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文檔簡介

第22講重難點拓展:二次函數綜合之四種角度問題

題型一:角相等問題題型二:二倍角關系問題

題型三:兩角和與差問題題型四:特殊角問題

0@??

1、角的數量關系處理的一般方法如下:

(1)證等角:常運用等腰三角形兩底角相等,等角的余角相等,等角的補角相等、全等三角形

和相似三角形的對應角相等及兩角的銳角三角函數值相等,等等;

(2)證二倍角:常構造輔助圓,利用圓周角定理;

(3)證和差角:常旋轉、翻折、平移構造角.

2.特殊角問題處理的一般方法如下:

(1)運用三角函數值;

(2)遇45°構造等腰直角三角形;

(3)遇30°,60°構造等邊三角形;

(4)遇90°構造直角三角形.

一、角相等問題

對于二次函數中的角相等問題,首選方法是利用等角的三角比解決問題(利用一線三等角模型或者拆分特

殊角來發(fā)現(xiàn)等角),其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。

二次函數中的角相等問題比較靈活,在遇到具體問題時具體分析,合理構造等角,解決問題。

二、二倍角關系問題

對于平面直角坐標系中的二倍角問題,往往將其轉化成等角問題。對于等角問題,往往有以下解決路徑:

等角的構造方法

(1)將等角轉化在一個三角形中,利用等腰三角形兩邊相等,借助距離公式解決;

(2)用等角的三角比相等,構造直角三角形,尋找比例關系;;

(3)利用角的和差關系,尋找等角,而等角存在兩個相似三角形中,往往是子母三角形,利用比例線段構

建數量關系;

(4)利用角平分線的相關性質定理。

二倍角的構造方法

如圖,已知N0,我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造21,在BC邊上找一點D,使得BD=AD,

則ZADC=2a.

第1頁共56頁

A

A

,題型歸納

題型一:角相等問題

【例1】(23-24九年級下?內蒙古赤峰?階段練習)在平面直角坐標系中,拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點

A和點3,與V軸交于點C,頂點為。.

(1)請直接寫出A、B、。三點坐標.

(2)如圖1,點M是第四象限內拋物線上的一點,過點M作x軸的垂線,交直線3c于點N,求線段兒W長

度的最大值;

(3)如圖2,若點P在拋物線上且滿足/尸CB=/CAD,求點尸的坐標;

【答案】(1)點A的坐標為(-1,0),點3的坐標為(3,0),點。的坐標為。,-4)

【分析】(1)由拋物線尸分別令y=0,尤=0,則可確定拋物線與坐標軸的交點坐標,根據頂

點坐標可確定點。的坐標;

(2)設腔_Lx軸于點E,設"(加,加2-2加-3),確定直線的解析式為>=x-3,得到N(〃Z,〃L3),繼

而得到=(機-3)-(機2_2機-3)=-1;+',根據二次函數的最值可得結論;

(3)確定直線5。的解析式為y=2x-6,然后分兩種情況進行討論即可.

第2頁共56頁

【詳解】(1)解::拋物線尸產-2》-3與x軸交于點A和點8,與V軸交于點C,

當y=0時,得/一2》一3=0,解得:x=-l或x=3,

當x=0時,得產-3,

.?.4(—1,0),8(3,0),C(0,-3),

,/拋物線y=x2-2x-3的頂點為D,

."Hl'七],即MI,

...點A的坐標為點3的坐標為(3,0),點。的坐標為(1,-4);

(2)設Affi_Lx軸于點£,設加2_27M_3),

設直線BC的解析式為y=Lx+%c,過點3(3,0),C(0,-3),

.pkBC+bBC=0

\bBC=—3

^BC=1

解得:

為c=-3'

直線BC的解析式為y=x-3,

?.?過點M作X軸的垂線,交直線BC于點N,

MN=(m-3)--2%-3)=-m2+3m=-I+r

":-l<0,

39

...當機=;時,線段跖V的長度取得最大值,此時最大值為:;

圖1

(3)設直線8。的解析式為了=左坨尤+%>,過點8(3,0),0(1,-4),

3kBD+%=0

kBo+%=T

第3頁共56頁

,直線BD的解析式為y=2x-6,

①如圖,

NPCB=ZCBD,

PC//BD,

設直線PC的解析式為y=2x+與c,過點。(0,-3),

???uApc--3U,

直線PC的解析式為y=2x-3,

y=2x-3

聯(lián)立

y—%2—2.x—3

x=0x=4

解得:k-3或

y=5

此時點尸的坐標為(4,5);

圖2

②如圖,設CP交2。于點G,作射線0G交BC于點尸,

,/ZPCB=NCBD,

.GC=GB,

?3(3,0),C(0,-3),

.OC=OB=3,

.OG垂直平分3C,

.點尸是3c的中點,

3+00-3

’.點F的坐標是

設直線OG的解析式為>=自6盯過點尸

第4頁共56頁

?,?直線OG的解析式為V=-x,

???直線OG:V=-x與直線8。:)=2%一6交于點6,

y=-x

y=2x-6

解得:

.\G(2,-2),

設直線CG的解析式為y=?;x+bcG,過點C(0,-3),G(2,-2),

...解得:

bCG=-3

...直線CG的解析式為>=;x-3,

y=-x-3

-2

y=x2-2x—3

解得:

此時點尸的坐標為[5,一1J;

綜上所述,點P的坐標為(4,5)或

第5頁共56頁

圖2

【點睛】本題是二次函數的綜合題,考查了二次函數與坐標軸的交點,二次函數的最值,待定系數法確定

函數解析式,平行線的判定,二次函數與一次函數的交點,等角對等邊,中點坐標,垂直平分線的判定和

性質等知識點.掌握二次函數的性質、確定二次函數與一次函數交點坐標的方法是解題的關鍵.

【變式1-1](23-24九年級下?湖南永州?開學考試)綜合與探究.

24

如圖,在平面直角坐標系中,已知二次函數2的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點3的

左側),與了軸交于點c,連接BC.

(1)求A,B,C三點的坐標;

(2)若點P是x軸上一點,當ABC尸為等腰三角形時,求點P的坐標;

(3)點。是二次函數圖象上的一個動點,請問是否存在點。使=?若存在,請求出點。的坐標;

若不存在,請說明理由.

【答案】⑴8(3,0),C(0,2)

(2)(3-疝))或(3+713,0閾一3,0)或,o]

(3)(2,2)或匕,-2五86J、

74

【分析】(1)當y=0時,即0=-(/+丁+2,解方程可得圖象與x軸交于點5(3,0),當x=0

第6頁共56頁

時,歹=2,從而得圖象與V軸交于點C(0,2);

(2)先利用勾股定理求出BCMVH,再分當BC=BP=5,當尸C=BC時,當尸C=P8時,三種情況討

論求解即可;

(3)分點。在8c上方時和點P在8C下方兩種情況討論求解即可.

24

【詳解】(1)解:當y=0時,即0=-§尤2+§x+2,解得:玉=-1,x?=3.

圖象與x軸交于點/(-1,0),5(3,0),

當x=0時,y=2,

???圖象與了軸交于點C(0,2),

(2)解:V5(3,0),C(0,2),

二BC=J(3_0)2+(0-2)2=岳,

當BC=BP=匹,則點P的坐標為(3-JHo)或(3+而,0);

當尸C=8C時,VOCYBP,

:.OP=OB=3,

二點尸的坐標為(-3,0);

當PC=P5時,設點尸的坐標為(如0),

pc2=PB2,

A(m-O)2+(O-2)2=(m-3)2,

解得加=3,

點P的坐標為(d,o];

綜上所述,點P的坐標為(3-而■,())或(3+而;0)或(-3,0)f|,o\

第7頁共56頁

NQCB=ZABC,

:.CQ//AB,即。0〃x軸,

/.點。與點C關于拋物線的對稱軸對稱,

74

,??拋物線解析式為"-:/+(+2,

4

...拋物線的對稱軸為直線》=一

VC(0,2),

/.2(2,2);

當點。在BC下方時,設C。交X軸于點K(加,0),

,/AQCB=ZABC,

:.CK=BK=3-m.

在中,2+

Rt^COK0c0K2=CK2,

22+m2=(3—冽『,

解得:m=y,

6

:.K?0?

設直線CK的解析式為V=履+",

—k+d=0

6

d=2

解得:k=-%I?,d=2,

第8頁共56頁

/.直線CK的解析式為y=-—x+2,

12、

y------x+2

5

聯(lián)立,得

24。

y=—X2+—x+2

33

28

「西=0/-5

解得:1o(舍去),\

bi=2

綜上所述,點0的坐標為(2,2)或[拳-管J;

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合,求二次函數與坐標軸的交點坐標,一次函數與幾何綜合,勾股定

理,等腰三角形的性質與判定等等,利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.

【變式1-2](2024?廣東?一模)綜合應用.

24

如圖1,在平面直角坐標系中,已知二次函數歹=-§/+]》+2的圖象與x軸交于4,8兩點(點N在點3

的左側),與y軸交于點C,連接BC.

圖1圖2

(1)求4,B,C三點的坐標,并直接寫出直線8C的函數表達式;

(2)點尸是二次函數圖象上的一個動點,請問是否存在點P使/尸C8=48C?若存在,請求出點尸的坐標;

若不存在,請說明理由;

⑶如圖2,作出該二次函數圖象的對稱軸直線/,交x軸于點D.若點M是二次函數圖象上一動點,且點M

始終位于x軸上方,作直線/M,BM,分別交/于點E,F,在點M的運動過程中,尸的值是否為

定值?若是,請直接寫出該定值;若不是,請說明理由.

【答案】⑴/(-1,0),3(3,0),C(0,2),yBC=-±x+2

(2)存在,點戶的坐標為(2,2)或

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(3)DE+。下的值是定值;DE+DF^—

o4

【分析】⑴當y=0時,即0=-y+(+2,解方程可得圖象與x軸交于點/(TO),8(3,0),當x=0

時,>=2,從而得圖象與了軸交于點C(0,2),利用待定系數法即可求解直線BC的函數表達式;

(2)分點尸在3C上方時和點尸在3C下方兩種情況討論求解即可;

(3)由(2)得拋物線的對稱軸為直線x=l,從而。(1,0),設河,,-32+。+2]且_1?3,進而利用

待定系數法求得直線/初和直線的解析式,從而得?!?-$+4,。尸=$+:,于是即可得

DE+DF=-t+-+[--t+4^1=

33I3J3

74

【詳解】(1)解:當y=o時,即0=-§尤2+§X+2,

解得:再=-1>尤2=3.

???圖象與X軸交于點/(-1,0),8(3,0),

當x=0時,>=2,

???圖象與y軸交于點c(o,2),

設直線為:y=mx+n,

把8(3,0),C(0,2)代入y=+”得

[2=〃

[0=3nl+n'

2

m=—

解得3,

n=2

2

直線的函數表達式為為c=-§》+2;

(2)解:存在,理由如下:

當點P在3C上方時,

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CP//AB,即CP〃x軸,

.?.點P與點C關于拋物線的對稱軸對稱,

24

y——x2H—x+2,

33

4

.??拋物線的對稱軸為直線x=--號K=1;

VC(0,2),

???尸(2,2);

當點P在8c下方時,設C尸交x軸于點K(~0),

則OK=/M,KB=3-m.

':NPCB=NABC,

:.CK=BK=3—m.

在RtACOK中,OC2+OK?=CK2,

22+m2=(3—加J,

解得:m=y,

6

設直線CK的解析式為y=kx+d,

—k+d=0

<6,

d=2

12

解得:k=~,d=2,

12

...直線CK的解析式為y=-^x+2,

第11頁共56頁

12。

y------x+2

5

聯(lián)立,得

24c

y=-x2-\—x+2

33

28

%=05

解得:1c(舍去),

.必=z286'

y-------

2225

.?聯(lián),286

25

綜上所述,點。的坐標為(2,2)或(段,286

25

(3)解:存在,下的值為定值多理由如下:

由(2)得拋物線的對稱軸為直線x=l,

設+§,+2]且,

設直線的解析式為歹=占%+4,

將4(-1,0)和點”的坐標代入得:

—后]+a=0

7724.,

tk、+by=——t2+—t+2

72c

k、=-/+2

13

解得:,

72c

h=——1+2

,13

二直線的解析式為y=1-g/+2)x-g2/+2,

3

4

當x=l時,y=—%+4,

3

***"[1'-丁+4;

—]x+2,+2,

同理,直線期的解析式為:》=—t

33)

44

當x=l時,y=-t+~,

第12頁共56頁

444

DE=——t+4,DF=-t+-

333f

DE+DF=-t+-t+

Z.3-3+If-34^)1=3

...DE+DF的值是定值,DE+DF^.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像及性質,待定系數法求一次函數的解析式,二元一次方程組的應用以

及勾股定理,熟練掌握二次函數的圖像及性質以及勾股定理是解題的關鍵.

【變式1-3](2024?山東日照?二模)如圖,平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c過原點O,與x軸正

半軸交于另一點A,且經過點8(-1,-3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若“是拋物線上一點(不與點B重合),其橫坐標為加,以期為對角線作矩形5CMD,8c垂直于〉軸,

①當拋物線在矩形內部的圖象從左到右逐漸上升時,直接寫出機的取值范圍;

②當矩形8cMD內部的圖象(包括邊界)的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4時,求加的值;

③如圖3,拋物線的頂點為E點,點尸是了軸下方、拋物線對稱軸上一點,若/BPE=/EAP,求尸點的坐

標.

【答案】(l)y=—x~+2x

(2)①加£1,且加w-1;②=1或1一20或1+20;③(1,一百)

【分析】(1)利用待定系數法求解即可;

(2)①首先得到y(tǒng)=-x2+2x=-(x-iy+l,拋物線開口向下,對稱軸為x=l,當xW-1時,y隨x的增大

而增大,進而求解即可;

②根據題意分點M的縱坐標為-3+4=1和點M的縱坐標為-3-4=-7兩種情況討論分別代入拋物線表達式

求解即可;

③過點/作交的延長線于點0,過點0作登,X軸于點令PE交x軸于點“,根據

^APM^QAH(AAS),得4M=QH=1,PM=AH,求出直線PB解析式,然后把點0的坐標代入即可求

第13頁共56頁

解.

【詳解】(1)?拋物線y="2+2x+c過原點0(0,0),5(-1,-3)

.?.尸

-2+c=—3

=0

解得,

二一1

???拋物線的解析式為y=-x2+2x;

(2)①:拋物線y=*+2x=-(x-l)2+l;

二拋物線開口向下,對稱軸為x=l

.?.當時,>隨x的增大而增大,

是拋物線上一點(不與點3重合),其橫坐標為加,

,當,〃£1,且〃?/-!時,拋物線在矩形3CW內部的圖象從左到右逐漸上升;

②?.?臺(-1,-3),矩形8CWD內部的圖象(包括邊界)的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4

二當點M的縱坐標為-3+4=1時,

1=-m2+2m

解得m=1;

當點M的縱坐標為-3-4=-7時,

?*--7=-m2+2m

解得叫=1-2后,刈2=1+2行

綜上所述,冽=1或1-20或1+2行;

③過點4作4。,/尸交BP的延長線于點Q,過點。作,x軸于點H,令PE交x軸于點M,頂點石(1,1),

解—X2~\~2X=0得石=0,%=2,

:.AM=MF=\,

;?/EAO=ZAEP=45。,

VZEAP=ZBPE.ZAEP+/LEAP+ZAPE=180°,NAPQ+NBPE+NAPE=180。,

:.ZAPQ=45°f

???A4P。為等腰直角三角形,

第14頁共56頁

??.AP=AQ.

?.,/PAM+ZQAH=90°,ZPAM+ZAPM=90P,

:.ZAPM=ZQAH,

?.,ZPMA=ZAHQ=90°,

.??△力?M義△。/”(AAS),

AM=QH=\,PM=AH,

令點P(T,m),則9=—加=/〃,

*,?。(2-私一1),

—〃+;/=-3

設直線總解析式為歹=左\+少,則

kr+br=m

m-3

b'=

2

解得,

m+3

k'=

2

IA,1—八、\―r,口1加+3/_\JTl—3

將點。代入可得:-l=(一'(2-%)+下一,

解得:m=±V5,

?.,點尸在y軸下方,

m<0,

n=-V5,

尸點的坐標為。,-石).

【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式,二次函數與幾何綜合,全等三角形的性質和判定,坐標與

圖形的性質,等腰直角三角形的判定與性質等知識,數形結合是解答本題的關鍵.

題型二:二倍角關系問題

【例2】(2024?西藏,二模)已知拋物線了=-Y+6x+c與x軸交于點/(T,0)和點8,對稱軸為直線x=l,

拋物線與〉軸交于C點.

第15頁共56頁

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖(甲),9是拋物線第一象限內的任一點,過點P作POLx軸于D,直線3c與尸。交于點E,當LCEP

是以PE為底的等腰三角形時,求尸點的坐標;

(3)如圖(乙),若點M是拋物線上任意一點,且滿足=求朋■的坐標.

【答案】(l)y=--+2x+3;

⑵(1,4);

【分析】(1)用待定系數法求解即可;

⑴求出直線3c解析式,設點尸坐標為:(X,-/+2X+3),則點E坐標為(X,-X+3),當ACEP是以PE為

底的等腰三角形時,點C在線段尸£垂直平分線上,線段尸£中點的縱坐標為3,由此求出x即可;

(3)如圖所示,取點。(1,0),連CD,在CD上取點尸,使得/尸=/。,連4尸并延長交拋物線于點

利用等腰三角形的性質和三角形內角和證明乙3B=NDC4=24C。,再分別用待定系數法依次求出直線

ZX?和直線的解析式,求出直線與拋物線交點M的坐標,再由對稱性求出另一?點M的坐標即可.

【詳解】(1)解:由題意,得

0=-l-b+c

‘.——=1,

I2x(-1)

,拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3;

(2)解:由題意點C坐標為(0,3),

由拋物線的對稱性,點2的橫坐標為1+1-(-1)=3,

則3點的坐標為:(3,0),

設直線3c解析式為:y=kx+b(k^0),

第16頁共56頁

把8(3,0),C(0,3)代入,得,

[0=3上+6

j3=6'

[k=-l

解得:八2,

[o=3

二直線3C解析式為:y=-x+3,

.?.設點尸坐標為:(X,-X2+2X+3),則點E坐標為(x,-x+3),

當aCEP是以尸E為底的等腰三角形時,

點C在線段PE垂直平分線上,線段尸£中點的縱坐標為3,

解得,西=1,超=0(舍去),

A-X2+2X+3=-1+2+3=4,

故尸點的坐標為(1,4).

(3)解:取直線x=l與x軸交點(1,0),記為點。,

連CD,在CD上取點尸,使得4F=4D,連4尸并延長交拋物線于點

由題意可知,點4。關于y軸對稱,則有ND/C=NCD4,2ZACO=ZDCA,

,?AF=AD,

:.ZAFD=ZCDA,

:.NMAB=ZDCA=2AAeO,

設直線DC解析式為:y=mx+n(m^Q),

把。(1,0),C(0,3)代入,得,

[0=左+b

解得,

第17頁共56頁

1=-3

[b=3>'

二直線DC解析式為:y=-3x+3

設點尸坐標為(x,-3x+3),

=[X-(-1)]2+(-3X+3)2=(V+1)2+卜3x+3j=(-1-1)2=4,

*.?AF=AD,

;.(尤+1)2+(-3尤+3)2=4,

3

解得,,%2=1(舍去),

則點尸坐標為:

設直線AM的解析式為V=ex+/(e。0),

把點尸]1,3代入,得

3

e=—

解得,:

I4

33

AM的解析式為y=+:,

44

33

當一x+—=-x2+2x+3時,

44

9

解得石=牙%2=7(舍去)

???點M的坐標為,

由對稱性可知當/坐標為-gj時,直線w與拋物線的另一個交點也滿足題意,

同理可以求出此時”的坐標為

1416;

綜上,點”的坐標為或

(416)I416)

【點睛】本題是二次函數的綜合與一次函數的綜合,勾股定理,等腰三角形的性質等等,解題的關鍵在于

能夠利用等腰三角形的性質構造出等角關系.

第18頁共56頁

【變式2-1](2024?山西晉城?三模)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數y=一3x+4的圖象與x軸交

于4,B兩點(點/在點3的左側),與夕軸交于點C,作直線2C.。為直線/C上方拋物線上的一個動

點,橫坐標為小,過點。作。尸,x軸于點R交直線/C于點£.

(1)求點B,C的坐標,并直接寫出直線/C的函數表達式.

⑵當N4CD=2NBAC時,求點D的坐標.

【答案】⑴/(TO),5(1,0),C(0,4),y=x+4

⑵(-2,6)

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、等腰三角形的三線合一等知識,熟練掌握二次

函數的圖象與性質是解題關鍵.

(1)根據二次函數的性質和待定系數法求解即可得;

(2)過點C作CGLD尸于點G,先求出的長,從而可得點。的坐標,再代入二次函數的解析

式求解即可得.

【詳解】(1)解:對于二次函數歹=---3尤+4,

當、=°時,一/-3芯+4=0,解得x=T或x=l,

.?./(-4,0),5(1,0),

當x=0時,y=4,

:.C(0,4),

設直線AC的函數表達式為y=kx+b,

/、(、[—4k+b=0[k=\

將點/(TO),C(0,4)代入得:,解得

則直線/C的函數表達式為y=x+4.

(2)W:VC(0,4),

OC=4,

如圖,過點C作CGLD尸于點G,

第19頁共56頁

fit

則四邊形OCGb是矩形,

:.GF=OC=4,CG//AB,

:?/ACG=/BAC,

ZACD=2ZBAC,

:.ZACG=NDCG,

:.90°-ZACG=900-ZDCG,即/CED=/CDE,

:.CD=CE,

又???CG-LDF,

DG=EG,

TO為直線4。上方拋物線上的一個動點,橫坐標為加,。尸,x軸于點廠,

-4<m<0,£(加,加+4),

EF=m+4,

???DG=EG=GF-EF=-m,

:.DF=DG+GF=-m+A,

將點。(加,一加+4)代入y=—/一3》+4得:-m+4=-m2—3m+4,

解得m=-2或加=0(不符合題意,舍去),

.?.點。的坐標為(-2,6).

【變式2-2](2024?山東東營?模擬預測)如圖1,拋物線>="2+法-3經過4T0),2(3,0)兩點,與了軸

交于點C,尸為第四象限內拋物線上一點,過點尸作尸〃_Lx軸于點M,連接ZC,AP,4P與了軸交于點

D.

第20頁共56頁

yy,

M

圖i圖2

(1)求拋物線的函數表達式.

(2)設四邊形的面積為S,求S的最大值.

(3)當=時,求直線AP的函數表達式及點尸的坐標

【答案】⑴尸心_3

(2)$最大值=6

(3)直線4尸的解析式為y=-(4X一4(;點尸的坐標(5為3/2

【分析】本題考查二次函數的圖象及性質,待定指數法求函數解析式,二次函數與幾何圖形,解題的關鍵

是掌握相關的知識.

(1)將/(-1,0),3(3,0)代入>=修+版-3,即可求解;

(2)連接。過點。作于點E,尸為第四象限內拋物線上一點,設點尸(加,加2-2加-3),則

2

BM=3-m,PM=\yp\=-m+2m+3,根據。E_LPM,點。在了軸上,可得DE=m,最后根據

1137

s=S"+S.BMP=-MP.DE+-MP-BM得S==-義%-1)一+6,然后根據二次函數的最值求解即可;

(3)根據題意可推出N£MC=NDC/,則4D=CD,設。(0,"),由1+/=(〃+3丫,求出。再

由待定系數法求直線/P的解析式,聯(lián)立方程組可求出點P的坐標.

【詳解】⑴解:將4-1,0),2(3,0)代入丁=。/+樂一3,得:

.[a-b-3=0

??[9〃+3b-3=0'

\a=\

,'[b=-2,

拋物線的解析式為了f2-2x-3;

(2)解:如圖,連接DW,過點。作于點E,

第21頁共56頁

???8(3,0),拋物線的解析式為了-2x-3,

圖2

,設點尸(取力-2m-3),

尸為第四象限內拋物線上一點,

0<m<3,

???1《_1_;(:軸,點后在尸八,上,

BM=3—m,

DEVPM,點D在歹軸上,

/.DE=m,

DE+BM=m+(3-m)=3,

2

P^=\yP\=-m+2m+3,

???S=S.P+S,BMP=1Mp.DE+gMP.BM

=;MP.(DE+BM)

3/2cc

=5(—冽+2m+3

2

=-l(m_l)+6

3

—<0,0<m<3,

2

二當m=1時,s有最大值,S最大值一6;

(3)解:如圖,

第22頁共56頁

令x=0,貝!Jy=0-()_3=_3,

C(0,-3),

,?,O0_Lx軸,尸M_Lx軸,

OD//MP,

ZADO=/APM,

???/MPA=2/PAC,

ZADO=2ZPAC,

又丁ZADO=ZDAC+ZDCA,

/.ADAC=ADCA,

AD=CD,

設。(O,〃),貝iJZO=CD=〃一(一3)=〃+3,

又A>=042+002=1+1,

?-1+Z?2=(〃+3)2,

4

?.n——,

3

設直線4尸的解析式為歹=履+6,將4(-1,0),代入得:

b=--

3

-k+b=0

4

解得:;

4

3

44

「?直線AP的解析式為y=-yX-y;

第23頁共56頁

44

y=——x----

聯(lián)立,得-33

y=x2-2%-3

5

解得:(不合題意,舍去),<

32

m=0y=--

29

(532

點尸的坐標為

【變式2-3】.(2024?山東荷澤?二模)已知拋物線y=a/+6x+3經過點和點3(-3,0),與V軸交于

點C,點尸為第二象限內拋物線上的動點.

(2)如圖1,拋物線上是否存在點P,使四邊形80C尸的面積為8?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,

請說明理由.

(3)如圖2,連接OP交BC于點。,當,〃0:5"四=1:2時,請求出點。的坐標;

(4)如圖3,點E的坐標為點G為x軸負半軸上的一點,ZOGE=\50,連接PE,若NPEG=2NOGE,

請求出點尸的坐標.

【答案】(l).y=f2-2x+3;(-1,4)

(2)不存在,理由見解析

⑶「L2)

(4)-2-,2~

【分析】(1)將點/。,0)和點3(-3,0)代入>=°/+為+3得到關于。、b的二元一次方程組,求解即可;

⑵連接3C,求出直線8c的解析式,過點P作尸G〃夕軸交8C于點G,設P(「產-21+3),則G?J+3),

則邑皿=:X3X(-尸_3?)=|,此時f無實數根;

(3)設。點橫坐標為〃,由題意可得5.脆=;乂(“+3卜(-/2一3。=一/一3乙求出〃的值即可求。點坐標;

(4)設PE與x軸的交點為由題意可知NGHE=45。,則〃(-1,0),直線HE與拋物線的交點即為所求P

第24頁共56頁

點.

【詳解】(1)解:???拋物線-=江+上+3經過點/(1,0)和點8(-3,0),

JQ+6+3—0

?陵-36+3=0'

Cl——1

解得:

b=-1,

拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3,

*.*y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

???拋物線的頂點為(T4),

故答案為:y=-x2-2x+3;(-1,4);

(2)不存在點P,使四邊形5。。2的面積為8.理由如下:

連接BC,

:拋物線歹=-f一2x+3與V軸交于點C,B(-3,0),

當%=0時,得:歹=3,

???。(0,3),

???OC=OB=3,

19

S的,=—x3x3=—

22

設直線3C的解析式為y=b+"?,過點/TO),C(0,3),

{-3k+m=0

[m=3

k=l

解得:

m=3

???直線BC的解析式為y=x+3,

過點夕作尸G〃丁軸交BC于點G,

設P(廠》—2/+3),則G(/,/+3),

22

PG=-t-2t+3-t-3=-t-3t,

若四邊形BOCP的面積為8,

in7

則邑BCP=5X3X(T2-3/)=8-5=5,

整理得:3/+%+7=0,

VA=92-4X3X7=-3<0,

此時方程無實數根,

第25頁共56頁

.,?不存在點P,使四邊形30CP的面積為8;

??V?v—]-?

?3CPD,3BPD-,?4,

2]

**?SABPD=1x5x3x(-1?-3/)=-1?—3tf

設。點橫坐標為〃,

S&BPD~,x(〃+3)x(—t?—3/)=-1?-3t,

解得:n=-l,

??,點。在直線5C的解析式為y=%+3,

.*.^=-1+3=2,

???點。的坐標是(T2);

(4)設尸E與%軸的交點為H,

VZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE,£(0,-1),

:.ZPEG=2x15°=30°,OE=\,

:.ZOHE=ZOGE+/PEG=15。+30。=45°,

ZOEH=90°-ZOHE=90?!?5。=45。=ZOHE,

:.OH=OE=1,

A7/(-1,0),

設直線班的解析式為y=%/+如E,過點H(-l,0),£(0,-l),

,b%E+%二°

U[bHE=-l

???直線族的解析式為y=-X-1,

聯(lián)立方程組];=-x-l

=-x2-2x+3'

第26頁共56頁

【點睛】本題考查二次函數的圖像及性質,待定系數法確定函數解析式,等角對等邊,三角形外角的定義

及性質,一元二次方程的應用,三角形的面積等知識點.熟練掌握二次函數的圖像及性質,等腰三角形的

判定,求三角形的面積及函數圖像之間的交點坐標是解題的關鍵.

題型三:兩角和與差問題

【例3】(2024?山西臨汾?一模)綜合與探究

如圖,拋物線尸-++c的圖像與x軸交于4鞏4,0)兩點(點/在點3的左側),與y軸交于點。(0,2),

備用圖

(1)求拋物線表達式及BC所在直線的函數表達式;

(2)若點尸是第一象限內拋物線上的一個動點,連接尸2PC,求APBC面積的最大值及此時點P的坐標;

(3)若點M是拋物線上的點,^.ZOBC+ZOBM=45°,請直接寫出點初的坐標.

131

【答案】(1)拋物線解析式為>=+1_x+2,直線3c的解析式為y=-^x+2,

(2)APBC面積的最大值為4,此時點P的坐標為(2,3)

第27頁共56頁

(517V]_13

⑶一了一直或

T~9

【分析】(1)設出直線8c解析式,分別把8(4,0),C(o,2)代入拋物線解析式中和直線3C解析式中,利

用待定系數法求解即可;

(2)過點P作〃>軸交8C于D,設P,?,一:蘇+"|機+2),則D1?

——m+2,可得尸。二—,(加一2)+2;

2

=

再由凡PBC凡PCD+S\PBD,得到S&PBC(加-2『+4,利用二次函數的性質即可求出答案;

(3)如圖所示,取點〃(-2,-2),連接C4,BH,利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明VM是等腰直

14

角三角形,得到/B〃C=45。,則點M即為5〃為拋物線的交點,同理可得直線解析式為

145

y=—x----x=-

33;或x=4,則點河的坐標為K17114

聯(lián)立,解得,yI;求出直線歹=1與y

13y=033

y=----X2H-----X+2y=-

229

軸的交點坐標為[。,-:];取414

則直線BT解析式為y=-+葭由對稱性可得=,

3

]_13

則射線5T與拋物線的交點即為點同理可得點M的坐標為

【詳解】(1)解:把8(4,0),c(o,2)代入y=_g/+法+c中得:-8+4/?+c=0

c=2

6、

2,

c=2

iQ

??.拋物線解析式為^=--%I2+-X+2;

設直線3C的解析式為y=履+〃,

4k+bf=0

把3(4,0),。(0,2)代入歹=去+?中得:

br=2

k=--

2,

b'=2

二直線BC的解析式為了=+2;

(2)解:如圖所示,過點尸作尸?!ㄌ燧S交于,

、\123,貝!J加,一;冽+2),

—m+—m+2

第28頁共56頁

__12|1_]12c1/_\2.

PD=-—m+—m+2-I-—m+21=-+2m=--(n-2)+2;

=

?SyPBCS'pCD+SvpBD,

??S.PBC=3PD,(Xp-Xc)+~^PD?(XB-Xp)

=2PD

=-(m-2)2+4,

V-l<0,

當初=2時,1pg最大,最大值為4,

???此時點尸的坐標為(2,3)

(3)解:如圖所示,取點//(-2,-2),連接CH,BH,

V5(4,0),C(0,2),

???BO?=(4-0)2+(0_2『=20,BH2=(-2-4『+(—2-0)2=40,

CH2=(-2-。丫+(-2-2『=20,

BC2+CH2=BH2,BC2=CH2,

???V戈》是直角三角形,且N〃CB=90。,BC=CH,

???V9是等腰直角三角形,

;?NBHC=45。,

I/OBC+/OBH=45。,

*:ZOBC+ZOBM=45°,

???點M即為BH為拋物線的交點,

14

同理可得直線BH解析式為J=

第29頁共56頁

5

y=—x----x=——

3

聯(lián)立2解得

17

y——xH—x+2y=----

I229

???點M的坐標為

144

在歹=一工——中,當x=0時,y=一一,

333

???直線W與y軸的交點坐標為卜-力

取貝I]直線37解析式為y=_gx+g,

由對稱性可得ZOBT=ZOBH,

二射線BT與拋物線的交點即為點M,

1

y=x=——

3

聯(lián)立V解得

13

y=y=一

229

]_13

???點河的坐標為

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合,一次函數與幾何綜合,勾股定理,勾股定理的逆定理,等腰直角

三角形的性質與判定等等,解(2)的關鍵在于利用線段尸。的長表示出對應三角形的面積,解(3)的關鍵

在于取出H點證明等腰直角三角形得到45度的角.

第30頁共56頁

【變式3-1](2024?山東

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