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文檔簡介
第22講重難點拓展:二次函數綜合之四種角度問題
題型一:角相等問題題型二:二倍角關系問題
題型三:兩角和與差問題題型四:特殊角問題
0@??
1、角的數量關系處理的一般方法如下:
(1)證等角:常運用等腰三角形兩底角相等,等角的余角相等,等角的補角相等、全等三角形
和相似三角形的對應角相等及兩角的銳角三角函數值相等,等等;
(2)證二倍角:常構造輔助圓,利用圓周角定理;
(3)證和差角:常旋轉、翻折、平移構造角.
2.特殊角問題處理的一般方法如下:
(1)運用三角函數值;
(2)遇45°構造等腰直角三角形;
(3)遇30°,60°構造等邊三角形;
(4)遇90°構造直角三角形.
一、角相等問題
對于二次函數中的角相等問題,首選方法是利用等角的三角比解決問題(利用一線三等角模型或者拆分特
殊角來發(fā)現(xiàn)等角),其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。
二次函數中的角相等問題比較靈活,在遇到具體問題時具體分析,合理構造等角,解決問題。
二、二倍角關系問題
對于平面直角坐標系中的二倍角問題,往往將其轉化成等角問題。對于等角問題,往往有以下解決路徑:
等角的構造方法
(1)將等角轉化在一個三角形中,利用等腰三角形兩邊相等,借助距離公式解決;
(2)用等角的三角比相等,構造直角三角形,尋找比例關系;;
(3)利用角的和差關系,尋找等角,而等角存在兩個相似三角形中,往往是子母三角形,利用比例線段構
建數量關系;
(4)利用角平分線的相關性質定理。
二倍角的構造方法
如圖,已知N0,我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造21,在BC邊上找一點D,使得BD=AD,
則ZADC=2a.
第1頁共56頁
A
A
,題型歸納
題型一:角相等問題
【例1】(23-24九年級下?內蒙古赤峰?階段練習)在平面直角坐標系中,拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點
A和點3,與V軸交于點C,頂點為。.
(1)請直接寫出A、B、。三點坐標.
(2)如圖1,點M是第四象限內拋物線上的一點,過點M作x軸的垂線,交直線3c于點N,求線段兒W長
度的最大值;
(3)如圖2,若點P在拋物線上且滿足/尸CB=/CAD,求點尸的坐標;
【答案】(1)點A的坐標為(-1,0),點3的坐標為(3,0),點。的坐標為。,-4)
【分析】(1)由拋物線尸分別令y=0,尤=0,則可確定拋物線與坐標軸的交點坐標,根據頂
點坐標可確定點。的坐標;
(2)設腔_Lx軸于點E,設"(加,加2-2加-3),確定直線的解析式為>=x-3,得到N(〃Z,〃L3),繼
而得到=(機-3)-(機2_2機-3)=-1;+',根據二次函數的最值可得結論;
(3)確定直線5。的解析式為y=2x-6,然后分兩種情況進行討論即可.
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【詳解】(1)解::拋物線尸產-2》-3與x軸交于點A和點8,與V軸交于點C,
當y=0時,得/一2》一3=0,解得:x=-l或x=3,
當x=0時,得產-3,
.?.4(—1,0),8(3,0),C(0,-3),
,/拋物線y=x2-2x-3的頂點為D,
."Hl'七],即MI,
...點A的坐標為點3的坐標為(3,0),點。的坐標為(1,-4);
(2)設Affi_Lx軸于點£,設加2_27M_3),
設直線BC的解析式為y=Lx+%c,過點3(3,0),C(0,-3),
.pkBC+bBC=0
\bBC=—3
^BC=1
解得:
為c=-3'
直線BC的解析式為y=x-3,
?.?過點M作X軸的垂線,交直線BC于點N,
MN=(m-3)--2%-3)=-m2+3m=-I+r
":-l<0,
39
...當機=;時,線段跖V的長度取得最大值,此時最大值為:;
圖1
(3)設直線8。的解析式為了=左坨尤+%>,過點8(3,0),0(1,-4),
3kBD+%=0
kBo+%=T
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,直線BD的解析式為y=2x-6,
①如圖,
NPCB=ZCBD,
PC//BD,
設直線PC的解析式為y=2x+與c,過點。(0,-3),
???uApc--3U,
直線PC的解析式為y=2x-3,
y=2x-3
聯(lián)立
y—%2—2.x—3
x=0x=4
解得:k-3或
y=5
此時點尸的坐標為(4,5);
圖2
②如圖,設CP交2。于點G,作射線0G交BC于點尸,
,/ZPCB=NCBD,
.GC=GB,
?3(3,0),C(0,-3),
.OC=OB=3,
.OG垂直平分3C,
.點尸是3c的中點,
3+00-3
’.點F的坐標是
設直線OG的解析式為>=自6盯過點尸
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?,?直線OG的解析式為V=-x,
???直線OG:V=-x與直線8。:)=2%一6交于點6,
y=-x
y=2x-6
解得:
.\G(2,-2),
設直線CG的解析式為y=?;x+bcG,過點C(0,-3),G(2,-2),
...解得:
bCG=-3
...直線CG的解析式為>=;x-3,
y=-x-3
-2
y=x2-2x—3
解得:
此時點尸的坐標為[5,一1J;
綜上所述,點P的坐標為(4,5)或
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圖2
【點睛】本題是二次函數的綜合題,考查了二次函數與坐標軸的交點,二次函數的最值,待定系數法確定
函數解析式,平行線的判定,二次函數與一次函數的交點,等角對等邊,中點坐標,垂直平分線的判定和
性質等知識點.掌握二次函數的性質、確定二次函數與一次函數交點坐標的方法是解題的關鍵.
【變式1-1](23-24九年級下?湖南永州?開學考試)綜合與探究.
24
如圖,在平面直角坐標系中,已知二次函數2的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點3的
左側),與了軸交于點c,連接BC.
(1)求A,B,C三點的坐標;
(2)若點P是x軸上一點,當ABC尸為等腰三角形時,求點P的坐標;
(3)點。是二次函數圖象上的一個動點,請問是否存在點。使=?若存在,請求出點。的坐標;
若不存在,請說明理由.
【答案】⑴8(3,0),C(0,2)
(2)(3-疝))或(3+713,0閾一3,0)或,o]
(3)(2,2)或匕,-2五86J、
74
【分析】(1)當y=0時,即0=-(/+丁+2,解方程可得圖象與x軸交于點5(3,0),當x=0
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時,歹=2,從而得圖象與V軸交于點C(0,2);
(2)先利用勾股定理求出BCMVH,再分當BC=BP=5,當尸C=BC時,當尸C=P8時,三種情況討
論求解即可;
(3)分點。在8c上方時和點P在8C下方兩種情況討論求解即可.
24
【詳解】(1)解:當y=0時,即0=-§尤2+§x+2,解得:玉=-1,x?=3.
圖象與x軸交于點/(-1,0),5(3,0),
當x=0時,y=2,
???圖象與了軸交于點C(0,2),
(2)解:V5(3,0),C(0,2),
二BC=J(3_0)2+(0-2)2=岳,
當BC=BP=匹,則點P的坐標為(3-JHo)或(3+而,0);
當尸C=8C時,VOCYBP,
:.OP=OB=3,
二點尸的坐標為(-3,0);
當PC=P5時,設點尸的坐標為(如0),
pc2=PB2,
A(m-O)2+(O-2)2=(m-3)2,
解得加=3,
點P的坐標為(d,o];
綜上所述,點P的坐標為(3-而■,())或(3+而;0)或(-3,0)f|,o\
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NQCB=ZABC,
:.CQ//AB,即。0〃x軸,
/.點。與點C關于拋物線的對稱軸對稱,
74
,??拋物線解析式為"-:/+(+2,
4
...拋物線的對稱軸為直線》=一
VC(0,2),
/.2(2,2);
當點。在BC下方時,設C。交X軸于點K(加,0),
,/AQCB=ZABC,
:.CK=BK=3-m.
在中,2+
Rt^COK0c0K2=CK2,
22+m2=(3—冽『,
解得:m=y,
6
:.K?0?
設直線CK的解析式為V=履+",
—k+d=0
6
d=2
解得:k=-%I?,d=2,
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/.直線CK的解析式為y=-—x+2,
12、
y------x+2
5
聯(lián)立,得
24。
y=—X2+—x+2
33
28
「西=0/-5
解得:1o(舍去),\
bi=2
綜上所述,點0的坐標為(2,2)或[拳-管J;
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合,求二次函數與坐標軸的交點坐標,一次函數與幾何綜合,勾股定
理,等腰三角形的性質與判定等等,利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.
【變式1-2](2024?廣東?一模)綜合應用.
24
如圖1,在平面直角坐標系中,已知二次函數歹=-§/+]》+2的圖象與x軸交于4,8兩點(點N在點3
的左側),與y軸交于點C,連接BC.
圖1圖2
(1)求4,B,C三點的坐標,并直接寫出直線8C的函數表達式;
(2)點尸是二次函數圖象上的一個動點,請問是否存在點P使/尸C8=48C?若存在,請求出點尸的坐標;
若不存在,請說明理由;
⑶如圖2,作出該二次函數圖象的對稱軸直線/,交x軸于點D.若點M是二次函數圖象上一動點,且點M
始終位于x軸上方,作直線/M,BM,分別交/于點E,F,在點M的運動過程中,尸的值是否為
定值?若是,請直接寫出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】⑴/(-1,0),3(3,0),C(0,2),yBC=-±x+2
(2)存在,點戶的坐標為(2,2)或
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(3)DE+。下的值是定值;DE+DF^—
o4
【分析】⑴當y=0時,即0=-y+(+2,解方程可得圖象與x軸交于點/(TO),8(3,0),當x=0
時,>=2,從而得圖象與了軸交于點C(0,2),利用待定系數法即可求解直線BC的函數表達式;
(2)分點尸在3C上方時和點尸在3C下方兩種情況討論求解即可;
(3)由(2)得拋物線的對稱軸為直線x=l,從而。(1,0),設河,,-32+。+2]且_1?3,進而利用
待定系數法求得直線/初和直線的解析式,從而得?!?-$+4,。尸=$+:,于是即可得
DE+DF=-t+-+[--t+4^1=
33I3J3
74
【詳解】(1)解:當y=o時,即0=-§尤2+§X+2,
解得:再=-1>尤2=3.
???圖象與X軸交于點/(-1,0),8(3,0),
當x=0時,>=2,
???圖象與y軸交于點c(o,2),
設直線為:y=mx+n,
把8(3,0),C(0,2)代入y=+”得
[2=〃
[0=3nl+n'
2
m=—
解得3,
n=2
2
直線的函數表達式為為c=-§》+2;
(2)解:存在,理由如下:
當點P在3C上方時,
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CP//AB,即CP〃x軸,
.?.點P與點C關于拋物線的對稱軸對稱,
24
y——x2H—x+2,
33
4
.??拋物線的對稱軸為直線x=--號K=1;
VC(0,2),
???尸(2,2);
當點P在8c下方時,設C尸交x軸于點K(~0),
則OK=/M,KB=3-m.
':NPCB=NABC,
:.CK=BK=3—m.
在RtACOK中,OC2+OK?=CK2,
22+m2=(3—加J,
解得:m=y,
6
設直線CK的解析式為y=kx+d,
—k+d=0
<6,
d=2
12
解得:k=~,d=2,
12
...直線CK的解析式為y=-^x+2,
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12。
y------x+2
5
聯(lián)立,得
24c
y=-x2-\—x+2
33
28
%=05
解得:1c(舍去),
.必=z286'
y-------
2225
.?聯(lián),286
25
綜上所述,點。的坐標為(2,2)或(段,286
25
(3)解:存在,下的值為定值多理由如下:
由(2)得拋物線的對稱軸為直線x=l,
設+§,+2]且,
設直線的解析式為歹=占%+4,
將4(-1,0)和點”的坐標代入得:
—后]+a=0
7724.,
tk、+by=——t2+—t+2
72c
k、=-/+2
13
解得:,
72c
h=——1+2
,13
二直線的解析式為y=1-g/+2)x-g2/+2,
3
4
當x=l時,y=—%+4,
3
***"[1'-丁+4;
—]x+2,+2,
同理,直線期的解析式為:》=—t
33)
44
當x=l時,y=-t+~,
第12頁共56頁
444
DE=——t+4,DF=-t+-
333f
DE+DF=-t+-t+
Z.3-3+If-34^)1=3
...DE+DF的值是定值,DE+DF^.
【點睛】本題考查了二次函數的圖像及性質,待定系數法求一次函數的解析式,二元一次方程組的應用以
及勾股定理,熟練掌握二次函數的圖像及性質以及勾股定理是解題的關鍵.
【變式1-3](2024?山東日照?二模)如圖,平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c過原點O,與x軸正
半軸交于另一點A,且經過點8(-1,-3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若“是拋物線上一點(不與點B重合),其橫坐標為加,以期為對角線作矩形5CMD,8c垂直于〉軸,
①當拋物線在矩形內部的圖象從左到右逐漸上升時,直接寫出機的取值范圍;
②當矩形8cMD內部的圖象(包括邊界)的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4時,求加的值;
③如圖3,拋物線的頂點為E點,點尸是了軸下方、拋物線對稱軸上一點,若/BPE=/EAP,求尸點的坐
標.
【答案】(l)y=—x~+2x
(2)①加£1,且加w-1;②=1或1一20或1+20;③(1,一百)
【分析】(1)利用待定系數法求解即可;
(2)①首先得到y(tǒng)=-x2+2x=-(x-iy+l,拋物線開口向下,對稱軸為x=l,當xW-1時,y隨x的增大
而增大,進而求解即可;
②根據題意分點M的縱坐標為-3+4=1和點M的縱坐標為-3-4=-7兩種情況討論分別代入拋物線表達式
求解即可;
③過點/作交的延長線于點0,過點0作登,X軸于點令PE交x軸于點“,根據
^APM^QAH(AAS),得4M=QH=1,PM=AH,求出直線PB解析式,然后把點0的坐標代入即可求
第13頁共56頁
解.
【詳解】(1)?拋物線y="2+2x+c過原點0(0,0),5(-1,-3)
.?.尸
-2+c=—3
=0
解得,
二一1
???拋物線的解析式為y=-x2+2x;
(2)①:拋物線y=*+2x=-(x-l)2+l;
二拋物線開口向下,對稱軸為x=l
.?.當時,>隨x的增大而增大,
是拋物線上一點(不與點3重合),其橫坐標為加,
,當,〃£1,且〃?/-!時,拋物線在矩形3CW內部的圖象從左到右逐漸上升;
②?.?臺(-1,-3),矩形8CWD內部的圖象(包括邊界)的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4
二當點M的縱坐標為-3+4=1時,
1=-m2+2m
解得m=1;
當點M的縱坐標為-3-4=-7時,
?*--7=-m2+2m
解得叫=1-2后,刈2=1+2行
綜上所述,冽=1或1-20或1+2行;
③過點4作4。,/尸交BP的延長線于點Q,過點。作,x軸于點H,令PE交x軸于點M,頂點石(1,1),
解—X2~\~2X=0得石=0,%=2,
:.AM=MF=\,
;?/EAO=ZAEP=45。,
VZEAP=ZBPE.ZAEP+/LEAP+ZAPE=180°,NAPQ+NBPE+NAPE=180。,
:.ZAPQ=45°f
???A4P。為等腰直角三角形,
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??.AP=AQ.
?.,/PAM+ZQAH=90°,ZPAM+ZAPM=90P,
:.ZAPM=ZQAH,
?.,ZPMA=ZAHQ=90°,
.??△力?M義△。/”(AAS),
AM=QH=\,PM=AH,
令點P(T,m),則9=—加=/〃,
*,?。(2-私一1),
—〃+;/=-3
設直線總解析式為歹=左\+少,則
kr+br=m
m-3
b'=
2
解得,
m+3
k'=
2
IA,1—八、\―r,口1加+3/_\JTl—3
將點。代入可得:-l=(一'(2-%)+下一,
解得:m=±V5,
?.,點尸在y軸下方,
m<0,
n=-V5,
尸點的坐標為。,-石).
【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式,二次函數與幾何綜合,全等三角形的性質和判定,坐標與
圖形的性質,等腰直角三角形的判定與性質等知識,數形結合是解答本題的關鍵.
題型二:二倍角關系問題
【例2】(2024?西藏,二模)已知拋物線了=-Y+6x+c與x軸交于點/(T,0)和點8,對稱軸為直線x=l,
拋物線與〉軸交于C點.
第15頁共56頁
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖(甲),9是拋物線第一象限內的任一點,過點P作POLx軸于D,直線3c與尸。交于點E,當LCEP
是以PE為底的等腰三角形時,求尸點的坐標;
(3)如圖(乙),若點M是拋物線上任意一點,且滿足=求朋■的坐標.
【答案】(l)y=--+2x+3;
⑵(1,4);
【分析】(1)用待定系數法求解即可;
⑴求出直線3c解析式,設點尸坐標為:(X,-/+2X+3),則點E坐標為(X,-X+3),當ACEP是以PE為
底的等腰三角形時,點C在線段尸£垂直平分線上,線段尸£中點的縱坐標為3,由此求出x即可;
(3)如圖所示,取點。(1,0),連CD,在CD上取點尸,使得/尸=/。,連4尸并延長交拋物線于點
利用等腰三角形的性質和三角形內角和證明乙3B=NDC4=24C。,再分別用待定系數法依次求出直線
ZX?和直線的解析式,求出直線與拋物線交點M的坐標,再由對稱性求出另一?點M的坐標即可.
【詳解】(1)解:由題意,得
0=-l-b+c
‘.——=1,
I2x(-1)
,拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3;
(2)解:由題意點C坐標為(0,3),
由拋物線的對稱性,點2的橫坐標為1+1-(-1)=3,
則3點的坐標為:(3,0),
設直線3c解析式為:y=kx+b(k^0),
第16頁共56頁
把8(3,0),C(0,3)代入,得,
[0=3上+6
j3=6'
[k=-l
解得:八2,
[o=3
二直線3C解析式為:y=-x+3,
.?.設點尸坐標為:(X,-X2+2X+3),則點E坐標為(x,-x+3),
當aCEP是以尸E為底的等腰三角形時,
點C在線段PE垂直平分線上,線段尸£中點的縱坐標為3,
解得,西=1,超=0(舍去),
A-X2+2X+3=-1+2+3=4,
故尸點的坐標為(1,4).
(3)解:取直線x=l與x軸交點(1,0),記為點。,
連CD,在CD上取點尸,使得4F=4D,連4尸并延長交拋物線于點
由題意可知,點4。關于y軸對稱,則有ND/C=NCD4,2ZACO=ZDCA,
,?AF=AD,
:.ZAFD=ZCDA,
:.NMAB=ZDCA=2AAeO,
設直線DC解析式為:y=mx+n(m^Q),
把。(1,0),C(0,3)代入,得,
[0=左+b
解得,
第17頁共56頁
1=-3
[b=3>'
二直線DC解析式為:y=-3x+3
設點尸坐標為(x,-3x+3),
=[X-(-1)]2+(-3X+3)2=(V+1)2+卜3x+3j=(-1-1)2=4,
*.?AF=AD,
;.(尤+1)2+(-3尤+3)2=4,
3
解得,,%2=1(舍去),
則點尸坐標為:
設直線AM的解析式為V=ex+/(e。0),
把點尸]1,3代入,得
3
e=—
解得,:
I4
33
AM的解析式為y=+:,
44
33
當一x+—=-x2+2x+3時,
44
9
解得石=牙%2=7(舍去)
???點M的坐標為,
由對稱性可知當/坐標為-gj時,直線w與拋物線的另一個交點也滿足題意,
同理可以求出此時”的坐標為
1416;
綜上,點”的坐標為或
(416)I416)
【點睛】本題是二次函數的綜合與一次函數的綜合,勾股定理,等腰三角形的性質等等,解題的關鍵在于
能夠利用等腰三角形的性質構造出等角關系.
第18頁共56頁
【變式2-1](2024?山西晉城?三模)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數y=一3x+4的圖象與x軸交
于4,B兩點(點/在點3的左側),與夕軸交于點C,作直線2C.。為直線/C上方拋物線上的一個動
點,橫坐標為小,過點。作。尸,x軸于點R交直線/C于點£.
(1)求點B,C的坐標,并直接寫出直線/C的函數表達式.
⑵當N4CD=2NBAC時,求點D的坐標.
【答案】⑴/(TO),5(1,0),C(0,4),y=x+4
⑵(-2,6)
【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、等腰三角形的三線合一等知識,熟練掌握二次
函數的圖象與性質是解題關鍵.
(1)根據二次函數的性質和待定系數法求解即可得;
(2)過點C作CGLD尸于點G,先求出的長,從而可得點。的坐標,再代入二次函數的解析
式求解即可得.
【詳解】(1)解:對于二次函數歹=---3尤+4,
當、=°時,一/-3芯+4=0,解得x=T或x=l,
.?./(-4,0),5(1,0),
當x=0時,y=4,
:.C(0,4),
設直線AC的函數表達式為y=kx+b,
/、(、[—4k+b=0[k=\
將點/(TO),C(0,4)代入得:,解得
則直線/C的函數表達式為y=x+4.
(2)W:VC(0,4),
OC=4,
如圖,過點C作CGLD尸于點G,
第19頁共56頁
fit
則四邊形OCGb是矩形,
:.GF=OC=4,CG//AB,
:?/ACG=/BAC,
ZACD=2ZBAC,
:.ZACG=NDCG,
:.90°-ZACG=900-ZDCG,即/CED=/CDE,
:.CD=CE,
又???CG-LDF,
DG=EG,
TO為直線4。上方拋物線上的一個動點,橫坐標為加,。尸,x軸于點廠,
-4<m<0,£(加,加+4),
EF=m+4,
???DG=EG=GF-EF=-m,
:.DF=DG+GF=-m+A,
將點。(加,一加+4)代入y=—/一3》+4得:-m+4=-m2—3m+4,
解得m=-2或加=0(不符合題意,舍去),
.?.點。的坐標為(-2,6).
【變式2-2](2024?山東東營?模擬預測)如圖1,拋物線>="2+法-3經過4T0),2(3,0)兩點,與了軸
交于點C,尸為第四象限內拋物線上一點,過點尸作尸〃_Lx軸于點M,連接ZC,AP,4P與了軸交于點
D.
第20頁共56頁
yy,
M
圖i圖2
(1)求拋物線的函數表達式.
(2)設四邊形的面積為S,求S的最大值.
(3)當=時,求直線AP的函數表達式及點尸的坐標
【答案】⑴尸心_3
(2)$最大值=6
(3)直線4尸的解析式為y=-(4X一4(;點尸的坐標(5為3/2
【分析】本題考查二次函數的圖象及性質,待定指數法求函數解析式,二次函數與幾何圖形,解題的關鍵
是掌握相關的知識.
(1)將/(-1,0),3(3,0)代入>=修+版-3,即可求解;
(2)連接。過點。作于點E,尸為第四象限內拋物線上一點,設點尸(加,加2-2加-3),則
2
BM=3-m,PM=\yp\=-m+2m+3,根據。E_LPM,點。在了軸上,可得DE=m,最后根據
1137
s=S"+S.BMP=-MP.DE+-MP-BM得S==-義%-1)一+6,然后根據二次函數的最值求解即可;
(3)根據題意可推出N£MC=NDC/,則4D=CD,設。(0,"),由1+/=(〃+3丫,求出。再
由待定系數法求直線/P的解析式,聯(lián)立方程組可求出點P的坐標.
【詳解】⑴解:將4-1,0),2(3,0)代入丁=。/+樂一3,得:
.[a-b-3=0
??[9〃+3b-3=0'
\a=\
,'[b=-2,
拋物線的解析式為了f2-2x-3;
(2)解:如圖,連接DW,過點。作于點E,
第21頁共56頁
???8(3,0),拋物線的解析式為了-2x-3,
圖2
,設點尸(取力-2m-3),
尸為第四象限內拋物線上一點,
0<m<3,
???1《_1_;(:軸,點后在尸八,上,
BM=3—m,
DEVPM,點D在歹軸上,
/.DE=m,
DE+BM=m+(3-m)=3,
2
P^=\yP\=-m+2m+3,
???S=S.P+S,BMP=1Mp.DE+gMP.BM
=;MP.(DE+BM)
3/2cc
=5(—冽+2m+3
2
=-l(m_l)+6
3
—<0,0<m<3,
2
二當m=1時,s有最大值,S最大值一6;
(3)解:如圖,
第22頁共56頁
令x=0,貝!Jy=0-()_3=_3,
C(0,-3),
,?,O0_Lx軸,尸M_Lx軸,
OD//MP,
ZADO=/APM,
???/MPA=2/PAC,
ZADO=2ZPAC,
又丁ZADO=ZDAC+ZDCA,
/.ADAC=ADCA,
AD=CD,
設。(O,〃),貝iJZO=CD=〃一(一3)=〃+3,
又A>=042+002=1+1,
?-1+Z?2=(〃+3)2,
4
?.n——,
3
設直線4尸的解析式為歹=履+6,將4(-1,0),代入得:
b=--
3
-k+b=0
4
解得:;
4
3
44
「?直線AP的解析式為y=-yX-y;
第23頁共56頁
44
y=——x----
聯(lián)立,得-33
y=x2-2%-3
5
解得:(不合題意,舍去),<
32
m=0y=--
29
(532
點尸的坐標為
【變式2-3】.(2024?山東荷澤?二模)已知拋物線y=a/+6x+3經過點和點3(-3,0),與V軸交于
點C,點尸為第二象限內拋物線上的動點.
(2)如圖1,拋物線上是否存在點P,使四邊形80C尸的面積為8?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,
請說明理由.
(3)如圖2,連接OP交BC于點。,當,〃0:5"四=1:2時,請求出點。的坐標;
(4)如圖3,點E的坐標為點G為x軸負半軸上的一點,ZOGE=\50,連接PE,若NPEG=2NOGE,
請求出點尸的坐標.
【答案】(l).y=f2-2x+3;(-1,4)
(2)不存在,理由見解析
⑶「L2)
(4)-2-,2~
【分析】(1)將點/。,0)和點3(-3,0)代入>=°/+為+3得到關于。、b的二元一次方程組,求解即可;
⑵連接3C,求出直線8c的解析式,過點P作尸G〃夕軸交8C于點G,設P(「產-21+3),則G?J+3),
則邑皿=:X3X(-尸_3?)=|,此時f無實數根;
(3)設。點橫坐標為〃,由題意可得5.脆=;乂(“+3卜(-/2一3。=一/一3乙求出〃的值即可求。點坐標;
(4)設PE與x軸的交點為由題意可知NGHE=45。,則〃(-1,0),直線HE與拋物線的交點即為所求P
第24頁共56頁
點.
【詳解】(1)解:???拋物線-=江+上+3經過點/(1,0)和點8(-3,0),
JQ+6+3—0
?陵-36+3=0'
Cl——1
解得:
b=-1,
拋物線的解析式為:y=-x2-2x+3,
*.*y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,
???拋物線的頂點為(T4),
故答案為:y=-x2-2x+3;(-1,4);
(2)不存在點P,使四邊形5。。2的面積為8.理由如下:
連接BC,
:拋物線歹=-f一2x+3與V軸交于點C,B(-3,0),
當%=0時,得:歹=3,
???。(0,3),
???OC=OB=3,
19
S的,=—x3x3=—
22
設直線3C的解析式為y=b+"?,過點/TO),C(0,3),
{-3k+m=0
[m=3
k=l
解得:
m=3
???直線BC的解析式為y=x+3,
過點夕作尸G〃丁軸交BC于點G,
設P(廠》—2/+3),則G(/,/+3),
22
PG=-t-2t+3-t-3=-t-3t,
若四邊形BOCP的面積為8,
in7
則邑BCP=5X3X(T2-3/)=8-5=5,
整理得:3/+%+7=0,
VA=92-4X3X7=-3<0,
此時方程無實數根,
第25頁共56頁
.,?不存在點P,使四邊形30CP的面積為8;
??V?v—]-?
?3CPD,3BPD-,?4,
2]
**?SABPD=1x5x3x(-1?-3/)=-1?—3tf
設。點橫坐標為〃,
S&BPD~,x(〃+3)x(—t?—3/)=-1?-3t,
解得:n=-l,
??,點。在直線5C的解析式為y=%+3,
.*.^=-1+3=2,
???點。的坐標是(T2);
(4)設尸E與%軸的交點為H,
VZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE,£(0,-1),
:.ZPEG=2x15°=30°,OE=\,
:.ZOHE=ZOGE+/PEG=15。+30。=45°,
ZOEH=90°-ZOHE=90?!?5。=45。=ZOHE,
:.OH=OE=1,
A7/(-1,0),
設直線班的解析式為y=%/+如E,過點H(-l,0),£(0,-l),
,b%E+%二°
U[bHE=-l
???直線族的解析式為y=-X-1,
聯(lián)立方程組];=-x-l
=-x2-2x+3'
第26頁共56頁
【點睛】本題考查二次函數的圖像及性質,待定系數法確定函數解析式,等角對等邊,三角形外角的定義
及性質,一元二次方程的應用,三角形的面積等知識點.熟練掌握二次函數的圖像及性質,等腰三角形的
判定,求三角形的面積及函數圖像之間的交點坐標是解題的關鍵.
題型三:兩角和與差問題
【例3】(2024?山西臨汾?一模)綜合與探究
如圖,拋物線尸-++c的圖像與x軸交于4鞏4,0)兩點(點/在點3的左側),與y軸交于點。(0,2),
備用圖
(1)求拋物線表達式及BC所在直線的函數表達式;
(2)若點尸是第一象限內拋物線上的一個動點,連接尸2PC,求APBC面積的最大值及此時點P的坐標;
(3)若點M是拋物線上的點,^.ZOBC+ZOBM=45°,請直接寫出點初的坐標.
131
【答案】(1)拋物線解析式為>=+1_x+2,直線3c的解析式為y=-^x+2,
(2)APBC面積的最大值為4,此時點P的坐標為(2,3)
第27頁共56頁
(517V]_13
⑶一了一直或
T~9
【分析】(1)設出直線8c解析式,分別把8(4,0),C(o,2)代入拋物線解析式中和直線3C解析式中,利
用待定系數法求解即可;
(2)過點P作〃>軸交8C于D,設P,?,一:蘇+"|機+2),則D1?
——m+2,可得尸。二—,(加一2)+2;
2
=
再由凡PBC凡PCD+S\PBD,得到S&PBC(加-2『+4,利用二次函數的性質即可求出答案;
(3)如圖所示,取點〃(-2,-2),連接C4,BH,利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明VM是等腰直
14
角三角形,得到/B〃C=45。,則點M即為5〃為拋物線的交點,同理可得直線解析式為
145
y=—x----x=-
33;或x=4,則點河的坐標為K17114
聯(lián)立,解得,yI;求出直線歹=1與y
13y=033
y=----X2H-----X+2y=-
229
軸的交點坐標為[。,-:];取414
則直線BT解析式為y=-+葭由對稱性可得=,
3
]_13
則射線5T與拋物線的交點即為點同理可得點M的坐標為
【詳解】(1)解:把8(4,0),c(o,2)代入y=_g/+法+c中得:-8+4/?+c=0
c=2
6、
2,
c=2
iQ
??.拋物線解析式為^=--%I2+-X+2;
設直線3C的解析式為y=履+〃,
4k+bf=0
把3(4,0),。(0,2)代入歹=去+?中得:
br=2
k=--
2,
b'=2
二直線BC的解析式為了=+2;
(2)解:如圖所示,過點尸作尸?!ㄌ燧S交于,
、\123,貝!J加,一;冽+2),
—m+—m+2
第28頁共56頁
__12|1_]12c1/_\2.
PD=-—m+—m+2-I-—m+21=-+2m=--(n-2)+2;
=
?SyPBCS'pCD+SvpBD,
??S.PBC=3PD,(Xp-Xc)+~^PD?(XB-Xp)
=2PD
=-(m-2)2+4,
V-l<0,
當初=2時,1pg最大,最大值為4,
???此時點尸的坐標為(2,3)
(3)解:如圖所示,取點//(-2,-2),連接CH,BH,
V5(4,0),C(0,2),
???BO?=(4-0)2+(0_2『=20,BH2=(-2-4『+(—2-0)2=40,
CH2=(-2-。丫+(-2-2『=20,
BC2+CH2=BH2,BC2=CH2,
???V戈》是直角三角形,且N〃CB=90。,BC=CH,
???V9是等腰直角三角形,
;?NBHC=45。,
I/OBC+/OBH=45。,
*:ZOBC+ZOBM=45°,
???點M即為BH為拋物線的交點,
14
同理可得直線BH解析式為J=
第29頁共56頁
5
y=—x----x=——
3
聯(lián)立2解得
17
y——xH—x+2y=----
I229
???點M的坐標為
144
在歹=一工——中,當x=0時,y=一一,
333
???直線W與y軸的交點坐標為卜-力
取貝I]直線37解析式為y=_gx+g,
由對稱性可得ZOBT=ZOBH,
二射線BT與拋物線的交點即為點M,
1
y=x=——
3
聯(lián)立V解得
13
y=y=一
229
]_13
???點河的坐標為
【點睛】本題主要考查了二次函數綜合,一次函數與幾何綜合,勾股定理,勾股定理的逆定理,等腰直角
三角形的性質與判定等等,解(2)的關鍵在于利用線段尸。的長表示出對應三角形的面積,解(3)的關鍵
在于取出H點證明等腰直角三角形得到45度的角.
第30頁共56頁
【變式3-1](2024?山東
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