中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)重難點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練：與圓有關(guān)的計(jì)算（分層訓(xùn)練）解析版

專題12與圓有關(guān)的計(jì)算（分層訓(xùn)練）

分層訓(xùn)練

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）已知扇形的圓心角為60。，半徑為1,則扇形的弧長為（）

A.-B.nC.-D.-

263

【答案】D

【詳解】解：根據(jù)弧長公式知：扇形的弧長為警=[.

lol）3

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查弧長公式的計(jì)算，熟練掌握運(yùn)用弧長公式是解題關(guān)鍵.

2.（2022?山東荷澤?統(tǒng)考一模）一個(gè)扇形的半徑為3,圓心角為40。，則該扇形的面積是（）

A.TtB.2兀C.471D.87r

【答案】A

【分析】直接代入扇形的面積公式即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，S扇形=嘴==兀

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式：$=嚶.

3.（2022?浙江寧波?統(tǒng)考中考真題）已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長為6cm,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.36ircm2B.24Ttem2C.16itcm2D.12-rrcm2

【答案】B

【分析】利用圓錐側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可：S側(cè)=兀包；

【詳解】S側(cè)=nrl=兀x4x6=24兀cm2,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式，比較簡單，直接代入公式計(jì)算即可.

4.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模）若用半徑為6,圓心角為120。的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐

的底面圓半徑為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】利用弧長公式易得圓錐側(cè)面展開圖的弧長，除以2凡即為圓錐的底面半徑.

【詳解】解：扇形的弧長=三等=4兀，

團(tuán)圓錐的底面圓的周長=4兀，

團(tuán)圓錐的底面圓半徑=9=2,

27r

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐，解題的關(guān)鍵是知道圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長.

5.（2022?浙江溫州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，該半圓的直徑是4cm,則圓錐底面

的半徑是（）

A.0.5cmB.1cmC.2cmD.4cm

【答案】B

【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的半圓的周長等于圓錐底面的周長，從而求出底面半徑；

【詳解】解：由題意，底面圓的周長為：|X7rx4=2n,

回底面圓的半徑為：—=1（cm）,

27r

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查立體圖形的側(cè)面展開；圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，扇形的半徑為圓錐的母線，扇形的弧

長為圓錐的底面周長.

6.（2022?北京口01中學(xué)?？寄M預(yù)測）在半徑為6cm的圓中，120。的圓心角所對的弧長是（）

A.47rcmB.37TcmC.27rcmD.ncm

【答案】A

【分析】直接把數(shù)據(jù)代入弧長公式2=黑進(jìn)行計(jì)算即可.

180

【詳解】解：由題意得，n=120°,Y-6cm,

曰i7171T，、

故44r可得：I=一=-12-0-7-r-x6=47,T（cm）.

180180'"

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算，熟記弧長公式是解本題的關(guān)鍵.

7.（2022?遼寧朝陽?校聯(lián)考一模）如圖，回。的半徑為6,圓周角4-4c=40。，則戰(zhàn)的長為（）

c

.2TTC8Tl

A.—Bc.—D.等

3-T3

【答案】C

【分析】分別連接。2、0C,則由圓周角定理可得BBOC的度數(shù)，由弧長公式即可求得結(jié)果.

【詳解】分別連接08、OC,如圖,

fflBOC=20BAC=8O°,

l,7807rx687r

鼠5即=--18-0-=—3

B

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，弧長的計(jì)算公式，圓周角定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.

8.（2022?山東青島?山東省青島實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，A/IBC內(nèi)接于。0/4=60°,BC=28,

貝I」區(qū)的長為（）

一4-3

2TTC.-71D.-7T

32

【答案】c

【分析】連接。以0C,過點(diǎn)。作。D1BC于D根據(jù)垂徑定理求出8D,根據(jù)圓周角定理求出NBOC,根據(jù)

余弦的定義求出0B,根據(jù)弧長公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】解：連接。8、0C,過點(diǎn)。作。D1BC于。，

則BD=DC=^BC=V3,

由圓周角定理得，NBOC=2N4=120。,

團(tuán)。8=OC,

EINOBC=Z.OCB=30°,

團(tuán)。0=工。3,OB2=BD2+OD2,

2

即OB?=(V3)2+i052,

團(tuán)。B=2(負(fù)值已舍)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、弧長的計(jì)算、垂徑定理的應(yīng)用，掌握圓周角定理、垂徑定

理、弧長公式是解題的關(guān)鍵.

9.（2004?浙江溫州?中考真題）高斯用直尺和圓規(guī)作出了正十七邊形,如圖，正十七邊形的中心角回AOB的度

數(shù)近似于（）

A.11°B.17°C.21°D.25°

【答案】C

【詳解】正多邊形一定有外接圓，且每條邊所對的中心角相等，即360。+17=21。.

故選c.

10.（2023,廣東廣州,統(tǒng)考一模）如圖，已知蜘BC=90。，AB=nr,AB=2BC,半徑為r的回。從點(diǎn)A出發(fā)，沿

fC方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止.則在此運(yùn)動(dòng)過程中，圓心。運(yùn)動(dòng)的總路程為（）.

-3r5

A.27irB.37irC.-TITD.-TIT

22

【答案】A

【詳解】試題分析：沿A玲B玲C方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，全程路程如圖所示:

圖易知圓心所走路程S=AB+BC+弧MN

在Rt回MBN中，MN§=7r.所以Swr+'r+"r=2仃

考點(diǎn)：弧長

點(diǎn)評：本題難度中等，主要考查學(xué)生對弧長公式知識(shí)點(diǎn)解決動(dòng)點(diǎn)問題綜合運(yùn)算能力.為中考長空題型，要

求學(xué)生牢固掌握解題技巧.

11.（2023?福建福州??？家荒＃?B是O。的直徑，弦CD148,ZC=30°,CD=4四，則S陰影=（）

8

A.nB.2nC.-TTD.4n

3

【答案】c

【分析】先求出NE。。，再根據(jù)含30。直角三角形的性質(zhì)得CE,及4c=24E,然后根據(jù)勾股定理求出力E,進(jìn)

而得出AC,同理求出。E,0D,最后根據(jù)S陰影=S扇形a。。得出結(jié)論.

【詳解】解：0ZC=3O°,

SZ.E0D—2Z.C—60°.

EL4B1CD,4B過圓心。，CD=4y/3,

^\Z.AEC=Z.DEO=90°,CE=DE=2?

在RtAACE中，ZC=3O°,

^\AC=2AE,

根據(jù)勾股定理，得（24E）2=（2V3）2+AE2,

解得4E=2（負(fù)數(shù)舍去），

EL4c=2AE=4,

同理。E=2,0。=4,

￡^AEC=^hOED=2X2V3X2=2V3,

u607rx428

口^陰影=Sc扇形4OD=360=37r-

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，扇形的面積等，將求不規(guī)則圖形面

積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）大自然中有許多小動(dòng)物都是"小數(shù)學(xué)家"，如圖1,蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常

精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形.如圖2,一個(gè)

巢房的橫截面為正六邊形力BCDEF,若對角線力。的長約為8mm,則正六邊形力BCDEF的邊長為（）

圖2

A.2mmB.2&mmC.2V3mmD.4mm

【答案】D

【分析】如圖，連接c廠與AD交于點(diǎn)。，易證團(tuán)c。。為等邊三角形，從而cr）=oc=or>=Ir>,即可得到答

案.

【詳解】連接CP與AZ）交于點(diǎn)0,

EL4BCDEF為正六邊形，

EBCOD=—=60°,CO=DO,AO=DO=-AD=4mm,

62

釀COO為等邊三角形，

回CD=CO=DO=4mm,

即正六邊形4BCDEF的邊長為4mm,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考一模）如圖，一扇形紙扇完全打開后，兩竹條外側(cè)。/和。8的夾角為120。，Q4長

為10cm,貼紙部分的乙4長為5cm,則貼紙部分的面積為（）

A.—irm2B.257rm2C.48ncm2D.75ncm2

4

【答案】B

【分析】貼紙部分的面積實(shí)際是扇形045和扇形OCO的面積差，可根據(jù)扇形的面積公式分別表示出兩部

分的面積，進(jìn)而可求出貼紙部分的面積.

120-7TX1021207rx52znx

【詳解】解：S=S扇形OAB-S扇形OCD=---------=25R(cm2)

360360

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算方法，不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差.

14.（2023?四川德陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知回。的周長為4兀，腦的長為兀，則圖中陰影部分的面積為（）

A.7T—2B.7T—V3C.7TD.2

【答案】A

【詳解】試題分析：EBO的周長為4兀，030的半徑是r=4H+2H=2,EIAB的長為兀，13AB的長等于回。的周長的

EBAOB=90°,EIS陰影」X7TX2?-2X2+2=兀-2.故選A.

44

考點(diǎn)：1.扇形面積的計(jì)算；2.弧長的計(jì)算.

15.（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考一模）同圓的內(nèi)接正三角形與內(nèi)接正方形的邊長的比是（）

A.在B.三C.漁D.&

2433

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意畫出圖形,設(shè)出圓的半徑，再根據(jù)垂徑定理，由正多邊形及直角三角形的性質(zhì)求解即可.

二、填空題

16.（2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的弧長是47icm,面積是lZjrcm?,則此扇形的半徑是cm.

【答案】6

【分析】根據(jù)扇形面積公式S=3r計(jì)算即可.

【詳解】解：?.一=?「，

1

127r=-x4兀廠,

2

解得丁=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積公式，熟練掌握扇形面積公式5="「是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?山東青島?統(tǒng)考一模）如圖，在扇形4。8中，AAOB=120°,OB=V3,0c1OB于點(diǎn)O,交荏于

點(diǎn)C,連接力B,則圖中陰影部分的面積為

【答案】—

4

【分析】設(shè)48交0C于點(diǎn)凡過點(diǎn)R作RT104于點(diǎn)T,求出RT,OR,根據(jù)

S陰=S&ROB+S扇形A0C-S—OR,求解即可.

【詳解】解：如圖，設(shè)交0C于點(diǎn)凡過點(diǎn)R作RT104于點(diǎn)T,

團(tuán)0C10B,

回匕BOC=90°,

回4408=120。，OA=OB,

團(tuán)匕OAB=乙OBA=乙AOR=30°,

團(tuán)RA=RO,

回RT1OA,

回/T=TO=—,

2

回RT=OT-tan30°=

2

團(tuán)。R=2RT=1,

回S陰=S^ROB+S扇形40C-S—OR

=lxlxV3+22Z2W_lxV3xi

236022

_7T+V3

-4

故答案為：亨.

4

【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求陰影部分的面積.

18.（2023,浙江溫州?溫州市第四中學(xué)?？级＃┮阎刃蔚膱A心角為80。，半徑為3,則它的面積為

【答案】2兀

【分析】根據(jù)扇形的面積公式直接計(jì)算即可.

【詳解】解：扇形的面積S=能字=2兀，

360

故答案為：2兀.

【點(diǎn)睛】此題考查了扇形的面積公式：S=喏，熟記公式是解題的關(guān)鍵.

360

19.（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考一模）已知扇形的圓心角為120。，半徑為3,扇形的周長為一.

【答案】6+2n.

【詳解】試題分析：直接利用弧長公式求出扇形弧長，進(jìn)而得出扇形的周長.

團(tuán)扇形的圓心角為120。，半徑為3,

團(tuán)扇形的弧長為：例詈=2兀，

180

團(tuán)扇形的周長為：6+2n.

考點(diǎn)：弧長的計(jì)算.

20.（2022?廣西河池?統(tǒng)考一模）如圖，在正六邊形2BCDEF中，則sin-lBE的值為.

【答案】y

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出4WE=60。，然后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值即可得出答案.

【詳解】?；4BCDEF為正六邊形，

??.每個(gè)外角為"=60°,每個(gè)內(nèi)角為180。-60°=120°,

6

???^ABC=120°,

???BE平分

1

???^ABE=-Z-ABC=60°,

2

???sva￡.ABE=sin60°=—.

2

故答案為：亨.

【點(diǎn)睛】本題考查正六邊形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握并會(huì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

21.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABC。中，對角線4C=12,BD=16,分別以點(diǎn)A,B,C,

。為圓心，的長為半徑畫弧，與該菱形的邊相交，則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果保留兀）

【答案】96-25兀

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出A8的長和菱形的面積，再根據(jù)扇形的面積公式求出四個(gè)扇形的面積和即可

得出答案

【詳解】解：回四邊形A2CD是菱形，AC=12,BD=16,

0AO3BD,AO=6,80=8；

EL4B=y/OB2+0A2=10；

El菱形ABCD的面積苫4。XB￡）=jx12X16=96

回四個(gè)扇形的半徑相等，都為TAB=5,且四邊形的內(nèi)角和為360。,

回四個(gè)扇形的面積=強(qiáng)浮=25兀，

國陰影部分的面積=96-25兀；

故答案為:96-25兀.

【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積計(jì)算、菱形的性質(zhì)，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考一模）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,若將△40C繞

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△BOD,則肪的長為

【答案】1.5兀

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圓周長即可解得.

【詳解】40C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△BOD,

EL4B的長是圓周長的;，

4

回筋=-XTTX6=1.5TT,

4

故答案為：1.5n.

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵熟悉旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和圓的周長.

23.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模）已知圓錐的側(cè)面積是6兀，母線是4,則圓錐的高為.

【答案】當(dāng)

【分析】根據(jù)S=|比得到扇形弧長，結(jié)合圓錐展開圖扇形弧長等于底面圓周長解出半徑r,根據(jù)勾股定理即

可得到答案；

【詳解】解：團(tuán)圓錐的側(cè)面積是6n,母線是4,

06TT=|Zx4,解得：I=3TT,

團(tuán)37r=2口，解得：r=|,

鼬=J?一（|）2=苧,

故答案為：~

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐展開圖的面積弧長關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握S=?R,I=2nr.

24.（2010?江蘇泰州,中考真題）已知扇形的圓心角為120。，半徑為15cm,則扇形的弧長為cm（結(jié)果

保留兀）.

【答案】10兀

【詳解】試題分析：根據(jù)弧長公式計(jì)算.

n兀r120兀義15

解：|=180=180=10ncm.

25.（2023,浙江杭州?統(tǒng)考一模）如圖，菱形力BCD中，分別以點(diǎn)8,。為圓心，以長為半徑畫弧，分別

交邊BC,4D于點(diǎn)E,F.若AB=4,/.BAD=60°,則圖中陰影部分的面積為.（結(jié)果不取近似值）

【答案】y

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到4B=AD,AD||BC,證明△4BD是等邊三角形，得到BD=4,NADB=60°,

得到。B=OD=2,Z.DBC=60°,再根據(jù)扇形面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：回四邊形4BCD是菱形，

EL4B=AD,AD||BC,

EINBAD=60°,AB=4,

團(tuán)△力BD是等邊三角形，

S\BD=AB=4,Z.ADB=60°,

EIOB=OD；BD=2,Z.DBC=ZADB=60°,

2

1as陰影=S扇形0DF+S&OBE

60X7TX2260X7TX22

=360+360

_47r

—,

3

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，扇形面積，等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明△4BD是等邊三角形是

解題的關(guān)鍵.

三、解答題

26.（2023,江蘇鎮(zhèn)江?校聯(lián)考一模）如圖，已知RtAAB。中，0A=90。，將斜邊8。繞點(diǎn)8順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至

BC,使BC^AD,過點(diǎn)C作CEHBD于點(diǎn)E.

（1）求證：AABDBSECB；

⑵若朋30=30。，BE=3,求弧CD的長.

【答案】（1）證明見解析；⑵l^=2n

【分析】（1）由題意得兩個(gè)三角形是直角三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BOBD,由AD團(tuán)BC推出團(tuán)ADB二團(tuán)EBC,

即可證明回ABD團(tuán)國ECB；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出AD=BE=3.根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半得出BD=2AD=6,根據(jù)平

行線的性質(zhì)求出回DBC=60。，再代入弧長計(jì)算公式求解即可.

【詳解】（1）證明：團(tuán)團(tuán)4=90°，。瓦丑￡）團(tuán)她二團(tuán)3EC=90°

0BC0AZ）

^ADB=^\EBC

回旋轉(zhuǎn)，

0BD=BC'

團(tuán)^ABD^\ECB

（2）0^ABD^ECB

^1AD=BE=3

團(tuán)她二90°,她5。=30°

^\BD=2AD=6

WC^\AD

的4+胤48。=180°

mABC=90,團(tuán)DBC=60°

［斤=--?TT-6=27r.

CD3602

故答案為⑴證明見解析；（2）2%=2n.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，證明出回ABD甌ECB

是解題的關(guān)鍵.

27.（2023?安徽淮南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個(gè)等腰Rt/ABC如圖所示，將它繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周，形成一個(gè)幾何

體.

（1）寫出這個(gè)幾何體的名稱，并畫出這個(gè)幾何體的三視圖.

（2）依據(jù)圖中的測量數(shù)據(jù)，計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積（結(jié)果保留H）.

【答案】（1）圓錐，圖詳見解析；（2）（4近+4）兀

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)方式可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體為圓錐，再畫出旋轉(zhuǎn)后所得圓錐的三視圖即可;

（2）根據(jù)圓錐的表面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）圓錐

俯視圖

（2）幾何體的表面積為：|x2TTx2x2V2+7Tx22=（4A/2+4）TT.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面圖形的旋轉(zhuǎn)問題和圓錐的表面積，掌握知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

28.（2023?江西南昌?統(tǒng)考一模）如圖1是一座拱橋，圖2是其側(cè)面示意圖，斜道AC的坡度i=1:2,斜道

的坡度i=1：1,測得湖寬力B=85米，AC=156米，BD=20/米，已知弧CD所在圓的圓心。在4B上.（備

注：坡度即坡角的正切值，如47的坡度i=tanA.）

I)

圖I圖2

⑴分別求拱橋部分C、。到直線4B的距離；

⑵求弧CD的長（結(jié)果保留力）.

【答案】⑴點(diǎn)C到直線4B的距離為15米，點(diǎn)。到直線48的距離為20米

⑵等米

【分析】（1）過點(diǎn)C作CE12B于E,過點(diǎn)。作DF于尸，根據(jù)坡度的概念分別設(shè)出AC、4E、BF的

長，再利用勾股定理即可求出結(jié)果；

（2）連接OC,。。，根據(jù)勾股定理求。取。凡根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出NDOC=90。，再利用弧長公式

計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CE148于E,過點(diǎn)Z）作于R

在Rt△4CE中，,■?tanX=

設(shè)CE=x（米），貝!ME=2%（米），

2

由勾股定理得/+（2x）2=（15伺,

解得：x1=15,%2=一15（舍去），

■■.CE=15（米），AE=30（米），

同理可證，在RtABDF中，

BF=DF=20（米）

答：點(diǎn)C到直線4B的距離為15米，點(diǎn)D到直線的距離為20米.

（2）解：連接OC,OD,

■：AB=85（米），AE=30（米），BF=20（米）,

：.EF=85-30-20=35（米）.

設(shè)。E=z米，則。F=（35-z）米，

???152+z2=202+（35-z）2.

解得：z=20,即。E=20（米），OF=15（米）.

在Rt△CE。和Rt△OFD中，

（CE=OF

lOE=DF

???△CEOSAOFD（HL）.

.-.Z.COO=90°,CO=OD=V202+152=25.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題、弧長的計(jì)算，掌握坡度坡角的概念并熟記銳角三角

函數(shù)的定義及弧長公式是解決問題的關(guān)鍵.

29.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，在RtlBABC中,fflC=90°,EIBAC的角平分線AD交BC于D.

（1）動(dòng)手操作：利用尺規(guī)作回0,使國。經(jīng)過點(diǎn)A、D,且圓心。在AB上；并標(biāo)出回。與AB的另一個(gè)交點(diǎn)E

（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圖中，

①判斷直線BC與回。的位置關(guān)系，并說明理由；

②若AB=6,BD=2V3,求線段BD、BE與劣弧051所圍成的圖形面積（結(jié)果保留根號(hào)和兀）.

【答案】（1）作圖見解析；（2）①直線BC與回。的位置關(guān)系為相切，理由見解析；02V3-|TT

【分析】(1)根據(jù)題意得：作線段A。的垂直平分線交AB于點(diǎn)。，再以點(diǎn)。為圓心，AO長為半徑作圓，

則回0即為所求；

(2)①由回54c的角平分線AO交BC邊于。，與圓的性質(zhì)可證得ACE。。，又由EIC=90。，則問題得證；

②設(shè)回。的半徑為八則在7?公。8。中，利用勾股定理列出關(guān)于廠的方程，通過解方程即可求得「的值；然

后根據(jù)扇形面積公式和三角形面積的計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：(1)作線段AD的垂直平分線交于點(diǎn)。，再以點(diǎn)。為圓心，長為半徑作圓，貝崛。即為

所求，如圖1：

(2)①直線8c與回。的位置關(guān)系為相切，理由如下:

如圖1,連接0D,

004=0￡),

^OAD^ADO,

00BAC的角平分線AD交BC邊于D,

aacw=回OAQ,

aacw=EA。。，

0AC0OD,

00C=9O",

團(tuán)00￡)8=90°,

^OD^BC,

即直線2C是回。的切線，

團(tuán)直線BC與00的位置關(guān)系為相切；

②如圖2,

設(shè)回。的半徑為r,則03=6-八又BD=2小

在RtLOBD中，

OD12^BD2=OB\

即/+(2A/3)2=(6-r)2,

解得r=2,

團(tuán)08=6-r=4,

團(tuán)05=20。，

005=30°,

團(tuán)團(tuán)￡>03=60°,

「0607rx222

團(tuán)S扇形ODEUF-：］71，

SA0DB=|0D*BD=^X2X2-\/3=2V3,

團(tuán)線段8。、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為：SAODB-S扇形DOE=2A/3-|TT.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合題，熟練掌握切線的判定，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，扇形面

積公式是解題的關(guān)鍵.

30.(2023?遼寧撫順?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-1,4),8(-4,0),C(-1,0).

(1)AA/SG與AABC關(guān)于原點(diǎn)。對稱，畫出△4B/G并寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)AAzB2c2是AABC繞原點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的，畫出AA2B2C2并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)；

(3)連接。4、OA2,在AABC繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的△A2&C2的過程中，計(jì)算線段OA變換到。42

過程中掃過區(qū)域的面積是多少？(直接寫出答案)

【答案】（1）圖形見解析，點(diǎn)心的坐標(biāo)為（1,-4）；（2）圖形見解析，點(diǎn)上的坐標(biāo)為（4,1）；（3）￥兀

4

【分析】⑴把"BC的各個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)畫出來，連接起來，即可得到答案；

（2）把AABC的各個(gè)頂點(diǎn)繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的對應(yīng)點(diǎn)畫出來，連接起來，即可得到答案；⑶根據(jù)扇形的

面積公式，即可求解.

【詳解】（1）如圖所示，即為所求，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,-4）；

（2）如圖所示，282c2即為所求，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,1）；

（3）0線段。4變換到。42過程中掃過區(qū)域是扇形，OA="2+42=g,

回線段變換到04過程中掃過區(qū)域的面積=空筆包=。

3604

【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的中心對稱變換和旋轉(zhuǎn)變換，根據(jù)題意，畫出圖形，是解題的關(guān)鍵.

31.（2022,寧夏銀川?銀川九中?？级＃┰诜礁窦堉校€段力B和直線I的位置如圖所示：

⑴畫出線段4B關(guān)于直線/的對稱線段44；

（2）若小方格的邊長為1,連接4聲,畫出線段4/繞點(diǎn)兒順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。所得到的線段4祝，并求出點(diǎn)B

旋轉(zhuǎn)到B2所經(jīng)過的路徑長.

【答案】⑴圖見詳解

（2）圖見詳解，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到務(wù)所經(jīng)過的路徑長為手兀

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可直接進(jìn)行作圖；

（2）由題意先作出圖，然后根據(jù)弧長公式可求解.

【詳解】（1）解：線段44如圖所示：

22

刻祝==V2+3=V13,2LBA1B2=90°,

團(tuán)點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到B2所經(jīng)過的路徑長為嚶亙=孚兀.

1802

【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱圖形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理與網(wǎng)格問題及弧長計(jì)算公式，熟練掌握

軸對稱圖形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理與網(wǎng)格問題及弧長計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

32.（2023?江蘇鎮(zhèn)江,校聯(lián)考二模）如圖，AB為團(tuán)0的直徑，C為回0上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直,

垂足為D,AB,DC的延長線交于點(diǎn)E.

（1）求證：AC平分EIDAB；

（2）若BE=3,CE=3V3,求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴證明見解析；（2）手-歿

【分析】（1）連接。C,如圖，利用切線的性質(zhì)得COEICD,則ADEICO,所以回DAC=mACO,力口上EIACOWCAO,

從而得到EIDAC=I3CAO；

（2）設(shè)回O半徑為r,利用勾股定理得到?+27=（r+3）2,解得r=3,再利用銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算出回COE=60。，

然后根據(jù)扇形的面積公式，利用S陰影二S.OE-S扇形COB進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：(1)連接0C,如圖，

團(tuán)CD與團(tuán)0相切于點(diǎn)E,

團(tuán)CO團(tuán)CD,

團(tuán)AD團(tuán)CD,

團(tuán)AD團(tuán)CO,

團(tuán)團(tuán)DAC二團(tuán)ACO,

mA=oc,

團(tuán)團(tuán)ACO二團(tuán)CAO,

幽DAC二團(tuán)CAO,

即AC平分團(tuán)DAB；

(2)設(shè)回O半徑為r,

在RSOEC中，0OE2+EC2=OC2,

團(tuán)“+27=(r+3)2,解得r=3,

團(tuán)003,0E=6,

nri

團(tuán)cos回COE=一=

0E2

團(tuán)團(tuán)COE=60°,

rc1cc石60加329V33

EIS陰影=S^COE_S扇形COB=：7?3?3V3-…F二7r.

NooUNz

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，

構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系.簡記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直.也考查了圓周角定理和扇形的面積公式.

33.(20U?江蘇南京?統(tǒng)考中考模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A(5,1)為圓心，2個(gè)單位長度為半

徑的她交無軸于點(diǎn)8、C.解答下列問題：

(1)將0A向左平移一個(gè)單位長度與y軸首次相切，得到她八此時(shí)點(diǎn)4的坐標(biāo)為」陰影部分的面積S=_；

(2)求BC的長.

【答案】(1)3、(2、1),6；(2)2V3

【分析】(1)由半徑為2可知平移圓心到(2,1)時(shí)0A與y軸首次相切，即可得出平移的距離；陰影部分

通過平移后可得一個(gè)矩形，利用面積公式計(jì)算即可；

(2)利用垂徑定理即可求出的長；

【詳解】(1)將她向左平移3個(gè)單位長度與y軸首次相切，得到0A/.此時(shí)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,1),陰影部

分的面積5=6；

(2)連接AC,貝?。軦C=2,00ADC=9O°,AD=1,0CD=V22-I2=V3,

0BC=2C￡)=2V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了平移，垂徑定理，求扇形的陰影部分面積，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

34.(2023,遼寧丹東?統(tǒng)考一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度

的正方形，點(diǎn)力，B,C的坐標(biāo)分別為4(—2,-1),5(-5,-2),C(-l,-3).

（1）將△ABC向上平移4個(gè)單位長度，再向右平移6個(gè)單位長度，畫出平移后得到的△4/iG，并直接寫

出點(diǎn)&的坐標(biāo)；

（2）將△ABC繞著原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到小兒⑶2c2.

①畫出旋轉(zhuǎn)后的△482C2；

②點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。2所經(jīng)過的路徑長為個(gè)單位長度.

【答案】（1）作圖見解析；點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,3）；（2）①作圖見解析；②手兀.

【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作出圖形，然后根據(jù)圖像求解即可；

（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出圖形即可；②連接。C,OC2,利用網(wǎng)格求出OC,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是90。，求

出弧長即可.

【詳解】解：（1）如圖示，AaiBiCi即為所求的三角形，由圖像可知，點(diǎn)41的坐標(biāo)為（4,3）

（2）①如圖示，A4B2c2即為所求的三角形.

②如圖示，連接。C,OC2,則點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C2所經(jīng)過的路徑長是絕，且旋轉(zhuǎn)角是90。

團(tuán)。C=V12+32=V10

則，絕=2兀-VIU?券=零兀

【點(diǎn)睛】本題考查了平移作圖和旋轉(zhuǎn)作圖，求弧長等知識(shí)點(diǎn)，能準(zhǔn)確做出旋轉(zhuǎn)后得圖形是解題的關(guān)鍵.

35.（2023?河北保定?統(tǒng)考一模）"垃圾入桶，保護(hù)環(huán)境從我做起"，如圖所示的是某款垃圾桶側(cè)面展示圖，4。=

DC=40cm,GD=30cm,GF=20cm,Z71=4GDC=乙DGF=90。,桶蓋GFEC可以繞點(diǎn)G逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為40。時(shí)，桶蓋GFEC落在GF'E（，的位置.

⑴求在桶蓋旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌跡的長度.

（2）求點(diǎn)F倒地面4B的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin40°~0.64,cos40"?0.77,tan40°~0.84）

【答案】⑴等cm

9

(2)82.8cm

【分析】（1）連接CG,由旋轉(zhuǎn)知點(diǎn)C,B都在以G為圓心，CG為半徑的圓上，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌的長度為弧C，的

長，再由勾股定理和弧長公式進(jìn)行求解即可；

（2）過點(diǎn)/作4B,垂足為點(diǎn)M,交GF于點(diǎn)M先判斷四邊形2MNG為矩形，再由解直角三角形求

解即可.

【詳解】（1）如圖，連接CG,由旋轉(zhuǎn)知點(diǎn)C,C'都在以G為圓心，CG為半徑的圓上，則點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌的長度

為弧。的長.

在Rt△GDC中，DC—40cm,GD=30cm,

團(tuán)GC='GD?+DC'2=V302+402=50cm,

._i；jnT—n,八/t[/?>f40X1TX50IOOIT

El弧CC'的長度為=———=--cm,

1809

故點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)軌跡的長度為等cm；

（2）如圖，過點(diǎn)。作48,垂足為點(diǎn)M,交GF于點(diǎn)N,

EINF'M4=90".

0ZX=ADGF=90°,

回四邊形力MNG為矩形，

EIF'NG=NMNG=90°,MNAG=GD+DA=70cm,

在RtAF'NG中，M'N=F'G-sin4F'GN=F'G-sin40°a20x0.64=12.8cm,

SF'M=F'N+MN=12.8+70=82.8cm

答：點(diǎn)尸'到地面48的距離約為82.8cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，弧長公式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確理解題

意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

【能力提升】

36.（2023上?江蘇鹽城?九年級統(tǒng)考期中）如圖，等腰AZBC內(nèi)接于。0,AB=AC.

（1）如圖1,若NB=60。，連接40并延長交。。于點(diǎn)交BC于點(diǎn)H.

①弧BD的度數(shù)為：；8H與的數(shù)量關(guān)系是：.

②請你僅使用無刻度的直尺在圖1中作出一個(gè)正六邊形，保留作圖痕跡（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果

用實(shí)線表示）；

（2）如圖2,若NB4C=36。，￡是4B的中點(diǎn)，請你僅使用無刻度的直尺在圖2中，作一個(gè)。。的內(nèi)接正五邊

形（作圖過程用虛線表示，作圖結(jié)果用實(shí)線表示）.

【答案】⑴①60。；BH=CH-,②見解析

⑵見解析

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，正多邊形和圓以及復(fù)雜作圖等知識(shí).

（1）①連接8。,根據(jù)垂徑定理逆定理證明4。1BC,再證明AABC是等邊三角形可得BH=CH/BAD=30°,

可得NBOD=60°,從而可得結(jié)論；②連接CO,延長BO,C。,交。。于點(diǎn)E,F,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得乙4BE=

乙CBE=乙BCF=Z.ACF=^.BAD=Z.CAD=30。,可得4E=EC=CD=DB=BF=FA,/.AFB=乙FBD=

乙BDC=乙DCE=ACEA=Z.EAF=120°,故可得正六邊形4FBDCE；

（2）根據(jù)圓周角的定理及同弧所對的圓周角相等得到N40B=乙40c=144°,再根據(jù)EF是中點(diǎn)得到

Z.A0D=乙COD=乙40H=4B0H=72°,得Z80C=72。,根據(jù)三線合一性得到弧相等，弦相等，最后即可

得至!!五邊形4HBCD即為所求.

【詳解】（1）①連接80,

固4B=AC,

???AB=AG,

財(cái)。過圓心。，

囿401BC,

24B=AC,乙B=60。，

???△4BC是等邊三角形，

回乙BAC=乙BCA=60。,BH=CH=1BC

^BAD=Z.CAD=-/.BAC=30。，

^BOD=2乙BAD=60°.

故答案為：60°,BH=CH；

②如圖，正六邊形2尸BDCE即為所作；

(2)如圖，正五邊形4HBCD即為所求作.

37.(2023上?河北邢臺(tái)?九年級校考期中)如圖，正六邊形4BCDEF內(nèi)接于O。.

⑴若P是CS上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP,FP,求NBPF的度數(shù);

⑵已知△4DF的面積為2百.

①求NZMF的度數(shù)；

②求O。的半徑.

【答案】⑴60。；

(2)①60°；②2.

【分析】(1)在CS取一點(diǎn)P,連接BP、AP,FP、FO,利用弦和圓周角的關(guān)系即可求出4BPF的值；

(2)①證明AaaF是等邊三角形即可求出；②利用三角函數(shù)求出OF=a。=24/，再根據(jù)△aoF的

面積為2百即可求出.

【詳解】(1)如圖所示，在CS取一點(diǎn)P,連接BP、AP,FP、F0,

回六邊形48CDEF是正六邊形,

EL4F=AB,Z.AOF=—=60°,

6

EIZXPF=-Z.AOF=30°,

2

24F=AB,

^APB=/-APF=30°,

團(tuán)NBPF=Z.APB+Z-APF=60°；

(2)①團(tuán)乙40尸=60。，AO=F0,

0A40F是等邊三角形，

SADAF=60°；

②回NZX4F=60°,

WF=V3XF,AD=2AF,

2

團(tuán)SA?=^AFXDF=^AF=2A