中考數(shù)學重難點題型之函數(shù)專練：二次函數(shù)與圖形問題（原卷版）

專題04二次函數(shù)與圖形問題

考法一：定長圍面積最大

1.（2022?遼寧沈陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個"日"字型框架

ABCD,鐵絲恰好全部用完.

⑴若所圍成矩形框架/BCD的面積為144平方厘米，則N2的長為多少厘米?

⑵矩形框架ABCD面積最大值為平方厘米.

2.（2022?山東威海?統(tǒng)考中考真題）某農(nóng)場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三

邊用木柵欄圍成.已知墻長25m,木柵欄長47m,在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口

（另選材料建出入門）.求雞場面積的最大值.

出入口

3.如圖，某養(yǎng)殖戶利用一面長20"?的墻搭建矩形養(yǎng)殖房，中間用墻隔成兩間矩形養(yǎng)殖

房，每間均留一道寬的門.墻厚度忽略不計，新建墻總長34%，設的長為x米，養(yǎng)殖

房總面積為S.

20m

AED

BFC

(1)求養(yǎng)殖房的最大面積.

(2)該養(yǎng)殖戶準備400元全部用于購買小雞和小鵝養(yǎng)殖，小雞每只5元，小鵝每只7元，并

且小雞的數(shù)量不少于小鵝數(shù)量的2倍.該養(yǎng)殖戶有哪幾種購買方案？

4.(2022?江蘇無錫?統(tǒng)考中考真題)某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資

源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻(墻的長度為10m),另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把

它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m,設較小矩形的寬為xm(如

圖).

(1)若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2,求此時x的值；

(2)當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？

5.北重一中計劃利用一片空地建一個學生自行車車棚，其中一面靠墻，墻的最大可用長度

為12米.另三邊用總長為26米的木板材料圍成.車棚形狀如圖中的矩形A3CD。為了方

便學生出行，學校決定在與墻平行的一面開一個2米寬的門。

AD

BC

（1）求這個車棚的最大面積是多少平方米？此時AB與AD的長分別為多少米？

⑵如圖2,在（1）的結(jié)論下，為了方便學生取車，施工單位決定在車棚內(nèi)修建幾條等寬的

小路，使得停放自行車的面積為70平方米，那么小路的寬度是多少米？

6.（2022?湖南湘潭?統(tǒng)考中考真題）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的

意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成回、回兩塊矩形勞

動實踐基地.某數(shù)學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費

籬笆墻），請根據(jù)設計方案回答下列問題：

41〃〃/〃〃〃/〃/〃///〃〃/〃/〃：/?

H

F

I區(qū)Il區(qū)

DG

圖①圖2

⑴方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在回區(qū)中留一個寬度A￡=1m的水池且需

保證總種植面積為32m2,試分別確定CG、DG的長；

（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問2c應設計為多長？此時最

大面積為多少？

考法二：動點函數(shù)圖象判斷

7.（2022?山東荷澤?統(tǒng)考中考真題）如圖，等腰Rt.MC與矩形。跖G在同一水平線上，

AB=DE=2,DG=3,現(xiàn)將等腰Rt45c沿箭頭所指方向水平平移，平移距離x是自點C

到達。E之時開始計算，至離開GF為止.等腰RtABC與矩形。斯G的重合部分面積

記為乃則能大致反映y與x的函數(shù)關系的圖象為（）

8.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt_ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

AB=473cm,CD1AB,垂足為點。，動點M從點A出發(fā)沿A3方向以gcm/s的速度勻

速運動到點3,同時動點N從點C出發(fā)沿射線。C方向以Icm/s的速度勻速運動.當點M

停止運動時，點N也隨之停止，連接MN,設運動時間為fs,的面積為Sen?,則

下列圖象能大致反映S與/之間函數(shù)關系的是（）

9.（2022?廣東東莞?東莞市萬江第三中學校考三模）如圖，等邊ABC的邊長為6,尸沿

CfBfA運動，。沿BfAfC運動,且速度都為每秒2個單位，VBPQ面積為y,則

》與運動時間x秒的函數(shù)的圖象大致為（）

10.（甘肅?模擬預測）如圖，矩形中，AB=3,BC=4,動點尸由點/出發(fā)，沿

/玲2好C的路徑勻速運動，過點尸向?qū)蔷€/C作垂線，垂足為0,設a4P0的面

積為丹則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致是（）

11.（2022?遼寧錦州?中考真題）如圖，四邊形ABCD是邊長為2cm的正方形，點￡,點產(chǎn)

分別為邊AD,8中點，點。為正方形的中心，連接OE,。尸，點尸從點￡出發(fā)沿

E-O-尸運動，同時點。從點8出發(fā)沿BC運動，兩點運動速度均為lcm/s,當點尸運動

到點尸時，兩點同時停止運動，設運動時間為左，連接8aPQ,V3PQ的面積為Sen?,

下列圖像能正確反映出S與t的函數(shù)關系的是（）

AED

12.（2022?遼寧盤錦?中考真題）如圖，四邊形4BC。是正方形，4B=2,點P為射線2c

上一點，連接DP,將。尸繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段￡尸，過臺作￡尸平行線交DC延

長線于足設8P長為x,四邊形8EE尸的面積為y,下列圖象能正確反映出y與x函數(shù)關

系的是（）

13.（2022?遼寧?統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形4BC中，BC=4,在必能歷尸中，

0￡7）尸=90。，0F=3O。，DE=4,點、B,C,D,E在一條直線上，點C,。重合，EL42c沿

射線方向運動，當點8與點￡重合時停止運動.設西8C運動的路程為x,西8c與

尺地斯重疊部分的面積為S,則能反映S與x之間函數(shù)關系的圖象是（）

14.（2022?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，NABC=90。,AB=23C=4,動

點尸從點/出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段A2勻速運動，當點P運動到點3

時，停止運動，過點尸作尸QIA3交AC于點0,將△AP。沿直線PQ折疊得到A'PQ,

設動點尸的運動時間為1秒，一APQ與二ABC重疊部分的面積為S,則下列圖象能大致反映

S與，之間函數(shù)關系的是（）

15.（2022?遼寧本溪?統(tǒng)考三模）如圖，在A/BC中，酎8c=90。，EUC5=30°,AB=2,BD

是NC邊上的中線，將ABCD沿射線方向以每秒百個單位長度的速度平移，平移后的

三角形記為設△8/GD/與重疊部分的面積為乃平移運動時間為x,當點

。與點3重合時，△8/GD停止運動，則下列圖象能反映夕與x之間函數(shù)關系的是

16.（2022春?九年級課時練習）如圖，Rt^ABC中，NC=90。，AC=4cm,3c=3cm,

動點P沿折線C4-AB運動，到點8停止，動點0沿BA-AC運動到點C停止，點P運動

速度為2cm/s,點。的運動速度為2.5cm/s,設運動時間為心），△APQ的面積為S,則S

與《0WK4.5）對應關系的的圖象大致是（）.

17.（2022?遼寧撫順?統(tǒng)考三模）如圖，在矩形48CD中，AB=2cm,BC=4用cm,E是AD

的中點，連接BE,CE.點尸從點2出發(fā)，以gcm/s的速度沿BC方向運動到點C停止，

同時點0從點B出發(fā)，以lcm/s的速度沿方向運動到點C停止，若EBPQ的面積為

7（cm2）,運動時間為x（s）,則下列最能反映y與x之間函數(shù)關系的圖象是（）

AED

BpfC

4

18.（2022?河南周口?統(tǒng)考二模）如圖，ABC中，tanZB=耳，點。為邊8C上一個不與

B、C重合的一個動點，過點。作與點E,作RtZYDEA的中線￡F,當點。從B

點出發(fā)勻速運動到點C時，設△AEF的面積為y,BD=x,y與尤的函數(shù)圖象如圖2所

示，則ABC的面積為（）

A.—B.——C.19D.18

55

19.（2022?安徽合肥?統(tǒng)考二模）如圖，在矩形/BCD中，AB=3,/。=2,點￡是CO的

中點，射線/￡與2c的延長線相交于點尸，點M從/出發(fā)，沿/玲3玲廠的路線勻速運動

到點尸停止.過點〃作M何尸于點N.設NN的長為x,S4MV的面積為S,則能大致反

映S與x之間函數(shù)關系的圖象是（）

20.（2022?安徽蕪湖?蕪湖市第二十九中學校考二模）如圖，YABCD中，4B=4,BC=8,

的=60。，動點尸沿48-C-。勻速運動，運動過速度為2cm/s,同時動點。從點/向點。勻

速運動，運動速度為lcm/s,點0到點。時兩點同時停止運動.設點。走過的路程為

x（s）,△AP。的面積為Mem,能大致刻畫y與x的函數(shù)關系的圖象是（）

21.如圖，正方形A3CD的邊長為4,EFG中，EF=EG=/,FG=2,BC和FG在一條

直線上，當aEFG從點G和點8重合時開始向右平移，直到點尸與點C重合時停止運動，

設二EFG平移的距離為x,￡FG與正方形ABCD重疊部分的面積為乃則下列圖象中能大

致反映y與x的函數(shù)關系的圖象是（）

22.（2022?新疆昌吉?統(tǒng)考一模）如圖所示，P是菱形ABCD的對角線AC上一動點，過點P

作垂直于AC的直線交菱形A3CD的邊AB-BC于"點，AZ5-DC于N點.設AC=2,

BD=1,AP=x,的面積為y,則y關于x的函數(shù)圖像的大致形狀是（）

考法三：圖形綜合問題

23.（2022?江蘇南通?統(tǒng)考二模）如圖1,ABC中，ZACB=90°,tanA=-.點尸從點/

出發(fā)，沿邊42向點2運動.過點尸作尸Q1A3,垂足為P,P。交.ABC的邊于點。，設

AP=x,△AP。的面積為y.y與x之間的函數(shù)關系大致如圖2所示，則當x=4時，y的值

為（）

圖2

24.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題）【生活情境】

為美化校園環(huán)境，某學校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD=4m,寬AB=lm的長

方形水池A3CD進行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水

池工），同時，再建造一個周長為12m的矩形水池EFG8（如圖②，以下簡稱水池2）.

￡|-----------------------------------------

水池2

尸1-----------------------------------------1G

圖②

【建立模型】

如果設水池ABC。的邊AO加長長度D/W■為Mm）（x>0）,加長后水池1的總面積為

則為關于尤的函數(shù)解析式為：％=x+4（x>0）；設水池2的邊E廠的長為

2

x（m）（O<x<6）,面積為力仙?），則為關于x的函數(shù)解析式為：y2=-x+6x（0<x<6）,

上述兩個函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像如圖③.

(1)若水池2的面積隨E尸長度的增加而減小，則所長度的取值范圍是(可省略

單位)，水池2面積的最大值是m2;

⑵在圖③字母標注的點中，表示兩個水池面積相等的點是，此時的x(m)值是

⑶當水池1的面積大于水池2的面積時，x(m)的取值范圍是；

⑷在1〈尤<4范圍內(nèi)，求兩個水池面積差的最大值和此時無的值；

⑸假設水池ABCD的邊AD的長度為6(m),其他條件不變(這個加長改造后的新水池簡稱

水池3),則水池3的總面積為(m?)關于x(m)(x>0)的函數(shù)解析式為：

y3=x+b(x>0).若水池3與水池2的面積相等時，x(m)有唯一值，求6的值.

25.已知：如圖，在RtABC中，ZACB=90°,AB=8cm,AC=4cm,8為A3邊上的

高，點0從點/出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為lcm/s；同時，點尸從點8出發(fā)，沿

方向勻速運動，速度為2cm/s.設運動時間為《s)(O<t<4).解答下列問題：

c

⑴當/為何值時，PQ//BC.

(2)當尸。中點在C。上時，求才的值；

⑶設四邊形QP8C的面積為S(cm2),求S與/的函數(shù)關系式，并求S最小值.

26.(2022?寧夏吳忠??？家荒?已知：如圖，在RtA6C中，ZC=90°,AC=3cm,

BC=4cm,點尸從點8出發(fā)，沿BC向點C勻速運動，速度為la〃/s；過點尸作

PD//AB,交AC于點。，同時，點。從點A出發(fā)，沿向點2勻速運動，速度為

2cm/s；當一個點停止運動時，另一個點也停止運動，連接PQ.設運動時間為

*s)(0<r<2.5),解答下列問題：

⑴當/為何值時，四邊形ADP。為平行四邊形？

(2)設四邊形ADP。的面積為了(cm2),試確定y與f的函數(shù)關系式；

⑶在運動過程中，是否存在某一時刻3使細邊心《絲：5吃=13:2?若存在，請說明理由，若

存在，求出/的值.

27.(2022?寧夏銀川?銀川唐徐回民中學?？既?如圖，在ABC中，3c=10,BC邊上

的高AM=6,D,E分別是邊A3,AC上的兩個動點(點。不與點A、5重合)，DE與

AM交于點N,且OE〃8C,以DE為邊,在點A的下方做正方形。跳G.

(1)當正方形DEFG的邊GF在BC上時,求正方形DEFG的邊長.

(2)設。E=x,ABC與正方形?！闒G重疊部分的面積為兀則當x為何值時，y有最大

值，最大值是多少？

28.(2022?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，平行四邊形48co中，DB=2日4B=4,AD

=2,動點E,尸同時從/點出發(fā)，點E沿著/玲3的路線勻速運動，點廠沿著

/玲8玲。的路線勻速運動，當點E,尸相遇時停止運動.

2

(1)如圖1,設點￡的速度為1個單位每秒，點尸的速度為4個單位每秒，當運動時間為］

秒時，設CE與DF交于點、P,求線段￡尸與CP長度的比值；

⑵如圖2,設點E的速度為1個單位每秒，點尸的速度為石個單位每秒，運動時間為x

秒，//E尸的面積為外求y關于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最

大值為多少？

(3)如圖3,H在線段上且M為DF的中點，當點E、下分別在線段

AB上運動時，探究點E、廠在什么位置能使并說明理由.

29.（2020?吉林長春?統(tǒng)考二模）如圖，在△4BC中，勖C4=90。，AB=5cm,3c=3cm.動

點￡從8出發(fā)沿線段四方向以每秒lcm的速度向終點N運動.過點￡作EDS8/交射線

BC于點、D,以和。C為鄰邊作平行四邊形EDC凡過點。作。8〃。，交射線A4于

點、H,過點〃作8G回C4,交射線C4于點H.設點E的運動時間為f（秒）.

（1）直接寫出CD的長度（用含/的代數(shù)式表示）.

（2）當點尸落在?！ㄉ蠒r，求f的值.

⑶求平行四邊形EDCF與矩形CZ3HG重合圖形部分的面積S與時間t之間的函數(shù)解析式.

⑷若?！▽⑵叫兴倪呅纹ぃ綜F分成兩部分的面積之比為匕當0〈心g時，請直接寫出f的

取值范圍.

30.已知，如圖，在，ABC中，AB=AC=6,BC=8,ZDEF=ZABC.將NDEF與

/ABC重合在一起，讓NDEF在邊3C上以每秒1個單位長度的速度從8向C運動（不含

端點），且在運動過程中滿足：始終經(jīng)過點4所與/C交于點G.解決下列問題：

⑴求證：ABEs,ECG；

⑵當NDEF運動幾秒時，△AEG為等腰三角形;

⑶當線段NG最短時，求AMG的面積.

31.（2022?天津濱海新?統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系中，.CDO為等邊三角形，點。在第

二象限，點C在x軸負半軸上，一ABO為直角三角形，點A在y軸正半軸上，點B在x軸正

半軸上，OB=OC,ZABO=30°,OA=2.

（2）將CDO沿x軸向右平移，得到△CD。'，點C,D,。的對應點分別為C',

O',設。△CD'。與.ABO重疊部分的面積為S.

①如圖②，當△CDO與.ABO重疊的部分為四邊形時，與A3相交于點E,試用含

有/的式子表示S,并直接寫出/的取值范圍；

②當坦叵《出電必時，求s的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

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32.如圖，在矩形/5CD中，BOCD,BC、CD分別是一元二次方程，一7》+12=0的兩

個根，連接2D,并過點C作CWHSD,垂足為N,點尸從2出發(fā)，以每秒1個單位的速度

沿3。方向勻速運動到。為止；點M沿線段ZX4以每秒1個單位的速度由點。