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專(zhuān)題02旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱(chēng)
廠考點(diǎn)類(lèi)型
'■知識(shí)一遍過(guò)
(―)旋轉(zhuǎn)的定義
(1)旋轉(zhuǎn)的概念:在平面內(nèi),把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)沿某一方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,就叫做圖形
的旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角
如圖所示,笈是AAO3繞定點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的,其中點(diǎn)A與點(diǎn)A叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn),線段OB與
線段O9叫作對(duì)應(yīng)線段,NQ鉆與N。4方叫作對(duì)應(yīng)角,點(diǎn)。叫作旋轉(zhuǎn)中心,ZAQV(或NBOE)的度數(shù)叫
作旋轉(zhuǎn)的角度。
(2)【注意】旋轉(zhuǎn)中心可以是圖形內(nèi),也可以是圖形外。
(3)【圖形旋轉(zhuǎn)的三要素】旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.
(二)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;
旋轉(zhuǎn)的(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;
性質(zhì)(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等
(4)旋轉(zhuǎn)過(guò)后,常用等腰三角形性質(zhì)
(1)圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角
度;
重點(diǎn)(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相
解讀等;
(3)圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變,只改變了圖形的位
置
(三)旋轉(zhuǎn)作圖
旋轉(zhuǎn)作圖(1)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;
的依據(jù)(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等
作圖要素(1)原圖;(2)旋轉(zhuǎn)中心;(3)旋轉(zhuǎn)方向;(4)旋轉(zhuǎn)角;(5)一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)
(1)連:連接原圖形中一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心.
(2)轉(zhuǎn):根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度,以(1)中關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連
線為一邊作一個(gè)旋轉(zhuǎn)角.
(3)截:在該旋轉(zhuǎn)角的另一邊上,從旋轉(zhuǎn)中心開(kāi)始截取此關(guān)鍵點(diǎn)到
作圖步驟旋轉(zhuǎn)中心的長(zhǎng)度,得到該點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).重復(fù)上述操作,作出所有關(guān)
鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).
(4)接:按原圖形順次連接所得到的各點(diǎn).
注意:為了避免作圖時(shí)的混亂,以上連、轉(zhuǎn)、截這三步每個(gè)點(diǎn)獨(dú)立
完成后,再進(jìn)行下一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)
(四)中心對(duì)稱(chēng)的相關(guān)概念
(1)中心對(duì)稱(chēng)概念:把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說(shuō)這兩個(gè)圖
形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng),這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱(chēng)中心.這兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫作關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心
的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
如圖,AABO繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。后,與ACDO完全重合,則稱(chēng)ACDO和A4BO關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱(chēng),點(diǎn)C是點(diǎn)
A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).
(2)中心對(duì)稱(chēng)圖形概念:把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合,
那么這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱(chēng)圖形,這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心.
(五)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)
(1)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì):
①中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形,對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心,而且被對(duì)稱(chēng)中心所平分;
②中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形.
(2)找對(duì)稱(chēng)中心的方法和步驟:
方法1:連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn),取對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn),則中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.
方法2:連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn),在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn),兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.
考點(diǎn)一遍過(guò)
考點(diǎn)1:旋轉(zhuǎn)的三要素
典例1:(2023上?浙江臺(tái)州?九年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,已知點(diǎn)4(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),連接4B,C0,
將線段4B繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度,使其與線段CD重合(點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,點(diǎn)2與點(diǎn)D重合),則這個(gè)旋
轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為().
A.(3,2)B.(3,3)C.(6,2)D.(4,2)
【答案】D
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn),解題的關(guān)鍵是理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中
心.
畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系,作出新的力C,BD的垂直平分線的交點(diǎn)尸,點(diǎn)尸即為旋轉(zhuǎn)中心.
【詳解】解:平面直角坐標(biāo)系如圖所示,旋轉(zhuǎn)中心是P點(diǎn),P(4,2),
故選:D.
【變式1](2023上?河南漠河?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在正方形網(wǎng)格中,AMPN繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得
到△ATPW',則旋轉(zhuǎn)中心可能是(
A.點(diǎn)AB.點(diǎn)、BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)。
【答案】B
【分析】如圖:連接PP'、NN',作PP'的垂直平分線,作NN,的垂直平分線,兩垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)
中心;掌握旋轉(zhuǎn)中心的確定方法是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:如圖,
團(tuán)AMPN繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度,得到△M'PWl
團(tuán)連接PP'、NN',作PP'的垂直平分線,作NN'的垂直平分線,
回三條線段的垂直平分線正好都過(guò)8即旋轉(zhuǎn)中心是8.
故選:B.
【變式2](2023下?四川宜賓?七年級(jí)統(tǒng)考期末)將兩塊全等的含30。角的直角三角板按圖1的方式放置,已
知ABAC=NBv41c=30°,固定三角板&BiC,然后將三角板力BC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置,AB
與4停、4/1分別交于點(diǎn)。、E,4C與A/1交于點(diǎn)?當(dāng)ABL&Bi,旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是().
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NB=60°,根據(jù)直角三角形性質(zhì)和對(duì)頂角相等得NBDC=N&DE=60°,
求出N&C4即可.
【詳解】解:由題意得到,ABAC=NB14C=30。,
則NB=90°-NBAC=60°,
SAB14/1,
回乙生EB=90°,
0Z5DC=Z.A±DE=90°-30°=60°,
0ZBCD=180°-4BDC一4B=60°,
所以N&CA=90°-乙BCD=30°,
即旋轉(zhuǎn)角是30。.
故選:A
【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí),熟練掌握三角形內(nèi)角和
定理、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式3】(2022上?遼寧大連?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,E是正方形力BCD中CD邊上任意一點(diǎn),以點(diǎn)A為中心,
把ANDE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AABF,點(diǎn)尸在C8的延長(zhǎng)線上,則下列角中是旋轉(zhuǎn)角的是()
A.^DAEB.乙EABC./.EAFD./.DAF
【答案】C
【分析】由旋轉(zhuǎn)的概念可直接求解.
【詳解】解:回以點(diǎn)A為中心,把AADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到△力BF,
國(guó)旋轉(zhuǎn)角為N02B或4EAF,
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的概念,掌握對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)2:利用的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解
典例2:(2024上?山東煙臺(tái),八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知△力BC中,ACAB=20°,AABC=30°,將△力BC繞
4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得至!UAB'C',以下結(jié)論:①BC=B'C,@AC||C'B',③C'B'1BB',@^ABB'=^ACC,
A,①②③B.②③④C.①③④D.①②④
【答案】D
【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用,三角形內(nèi)角和定理和等邊對(duì)等角,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得,BC=B'C,
AC'AB'=/.CAB=20°,ZAB'C=AABC=30°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50。,然后利用三角形內(nèi)角和定理
和等邊對(duì)等角逐項(xiàng)求解判斷即可.
【詳解】①???△4BC繞4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得到△AB'C,
■.BC=B'C,故①正確;
②48c繞4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。,
???乙BAB,=50°.
???/.CAB=20°,
Z-B'AC=乙BAB'-乙CAB=30°.
v4ABe=AABC=30°,
^AB'C=^B'AC.
^ACIIC'B',故②正確;
③在ABA4中,
AB=AB',/.BAB'=50°,
???4AB'B=4ABB'=1(180°-50°)=65°.
/.BB'C=/.AB'B+4ABC=65°+30°=95°.
??.C'B'與BB'不垂直,故③不正確;
④在△4CC,中,
AC^AC,Z.CAC=50°,
/.ACC=|(180°-50°)=65°.
Z.ABB'=/.ACC,故④正確.
???①②④這三個(gè)結(jié)論正確.
故選:D.
【變式11(2023上?廣東廣州?九年級(jí)廣州市第二中學(xué)??茧A段練習(xí))如圖,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得
到AEDC,若點(diǎn)4、D、E在同一條直線上,且乙4c8=20。,貝吐4DC的度數(shù)為()
A.50°B.55°C.60°D.65°
【答案】D
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì),先利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到,
AC=CE,Z.ECD=乙ACB=20。,乙4CE=90°,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得/E=45°,然后利用三
角形的外角性質(zhì)求解即可.掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.
【詳解】解:團(tuán)將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AEDC,乙4cB=20。,
EL4C=CE,4ECD=乙ACB=20°,LACE=90°,
團(tuán)AACE是等腰直角三角形,
0ZF=45°,
^Z-ADC=Z.E+Z.ECD—65°,
故選:D.
【變式2](2023上?新疆烏魯木齊?九年級(jí)??计谥校⒑?0。角的直角三角尺。4B按如圖所示的方式放置
在平面直角坐標(biāo)系中,OB在x軸上,若02=2,將三角尺繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的
坐標(biāo)為()
c.(V2,-V2)D.(-V2,V2)
【答案】C
【分析】如圖,過(guò)4作4c1。8于C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,"04=75。,OA'=OA=2,貝UC。=C4',由
勾股定理得,。4=JCO2+CA'2=2,解得,CO=CA'=<2,進(jìn)而可求力'的坐標(biāo).
0ZCO4Z=45°,ACA'O=450=ACOA',
SCO=CA',
由勾股定理得,。4=7co2+CA'2=2,
解得,CO=CA'=V2,
團(tuán)4(夜,一夜),
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等角對(duì)等邊,勾股定理,坐標(biāo)與圖形等知識(shí).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等
角對(duì)等邊,勾股定理,坐標(biāo)與圖形是解題等關(guān)鍵.
【變式31(2023下?四川達(dá)州,八年級(jí)??计谥校┤鐖D,在正方形4BCD中,E為DC邊上的點(diǎn),連接BE,將4BCE
繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到連接EF,若4BEC=6。。,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有().
①ZB=DF,②EF=V2CF,③CE=:DF,@^EFD=15°
A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和4BCD是正方形,從而得到48=BC=DC手DF,根據(jù)NECF=90°,乙BEC=60°,
得至ikCBE=NCDF=30。,根據(jù)EC=CF,得至UNCEF=NCFE=45。,從而得到NEFD=15。,根據(jù)直角三
角形中30。角所對(duì)的邊是斜邊的一半的得到CE=從而得到CE=:DF,根據(jù)特殊直角三角函數(shù)值得到
EF=V2CF.
【詳解】解:???ABCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到ADCF,
???BE=DF,EC=CF,
???4BCD是正方形
AB=DC,
???DC豐DF,
AB^DF,故①錯(cuò)誤;
???乙BEC=60°,
???乙BEC=4CFD=60°,乙CBE=乙CDF=90°-60°=30°,
1
???CE=-BE
???BE=DF,
:.CE=\DF,故③正確;
???Z.ECF=90°,EC=CF
???乙CEF=乙CFE=45°,
==故②正確;
???乙EFD=MFD-乙CFE=60°-45°=15°,故④正確;
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及正方形的性質(zhì),熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及解直角三角形和角度之間的計(jì)算是解
題的關(guān)鍵.
考點(diǎn)3:坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)作圖
典例3:(2023上?廣東江門(mén)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為
4(1,4),8(4,2),C(3,5),(每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度).
⑴請(qǐng)畫(huà)出AAiBiCi,使AaiBiG與△ABC關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱(chēng);
⑵將△ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的A4B2c2,并直接寫(xiě)出點(diǎn)殳的坐標(biāo);
⑶在(2)的條件下,求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)外所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).(結(jié)果保留兀)
【答案】⑴畫(huà)圖見(jiàn)解析
(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析,(一2,4)
【分析】(1)根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),找到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)B]、G的
坐標(biāo),再描出4、Q,最后順次連接4、Ci即可;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)方式和網(wǎng)格的特點(diǎn)找到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、。2的位置,再順次連接人2、Bz、C2,最后
根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出點(diǎn)為的坐標(biāo)即可;
(3)先利用勾股定理求出04=717,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得乙4。4=90。,根據(jù)題意可知點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4所經(jīng)
過(guò)的路線長(zhǎng)即為以點(diǎn)O為圓心,。4的長(zhǎng)為半徑且圓心角度數(shù)為90度的扇形弧長(zhǎng),據(jù)此利用弧長(zhǎng)公式求解
即可.
【詳解】(1)解:如圖所示,即為所求;
(2)解:如圖所示,A&B2c2即為所求;
由圖可知點(diǎn)的坐標(biāo)為(—2,4);
(3)解:財(cái)(1,4),
團(tuán)。4=Vl2+42=V17,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得乙4。4=90。,
回點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)42所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)即為以點(diǎn)。為圓心,。力的長(zhǎng)為半徑且圓心角度數(shù)為90度的扇形弧長(zhǎng),
回點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)七所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=氣/=苧.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn),勾股定理,求弧長(zhǎng),正確根據(jù)圖形的變換方式找
到對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵.
【變式1](2024上?上海,八年級(jí)??计谀┤鐖D,直線AC與函數(shù)y=;(x<0)的圖象相交于點(diǎn)4(一1,6),與
無(wú)軸交于點(diǎn)C,且“C。=45。,點(diǎn)。是線段4C上一點(diǎn).
⑴求k的值;
⑵若△DOC與4。4C的面積比為2:3,求點(diǎn)。的坐標(biāo);
⑶將。£(繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到0D',點(diǎn)D'恰好落在函數(shù)y=£(%<0)的圖像上,求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】⑴k=-6
⑵(1,4)
(3)0(2,3)或D(3,2)
【分析】(1)把4(一1,6)代入y=£(x<0),可求出k的值;
(2)過(guò)。點(diǎn)作DM1x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)4作4N1x軸于點(diǎn)N,由ADOC與4CMC的面積比為2:3可推出翳=
由點(diǎn)4的坐標(biāo)可求出4N=6,從而求出點(diǎn)。的縱坐標(biāo),根據(jù)題意求出直線4C的解析式,由于點(diǎn)D在直線AC上,
進(jìn)而求出。點(diǎn)坐標(biāo);
(3)過(guò)點(diǎn))作DHlx軸于H,設(shè)D(x,—x+5)(x>0),則6(x-5,x),將其坐標(biāo)代入到丫=一:得到關(guān)于x的
方程內(nèi)解方程即可求出結(jié)果.
【詳解】(1)4(—1,6)在函數(shù)y=E(x<0)的圖象上,
-?■6=—,
-1
k=—6
(2)如圖1,過(guò)D點(diǎn)作。MJ.X軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)4作4V1X軸于點(diǎn)N,
圖1
..SAODC_^OCDM_2
,一1一—,
SAOAC-OCAN3
.DM_2
J.=一,
AN3
??,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一1,6),
??.AN=6,
??.DM=4,
???/.ACO=45°,
???設(shè)直線ZC的解析式為y=-%+/),
???點(diǎn)力(-1,6)在直線y=-%+b上,
6=l+h
???b=5
??.直線AC的解析式為y=-%+5,
把y=4代入y=-%+5中,4=—%+5,
???x=1,
???0(X4)
(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)》作軸于乩
???直線ZC的解析式為y=-久+5,
???設(shè)。(居—%+5)(%>0),
.??£)'(%—5,%)
???點(diǎn)。'落在函數(shù)y=-1的圖象上,
???x(x—5)=—6
?,?%2—5%+6=0
,,,=2,%2~3
???。(2,3)或0(3,2).
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解析式,三角形的面積,反比例函數(shù)的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等,能夠
熟練運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
【變式2】(2024上?河北滄州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖:在平面直角坐標(biāo)系中,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)
為單位已知△ABC:
(12ABC與△4/iQ關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng),畫(huà)出Aa/iCi,并寫(xiě)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo);
⑵以。為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得A4B2c2,畫(huà)出AAZB2c2,并寫(xiě)出△2c2各頂點(diǎn)的坐標(biāo);
⑶點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為.
【答案】⑴圖見(jiàn)解析,4(2,—3)、名(4,一1)、G(L—2)
(2)圖見(jiàn)解析,4(3,2)、/CW)、C2(2,l)
⑶迪
【分析】(I)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可,再根據(jù)圖形求得點(diǎn)4、Bl、G的坐標(biāo)即可;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可,再根據(jù)圖形求得點(diǎn)心、殳、的坐標(biāo)即可;
(3)根據(jù)題意可得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線為C?2,^COC2=90°,利用勾股定理求得C。=C2。=遍,
再利用弧長(zhǎng)公式求解即可.
【詳解】(1)解:如圖,△4/iG即為所求,4(2,-3)、Bi(4,-1),G(l,-2);
(2)解:如圖,A&B2c2即為所求,4(3,2)、口2(1,4)、c2(2,l);
(3)解:如圖,由題意可得,點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。2經(jīng)過(guò)的路線為后2,
0ZCOC2=90°,CO=C2O=A/F+22=V5,
90oX7rxV5V5TT
團(tuán)/——f
18002
故答案為:等.
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、點(diǎn)的坐標(biāo)、弧長(zhǎng)公式,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖是解題的關(guān)
鍵.
【變式3](2024上?北京西城?九年級(jí)統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
71(-2,5),B(—3,0),C(l,2).將△2BC繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABC,點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,
(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)C'的坐標(biāo);
⑶記線段9C,與線段的交點(diǎn)為G,直接寫(xiě)出N8GC'的大小.
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)r(2,-1)
(3)NBGC‘=90°
【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)作圖、由圖形寫(xiě)坐標(biāo)和求角度,涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)、三角形全等的判定與
性質(zhì)、對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí),熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及圖形與坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出△4BC三個(gè)頂點(diǎn)繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的對(duì)應(yīng)點(diǎn),連線即可得到△A'B'C;
(2)由(1)中作出的△ABC即可得到答案;
(3)過(guò)C作CDlx軸于過(guò)。作軸于如圖所示,由三角形全等的判定與性質(zhì)得到ABDC三4
夕DL(HL),進(jìn)而NDBC=^D'B'C,再由對(duì)頂角相等、等量代換及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案.
【詳解】(1)解:作圖如下:
△4夕C,即為所求;
(2)解:由(1)中圖形,如圖所示:
y1
C,(2,-l);
(3)解:在(1)的圖形中,過(guò)C作CDlx軸于D、過(guò)C'作C'D'軸于D',如圖所示:
y
???BC=B'C,CD=C'D'/BDC=AB'D'C=90°,
BDC三AB少C,(HL),
.-.乙DBC=乙D'B'C',
v乙BEO=Z.B'EG,
在RtABE。中,Z.BEO+/.DBC=90°,則+NO?C'=90。,
在△夕EG中,由三角形內(nèi)角和定理可知NEGB,=90。,
Z.BGC=90°.
考點(diǎn)4:旋轉(zhuǎn)與尺規(guī)作圖
典例4:(2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,點(diǎn)。為等邊三角形ABC的中心,ABCE是以BC為斜邊的直角
三角形,且BE=CE.
(1)用尺規(guī)在直線AB的左側(cè)作△2B。,使AABDEIABCE,保留必要的作圖痕跡,不寫(xiě)作法;
(2)A4BD能否由ABCE繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到?若能,請(qǐng)加以證明,并求出旋轉(zhuǎn)角a(0<a<180°)
的度數(shù);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)圖見(jiàn)詳解;(2)能,旋轉(zhuǎn)角a為120。,證明見(jiàn)詳解.
【分析】(1)分別以點(diǎn)A、B為圓心,以CE、BE為半徑畫(huà)弧,則兩弧交于一點(diǎn)。,進(jìn)而問(wèn)題可求解;
(2)連接04、OB、OC、OD、OE,由題意易得。4=OB=OC.Z.AOB=乙BOC=120°,zXBO=Z.CBO,
乙CBE=45°,由(1)可知:△BCE三△BAD,貝U有BD=BE/CBE=zABD=45°,然后可得小OBDdOBE,
進(jìn)而可得。D=OE,最后問(wèn)題可求解.
【詳解】(1)解:如圖所示:
(2)證明:能,理由如下:
連接。4、OB、OC、OD、0E,如圖所示:
回。是等邊三角形ABC的中心,是以BC為斜邊的直角三角形,且BECE,
故4=OB=OC,Z.AOB=乙BOC=120°,Z.ABO=乙CBO,Z.CBE=45°,
由(工)可知:ABCEmABAD,
EIBD=BE/CBE=4ABD=45°,
0ZXBO+AABD=乙CBO+乙CBE,即NOBD=NOBE,
SOB=OB,
0AOBDOBE,
0OZ)=OE,
BOA=OB=OC,EBOC=a4OB=120°,
0A力BD能由△BCE繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到,旋轉(zhuǎn)角度為120。.
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形及等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三
角形及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式1](2023?山東淄博?統(tǒng)考二模)如圖,矩形A8CD中,4B=4,AD=7,把矩形折疊,使得點(diǎn)B與射
線DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合,(P不與點(diǎn)D、C重合),MN為折痕,點(diǎn)M、N分別在邊4D、BC上.
圖1圖2圖3
(1)請(qǐng)用尺規(guī)在圖(1)中作出過(guò)點(diǎn)M、。、P的。。(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);
(2)連接BM,若直線BM與過(guò)M、D、P三點(diǎn)的。。相切,求直線BC與。。的位置關(guān)系;
(3)把/BMN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得4B1M1N,當(dāng)當(dāng)落在邊力D上時(shí),求DP的長(zhǎng).
【答案】([)見(jiàn)解析;(2)相切;(3)4—V7
【分析】(1)連結(jié)作的垂直平分線,與交于點(diǎn)。,再以點(diǎn)。為圓心,為半徑畫(huà)圓即可;
(2)過(guò)。作£7迥交AD于E、交BC于尸,連接2尸,則可得ZL4BMw4DMP,從而得到圓。半徑為|,
進(jìn)而可得。尸=|,從而最終得到直線BC與。。相切;
(3)可以證得四邊形ABN/是正方形及4H2N?/CBP,根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可以得到
。尸的值.
【詳解】解:(1)如圖(1)所示;
圖1
(2)過(guò)。作EF14。交AD于E、交BC于F,連接BP,如圖(2)所示;
則四邊形CDEF是矩形
???8M是。。的切線
??.Z.PMB=90°
??.Z.AMB+乙DMP=90°
???四邊形是矩形
LA=/.ADC=90°
Z.AMB+匕ABM=90°
???Z-ABM=乙DMP
???把矩形折疊,使得點(diǎn)B與射線DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合,(P不與點(diǎn)0、C重合)MN為折痕
???MN垂直平分BP
/.BM=PM
在44BM和4DMP中
2ABM=Z.DMP
丁乙4=Z.MDP
BM=PM
/.AABM=ADMP(AAS)
AB=DM=4,AM=DP
DP=AM=AD-DM=7-4=3
???PM=y/DM2+DP2=,42+32=5
.??。。的半徑為3
???四邊形CDEF是矩形
EF//CD,EF=CD=AB=4
???OM=OP
???OE是4M0P的中位線
13
OE=-DP=-
22
35
.-.OF=EF-OE=4--=-
22
???直線BC與。。相切;
(3)???四邊形/BCD是矩形
.?.BC=AD=7,AD"BC,Z71=乙ABC=zC=90°
???/BMN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得當(dāng)當(dāng)落在邊4)上,連接BP交MN于點(diǎn)兒如圖(3)所示;
圖3
則MN垂直平分BP,BN=BN乙BNB[=90°
:.BH=PH=抻,ABHN=90°,四邊形ABN/是正方形,
???BN=AB=4
???乙BHN=ZC=90°,乙HBN=4CBP
:.AHBN?ACBP
BH_BN
>'BC=BP
解得:BP2=56
???CP2=BP2-FC2=56-72=7
CP=V7
DP=CD-CP=4-y/7
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的綜合應(yīng)用,熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)、
勾股定理、直線與圓相切的判定、折疊性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、圓的尺規(guī)作圖等是解題關(guān)鍵.
【變式2](2023下?福建寧德?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,已知點(diǎn)P是0AOB內(nèi)一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P的直線分別交
射線OA,于點(diǎn)N,將直線繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn),△MON的形狀與面積都隨之變化.
圖2
(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用尺規(guī)作出△MOM使得AMON是以為斜邊的直角三角形;
(2)如圖2,在。尸的延長(zhǎng)線上截取PC=OP,過(guò)點(diǎn)C作CM0OB交射線OA于點(diǎn)連接M尸并延長(zhǎng)交
OB于點(diǎn)、N.求證:OP平分AMON的面積;
(3)小亮發(fā)現(xiàn):在直線旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,(2)中所作的AMON的面積最小.請(qǐng)利用圖2幫助小亮說(shuō)明理由.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)當(dāng)點(diǎn)尸是的中點(diǎn)時(shí)S/MON最小.理由見(jiàn)解析.
【分析】(1)根據(jù)尺規(guī)作圖,過(guò)P點(diǎn)作PN回OB于N,交OA于點(diǎn)M;
(2)證明三角形全等得P為MN的中點(diǎn),便可得到結(jié)論;
(3)過(guò)點(diǎn)P作另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F,設(shè)PF<PE,與MC交于于G,ffiBlEPGMfflPFN,得回PGM
與EIPFN的面積相等,進(jìn)而得S四邊形MOFG=SAMON?便可得SAMONVSAEOF,問(wèn)題得以解決.
【詳解】(1)①在。8下方取一點(diǎn)K,
②以尸為圓心,PK長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與02交于C、。兩點(diǎn),
③分別以C、。為圓心,大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧交于E點(diǎn),
④作直線PE,分別與。4、08交于點(diǎn)M、N,
麗C=[3P0N,
在團(tuán)PCM和團(tuán)PON中,
zC=zPON
PC=PO,
zCPH=zOPN
團(tuán)團(tuán)尸CM!mPON(ASA),
團(tuán)尸M=PN,
團(tuán)OP平分團(tuán)MON的面積;
(3)過(guò)點(diǎn)尸作另一條直線跖交04、。5于點(diǎn)從F,設(shè)PFVPE,與MC交于于G,
團(tuán)CM05,
WGMP=BFNP,
在回PGM和回尸/M中,
ZPMG=Z.PNF
PM=PN,
/MPG=乙NPF
麗尸GMffl/VW(ASA),
出S#GM=S^PFN
團(tuán)S四邊形MOFG—SAMON.
0S四邊形MOFGVS^EOF,
^SAMON<SAEOF,
團(tuán)當(dāng)點(diǎn)尸是MN的中點(diǎn)時(shí)S』MON最小.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,三角形的中線性質(zhì),關(guān)鍵證明三角
形全等.
【變式3](2023?福建?一模)如圖,在△ABC中,=90°,乙4=30°,將△ZBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)固定角度
后得到△4B'C,使得點(diǎn)方在ZB上,48'與AC交于點(diǎn)F.
(1)在給出的圖形上用尺規(guī)作出△4B,C;(要求:尺規(guī)作圖不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡)
(2)求證:A'B'//BC.
【答案】(工)詳見(jiàn)解析;(2)詳見(jiàn)解析.
【分析】(1)直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案;
(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NCB'4=NB=60。,再計(jì)算出NB'CB=NCB'4=60。,即可得到結(jié)論.
【詳解】(1)如圖,AAB'C為所求作的三角形;
(2)證明:由旋轉(zhuǎn)可得RtAABCwRtAA'8'C,
4CB'A'=乙B,
■:/.ACB=90°,U=30",
???Z.B=60°,
△BCB'是等邊三角形,
???4B'CB=/.CB'A'=60°,
???A'B'//BC.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及等邊三角形的判定與性質(zhì),正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.
失分的原因:不能正確理解本題所作的三角形,實(shí)質(zhì)就是作已知三角形的全等三角形;對(duì)平行線的判定方
法掌握不熟練.
考點(diǎn)5:旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用一一規(guī)律
典例5:(2024上?山東煙臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將正方形02BC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋
轉(zhuǎn)45。后得到正方形依此方式,繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次得到正方形O4024B2024c2024,如果點(diǎn)4的
坐標(biāo)為(1,0),那么點(diǎn)殳。24的坐標(biāo)為()
A.(V2,0)B.(0,V2)C.(1,1)D.(-1,1)
【答案】C
【分析】根據(jù)圖形可知:點(diǎn)B在以。為圓心,以。B為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),再由旋轉(zhuǎn)可知:將正方形。力BC繞點(diǎn)。
逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形02/1G,相當(dāng)于將線段。8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo),然后
發(fā)現(xiàn)規(guī)律是8次一循環(huán),進(jìn)而得出答案.
【詳解】解:回點(diǎn)2的坐標(biāo)為(1,0),四邊形0aBe是正方形,
團(tuán)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1),
OA=AB=1,
,??四邊形04BC是正方形,
/OAB=90°,
連接。B,如圖:
由勾股定理得:OB="2+12=企,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:OB=0B1=OB2=OB3=…=V2,
???將正方形。力BC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形。4/iG,
相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。,依次得到乙40B=乙BOB1=^BrOB2=…=45°,
⑨,B2(-l,l),B3(-V2,0),B4(-l,-l),B5(O,-V2),B7(V2,0),B8(l,l)
發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán),則2024+8=253,
回殳024是第253組的最后一個(gè)點(diǎn),
???點(diǎn)B2024的坐標(biāo)為(U),
故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、規(guī)律型:點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí),
解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合并學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法.
【變式1](2024上?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將A/IB。繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到
△4816的位置,點(diǎn)仄。分別落在點(diǎn)名,6處,點(diǎn)名在x軸上,再將A/lBiCi繞點(diǎn)當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△45送2的
位置,點(diǎn)在x軸上,將△2/1繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△力2鳥(niǎo)2c2的位置,點(diǎn)4在久軸上,…,若點(diǎn)4(2,0),點(diǎn)
B(0,3),則B2024的坐標(biāo)是()
A.(5060,2)B.(5060,3)
C.(5060+1012713,3)D.(5055+1011713,3)
【答案】C
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識(shí),首先根據(jù)已知求出三角形三邊長(zhǎng)度,然后通
、、
過(guò)旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn),BB2B4即可得每偶數(shù)之間的B相(5+同)個(gè)單位長(zhǎng)度,根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以求得殳。24
的坐標(biāo).
【詳解】解:由圖象可知點(diǎn)B2024在第一象限,
BOA=2,OB=3,Z.AOB=90°,
SAB=>JOA2+OB2=V22+32=V13,
EIB2(5+V13,3),%(10+2g,3),B6(15+3V13,3),…,B2n(5n+nV13,3),
當(dāng)n=1012時(shí),B2O24(5060+1012V13,3).
故選:C.
【變式2](2023上?湖北荊州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,一段拋物線y=—x(x—4)(0WxW4),記為它
與x軸交于點(diǎn)0,A1;將G繞點(diǎn)41旋轉(zhuǎn)180。得C2,交x軸于點(diǎn)4;將繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)18?!愕肅3,交x軸于點(diǎn)&;…,
如此進(jìn)行下去,若P(2023,m)是其中某段拋物線上一點(diǎn),則加的值為().
A.-3B.3C.-6D.6
【答案】A
【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的圖象,二次函數(shù)與幾何變換,由拋物線G與x軸交點(diǎn)
坐標(biāo)得出拋物線的解析式,再根據(jù)周期為8即可求出山的值,掌握拋物線解析式的求法,以及拋物線與x
軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵.
【詳解】解:回一段拋物線G:y=—x(x—4)(0<x<4),
團(tuán)圖象G與%軸交點(diǎn)坐標(biāo)為:(。,0),(4,0),
回。4=4,
回將Q繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。得,
SOA2=8,
團(tuán)拋物線C2:y=(x-4)(x-8)(4<x<8),且拋物線一個(gè)周期長(zhǎng)為8,
團(tuán)2023+8=252-7,
0m=(7-4)x(7-8)=-3,
故選:A.
【變式3](2023上?湖北武漢?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,AaOB為等腰直角三角形,
^OBA=90°,OA=3V2,邊。B在y軸正半軸上,點(diǎn)A在第一象限內(nèi),將△繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn),每次
旋轉(zhuǎn)45。,則第2023次旋轉(zhuǎn)后,點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()
A.(3V2,0)B.(3,3)C.(0,3V2)D.(3,-3)
【答案】C
【分析】觀察圖象可得,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán),從而可得點(diǎn)42023與點(diǎn)4的坐標(biāo)相同,即可求解.
【詳解】解:如圖,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán),
02023+8=252……7,
回點(diǎn)人2023與點(diǎn)47的坐標(biāo)相同,
回點(diǎn)4023的坐標(biāo)為(0,3口
故選:C.
考點(diǎn)6:旋轉(zhuǎn)的幾何綜合
典例6:(2023上?廣東東莞,九年級(jí)校聯(lián)考期中)正方形4BCD的邊長(zhǎng)為5,E,F分別是力B,BC邊上的點(diǎn),
且NEDF=45。.將AZME繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,得到ADCM.
⑴求證:EF=AE+CF;
(2)當(dāng)4E=2時(shí),求EF的長(zhǎng).
【答案】⑴證明見(jiàn)解析
29
(2)y
【分析】(])由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,/-CDM=/.ADE,DE=DM;由NEDF=45。和四邊形48CD是正方形,
可得N4DE+NFDC=45。,從而得出NFDM=NEDF,利用SAS得出△EDF三△MDF,即可求解;
(2)由4EDF=△MDF得AE=CM=2,正方形48CD的邊長(zhǎng)為5,從而求出EB=3,根據(jù)8M=BC+CM
求出的長(zhǎng),設(shè)EF=MF=x,則BF=BM-MF=BM-EF=7—久,在RtAEBF中,由勾股定理得:
EB2+BF2=EF2,即可求解.
【詳解】(1)證明::/.EDF=45°,
???/.ADE+乙FDC=45°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,^CDM=^ADE,DE=DM,
???乙FDM=45°,
???Z-FDM=Z-EDF,
??.AEDF=^MDFrSAS?,
??.EF=FM,
???FM=CF+CM,
??.EF=AE+CF;
(2)解:設(shè)EF=MF=%,
???AE=CM=2,BC=5,
??.BM=BC+CM=5+2=7,
BF=BM-MF=BM—EF=7—x,
??.EB=AB-AE=5-2=3,
在RtAEBF中,由勾股定理得:
EB2+BF2=EF2,即32+(7—x)2=/,
解得:%=
則EF=
7
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,解題的關(guān)鍵是熟
練掌握相關(guān)的定理及性質(zhì).
【變式1](2022下?廣東深圳?八年級(jí)校聯(lián)考期中)某研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)《簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)》時(shí),發(fā)現(xiàn)
了一種特殊的四邊形,如圖1,在四邊形ZBCD中,AB=AD,^B+^D=180°,我們把這種四邊形稱(chēng)為"等
補(bǔ)四邊形".如何求"等補(bǔ)四邊形"的面積呢?
探究一:
⑴如圖2,已知“等補(bǔ)四邊形"4BCD,若〃=90。,將"等補(bǔ)四邊形"BCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,可以形成
一個(gè)直角梯形(如圖3).若BC=4cm,CD=2cm,則"等補(bǔ)四邊形"的面積為一cm2
探究二:
(2)如圖4,已知"等補(bǔ)四邊形"ABCD,若N4=120。,將“等補(bǔ)四邊形"繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。,再將得到的四
邊形按上述方式旋轉(zhuǎn)120。,可以形成一個(gè)等邊三角形(如圖5).若8c=6cm,CD=4cm,則"等補(bǔ)四邊
形"4BCD的面積為一cm?.
由以上探究可知,對(duì)一些特殊的"等補(bǔ)四邊形",只需要知道BC,CD的長(zhǎng)度,就可以求它的面積.那么,如
何求一般的"等補(bǔ)四邊形”的面積呢?
探究三:
(3)如圖6,已知"等補(bǔ)四邊形"4BCD,連接北,將△4CD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度,使4。與4B
重合,得到△力B。,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,
①由旋轉(zhuǎn)得:AD=N_,因?yàn)橐?BC+N。=180。,所以乙48C+Z718C'=180。,即點(diǎn)C',B,C在同一直
線上,所以我們拼成的圖形是一個(gè)三角形,即△4CC'.
②如圖7,在△4CC,中,作AW1BC于點(diǎn)H,若4"=機(jī),CH=n,試求出“等補(bǔ)四邊形”4BCD的面積(用
含機(jī),w的代數(shù)式表示),并說(shuō)明理由.
【答案】⑴9
25V3
⑵/nX丁
(3)(1)XBC,;@mn,理由見(jiàn)解析
【分析】(1)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得四邊形面積等于直角梯形面積的一半,結(jié)合題意求直角梯形的面積即可求
解;
(2)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得四邊形面積等于等邊三角形的面積的右根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得NGCF=60°,
GC=FC,根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)可得EF=5,根據(jù)勾股定理求得等邊三角形的高,求出等邊三角
形的面積,即可求解;
(3)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解;
②通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得四邊形面積等于等腰三角形面積,根據(jù)三角形的面積公式即可求解.
【詳解】(1)解:由題意"等補(bǔ)四邊形的面積=(x等x(2+4)=9.
故答案為:
(2)解:過(guò)點(diǎn)。作CE1G尸交于點(diǎn)E,如圖:
根據(jù)題意可得FC==4+6=10(cm),
0AFGC是等邊三角形,
0ZGCF=60°,GC=FC,
0ZFCE=二1乙GCF=30°,
2
在RtZFCE=30°,FC=10,
BEF=-2FC=5,
則EC=VFC2-EF2=V102-52=5V3,
故〃等補(bǔ)四邊形〃的面積=1x|xl0x5V3=萼.
故答案為:萼.
(3)解:①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,ZD=/.ABC,
故答案為:ABC.
②:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知,AC=AC,
EL4”1CC,
EICH=HC=n,
0CC,=2n,
團(tuán)”等補(bǔ)四邊形"4BC0的面積=△4CC'的面積=|X2nXm=mn.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換,直角梯形的面積公式,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,含30。角的直角三角
形的性質(zhì),三角形的面積公式等,解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的
面積.
【變式2](2023上?湖北黃石?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示,點(diǎn)。是等邊△力BC內(nèi)的任一點(diǎn),連接04,
OB,OC,^AOB=150°,NBOC=120。,將△B。。繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得△力DC.
(1)求4。力。的度數(shù);
(2)用等式表示線段。4,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
【答案】(1)4口4。=90°
(2)線段。4OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是。氏+。82=。02.證明見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB。。三△4。。,可得4。=120。/。。。=60。,再求出乙40C,利用四
邊形內(nèi)角和度數(shù),即可解答;
(2)連接0D,證明△OCD是等邊三角形,再根據(jù)勾股定理和線段的等量轉(zhuǎn)換,即可得到0壽+OB2=0C2.
【詳解】(1)解:回44。8=150°,Z.BOC=120,
0Z4OC=360°-120°-150°=90°.
團(tuán)將ABOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到△ADC,
??.△BOC=△ADC,
也LOCD=60°,乙D=乙BOC=120°,
0ZDXO=360°-^AOC-乙OCD-4D=90°;
(2)線段04,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是。42+。5=%2.
證明:如圖,連接。D,
0ABOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到△ADC,
E1ZOCZ)=60°,CD=OC,AD=OB,
0Aocn是等邊三角形,
HOC-OD=CD,
由①知404。=90。,在RtAAD。中,。42+4。2=。。2,
SOA2+OB2=OC2.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的性質(zhì),勾股定理,正確作出輔
助線,熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
【變式3](2024上?遼寧遼陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與實(shí)踐
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,同學(xué)們以"正方形與旋轉(zhuǎn)"為主題開(kāi)展探究活動(dòng).
【探索發(fā)現(xiàn)】
(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn),力于點(diǎn)F,將線段2F繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到
線段4G,連接DG,
可證:AABFmAADG.請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程;
【深入思考】
(2)在(1)的條件下,如圖2,若延長(zhǎng)BE,GD交于點(diǎn)H,試猜想線段BF,FH,之間的數(shù)量關(guān)系,并
證明你的猜想;
【拓展延伸】
(3)在(2)的條件下,如圖3,連接CH,將線段繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段HP,點(diǎn)P在上,試
猜想BP,CH的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.
圖1圖2圖3
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)FH=BF+DH;理由見(jiàn)解析;(3)BP=<2CH.理由見(jiàn)解析
【分析】(1)利用SAS即可證明A2BF三A40G;
(2)由AaBF三AADG推出4G=乙4/8=90。,BF=DG,證明四邊形力FHG是正方形,利用等量代換即
可推出FH=BF+DH;
(3)連接BD和PO,證明ABOPCOH,即可得到BP=/CH.
【詳解】(1)證明:回四邊形力BCD是正方形,
^AB=AD,/.BAD=90°,
團(tuán)將線段AF繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段4G,
EINF4G=90°,AF=AG,
Bl^BAF=90°-/.FAD=/.DAG,
0ABAF三△DAG(SAS);
(2)FH=BF+DH;理由如下:
EL4F1BE,
0ZXFH=/.AFB=90°,
0AABF三AADG,
0ZG=
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