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文檔簡介
平行線中的四大基本模型重難點題型專訓
(4大題型+20道拓展培優(yōu))
旨【題型目錄】
題型一平行線基本模型之M模型
題型二平行線四大模型之鉛筆模型
題型三平行線四大模型之“雞翅”模型
題型四平行線四大模型之“骨折”模型
K【經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】
【結論1]若AB〃CD,貝l]NB0C=NB+NC
【結論2]若NB0C=NB+NC,貝【JAB〃CD.
【結論3】如圖所示,AB/7EF,則NB+ND=NC十NE
朝向左邊的角的和二朝向右邊的角的和
結論3的模型也稱為鋸齒模型;
鋸齒模型的變換解題思路
拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型
【例1】(2023春?山東濟寧?七年級統(tǒng)考階段練習)如圖所示,如果AB||CD,貝吐a、4|3、4之間的關系
為()
A.Za+Z.p+Z.y=180°B.Za—Z.p+Zy=180°
C.za+zp—z.y=180°D.Za—zp—Zy=180°[
產(chǎn)【變式訓練】
【變式1](2023春?全國?七年級專題練習)如圖,直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC(zA=60°)
按如圖所示放置.若4=43。,則Z2的度數(shù)為()
A.101°B.103°C.105°D.107°
【變式2】(2023秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中)如圖,已知35平分/ABC,。石平分/APC,
=80°,/BCD=n。,則NBED的度數(shù)為.(用含〃的式子表示)
D
【變式3】(2023春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習)已知直線48〃CD,是截線,點M在直線/8、CD
之間.
⑴如圖1,連接GM,HM.求證:LM=UGM+乙CHM;
(2)如圖2,在NG//C的角平分線上取兩點M、Q,使得乙4GM=LHGQ.試判斷與NGQH之間的數(shù)量關
系,并說明理由.
個【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】
【結論1】如圖所示,AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°
【結論2】如圖所示,NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.
變異的鉛筆頭:拐點數(shù)n,NA+...+NC=180°X(n+1)
【例2】(2023下?重慶巴南?七年級重慶市實驗中學校聯(lián)考期中)如圖,已知ABCD,E尸,AB于點品
NBFH=ZEGH=30°,ZW=5O°,則/FEG的度數(shù)是()
A.120°B.130°C.140°D.150°
【變式訓練】
【變式1】(2020下,山東煙臺?七年級統(tǒng)考期中)如圖陰//CB”,貝吐1+/2+N3+…+/n=()
A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)
【變式2](2021下?七年級課時練習)如圖,已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,則NC=_度.
【變式3](2023下?甘肅慶陽?七年級校考期中)(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,直線AB〃CD,E是AB與CD之
間的一點,連接3E,CE,可以發(fā)現(xiàn)NB+NC=NBEC.
請把下面的證明過程補充完整:
圖①圖②圖③
證明:過點E作所〃AB,
:AB//CD(已知),EF//AB(已作),
.-.EF//CD().
:.NC=NCEF().
EF//AB,
:.ZB=(),
---ZCEF+ZBEF=ZBEC,
:.NB+NC=NBEC(等量代換).
(2)拓展探究:如果點E運動到圖②所示的位置,其他條件不變,進一步探究發(fā)現(xiàn):NB,NC,NBEC
之間的關系是—;
(3)解決問題:如圖③,AB//DC,NC=120。,NAEC=80。,請求出/A的度數(shù).
J[經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】
【例3】(2023秋?全國?八年級專題練習)①如圖1,AB//CD,則NA+NE+NC=36O。;②如圖2,AB//
CD,貝1|/P=NA-NC;③如圖3,AB//CD,則/E=NA+/1;④如圖4,直線A8〃CZ)//斯,點O
在直線上,則Na-4+/y=18O。.以上結論正確的個數(shù)是()
產(chǎn)【變式訓練】
【變式1](2023秋?八年級課時練習)(1)已知:如圖(a),直線。石〃AB.求證:ZABC+ZCDE=ZBCD;
(2)如圖1),如果點C在N2與即之外,其他條件不變,那么會有什么結果?你還能就本題作出什么
新的猜想?
(a)
【變式2】(2023春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學??计谥校?)如圖(1)N8IICD猜想N8P0與48、
乙0的關系,說出理由.
(2)觀察圖(2),已知/8IICD,猜想圖中的NBPD與NB、乙D的關系,并說明理由.
(3)觀察圖(3)和(4),已知4BIICD,猜想圖中的乙BPD與乙8、乙0的關系,不需要說明理由.
【變式3](2023?全國?七年級假期作業(yè))已知,AE//BD,AA=ZD.
(1)如圖1,求證:AB//CD;
(2)如圖2,作/BAE的平分線交C£)于點/,點G為A8上一點,連接FG,若/"G的平分線交線段AG
于點連接AC,ZACE=ZBAC+ZBGM,過點H作HM_LFTf交FG的延長線于點M,且
3ZE-5ZAFH=18°,求NE4F+NGMH的度數(shù).
【經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】
【例4】(2023?全國?九年級專題練習)如圖所示,48||8/£=37。,4。=20。,則乙以2的度數(shù)為
Ar-------------------------B
CD
E
【變式訓練】
【變式11(2023春?湖北黃岡?七年級??计谥校┤鐖D,已知至///組,^2。=80。/。。£=140。,則乙BCD=
【變式2](2023春?江蘇鹽城?七年級景山中學??茧A段練習)如圖,若ABHCD,則N1+N3-N2的度數(shù)為
E
【變式3](2023春?全國?七年級專題練習)(1)如圖,ABUCD,CF平分乙DCE,若乙DC尸=30。,"=20。,
求乙4BE的度數(shù);
(2)如圖,ABHCD,乙EBF=2乙4BF,CF平分乙DCE,若N尸的2倍與NE的補角的和為190。,求乙48E的度
數(shù).
E
(3)如圖,尸為(2)中射線BE上一點,G是CD上任一點,PQ平分乙BPG,GNUPQ,GA/平分ADGP,
若48=30。,求NA/GN的度數(shù).
/【拓展培優(yōu)】
1.(2023下?上海?七年級期中)如圖,若AB〃EF,用含々、0、7的式子表示x,應為()
A.a+P+yB.P+y-aC.180。一0一/+尸D.18O°+oc+y+P
2.(2023下?浙江溫州?七年級校聯(lián)考期中)如圖,已知AB〃CD,點石,尸分別在A3,8上,點G,H
在兩條平行線A3,CD之間,/AEG與N77/G的平分線交于點若NEGH=84。,ZHFD=20°f則
的度數(shù)為().
A.64°B.54°C.42°D.32°
3.(2023下?浙江杭州?七年級校聯(lián)考階段練習)如圖所示,ABCD,^Z3=|3Z1,Z4=13Z2,下列各式:
@Z1+Z2=ZE@Z1+Z2+Z3+Z4=ZF③N3+N4+NF=360°④5NE+2N尸=720°
其中正確的是()
A.①②B.①③C.②③D.①④
4.(2023下?山東德州?七年級統(tǒng)考期中)如圖,AB//DE,則下列說法中一定正確的是()
B.Zl+Z2-Z3=180°
C.Zl+Z2+Z3=270°D.Zl-Z2+Z3=90°
5.(2023上?四川宜賓?七年級四川省宜賓市第二中學校??茧A段練習)如圖,已知:ABCD,CD//EF,
AE平分/BAC,A71CE,有下列結論:@AB//EF;(2)2Z1-Z4=90°;③2N3—N2=180。;(4)
N3+g/4=135。.結論正確的有()
A.1個B.2個C.3個D.4個
6.(2023下?湖北武漢?七年級武漢市卓刀泉中學??茧A段練習)如圖,直線。b,
180°-(Z3+Z2)=Z2-Zl=rf>0.其中/3>90。,4=50。,則N4的最大整數(shù)值是()
D.115°
7.(2023下?重慶北倍?七年級西南大學附中??计谥校┤鐖D,已知AB〃CD,ZBEH=/CFG,EI、FK分別
為ZAEH、NCFG的角平分線,F(xiàn)KLFJ,則下列說法正確的有()個.
①EH〃GF
②Z.CFK=NH
③FJ平分/GFD
④ZAEI+NGFK=90。
A.4B.3C.2D.1
8.(2021下?重慶九龍坡?七年級重慶市楊家坪中學??计谥校┤鐖D,AB〃CD,點£在8上,點G,F,
I在AB,8之間,且GE平分NCEF,BI平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52。,則NG的度數(shù)為().
A.112°B.114°C.116°D.118°
9.(2023上?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市第四十七中學??计谥校┮阎喝鐖D,AB//CD,NABG的平分
線與NCDE的平分線交于點ZM=45°,NR=64。,NE=66。,則/G=;
10.(2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學校校考期中)如圖,ABCD,BE平分NABF,
NDCF=NECF,已知ZF—NE=15。,貝I]ZABE+NDCF=度.
E
11.(2021下?湖北武漢?七年級??茧A段練習)如圖,已知AB〃CD,8E和。尸分別平分NA即和/CDE,
若2/E-N尸=51°,貝IJNCZ)E=
12.(2023下?湖南長沙?七年級統(tǒng)考期末)(1)如圖一,ABCD,NB=10。,/O=30。,則NOEB=
22
(2)如圖二,ABCD,ZABF=-ZABE,ZCDF=-ZCDE,DQ,8。分別平分/GDE和NHBE,
則ZDFB,/DQB滿足的數(shù)量關系為.
CD
圖一
13.(2022上?廣東廣州?八年級廣州市黃埔軍校紀念中學校考開學考試)如圖①所示,四邊形MVBD為一張
長方形紙片.如圖②所示,將長方形紙片剪兩刀,剪出三個角(/BAE、ZAEC.NECD),則
ZBAE+ZAEC+ZECD=(度);
N------------------F
MD
圖①
(1)如圖③所示,將長方形紙片剪三刀,剪出四個角(/BAE、ZAEF,NEF、/FCD),則
ZBAE+ZAEF+ZEFC+NFCD=(度);
(2)如圖④所示,將長方形紙片剪四刀,剪出五個角(NBAE、ZAEF,NEFG、/FGC、/GCD),
貝|J/BAE+/AEF+/EFG+ZFGC+/GCD=(度);
(3)根據(jù)前面的探索規(guī)律,將本題按照上述剪法剪”刀,剪出〃+1個角,那么這”+1個角的和是(度).
14.(2022下?山東德州?七年級統(tǒng)考期末)已知ABCD,AM平分NBAP,NPCM=2ZMCD,
2ZM—ZP=10°,貝NPCD=.
15.(2024上?陜西榆林?八年級??计谀┚C合與探究
某學習小組發(fā)現(xiàn)一個結論:己知直線a.b,若直線aPc,貝帖Pc.他們發(fā)現(xiàn)這個結論運用很廣、請你利
用這個結論解決以下問題.
已知直線ABC。,點E在A8,CD之間,點P,。分別在直線A8,CD±.,連接尸E,EQ.
⑴如圖1,作運用上述結論,探究4EQ與NAPE+NCQE的數(shù)量關系,并說明理由.
(2)如圖2,ZEPF=3NBPF,ZEQF=3ZDQF,求出N歹與/E之間的數(shù)量關系.
(3)如圖3,直接寫出Nl,Z2,NE,ZF,NG之間的數(shù)量關系:.
16.(2024上?陜西咸陽?八年級統(tǒng)考期末)閱讀理解:
兩條平行線間的拐點問題經(jīng)??梢酝ㄟ^作一條直線的平行線進行轉化.例如:如圖1,MN//PQ,點C、B
分別在直線MN、PQ上,點A在直線建V、尸。之間.
M------N
A\
PT-0
圖1圖2
(1)求證:NCAB=ZMCA+NPBA;
類比應用:
(2)如圖2,已知直線AB〃CD,P為平面內(nèi)一點,連接PA,PD.若NA=50。,ZD=150°,求NAPD的
度數(shù).
17.(2024下?江西九江?八年級??计谀?如圖1,直線AB〃CD,將一把直角三角尺的直角頂點尸放在兩
平行線之間,兩直角邊分別交AB,CD于點E,F.
圖1圖2
⑴請你判斷ZBEP與/£?儀之間的數(shù)量關系,并說明理由;
(2)如圖2,若N8E尸和NOFP的平分線相交于點G,求NG的度數(shù);
(3)如圖2,若NPEG:NBEP=NPFG:/DFP=1:n,請用含〃的式子表示NG.
18.(2024上?湖南衡陽?七年級校聯(lián)考期末)如圖,直線尸?!ǚ睳,一副直角三角板A5C,ZJE尸中,
ZACB=ZEDF=90°,ZABC=ZBT^C=45°,/DFE=30°,ZDEF=60°.
(1)若口?!晔慈鐖D1擺放,當£7)平分/PE尸時,]U!jZDFM=;
⑵若口ABC,DEF按如圖2擺放,則;
(3)若圖2中"C固定.將DE尸沿著AC方向平行移動,邊與直線PQ相交于點G,作NQGF和NGE4
的角平分線GH、9相交于點〃(如圖3),求NGE店的度數(shù).
(4)若圖2中固定,(如圖4)將ABC繞點/以每秒5。的速度順時針旋轉,旋轉時間為f秒,線段AC
與直線AN首次重合時停止旋轉,當線段BC與DEE的一條邊平行時,請求出旋轉時間/的值.
19.(2024上?陜西漢中?七年級統(tǒng)考期末)【問題情境】已知,Z1=Z2,EG平分/AEC交BD于點G.
【問題探究】(1)如圖1,ZMAE=45°,ZFEG=15°,4NCE=75。.試判斷E尸與CD的位置關系,并說
明理由;
【問題解決】(2)如圖2,ZAME=140°,NFEG=3O0,當AB〃CD時,求/NCE的度數(shù);
【問題拓展】(3)如圖2,若AB〃CD,試說明NNCE=/M4E—2/FEG.
20.(2023下?浙江?七年級專題練習)已知:直線a〃火點48在直線。上,點C,。在直線6上,
(1)連接AD,BC,BE平分NABC,OE平分ZADC,且BE,OE所在直線交于點E.
①如圖1,若NABC=60。,NADC=70。,則NBED的度數(shù)為二
②如圖2,設乙鉆C=a,AADC=P,則NBE。的度數(shù)為一(用含有a,£的式子表示).
(2)如圖3,EF斗令ZMEN,NP平分ZEND,EQ//NP,則/FEQ和的數(shù)量關系是
22
(3)如圖4,若NBAPngNBAC,ZDCP=-ZACD,且AE平分NBAP,CF平分/DCP,猜想/E+/F的
結果并且證明你的結論;
平行線中的四大基本模型重難點題型專訓
(4大題型+20道拓展培優(yōu))
囪【題型目錄】
題型一平行線基本模型之M模型
題型二平行線四大模型之鉛筆模型
題型三平行線四大模型之“雞翅”模型
題型四平行線四大模型之“骨折”模型
41經(jīng)典例題一平行基本模型之M模型】
【結論1]若AB〃CD,則NB0C=NB+NC
【結論2]若NB0C=NB+NC,則AB〃CD.
【結論3】如圖所示,AB/7EF,則NB+ND=NC+NE
朝向左邊的角的和=朝向右邊的角的和
1由
結論3的模型也稱為鋸齒模型;
鋸齒模型的變換解題思路
拆分成豬蹄模型和內(nèi)錯角拆分成2個豬蹄模型
【例1】(2023春?山東濟寧?七年級統(tǒng)考階段練習)如圖所示,如果AB||CD,則Na、zp,4之間的關系
為()
A.Za+zp+z.y=180°B.Za—zp+zy=180°
C.Za+Zp-Zy=180°D.Za—zp—Zy=180°
【答案】c
【分析】過E作EFIIAB,由平行線的質可得EFIICD,Za+zAEF=180°,zFED=Zy,由Np=NAEF+NFED即
可得Na、4|3、/丫之間的關系.
【詳解】解:過點E作EFHAB,
.?.Za+ZAEF=18O°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補),
???ABHCD,
???EFIICD,
.-.ZFED=ZEDC(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),
???z.p=z.AEF+z.FED,
又???Ny=NEDC,
.?.Za+zp-Zy=180°,
故選:C.
【點睛】本題主要考查了平行線的性質,正確作出輔助線是解答此題的關鍵.
產(chǎn)【變式訓練】
【變式1】(2023春?全國?七年級專題練習)如圖,直線a//b,一塊含60。角的直角三角板ABC(zA=60°)
按如圖所示放置.若41=43。,貝此2的度數(shù)為()
A.101°B.103°C.105°D.107°
【答案】B
【分析】如圖,首先證明NAMO=N2;然后運用對頂角的性質求出NANM=43。,借助三角形外角的性質求出
zAMO即可解決問題.
【詳解】解:如圖,???直線a||b,
;.NAMO=N2;
?-?zANM=zl,z.l=43°,
.■?ZANM=43°,
.?.zAMO=zA+zANM=60°+43o=103°,
.?.Z2=ZAMO=103°.
故選:B.
【點睛】該題主要考查了平行線的性質、對頂角的性質、三角形的外角性質等幾何知識點及其應用問題;
牢固掌握平行線的性質、對頂角的性質等幾何知識點是靈活運用、解題的基礎.
【變式2】(2023秋?遼寧鞍山?八年級統(tǒng)考期中)如圖,已知AB〃CD,8E平分NABC,DE平分,ADC,
ZBAD=S0°,ZBCD=n°,則的度數(shù)為.(用含"的式子表示)
B
40。+'°
【答案】2
【分析】首先過點E作所〃AB,由平行線的傳遞性得AB〃CD〃£F,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,
ZABE=-n°
得出/RD=/應="。,ZBAD=ZADC=S0°,由角平分線的定義得出2,ZEDC=40°,再
Z.BEF=Z.ABE=—if
由兩直線平行,內(nèi)錯角相等得出2/FED=NEDC=40°,由/BED=/BEP+/尸即即可
得出答案.
【詳解】解:如圖,過點E作所〃AB,則AB〃CD〃EF,
AB//CD,
.-.ZBCD=Z.ABC=n°,ZBAD=ZADC=S0°,
又?;BE平分/ABCtDE平分/ADC,
ZABE=-ZABC=-n°
,.?22,
ZEDC=-ZADC=-x80°=40°
22,
...AB//EF//CD,
ZBEF=ZABE=-n°
2,
/FED=NEDC=40°,
/BED=ZFED+ZBEF=40°+-n°
2,
40°+-n°
故答案為:2.
【點睛】本題考查平行線的性質,角平分線的定義,解題關鍵是作出正確的輔助線,掌握平行線的性質和
角平分線的定義.
【變式3】(2023春?山東聊城?七年級統(tǒng)考階段練習)已知直線/8〃CD,£尸是截線,點M在直線/8、CD
(1)如圖1,連接GM,HM.求證:乙M=,4GM+乙CHM;
(2)如圖2,在NG8C的角平分線上取兩點M、Q,使得乙4GN=N?GQ.試判斷W與NG0H■之間的數(shù)量關
系,并說明理由.
【答案】(1)證明見詳解
⑵/G"=18(r-NM;理由見詳解
【分析】(1)過點“作由AB〃CD,可知MV〃至〃CD.由此可知:ZAGM=NGMN,
ZCHM=4HMN,故ZAGM+ZCHM=Z.GMN+ZHMN^ZM.
(2)由(1)可知NAGM+ZCHM^ZM.再由ZCHM=Z.GHM,ZAGM=ZHGQ,可知
NM-HGQ+NGHM,利用三角形內(nèi)角和是]80。,可得NGQH=180。_/用.
(1)
E
解:如圖:過點反作MN〃AB,
,.,MN//AB//CD,
.ZAGM=ZGMN/CHM=/HMN、
...ZM=Z.GMN+AHMN,
...ZM=ZAGM+ZCHM.
(2)解:NGQH=180?!狽M,理由如下:
如圖:過點"作“N〃A3,
由(1)知NM=NAGM+NCHM,
...HM平分NGHC,
...ZCHM=ZGHM9
vzAGM=zHGQ,
?.,ZM=ZHGQ+ZGHM9
..ZHGQ+ZGHM+ZGQH=180°
?J
.ZGQH=180°-ZM
圖2
【點睛】本題考查了利用平行線的性質求角之間的數(shù)量關系,正確的作出輔助線是解決本題的關鍵,同時
這也是比較常見的幾何模型“豬蹄模型”的應用.
_。【經(jīng)典例題二平行基本模型之鉛筆模型】
【結論1】如圖所示,AB〃CD,貝l]NB+NB0C+NC=360°
【結論2】如圖所示,NB+NB0C+NC=360°,貝I]AB〃CD.
變異的鉛筆頭:拐點數(shù)n,NA+...+NC=180°X(n+1)
則/FEG的度數(shù)是()
C.140°D.150°
【答案】C
【分析】如圖所示,過點E作EKAB,過點打作HM//AB,根據(jù)平行線的性質,可求出ZKEG=ZEGD的
度數(shù),根據(jù)垂直的性質可求NFEK的度數(shù),由此即可求解.
【詳解】解:如圖所示,過點E作甌AB,過點a作
..ABCD
?,
:,AB//EK//HM//CDi
ZBFH=ZFHM,ZDGH=ZGHM,
...Z.FHM+ZGHM=ZFHG=50°,ZBFH=30。,
...ZGHM=ZDGH=50°-30°=20°,
NEGH=30。,
...ZEGD=ZEGH+ZDGH=300+20°=50°,
?:EK〃CD,
;.NKEG=NEGD=50。,
vEFLAB,
:,ZAFE=ZEFB=90°f
?;AB//EKf
...ZAFE+NFEK=180。,
...ZFEK=180?!猌AFE=180°-90°=90°,
...ZFEG=ZFEK+ZDEG=900+50°=140°,
故選:c.
【點睛】本題主要考查平行線的性質,垂直的性質,掌握以上知識是解題的關鍵.
■【變式訓練】
【變式1】(2020下?山東煙臺?七年級統(tǒng)考期中)如圖A4//C”,貝吐1+乙2+乙3+...+”=()
A.540°B.180°nC.180°(n-l)D.180°(n+l)
【答案】C
【分析】根據(jù)題意,作。團“A耳,EBJIAB^FBJ/AB',由兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,即可求出答案.
【詳解】解:根據(jù)題意,作DB?//AB、,EB/AB、,FB/AB\,
,.ABJ/CBn
.Nl+N耳氏。=180。ZZ)RR+ZBRE=180oZEB.B.+ZB.B.F=1SO°
?,,o,
,Z1+ZB1B2D+ZDB2B3+ZB2B3E+/EB3B4+NB3B4F=180°x3
,.?N1+N2+N3+L+ZH=180°X(H-1);
故選:c.
【點睛】本題考查了平行線的性質,解題的關鍵是正確作出輔助線,熟練運用兩直線平行同旁內(nèi)角互補進
行證明.
【變式2](2021下?七年級課時練習)如圖,已知AB//DE,ZB=150°,ZD=145°,則NC=—度.
【分析】過點C作CF||AB,根據(jù)平行公理得AB//c尸//ED,再依據(jù)平行線的性質求角即可.
【詳解】解:過點C作C「||A8,如圖:
AB//DE,
AB//CF//ED
,AB//CF,
...ZB+Z1=18O°,
=150°,
...Zl=30°,
...CFIIED,
...Z2+ZD=18O°,
.,.ZD=145°,
...Z2=35°,
.\ZBCD=Z1+Z2=65°
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質,解題關鍵是依據(jù)平行公理作輔助線,熟練運用平行線的性質解
決問題
【變式3](2023下?甘肅慶陽?七年級??计谥校?)問題發(fā)現(xiàn):如圖①,直線AB〃CE),E是AB與CD之
間的一點,連接BE,CE,可以發(fā)現(xiàn)NB+NC=NBEC.
請把下面的證明過程補充完整:
B
B
圖②圖③
證明:過點E作所〃
AB//CD(已知),EF//AB(已作),
.■.EF//CDQ).
:.NC=NCEFI
EF//AB,
NB=),
NCEF+NBEF=NBEC,
ZB+ZC=ZBEC(等量代換).
(2)拓展探究:如果點E運動到圖②所示的位置,其他條件不變,進一步探究發(fā)現(xiàn):ZB,/C,ZBEC
之間的關系是
(3)解決問題:如圖③,AB//DC,NC=12O。,NAEC=80。,請求出/A的度數(shù).
【答案】(1)平行于同一條直線的兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;々EF;兩直線平行,內(nèi)錯角相
等;(2)ZB+ZC+Z5EC=360°.(3)20°.
【分析】(1)過點E作跖〃根據(jù)平行線的性質進行選填即可;
(2)利用(1)中的方法和兩直線平行,同旁內(nèi)角互補可得到/3+/C+N3EC=360。;
⑶作所〃如圖③,利用平行線的性質得到“+NCEF=180。,NBAE=NAEF,則/CEF=60。,所
以/的=20°,從而得到/A的度數(shù).
【詳解】(1)證明:過點£作E尸〃四,如圖①,
圖①
--AB//CD(已知),EF//AB(輔助線的作法),
■■EF//CD(平行于同一條直線的兩直線平行),
:.NC=NCEF(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),
VEF//AB(作圖),
:./B=/BEF,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),
:.NB+NC=NCEF+NBEF(等量代換),
即NB+NC=NBEC.
故答案為:平行于同一條直線的兩直線平行;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;^BEF.兩直線平行,內(nèi)錯角相等.
(2)解:作即〃A8,如圖②,
圖②
<AB〃CD,
,\EF//CDf
/.ZC+ZC£F=180°,ZB+ZBEF=180°,
/.ZB+ZC+/BEC=360°.
故答案為:ZB+ZC+ZBEC=360°.
圖③
YAB〃DC,
二.EF1/CD,
:.NC+NCEF=180°,/BAE=ZAEF,
/.ZCEF=180°-120°=60°,
-心=*-ACEF=80。-60。=20。,
ZBAE=20°
【點睛】本題考查了平行線的判定與性質.熟練掌握性質和判定是做題的關鍵.
41經(jīng)典例題三平行基本模型之“雞翅”模型】
【例3】(2023秋?全國?八年級專題練習)①如圖1,AB//CD,則NA+/E+NC=360。;②如圖2,AB//
CD,貝=③如圖3,AB//CD,則NE=NA+/1;④如圖4,直線A8〃C£>//ER點O
在直線EF上,則Na-"+Ny=180。.以上結論正確的個數(shù)是()
圖4
圖1圖2圖3
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】B
【分析】①過點E作直線EF〃AB,由平行線的性質:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補,即可得出結論;
②如圖2,先根據(jù)三角形外角的性質得出N1=NC+NP,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等即可作出判斷;
③如圖3,過點E作直線EFIIAB,由平行線的性質可得出NA+NAEC-41=180。,即得乙^瓦:=180。+41-NA;
④如圖4,根據(jù)平行線的性質得出Na=NBOF,ZY+ZCOF=180°,再利用角的關系解答即可.
【詳解】解:
______B
V
圖1圖2
①如圖1,過點E作直線EFIIAB,
vABIICD,
.-.ABIICDHEF,
.-.zA+zl=180°,z2+zC=180°,
.-.zA+zB+zAEC=360°,
故①錯誤;
②如圖2,,?21是4CEP的外角,
.-.zl=zC+zP,
vABIICD,
???NA=Z1,
BPzP=zA-zC,
故②正確;
③如圖3,過點E作直線EF||AB,
?-?ABIICD,
.-?ABIICDHEF,
.,zA+N3=180°,N1=N2,
??.ZA+ZAEC-41=180°,
即NAEC=18O°+N1-NA,
故③錯誤;
④如圖4,???ABIIEF,
.,.za=z.BOF,
vCDIIEF,
.?.Zy+ZCOF=180°,
vzBOF=zCOF+zp,
??.zCOF=z.a-z.p,
.,.zy+za-40=180°,
故④正確;
綜上結論正確的個數(shù)為2,
故選:B.
【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質,熟練掌握平行線的性質,根據(jù)題意作出輔助線
是解答此題的關鍵.
聲【變式訓練】
【變式1](2023秋?八年級課時練習)(1)已知:如圖(a),直線。求證:ZABC+NCDE=NBCD;
(2)如圖(6),如果點C在與之外,其他條件不變,那么會有什么結果?你還能就本題作出什么
新的猜想?
BB
(a)
【答案】(1)見解析;(2)當點C在AB與ED之外時,ZABC-NCDE=NBCD,見解析
【分析】(1)由題意首先過點C作CFIIAB,由直線ABIIED,可得AB||CF||DE,然后由兩直線平行,內(nèi)錯
角相等,即可證得乙ABC+4CDE=4BCD;
(2)根據(jù)題意首先由兩直線平行,內(nèi)錯角相等,可得乙ABC=4BFD,然后根據(jù)三角形外角的性質即可證得
ZABC-ZCDE=Z.BCD.
【詳解】解:(1)證明:過點C作CFIIAB,
vABHED,
.-.ABIIEDHCF,
.*.ZBCF=ZABC,ZDCF=ZEDC,
.*.Z.ABC+ZCDE=ZBCD;
(2)結論:ZABC-ZCDE=ZBCD,
證明:如圖:
vABIIED,
/.ZABC=ZBFD,
在△DFC中,ZBFD=ZBCD+ZCDE,
???zABC=zBCD+zCDE,
???zABC-zCDE=zBCD.
若點C在直線AB與DE之間,猜想NABC+』BCD+ZCDE=360°,
vABHEDIICF,
,ZABC+NBCF=180°,ZCDE+NDCF=180°,
.ZABC+/BCD+ZCDE=ZABC+ZBCF+ZDCF+ZCDE=360
【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質,熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵,注
意掌握輔助線的作法.
【變式2](2023春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學??计谥校?)如圖(1)4B||CD,猜想NAP。與乙8、
的關系,說出理由.
(2)觀察圖(2),已知/8IICD,猜想圖中的N8P。與NB、乙0的關系,并說明理由.
(3)觀察圖(3)和(4),已知N8IICZ),猜想圖中的乙與N8、乙£)的關系,不需要說明理由.
【答案】(1)zB+zBPD+zD=360°,理由見解析;(2)zBPD=zB+zD,理由見解析;(3)NBPD=ND-NB或
ZBPD=ZB-ZD,理由見解析
【分析】(1)過點P作EFIIAB,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補即可求解;
(2)首先過點P作PEIIAB,由ABIICD,可得PE||AB||CD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等,即可得41=ZB,
N2=ND,貝阿求得4BPD=NB+ND.
(3)由ABIICD,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質,即可求得NBPD與NB、ND的關系.
【詳解】解:(1)如圖(1)過點P作EFIIAB,
AB
.-.zB+zBPE=180°,
vABIICD,EFHAB,
.-.EFIICD,
.-.ZEPD+ZD=18O°,
/.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=36O°,
zB+zBPD+zD=360°.
(2)zBPD=zB+zD.
理由:如圖2,過點P作PE||AB,
AB
(2)
vABIICD,
.-.PEHABHCD,
.,?z.l=z.B,z2=z.D,
zBPD=z1+z2=zB+zD.
理由:???AB||CD,
.,?z.l=zD,
vzl=zB+zBPD,
.,.zD=zB+zBPD,
即NBPD=ND-NB;
如圖(4),zBPD=zB-zD.
(4)
理由:TAB||CD,
.,.zl=zB,
?■?zl=zD+zBPD,
.?.ZB=ZD+ZBPD,
BPzBPD=zB-zD.
【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質.此題難度不大,解題的關鍵是注意掌握平行線的
性質,注意輔助線的作法.
【變式3](2023?全國?七年級假期作業(yè))已知,AE//BD,ZA=ZD.
(1)如圖1,求證:AB//CD-,
(2)如圖2,作N2AE的平分線交。于點F,點G為A8上一點,連接FG,若NCRG的平分線交線段AG
于點“,連接AC,若ZACE=NBAC+NBGM,過點H作碗,切交FG的延長線于點加,且
3ZE-5ZAFH^18°,求NEAF+NGMW的度數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)72。
【分析】(1)根據(jù)平行線的性質得出NA+/B=180。,再根據(jù)等量代換可得/3+/。=180。,最后根據(jù)平行線
的判定即可得證;
(2)過點E作砂“CD,延長DC至Q,過點M性MNHAB,根據(jù)平行線的性質及等量代換可得出
NECQ=NBGM=ZDFG再根據(jù)平角的含義得出NECF=ZCFG,然后根據(jù)平行線的性質及角平分線的定
義可推出ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB.設ZFAB=a,Z.CFH=£,根據(jù)角的和差可得出ZAEC=2ZAFH,
結合已知條件3//庇-5/47陽=180??汕蟮?4尸〃=18。,最后根據(jù)垂線的含義及平行線的性質,即可得出
答案.
【詳解】(1)證明:?.?AE//3D
/.ZA+ZB=180°
ZA=ZD
.?.ZB+ZD=180°
:.AB//CD.
(2)過點E作石尸”CD,延長DC至Q,過點M作
■:AB//CD
ZQCA=ZCAB/BGM=NDFG,NCFH=/BHF,ZCFA=FAG
VZACE=ZBAC+/BGM
/.NECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM
ZECQ=ZBGM=ZDFG
???ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°
.\ZECF=ZCFG
AB//CD
:.AB//EP
/PEA=NEAB,ZPEC=ZECF
VZAEC=ZPEC-ZPEA
ZAEC=Z.ECF-/EAB
,ZECF=ZAEC+NEAB
AF平分
ZEAF=/FAB=-ZEAB
2
FH平分NCbG
,ZCFH=ZHFG=-/CFG
2
QCD//AB
ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB
^ZFAB=a,ZCFH=/3
ZAFH=NCFH—NCFA=NCFH—NFAB
:.ZAFH=/3-aZBHF=ZCFH=13
ZECF+2ZAFH=ZAEC+/EAB+2ZAFH=ZAEC+2/3
ZECF+2ZAFH=N£+2ZBHF
,\ZAEC=2ZAFH
?/3ZAEC-5ZAFH=180°
:.ZAFH=18°
,FH_LHM
:.ZFHM=90°
/GHM=90。—。
VZCFM+ZNMF=180°
/.ZHMB=AHMN=90°-/3
ZEAF=ZFAB
ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=/7-18°
ZEAF+ZGMH=/7—18。+90。一£二72。
.?.NEAF+NGMH=72。
【點睛】本題考查了平行線的判定及性質,角平分線的定義,能靈活根據(jù)平行線的性質和判定進行推理是
解此題的關鍵.
,41經(jīng)典例題四平行基本模型之“骨折”模型】
【例4】(2023?全國?九年級專題練習)如圖所示,/和。。/£=37。,乙。=20。,則乙以5的度數(shù)為
【答案】57°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和180。以及平行線的性質:1、如果兩直線平行,那么它們的同位角相等;2、如
果兩直線平行,那么它們的同旁內(nèi)角互補;3、如果兩直線平行,那么它們的內(nèi)錯角相等,據(jù)此計算即可.
.?2E=37。,4C=20°,
.-.zCFE=180o-37°-20o=123°,
.-.ZAFD=123°,
vABHCD,
.-.ZAFD+ZEAB=18O°,
.-.ZEAB=18O°-123°=57°,
故答案為:57。.
【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質,熟知平行的性質是解題的關鍵.
■【變式訓練】
【變式1](2023春?湖北黃岡?七年級??计谥校┤鐖D,已知乙42c=80。,4。?!?140。,則乙BCD=
【答案】40。
【分析】延長交BC于M,根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等證明ZBMD=NABC,再求解N。血,再利用
三角形的外角的性質可得答案.
【詳解】解:延長E。交BC于M,
...AB//DE,
.?.ZBMD=ZABC=8O°,
ZCMD=180。一ZBMD=100。:
又?2CDE=NCMD+NC,
...ZBCD=/CDE—NCMD=140°-100°=40°
故答案是:40°
【點睛】本題考查了平行線的性質.三角形的外角的性質,鄰補角的定義,掌握以上知識是解題的關鍵.
【變式2](2023春?江蘇鹽城?七年級景山中學??茧A段練習)如圖,若AB/ICD,則N1+/3-N2的度數(shù)為
E
【答案】180°
【分析】延長EA交CD于點F,貝IJ有N2+NEFC=N3,然后根據(jù)相〃8可得N1NEFD,最后根據(jù)領補角及
等量代換可求解.
【詳解】解:延長EA交CD于點F,如圖所示:
ABHCD,
?.zl=zEFD,
z2+zEFC=z3,
Z£TC=Z3-Z2,
ZEFC+ZEFD=180。,
N1+N3—N2=180°:
故答案為180°.
【點睛】本題主要考查三角形外角的性質及平行線的性質,熟練掌握三角形外角的性質及平行線的性質是
解題的關鍵.
【變式3](2023春?全國?七年級專題練習)(1)如圖,ABUCD,CF平分4DCE,若乙DCF=30。,"=20。,
求乙43E的度數(shù);
(2)如圖,ABUCD,AEBF=2乙ABF,CF平分乙DCE,若乙F的2倍與乙£的補角的和為190。,求乙4AB的度
數(shù).
(3)如圖,尸為(2)中射線3E上一點,G是CD上任一點,PQ平■分乙BPG,GN//PQ,GM平分乙DGP,
若乙8=30。,求NMGN的度數(shù).
D
4B
M
【答案】(1)ZABE=4O°;(2)ZABE=3O°;(3)zMGN=15°.
【分析】(1)過E作EM〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質和角平分線的定義解答即可;
(2)過E作EM〃AB,過F作FN〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質,角平分線的定義以及解一元一次方程
解答即可;
(3)過P作PL〃AB,根據(jù)平行線的判定與性質,三角形的內(nèi)角和定理,三角形的一個外角等于與它不相
鄰的兩個內(nèi)角的和的性質,角平分線的定義解答即可.
【詳解】解:(1)過E作EM〃AB,
圖1
???AB〃CD,
???CD〃EM〃AB,
.-.ZABE=ZBEM,zDC
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