèn)題］如圖①，點(diǎn)。是。的角平分線3P上一點(diǎn)，連接4D,CD,

若//與NC互補(bǔ)，則線段與。有什么數(shù)量關(guān)系？

［探究］探究一：如圖②，若44=90。，則/C=180。-44=90。，即40148,CDLBC,又因?yàn)?。平分

ZABC,所以理由是：.

探究二：若44/90。，請(qǐng)借助圖①，探究/。與CD的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由.

［結(jié)論］點(diǎn)。是/48C的角平分線AP上一點(diǎn)，連接AD,CD,若//與/C互補(bǔ)，則線段與的數(shù)量

關(guān)系是?

［拓展］已知：如圖③，在“8C中，AB=AC,44=100。，BD平分/4BC.求證：BC=AD+BD.

11.(2022?陜西寶雞?統(tǒng)考二模)問(wèn)題提出

(1)如圖1,四邊形ABC。中，AB=AD,N2與/?；パa(bǔ)，BC=2CD=20,點(diǎn)A至！］BC邊的距離為17,

求四邊形ABCO的面積.

問(wèn)題解決(2)某公園計(jì)劃修建主題活動(dòng)區(qū)域，如圖2所示，BA=BC=6Qm,/2=60。，CD過(guò)4B,在尤

上找一點(diǎn)E,修建兩個(gè)不同的三角形活動(dòng)區(qū)域,&ABE區(qū)域?yàn)轶w育健身活動(dòng)區(qū)域,AECD為文藝活動(dòng)表演區(qū)域，

根據(jù)規(guī)劃要求，ED=EA,ZAED=60\設(shè)式的長(zhǎng)為x(m),"CO的面積為伏m>求了與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，并求出AECD面積的最大值.

圖2

12.(2023山東中考模擬)如圖，矩形ABCD中，乙4c8=30。，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角

線/C,AD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)尸為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊2C所在的

PF

直線相交，交點(diǎn)分別為￡,F.(1)當(dāng)PE上AB,尸時(shí)，如圖1,則/的值為；

PF-----

PF

(2)現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<60°)角，如圖2,求樂(lè)的值；(3)在(2)的基礎(chǔ)上繼續(xù)

PF

旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60。<。<90。，且使4尸：PC=1：2時(shí)，如圖3,—的值是否變化？證明你的結(jié)論.

13.（2022秋?河南鶴壁?九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在RM/2C中，NB4c=90°,AB=2,AC=4,D為BC邊

上的一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)。作射線DE1DF,分別交邊AB、AC于點(diǎn)、E、F.

（1）當(dāng)。為2C的中點(diǎn)，DE±AB.。尸//C時(shí)，如圖1,——=

DF

DF

（2）若。為BC的中點(diǎn)，將/ED尸繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，——=_______；

DF

（3）若改變點(diǎn)。到圖3的位置，且生=生時(shí)，求匹的值.

BDnDF

14.（2023?浙江臺(tái)州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題情境】如圖①，在Rg4BC中，ZACB=90°,AC=BC,

點(diǎn)。為48中點(diǎn)，連結(jié)CO,點(diǎn)E為C8的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E且垂直于的直線交/C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.

易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系.

【探索發(fā)現(xiàn)】如圖②，在RtA42C中，ZACB=90°,AC=BC,點(diǎn)。為中點(diǎn)，連結(jié)8,點(diǎn)E為C2的

延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)石且垂直于?！甑闹本€交NC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.【問(wèn)題情境】中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)

明理由.【類比遷移】如圖③，在等邊“8C中，48=4,點(diǎn)。是A8中點(diǎn)，點(diǎn)￡是射線NC上一點(diǎn)（不與

點(diǎn)A、。重合），將射線DE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交2C于點(diǎn)F.當(dāng)C尸=2CE時(shí)，CE=.

15.（2023廣東中考模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做"等鄰角四邊形"

（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；

（2）問(wèn)題探究；如圖1,在等鄰角四邊形ABCD中，Z.DAB=ZABC,AD,BC的中垂線恰好交于AB邊上一點(diǎn)

P,連結(jié)AC,BD,試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）應(yīng)用拓展；如圖2,在RSABC與RSABD中，ZC=ZD=9O°,BC=BD=3,AB=5,將RtAABD繞著點(diǎn)A順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a（0°<za<zBAC）得至（JRtAAB'D'（如圖3）,當(dāng)凸四邊形AD，BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的

面積.

「A

圖1圖:?圖33'

16.（2023年成都市中考模擬）（1）如圖,RS4BC中，乙4=90。，AB=AC,。為8C中點(diǎn)，E、尸分別為

AB、/C上的動(dòng)點(diǎn)，且乙⑦尸=90。.求證:DE=DF；(2)如圖2,RS/8C中，4艮4c=90°,AC=4,AB

=3,ADLBC,"DF=9。。.①求證：DF?DA=DB?DE；②求斯的最小值.

AA

BDCBDc

圖1圖2

17.（2023浙江省紹興市九年級(jí)期中）如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),

點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且Z.PDQ=90。.

（1）當(dāng)DPJ_AB時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；（2）當(dāng)BP=2,求CQ的長(zhǎng).

18.（2023?湖北,九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形N8C。是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線NC上一動(dòng)點(diǎn)（不與N、C重

合），連接尸8,過(guò)點(diǎn)P作尸尸8,交DC于點(diǎn)E,已知4D=3,AC=5.設(shè)/尸的長(zhǎng)為x.

WAB=；當(dāng)x=l時(shí)，求箴PF的值；⑵試探究：箴PF是否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是,

請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)APCE是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出x的值.

19.（2023秋?山西忻州?九年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：在學(xué)習(xí)了三角形的相似后，同學(xué)們開(kāi)始了對(duì)不同三角形中的相似模型的探究.

猜想推理：（1）如圖1,在等邊“8C中，「為8c邊上一點(diǎn),E為NC邊上一點(diǎn)，ZADE=60°,AB=6,BD=2,

則CE=.問(wèn)題解決：（2）如圖2,O3C是等邊三角形，。是8c的中點(diǎn)，射線DE,。尸分別交48,

AC于點(diǎn)、E,F,且NEDE=120°,求證：OE=.（3）如圖3,ZBAC^90°,AB=6,AC=8,D是BC

DF

的中點(diǎn)，射線DE,。尸分別交4B,NC于點(diǎn)E,F,且/ED尸=90。，求一的值.

圖1圖2圖3

20.（2023廣東深圳三模試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,正方形A8C。的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，在正方形HB'C'。

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊4。與邊3C交于點(diǎn)邊C'O與邊。交于點(diǎn)N.證明：AOMCAOND；

（2）【類比遷移】如圖2,矩形/BCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,S.AB=6,AD=\2.在矩形42'C'。繞點(diǎn)。旋

轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊H。與邊8c交于點(diǎn)邊C'。與邊。交于點(diǎn)N.若DN=\,求CM的長(zhǎng)；

（3）【拓展應(yīng)用】如圖3,四邊形/BCD和四邊形/'B'C'O都是平行四邊形，且NHOC'=ZADC,4B=3,

BC=3也，△BCD是直角三角形.在口N'B'C'。繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊H。與邊3C交于點(diǎn)邊C'O與

邊CD交于點(diǎn)N.當(dāng)YZ3CD與口HB'C'。重疊部分的面積是YA8CO的面積的2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出ON的長(zhǎng).

B/M

A

A1B'

全等與相似模型-對(duì)角互補(bǔ)模型

全等三角形與相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜

合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本

解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了.本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型

對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。

思想方法：解決此類問(wèn)題常用的輔助線畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋

轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。

常見(jiàn)的對(duì)角互補(bǔ)模型含90。-90。對(duì)角互補(bǔ)模型、120。-60。對(duì)角互補(bǔ)模型、2a-(180°-2a)對(duì)角互補(bǔ)模型。

1)“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型(異側(cè)型)

結(jié)論：①CD=C￡,②OD+OE=4ioC,③

2

結(jié)論：?CD=CE,②OE—OD=6OC,@sSron=-OC.

3）”等邊三角形對(duì)120。模型”（1）

條件：如圖，已知/NO8=2/DCE=120°,0c平分//O氏

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=OC,③Sd,=BoC。.

△CCZtJACC/JC4

4）”等邊三角形對(duì)120。模型”（2）

條件：如圖，已知N/O3=2NOCE=120。，OC平分//OB,/DCE的一邊與2。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).

結(jié)論：①C?=CE,②OD—OE=OC,③$5「冰=走0。2.

ACC/ZJ△CC/zl4

5)“120。等腰三角形對(duì)60。模型”

條件：△N3C是等腰三角形，且/歷1C=12O。，NBPC=60。。結(jié)論：①PB+PO^PA；

6)“2a對(duì)180。-2a模型”

E

條件：四邊形48。中，乙4+乙8=180。結(jié)論：0P平分入102

注意：①AP=BP,②乙4+乙8=180。，③OP平分乙―以上三個(gè)條件可知二推一。

7）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”

例1.（2023?黑龍江黑河?八年級(jí)期中）R04BC中，AB=/C,點(diǎn)。為2c中點(diǎn).^MDN=90°,AIDN繞點(diǎn)D

旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊48、/C交于E、尸兩點(diǎn).下列結(jié)論：?（BE+CF）=^BC,②SAAEF.SAABC，

24

③S四邊形AEDF="。?即，④即其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【答案】C

【詳解】解:??,RtAABC中,AB=AC,點(diǎn)D為BC中點(diǎn).ZMDN=90°,

.?.AD=DC,ZEAD=Z.C=45",ZEDA=ZMDN-ZADN=90°-ZADN=ZFDC.

.?.△EDA=AFDC(ASA).；.AE=CF..-.BE+CF=BE+AE=AB.

V2V2

在RtAABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=2BC.MBE+CF)=2BC..,.結(jié)論①正確.

設(shè)AB=AC=a,AE=b,則AF=BE=a-b.

SAAEF-|SAABC=~AE-AF~~1-AB-AC=1b(a-b)-1a2=-1(a-2by

...SAAEF/SAABC....結(jié)論②正確.

如圖，過(guò)點(diǎn)E作EI_LAD于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)F作FG_LAD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)F作FH1BC于點(diǎn)H,ADEF相交于點(diǎn)O.

???四邊形GDHF是矩形，AAEI和AAGF是等腰直角三角形，

.?.EO2日(EF1AD時(shí)取等于)=FH=GD,OF>GH(EF1AD時(shí)取等于)=AG.

.-.EF=EO+OF>GD+AG=AD.結(jié)論④錯(cuò)誤.

S

6匚M?DF=SAADC=--AD.DC=-AD-<AD-<AD.EF…

???△EDAA=AFDC,???22.???結(jié)論③錯(cuò)慶.

綜上所述，結(jié)論①②正確.故選C.

例2.（2022遼寧九年級(jí)期末模擬）已知NAOB=90。，在NAOB的平分線OM上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角板的直

角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,OB（或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D,E.

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖①），易證：OD+OE=V2OC；

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若

成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，線段OD,OE,OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

【答案】圖②中OD+OE=&OC成立.證明見(jiàn)解析；圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE—OD=V^OC

【分析】當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，易得ACKD三ACHE,進(jìn)而可得出證明；判斷出結(jié)果，解

此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而得出OC與OD、0E的關(guān)系；最后轉(zhuǎn)化得到結(jié)論.

【詳解】解：圖②中OD+OE=0OC成立.

證明：過(guò)點(diǎn)C分別作OA,OB的垂線，垂足分別為P,Q

有ACPDmACQE,.1.DP=EQ,-.-OP=OD+DP,OQ=OE—EQ,

又???OP+OQ=V^OC,即OD+DP+OE—EQ=3OC,.-.OD+OE=V2oc.

圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE—OD=0OC過(guò)點(diǎn)C分別作CK1OA,CH1OB,

??,OC為NAOB的角平分線，且CK1OA,CH1OB,.?.CK=CH,Z.CKD=ZCHE=90°,

X-Z.KCD與NHCE都為旋轉(zhuǎn)角,.-.ZKCD=ZHCE,

?■?△CKD=ACHE,.'.DK=EH,.-.OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK,

由（1）知：OH+OK=0OC,.'.OD,OE,OC滿足OE-OD=?OC.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，

兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心.

例3.（2022秋?四川綿陽(yáng)?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知N/CD=90。，AC=DC,初V是過(guò)點(diǎn)A的直線，過(guò)

點(diǎn)、D作DBLMN于點(diǎn)、B,連接C反

⑴問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖（1）,過(guò)點(diǎn)C作CELC2,與交于點(diǎn)￡,BD、AB.C8之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并

給予證明.（2）拓展探究：當(dāng)"N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖⑵位置時(shí)，BD、AB,C2之間滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明.

【答案】（1）BD+AB=0CB；證明見(jiàn)解析⑵9―=證明見(jiàn)解析

【分析】⑴過(guò)點(diǎn)C作CELC8,得到=判斷出A/CE0ADCB,確定為等腰直角三角

形即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)°作CELC8于點(diǎn)C,判斷出A/CEGADCB,確定AEC3為等腰直角三角形，即

可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖L過(guò)點(diǎn)0作CE'CB交加于點(diǎn)上,

ZACE900-ZACB,ZBCD=90°-ZACB,ZACE=ZBCD,

-.■DB1MN,.,.在四邊形/CD2中，ZBAC+ZACD+ZABD+ZD=360°,+=180。，

VZCAE+ZBAC=\^°,...ZCAE=ZD,vAC=DC,:AACE知DCB,AE=DB,CE=CB,

?.?/EC2=90。，是等腰直角三角形，二a^二/四，

:.BE^AE+AB=DB+AB,BD+AB=V2CB;

(2)BD-AB=gCB；理由：如圖2,過(guò)點(diǎn)C作C￡，C3交MN于點(diǎn)E,

???ZACE=90°+ZACBtZBCD=9Q0+ZACB,ZACE=ZBCD,

???DB1MN,;.NCAE=9Q°-/AFB,ZD=90。-NCFD,

ZAFB=ZCFD,ZCAE=ZD,-：AC=DC,:.^ACE^DCB,/.AEDB,CE=CB,

?.?/EC8=90。，是等腰直角三角形，，3￡=逝。8,

:.BE=AE-AB=DB-AB,；.BD-AB=OCB；

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

例4.(2022四川宜賓八年級(jí)期末)如圖1,ZAOB=90°，OC平分/AOB,以C為頂點(diǎn)作/DCE=90°，

交。4于點(diǎn)D,OB于點(diǎn)E.(1)求證：CD=CE-(2)圖1中，若。C=3,求。。+OE的長(zhǎng)；

(3)如圖2,乙403=120°,。。平分,以C為頂點(diǎn)作NOCE=60°,交04于點(diǎn)。，。8于點(diǎn)E.若。。=3,

求四邊形的面積.

973

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)OD+OE=3V2；(3)4

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CG10A于G,CH10B于H,然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明ACDG三ACEH,從

而求解；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到0D+0E=20H,然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CG1OA于G,CH1OB于H,然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明ACDG三ACEH,從而求得

33-

,四邊形。ES=S四邊形。HCG=2SAOCG,然后利用含30。的直角三角形性質(zhì)求得OH=2,CH=2從而求得三角形面積，

使問(wèn)題得到解決.

【詳解】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG1OA于G,CH_LOB于H,

???ZCDG+ZCDO=180".'.ZCDG=4CE0

ZCDG=ZCEO

<ZCGD=ACHE

在ACDG與ACEH中tCG=CH

???△CDG=ACEH(AAS).-.CD=CE

(2)由(1)得ACDGmACEH；.DG=HE

由題易得AOCG與AOCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

.?.0D+0E=0D+0H+HE=0G+0H=20H設(shè)OH=CH=x,在RtAOCH中，由勾股定理，得:

37230

—--------------------I

OH2+CH2=OC2；.x2+x2=3).2(舍負(fù))；QH=2,-,OD+OE=20H=3V2

(3)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG1OA于G,CH1OB于H,

???OC平分//O3.?.CG=CHVZAOB=120°,ZDCE=60°.-.ZCDO+ZCEO=180°

???ZCDG+ZCDO=180/.ZCDG=NCEO

ZCDG=/CEO

在2XCDG與△CEH中]ZCGD=ZC/fE.-.ACDG=ACEH（^S）.-.DG=HE

CG=CH

由題易得aOCG^AOCH是全等的直角三角形，且OG=OH

??.OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH.\S四邊形。疣。二S四邊形OHCG=2S^OCG

在中，有S.=四邊形還

RtAOCHNCOH=60°,OC=3,...OH=|;CH=l^i.-.OCG—??.S0ECD=2SAOCG^

2224

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，含30。直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，是一道綜合性問(wèn)題,

掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用解題是本題的解題關(guān)鍵.

例5.（2022湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知乙408=120。，在乙的平分線（W上有一點(diǎn)C,將一

個(gè)60。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線03相交于點(diǎn)。、E.

（1）當(dāng)乙DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C。與O/垂直時(shí)（如圖1）,請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（2）當(dāng)ZDCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與。/不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由;

（3）當(dāng)〃）CE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與?！钡姆聪蜓娱L(zhǎng)線相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；

若不成立，線段。。、與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為0E-

OD=OC,證明詳見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)0M是NAOB的角平分線，可得NAOB=60。，則NOCE=30。，再根據(jù)30。所對(duì)直角邊是斜邊的一

半，得出0D=20C,同理：0E=5（DC,即可得出結(jié)論；（2）同⑴的方法得到OF+OG=OC,再根據(jù)AAS證明

△CFD=ACGE,得出DF=EG,則OF=OD+DF=OD+EG,OG=OE-EG,OF+OG=OD+OE,即可得出結(jié)論.⑶同⑵的

方法得到DF=EG,根據(jù)等量代換可得0E-OD=OC.

]_

【詳解】⑴,.QM是NAOB的角平