中考數(shù)學一輪復習重難點強化訓練：圖形的初步二（知識串講+15大考點）解析版

專題02圖形的初步(2)

廠考點類型

模塊四圖形的性質(zhì)

02講圖形的初步(2)

考點15：平行線的性質(zhì)

WV知識一遍過

(-)角的相關概念

(1)角的概念：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角。角也可以看做由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)

而形成的圖。

(2)角的分類:

Za銳角直角鈍角平角周角

范圍0<Za<90°Za=90°90°<Za<180°Za=180°Za=360°

(3)角的表示法(四種):

①角可以用三個大寫字母表示，但表示頂點的字母一定要寫在中間，如/ABC(B為頂點)

②用一個字母表示角，必須是以這個字母為頂點的角，而且只有一個，如/A

③用一個數(shù)字表示角，在靠近頂點處畫上弧線，寫上數(shù)字，如/I

④用一個希臘字母表示,在靠近頂點處畫上弧線,寫上希臘字母，如/a

（二）角平分線及其性質(zhì)

角平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。

如圖：AC是/BCD的角平分線，則

：AC平分/BCD

1

ZACD=ZACB=-ZACD

2

（三）角度制

（1）時針和分針所成的角度：鐘表一周為360。，每一個大格為30°,每一個小格為6。.（每小時，時針

轉(zhuǎn)過30°,即一個大格，分針轉(zhuǎn)過360。，即一周；每分鐘，分針轉(zhuǎn)過6。即一個小格）

（2）角的度量：I，=60'；1'=60"；

1直角=90°；1平角=180°；1周角=360°

（四）相交線所形成的角

兩條直線相交所成的四個角中：h

（1）相鄰的兩個角叫做鄰補角，特點是兩個角共用一條邊，另一條邊互為反向延長'、

線，性質(zhì)是鄰補角互補;M

①鄰補角：兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線。具有這種關系的

兩個角，互為鄰補角。如：/1、Z2o

（2）相對的兩個角叫做對頂角,特點是它們的兩條邊互為反向延長線。性質(zhì)是對頂角相等。

②對頂角：兩個角有一個公共頂點，并且一個角的兩條邊，分別是另一個角的兩條邊的反向延長線，具有

這種關系的兩個角，互為對頂角。如：N1、Z30對頂角相等。

（五）垂線及其性質(zhì)

（1）垂直：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直；交點叫垂足；垂直是特殊的相交。

（2）垂線特點：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫點到直線的距離。連接直線外一點與

直線上各點的所有線段中，垂線段最短。

（六）三線八角

（1）同位角：形如“F”型；在兩條直線的上方,又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關系的兩個角叫同位

角。如：N1和N5。

（2）內(nèi)錯角：形如“Z”型；在兩條直線之間,又在直線EF的兩側(cè)，具有這種位置關系的兩個角叫內(nèi)錯角。

如：N3和N5。

（3）同旁內(nèi)角：形如“U”型；在兩條直線之間，又在直線EF的同側(cè)，具有這種位置關系的兩個角叫同旁

內(nèi)角。如：N3和N6]

（七）平行公理及其推論

（1）平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

（2）平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

幾何描述:,:b〃a,c//a

：.b//c

____________b

（八）平行線的判定與性質(zhì)

（1）平行線的判定

判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行

簡稱：同位角相等，兩直線平行

判定方法2:兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行

簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行

判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行

簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

幾何符號語言：

*/Z3=Z2

AB/7CD（同位角相等，兩直線平行）

Z1=Z2

AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

Z4+Z2=180°

/.AB/7CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

（2）平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

幾何符號語言：

；AB〃CD

.?.Z1=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

VAB/7CD

/.Z3=Z2（兩直線平行，同位角相等）

VAB/7CD

；./4+/2=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

*

一考點一遍過

考點1：角的概念

典例1:（2023上?黑龍江佳木斯?七年級?？计谀┫铝懈鲌D中有關角的表示正確的個數(shù)有（）

CC

—一一上

ABAOBABAB

ZABC為。是平角射線48是周角NCAB

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)角的表示方法，平角、射線、周角的定義分析判斷即可.

【詳解】解：圖1中，角的頂點為2,應表示為

圖2表示正確；

圖3,射線和周角是兩個概念，射線不能表示周角；

圖4表示正確.

所以表示正確的個數(shù)為

故選：B.

【點睛】本題主要考查了角的表示方法、平角、射線、周角等知識，理解并掌握相關知識是解題關鍵.

【變式1］（2023上,北京房山,七年級統(tǒng)考期末）下列四個圖中，能用N1、乙0、NMON二種方法表示同一個

角的是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)角的表示方法和圖形選出即可.

【詳解】A、圖中的13MoN不能用回。表示，故本選項錯誤；

B、圖中的加和團O不是表示同一個角，故本選項錯誤；

C、圖中的41、4。、/M0N表示同一個角，故本選項正確；

D、圖中團1、0MON,回。不表示同一個角，故本選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了角的表示方法的應用，主要考查學生的理解能力和觀察圖形的能力.

【變式2］（2023下?六年級課時練習）若N&為鈍角，為銳角，則乙4—NB是（）

A.鈍角B.銳角

C.直角D.都有可能

【答案】D

【分析】根據(jù)題意找到范圍值鈍角是大于90。小于180。的角，銳角是大于0。小于90。的角，然后找到對應的

差的范圍值為大于0°小于180°,然后對照選項即可.

【詳解】解：因為乙4為鈍角，NB為銳角，

所以90。<Z.A<180°,0°<ZB<90°,

所以0°<N4-NB<180°,

所以銳角，直角，鈍角均有可能.

故選D.

【點睛】考查范圍的求解，學生必須熟悉銳角、直角、鈍角的范圍，并能夠求差所對應的范圍值，此為解

題的關鍵.

【變式3］（2023上,江蘇揚州,七年級統(tǒng)考期末）下列四個圖中的N1也可以用〃。B/O表示的是（）

【分析】根據(jù)角的表示方法：角可以用一個大寫字母表示，也可以用三個大寫字母表示.其中頂點字母要

寫在中間，唯有在頂點處只有一個角的情況，才可用頂點處的一個字母來記這個角，否則分不清這個字母

究竟表示哪個角.角還可以用一個希臘字母（如團a,附，可、...）表示，或用阿拉伯數(shù)字（01,02...）表示

進行分析即可.

【詳解】A項，N1可以用N40B表示，但NO沒有辦法表示任何角，故該選項不符合題意；

B項，N1可以用N40B表示，4。也可以表示故該選項符合題意；

C項，N1不能表示N。，故該選項不符合題意；

D項，N1可以用Z40C表示，但N。沒有辦法表示任何角，故該選項不符合題意.

故選:B.

【點睛】考查了角的概念，關鍵是掌握角的表示方法.

考點2：鐘面角

典例2：（2023下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中）已知本學期某學校下午上課的時間為14時20分，則此時刻

鐘表上的時針與分針的夾角為（）度.

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】B

【分析】分別計算時針、分針旋轉(zhuǎn)的角度，再根據(jù)角的和差關系計算即可.

【詳解】解：14時20分時，時針指向2和3之間，分針指向4,

2+空

時針從12時到14時20分旋轉(zhuǎn)的角為：常X360°=70°,

分針從14時到14時20分旋轉(zhuǎn)的角為：*X360°=120°,

因此時針與分針的夾角為120。-70°=50°,

故選B.

【點睛】本題考查鐘面角，解題的關鍵是求出時針、分針旋轉(zhuǎn)的角度.

【變式1］（2022上?江蘇淮安?七年級?？计谀┫铝袝r刻中，時針和分針所成的角為90。的是（）

A.11點20分B.3點C.10點10分D.9點30分

【答案】B

【分析】鐘表里，時鐘的時針與分針互相垂直的時刻有若干個，本題需要根據(jù)所給時間，逐一判斷即可.

【詳解】11點20分分針與時針夾角為3CTX4+20。=140。，時鐘的時針與分針互相垂直，即時針與分針的

夾角是90。，三點，時針指向3,分針指向12,鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為30。，因此三

點整分針與時針的夾角為90。，10點10分時針與分針的夾角為30。X4-5。=115。，9點30分時針與分針夾

角為30。義3+15。=105°.

故選B.

【點睛】本題考查了鐘面角，把時針與分針所成的角分成所夾的大格子的度數(shù)和小格子的度數(shù)兩部分進行

求解是解題的關鍵.

【變式2］（2023上?天津東麗?七年級統(tǒng)考期末）鐘面上，下列時刻分針與時針構成的角是直角的是（）

A.3點整B.12點15分C.6點45分D.1點20分

【答案】A

【分析】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份是30。，根據(jù)時針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答

案.

【詳解】解：A、30°X3=90°,故A符合題意；

B、30。X（3-粉=82.5°,故B不符合題意；

C、30°x（9-6-i|）=67.5°,故C不符合題意；

D、30°X1）=80°,故D不符合題意；

【點睛】本題考查了鐘面角，時針與分針相距的份數(shù)乘以乘以每份的度數(shù)是解題關鍵，屬于中考?？碱}型.

【變式3］（2022上?重慶?七年級重慶一中?？茧A段練習）圖①鐘面的角與圖②鐘面的角分別是（）度

A.20；15B.30；25C.30；22.5D.22.5；15

【答案】C

【分析】根據(jù)鐘面，每小時一個大格，每個度數(shù)為*=30。，即可得出圖①鐘面的角的度數(shù)，從而列式求

解即可得到答案.根據(jù)鐘面，2:00的時針與2:15時針之間間隔度數(shù)為30°X及=7,5。，即可得出2:15時的時

60

針與分針之間間隔度數(shù).

【詳解】解：圖①鐘面的角的度數(shù)為：等=30。；

???2:00的時針與2:15時針之間間隔度數(shù)為30。x￥=7.5°,

60

02:15時的時針與分針之間間隔度數(shù)為30。-7.5°=22.5°,

回圖②鐘面的角的度數(shù)為：22.5。.

故選：C.

【點睛】本題考查鐘面角的應用，掌握鐘面每一個大格的角度是解決問題的關鍵.

考點3：方向角

典例3：（2024上?北京海淀?七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中有4,B兩點，點C在點4的南偏東60。方

向上，且點C在點B的東北方向上，則點C可能的位置是圖中的（）

A.點G處B.點心處C.點C3處D.點處

【答案】B

【分析】本題考查的是方位角的判定，理解方位角的含義是解本題的關鍵；先畫出圖形，結(jié)合網(wǎng)格特點可

得：G，C2,C3在B的東北方向，C1在4的南偏東45。的方向，再畫等邊三角形從而可得答案.

【詳解】解：如圖，

?

由網(wǎng)格特點可得：Ci，C2,C3在8的東北方向，

C1在4的南偏東45。的方向，

在網(wǎng)格中畫等邊三角形AH=AI=HI=2,連接2/并延長，

0ZHX7=60°,

回點C可能的位置是圖中的。2，

故選B

【變式1](2023下?河北邢臺?七年級?？计谥?利用平面直角坐標系畫出的某景區(qū)示意圖如圖所示(圖中

每個小正方形邊長代表100m,每個小正方形的對角線長為100/m),規(guī)定正東、正北方向為x軸、y軸的

正方向，并且景點D和景點B的坐標分別是(-200,-100)和(300,300).嘉嘉、淇淇分別對景點C的位置進行

了描述，則下列判斷正確的是()

嘉嘉：景點C的坐標是(0,0)；

淇淇：景點C在景點B的南偏東45。方向，相距300&m處

A.只有嘉嘉說得對B.只有淇淇說得對

C.兩人說得都對D.兩人說得都不對

【答案】A

【分析】根據(jù)景點。和景點B的坐標確定平面直角坐標系的原點，即可判定嘉嘉的說法；根據(jù)方位角的知識

判定淇淇的說法.

【詳解】解:根據(jù)景點。和景點B的坐標分別是(-200,-100)和(300,300),可知平面直角坐標系的原點在景

點C處，故嘉嘉的說法正確；

根據(jù)所規(guī)定的正東、正北方向，可知景點C在景點8的南偏西45。方向，相距300Vlm處，故淇淇的說法不對.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平面直角坐標系和方位角的知識，理解并掌握相關知識是解題關鍵.

【變式2](2023上?江蘇?八年級專題練習)如圖，從筆直的公路/旁一點P出發(fā)，向西走6km到達/；從尸

出發(fā)向北走6km也到達/.下列說法錯誤的是()

北

A

一—?東

A.公路/走向是南偏西45°

B.公路/走向是北偏東45。

C.從點戶向北走3km后，再向西走3km到達/

D.從點P向北偏西45。走3km到達/

【答案】D

【分析】先作出圖形，根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過尸點作的垂線PC,

北

J東

由題意可得△是腰長6km的等腰直角三角形,

貝U4B=6V^km,NP4B=NPB4=45°,

EIP力=PB,PC1AB,

0PC=|人8=3V2km,

則從點P向北偏西45。走3/km到達I,選項D錯誤；

則公路/的走向是南偏西45?；虮逼珫|45。，選項A,B正確；

則從點P向北走3km后到達BP中點D,此時CD為AP4B的中位線，故CD=|PA=3km,故再向西走3km到

達/,選項C正確.

故選：D.

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.領

會數(shù)形結(jié)合的思想的應用.

【變式3］（2023上?河北石家莊?九年級?？计谥校τ陬}目團”如圖所示，一艘漁船以30海里/時的速度由西

向東航行在4處看見小島C在船北偏東60。的方向上.40min后，漁船行駛到B處，此時小島C在船北偏東30。的

方向上.己知以小島C為中心，10海里為半徑的范圍內(nèi)是多暗礁的危險區(qū)，如果這艘漁船繼續(xù)向東航行，有

沒有進入危險區(qū)的可能？"小明同學在求解這個題過程中，求出了下面4個數(shù)據(jù)，錯誤的是（）

A.AB=20海里

B.乙ACB=30°

C.BC=20海里

D.過點C向2B的延長線引垂線，垂足為。，求得CD=8舊，小明得出結(jié)論有觸礁危險

【答案】D

【分析】本題主要考查方位角與直角三角形的綜合，先根據(jù)題意可得NC4B=30。，NCBE=30。，AB=20

海里，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和30。角所對直角邊是斜邊的一半逐項判斷即可，掌握方位角的角度知識，直

角三角形30。角所對直角邊是斜邊的一半和勾股定理是解題的關鍵.

【詳解】由題意得：^CAB=30°,ACBE=30°,AB=30X—=20,

北

0ZXBC=120°,

0ZC4B+乙ACB+AABC=180°,

0ZCX5=乙4c8=30°,

EL4B=BC=20（海里），則選項A、B、C正確,

0BFIICO,CDLAD,

EINCBE=乙BCD=30°,4BDC=90°,

0BZ）=ifiC=10（海里）

在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD=y/BC2-BD2=V202-102=1073>10,

回沒有有觸礁危險，故D選項判斷錯誤，符合題意，

故選：D.

考點4：角的單位與角度制

典例4：（2024上?廣東揭陽?七年級統(tǒng)考期末）如圖，一副三角板（直角頂點重合）擺放在桌面上，若N40D=

143.67°,貝UNBOC等于（）

A.36°19'48"B.36°18'108"

C.36°30'33"D.36°30'3"

【答案】A

【分析】本題考查了角的計算的理解和度與度分秒的換算，NBOC的度數(shù)正好是兩直角相加減去Z40D的度

數(shù)，從而問題可解，解題的關鍵是通過觀察圖示，發(fā)現(xiàn)幾個角之間的關系和掌握度與度分秒的換算.

【詳解】解：由44OC+乙BOC=90°,/.BOD+乙BOC=90°,

貝此20C+乙BOC+4BOD+乙BOC=180°,

又由=/.AOC+乙BOC+Z.BOD,

故N4。。+Z.BOC=180°,

所以NBOC=36.33°=36°19'48",

故選：A.

【變式1］（2023上?山西運城?七年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個三角板60。角的頂點與另一個三角板的直角頂

點重合，Z1=26°50,,貝此2的度數(shù)是（）

A.56°50'B.33°10,C.26°50'D.63°10,

【答案】A

【分析】利用60。-41求出NE4c的度數(shù)，再用90。-4瓦4。求出乙2的度數(shù).

【詳解】解：由圖可知：/-EAC=Z.BAC-Z1=60°-26°50,=33°10,,

0Z2=90°-/_EAC=56°50'；

故選A.

【點睛】本題考查三角板中角的計算.根據(jù)圖形，理清角的和差關系，是解題的關鍵.

【變式2】（2023上?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，OC是NAOB的平分線，ZAOC=26°18',則4AOB的

A.42°32'B.52°36'C.48°24'D.50°38'

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線定義得出回A0B=2國AOC,代入求出即可.

【詳解】解：I3OC是回AOB的平分線，0AOC=26°18,,

fflAOB=20AOC=26°18,x2=52°36,,

故選：B.

【點睛】本題考查了角平分線定義，根據(jù)定義得出回A0B=2回AOC是解題的關鍵.

【變式3](2023上?內(nèi)蒙古烏海?七年級統(tǒng)考期末)已知13a=21。郵=0.36。,則13a和即的大小關系是()

A.0a=0PB.0a>BPC.Ela<邨D.無法確定

【答案】C

【分析】一度等于60。知道分與度之間的轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一單位后比較大小即可求解.

【詳解】解:EHa=21',郵=0,36°=21.6',

團團a<0p.

故選：C.

【點睛】考查了度分秒的換算，熟練掌握角的比較與運算，能夠在度與分之間進行轉(zhuǎn)化.

考點5：角的大小比較

典例5：(2022上?山東棗莊?七年級?？计谀?已知戊=36。18',p=36.18°,y=36.3。，下面結(jié)論正確的是

()

A.a<y<^B.y>a=pC.a=y>pD.y<a<^

【答案】C

【分析】將a=36。18'轉(zhuǎn)化為36.3。，即可得出答案.

【詳解】由a=36。18'=36°+(18+60)。=36°+0.3°=36.3°,

又因為/?=36.18°,Y=36.3°,

所以a-y>p.

故選：C.

【點睛】此題考查了角的大小的比較，掌握角的度、分、秒之間的轉(zhuǎn)化是解題的關鍵.

【變式1](2022下?山東煙臺?六年級統(tǒng)考期中)若N1=25。15，，N2=25°13'30",43=25.35。,則()

A.z3>zl>z2B.z2>zl>z3C.zl>z3>z2D.zl>z2>z3

【答案】A

【分析】首先回1、團2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將電化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個角的度數(shù)進行

大小比較，即可得到結(jié)論.

【詳解】EIN1=25°15',42=25°13'30”,43=25.35°=25°21',

0Z3>zl>Z2.

故選A.

【點睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運用是解決本題的關

鍵.

【變式2]（2023上?七年級課時練習）已知回A=25.12°,0B=25°12Z,%=1518',那么的大小關系為（）

A.0A>0B>fflCB.0A<0B<fflCC.0B>0A>0CD.0C>0A>0B

【答案】B

【分析】根據(jù)小單位化成大單位除以進率，可得答案.

【詳解】解：她=25.12°,配=25°12'=25.2°,班=1518'=25.3°,

0A<0B<0C,

故選B.

【點睛】本題考查了度分秒的換算，利用不過小單位化大單位除以進率是解題關鍵.

【變式3]（2023上?北京通州?七年級統(tǒng)考期末）已知乙4=20。50',乙B=20.5°,乙C=19°58,那么（）

A.Z.A>Z-B>ZCB./-A=Z.B>ZC

C.NC>NA=NBD.zB>>zC

【答案】A

【分析】根據(jù)度分秒之間的換算，先把陰的度數(shù)化成度、分、秒的形式，再根據(jù)角的大小比較的法則進行

比較，即可得出答案.

【詳解】EHB=20.5°=20°30',

0ZX>NB>ZC,

故選A.

【點睛】此題考查了角的大小比較，先把配的度數(shù)化成度、分、秒的形式，再進行比較是本題的關鍵.

考點6：角度制運算

典例6：（2023上?七年級課時練習）下列關于度、分、秒的換算正確的是（）

A.83.3°=83°30'B.26°12'15”=26.3°C.15°18'18〃=15'36°D.41.15°=41°9,

【答案】D

【分析】根據(jù)1°=60，，1'=60"進行計算即可.

【詳解】解:A、83.3。=83。18',故A錯誤;

B、26。12'15”=37.2。，故B錯誤；

C、15。18'18”=15.31。，故C錯誤；

D、41.15。=41。9',故D正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了度分秒的換算，掌握1。=60，，1=60"是解題的關鍵.

【變式1］（2023上?山東棗莊?七年級校聯(lián)考階段練習）下列各式計算正確的是（）

-1

A.（-）。=118"B.38。15,=38.15。

C.24.8°x2=49.6°D.90°—85°45'=4°55'

【答案】C

【分析】根據(jù)1。=60，，1=60",結(jié)合各選項進行判斷即可.

【詳解】解：A、。。=301故本選項錯誤；

B、38*15'=38.25°,故本選項錯誤；

C、24.8。、2=49.6。，計算正確，故本選項正確；

D、90°-85°45'=4°15',故本選項錯誤；

故選：C.

【點睛】本題考查了度分秒的換算，解答本題的關鍵是掌握1。=60，，1，=60".

【變式2］（2023上?四川眉山?七年級統(tǒng)考期末）下面等式成立的是（）

A.83.5°=83°50,B.90--57°23'27"=32°37’33"

C.15°48'36〃+37°27’59"=52°16’35"D.41.25°=41°15'

【答案】D

【分析】根據(jù)角度的運算法則，以及角的換算，即可得到答案.

【詳解】解：A、83.5。=83。30',故A錯誤；

B、90°-57°23'27"=32°36'33",故B錯誤；

C、15。4&36〃+37。27’59”=53。16’35”,故C錯誤；

D、41.25°=41°15z故D正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了角度的加減運算，以及角的單位換算，解題的關鍵是掌握角度的運算法則和角度的60

進位制.

【變式3］（2023下?山東東營?六年級校考階段練習）下列各式中，正確的是（）

A.35.5°=35°50'B.15°12'36"=15.48°

C.28°18'18”=28.33°D.65.25°=65°15'

【答案】D

【分析】按照角的度量單位進行轉(zhuǎn)化即可判斷.

【詳解】解:A.35.5。=35。30',不符合題意;

B.15。12'36"=15.21°,不符合題意;

C.28。18'18"=28.305°,不符合題意；

D.65.25°=65°15',符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了角的單位轉(zhuǎn)化，解題關鍵是明確1。=6(r,r=60w.

考點7：角平分線計算

典例7：(2023上?全國?七年級專題練習)如圖，直線AB、CD相交于點0,射線OE在"08內(nèi)部，且NDOE=

(1)若NCOF=54°,求N80E的度數(shù)；

(2)若NCOF=ADOE,那么。B平分NDOF嗎？為什么？

【答案】⑴18。

(2)平分，理由見解析

【分析】本題主要考查了垂線，角平分線的有關計算；

(1)根據(jù)直角的性質(zhì)，可得NEOF=90。，根據(jù)補角的定義得NDOE=180-NEOF-NCOF,再由NDOE=

2乙BOE,即可求解；

(2)根據(jù)=4DOE,乙COF+乙DOE=90°,可得N。。尸=4DOE=45°,再由NDOE=24BOE,可得

乙BOE=22.5°,從而得到NDOB=67.5°,乙BOF=90°-22.5°=67.5°,即可求解.

【詳解】([)解：OF10E,

???乙EOF=90°,

???乙COF=54°,

.-.4DOE=180°-乙EOF-^COF=180°-90°-54°=36°,

乙DOE=2(BOE,

EINBOE=戛DOE=工x36。=18°,

22

??"OE的度數(shù)為18。；

(2)平分，理由如下：

???Z.COF=乙DOE,乙COF+Z.DOE=90°,

??.Z.COF=乙DOE=45°,

乙DOE=2Z.BOE,

???Z-BOE=22.5°,

???乙DOB=(DOE+乙BOE=67.5°,

???乙BOF=乙EOF-Z.BOE=90°-22.5°=67.5°,

???乙DOB=Z-BOF,

???OB平分乙DOF.

【變式1](2024上?重慶沙坪壩?七年級重慶一中?？计谀?如圖，乙4OB為鈍角，射線。。平分乙4。8,射線

(1)若NCOD=10°,4AOB=140°.求NCOE的度數(shù).

(2儲寫出乙4。。與“OE度數(shù)之間的等量關系，并說明理由.

【答案】⑴30。

(2)乙4。。=2/.COE

【分析】本題考查的是角的計算、角平分線的定義，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的

射線叫做這個角的平分線.

(1)根據(jù)角平分線的定義求出乙BOC,同理求出4。。瓦利用NCOE=4DOE—NC。。計算得至IJ答案；

(2)根據(jù)角平分線的定義求出N40B=2ZXOC=2(zCOD+N力。D),乙BOD=2乙DOE=2(zCOE+乙COD),

根據(jù)-/.BOD=NA。。計算即可得至！J結(jié)論.

【詳解】(1)解：OC平分/.AOB=140°,

乙BOCOB=70°,

=L2

???(COD=10°,

???乙BOD=乙BOC+乙COD=80°,

??.OE平分乙BOD,

???乙DOE=-^BOD=40°,

2

???MOE=乙DOE-乙COD=40°-10°=30°；

(2)解：/.AOD=2/.C0E,理由如下：

0c平分N40B,

???^AOC=^BOC=-^AOB,

2

1?1乙COD+Z.AOD=Z.AOC,

：.4AOB=2ZX0C=2(NC。。+zXOD),

???OE平分48。。，

.-.乙DOE=4BOEB

=2LOD,

v乙COE+乙COD=Z-DOE,

???乙BOD=2乙DOE=2(zCOE+么COD),

???乙AOB-乙BOD=Z.AOD,

2Z.C0D+2^AOD-2/-C0E-2Z.C0D=4AOD,

???Z-AOD=2/.C0E.

【變式2](2024上?江蘇?七年級?？贾軠y)已知乙4OB=120。，射線。C在N40B的內(nèi)部，射線。M是乙4OC靠

近。4的三等分線，射線ON是NBOC靠近。B的三等分線.

(1)若。C平分乙4。8,求NMON的度數(shù)；

⑵小明說：當射線OC繞點。在“OB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，NMON的度數(shù)始終保持不變，你認為小明的說法是否

正確？說明理由；

(3)若。M、ON、OA,。8中有兩條直線互相垂直，請直接寫出Z20C所有可能的值.

【答案】⑴80。

(2)正確，理由見解析

⑶30。或90。

【分析】本題考查角平分線和角三等分線，角的和與差.

(1)根據(jù)角平分線得到乙4OC=NBOC=60。，再根據(jù)三等分線可得4Moe和4NOC的度數(shù)，最后利用

乙MON=Z.MOC+NNOC可得答案；

(2)正確，按照(1)的思路計算即可；

(3)分。41ON和。M1OB兩種情況，再利用角的和差計算即可.

【詳解】(1)回乙408=120。，OC平分乙4OB,

11

^AOC=(BOC=-/.AOB=-\120°=60°,

22

團射線OM是乙4OC靠近。4的三等分線，射線ON是4。?？拷的三等分線，

22

團NMOC=-Z-AOC=-X60°=40°,

33

22

Z-NOC=-Z.BOC=-x60°=40°,

33

團4MON=Z.MOC+乙NOC=40°+40°=80°；

(2)小明是說法正確，

團射線OM是乙4OC靠近。4的三等分線，射線。N是NBOC靠近。8的三等分線，

22

回乙MOC=上^AOC,乙NOC=上乙BOC,

33

79

EINMON=乙MOC+乙NOC=|(zMOC+乙NOC)=jx120°=80°；

(3)①當。力J.ON時，

國乙4。8=120°,OA1ON,

0ZBO/V=乙4OB-4AON=120°—90°=30°,

團射線ON是NBOC的三等分線,

0ZBOC=34BON=3X30°=90°,

團乙4OC=^AOB-乙BOC=120°-90°=30°；

②當。M1。8時，

國乙4。8=120°,OM1OB,

0ZAOM=AAOB-乙BOM=120°-90°=30°,

團射線0M是乙4OC的三等分線，

0ZXOC=3乙4OM=3x30°=90°；

綜上，NAOC的度數(shù)是30?；?0。.

【變式3](2022上?河北?七年級校聯(lián)考期末)定義：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成1:2兩個部分的射

線，叫做這個角的三分線，一個角的三分線有兩條.如圖LN&OB=2乙BOC,則08是乙4OC的一條三分線.

(2)如圖2,若N40B=120。，OC,。。是乙4OB的兩條三分線，且NBOC〈乙4OC.

①貝!UC。。=_；

②若以點。為中心，將NCOD順時針旋轉(zhuǎn)打。(0<n<90)得到NC'。//,當04恰好是NLO)的三分線時,

九的值為一.

【答案】⑴19。

(2)①40。；②等或嬰

【分析】本題屬于新定義類型的問題，主要考查了角的計算，解決問題的關鍵是掌握角的三分線的定義,

解題時注意分類思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏.

(1)根據(jù)NAOB=2/8。。，貝=3NBOC,由止匕可得出結(jié)論；

(2)①根據(jù)。C,。。是44。8的三分線，且48。。＜44。。，可得48。。=(NAOB,4A0D=g4AOB,據(jù)

此可得NCOD的度數(shù)；

②分兩種情況：當。4是4C'。。'的三分線，且乙4。》＞乙40C時，^AOC=(y)°；當。4是NC，。。的三分

線，且4。。'＜Z40C'時,/.AOD'=(y)°＞分別求得n的值.

【詳解】(1)vZ.AOB=2Z.B0C,

AAOC=34B0C=57。，

Z.BOC=19°,

故答案為：19。；

(2)①如圖2,0C是N40B的一條三分線，S.ABOC＜^AOC,

11

???乙BOC=-Z.AOB=40°,^AOD=-^AOB=40°,

33

???(COD=Z.AOB一(BOC-Z.AOD=40°；

故答案為：40°；

②分兩種情況：

當。/是的三分線，且44。。'＞4/。。'時，貝=24/。。'，

???""'=(學，

.■1Z.DOC=40。-詈)。=管)。，

Z.DOD'=(y)0+40°=(等)°;

當。4是4廠?！返娜志€，且乙4。。'＜乙4。。時，乙4。。'=2乙4。。,

^AOD'=^AC'OD'=售)。，

Z.DOD'=40°+謂)。=(等)°；

綜上所述，幾=詈或等.

考點8：余角和補角

典例8：（2023上?江蘇蘇州?七年級統(tǒng)考期末）若乙4,NB互為補角，且乙4<NB,貝吐4的余角是（）

A.5（Z_14+Z_B）B.—Z.BC.5（Z_B-Z.X）D.—Z.A

【答案】C

【分析】本題主要考查了互為補角的和等于180。，互為余角的和等于90。的性質(zhì).根據(jù)互為補角的和得到

乙4,NB的關系式，再根據(jù)互為余角的和等于90。表示出的余角，然后把常數(shù)消掉整理即可得解.

【詳解】解：根據(jù)題意得，乙4+NB=180。，

團乙4的余角為：90。一乙4=號-乙4

1

=-（Zi4+4B）一Z-A

故選：C.

【變式1］（2024上?陜西商洛?七年級統(tǒng)考期末）若N1與N2互為余角，N1與N3互為補角，則下列選項，錯誤

的是（）

A.Z3+Z1=180°B.Z3-Z2=90°

C.Z3+Z2=270°-2Z1D.21+42=180°

【答案】D

【分析】根據(jù)余角和補角的定義可判斷A選項和D選項，將42和N3用N1表示出來代入B選項和C選項中計

算即可判斷B選項和C選項.

本題主要考查了余角和補角的定義.熟練掌握余角和補角的定義是解題的關鍵.

【詳解】A、回41與N3互為補角，

EIZ3+41=180°,

故A選項正確，不符合題意；

B、I3N1與N2互為余角，N1與43互為補角，

Z3=180°-zl,Z2=90°-zl,

AN3-N2=（180°-Z1）-（90°-Z1）=90°,

故B選項正確，不符合題意；

C、團N1與N2互為余角，N1與N3互為補角,

???Z3=180°-zl,Z2=90°-zl,

0Z3+Z2=(180°-zl)+(90°-zl)=270°-241,

故C選項正確，不符合題意；

D、EIN1與42互為余角，

國41+42=90°,

故D選項錯誤，符合題意.

故選：D

【變式2](2023上?湖南長沙?八年級湖南師大附中博才實驗中學?？计谥?已知:如圖,AC=CD,LB=NE=

90°,AC1CD,則正確的結(jié)論是()

A.Z-A=Z-DB.Z.A=Z2C.AB=EDD.Zl=Z2

【答案】B

【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，利用同角的余角相等求出乙4=42,再利用"AAS"證明A

ABC=ACED,根據(jù)全等三角形對應邊相等，對應角相等，即可解答.

【詳解】解：a4c1CD,

0ZXCD=90°,

0Z1+z2=90°,則D錯誤;

0ZB=NE=90°,

0zl+NA=90°,

13/4=42,貝UB正確；

在AABCWCEDdp,

2B=Z.E

/-A—z2,

.AC=CD

0AABC=△CED(AAS),

0Z1=ZD,AB=CE,BC=DE,則A、C錯誤;

故選：B.

【變式3］（2023上?北京房山?九年級統(tǒng)考期中）已知：在四邊形4BCD中，AB||CD,NB=90。，點E是線

段BC上一點，且AE平分NBA。，DE平分N4DC,給出下面四個結(jié)論：

①4EJ.DE；②乙AEB=LEDC；（3）AB-CD=BE-EC；@BE-ED=AE-EC

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（

C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)||CD和4E平分NBHD,DE平分44DC推出4/L4E+Z.ADE=90。即可證明4E1DE,可證明

①正確；根據(jù)乙4ED=90。推出乙4EB+/OEC=90。，根據(jù)乙8=90。推出NC=90。，從而推出NEDC+

Z-DEC=90°,即可推出N4E8=乙EDC,可證明②正確；根據(jù)兩角分別相等的兩個三角形相似判定△ABE-

△ECD后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得到比例式再推出AB-CD=BE-EC可證明③正確，④不正確；

即可選出正確答案.

【詳解】EL4B||CD,

^DAB+AADC=180°

EL4E平分NBAD,DE平分乙4DC

11

???/,DAE=-Z.BAD,/LADE=-Z.ADC,

22

^\Z.AED=90°,

團/E±DE；

故①正確；

團乙4EO=90°,

回N/EB+Z_OEC=90。，

MB||CD,乙B=90°,

SZC=90°,

國乙EDC+乙DEC=90°,

^\Z-AEB=乙EDC,

故②正確；

0/-AEB=乙EDC,Z,B=Z.C=90°

???△ABEs'ECD,

tAB_BEBE_AE

??EC-CD'CD-DE'

ABCD=BE-EC,故③正確；

BE?ED=AE-CD故④不正確；

正確的有①②③.

故選:C.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，角平分線定義，同角的余角相

等和相似三角形的判定方法與性質(zhì)定理是解決問題的關鍵.

考點9：三線八角

典例9：（2024上?江蘇南京?七年級校聯(lián)考期末）如圖，AB,CD相交于點0,OE1CD,射線。尸平分NB。。，

下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.NB。。與48。。互為補角B.NBOF與NEOF互為余角

C.NB。尸與ZTOF互為補角D.Z710C與NDOF為對頂角

【答案】D

【分析】本題主要考查了垂直、角平分線、補角和余角、對頂角等知識，根據(jù)角平分線的定義、垂直的定

義、對頂角的定義以及補角和余角的定義逐項分析判斷即可，熟練掌握角平分線的定義、補角和余角的定

義是解題關鍵.

【詳解】解：A.因為NBOO+乙8。。=180。，所以ZB。。與NBOC互為補角，該選項結(jié)論正確，不符合題意；

B.因為射線。F平分NB。。，

所以N80F=乙DOF,

又因為OE1CD,

所以NEOF+NDOF=90。，

所以4EOF+乙BOF=90°,即NBOF與/EOF互為余角，

該選項結(jié)論正確，不符合題意；

C.因為N80F=40。/，Z.DOF+Z.COF=180°,

所以48。尸+Z.COF=180°,

即NBOF與NCOF互為補角，該選項結(jié)論正確，不符合題意；

D.N20C與NDOB為對頂角，該選項結(jié)論錯誤，符合題意.

故選：D.

【變式1］（2023上?黑龍江綏化?七年級校考階段練習）如圖，點。在直線力B上，OC1OD,OC、OF分別

平分NAOE和NBOD,若N40C=20。，貝Ij/BOF=（）

A.20°B.30°C.35°D.45°

【答案】C

【分析】本題考查了幾何圖形中的角度計算，根據(jù)垂線的定義可得NCOD=90。，由N40C=20。結(jié)合鄰補角

的性質(zhì)求得NBOD,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得NBOF.

【詳解】解:■■■OC1OD,

：.乙COD=90°,

???/-AOC=20°,

???乙BOD=180°-^AOC-乙COD=180°-20°-90°=70°,

???。尸平分NBOD,

.-.Z.BOF=-/.BOD=工x70。=35°,

22

故選：C.

【變式2］（2022下?上海?七年級期中）如圖，下列判斷中正確的個數(shù)是（）

（1）/A與N1是同位角；（2）/A和NB是同旁內(nèi)角；（3）/4和N1是內(nèi)錯角；（4）N3和/I是同位角.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】準確識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的關鍵，是弄清哪兩條直線被哪一條線所截.也就是說，在

辨別這些角之前，要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線.

【詳解】解：（1）0A與皿是同位角，正確，符合題意；

（2）0A與回8是同旁內(nèi)角.正確，符合題意；

（3）團4與如是內(nèi)錯角，正確，符合題意；

（4）如與團3不是同位角，錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了三線八角，在復雜的圖形中識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角時，應當沿著角的邊

將圖形補全，或者把多余的線暫時略去，找到三線八角的基本圖形，進而確定這兩個角的位置關系.

【變式3］（2023上?四川巴中?七年級四川省巴中中學校考階段練習）如圖所示，有下列五種說法：①41和

44是同位角；②N3和45是內(nèi)錯角；③42和乙6是同旁內(nèi)角；④45和42是同位角；⑤Z.1和N3是同旁內(nèi)角；

其中正確的是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤

【答案】D

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角的定義，根據(jù)內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義尋

找出各角之間的關系，再比照五種說法判斷對錯，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義分析五種說法.

①41和44是同位角，即①正確；

②43和45是內(nèi)錯角，即②正確；

③N2和N6是內(nèi)錯角，即③不正確；

④45和N2是同位角，即④正確；

⑤N1和43是同旁內(nèi)角，即⑤正確.

故選：D.

考點10：垂線的應用

典例10：（2023下?七年級課時練習）如圖，已知AOI3OB,COHDO,^BOC=P°,則0Ao。的度數(shù)為（）

A.尸°一90°B.2/7°-90°C.180°—外D.2/?0-180°

【答案】C

【解析】略

【變式1］（2023?廣東清遠?統(tǒng)考三模）如圖所示，直線a||b,直線c與直線a,b分別交于點D,E,射線DF1

直線c,若Nl=32。，貝吐2的度數(shù)是（）

C.32°D.58°

【答案】D

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，由平行線的性質(zhì)可得：Z2=Z3,由垂直的定義可求出N3