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文檔簡介

平行線中的四大基本模型重難點題型專訓

(4大題型+20道拓展培優(yōu))

旨【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

K【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】

【結論1]若AB〃CD,貝l]NB0C=NB+NC

【結論2]若NB0C=NB+NC,貝【JAB〃CD.

【結論3】如圖所示,AB/7EF,則NB+ND=NC十NE

朝向左邊的角的和二朝向右邊的角的和

結論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型

【例1】(2023春?山東濟寧?七年級統(tǒng)考階段練習)如圖所示,如果AB||CD,貝吐a、4|3、4之間的關系

為()

A.Za+Z.p+Z.y=180°B.Za—Z.p+Zy=180°

C.za+zp—z.y=180°D.Za—zp—Zy=180°[

產(chǎn)【變式訓練】

【變式1](2023春?全國?七年級專題練習)如圖,直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC(zA=60°)

按如圖所示放置.若4=43。,則Z2的度數(shù)為()

A.101°B.103°C.105°D.107°

【變式2】(2023秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中)如圖,已知35平分/ABC,。石平分/APC,

=80°,/BCD=n。,則NBED的度數(shù)為.(用含〃的式子表示)

D

【變式3】(2023春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習)已知直線48〃CD,是截線,點M在直線/8、CD

之間.

⑴如圖1,連接GM,HM.求證:LM=UGM+乙CHM;

(2)如圖2,在NG//C的角平分線上取兩點M、Q,使得乙4GM=LHGQ.試判斷與NGQH之間的數(shù)量關

系,并說明理由.

個【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結論1】如圖所示,AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

【結論2】如圖所示,NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.

變異的鉛筆頭:拐點數(shù)n,NA+...+NC=180°X(n+1)

【例2】(2023下?重慶巴南?七年級重慶市實驗中學校聯(lián)考期中)如圖,已知ABCD,E尸,AB于點品

NBFH=ZEGH=30°,ZW=5O°,則/FEG的度數(shù)是()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【變式訓練】

【變式1】(2020下,山東煙臺?七年級統(tǒng)考期中)如圖陰//CB”,貝吐1+/2+N3+…+/n=()

A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)

【變式2](2021下?七年級課時練習)如圖,已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,則NC=_度.

【變式3](2023下?甘肅慶陽?七年級校考期中)(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,直線AB〃CD,E是AB與CD之

間的一點,連接3E,CE,可以發(fā)現(xiàn)NB+NC=NBEC.

請把下面的證明過程補充完整:

圖①圖②圖③

證明:過點E作所〃AB,

:AB//CD(已知),EF//AB(已作),

.-.EF//CD().

:.NC=NCEF().

EF//AB,

:.ZB=(),

---ZCEF+ZBEF=ZBEC,

:.NB+NC=NBEC(等量代換).

(2)拓展探究:如果點E運動到圖②所示的位置,其他條件不變,進一步探究發(fā)現(xiàn):NB,NC,NBEC

之間的關系是—;

(3)解決問題:如圖③,AB//DC,NC=120。,NAEC=80。,請求出/A的度數(shù).

J[經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】(2023秋?全國?八年級專題練習)①如圖1,AB//CD,則NA+NE+NC=36O。;②如圖2,AB//

CD,貝1|/P=NA-NC;③如圖3,AB//CD,則/E=NA+/1;④如圖4,直線A8〃CZ)//斯,點O

在直線上,則Na-4+/y=18O。.以上結論正確的個數(shù)是()

產(chǎn)【變式訓練】

【變式1](2023秋?八年級課時練習)(1)已知:如圖(a),直線。石〃AB.求證:ZABC+ZCDE=ZBCD;

(2)如圖1),如果點C在N2與即之外,其他條件不變,那么會有什么結果?你還能就本題作出什么

新的猜想?

(a)

【變式2】(2023春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學??计谥校?)如圖(1)N8IICD猜想N8P0與48、

乙0的關系,說出理由.

(2)觀察圖(2),已知/8IICD,猜想圖中的NBPD與NB、乙D的關系,并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知4BIICD,猜想圖中的乙BPD與乙8、乙0的關系,不需要說明理由.

【變式3](2023?全國?七年級假期作業(yè))已知,AE//BD,AA=ZD.

(1)如圖1,求證:AB//CD;

(2)如圖2,作/BAE的平分線交C£)于點/,點G為A8上一點,連接FG,若/"G的平分線交線段AG

于點連接AC,ZACE=ZBAC+ZBGM,過點H作HM_LFTf交FG的延長線于點M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求NE4F+NGMH的度數(shù).

【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】(2023?全國?九年級專題練習)如圖所示,48||8/£=37。,4。=20。,則乙以2的度數(shù)為

Ar-------------------------B

CD

E

【變式訓練】

【變式11(2023春?湖北黃岡?七年級??计谥校┤鐖D,已知至///組,^2。=80。/。。£=140。,則乙BCD=

【變式2](2023春?江蘇鹽城?七年級景山中學??茧A段練習)如圖,若ABHCD,則N1+N3-N2的度數(shù)為

E

【變式3](2023春?全國?七年級專題練習)(1)如圖,ABUCD,CF平分乙DCE,若乙DC尸=30。,"=20。,

求乙4BE的度數(shù);

(2)如圖,ABHCD,乙EBF=2乙4BF,CF平分乙DCE,若N尸的2倍與NE的補角的和為190。,求乙48E的度

數(shù).

E

(3)如圖,尸為(2)中射線BE上一點,G是CD上任一點,PQ平分乙BPG,GNUPQ,GA/平分ADGP,

若48=30。,求NA/GN的度數(shù).

/【拓展培優(yōu)】

1.(2023下?上海?七年級期中)如圖,若AB〃EF,用含々、0、7的式子表示x,應為()

A.a+P+yB.P+y-aC.180。一0一/+尸D.18O°+oc+y+P

2.(2023下?浙江溫州?七年級校聯(lián)考期中)如圖,已知AB〃CD,點石,尸分別在A3,8上,點G,H

在兩條平行線A3,CD之間,/AEG與N77/G的平分線交于點若NEGH=84。,ZHFD=20°f則

的度數(shù)為().

A.64°B.54°C.42°D.32°

3.(2023下?浙江杭州?七年級校聯(lián)考階段練習)如圖所示,ABCD,^Z3=|3Z1,Z4=13Z2,下列各式:

@Z1+Z2=ZE@Z1+Z2+Z3+Z4=ZF③N3+N4+NF=360°④5NE+2N尸=720°

其中正確的是()

A.①②B.①③C.②③D.①④

4.(2023下?山東德州?七年級統(tǒng)考期中)如圖,AB//DE,則下列說法中一定正確的是()

B.Zl+Z2-Z3=180°

C.Zl+Z2+Z3=270°D.Zl-Z2+Z3=90°

5.(2023上?四川宜賓?七年級四川省宜賓市第二中學校??茧A段練習)如圖,已知:ABCD,CD//EF,

AE平分/BAC,A71CE,有下列結論:@AB//EF;(2)2Z1-Z4=90°;③2N3—N2=180。;(4)

N3+g/4=135。.結論正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.(2023下?湖北武漢?七年級武漢市卓刀泉中學??茧A段練習)如圖,直線。b,

180°-(Z3+Z2)=Z2-Zl=rf>0.其中/3>90。,4=50。,則N4的最大整數(shù)值是()

D.115°

7.(2023下?重慶北倍?七年級西南大學附中??计谥校┤鐖D,已知AB〃CD,ZBEH=/CFG,EI、FK分別

為ZAEH、NCFG的角平分線,F(xiàn)KLFJ,則下列說法正確的有()個.

①EH〃GF

②Z.CFK=NH

③FJ平分/GFD

④ZAEI+NGFK=90。

A.4B.3C.2D.1

8.(2021下?重慶九龍坡?七年級重慶市楊家坪中學??计谥校┤鐖D,AB〃CD,點£在8上,點G,F,

I在AB,8之間,且GE平分NCEF,BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。,則NG的度數(shù)為().

A.112°B.114°C.116°D.118°

9.(2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市第四十七中學??计谥校┮阎喝鐖D,AB//CD,NABG的平分

線與NCDE的平分線交于點ZM=45°,NR=64。,NE=66。,則/G=;

10.(2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學校校考期中)如圖,ABCD,BE平分NABF,

NDCF=NECF,已知ZF—NE=15。,貝I]ZABE+NDCF=度.

E

11.(2021下?湖北武漢?七年級??茧A段練習)如圖,已知AB〃CD,8E和。尸分別平分NA即和/CDE,

若2/E-N尸=51°,貝IJNCZ)E=

12.(2023下?湖南長沙?七年級統(tǒng)考期末)(1)如圖一,ABCD,NB=10。,/O=30。,則NOEB=

22

(2)如圖二,ABCD,ZABF=-ZABE,ZCDF=-ZCDE,DQ,8。分別平分/GDE和NHBE,

則ZDFB,/DQB滿足的數(shù)量關系為.

CD

圖一

13.(2022上?廣東廣州?八年級廣州市黃埔軍校紀念中學校考開學考試)如圖①所示,四邊形MVBD為一張

長方形紙片.如圖②所示,將長方形紙片剪兩刀,剪出三個角(/BAE、ZAEC.NECD),則

ZBAE+ZAEC+ZECD=(度);

N------------------F

MD

圖①

(1)如圖③所示,將長方形紙片剪三刀,剪出四個角(/BAE、ZAEF,NEF、/FCD),則

ZBAE+ZAEF+ZEFC+NFCD=(度);

(2)如圖④所示,將長方形紙片剪四刀,剪出五個角(NBAE、ZAEF,NEFG、/FGC、/GCD),

貝|J/BAE+/AEF+/EFG+ZFGC+/GCD=(度);

(3)根據(jù)前面的探索規(guī)律,將本題按照上述剪法剪”刀,剪出〃+1個角,那么這”+1個角的和是(度).

14.(2022下?山東德州?七年級統(tǒng)考期末)已知ABCD,AM平分NBAP,NPCM=2ZMCD,

2ZM—ZP=10°,貝NPCD=.

15.(2024上?陜西榆林?八年級??计谀┚C合與探究

某學習小組發(fā)現(xiàn)一個結論:己知直線a.b,若直線aPc,貝帖Pc.他們發(fā)現(xiàn)這個結論運用很廣、請你利

用這個結論解決以下問題.

已知直線ABC。,點E在A8,CD之間,點P,。分別在直線A8,CD±.,連接尸E,EQ.

⑴如圖1,作運用上述結論,探究4EQ與NAPE+NCQE的數(shù)量關系,并說明理由.

(2)如圖2,ZEPF=3NBPF,ZEQF=3ZDQF,求出N歹與/E之間的數(shù)量關系.

(3)如圖3,直接寫出Nl,Z2,NE,ZF,NG之間的數(shù)量關系:.

16.(2024上?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期末)閱讀理解:

兩條平行線間的拐點問題經(jīng)??梢酝ㄟ^作一條直線的平行線進行轉化.例如:如圖1,MN//PQ,點C、B

分別在直線MN、PQ上,點A在直線建V、尸。之間.

M------N

A\

PT-0

圖1圖2

(1)求證:NCAB=ZMCA+NPBA;

類比應用:

(2)如圖2,已知直線AB〃CD,P為平面內(nèi)一點,連接PA,PD.若NA=50。,ZD=150°,求NAPD的

度數(shù).

17.(2024下?江西九江?八年級??计谀?如圖1,直線AB〃CD,將一把直角三角尺的直角頂點尸放在兩

平行線之間,兩直角邊分別交AB,CD于點E,F.

圖1圖2

⑴請你判斷ZBEP與/£?儀之間的數(shù)量關系,并說明理由;

(2)如圖2,若N8E尸和NOFP的平分線相交于點G,求NG的度數(shù);

(3)如圖2,若NPEG:NBEP=NPFG:/DFP=1:n,請用含〃的式子表示NG.

18.(2024上?湖南衡陽?七年級校聯(lián)考期末)如圖,直線尸?!ǚ睳,一副直角三角板A5C,ZJE尸中,

ZACB=ZEDF=90°,ZABC=ZBT^C=45°,/DFE=30°,ZDEF=60°.

(1)若口?!晔慈鐖D1擺放,當£7)平分/PE尸時,]U!jZDFM=;

⑵若口ABC,DEF按如圖2擺放,則;

(3)若圖2中"C固定.將DE尸沿著AC方向平行移動,邊與直線PQ相交于點G,作NQGF和NGE4

的角平分線GH、9相交于點〃(如圖3),求NGE店的度數(shù).

(4)若圖2中固定,(如圖4)將ABC繞點/以每秒5。的速度順時針旋轉,旋轉時間為f秒,線段AC

與直線AN首次重合時停止旋轉,當線段BC與DEE的一條邊平行時,請求出旋轉時間/的值.

19.(2024上?陜西漢中?七年級統(tǒng)考期末)【問題情境】已知,Z1=Z2,EG平分/AEC交BD于點G.

【問題探究】(1)如圖1,ZMAE=45°,ZFEG=15°,4NCE=75。.試判斷E尸與CD的位置關系,并說

明理由;

【問題解決】(2)如圖2,ZAME=140°,NFEG=3O0,當AB〃CD時,求/NCE的度數(shù);

【問題拓展】(3)如圖2,若AB〃CD,試說明NNCE=/M4E—2/FEG.

20.(2023下?浙江?七年級專題練習)已知:直線a〃火點48在直線。上,點C,。在直線6上,

(1)連接AD,BC,BE平分NABC,OE平分ZADC,且BE,OE所在直線交于點E.

①如圖1,若NABC=60。,NADC=70。,則NBED的度數(shù)為二

②如圖2,設乙鉆C=a,AADC=P,則NBE。的度數(shù)為一(用含有a,£的式子表示).

(2)如圖3,EF斗令ZMEN,NP平分ZEND,EQ//NP,則/FEQ和的數(shù)量關系是

22

(3)如圖4,若NBAPngNBAC,ZDCP=-ZACD,且AE平分NBAP,CF平分/DCP,猜想/E+/F的

結果并且證明你的結論;

平行線中的四大基本模型重難點題型專訓

(4大題型+20道拓展培優(yōu))

囪【題型目錄】

題型一平行線基本模型之M模型

題型二平行線四大模型之鉛筆模型

題型三平行線四大模型之“雞翅”模型

題型四平行線四大模型之“骨折”模型

41經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】

【結論1]若AB〃CD,則NB0C=NB+NC

【結論2]若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.

【結論3】如圖所示,AB/7EF,則NB+ND=NC+NE

朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和

1由

結論3的模型也稱為鋸齒模型;

鋸齒模型的變換解題思路

拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型

【例1】(2023春?山東濟寧?七年級統(tǒng)考階段練習)如圖所示,如果AB||CD,則Na、zp,4之間的關系

為()

A.Za+zp+z.y=180°B.Za—zp+zy=180°

C.Za+Zp-Zy=180°D.Za—zp—Zy=180°

【答案】c

【分析】過E作EFIIAB,由平行線的質可得EFIICD,Za+zAEF=180°,zFED=Zy,由Np=NAEF+NFED即

可得Na、4|3、/丫之間的關系.

【詳解】解:過點E作EFHAB,

.?.Za+ZAEF=18O°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補),

???ABHCD,

???EFIICD,

.-.ZFED=ZEDC(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

???z.p=z.AEF+z.FED,

又???Ny=NEDC,

.?.Za+zp-Zy=180°,

故選:C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質,正確作出輔助線是解答此題的關鍵.

產(chǎn)【變式訓練】

【變式1】(2023春?全國?七年級專題練習)如圖,直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC(zA=60°)

按如圖所示放置.若41=43。,貝此2的度數(shù)為()

A.101°B.103°C.105°D.107°

【答案】B

【分析】如圖,首先證明NAMO=N2;然后運用對頂角的性質求出NANM=43。,借助三角形外角的性質求出

zAMO即可解決問題.

【詳解】解:如圖,???直線a||b,

;.NAMO=N2;

?-?zANM=zl,z.l=43°,

.■?ZANM=43°,

.?.zAMO=zA+zANM=60°+43o=103°,

.?.Z2=ZAMO=103°.

故選:B.

【點睛】該題主要考查了平行線的性質、對頂角的性質、三角形的外角性質等幾何知識點及其應用問題;

牢固掌握平行線的性質、對頂角的性質等幾何知識點是靈活運用、解題的基礎.

【變式2】(2023秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中)如圖,已知AB〃CD,8E平分NABC,DE平分,ADC,

ZBAD=S0°,ZBCD=n°,則的度數(shù)為.(用含"的式子表示)

B

40。+'°

【答案】2

【分析】首先過點E作所〃AB,由平行線的傳遞性得AB〃CD〃£F,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,

ZABE=-n°

得出/RD=/應="。,ZBAD=ZADC=S0°,由角平分線的定義得出2,ZEDC=40°,再

Z.BEF=Z.ABE=—if

由兩直線平行,內(nèi)錯角相等得出2/FED=NEDC=40°,由/BED=/BEP+/尸即即可

得出答案.

【詳解】解:如圖,過點E作所〃AB,則AB〃CD〃EF,

AB//CD,

.-.ZBCD=Z.ABC=n°,ZBAD=ZADC=S0°,

又?;BE平分/ABCtDE平分/ADC,

ZABE=-ZABC=-n°

,.?22,

ZEDC=-ZADC=-x80°=40°

22,

...AB//EF//CD,

ZBEF=ZABE=-n°

2,

/FED=NEDC=40°,

/BED=ZFED+ZBEF=40°+-n°

2,

40°+-n°

故答案為:2.

【點睛】本題考查平行線的性質,角平分線的定義,解題關鍵是作出正確的輔助線,掌握平行線的性質和

角平分線的定義.

【變式3】(2023春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習)已知直線/8〃CD,£尸是截線,點M在直線/8、CD

(1)如圖1,連接GM,HM.求證:乙M=,4GM+乙CHM;

(2)如圖2,在NG8C的角平分線上取兩點M、Q,使得乙4GN=N?GQ.試判斷W與NG0H■之間的數(shù)量關

系,并說明理由.

【答案】(1)證明見詳解

⑵/G"=18(r-NM;理由見詳解

【分析】(1)過點“作由AB〃CD,可知MV〃至〃CD.由此可知:ZAGM=NGMN,

ZCHM=4HMN,故ZAGM+ZCHM=Z.GMN+ZHMN^ZM.

(2)由(1)可知NAGM+ZCHM^ZM.再由ZCHM=Z.GHM,ZAGM=ZHGQ,可知

NM-HGQ+NGHM,利用三角形內(nèi)角和是]80。,可得NGQH=180。_/用.

(1)

E

解:如圖:過點反作MN〃AB,

,.,MN//AB//CD,

.ZAGM=ZGMN/CHM=/HMN、

...ZM=Z.GMN+AHMN,

...ZM=ZAGM+ZCHM.

(2)解:NGQH=180?!狽M,理由如下:

如圖:過點"作“N〃A3,

由(1)知NM=NAGM+NCHM,

...HM平分NGHC,

...ZCHM=ZGHM9

vzAGM=zHGQ,

?.,ZM=ZHGQ+ZGHM9

..ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°

?J

.ZGQH=180°-ZM

圖2

【點睛】本題考查了利用平行線的性質求角之間的數(shù)量關系,正確的作出輔助線是解決本題的關鍵,同時

這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應用.

_。【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】

【結論1】如圖所示,AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°

【結論2】如圖所示,NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.

變異的鉛筆頭:拐點數(shù)n,NA+...+NC=180°X(n+1)

則/FEG的度數(shù)是()

C.140°D.150°

【答案】C

【分析】如圖所示,過點E作EKAB,過點打作HM//AB,根據(jù)平行線的性質,可求出ZKEG=ZEGD的

度數(shù),根據(jù)垂直的性質可求NFEK的度數(shù),由此即可求解.

【詳解】解:如圖所示,過點E作甌AB,過點a作

..ABCD

?,

:,AB//EK//HM//CDi

ZBFH=ZFHM,ZDGH=ZGHM,

...Z.FHM+ZGHM=ZFHG=50°,ZBFH=30。,

...ZGHM=ZDGH=50°-30°=20°,

NEGH=30。,

...ZEGD=ZEGH+ZDGH=300+20°=50°,

?:EK〃CD,

;.NKEG=NEGD=50。,

vEFLAB,

:,ZAFE=ZEFB=90°f

?;AB//EKf

...ZAFE+NFEK=180。,

...ZFEK=180?!猌AFE=180°-90°=90°,

...ZFEG=ZFEK+ZDEG=900+50°=140°,

故選:c.

【點睛】本題主要考查平行線的性質,垂直的性質,掌握以上知識是解題的關鍵.

■【變式訓練】

【變式1】(2020下?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期中)如圖A4//C”,貝吐1+乙2+乙3+...+”=()

A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意,作。團“A耳,EBJIAB^FBJ/AB',由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,即可求出答案.

【詳解】解:根據(jù)題意,作DB?//AB、,EB/AB、,FB/AB\,

,.ABJ/CBn

.Nl+N耳氏。=180。ZZ)RR+ZBRE=180oZEB.B.+ZB.B.F=1SO°

?,,o,

,Z1+ZB1B2D+ZDB2B3+ZB2B3E+/EB3B4+NB3B4F=180°x3

,.?N1+N2+N3+L+ZH=180°X(H-1);

故選:c.

【點睛】本題考查了平行線的性質,解題的關鍵是正確作出輔助線,熟練運用兩直線平行同旁內(nèi)角互補進

行證明.

【變式2](2021下?七年級課時練習)如圖,已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,則NC=—度.

【分析】過點C作CF||AB,根據(jù)平行公理得AB//c尸//ED,再依據(jù)平行線的性質求角即可.

【詳解】解:過點C作C「||A8,如圖:

AB//DE,

AB//CF//ED

,AB//CF,

...ZB+Z1=18O°,

=150°,

...Zl=30°,

...CFIIED,

...Z2+ZD=18O°,

.,.ZD=145°,

...Z2=35°,

.\ZBCD=Z1+Z2=65°

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質,解題關鍵是依據(jù)平行公理作輔助線,熟練運用平行線的性質解

決問題

【變式3](2023下?甘肅慶陽?七年級??计谥校?)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,直線AB〃CE),E是AB與CD之

間的一點,連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)NB+NC=NBEC.

請把下面的證明過程補充完整:

B

B

圖②圖③

證明:過點E作所〃

AB//CD(已知),EF//AB(已作),

.■.EF//CDQ).

:.NC=NCEFI

EF//AB,

NB=),

NCEF+NBEF=NBEC,

ZB+ZC=ZBEC(等量代換).

(2)拓展探究:如果點E運動到圖②所示的位置,其他條件不變,進一步探究發(fā)現(xiàn):ZB,/C,ZBEC

之間的關系是

(3)解決問題:如圖③,AB//DC,NC=12O。,NAEC=80。,請求出/A的度數(shù).

【答案】(1)平行于同一條直線的兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;々EF;兩直線平行,內(nèi)錯角相

等;(2)ZB+ZC+Z5EC=360°.(3)20°.

【分析】(1)過點E作跖〃根據(jù)平行線的性質進行選填即可;

(2)利用(1)中的方法和兩直線平行,同旁內(nèi)角互補可得到/3+/C+N3EC=360。;

⑶作所〃如圖③,利用平行線的性質得到“+NCEF=180。,NBAE=NAEF,則/CEF=60。,所

以/的=20°,從而得到/A的度數(shù).

【詳解】(1)證明:過點£作E尸〃四,如圖①,

圖①

--AB//CD(已知),EF//AB(輔助線的作法),

■■EF//CD(平行于同一條直線的兩直線平行),

:.NC=NCEF(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

VEF//AB(作圖),

:./B=/BEF,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),

:.NB+NC=NCEF+NBEF(等量代換),

即NB+NC=NBEC.

故答案為:平行于同一條直線的兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;^BEF.兩直線平行,內(nèi)錯角相等.

(2)解:作即〃A8,如圖②,

圖②

<AB〃CD,

,\EF//CDf

/.ZC+ZC£F=180°,ZB+ZBEF=180°,

/.ZB+ZC+/BEC=360°.

故答案為:ZB+ZC+ZBEC=360°.

圖③

YAB〃DC,

二.EF1/CD,

:.NC+NCEF=180°,/BAE=ZAEF,

/.ZCEF=180°-120°=60°,

-心=*-ACEF=80。-60。=20。,

ZBAE=20°

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質.熟練掌握性質和判定是做題的關鍵.

41經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】

【例3】(2023秋?全國?八年級專題練習)①如圖1,AB//CD,則NA+/E+NC=360。;②如圖2,AB//

CD,貝=③如圖3,AB//CD,則NE=NA+/1;④如圖4,直線A8〃C£>//ER點O

在直線EF上,則Na-"+Ny=180。.以上結論正確的個數(shù)是()

圖4

圖1圖2圖3

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】①過點E作直線EF〃AB,由平行線的性質:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,即可得出結論;

②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質得出N1=NC+NP,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等即可作出判斷;

③如圖3,過點E作直線EFIIAB,由平行線的性質可得出NA+NAEC-41=180。,即得乙^瓦:=180。+41-NA;

④如圖4,根據(jù)平行線的性質得出Na=NBOF,ZY+ZCOF=180°,再利用角的關系解答即可.

【詳解】解:

______B

V

圖1圖2

①如圖1,過點E作直線EFIIAB,

vABIICD,

.-.ABIICDHEF,

.-.zA+zl=180°,z2+zC=180°,

.-.zA+zB+zAEC=360°,

故①錯誤;

②如圖2,,?21是4CEP的外角,

.-.zl=zC+zP,

vABIICD,

???NA=Z1,

BPzP=zA-zC,

故②正確;

③如圖3,過點E作直線EF||AB,

?-?ABIICD,

.-?ABIICDHEF,

.,zA+N3=180°,N1=N2,

??.ZA+ZAEC-41=180°,

即NAEC=18O°+N1-NA,

故③錯誤;

④如圖4,???ABIIEF,

.,.za=z.BOF,

vCDIIEF,

.?.Zy+ZCOF=180°,

vzBOF=zCOF+zp,

??.zCOF=z.a-z.p,

.,.zy+za-40=180°,

故④正確;

綜上結論正確的個數(shù)為2,

故選:B.

【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質,熟練掌握平行線的性質,根據(jù)題意作出輔助線

是解答此題的關鍵.

聲【變式訓練】

【變式1](2023秋?八年級課時練習)(1)已知:如圖(a),直線。求證:ZABC+NCDE=NBCD;

(2)如圖(6),如果點C在與之外,其他條件不變,那么會有什么結果?你還能就本題作出什么

新的猜想?

BB

(a)

【答案】(1)見解析;(2)當點C在AB與ED之外時,ZABC-NCDE=NBCD,見解析

【分析】(1)由題意首先過點C作CFIIAB,由直線ABIIED,可得AB||CF||DE,然后由兩直線平行,內(nèi)錯

角相等,即可證得乙ABC+4CDE=4BCD;

(2)根據(jù)題意首先由兩直線平行,內(nèi)錯角相等,可得乙ABC=4BFD,然后根據(jù)三角形外角的性質即可證得

ZABC-ZCDE=Z.BCD.

【詳解】解:(1)證明:過點C作CFIIAB,

vABHED,

.-.ABIIEDHCF,

.*.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,

.*.Z.ABC+ZCDE=ZBCD;

(2)結論:ZABC-ZCDE=ZBCD,

證明:如圖:

vABIIED,

/.ZABC=ZBFD,

在△DFC中,ZBFD=ZBCD+ZCDE,

???zABC=zBCD+zCDE,

???zABC-zCDE=zBCD.

若點C在直線AB與DE之間,猜想NABC+』BCD+ZCDE=360°,

vABHEDIICF,

,ZABC+NBCF=180°,ZCDE+NDCF=180°,

.ZABC+/BCD+ZCDE=ZABC+ZBCF+ZDCF+ZCDE=360

【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質,熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵,注

意掌握輔助線的作法.

【變式2](2023春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學??计谥校?)如圖(1)4B||CD,猜想NAP。與乙8、

的關系,說出理由.

(2)觀察圖(2),已知/8IICD,猜想圖中的N8P。與NB、乙0的關系,并說明理由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知N8IICZ),猜想圖中的乙與N8、乙£)的關系,不需要說明理由.

【答案】(1)zB+zBPD+zD=360°,理由見解析;(2)zBPD=zB+zD,理由見解析;(3)NBPD=ND-NB或

ZBPD=ZB-ZD,理由見解析

【分析】(1)過點P作EFIIAB,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補即可求解;

(2)首先過點P作PEIIAB,由ABIICD,可得PE||AB||CD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可得41=ZB,

N2=ND,貝阿求得4BPD=NB+ND.

(3)由ABIICD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質,即可求得NBPD與NB、ND的關系.

【詳解】解:(1)如圖(1)過點P作EFIIAB,

AB

.-.zB+zBPE=180°,

vABIICD,EFHAB,

.-.EFIICD,

.-.ZEPD+ZD=18O°,

/.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=36O°,

zB+zBPD+zD=360°.

(2)zBPD=zB+zD.

理由:如圖2,過點P作PE||AB,

AB

(2)

vABIICD,

.-.PEHABHCD,

.,?z.l=z.B,z2=z.D,

zBPD=z1+z2=zB+zD.

理由:???AB||CD,

.,?z.l=zD,

vzl=zB+zBPD,

.,.zD=zB+zBPD,

即NBPD=ND-NB;

如圖(4),zBPD=zB-zD.

(4)

理由:TAB||CD,

.,.zl=zB,

?■?zl=zD+zBPD,

.?.ZB=ZD+ZBPD,

BPzBPD=zB-zD.

【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質.此題難度不大,解題的關鍵是注意掌握平行線的

性質,注意輔助線的作法.

【變式3](2023?全國?七年級假期作業(yè))已知,AE//BD,ZA=ZD.

(1)如圖1,求證:AB//CD-,

(2)如圖2,作N2AE的平分線交。于點F,點G為A8上一點,連接FG,若NCRG的平分線交線段AG

于點“,連接AC,若ZACE=NBAC+NBGM,過點H作碗,切交FG的延長線于點加,且

3ZE-5ZAFH^18°,求NEAF+NGMW的度數(shù).

【答案】(1)見解析;(2)72。

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質得出NA+/B=180。,再根據(jù)等量代換可得/3+/。=180。,最后根據(jù)平行線

的判定即可得證;

(2)過點E作砂“CD,延長DC至Q,過點M性MNHAB,根據(jù)平行線的性質及等量代換可得出

NECQ=NBGM=ZDFG再根據(jù)平角的含義得出NECF=ZCFG,然后根據(jù)平行線的性質及角平分線的定

義可推出ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB.設ZFAB=a,Z.CFH=£,根據(jù)角的和差可得出ZAEC=2ZAFH,

結合已知條件3//庇-5/47陽=180??汕蟮?4尸〃=18。,最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質,即可得出

答案.

【詳解】(1)證明:?.?AE//3D

/.ZA+ZB=180°

ZA=ZD

.?.ZB+ZD=180°

:.AB//CD.

(2)過點E作石尸”CD,延長DC至Q,過點M作

■:AB//CD

ZQCA=ZCAB/BGM=NDFG,NCFH=/BHF,ZCFA=FAG

VZACE=ZBAC+/BGM

/.NECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

ZECQ=ZBGM=ZDFG

???ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

.\ZECF=ZCFG

AB//CD

:.AB//EP

/PEA=NEAB,ZPEC=ZECF

VZAEC=ZPEC-ZPEA

ZAEC=Z.ECF-/EAB

,ZECF=ZAEC+NEAB

AF平分

ZEAF=/FAB=-ZEAB

2

FH平分NCbG

,ZCFH=ZHFG=-/CFG

2

QCD//AB

ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB

^ZFAB=a,ZCFH=/3

ZAFH=NCFH—NCFA=NCFH—NFAB

:.ZAFH=/3-aZBHF=ZCFH=13

ZECF+2ZAFH=ZAEC+/EAB+2ZAFH=ZAEC+2/3

ZECF+2ZAFH=N£+2ZBHF

,\ZAEC=2ZAFH

?/3ZAEC-5ZAFH=180°

:.ZAFH=18°

,FH_LHM

:.ZFHM=90°

/GHM=90。—。

VZCFM+ZNMF=180°

/.ZHMB=AHMN=90°-/3

ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=/7-18°

ZEAF+ZGMH=/7—18。+90。一£二72。

.?.NEAF+NGMH=72。

【點睛】本題考查了平行線的判定及性質,角平分線的定義,能靈活根據(jù)平行線的性質和判定進行推理是

解此題的關鍵.

,41經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】

【例4】(2023?全國?九年級專題練習)如圖所示,/和。。/£=37。,乙。=20。,則乙以5的度數(shù)為

【答案】57°

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180。以及平行線的性質:1、如果兩直線平行,那么它們的同位角相等;2、如

果兩直線平行,那么它們的同旁內(nèi)角互補;3、如果兩直線平行,那么它們的內(nèi)錯角相等,據(jù)此計算即可.

.?2E=37。,4C=20°,

.-.zCFE=180o-37°-20o=123°,

.-.ZAFD=123°,

vABHCD,

.-.ZAFD+ZEAB=18O°,

.-.ZEAB=18O°-123°=57°,

故答案為:57。.

【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質,熟知平行的性質是解題的關鍵.

■【變式訓練】

【變式1](2023春?湖北黃岡?七年級??计谥校┤鐖D,已知乙42c=80。,4。?!?140。,則乙BCD=

【答案】40。

【分析】延長交BC于M,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等證明ZBMD=NABC,再求解N。血,再利用

三角形的外角的性質可得答案.

【詳解】解:延長E。交BC于M,

...AB//DE,

.?.ZBMD=ZABC=8O°,

ZCMD=180。一ZBMD=100。:

又?2CDE=NCMD+NC,

...ZBCD=/CDE—NCMD=140°-100°=40°

故答案是:40°

【點睛】本題考查了平行線的性質.三角形的外角的性質,鄰補角的定義,掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式2](2023春?江蘇鹽城?七年級景山中學??茧A段練習)如圖,若AB/ICD,則N1+/3-N2的度數(shù)為

E

【答案】180°

【分析】延長EA交CD于點F,貝IJ有N2+NEFC=N3,然后根據(jù)相〃8可得N1NEFD,最后根據(jù)領補角及

等量代換可求解.

【詳解】解:延長EA交CD于點F,如圖所示:

ABHCD,

?.zl=zEFD,

z2+zEFC=z3,

Z£TC=Z3-Z2,

ZEFC+ZEFD=180。,

N1+N3—N2=180°:

故答案為180°.

【點睛】本題主要考查三角形外角的性質及平行線的性質,熟練掌握三角形外角的性質及平行線的性質是

解題的關鍵.

【變式3](2023春?全國?七年級專題練習)(1)如圖,ABUCD,CF平分4DCE,若乙DCF=30。,"=20。,

求乙43E的度數(shù);

(2)如圖,ABUCD,AEBF=2乙ABF,CF平分乙DCE,若乙F的2倍與乙£的補角的和為190。,求乙4AB的度

數(shù).

(3)如圖,尸為(2)中射線3E上一點,G是CD上任一點,PQ平■分乙BPG,GN//PQ,GM平分乙DGP,

若乙8=30。,求NMGN的度數(shù).

D

4B

M

【答案】(1)ZABE=4O°;(2)ZABE=3O°;(3)zMGN=15°.

【分析】(1)過E作EM〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質和角平分線的定義解答即可;

(2)過E作EM〃AB,過F作FN〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質,角平分線的定義以及解一元一次方程

解答即可;

(3)過P作PL〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質,三角形的內(nèi)角和定理,三角形的一個外角等于與它不相

鄰的兩個內(nèi)角的和的性質,角平分線的定義解答即可.

【詳解】解:(1)過E作EM〃AB,

圖1

???AB〃CD,

???CD〃EM〃AB,

.-.ZABE=ZBEM,zDC

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