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文檔簡介

專題02圖形的初步(2)

廠考點類型

模塊四圖形的性質(zhì)

02講圖形的初步(2)

考點15:平行線的性質(zhì)

WV知識一遍過

(-)角的相關概念

(1)角的概念:由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)

而形成的圖。

(2)角的分類:

Za銳角直角鈍角平角周角

范圍0<Za<90°Za=90°90°<Za<180°Za=180°Za=360°

(3)角的表示法(四種):

①角可以用三個大寫字母表示,但表示頂點的字母一定要寫在中間,如/ABC(B為頂點)

②用一個字母表示角,必須是以這個字母為頂點的角,而且只有一個,如/A

③用一個數(shù)字表示角,在靠近頂點處畫上弧線,寫上數(shù)字,如/I

④用一個希臘字母表示,在靠近頂點處畫上弧線,寫上希臘字母,如/a

(二)角平分線及其性質(zhì)

角平分線:從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成相等的兩個角的射線,叫做這個角的平分線。

如圖:AC是/BCD的角平分線,則

:AC平分/BCD

1

ZACD=ZACB=-ZACD

2

(三)角度制

(1)時針和分針所成的角度:鐘表一周為360。,每一個大格為30°,每一個小格為6。.(每小時,時針

轉(zhuǎn)過30°,即一個大格,分針轉(zhuǎn)過360。,即一周;每分鐘,分針轉(zhuǎn)過6。即一個小格)

(2)角的度量:I,=60';1'=60";

1直角=90°;1平角=180°;1周角=360°

(四)相交線所形成的角

兩條直線相交所成的四個角中:h

(1)相鄰的兩個角叫做鄰補角,特點是兩個角共用一條邊,另一條邊互為反向延長'、

線,性質(zhì)是鄰補角互補;M

①鄰補角:兩個角有一條公共邊,它們的另一條邊互為反向延長線。具有這種關系的

兩個角,互為鄰補角。如:/1、Z2o

(2)相對的兩個角叫做對頂角,特點是它們的兩條邊互為反向延長線。性質(zhì)是對頂角相等。

②對頂角:兩個角有一個公共頂點,并且一個角的兩條邊,分別是另一個角的兩條邊的反向延長線,具有

這種關系的兩個角,互為對頂角。如:N1、Z30對頂角相等。

(五)垂線及其性質(zhì)

(1)垂直:如果兩條直線相交成直角,那么這兩條直線互相垂直;交點叫垂足;垂直是特殊的相交。

(2)垂線特點:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

(3)點到直線的距離:直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫點到直線的距離。連接直線外一點與

直線上各點的所有線段中,垂線段最短。

(六)三線八角

(1)同位角:形如“F”型;在兩條直線的上方,又在直線EF的同側(cè),具有這種位置關系的兩個角叫同位

角。如:N1和N5。

(2)內(nèi)錯角:形如“Z”型;在兩條直線之間,又在直線EF的兩側(cè),具有這種位置關系的兩個角叫內(nèi)錯角。

如:N3和N5。

(3)同旁內(nèi)角:形如“U”型;在兩條直線之間,又在直線EF的同側(cè),具有這種位置關系的兩個角叫同旁

內(nèi)角。如:N3和N6]

(七)平行公理及其推論

(1)平行公理(唯一性):經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行。

(2)平行公理的推論(傳遞性):如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行

幾何描述:,:b〃a,c//a

:.b//c

____________b

(八)平行線的判定與性質(zhì)

(1)平行線的判定

判定方法1:兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行

簡稱:同位角相等,兩直線平行

判定方法2:兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯角相等,那么這兩條直線平行

簡稱:內(nèi)錯角相等,兩直線平行

判定方法3:兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補,那么這兩條直線平行

簡稱:同旁內(nèi)角互補,兩直線平行

幾何符號語言:

*/Z3=Z2

AB/7CD(同位角相等,兩直線平行)

Z1=Z2

AB〃CD(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)

Z4+Z2=180°

/.AB/7CD(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行)

(2)平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1:兩直線平行,同位角相等;

性質(zhì)2:兩直線平行,內(nèi)錯角相等;

性質(zhì)3:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補

幾何符號語言:

;AB〃CD

.?.Z1=Z2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)

VAB/7CD

/.Z3=Z2(兩直線平行,同位角相等)

VAB/7CD

;./4+/2=180。(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)

*

一考點一遍過

考點1:角的概念

典例1:(2023上?黑龍江佳木斯?七年級??计谀┫铝懈鲌D中有關角的表示正確的個數(shù)有()

CC

—一一上

ABAOBABAB

ZABC為。是平角射線48是周角NCAB

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)角的表示方法,平角、射線、周角的定義分析判斷即可.

【詳解】解:圖1中,角的頂點為2,應表示為

圖2表示正確;

圖3,射線和周角是兩個概念,射線不能表示周角;

圖4表示正確.

所以表示正確的個數(shù)為

故選:B.

【點睛】本題主要考查了角的表示方法、平角、射線、周角等知識,理解并掌握相關知識是解題關鍵.

【變式1](2023上,北京房山,七年級統(tǒng)考期末)下列四個圖中,能用N1、乙0、NMON二種方法表示同一個

角的是()

【答案】C

【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形選出即可.

【詳解】A、圖中的13MoN不能用回。表示,故本選項錯誤;

B、圖中的加和團O不是表示同一個角,故本選項錯誤;

C、圖中的41、4。、/M0N表示同一個角,故本選項正確;

D、圖中團1、0MON,回。不表示同一個角,故本選項錯誤;

故選:C.

【點睛】本題考查了角的表示方法的應用,主要考查學生的理解能力和觀察圖形的能力.

【變式2](2023下?六年級課時練習)若N&為鈍角,為銳角,則乙4—NB是()

A.鈍角B.銳角

C.直角D.都有可能

【答案】D

【分析】根據(jù)題意找到范圍值鈍角是大于90。小于180。的角,銳角是大于0。小于90。的角,然后找到對應的

差的范圍值為大于0°小于180°,然后對照選項即可.

【詳解】解:因為乙4為鈍角,NB為銳角,

所以90。<Z.A<180°,0°<ZB<90°,

所以0°<N4-NB<180°,

所以銳角,直角,鈍角均有可能.

故選D.

【點睛】考查范圍的求解,學生必須熟悉銳角、直角、鈍角的范圍,并能夠求差所對應的范圍值,此為解

題的關鍵.

【變式3](2023上,江蘇揚州,七年級統(tǒng)考期末)下列四個圖中的N1也可以用〃。B/O表示的是()

【分析】根據(jù)角的表示方法:角可以用一個大寫字母表示,也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要

寫在中間,唯有在頂點處只有一個角的情況,才可用頂點處的一個字母來記這個角,否則分不清這個字母

究竟表示哪個角.角還可以用一個希臘字母(如團a,附,可、...)表示,或用阿拉伯數(shù)字(01,02...)表示

進行分析即可.

【詳解】A項,N1可以用N40B表示,但NO沒有辦法表示任何角,故該選項不符合題意;

B項,N1可以用N40B表示,4。也可以表示故該選項符合題意;

C項,N1不能表示N。,故該選項不符合題意;

D項,N1可以用Z40C表示,但N。沒有辦法表示任何角,故該選項不符合題意.

故選:B.

【點睛】考查了角的概念,關鍵是掌握角的表示方法.

考點2:鐘面角

典例2:(2023下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中)已知本學期某學校下午上課的時間為14時20分,則此時刻

鐘表上的時針與分針的夾角為()度.

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】分別計算時針、分針旋轉(zhuǎn)的角度,再根據(jù)角的和差關系計算即可.

【詳解】解:14時20分時,時針指向2和3之間,分針指向4,

2+空

時針從12時到14時20分旋轉(zhuǎn)的角為:常X360°=70°,

分針從14時到14時20分旋轉(zhuǎn)的角為:*X360°=120°,

因此時針與分針的夾角為120。-70°=50°,

故選B.

【點睛】本題考查鐘面角,解題的關鍵是求出時針、分針旋轉(zhuǎn)的角度.

【變式1](2022上?江蘇淮安?七年級??计谀┫铝袝r刻中,時針和分針所成的角為90。的是()

A.11點20分B.3點C.10點10分D.9點30分

【答案】B

【分析】鐘表里,時鐘的時針與分針互相垂直的時刻有若干個,本題需要根據(jù)所給時間,逐一判斷即可.

【詳解】11點20分分針與時針夾角為3CTX4+20。=140。,時鐘的時針與分針互相垂直,即時針與分針的

夾角是90。,三點,時針指向3,分針指向12,鐘表12個數(shù)字,每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30。,因此三

點整分針與時針的夾角為90。,10點10分時針與分針的夾角為30。X4-5。=115。,9點30分時針與分針夾

角為30。義3+15。=105°.

故選B.

【點睛】本題考查了鐘面角,把時針與分針所成的角分成所夾的大格子的度數(shù)和小格子的度數(shù)兩部分進行

求解是解題的關鍵.

【變式2](2023上?天津東麗?七年級統(tǒng)考期末)鐘面上,下列時刻分針與時針構成的角是直角的是()

A.3點整B.12點15分C.6點45分D.1點20分

【答案】A

【分析】根據(jù)鐘面平均分成12份,可得每份是30。,根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù),可得答

案.

【詳解】解:A、30°X3=90°,故A符合題意;

B、30。X(3-粉=82.5°,故B不符合題意;

C、30°x(9-6-i|)=67.5°,故C不符合題意;

D、30°X1)=80°,故D不符合題意;

【點睛】本題考查了鐘面角,時針與分針相距的份數(shù)乘以乘以每份的度數(shù)是解題關鍵,屬于中考??碱}型.

【變式3](2022上?重慶?七年級重慶一中??茧A段練習)圖①鐘面的角與圖②鐘面的角分別是()度

A.20;15B.30;25C.30;22.5D.22.5;15

【答案】C

【分析】根據(jù)鐘面,每小時一個大格,每個度數(shù)為*=30。,即可得出圖①鐘面的角的度數(shù),從而列式求

解即可得到答案.根據(jù)鐘面,2:00的時針與2:15時針之間間隔度數(shù)為30°X及=7,5。,即可得出2:15時的時

60

針與分針之間間隔度數(shù).

【詳解】解:圖①鐘面的角的度數(shù)為:等=30。;

???2:00的時針與2:15時針之間間隔度數(shù)為30。x¥=7.5°,

60

02:15時的時針與分針之間間隔度數(shù)為30。-7.5°=22.5°,

回圖②鐘面的角的度數(shù)為:22.5。.

故選:C.

【點睛】本題考查鐘面角的應用,掌握鐘面每一個大格的角度是解決問題的關鍵.

考點3:方向角

典例3:(2024上?北京海淀?七年級統(tǒng)考期末)如圖,在正方形網(wǎng)格中有4,B兩點,點C在點4的南偏東60。方

向上,且點C在點B的東北方向上,則點C可能的位置是圖中的()

A.點G處B.點心處C.點C3處D.點處

【答案】B

【分析】本題考查的是方位角的判定,理解方位角的含義是解本題的關鍵;先畫出圖形,結(jié)合網(wǎng)格特點可

得:G,C2,C3在B的東北方向,C1在4的南偏東45。的方向,再畫等邊三角形從而可得答案.

【詳解】解:如圖,

?

由網(wǎng)格特點可得:Ci,C2,C3在8的東北方向,

C1在4的南偏東45。的方向,

在網(wǎng)格中畫等邊三角形AH=AI=HI=2,連接2/并延長,

0ZHX7=60°,

回點C可能的位置是圖中的。2,

故選B

【變式1](2023下?河北邢臺?七年級??计谥?利用平面直角坐標系畫出的某景區(qū)示意圖如圖所示(圖中

每個小正方形邊長代表100m,每個小正方形的對角線長為100/m),規(guī)定正東、正北方向為x軸、y軸的

正方向,并且景點D和景點B的坐標分別是(-200,-100)和(300,300).嘉嘉、淇淇分別對景點C的位置進行

了描述,則下列判斷正確的是()

嘉嘉:景點C的坐標是(0,0);

淇淇:景點C在景點B的南偏東45。方向,相距300&m處

A.只有嘉嘉說得對B.只有淇淇說得對

C.兩人說得都對D.兩人說得都不對

【答案】A

【分析】根據(jù)景點。和景點B的坐標確定平面直角坐標系的原點,即可判定嘉嘉的說法;根據(jù)方位角的知識

判定淇淇的說法.

【詳解】解:根據(jù)景點。和景點B的坐標分別是(-200,-100)和(300,300),可知平面直角坐標系的原點在景

點C處,故嘉嘉的說法正確;

根據(jù)所規(guī)定的正東、正北方向,可知景點C在景點8的南偏西45。方向,相距300Vlm處,故淇淇的說法不對.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系和方位角的知識,理解并掌握相關知識是解題關鍵.

【變式2](2023上?江蘇?八年級專題練習)如圖,從筆直的公路/旁一點P出發(fā),向西走6km到達/;從尸

出發(fā)向北走6km也到達/.下列說法錯誤的是()

A

一—?東

A.公路/走向是南偏西45°

B.公路/走向是北偏東45。

C.從點戶向北走3km后,再向西走3km到達/

D.從點P向北偏西45。走3km到達/

【答案】D

【分析】先作出圖形,根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解:如圖所示,過尸點作的垂線PC,

J東

由題意可得△是腰長6km的等腰直角三角形,

貝U4B=6V^km,NP4B=NPB4=45°,

EIP力=PB,PC1AB,

0PC=|人8=3V2km,

則從點P向北偏西45。走3/km到達I,選項D錯誤;

則公路/的走向是南偏西45?;虮逼珫|45。,選項A,B正確;

則從點P向北走3km后到達BP中點D,此時CD為AP4B的中位線,故CD=|PA=3km,故再向西走3km到

達/,選項C正確.

故選:D.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用,關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型,畫出準確的示意圖.領

會數(shù)形結(jié)合的思想的應用.

【變式3](2023上?河北石家莊?九年級??计谥校τ陬}目團”如圖所示,一艘漁船以30海里/時的速度由西

向東航行在4處看見小島C在船北偏東60。的方向上.40min后,漁船行駛到B處,此時小島C在船北偏東30。的

方向上.己知以小島C為中心,10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū),如果這艘漁船繼續(xù)向東航行,有

沒有進入危險區(qū)的可能?"小明同學在求解這個題過程中,求出了下面4個數(shù)據(jù),錯誤的是()

A.AB=20海里

B.乙ACB=30°

C.BC=20海里

D.過點C向2B的延長線引垂線,垂足為。,求得CD=8舊,小明得出結(jié)論有觸礁危險

【答案】D

【分析】本題主要考查方位角與直角三角形的綜合,先根據(jù)題意可得NC4B=30。,NCBE=30。,AB=20

海里,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和30。角所對直角邊是斜邊的一半逐項判斷即可,掌握方位角的角度知識,直

角三角形30。角所對直角邊是斜邊的一半和勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】由題意得:^CAB=30°,ACBE=30°,AB=30X—=20,

0ZXBC=120°,

0ZC4B+乙ACB+AABC=180°,

0ZCX5=乙4c8=30°,

EL4B=BC=20(海里),則選項A、B、C正確,

0BFIICO,CDLAD,

EINCBE=乙BCD=30°,4BDC=90°,

0BZ)=ifiC=10(海里)

在Rt△BCD中,由勾股定理得:CD=y/BC2-BD2=V202-102=1073>10,

回沒有有觸礁危險,故D選項判斷錯誤,符合題意,

故選:D.

考點4:角的單位與角度制

典例4:(2024上?廣東揭陽?七年級統(tǒng)考期末)如圖,一副三角板(直角頂點重合)擺放在桌面上,若N40D=

143.67°,貝UNBOC等于()

A.36°19'48"B.36°18'108"

C.36°30'33"D.36°30'3"

【答案】A

【分析】本題考查了角的計算的理解和度與度分秒的換算,NBOC的度數(shù)正好是兩直角相加減去Z40D的度

數(shù),從而問題可解,解題的關鍵是通過觀察圖示,發(fā)現(xiàn)幾個角之間的關系和掌握度與度分秒的換算.

【詳解】解:由44OC+乙BOC=90°,/.BOD+乙BOC=90°,

貝此20C+乙BOC+4BOD+乙BOC=180°,

又由=/.AOC+乙BOC+Z.BOD,

故N4。。+Z.BOC=180°,

所以NBOC=36.33°=36°19'48",

故選:A.

【變式1](2023上?山西運城?七年級統(tǒng)考期末)如圖,將一個三角板60。角的頂點與另一個三角板的直角頂

點重合,Z1=26°50,,貝此2的度數(shù)是()

A.56°50'B.33°10,C.26°50'D.63°10,

【答案】A

【分析】利用60。-41求出NE4c的度數(shù),再用90。-4瓦4。求出乙2的度數(shù).

【詳解】解:由圖可知:/-EAC=Z.BAC-Z1=60°-26°50,=33°10,,

0Z2=90°-/_EAC=56°50';

故選A.

【點睛】本題考查三角板中角的計算.根據(jù)圖形,理清角的和差關系,是解題的關鍵.

【變式2】(2023上?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末)如圖,OC是NAOB的平分線,ZAOC=26°18',則4AOB的

A.42°32'B.52°36'C.48°24'D.50°38'

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線定義得出回A0B=2國AOC,代入求出即可.

【詳解】解:I3OC是回AOB的平分線,0AOC=26°18,,

fflAOB=20AOC=26°18,x2=52°36,,

故選:B.

【點睛】本題考查了角平分線定義,根據(jù)定義得出回A0B=2回AOC是解題的關鍵.

【變式3](2023上?內(nèi)蒙古烏海?七年級統(tǒng)考期末)已知13a=21。郵=0.36。,則13a和即的大小關系是()

A.0a=0PB.0a>BPC.Ela<邨D.無法確定

【答案】C

【分析】一度等于60。知道分與度之間的轉(zhuǎn)化,統(tǒng)一單位后比較大小即可求解.

【詳解】解:EHa=21',郵=0,36°=21.6',

團團a<0p.

故選:C.

【點睛】考查了度分秒的換算,熟練掌握角的比較與運算,能夠在度與分之間進行轉(zhuǎn)化.

考點5:角的大小比較

典例5:(2022上?山東棗莊?七年級??计谀?已知戊=36。18',p=36.18°,y=36.3。,下面結(jié)論正確的是

()

A.a<y<^B.y>a=pC.a=y>pD.y<a<^

【答案】C

【分析】將a=36。18'轉(zhuǎn)化為36.3。,即可得出答案.

【詳解】由a=36。18'=36°+(18+60)。=36°+0.3°=36.3°,

又因為/?=36.18°,Y=36.3°,

所以a-y>p.

故選:C.

【點睛】此題考查了角的大小的比較,掌握角的度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化是解題的關鍵.

【變式1](2022下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中)若N1=25。15,,N2=25°13'30",43=25.35。,則()

A.z3>zl>z2B.z2>zl>z3C.zl>z3>z2D.zl>z2>z3

【答案】A

【分析】首先回1、團2已經(jīng)是度、分、秒的形式,故將電化為度、分、秒的形式;再根據(jù)三個角的度數(shù)進行

大小比較,即可得到結(jié)論.

【詳解】EIN1=25°15',42=25°13'30”,43=25.35°=25°21',

0Z3>zl>Z2.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角的大小比較,熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運用是解決本題的關

鍵.

【變式2](2023上?七年級課時練習)已知回A=25.12°,0B=25°12Z,%=1518',那么的大小關系為()

A.0A>0B>fflCB.0A<0B<fflCC.0B>0A>0CD.0C>0A>0B

【答案】B

【分析】根據(jù)小單位化成大單位除以進率,可得答案.

【詳解】解:她=25.12°,配=25°12'=25.2°,班=1518'=25.3°,

0A<0B<0C,

故選B.

【點睛】本題考查了度分秒的換算,利用不過小單位化大單位除以進率是解題關鍵.

【變式3](2023上?北京通州?七年級統(tǒng)考期末)已知乙4=20。50',乙B=20.5°,乙C=19°58,那么()

A.Z.A>Z-B>ZCB./-A=Z.B>ZC

C.NC>NA=NBD.zB>>zC

【答案】A

【分析】根據(jù)度分秒之間的換算,先把陰的度數(shù)化成度、分、秒的形式,再根據(jù)角的大小比較的法則進行

比較,即可得出答案.

【詳解】EHB=20.5°=20°30',

0ZX>NB>ZC,

故選A.

【點睛】此題考查了角的大小比較,先把配的度數(shù)化成度、分、秒的形式,再進行比較是本題的關鍵.

考點6:角度制運算

典例6:(2023上?七年級課時練習)下列關于度、分、秒的換算正確的是()

A.83.3°=83°30'B.26°12'15”=26.3°C.15°18'18〃=15'36°D.41.15°=41°9,

【答案】D

【分析】根據(jù)1°=60,,1'=60"進行計算即可.

【詳解】解:A、83.3。=83。18',故A錯誤;

B、26。12'15”=37.2。,故B錯誤;

C、15。18'18”=15.31。,故C錯誤;

D、41.15。=41。9',故D正確;

故選:D.

【點睛】本題考查了度分秒的換算,掌握1。=60,,1=60"是解題的關鍵.

【變式1](2023上?山東棗莊?七年級校聯(lián)考階段練習)下列各式計算正確的是()

-1

A.(-)。=118"B.38。15,=38.15。

C.24.8°x2=49.6°D.90°—85°45'=4°55'

【答案】C

【分析】根據(jù)1。=60,,1=60",結(jié)合各選項進行判斷即可.

【詳解】解:A、。。=301故本選項錯誤;

B、38*15'=38.25°,故本選項錯誤;

C、24.8。、2=49.6。,計算正確,故本選項正確;

D、90°-85°45'=4°15',故本選項錯誤;

故選:C.

【點睛】本題考查了度分秒的換算,解答本題的關鍵是掌握1。=60,,1,=60".

【變式2](2023上?四川眉山?七年級統(tǒng)考期末)下面等式成立的是()

A.83.5°=83°50,B.90--57°23'27"=32°37’33"

C.15°48'36〃+37°27’59"=52°16’35"D.41.25°=41°15'

【答案】D

【分析】根據(jù)角度的運算法則,以及角的換算,即可得到答案.

【詳解】解:A、83.5。=83。30',故A錯誤;

B、90°-57°23'27"=32°36'33",故B錯誤;

C、15。4&36〃+37。27’59”=53。16’35”,故C錯誤;

D、41.25°=41°15z故D正確;

故選:D.

【點睛】本題考查了角度的加減運算,以及角的單位換算,解題的關鍵是掌握角度的運算法則和角度的60

進位制.

【變式3](2023下?山東東營?六年級校考階段練習)下列各式中,正確的是()

A.35.5°=35°50'B.15°12'36"=15.48°

C.28°18'18”=28.33°D.65.25°=65°15'

【答案】D

【分析】按照角的度量單位進行轉(zhuǎn)化即可判斷.

【詳解】解:A.35.5。=35。30',不符合題意;

B.15。12'36"=15.21°,不符合題意;

C.28。18'18"=28.305°,不符合題意;

D.65.25°=65°15',符合題意;

故選:D.

【點睛】本題考查了角的單位轉(zhuǎn)化,解題關鍵是明確1。=6(r,r=60w.

考點7:角平分線計算

典例7:(2023上?全國?七年級專題練習)如圖,直線AB、CD相交于點0,射線OE在"08內(nèi)部,且NDOE=

(1)若NCOF=54°,求N80E的度數(shù);

(2)若NCOF=ADOE,那么。B平分NDOF嗎?為什么?

【答案】⑴18。

(2)平分,理由見解析

【分析】本題主要考查了垂線,角平分線的有關計算;

(1)根據(jù)直角的性質(zhì),可得NEOF=90。,根據(jù)補角的定義得NDOE=180-NEOF-NCOF,再由NDOE=

2乙BOE,即可求解;

(2)根據(jù)=4DOE,乙COF+乙DOE=90°,可得N。。尸=4DOE=45°,再由NDOE=24BOE,可得

乙BOE=22.5°,從而得到NDOB=67.5°,乙BOF=90°-22.5°=67.5°,即可求解.

【詳解】([)解:OF10E,

???乙EOF=90°,

???乙COF=54°,

.-.4DOE=180°-乙EOF-^COF=180°-90°-54°=36°,

乙DOE=2(BOE,

EINBOE=戛DOE=工x36。=18°,

22

??"OE的度數(shù)為18。;

(2)平分,理由如下:

???Z.COF=乙DOE,乙COF+Z.DOE=90°,

??.Z.COF=乙DOE=45°,

乙DOE=2Z.BOE,

???Z-BOE=22.5°,

???乙DOB=(DOE+乙BOE=67.5°,

???乙BOF=乙EOF-Z.BOE=90°-22.5°=67.5°,

???乙DOB=Z-BOF,

???OB平分乙DOF.

【變式1](2024上?重慶沙坪壩?七年級重慶一中??计谀?如圖,乙4OB為鈍角,射線。。平分乙4。8,射線

(1)若NCOD=10°,4AOB=140°.求NCOE的度數(shù).

(2儲寫出乙4。。與“OE度數(shù)之間的等量關系,并說明理由.

【答案】⑴30。

(2)乙4。。=2/.COE

【分析】本題考查的是角的計算、角平分線的定義,從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成相等的兩個角的

射線叫做這個角的平分線.

(1)根據(jù)角平分線的定義求出乙BOC,同理求出4。。瓦利用NCOE=4DOE—NC。。計算得至IJ答案;

(2)根據(jù)角平分線的定義求出N40B=2ZXOC=2(zCOD+N力。D),乙BOD=2乙DOE=2(zCOE+乙COD),

根據(jù)-/.BOD=NA。。計算即可得至!J結(jié)論.

【詳解】(1)解:OC平分/.AOB=140°,

乙BOCOB=70°,

=L2

???(COD=10°,

???乙BOD=乙BOC+乙COD=80°,

??.OE平分乙BOD,

???乙DOE=-^BOD=40°,

2

???MOE=乙DOE-乙COD=40°-10°=30°;

(2)解:/.AOD=2/.C0E,理由如下:

0c平分N40B,

???^AOC=^BOC=-^AOB,

2

1?1乙COD+Z.AOD=Z.AOC,

:.4AOB=2ZX0C=2(NC。。+zXOD),

???OE平分48。。,

.-.乙DOE=4BOEB

=2LOD,

v乙COE+乙COD=Z-DOE,

???乙BOD=2乙DOE=2(zCOE+么COD),

???乙AOB-乙BOD=Z.AOD,

2Z.C0D+2^AOD-2/-C0E-2Z.C0D=4AOD,

???Z-AOD=2/.C0E.

【變式2](2024上?江蘇?七年級??贾軠y)已知乙4OB=120。,射線。C在N40B的內(nèi)部,射線。M是乙4OC靠

近。4的三等分線,射線ON是NBOC靠近。B的三等分線.

(1)若。C平分乙4。8,求NMON的度數(shù);

⑵小明說:當射線OC繞點。在“OB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時,NMON的度數(shù)始終保持不變,你認為小明的說法是否

正確?說明理由;

(3)若。M、ON、OA,。8中有兩條直線互相垂直,請直接寫出Z20C所有可能的值.

【答案】⑴80。

(2)正確,理由見解析

⑶30。或90。

【分析】本題考查角平分線和角三等分線,角的和與差.

(1)根據(jù)角平分線得到乙4OC=NBOC=60。,再根據(jù)三等分線可得4Moe和4NOC的度數(shù),最后利用

乙MON=Z.MOC+NNOC可得答案;

(2)正確,按照(1)的思路計算即可;

(3)分。41ON和。M1OB兩種情況,再利用角的和差計算即可.

【詳解】(1)回乙408=120。,OC平分乙4OB,

11

^AOC=(BOC=-/.AOB=-\120°=60°,

22

團射線OM是乙4OC靠近。4的三等分線,射線ON是4。??拷的三等分線,

22

團NMOC=-Z-AOC=-X60°=40°,

33

22

Z-NOC=-Z.BOC=-x60°=40°,

33

團4MON=Z.MOC+乙NOC=40°+40°=80°;

(2)小明是說法正確,

團射線OM是乙4OC靠近。4的三等分線,射線。N是NBOC靠近。8的三等分線,

22

回乙MOC=上^AOC,乙NOC=上乙BOC,

33

79

EINMON=乙MOC+乙NOC=|(zMOC+乙NOC)=jx120°=80°;

(3)①當。力J.ON時,

國乙4。8=120°,OA1ON,

0ZBO/V=乙4OB-4AON=120°—90°=30°,

團射線ON是NBOC的三等分線,

0ZBOC=34BON=3X30°=90°,

團乙4OC=^AOB-乙BOC=120°-90°=30°;

②當。M1。8時,

國乙4。8=120°,OM1OB,

0ZAOM=AAOB-乙BOM=120°-90°=30°,

團射線0M是乙4OC的三等分線,

0ZXOC=3乙4OM=3x30°=90°;

綜上,NAOC的度數(shù)是30?;?0。.

【變式3](2022上?河北?七年級校聯(lián)考期末)定義:從一個角的頂點出發(fā),把這個角分成1:2兩個部分的射

線,叫做這個角的三分線,一個角的三分線有兩條.如圖LN&OB=2乙BOC,則08是乙4OC的一條三分線.

(2)如圖2,若N40B=120。,OC,。。是乙4OB的兩條三分線,且NBOC〈乙4OC.

①貝!UC。。=_;

②若以點。為中心,將NCOD順時針旋轉(zhuǎn)打。(0<n<90)得到NC'。//,當04恰好是NLO)的三分線時,

九的值為一.

【答案】⑴19。

(2)①40。;②等或嬰

【分析】本題屬于新定義類型的問題,主要考查了角的計算,解決問題的關鍵是掌握角的三分線的定義,

解題時注意分類思想的運用,分類時不能重復,也不能遺漏.

(1)根據(jù)NAOB=2/8。。,貝=3NBOC,由止匕可得出結(jié)論;

(2)①根據(jù)。C,。。是44。8的三分線,且48。。<44。。,可得48。。=(NAOB,4A0D=g4AOB,據(jù)

此可得NCOD的度數(shù);

②分兩種情況:當。4是4C'。。'的三分線,且乙4。》>乙40C時,^AOC=(y)°;當。4是NC,。。的三分

線,且4。。'<Z40C'時,/.AOD'=(y)°>分別求得n的值.

【詳解】(1)vZ.AOB=2Z.B0C,

AAOC=34B0C=57。,

Z.BOC=19°,

故答案為:19。;

(2)①如圖2,0C是N40B的一條三分線,S.ABOC<^AOC,

11

???乙BOC=-Z.AOB=40°,^AOD=-^AOB=40°,

33

???(COD=Z.AOB一(BOC-Z.AOD=40°;

故答案為:40°;

②分兩種情況:

當。/是的三分線,且44。。'>4/。。'時,貝=24/。。',

???""'=(學,

.■1Z.DOC=40。-詈)。=管)。,

Z.DOD'=(y)0+40°=(等)°;

當。4是4廠?!返娜志€,且乙4。。'<乙4。。時,乙4。。'=2乙4。。,

^AOD'=^AC'OD'=售)。,

Z.DOD'=40°+謂)。=(等)°;

綜上所述,幾=詈或等.

考點8:余角和補角

典例8:(2023上?江蘇蘇州?七年級統(tǒng)考期末)若乙4,NB互為補角,且乙4<NB,貝吐4的余角是()

A.5(Z_14+Z_B)B.—Z.BC.5(Z_B-Z.X)D.—Z.A

【答案】C

【分析】本題主要考查了互為補角的和等于180。,互為余角的和等于90。的性質(zhì).根據(jù)互為補角的和得到

乙4,NB的關系式,再根據(jù)互為余角的和等于90。表示出的余角,然后把常數(shù)消掉整理即可得解.

【詳解】解:根據(jù)題意得,乙4+NB=180。,

團乙4的余角為:90。一乙4=號-乙4

1

=-(Zi4+4B)一Z-A

故選:C.

【變式1](2024上?陜西商洛?七年級統(tǒng)考期末)若N1與N2互為余角,N1與N3互為補角,則下列選項,錯誤

的是()

A.Z3+Z1=180°B.Z3-Z2=90°

C.Z3+Z2=270°-2Z1D.21+42=180°

【答案】D

【分析】根據(jù)余角和補角的定義可判斷A選項和D選項,將42和N3用N1表示出來代入B選項和C選項中計

算即可判斷B選項和C選項.

本題主要考查了余角和補角的定義.熟練掌握余角和補角的定義是解題的關鍵.

【詳解】A、回41與N3互為補角,

EIZ3+41=180°,

故A選項正確,不符合題意;

B、I3N1與N2互為余角,N1與43互為補角,

Z3=180°-zl,Z2=90°-zl,

AN3-N2=(180°-Z1)-(90°-Z1)=90°,

故B選項正確,不符合題意;

C、團N1與N2互為余角,N1與N3互為補角,

???Z3=180°-zl,Z2=90°-zl,

0Z3+Z2=(180°-zl)+(90°-zl)=270°-241,

故C選項正確,不符合題意;

D、EIN1與42互為余角,

國41+42=90°,

故D選項錯誤,符合題意.

故選:D

【變式2](2023上?湖南長沙?八年級湖南師大附中博才實驗中學??计谥?已知:如圖,AC=CD,LB=NE=

90°,AC1CD,則正確的結(jié)論是()

A.Z-A=Z-DB.Z.A=Z2C.AB=EDD.Zl=Z2

【答案】B

【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,利用同角的余角相等求出乙4=42,再利用"AAS"證明A

ABC=ACED,根據(jù)全等三角形對應邊相等,對應角相等,即可解答.

【詳解】解:a4c1CD,

0ZXCD=90°,

0Z1+z2=90°,則D錯誤;

0ZB=NE=90°,

0zl+NA=90°,

13/4=42,貝UB正確;

在AABCWCEDdp,

2B=Z.E

/-A—z2,

.AC=CD

0AABC=△CED(AAS),

0Z1=ZD,AB=CE,BC=DE,則A、C錯誤;

故選:B.

【變式3](2023上?北京房山?九年級統(tǒng)考期中)已知:在四邊形4BCD中,AB||CD,NB=90。,點E是線

段BC上一點,且AE平分NBA。,DE平分N4DC,給出下面四個結(jié)論:

①4EJ.DE;②乙AEB=LEDC;(3)AB-CD=BE-EC;@BE-ED=AE-EC

上述結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號是(

C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)||CD和4E平分NBHD,DE平分44DC推出4/L4E+Z.ADE=90。即可證明4E1DE,可證明

①正確;根據(jù)乙4ED=90。推出乙4EB+/OEC=90。,根據(jù)乙8=90。推出NC=90。,從而推出NEDC+

Z-DEC=90°,即可推出N4E8=乙EDC,可證明②正確;根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似判定△ABE-

△ECD后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到比例式再推出AB-CD=BE-EC可證明③正確,④不正確;

即可選出正確答案.

【詳解】EL4B||CD,

^DAB+AADC=180°

EL4E平分NBAD,DE平分乙4DC

11

???/,DAE=-Z.BAD,/LADE=-Z.ADC,

22

^\Z.AED=90°,

團/E±DE;

故①正確;

團乙4EO=90°,

回N/EB+Z_OEC=90。,

MB||CD,乙B=90°,

SZC=90°,

國乙EDC+乙DEC=90°,

^\Z-AEB=乙EDC,

故②正確;

0/-AEB=乙EDC,Z,B=Z.C=90°

???△ABEs'ECD,

tAB_BEBE_AE

??EC-CD'CD-DE'

ABCD=BE-EC,故③正確;

BE?ED=AE-CD故④不正確;

正確的有①②③.

故選:C.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握平行線的性質(zhì),角平分線定義,同角的余角相

等和相似三角形的判定方法與性質(zhì)定理是解決問題的關鍵.

考點9:三線八角

典例9:(2024上?江蘇南京?七年級校聯(lián)考期末)如圖,AB,CD相交于點0,OE1CD,射線。尸平分NB。。,

下列結(jié)論中錯誤的是()

A.NB。。與48。。互為補角B.NBOF與NEOF互為余角

C.NB。尸與ZTOF互為補角D.Z710C與NDOF為對頂角

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂直、角平分線、補角和余角、對頂角等知識,根據(jù)角平分線的定義、垂直的定

義、對頂角的定義以及補角和余角的定義逐項分析判斷即可,熟練掌握角平分線的定義、補角和余角的定

義是解題關鍵.

【詳解】解:A.因為NBOO+乙8。。=180。,所以ZB。。與NBOC互為補角,該選項結(jié)論正確,不符合題意;

B.因為射線。F平分NB。。,

所以N80F=乙DOF,

又因為OE1CD,

所以NEOF+NDOF=90。,

所以4EOF+乙BOF=90°,即NBOF與/EOF互為余角,

該選項結(jié)論正確,不符合題意;

C.因為N80F=40。/,Z.DOF+Z.COF=180°,

所以48。尸+Z.COF=180°,

即NBOF與NCOF互為補角,該選項結(jié)論正確,不符合題意;

D.N20C與NDOB為對頂角,該選項結(jié)論錯誤,符合題意.

故選:D.

【變式1](2023上?黑龍江綏化?七年級校考階段練習)如圖,點。在直線力B上,OC1OD,OC、OF分別

平分NAOE和NBOD,若N40C=20。,貝Ij/BOF=()

A.20°B.30°C.35°D.45°

【答案】C

【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算,根據(jù)垂線的定義可得NCOD=90。,由N40C=20。結(jié)合鄰補角

的性質(zhì)求得NBOD,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得NBOF.

【詳解】解:■■■OC1OD,

:.乙COD=90°,

???/-AOC=20°,

???乙BOD=180°-^AOC-乙COD=180°-20°-90°=70°,

???。尸平分NBOD,

.-.Z.BOF=-/.BOD=工x70。=35°,

22

故選:C.

【變式2](2022下?上海?七年級期中)如圖,下列判斷中正確的個數(shù)是()

(1)/A與N1是同位角;(2)/A和NB是同旁內(nèi)角;(3)/4和N1是內(nèi)錯角;(4)N3和/I是同位角.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】準確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關鍵,是弄清哪兩條直線被哪一條線所截.也就是說,在

辨別這些角之前,要弄清哪一條直線是截線,哪兩條直線是被截線.

【詳解】解:(1)0A與皿是同位角,正確,符合題意;

(2)0A與回8是同旁內(nèi)角.正確,符合題意;

(3)團4與如是內(nèi)錯角,正確,符合題意;

(4)如與團3不是同位角,錯誤,不符合題意.

故選:C.

【點睛】此題主要考查了三線八角,在復雜的圖形中識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角時,應當沿著角的邊

將圖形補全,或者把多余的線暫時略去,找到三線八角的基本圖形,進而確定這兩個角的位置關系.

【變式3](2023上?四川巴中?七年級四川省巴中中學校考階段練習)如圖所示,有下列五種說法:①41和

44是同位角;②N3和45是內(nèi)錯角;③42和乙6是同旁內(nèi)角;④45和42是同位角;⑤Z.1和N3是同旁內(nèi)角;

其中正確的是()

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤

【答案】D

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角的定義,根據(jù)內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義尋

找出各角之間的關系,再比照五種說法判斷對錯,即可得出結(jié)論.

【詳解】解:根據(jù)內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義分析五種說法.

①41和44是同位角,即①正確;

②43和45是內(nèi)錯角,即②正確;

③N2和N6是內(nèi)錯角,即③不正確;

④45和N2是同位角,即④正確;

⑤N1和43是同旁內(nèi)角,即⑤正確.

故選:D.

考點10:垂線的應用

典例10:(2023下?七年級課時練習)如圖,已知AOI3OB,COHDO,^BOC=P°,則0Ao。的度數(shù)為()

A.尸°一90°B.2/7°-90°C.180°—外D.2/?0-180°

【答案】C

【解析】略

【變式1](2023?廣東清遠?統(tǒng)考三模)如圖所示,直線a||b,直線c與直線a,b分別交于點D,E,射線DF1

直線c,若Nl=32。,貝吐2的度數(shù)是()

C.32°D.58°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì),由平行線的性質(zhì)可得:Z2=Z3,由垂直的定義可求出N3

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