重難點拓展：二次函數綜合之四種角度問題（解析版）

第22講重難點拓展：二次函數綜合之四種角度問題

題型一：角相等問題題型二：二倍角關系問題

題型三：兩角和與差問題題型四：特殊角問題

0@??

1、角的數量關系處理的一般方法如下：

(1)證等角：常運用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補角相等、全等三角形

和相似三角形的對應角相等及兩角的銳角三角函數值相等，等等；

(2)證二倍角：常構造輔助圓，利用圓周角定理；

(3)證和差角：常旋轉、翻折、平移構造角.

2.特殊角問題處理的一般方法如下：

(1)運用三角函數值；

(2)遇45°構造等腰直角三角形；

(3)遇30°,60°構造等邊三角形；

(4)遇90°構造直角三角形.

一、角相等問題

對于二次函數中的角相等問題，首選方法是利用等角的三角比解決問題(利用一線三等角模型或者拆分特

殊角來發(fā)現(xiàn)等角)，其次選擇利用相似三角形中的比例線段解決問題。

二次函數中的角相等問題比較靈活，在遇到具體問題時具體分析，合理構造等角，解決問題。

二、二倍角關系問題

對于平面直角坐標系中的二倍角問題，往往將其轉化成等角問題。對于等角問題，往往有以下解決路徑：

等角的構造方法

(1)將等角轉化在一個三角形中，利用等腰三角形兩邊相等，借助距離公式解決；

(2)用等角的三角比相等，構造直角三角形，尋找比例關系；；

(3)利用角的和差關系，尋找等角，而等角存在兩個相似三角形中，往往是子母三角形，利用比例線段構

建數量關系；

(4)利用角平分線的相關性質定理。

二倍角的構造方法

如圖，已知N0,我們可以利用等腰三角形和外角定理去構造21,在BC邊上找一點D,使得BD=AD,

則ZADC=2a.

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A

A

，題型歸納

題型一：角相等問題

【例1】（23-24九年級下?內蒙古赤峰?階段練習）在平面直角坐標系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交于點

A和點3,與V軸交于點C,頂點為。.

（1）請直接寫出A、B、。三點坐標.

（2）如圖1,點M是第四象限內拋物線上的一點，過點M作x軸的垂線，交直線3c于點N,求線段兒W長

度的最大值；

（3）如圖2,若點P在拋物線上且滿足/尸CB=/CAD,求點尸的坐標；

【答案】（1）點A的坐標為（-1,0）,點3的坐標為（3,0）,點。的坐標為。，-4）

【分析】（1）由拋物線尸分別令y=0,尤=0,則可確定拋物線與坐標軸的交點坐標，根據頂

點坐標可確定點。的坐標；

（2）設腔_Lx軸于點E,設"（加,加2-2加-3）,確定直線的解析式為＞=x-3,得到N（〃Z,〃L3）,繼

而得到=（機-3）-（機2_2機-3）=-1；+',根據二次函數的最值可得結論；

（3）確定直線5。的解析式為y=2x-6,然后分兩種情況進行討論即可.

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【詳解】(1)解：：拋物線尸產-2》-3與x軸交于點A和點8,與V軸交于點C,

當y=0時，得/一2》一3=0,解得：x=-l或x=3,

當x=0時，得產-3,

.?.4(—1,0),8(3,0),C(0,-3),

,/拋物線y=x2-2x-3的頂點為D,

."Hl'七］,即MI，

...點A的坐標為點3的坐標為(3,0),點。的坐標為(1,-4)；

(2)設Affi_Lx軸于點￡,設加2_27M_3),

設直線BC的解析式為y=Lx+%c，過點3(3,0),C(0,-3),

.pkBC+bBC=0

\bBC=—3

^BC=1

解得:

為c=-3'

直線BC的解析式為y=x-3,

?.?過點M作X軸的垂線，交直線BC于點N,

MN=(m-3)--2%-3)=-m2+3m=-I+r

"：-l<0,

39

...當機=；時，線段跖V的長度取得最大值，此時最大值為：；

圖1

(3)設直線8。的解析式為了=左坨尤+%＞，過點8(3,0),0(1,-4),

3kBD+%=0

kBo+%=T

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，直線BD的解析式為y=2x-6,

①如圖，

NPCB=ZCBD,

PC//BD,

設直線PC的解析式為y=2x+與c，過點。（0,-3）,

???uApc--3U,

直線PC的解析式為y=2x-3,

y=2x-3

聯(lián)立

y—%2—2.x—3

x=0x=4

解得:k-3或

y=5

此時點尸的坐標為（4,5）；

圖2

②如圖，設CP交2。于點G,作射線0G交BC于點尸，

,/ZPCB=NCBD,

.GC=GB,

?3(3,0),C(0,-3),

.OC=OB=3,

.OG垂直平分3C,

.點尸是3c的中點,

3+00-3

’.點F的坐標是

設直線OG的解析式為>=自6盯過點尸

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?,?直線OG的解析式為V=-x,

???直線OG：V=-x與直線8。：）=2%一6交于點6,

y=-x

y=2x-6

解得:

.\G（2,-2）,

設直線CG的解析式為y=?；x+bcG，過點C（0,-3）,G（2,-2）,

...解得：

bCG=-3

...直線CG的解析式為＞=；x-3,

y=-x-3

-2

y=x2-2x—3

解得:

此時點尸的坐標為［5，一1J；

綜上所述，點P的坐標為（4,5）或

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圖2

【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了二次函數與坐標軸的交點，二次函數的最值，待定系數法確定

函數解析式，平行線的判定，二次函數與一次函數的交點，等角對等邊，中點坐標，垂直平分線的判定和

性質等知識點.掌握二次函數的性質、確定二次函數與一次函數交點坐標的方法是解題的關鍵.

【變式1-1](23-24九年級下?湖南永州?開學考試)綜合與探究.

24

如圖，在平面直角坐標系中，已知二次函數2的圖象與x軸交于A,B兩點(點A在點3的

左側)，與了軸交于點c,連接BC.

(1)求A,B,C三點的坐標；

(2)若點P是x軸上一點，當ABC尸為等腰三角形時，求點P的坐標；

(3)點。是二次函數圖象上的一個動點，請問是否存在點。使=?若存在，請求出點。的坐標;

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴8(3,0),C(0,2)

(2)(3-疝))或(3+713,0閾一3,0)或,o]

(3)(2,2)或匕,-2五86J、

74

【分析】(1)當y=0時，即0=-(/+丁+2,解方程可得圖象與x軸交于點5(3,0),當x=0

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時，歹=2,從而得圖象與V軸交于點C（0,2）；

（2）先利用勾股定理求出BCMVH，再分當BC=BP=5,當尸C=BC時，當尸C=P8時，三種情況討

論求解即可；

（3）分點。在8c上方時和點P在8C下方兩種情況討論求解即可.

24

【詳解】（1）解：當y=0時，即0=-§尤2+§x+2,解得：玉=-1,x?=3.

圖象與x軸交于點/（-1,0）,5（3,0）,

當x=0時，y=2,

???圖象與了軸交于點C（0,2）,

（2）解：V5（3,0）,C（0,2）,

二BC=J（3_0）2+（0-2）2=岳,

當BC=BP=匹,則點P的坐標為（3-JHo）或（3+而,0）；

當尸C=8C時，VOCYBP,

：.OP=OB=3,

二點尸的坐標為（-3,0）；

當PC=P5時，設點尸的坐標為（如0）,

pc2=PB2，

A（m-O）2+（O-2）2=（m-3）2,

解得加=3，

點P的坐標為（d，o］；

綜上所述，點P的坐標為（3-而■,（））或（3+而；0）或（-3,0）f|,o\

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NQCB=ZABC,

：.CQ//AB,即。0〃x軸，

/.點。與點C關于拋物線的對稱軸對稱,

74

,??拋物線解析式為"-：/+（+2,

4

...拋物線的對稱軸為直線》=一

VC(0,2),

/.2(2,2)；

當點。在BC下方時，設C。交X軸于點K（加,0）,

,/AQCB=ZABC,

：.CK=BK=3-m.

在中，2+

Rt^COK0c0K2=CK2,

22+m2=(3—冽『,

解得：m=y,

6

：.K?0?

設直線CK的解析式為V=履+"，

—k+d=0

6

d=2

解得：k=-%I?,d=2,

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/.直線CK的解析式為y=-—x+2,

12、

y------x+2

5

聯(lián)立,得

24。

y=—X2+—x+2

33

28

「西=0/-5

解得：1o（舍去），\

bi=2

綜上所述，點0的坐標為（2,2）或［拳-管J；

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，求二次函數與坐標軸的交點坐標，一次函數與幾何綜合，勾股定

理，等腰三角形的性質與判定等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵.

【變式1-2］（2024?廣東?一模）綜合應用.

24

如圖1,在平面直角坐標系中，已知二次函數歹=-§/+］》+2的圖象與x軸交于4,8兩點（點N在點3

的左側），與y軸交于點C,連接BC.

圖1圖2

（1）求4,B,C三點的坐標，并直接寫出直線8C的函數表達式；

（2）點尸是二次函數圖象上的一個動點，請問是否存在點P使/尸C8=48C?若存在，請求出點尸的坐標；

若不存在，請說明理由；

⑶如圖2,作出該二次函數圖象的對稱軸直線/,交x軸于點D.若點M是二次函數圖象上一動點，且點M

始終位于x軸上方，作直線/M,BM,分別交/于點E,F,在點M的運動過程中，尸的值是否為

定值？若是，請直接寫出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴/（-1，0）,3（3,0）,C（0,2）,yBC=-±x+2

（2）存在，點戶的坐標為（2,2）或

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(3)DE+。下的值是定值；DE+DF^—

o4

【分析】⑴當y=0時，即0=-y+(+2,解方程可得圖象與x軸交于點/(TO),8(3,0),當x=0

時，＞=2,從而得圖象與了軸交于點C(0,2),利用待定系數法即可求解直線BC的函數表達式；

(2)分點尸在3C上方時和點尸在3C下方兩種情況討論求解即可；

(3)由(2)得拋物線的對稱軸為直線x=l,從而。(1,0),設河，,-32+。+2]且_1?3,進而利用

待定系數法求得直線/初和直線的解析式，從而得?！?-$+4,。尸=$+：,于是即可得

DE+DF=-t+-+[--t+4^1=

33I3J3

74

【詳解】(1)解：當y=o時，即0=-§尤2+§X+2,

解得：再=-1＞尤2=3.

???圖象與X軸交于點/(-1,0),8(3,0),

當x=0時，＞=2,

???圖象與y軸交于點c(o,2),

設直線為：y=mx+n,

把8(3,0),C(0,2)代入y=+”得

[2=〃

[0=3nl+n'

2

m=—

解得3,

n=2

2

直線的函數表達式為為c=-§》+2;

(2)解：存在，理由如下：

當點P在3C上方時，

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CP//AB,即CP〃x軸，

.?.點P與點C關于拋物線的對稱軸對稱，

24

y——x2H—x+2,

33

4

.??拋物線的對稱軸為直線x=--號K=1;

VC（0,2）,

???尸（2,2）；

當點P在8c下方時，設C尸交x軸于點K（~0）,

則OK=/M,KB=3-m.

'：NPCB=NABC,

：.CK=BK=3—m.

在RtACOK中，OC2+OK?=CK2,

22+m2=(3—加J,

解得：m=y,

6

設直線CK的解析式為y=kx+d,

—k+d=0

<6,

d=2

12

解得：k=~,d=2,

12

...直線CK的解析式為y=-^x+2,

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12。

y------x+2

5

聯(lián)立，得

24c

y=-x2-\—x+2

33

28

%=05

解得:1c（舍去），

.必=z286'

y-------

2225

.?聯(lián),286

25

綜上所述，點。的坐標為(2,2)或(段,286

25

(3)解：存在，下的值為定值多理由如下:

由(2)得拋物線的對稱軸為直線x=l,

設+§,+2]且,

設直線的解析式為歹=占％+4,

將4(-1,0)和點”的坐標代入得:

—后]+a=0

7724.,

tk、+by=——t2+—t+2

72c

k、=-/+2

13

解得：,

72c

h=——1+2

,13

二直線的解析式為y=1-g/+2)x-g2/+2,

3

4

當x=l時，y=—%+4,

3

***"[1'-丁+4；

—]x+2，+2,

同理，直線期的解析式為：》=—t

33）

44

當x=l時，y=-t+~,

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444

DE=——t+4,DF=-t+-

333f

DE+DF=-t+-t+

Z.3-3+If-34^）1=3

...DE+DF的值是定值，DE+DF^.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像及性質，待定系數法求一次函數的解析式，二元一次方程組的應用以

及勾股定理，熟練掌握二次函數的圖像及性質以及勾股定理是解題的關鍵.

【變式1-3］（2024?山東日照?二模）如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c過原點O,與x軸正

半軸交于另一點A,且經過點8（-1,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若“是拋物線上一點（不與點B重合），其橫坐標為加，以期為對角線作矩形5CMD,8c垂直于〉軸,

①當拋物線在矩形內部的圖象從左到右逐漸上升時，直接寫出機的取值范圍；

②當矩形8cMD內部的圖象（包括邊界）的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4時，求加的值；

③如圖3,拋物線的頂點為E點，點尸是了軸下方、拋物線對稱軸上一點，若/BPE=/EAP,求尸點的坐

標.

【答案】（l）y=—x~+2x

（2）①加￡1,且加w-1；②=1或1一20或1+20;③（1,一百）

【分析】（1）利用待定系數法求解即可；

（2）①首先得到y(tǒng)=-x2+2x=-（x-iy+l,拋物線開口向下，對稱軸為x=l,當xW-1時，y隨x的增大

而增大，進而求解即可；

②根據題意分點M的縱坐標為-3+4=1和點M的縱坐標為-3-4=-7兩種情況討論分別代入拋物線表達式

求解即可；

③過點/作交的延長線于點0,過點0作登，X軸于點令PE交x軸于點“，根據

^APM^QAH（AAS）,得4M=QH=1,PM=AH,求出直線PB解析式，然后把點0的坐標代入即可求

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解.

【詳解】(1)?拋物線y="2+2x+c過原點0(0,0),5(-1,-3)

.?.尸

-2+c=—3

=0

解得,

二一1

???拋物線的解析式為y=-x2+2x；

(2)①：拋物線y=*+2x=-(x-l)2+l；

二拋物線開口向下，對稱軸為x=l

.?.當時，＞隨x的增大而增大，

是拋物線上一點(不與點3重合)，其橫坐標為加，

,當，〃￡1,且〃?/-!時，拋物線在矩形3CW內部的圖象從左到右逐漸上升；

②?.?臺(-1,-3),矩形8CWD內部的圖象(包括邊界)的最高點縱坐標與最低點的縱坐標之差為4

二當點M的縱坐標為-3+4=1時，

1=-m2+2m

解得m=1；

當點M的縱坐標為-3-4=-7時，

?*--7=-m2+2m

解得叫=1-2后，刈2=1+2行

綜上所述，冽=1或1-20或1+2行;

③過點4作4。，/尸交BP的延長線于點Q,過點。作，x軸于點H,令PE交x軸于點M,頂點石(1，1)，

解—X2~\~2X=0得石=0,%=2,

：.AM=MF=\,

；?/EAO=ZAEP=45。,

VZEAP=ZBPE.ZAEP+/LEAP+ZAPE=180°,NAPQ+NBPE+NAPE=180。,

：.ZAPQ=45°f

???A4P。為等腰直角三角形，

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??.AP=AQ.

?.,/PAM+ZQAH=90°,ZPAM+ZAPM=90P,

：.ZAPM=ZQAH,

?.,ZPMA=ZAHQ=90°,

.??△力?M義△。/”(AAS),

AM=QH=\,PM=AH,

令點P(T,m),則9=—加=/〃，

*,?。（2-私一1）,

—〃+;/=-3

設直線總解析式為歹=左\+少，則

kr+br=m

m-3

b'=

2

解得，

m+3

k'=

2

IA,1—八、\―r,口1加+3/_\JTl—3

將點。代入可得：-l=（一'（2-%）+下一,

解得：m=±V5,

?.,點尸在y軸下方,

m<0,

n=-V5,

尸點的坐標為。，-石）.

【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式，二次函數與幾何綜合，全等三角形的性質和判定，坐標與

圖形的性質，等腰直角三角形的判定與性質等知識，數形結合是解答本題的關鍵.

題型二：二倍角關系問題

【例2】（2024?西藏,二模）已知拋物線了=-Y+6x+c與x軸交于點/（T,0）和點8,對稱軸為直線x=l,

拋物線與〉軸交于C點.

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(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖(甲)，9是拋物線第一象限內的任一點，過點P作POLx軸于D,直線3c與尸。交于點E,當LCEP

是以PE為底的等腰三角形時，求尸點的坐標；

(3)如圖(乙)，若點M是拋物線上任意一點，且滿足=求朋■的坐標.

【答案】(l)y=--+2x+3；

⑵(1,4)；

【分析】(1)用待定系數法求解即可；

⑴求出直線3c解析式，設點尸坐標為：(X,-/+2X+3),則點E坐標為(X,-X+3),當ACEP是以PE為

底的等腰三角形時，點C在線段尸￡垂直平分線上，線段尸￡中點的縱坐標為3,由此求出x即可；

(3)如圖所示，取點。(1,0),連CD,在CD上取點尸，使得/尸=/。，連4尸并延長交拋物線于點

利用等腰三角形的性質和三角形內角和證明乙3B=NDC4=24C。，再分別用待定系數法依次求出直線

ZX?和直線的解析式，求出直線與拋物線交點M的坐標，再由對稱性求出另一?點M的坐標即可.

【詳解】(1)解：由題意，得

0=-l-b+c

‘.——=1,

I2x(-1)

，拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；

(2)解:由題意點C坐標為(0,3),

由拋物線的對稱性，點2的橫坐標為1+1-(-1)=3,

則3點的坐標為：(3,0),

設直線3c解析式為：y=kx+b(k^0),

第16頁共56頁

把8(3,0),C(0,3)代入，得，

[0=3上+6

j3=6'

[k=-l

解得:八2，

[o=3

二直線3C解析式為：y=-x+3,

.?.設點尸坐標為：(X,-X2+2X+3),則點E坐標為(x,-x+3),

當aCEP是以尸E為底的等腰三角形時，

點C在線段PE垂直平分線上，線段尸￡中點的縱坐標為3,

解得，西=1,超=0(舍去)，

A-X2+2X+3=-1+2+3=4,

故尸點的坐標為(1,4).

(3)解：取直線x=l與x軸交點(1,0),記為點。，

連CD,在CD上取點尸，使得4F=4D,連4尸并延長交拋物線于點

由題意可知，點4。關于y軸對稱，則有ND/C=NCD4,2ZACO=ZDCA,

,?AF=AD,

：.ZAFD=ZCDA,

：.NMAB=ZDCA=2AAeO,

設直線DC解析式為：y=mx+n(m^Q),

把。(1,0),C(0,3)代入,得，

[0=左+b

解得，

第17頁共56頁

1=-3

[b=3>'

二直線DC解析式為：y=-3x+3

設點尸坐標為(x,-3x+3),

=[X-(-1)]2+(-3X+3)2=(V+1)2+卜3x+3j=(-1-1)2=4,

*.?AF=AD,

；.(尤+1)2+(-3尤+3)2=4,

3

解得，,%2=1(舍去)，

則點尸坐標為：

設直線AM的解析式為V=ex+/(e。0),

把點尸]1,3代入，得

3

e=—

解得，:

I4

33

AM的解析式為y=+:，

44

33

當一x+—=-x2+2x+3時，

44

9

解得石=牙％2=7（舍去）

???點M的坐標為,

由對稱性可知當/坐標為-gj時，直線w與拋物線的另一個交點也滿足題意，

同理可以求出此時”的坐標為

1416；

綜上，點”的坐標為或

（416）I416）

【點睛】本題是二次函數的綜合與一次函數的綜合，勾股定理，等腰三角形的性質等等，解題的關鍵在于

能夠利用等腰三角形的性質構造出等角關系.

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【變式2-1]（2024?山西晉城?三模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=一3x+4的圖象與x軸交

于4,B兩點（點/在點3的左側），與夕軸交于點C,作直線2C.。為直線/C上方拋物線上的一個動

點，橫坐標為小，過點。作。尸，x軸于點R交直線/C于點￡.

（1）求點B,C的坐標，并直接寫出直線/C的函數表達式.

⑵當N4CD=2NBAC時，求點D的坐標.

【答案】⑴/(TO),5(1,0),C(0,4),y=x+4

⑵(-2,6)

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、等腰三角形的三線合一等知識，熟練掌握二次

函數的圖象與性質是解題關鍵.

（1）根據二次函數的性質和待定系數法求解即可得；

（2）過點C作CGLD尸于點G,先求出的長，從而可得點。的坐標，再代入二次函數的解析

式求解即可得.

【詳解】（1）解：對于二次函數歹=---3尤+4,

當、=°時，一/-3芯+4=0,解得x=T或x=l,

.?./（-4,0）,5（1,0）,

當x=0時，y=4,

：.C（0,4）,

設直線AC的函數表達式為y=kx+b,

/、（、[—4k+b=0[k=\

將點/（TO）,C（0,4）代入得：，解得

則直線/C的函數表達式為y=x+4.

（2）W：VC（0,4）,

OC=4,

如圖，過點C作CGLD尸于點G,

第19頁共56頁

fit

則四邊形OCGb是矩形，

：.GF=OC=4,CG//AB,

:?/ACG=/BAC,

ZACD=2ZBAC,

：.ZACG=NDCG,

：.90°-ZACG=900-ZDCG,即/CED=/CDE,

：.CD=CE,

又???CG-LDF,

DG=EG,

TO為直線4。上方拋物線上的一個動點，橫坐標為加，。尸，x軸于點廠，

-4<m<0,￡（加，加+4）,

EF=m+4,

???DG=EG=GF-EF=-m,

：.DF=DG+GF=-m+A,

將點。（加，一加+4）代入y=—/一3》+4得：-m+4=-m2—3m+4，

解得m=-2或加=0（不符合題意，舍去），

.?.點。的坐標為（-2,6）.

【變式2-2］（2024?山東東營?模擬預測）如圖1,拋物線>="2+法-3經過4T0）,2（3,0）兩點，與了軸

交于點C,尸為第四象限內拋物線上一點，過點尸作尸〃_Lx軸于點M,連接ZC,AP,4P與了軸交于點

D.

第20頁共56頁

yy,

M

圖i圖2

(1)求拋物線的函數表達式.

(2)設四邊形的面積為S,求S的最大值.

(3)當=時，求直線AP的函數表達式及點尸的坐標

【答案】⑴尸心_3

(2)$最大值=6

(3)直線4尸的解析式為y=-(4X一4(；點尸的坐標(5為3/2

【分析】本題考查二次函數的圖象及性質，待定指數法求函數解析式，二次函數與幾何圖形，解題的關鍵

是掌握相關的知識.

(1)將/(-1,0),3(3,0)代入＞=修+版-3,即可求解；

(2)連接。過點。作于點E,尸為第四象限內拋物線上一點，設點尸(加，加2-2加-3),則

2

BM=3-m,PM=\yp\=-m+2m+3,根據。E_LPM,點。在了軸上，可得DE=m,最后根據

1137

s=S"+S.BMP=-MP.DE+-MP-BM得S==-義%-1)一+6,然后根據二次函數的最值求解即可；

(3)根據題意可推出N￡MC=NDC/,則4D=CD,設。(0,"),由1+/=(〃+3丫，求出。再

由待定系數法求直線/P的解析式，聯(lián)立方程組可求出點P的坐標.

【詳解】⑴解:將4-1,0),2(3,0)代入丁=。/+樂一3,得：

.[a-b-3=0

??[9〃+3b-3=0'

\a=\

,'[b=-2,

拋物線的解析式為了f2-2x-3；

(2)解：如圖，連接DW,過點。作于點E,

第21頁共56頁

???8(3,0),拋物線的解析式為了-2x-3,

圖2

，設點尸(取力-2m-3),

尸為第四象限內拋物線上一點,

0<m<3,

???1《_1_;(：軸，點后在尸八，上,

BM=3—m,

DEVPM,點D在歹軸上,

/.DE=m,

DE+BM=m+（3-m）=3,

2

P^=\yP\=-m+2m+3,

???S=S.P+S,BMP=1Mp.DE+gMP.BM

=；MP.（DE+BM）

3/2cc

=5（—冽+2m+3

2

=-l（m_l）+6

3

—<0,0<m<3,

2

二當m=1時，s有最大值，S最大值一6；

(3)解：如圖，

第22頁共56頁

令x=0,貝!Jy=0-()_3=_3,

C(0,-3),

,?,O0_Lx軸，尸M_Lx軸，

OD//MP,

ZADO=/APM，

???/MPA=2/PAC，

ZADO=2ZPAC,

又丁ZADO=ZDAC+ZDCA,

/.ADAC=ADCA,

AD=CD,

設。(O,〃)，貝iJZO=CD=〃一(一3)=〃+3,

又A>=042+002=1+1,

?-1+Z?2=(〃+3)2,

4

?.n——,

3

設直線4尸的解析式為歹=履+6,將4(-1,0),代入得:

b=--

3

-k+b=0

4

解得：；

4

3

44

「?直線AP的解析式為y=-yX-y;

第23頁共56頁

44

y=——x----

聯(lián)立，得-33

y=x2-2%-3

5

解得:(不合題意，舍去)，＜

32

m=0y=--

29

(532

點尸的坐標為

【變式2-3】.(2024?山東荷澤?二模)已知拋物線y=a/+6x+3經過點和點3(-3,0),與V軸交于

點C,點尸為第二象限內拋物線上的動點.

(2)如圖1,拋物線上是否存在點P,使四邊形80C尸的面積為8?若存在，請求出點P的坐標；若不存在,

請說明理由.

(3)如圖2,連接OP交BC于點。，當，〃0：5"四=1：2時，請求出點。的坐標;

(4)如圖3,點E的坐標為點G為x軸負半軸上的一點，ZOGE=\50,連接PE,若NPEG=2NOGE,

請求出點尸的坐標.

【答案】(l).y=f2-2x+3；(-1,4)

(2)不存在，理由見解析

⑶「L2)

(4)-2-，2~

【分析】(1)將點/。,0)和點3(-3,0)代入＞=°/+為+3得到關于。、b的二元一次方程組，求解即可；

⑵連接3C,求出直線8c的解析式，過點P作尸G〃夕軸交8C于點G,設P(「產-21+3),則G?J+3),

則邑皿=：X3X(-尸_3?)=|,此時f無實數根；

(3)設。點橫坐標為〃，由題意可得5.脆=；乂(“+3卜(-/2一3。=一/一3乙求出〃的值即可求。點坐標；

(4)設PE與x軸的交點為由題意可知NGHE=45。，則〃(-1,0),直線HE與拋物線的交點即為所求P

第24頁共56頁

點.

【詳解】(1)解：???拋物線-=江+上+3經過點/(1,0)和點8(-3,0),

JQ+6+3—0

?陵-36+3=0'

Cl——1

解得:

b=-1,

拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3,

*.*y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,

???拋物線的頂點為(T4),

故答案為：y=-x2-2x+3；(-1,4)；

(2)不存在點P,使四邊形5。。2的面積為8.理由如下:

連接BC,

:拋物線歹=-f一2x+3與V軸交于點C,B(-3,0),

當％=0時，得：歹=3,

???。(0,3),

???OC=OB=3,

19

S的,=—x3x3=—

22

設直線3C的解析式為y=b+"?,過點/TO),C(0,3),

{-3k+m=0

[m=3

k=l

解得:

m=3

???直線BC的解析式為y=x+3,

過點夕作尸G〃丁軸交BC于點G,

設P(廠》—2/+3),則G(/,/+3),

22

PG=-t-2t+3-t-3=-t-3t,

若四邊形BOCP的面積為8,

in7

則邑BCP=5X3X(T2-3/)=8-5=5,

整理得：3/+%+7=0,

VA=92-4X3X7=-3<0,

此時方程無實數根，

第25頁共56頁

.,?不存在點P,使四邊形30CP的面積為8；

??V?v—]-?

?3CPD,3BPD-,?4,

2]

**?SABPD=1x5x3x(-1?-3/)=-1?—3tf

設。點橫坐標為〃，

S&BPD~,x(〃+3)x(—t?—3/)=-1?-3t,

解得：n=-l,

??,點。在直線5C的解析式為y=％+3,

.*.^=-1+3=2,

???點。的坐標是(T2)；

(4)設尸E與％軸的交點為H,

VZOGE=15°,ZPEG=2ZOGE,￡(0,-1),

：.ZPEG=2x15°=30°,OE=\,

：.ZOHE=ZOGE+/PEG=15。+30。=45°,

ZOEH=90°-ZOHE=90?！?5。=45。=ZOHE,

：.OH=OE=1,

A7/(-1,0),

設直線班的解析式為y=%/+如E，過點H(-l,0),￡(0,-l),

,b%E+%二°

U[bHE=-l

???直線族的解析式為y=-X-1,

聯(lián)立方程組］;=-x-l

=-x2-2x+3'

第26頁共56頁

【點睛】本題考查二次函數的圖像及性質，待定系數法確定函數解析式，等角對等邊，三角形外角的定義

及性質，一元二次方程的應用，三角形的面積等知識點.熟練掌握二次函數的圖像及性質，等腰三角形的

判定，求三角形的面積及函數圖像之間的交點坐標是解題的關鍵.

題型三：兩角和與差問題

【例3】（2024?山西臨汾?一模）綜合與探究

如圖，拋物線尸-++c的圖像與x軸交于4鞏4,0）兩點（點/在點3的左側），與y軸交于點。（0,2）,

備用圖

（1）求拋物線表達式及BC所在直線的函數表達式；

（2）若點尸是第一象限內拋物線上的一個動點，連接尸2PC,求APBC面積的最大值及此時點P的坐標;

（3）若點M是拋物線上的點，^.ZOBC+ZOBM=45°,請直接寫出點初的坐標.

131

【答案】（1）拋物線解析式為＞=+1_x+2,直線3c的解析式為y=-^x+2,

（2）APBC面積的最大值為4,此時點P的坐標為（2,3）

第27頁共56頁

(517V]_13

⑶一了一直或

T~9

【分析】(1)設出直線8c解析式，分別把8(4,0),C(o,2)代入拋物線解析式中和直線3C解析式中，利

用待定系數法求解即可;

(2)過點P作〃＞軸交8C于D,設P，?，一:蘇+"|機+2),則D1?

——m+2，可得尸。二—,(加一2)+2；

2

=

再由凡PBC凡PCD+S\PBD,得到S&PBC(加-2『+4,利用二次函數的性質即可求出答案;

(3)如圖所示，取點〃(-2,-2),連接C4,BH,利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明VM是等腰直

14

角三角形，得到/B〃C=45。，則點M即為5〃為拋物線的交點，同理可得直線解析式為

145

y=—x----x=-

33;或x=4,則點河的坐標為K17114

聯(lián)立，解得，yI;求出直線歹=1與y

13y=033

y=----X2H-----X+2y=-

229

軸的交點坐標為［。，-：］；取414

則直線BT解析式為y=-+葭由對稱性可得=,

3

]_13

則射線5T與拋物線的交點即為點同理可得點M的坐標為

【詳解】(1)解：把8(4,0),c(o,2)代入y=_g/+法+c中得:-8+4/?+c=0

c=2

6、

2,

c=2

iQ

??.拋物線解析式為^=--%I2+-X+2；

設直線3C的解析式為y=履+〃,

4k+bf=0

把3(4,0),。(0,2)代入歹=去+?中得:

br=2

k=--

2,

b'=2

二直線BC的解析式為了=+2；

(2)解：如圖所示，過點尸作尸?！ㄌ燧S交于，

、\123,貝！J加，一;冽+2),

—m+—m+2

第28頁共56頁

__12|1_]12c1/_\2.

PD=-—m+—m+2-I-—m+21=-+2m=--(n-2)+2；

=

?SyPBCS'pCD+SvpBD,

??S.PBC=3PD，(Xp-Xc)+~^PD?(XB-Xp)

=2PD

=-(m-2)2+4,

V-l<0,

當初=2時，1pg最大，最大值為4,

???此時點尸的坐標為（2,3）

(3)解：如圖所示，取點//(-2,-2),連接CH,BH,

V5(4,0),C(0,2),

???BO?=(4-0)2+(0_2『=20,BH2=(-2-4『+(—2-0)2=40,

CH2=(-2-。丫+(-2-2『=20,

BC2+CH2=BH2,BC2=CH2,

???V戈》是直角三角形，且N〃CB=90。，BC=CH,

???V9是等腰直角三角形，

；?NBHC=45。,

I/OBC+/OBH=45。,

*：ZOBC+ZOBM=45°,

???點M即為BH為拋物線的交點，

14

同理可得直線BH解析式為J=

第29頁共56頁

5

y=—x----x=——

3

聯(lián)立2解得

17

y——xH—x+2y=----

I229

???點M的坐標為

144

在歹=一工——中，當x=0時，y=一一，

333

???直線W與y軸的交點坐標為卜-力

取貝I］直線37解析式為y=_gx+g,

由對稱性可得ZOBT=ZOBH,

二射線BT與拋物線的交點即為點M,

1

y=x=——

3

聯(lián)立V解得

13

y=y=一

229

]_13

???點河的坐標為

【點睛】本題主要考查了二次函數綜合，一次函數與幾何綜合，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角

三角形的性質與判定等等，解（2）的關鍵在于利用線段尸。的長表示出對應三角形的面積，解（3）的關鍵

在于取出H點證明等腰直角三角形得到45度的角.

第30頁共56頁

【變式3-1](2024?山東