中考數(shù)學專項復習：平行線中的拐點模型之蛇形模型（5字模型）含答案及解析

平行線中的拐點模型之蛇形模型（5字模型）

平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟

悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（蛇形模型（“5”字模

型））進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，

這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。

模型1:蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如圖，AB//CD,結論：Zl+Z3-Z2=180°.

如圖1,已知：ABWDE,結論：?+/=/?+180°.

如圖2,已知：ABWE,結論：a+￡=/+180°.

【模型證明】在圖1中，過C作N2的平行線CF,：/0=LFCB.

■.■ABWDE,.-.CFWDE,.-.z/+zFC￡>=18O0,.:乙a=幺FCD+乙FCB,.-.ztz+z/=z/7+180°

在圖2中，過C作43的平行線CF,.?.N/?+NFC8=180°,

■■■ABWDE,：.CFWE,：.A/=^FCD,-：^a=^FCD+^FCB,.-.Ziz+z/?=z/+180o

例1.（2023下?安徽黃山?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A8〃OE,ZA=25°,ZCDE=135°,則N4CD的

度數(shù)是（）

BA

DE

A.45°B.60°C.70°D.90°

例2.（2023下?黑龍江雞西?七年級期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，若第一次拐角

NA=130。，第二次拐角48=150。，第三次拐的角是NC,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行,

A.160°B.150°C.140°D.135°

例3.（2022下?貴州黔南?七年級統(tǒng)考期中）如圖，如果AB〃CD,那么角a,%y之間的關系式為（）

A.a+/3+y=360°B,a-/3+y=180°c.?+/?+/=180°D.a+/3—y=180°

例4.（2023下?四川廣安?七年級統(tǒng)考期末）如圖1是十二星座中的天秤座的主要星系連線圖，將各個主要

星系分別用字母4~?表示，得到如圖2的幾何示意圖，已知ABGF.試說明=+

例5.（2023下?浙江紹興,七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB//CD,AE平分NBAN,AE的反向延長線交NCDN

的平分線于點M,則ZM與ZN的數(shù)量關系是（）

M

A."=2NNB.ZM=3ZNC.ZAf+ZN=180°D.2ZM+ZN=180°

例6.（2023上?黑龍江哈爾濱?八年級?？计谥校┮阎本€/8||C。，尸為平面內一點，連接物、PD.

（1）如圖1,已知乙4=50。，z￡>=150o,求乙4尸。的度數(shù)；（2）如圖2,判斷4以8、乙CDP、乙4尸。之間的

數(shù)量關系為.（3）如圖3,在（2）的條件下，AP1PD,DN平令乙PDC,若乙R4N+

三乙PAB=UPD,求乙4ND的度數(shù).

例7.（2023下,陜西漢中?七年級校考期中）如圖，已知直線ABCD,尸是平面內一點，連接出、PD.

（1）如圖①，若NPAB=130。，ZPDC=120°,求NAP。的度數(shù)；

⑵如圖②，若NA=50。，ZD=150°,求NAP。的度數(shù)；

⑶如圖③，試判斷鉆、NCD尸和/APD之間的數(shù)量關系，并說明理由.

圖②圖③

例8.（2023下?廣東廣州,七年級統(tǒng)考期末）甲同學在學完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進

一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：

第一步：將一根鐵絲A8在C,D,E處彎折得到如下圖①的形狀，其中CD//BE.

第二步：將。E繞點。旋轉一定角度，再將BE繞點K旋轉一定角度并在班上某點/處彎折，得到如下圖

②的形狀.

第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成NG,跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀.

圖①圖②圖③

請根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：（1）如圖①，若NC=2ND,求NE；（2）如圖②，若AC〃3F,請

判斷/C,ZD,NE,N尸之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在⑵的條件下，如圖③，若ZACD=3NDCG,

NDEF=3NDEG,設ND=x,NF=y,求NG.（用含無，》的式子表示）

課后專項訓練

1.（2023下?山東泰安?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線《〃4，ZA=125°,/B=85°,且N1比N2大4。,

那么Z1的大小是（）

C.16°D.17°

2.（2023下?浙江嘉興?七年級?？茧A段練習）如圖，是一段賽車跑道的示意圖，其中A3〃￡>￡,測得48=130。，

3.（2023下?浙江杭州,七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB//DE,ZABC=a,/CDE=戶，則/3CD的度數(shù)為（）

C.1800+a-bD.180°-a+/?

4.（2023?河南駐馬店?三模）如圖，己知AB〃Z）E,ZABC=150°,ZCDE=75°,則/BCD的度數(shù)為（）

C.45°D.50°

5.（2023下?江西景德鎮(zhèn)?七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，一艘輪船從A地出發(fā)，沿北偏東45。方向航行至8地,

再從B地出發(fā)沿南偏東25。，方向航行至C地，則/ABC的度數(shù)為（）

6.（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，已知ZABC=150°,NCD石=75。，則N5co的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.45°D.50°

7.（2023下,上海?七年級期中）如圖，若AB〃EF,用含B、/的式子表示X,應為（）

C.180°-a-/+^D.180°+。+〃+P

8.（2023下?廣東深圳?七年級?？计谥校┤鐖D，AB//DE,々=60。,"=150。，則N5CD=()

B

A.30°B.60°C.15°D.45°

9.（2023下?廣東江門?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知〃尸G,BC//DE,BD//EF,則廣，7三者

之間的關系是（）

A.cr+/?+y=180°B,fi=a+yc.a-[3=yD.y-a=P

10.（2023上?貴州六盤水?八年級?？茧A段練習）如圖，AB//DE,=80°,ZCDE=140°,則N3CD的

C

11.（2023下?七年級課時練習）如圖，N2=N3,Zl=60°,若a〃人則N4的度數(shù)為

12.（2023下?上海閔行?七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定車輛在轉彎時的轉彎角是車輛原行駛路線與轉彎后路線

所成的角的外角.如圖：一輛車在一段繞山公路行駛（沿箭頭方向）時，在點仄C和。處的轉彎角分別是

夕和。，且AB〃DE,則［、/和。之間的數(shù)量關系是.

13.（2023下?上海浦東新?七年級?？计谥校┤鐖D，直線AB〃EF,NB、/C、ND、NE之間的數(shù)量關

系是?

AB

C

D

14.（2023下?遼寧丹東?七年級統(tǒng)考期末）如圖，若AB〃CD,NL=70。，N2=14O。，貝|N3=

15.（2023下?重慶蒙江?七年級校考階段練習）如圖某工程隊從N點出發(fā)，沿北偏西67。方向修一條公路A。,

在2。路段出現(xiàn)塌陷區(qū),就改變方向，在2點沿北偏東23。的方向繼續(xù)修建8c段，到達C點又改變方向,

16.（2023上?廣東廣州?八年級校考開學考試）如圖，若AB.CD,則年、々的關系是

17.（2023下?北京石景山?七年級統(tǒng)考期末）某籃球架及側面示意圖如圖所示，若/￡DC=150。，DE〃AB,

CBLAB于點3,則/GCB=

圖2

18.（2023下?遼寧沈陽?七年級校考階段練習）如圖所示，已知尸BBCD-.DD.DB2:3:4,求/B,

/￡＞的度數(shù).

FC

AB\

19.(2023下?福建龍巖?七年級?？茧A段練習)完成下面的證明.

(1)如圖，AB//CD,CB//DE.求證：ZB+ZD=180°.

證明：???AB〃CD,

ZB=(),

■:CB//DE,

NC+ND=180°(),

ZB+ZD^180°；

(2)如圖，A8和CD相交于點O,NC=NCOA,ZD=ZBOD.

求證AC〃%>.

證明：ND=NBOD

又NCOA=2BOD()

:.Z=ZD

AC//BD().

20.(2023下?青海西寧?七年級統(tǒng)考期末)閱讀下面材料：

小亮同學遇到這樣一個問題：如圖1,AB//CD,E為AB,CO之間一點，連接BE,DE,得到/BED.

圖1

求證：ZBED=ZB+ZD.

⑴小亮寫出了該問題的證明，請你幫他把證明過程補充完整：

證明：過點E作E尸〃AB

ZBEF=()

.■AB//CD

--//()

ZFED=__________

ABED=ZBEF+ZFED=ZB+Z￡＞；

(2)請你參考小亮的方法，解決下列問題：

①如圖2,AB//CD,E為AB,。之間一點，連接BE,DE,得到NBED.

圖2圖3

求證：NB+ZBED+ND=360°；

②如圖3,AB//CD,則/B,/BEC,/C之間的數(shù)量關系是

21.(2023下?遼寧撫順?七年級統(tǒng)考期末)如圖，AB〃DC,點E在直線AB,DC之間，連接DE,BE.

⑴寫出NABE,/BED,/EDC之間的數(shù)量關系，并說明理由;

⑵若Z￡DC=21。，/BED=2/B,求NB的度數(shù)；

22.（2023下?遼寧大連?七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：

如圖1,點A是直線上一點，MN上方的四邊形ABCD中，ZABC=140°,延長BC,

2Z.DCE=ZMAD+ZADC,探究NOCE與NK4B的數(shù)量關系，并證明.

小白的想法是：“作/ECF=/ECD（如圖2）,通過推理可以得到bMN,從而得出結論

請按照小白的想法完成解答：

拓展延伸：保留原題條件不變，CG平分/ECD,反向延長CG,交NMA8的平分線于點H（如圖3）,設

ZMAB=a,請直接寫出的度數(shù)（用含々的式子表示）.

23.（2023下?山東棗莊?七年級統(tǒng)考期中）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB〃CD,E是A8與AD之間的

一點，連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)N3+NC=N3￡C?請把下面的說理過程補充完整：解：過點E作所〃筋,

因為AB〃CD（已知），EF//AB,所以EF〃DC,（）所以NC=.（）因為E尸〃AB,

所以N8=,所以ZB+/C=/3￡F+NCEF?即ZB+NC=N3EC.

（2）拓展探究：如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，則/8、NC、/BEC的關系為

.（直接寫出結論，不用說明理由）

（3）解決問題：如圖③AS〃OC,ZC=120°,ZAEC=80°,則NA=.（直接寫出結果，不用寫

計算過程）

24.（2023下?廣西柳州?七年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐

【課題學習】：平行線的“等角轉化”功能.

如圖1,已知點/是BC外一點，連接AB,AC.求/B4C+/B+/C的度數(shù).

圖1

解：過點/作ED〃3C,

:./B=,NC=Z.DAC,

又???AEAB+ZBAC+ZDAC=180°.

??.Z.B+ABAC+ZC=.

【問題解決】（1）閱讀并補全上述推理過程.

【解題反思】從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有"等角轉化"的功能，將上BAC,NB,NC"漆"

在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決.

【方法運用】（2）如圖2所示，已知A8CD,BE、CE交于點￡,/3EC=80。，在圖2的情況下求NB-NC

的度數(shù).

【拓展探究】（3）如圖3所示，已知ABCD,BF、CG分別平分NABE和NDCE,且3尸、CG所在直線

交于點尸，過尸作用〃AB,若NB"=36。,在圖3的情況下求/BEC的度數(shù).

AB

圖2圖3

平行線中的拐點模型之蛇形模型（5字模型）

平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟

悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（蛇形模型（“5”字模

型））進行梳理及對應試題分析，方便掌握。

拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，

這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。

通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。

模型1:蛇形模型（“5”字模型）

基本模型：如圖，AB//CD,結論：Zl+Z3-Z2=180°.

如圖1,已知：ABWDE,結論：?+/=/?+180°.

如圖2,已知：ABWE,結論：a+￡=/+180°.

【模型證明】在圖1中，過C作N2的平行線CF,：/0=LFCB.

■.■ABWDE,.-.CFWDE,.-.z/+zFC￡>=18O0,.:乙a=幺FCD+乙FCB,.-.ztz+z/=z/7+180°

在圖2中，過C作43的平行線CF,.?.N/?+NFC8=180°,

■■■ABWDE,：.CFWE,：.A/=^FCD,-：^a=^FCD+^FCB,.-.Ziz+z/?=z/+180o

例1.（2023下?安徽黃山?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知A8〃OE,ZA=25°,ZCDE=135°,則N4CD的

度數(shù)是（）

BA

B.60°C.70°D.90°

【答案】C

【分析】過C作CN〃CD,求出〃小，根據(jù)平行線的性質得出NACM=NC4B,

ZCDE=+ZMCD=18Q°,即可得出答案.

【詳解】解：過C作CN〃a）,

BA

■-AB//DE,AB//CM//DE,■,ZACM=ZA=25°,NMCD+NCDE=18O°,

...ZCDE=135°,.../MCD=180°-ZCDE=180°-135°=45°,

■_ZACD=ZACM+ZMCD=250+45°=10°.故選：c.

【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，解此題的關鍵是能正確作輔助線，注意：兩直線平行，同旁內

角互補，兩直線平行，內錯角相等.

例2.（2023下?黑龍江雞西?七年級期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，若第一次拐角

ZA=130°,第二次拐角/3=150。，第三次拐的角是/C,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行,

A.160°B.150°C.140°D.135°

【答案】A

【分析】延長AB、EC交于點D,根據(jù)A尸〃DE,得出尸=130。，根據(jù)鄰補角求出

ADBC—180°—AABC—30。，根據(jù)三角形外角的性質得出NBCE—/BDC+NDBC=130°+30°=160。.

【詳解】解：延長AB、EC交于點D,如圖所示：

■■ZABC=150°,...ZDBC=180°-ZABC=30°,

...=ZBDC+Z￡）BC=130°+30°=160°.故選：A.

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，平行線的性質，鄰補角，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌

握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

例3.（2022下?貴州黔南?七年級統(tǒng)考期中）如圖，如果AB〃CD,那么角a,或，y之間的關系式為（）

A.a+/3+/=360°B,a-/3+y=180°c,a+/+y=180。D.a+p~y=180°

【答案】D

【分析】過點E作EF//AB,再根據(jù)平行線的性質得出口+^AEF=180°,7=^EF求解即可.

【詳解】過點E作EF//AB,a+AAEF=180。，

■?.AB//CDJ??.EF//CD9??.y=NDEF

..NAEF=/3-ZDEF,,ZAEF=^-7>...e+尸-/=180。，故選：D.

例4.（2023下,四川廣安,七年級統(tǒng)考期末）如圖1是十二星座中的天秤座的主要星系連線圖，將各個主要

星系分別用字母表示，得到如圖2的幾何示意圖，已知ABG尸.試說明NABC=/3CF+/CFG.

【答案】見解析

【分析】方法一：延長A8交CF于點p,則NCB尸=180。-加0,由平行線的性質可得/CP3=/CFG,

再由三角形內角和定理進行計算即可得到答案；

方法二：過點C作CQ//AB,則CQ//AB//GF（由平行線的性質可得^BCQ+ZABC=1SO°；

/CQ+/bG=180°,4CQ+4b+/CFG=180。，進行計算即可得到答案.

【詳解】解：方法一：如圖L延長AB交C尸于點p,

)

?,.ZBb=180°-NCBP-NCPB=180°-(180°-NABC—NCFG，?.?ZABC=NBCF+NCFG；

方法二：如圖2,過點0作CO〃人。，

?ABGF.CQ//AB//GF.ZBCQ+ZABC=1SO°ZFCQ+ZCFG=1SO°

,ff，，

.ZBCQ=180。一ZABCZBCQ+ZBCF+/CFG=180°

,,,,

...180°-ZABC+ZBCF+ZCFG=180°,即NABC=/3CF+NCFG.(任選一種方法說明即可)

【點睛】本題主要考查了平行線的性質、三角形內角和定理，熟練掌握：兩直線平行，內錯角相等；兩直

線平行，同旁內角互補；兩直線平行，同位角相等，是解題的關鍵.

例5.（2023下?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB//CD,AE平分NBAN,AE的反向延長線交NCZW

的平分線于點M,則AM與ZN的數(shù)量關系是（）

M

A.NM=2NNB.C.NM+4/=180°D.2NM+N2V=18O°

【答案】D

ZBAE=-ZBANZCDM=-ZCDN

【分析】先利用角平分線的定義得到2,2，過M作板〃AB,過N作

ZFME=ZBAE=-ZBAN

NH//AB,再利用平行線的判定與性質得到2,ZBAN=ZANH,

ZFMD=ZCDM=-ZCDN

2ZCDN+ZHND=180°經過角度之間的運算得到

ZDMA=-(180°-ZAND}

ZCDN-ZBAN=180°-ZAND,2V',即2ZDM4+ZAM)=180°可求解.

【詳解】解：rAE平分/BAN,DM平分ZCDN,

ZBAE=-ZBANZCDM=-ZCDN

22

NFME=ZBAE=-ZBAN

過M作M/〃AB,過N作N"〃45,則2,ZBAN=ZANH,

MF

ZFMD=ZCDM=-ZCDN

..AB//CD,..MF//CD,NH//CD,2,ZCDN+ZHND=180°,

...ZAND=ZANH+ZHND=ZBAN+180°-ZCDN,即ZCDN-ZBAN=180°—ZAND,

=-(ZCDN-/BAN)=-(180°-/AND)

又?：ZDMA=NFMD-NFME2、72V

...2ZDMA+ZAND=180°,即2NM+N2V=180°,故選：D.

【點睛】本題考查角平分線的定義、平行線的判定與性質、角的運算，添加平行線，利用平行線的性質探

究角之間的關系是解答的關鍵.

例6.(2023上,黑龍江哈爾濱?八年級校考期中)已知直線4BIICD,P為平面內一點，連接以、PD.

(1)如圖1,已知乙4=50。，乙0=150。，求乙組0。的度數(shù)；(2)如圖2,判斷立物8、4CDP、乙4尸。之間的

數(shù)量關系為.(3)如圖3,在(2)的條件下，APLPD,DN平分乙PDC,若乙以N+

—R4B=UPD,求乙4ND的度數(shù).

【答案】(1)ZAPD=80"；(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180o；(3)ZAND=45°.

【分析】(1)首先過點P作PQIIAB,則易得ABIIPQIICD,然后由兩直線平行，同旁內角互補以及內錯角相等,

即可求解；

(2)作PQIIAB,易得ABIIPQIICD,根據(jù)平行線的性質，即可證得NPAB+NCDP2APD=180。；

J_J_

(3)先證明NNOD=2NPAB,ZODN=2ZPDC,利用(2)的結論即可求解.

【詳解】解：(1)■.?zA=50°,ZD=150",過點P作PQIIAB,.?ZA=NAPQ=50。，

vABIICD,.-.PQIICD,.-.ZD+ZDPQ=180o,貝UNDPQ=180--150°=30°,

???NAPD=NAPQ+NDPQ=50°+30°=80°；

(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°,如圖，作PQ||AB,???NPAB=NAPQ,

vABIICD,.-.PQIICD,.?.zCDP+ZDPQ=180o,即NDPQ=180°-NCDP,

???NAPD=NAPQ-NDPQ,.?.zAPD=ZPAB-(180o-ZCDP)=ZPAB+ZCDP-180°；

??.ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

⑶設PD交AN于0,如圖,

N

?-?AP1PD,.■?ZAPO=90°,由題知NPAN+2NPAB=NAPD,即4PAN+2NPAB=90°,

XvZPOA+ZPAN=180°-ZAPO=90°,.-.ZP0A=2ZPAB,

???ZP0A=ZN0D,.?ZN0D=2NPAB,rDN平分"DC,.'.Z0DN=2ZPDC,

.■.ZAND=180°-ZNOD-ZODN=180o-2(ZPAB+ZPDC),

由(2)得NPAB+NCDP-/APD=180。，.?ZPAB+NPDC=180°+NAPD,

111

.-?ZAND=180°-2(ZPAB+ZPDC)=180°-2(180°+ZAPD)=180°-2(180°+90°)=45°,即NAND=45。.

【點睛】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想

的應用.

例7.(2023下,陜西漢中?七年級?？计谥?如圖，已知直線A8CD,P是平面內一點，連接R4、PD.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，若NPAB=130。，ZPDC=120°,求/AP。的度數(shù)；

⑵如圖②，若NA=50。，ZD=150°,求NAP。的度數(shù)；

⑶如圖③，試判斷鉆、NCD尸和NAPD之間的數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】（l）110°（2）80°（3）/CDP+NW-N/M=180。，見解析

【分析】（1）過點尸作尸石48,根據(jù)兩直線平行同旁內角互補可得答案；（2）過點尸作所〃根據(jù)

兩直線平行內錯角相等可得出“石=50°,根據(jù)平行線公理及性質可得出NEPD=30。，最后根據(jù)角的和與

差即可得出答案；（3）過點P作E尸〃則鉆〃EF〃CD,據(jù)平行線的性質及角的和與差即可得出答案.

【詳解】（1）解：如圖，過點尸作尸石AB

圖①圖1圖2

AB//PE,:.ZPAB+ZAPE^\SO°,ZPAB=130°,.?.ZAPE=180°-130o=50°,

AB//CD,AB//PE,:.PE//CD,NPDC+ZDPE=180°,

NPDC=120。，ZDPE=180°-120°=60°,

ZAPE+ZDPE=ZAPD,/.ZAPD=50°+60°=110°.

（2）解：如圖1,過點尸作￡尸〃A5,…NA=50。，.?.NAP￡=NA=50。.

AB//CDf.:EF〃CD,：.ZCDP+ZEPD=1SO°.

?.?ZD=150°,/EPD=180°-150°=30。，ZAPD=NAPE+NEPD=500+30°=80°

（3）解：ZCDP+ZPAB-ZAPD=1SQ0.

理由：如圖2,過點尸作￡尸〃A5,則AB〃跖〃CD,

/.ZCDP=NDPF,NFPA+NPAB=180°,?ZFPA=Z.DPF-ZAPD

ZDPF-ZAPD+ZPAB=180°,ZCDP+ZPAB-ZAPD=180。.

【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，熟練掌握平行線的性質定理和判定定理是解題的關鍵.

例8.（2023下?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末）甲同學在學完《相交線與平行線》后，想通過折鐵絲的方式進

一步探索相交線與平行線的知識，他的具體操作步驟如下：

第一步：將一根鐵絲AB在C,D,E處彎折得到如下圖①的形狀，其中AC〃OE,CD//BE.

第二步：將DE繞點。旋轉一定角度，再將8E繞點E旋轉一定角度并在BE上某點尸處彎折，得到如下圖

②的形狀.

第三步：再拿出另外一根鐵絲彎折成NG,跟前面彎折的鐵絲疊放成如下圖③的形狀.

請根據(jù)上面的操作步驟，解答下列問題：（1）如圖①，若NC=2/O,求ZE；（2）如圖②，若/，請

判斷NC,ND,NE,/尸之間的數(shù)量關系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，如圖③，若NACD=3/DCG,

ZDEF=3ZDEG,設ND=x,=y,求NG.（用含x,y的式子表示）

21

NG——xH—y

【答案】⑴4=6?！恽芅C+N8E=NDE〃+〃，理由見解析⑶33,

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得出NC+ND=180°,根據(jù)解題得出NO=60。，進而根據(jù)8〃跖，即可

求解；（2）過點分別作AC的平行線ON,EM,根據(jù)平行線的性質得出NME￡）=NA?E設

NMED=ZNDE=a,進而根據(jù)平行線的性質得出NC+NCDE+[=180。，/0跖+&+/尸=180。，即可得

出結論；（3）根據(jù)（2）的結論可得NACO+xnNDEF+y,ZG+ZACG=ZF+ZGEF,根據(jù)已知

27

ZG+-ZACD=-ZDEF+y

ZACD=3/DCG,ZDEF=3ZDEG,可得33，，進而即可求解.

【詳解】⑴解：??,AC〃￡>E,.ZC+Z￡）=180°,

...”=2/0,...3/。=180解得：ZD=60°,..CD//BE__,ZE=ZD=60°.

（2）解：如圖所示，過點。，“分別作AC的平行線ON,EM,

圖②

:.EM〃DN,.,ZMED=ZNDEf設/MED=/NDE=a,

又?..AC〃5尸，...AC〃QN,ME//BF,

...ZC+ZCDE+?=180°,Zr)EF+?+ZF=180°,NC+NCDE=NDEF+NF,；

(3)...ZD=x,ZF=ytNC+NCDE=NDEF+NF,

即ZACD+x=/DEF+y./DEF-ZACD=%—y

由(2)可得NG+ZACG=NF+NGEF,.../ACD=3/DCG,/DEF=3/DEG,

2222

/G+—/ACD=—/DEF+/FZG+-ZACD=-ZDEF+y

33，即33-

222121

ZG=y+-(ZDEF-ZACD)=y+-(x-y)=-x+-yZG=-x+-y

...3333,33

【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，熟練掌握平行線的性質與判定是解題的關鍵.

課后專項訓練

L（2023下?山東泰安?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線《〃4，NA=125。，/B=85。，且N1比N2大4。,

那么Z1的大小是（）

【分析】過點A作《的平行線&C,過點B作4的平行線8。，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得/3=/1,

N4=N2,再根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補求出NC鉆+乙血＞=180。，然后計算出Nl+N2=30。，結合N1

比N2大4。，即可得解.

【詳解】解：如圖，過點A作乙的平行線AC,過點B作4的平行線B。，

即AC,12//BD，,,N3=Nl,Z4=Z2,

.?Mh，ZA=125°，ZB=85°，?.?AC//BD，

.ZCAB+ZABD=18Q°-Z3+Z4=125°+85°-180°=30°.Zl+Z2=30°

...Nl比N2大4。,即Nl=N2+4。，.../2=13。，.../1=17。，故選：D.

Z1

【點睛】本題考查平行公理的推論，平行線的性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互

補；兩直線平行，內錯角相等.掌握平行線的性質并作輔助線是解題的關鍵.

2.（2023下?浙江嘉興?七年級?？茧A段練習）如圖，是一段賽車跑道的示意圖，其中AB//DE,測得/3=130。,

ND=70°.那么NC=()

C.110°D.120°

【答案】D

【分析】過"拐點"C作利用平行線的性質即可求解.

【詳解】解：過點o作如圖所示:

■.■AB//DE,...AB//CF//DE,...ZBCF=180°-=50°,Z￡>CF=ZD=70°

.../C=N3CF+〃b=120。；故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的性質.正確作出輔助線是解題關鍵.

3.（2023下?浙江杭州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB//DE,ZABC=a,/CDE=〃，則/BCD的度數(shù)為（）

C.180°+a-bD.180°—cc+/3

【答案】c

【分析】過點C作C〃〃DE,根據(jù)平行線的性質和判定即可判斷.

【詳解】過點C作

AB//DE,CF//DE,..,AB//CF,AB//CF,...ZABC=ZBCF=a,

.-CF//DE,...^CDE+ZFCD=/3+ZFCD=180°(,ZFCD=ISO0-J3

.ZBCD=ZBCF+ZFCD=a+1SQ°-=\S00+a-故詵.c

【點睛】本題考查平行線的性質和判定，解題的關鍵是正確作出輔助線.

4.（2023?河南駐馬店,三模）如圖，已知AB〃DE,ZABC^50°,NCDE=75。，則NBCD的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

【分析】過點C作CF〃AB,則A5〃DE〃CF,根據(jù)平行線的性質可得到/BCF=/4BC=150。，

ZDCF=180°-ZCDE=105°,即可求得/BCD=ZBCF-ZDCF=45°.

【詳解】如圖，過點C作（才〃川,

VAB//DE,CF//AB,；,AB//DE//CF^

...ZBCF=ZABC=150°,ZDCF+ZCDE=180°

.../CDE=75。,...ZDCF=180°-75°=105°.

...=NBCb—NDCV=150。—105。=45。.故選c.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線，利用平行線的性質求解是解決問題的關鍵.

5.（2023下?江西景德鎮(zhèn)?七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，一艘輪船從A地出發(fā)，沿北偏東45。方向航行至B地,

再從B地出發(fā)沿南偏東25。，方向航行至C地，則/ABC的度數(shù)為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的性質得出4^4=4=45°,進而即可求解.

【詳解】解：如圖所示,

VAE//BD,ZDBA^ZA=45°,

...ZABC=ZABD+ZCBD=25°+45°=70°,故選：A.

【點睛】本題考查了方向角，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

6.（2023?河南?統(tǒng)考三模）如圖，已知AB〃r>E,ZABC=150°,ZCDE=15°,則NBCD的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】過點C作則AB〃DE〃CF,根據(jù)平行線的性質可得到/BCF=NABC=150。，

ZDCF=180°-Z.CDE=105°,即可求得NBCD=NBCF-ZDCF=45°

【詳解】如圖，過點C作B〃.，ZDCF+ZCDE=180°

AB//DE,CF//ABf:.AB//DE//CF^...ZBCF=ZABC=150°

...ZCDE=75°f...ZDCF=180°-75°=105°.

...ZBCD=ZBCF-ZDCF=150°-105°=45°.故選c.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線，利用平行線的性質求解是解決問題的關鍵.

7.（2023下?上海?七年級期中）如圖，若A3〃石尸，用含&、。、/的式子表示x,應為（）

A.a+/3+/B.P+y-ac.180。一。一7十力D.180°+a+y+p

【答案】c

【分析】過C作CD〃AB,過M作〃跖，推出AB〃CD〃MN〃斯，根據(jù)平行線的性質得出

a+ZBCD=180°,ZDCM=ZCMN,NNMF=y,求出NBCD=180。—tz,ZDCM=ZCMN=/3-y即可

得出答案.

【詳解】解：過C作CD〃AB,過M作跖V〃EF,

AB//EF,AB//CD//MN//EF,

...ct+ZBCZ)=180°,力CM=/CMN,NNMF=y,

..ZBCD^180°-a,NDCM=NCMN=I,

,x=ZBCD+ZDCM=lSQ°-a+/3-yt故選.c

【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，主要考查學生的推理能力.明確題意，添加合適輔助線，找出

所求問題需要的條件是解題的關鍵.

8.（2023下?廣東深圳?七年級校考期中）如圖，AB//DE,ZB=60°,ZD=150°,貝l]/3CD=（）

A.30°B.60°C.15°D.45°

【答案】A

【分析】首先過點C作由即可得然后由平行線的性質，即可證得

NBCF與ZDCF的度數(shù)，繼而求得答案.

【詳解】解：過點C作c/〃AB,AB//DE,AB//DE//CF,

:.NBCF=NB=60P,ZDCF+ZD=180°,

ZD=150°,ZDCF=180°-ZDCF=30°.ABCD=ABCF-/LDCF=60°-30°=30°.故選：A.

【點睛】此題考查了平行線的性質.此題難度不大，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用.

9.（2023下?廣東江門?七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知〃尸G,BC//DE,BD//EF,則夕，B,7三者

A.a+/+>=180。B,P=a+yc.a-(3-yD.y-a-0

【答案】D

【分析】延長。及尸Q,分別交A8的延長線于點根據(jù)平行線的性質可得

ZEFQ=ZABC=尸"=@Q=/"EQ=〃="，根據(jù)三角形的外角的性質可得

ZPQA^ZFEQ+ZEFQ＞進而即可求解.

,.,ZEFQ=ZABC=a,ZPQA=ZGPQ=r,ZFEQ=AD=B，

..ZPQA=ZFEQ+ZEFQ.j=a+p即=￡故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

10.（2023上?貴州六盤水,八年級?？茧A段練習）如圖，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,則/BCD的

度數(shù)為.

C

【答案】40。/40度

【分析】過C作CF〃AS,結合可得=Z￡>+ZDCF=180°,結合NABC=80。，

/CDE=140°即可得到答案；

【詳解】解：過C作g7〃"，

AB//DE,CF〃AB,；.CF〃DE,NB=NBCF,ZD+ZDCF=18Q°,

...ZABC=80°,ZCD￡=140°,...ZBCF=80°,ZDCF=180°-140°=40°,

.../BCD=80。-40。=40。，故答案為：40°.

A---------15

DE

cF

【點睛】本題考查平行線的判定與性質，解題的關鍵是作出輔助線，根據(jù)平行線性質得到角度關系.

11.（2023下?七年級課時練習）如圖，/2=/3,/1=60。，若則/4的度數(shù)為.

【答案】120。/120度

【分析】延長AE交直線b于B,依據(jù)/2=/3,可得AE〃C?,當?！╞時，可得Nl=N5=60。，依據(jù)平行

線的性質，即可得到N4的度數(shù).

【詳解】解：如圖，延長AE交直線b于B,

.：N2=N3,-.AE//CD,Z4+Z5=180°,

當時,Zl=Z5=60°,...Z4=180°-Z5=120°,故答案為:120。.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，解題時注意：應用平行線的判定和性質定理時，一定要弄

清題設和結論，切莫混淆.

12.（2023下?上海閔行?七年級統(tǒng)考期末）我們規(guī)定車輛在轉彎時的轉彎角是車輛原行駛路線與轉彎后路線

所成的角的外角.如圖：一輛車在一段繞山公路行駛（沿箭頭方向）時，在點2、C和。處的轉彎角分別是

a、△和6,且則。、△和6之間的數(shù)量關系是.

r答案］=e

【分析】根據(jù)轉彎角的定義及平行線的性質即可得出a、B和。三角的關系式.

【詳解】根據(jù)題干中的"規(guī)定車輛在轉彎時的轉彎角是車輛原行駛路線與轉彎后路線所成的角的外角“可知,

在點B、C和D處的轉彎角分別是a、0和。，如下圖所示.

過點C作〃9，則==a（兩直線平行，則同位角相等）.

■.AB//ED,...MN//ED,...ZFDC=ZDCM（兩直線平行，則內錯角相等），

X...ZDCM=ZDCE+ZECM=3+a,NFDC=6...a+尸=6.故答案為：a+/3=0

【點睛】本題考查了平行線的性質和對轉彎角名稱定義的理解，解題的關鍵是利用平行線的性質把相關的

角聯(lián)系在一起.

13.（2023下?上海浦東新?七年級校考期中）如圖，直線NB、NC、ND、NE之間的數(shù)量關

【答案】NB+NBCD+NCDE+NE=360。

【分析】過點C作CG〃4?,，根據(jù)平行線