中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱(chēng)（知識(shí)串講+9大考點(diǎn)）解析版

專(zhuān)題02旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱(chēng)

廠考點(diǎn)類(lèi)型

'■知識(shí)一遍過(guò)

(―)旋轉(zhuǎn)的定義

(1)旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)沿某一方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形

的旋轉(zhuǎn).這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角

如圖所示，笈是AAO3繞定點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得到的，其中點(diǎn)A與點(diǎn)A叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段OB與

線段O9叫作對(duì)應(yīng)線段，NQ鉆與N。4方叫作對(duì)應(yīng)角，點(diǎn)。叫作旋轉(zhuǎn)中心，ZAQV(或NBOE)的度數(shù)叫

作旋轉(zhuǎn)的角度。

(2)【注意】旋轉(zhuǎn)中心可以是圖形內(nèi)，也可以是圖形外。

(3)【圖形旋轉(zhuǎn)的三要素】旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角.

(二)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

旋轉(zhuǎn)的(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

性質(zhì)(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等

(4)旋轉(zhuǎn)過(guò)后，常用等腰三角形性質(zhì)

(1)圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角

度；

重點(diǎn)(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相

解讀等；

(3)圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變,只改變了圖形的位

置

(三)旋轉(zhuǎn)作圖

旋轉(zhuǎn)作圖(1)任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

的依據(jù)(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等

作圖要素(1)原圖；(2)旋轉(zhuǎn)中心；(3)旋轉(zhuǎn)方向；(4)旋轉(zhuǎn)角；(5)一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)

(1)連:連接原圖形中一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心.

(2)轉(zhuǎn):根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度，以(1)中關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連

線為一邊作一個(gè)旋轉(zhuǎn)角.

(3)截:在該旋轉(zhuǎn)角的另一邊上,從旋轉(zhuǎn)中心開(kāi)始截取此關(guān)鍵點(diǎn)到

作圖步驟旋轉(zhuǎn)中心的長(zhǎng)度,得到該點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).重復(fù)上述操作，作出所有關(guān)

鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

(4)接:按原圖形順次連接所得到的各點(diǎn).

注意:為了避免作圖時(shí)的混亂，以上連、轉(zhuǎn)、截這三步每個(gè)點(diǎn)獨(dú)立

完成后,再進(jìn)行下一個(gè)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)

(四)中心對(duì)稱(chēng)的相關(guān)概念

(1)中心對(duì)稱(chēng)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖

形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱(chēng)中心.這兩個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫作關(guān)于對(duì)稱(chēng)中心

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

如圖，AABO繞著點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。后，與ACDO完全重合，則稱(chēng)ACDO和A4BO關(guān)于點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)C是點(diǎn)

A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

(2)中心對(duì)稱(chēng)圖形概念：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合,

那么這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心.

(五)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

(1)中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：

①中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而且被對(duì)稱(chēng)中心所平分；

②中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形.

(2)找對(duì)稱(chēng)中心的方法和步驟：

方法1：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，取對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)，則中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.

方法2：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.

考點(diǎn)一遍過(guò)

考點(diǎn)1：旋轉(zhuǎn)的三要素

典例1：(2023上?浙江臺(tái)州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，已知點(diǎn)4(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),連接4B,C0,

將線段4B繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使其與線段CD重合(點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)2與點(diǎn)D重合)，則這個(gè)旋

轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為().

A.(3,2)B.(3,3)C.(6,2)D.(4,2)

【答案】D

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線段的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中

心.

畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系，作出新的力C,BD的垂直平分線的交點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示，旋轉(zhuǎn)中心是P點(diǎn)，P(4,2),

故選：D.

【變式1］（2023上?河南漠河?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，AMPN繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一角度得

到△ATPW',則旋轉(zhuǎn)中心可能是（

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)、BC.點(diǎn)CD.點(diǎn)。

【答案】B

【分析】如圖：連接PP'、NN',作PP'的垂直平分線，作NN，的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)

中心；掌握旋轉(zhuǎn)中心的確定方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，

團(tuán)AMPN繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△M'PWl

團(tuán)連接PP'、NN',作PP'的垂直平分線，作NN'的垂直平分線,

回三條線段的垂直平分線正好都過(guò)8即旋轉(zhuǎn)中心是8.

故選：B.

【變式2］（2023下?四川宜賓?七年級(jí)統(tǒng)考期末）將兩塊全等的含30。角的直角三角板按圖1的方式放置，已

知ABAC=NBv41c=30°,固定三角板&BiC,然后將三角板力BC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至圖2的位置，AB

與4停、4/1分別交于點(diǎn)。、E,4C與A/1交于點(diǎn)?當(dāng)ABL&Bi，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（）.

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得NB=60°,根據(jù)直角三角形性質(zhì)和對(duì)頂角相等得NBDC=N&DE=60°,

求出N&C4即可.

【詳解】解：由題意得到，ABAC=NB14C=30。，

則NB=90°-NBAC=60°,

SAB14/1，

回乙生EB=90°,

0Z5DC=Z.A±DE=90°-30°=60°,

0ZBCD=180°-4BDC一4B=60°,

所以N&CA=90°-乙BCD=30°,

即旋轉(zhuǎn)角是30。.

故選：A

【點(diǎn)睛】此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)角和

定理、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3】（2022上?遼寧大連?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E是正方形力BCD中CD邊上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)A為中心，

把ANDE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AABF,點(diǎn)尸在C8的延長(zhǎng)線上，則下列角中是旋轉(zhuǎn)角的是（）

A.^DAEB.乙EABC./.EAFD./.DAF

【答案】C

【分析】由旋轉(zhuǎn)的概念可直接求解.

【詳解】解:回以點(diǎn)A為中心，把AADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△力BF,

國(guó)旋轉(zhuǎn)角為N02B或4EAF,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的概念，掌握對(duì)應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)2：利用的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

典例2：（2024上?山東煙臺(tái),八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△力BC中，ACAB=20°,AABC=30°,將△力BC繞

4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得至！UAB'C',以下結(jié)論：①BC=B'C,@AC||C'B',③C'B'1BB',@^ABB'=^ACC,

A,①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理和等邊對(duì)等角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=B'C,

AC'AB'=/.CAB=20°,ZAB'C=AABC=30°,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為50。，然后利用三角形內(nèi)角和定理

和等邊對(duì)等角逐項(xiàng)求解判斷即可.

【詳解】①???△4BC繞4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得到△AB'C,

■.BC=B'C,故①正確；

②48c繞4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。,

???乙BAB，=50°.

???/.CAB=20°,

Z-B'AC=乙BAB'-乙CAB=30°.

v4ABe=AABC=30°,

^AB'C=^B'AC.

^ACIIC'B',故②正確；

③在ABA4中，

AB=AB',/.BAB'=50°,

???4AB'B=4ABB'=1(180°-50°)=65°.

/.BB'C=/.AB'B+4ABC=65°+30°=95°.

??.C'B'與BB'不垂直，故③不正確；

④在△4CC，中，

AC^AC,Z.CAC=50°,

/.ACC=|(180°-50°)=65°.

Z.ABB'=/.ACC,故④正確.

???①②④這三個(gè)結(jié)論正確.

故選：D.

【變式11(2023上?廣東廣州?九年級(jí)廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得

到AEDC,若點(diǎn)4、D、E在同一條直線上，且乙4c8=20。，貝吐4DC的度數(shù)為()

A.50°B.55°C.60°D.65°

【答案】D

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，先利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，

AC=CE,Z.ECD=乙ACB=20。，乙4CE=90°,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得/E=45°,然后利用三

角形的外角性質(zhì)求解即可.掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

【詳解】解：團(tuán)將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AEDC,乙4cB=20。,

EL4C=CE,4ECD=乙ACB=20°,LACE=90°,

團(tuán)AACE是等腰直角三角形，

0ZF=45°,

^Z-ADC=Z.E+Z.ECD—65°,

故選：D.

【變式2］（2023上?新疆烏魯木齊?九年級(jí)?？计谥校⒑?0。角的直角三角尺。4B按如圖所示的方式放置

在平面直角坐標(biāo)系中，OB在x軸上，若02=2,將三角尺繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的

坐標(biāo)為（）

c.(V2,-V2)D.(-V2,V2)

【答案】C

【分析】如圖，過(guò)4作4c1。8于C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，"04=75。，OA'=OA=2,貝UC。=C4',由

勾股定理得，。4=JCO2+CA'2=2,解得，CO=CA'=<2,進(jìn)而可求力'的坐標(biāo).

0ZCO4Z=45°,ACA'O=450=ACOA',

SCO=CA',

由勾股定理得，。4=7co2+CA'2=2,

解得，CO=CA'=V2,

團(tuán)4（夜，一夜），

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形等知識(shí).熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等

角對(duì)等邊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形是解題等關(guān)鍵.

【變式31（2023下?四川達(dá)州,八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在正方形4BCD中，E為DC邊上的點(diǎn)，連接BE,將4BCE

繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到連接EF,若4BEC=6。。,則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）.

①ZB=DF,②EF=V2CF,③CE=:DF,@^EFD=15°

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和4BCD是正方形，從而得到48=BC=DC手DF,根據(jù)NECF=90°,乙BEC=60°,

得至ikCBE=NCDF=30。，根據(jù)EC=CF,得至UNCEF=NCFE=45。，從而得到NEFD=15。，根據(jù)直角三

角形中30。角所對(duì)的邊是斜邊的一半的得到CE=從而得到CE=：DF,根據(jù)特殊直角三角函數(shù)值得到

EF=V2CF.

【詳解】解：???ABCE繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到ADCF,

???BE=DF,EC=CF,

???4BCD是正方形

AB=DC,

???DC豐DF,

AB^DF,故①錯(cuò)誤；

???乙BEC=60°,

???乙BEC=4CFD=60°,乙CBE=乙CDF=90°-60°=30°,

1

???CE=-BE

???BE=DF,

：.CE=\DF,故③正確;

???Z.ECF=90°,EC=CF

???乙CEF=乙CFE=45°,

==故②正確；

???乙EFD=MFD-乙CFE=60°-45°=15°,故④正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及正方形的性質(zhì)，熟記旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及解直角三角形和角度之間的計(jì)算是解

題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)3：坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)作圖

典例3：（2023上?廣東江門(mén)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

4（1,4）,8（4,2）,C（3,5）,（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）.

⑴請(qǐng)畫(huà)出AAiBiCi，使AaiBiG與△ABC關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱(chēng)；

⑵將△ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的A4B2c2，并直接寫(xiě)出點(diǎn)殳的坐標(biāo);

⑶在（2）的條件下，求點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)外所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).（結(jié)果保留兀）

【答案】⑴畫(huà)圖見(jiàn)解析

（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析，（一2,4）

【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，找到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)B］、G的

坐標(biāo)，再描出4、Q,最后順次連接4、Ci即可；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)方式和網(wǎng)格的特點(diǎn)找到A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、。2的位置，再順次連接人2、Bz、C2,最后

根據(jù)點(diǎn)的位置寫(xiě)出點(diǎn)為的坐標(biāo)即可；

（3）先利用勾股定理求出04=717,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得乙4。4=90。，根據(jù)題意可知點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)4所經(jīng)

過(guò)的路線長(zhǎng)即為以點(diǎn)O為圓心，。4的長(zhǎng)為半徑且圓心角度數(shù)為90度的扇形弧長(zhǎng)，據(jù)此利用弧長(zhǎng)公式求解

即可.

【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：如圖所示，A&B2c2即為所求；

由圖可知點(diǎn)的坐標(biāo)為（—2,4）；

(3)解:財(cái)(1,4),

團(tuán)。4=Vl2+42=V17,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得乙4。4=90。，

回點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)42所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)即為以點(diǎn)。為圓心，。力的長(zhǎng)為半徑且圓心角度數(shù)為90度的扇形弧長(zhǎng)，

回點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)七所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=氣/=苧.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化一軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)，勾股定理，求弧長(zhǎng)，正確根據(jù)圖形的變換方式找

到對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2024上?上海,八年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線AC與函數(shù)y=；（x<0）的圖象相交于點(diǎn)4（一1,6）,與

無(wú)軸交于點(diǎn)C,且“C。=45。，點(diǎn)。是線段4C上一點(diǎn).

⑴求k的值；

⑵若△DOC與4。4C的面積比為2:3,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑶將。￡(繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到0D',點(diǎn)D'恰好落在函數(shù)y=￡(%<0)的圖像上，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】⑴k=-6

⑵(1,4)

(3)0(2,3)或D(3,2)

【分析】(1)把4(一1,6)代入y=￡(x<0),可求出k的值；

(2)過(guò)。點(diǎn)作DM1x軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)4作4N1x軸于點(diǎn)N,由ADOC與4CMC的面積比為2:3可推出翳=

由點(diǎn)4的坐標(biāo)可求出4N=6,從而求出點(diǎn)。的縱坐標(biāo)，根據(jù)題意求出直線4C的解析式，由于點(diǎn)D在直線AC上，

進(jìn)而求出。點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)過(guò)點(diǎn))作DHlx軸于H,設(shè)D(x,—x+5)(x>0),則6(x-5,x),將其坐標(biāo)代入到丫=一:得到關(guān)于x的

方程內(nèi)解方程即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)4(—1,6)在函數(shù)y=E(x<0)的圖象上，

-?■6=—,

-1

k=—6

(2)如圖1,過(guò)D點(diǎn)作。MJ.X軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)4作4V1X軸于點(diǎn)N,

圖1

..SAODC_^OCDM_2

,一1一—,

SAOAC-OCAN3

.DM_2

J.=一,

AN3

??,點(diǎn)4的坐標(biāo)為(一1,6),

??.AN=6,

??.DM=4,

???/.ACO=45°,

???設(shè)直線ZC的解析式為y=-%+/),

???點(diǎn)力(-1,6)在直線y=-％+b上，

6=l+h

???b=5

??.直線AC的解析式為y=-％+5,

把y=4代入y=-％+5中，4=—%+5,

???x=1,

???0(X4)

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)》作軸于乩

???直線ZC的解析式為y=-久+5,

???設(shè)。(居—％+5)(%>0),

.??￡)'(%—5,%)

???點(diǎn)。'落在函數(shù)y=-1的圖象上,

???x(x—5)=—6

?,?%2—5%+6=0

,,,=2,%2~3

???。(2,3)或0(3,2).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形的面積，反比例函數(shù)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，能夠

熟練運(yùn)用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式2】(2024上?河北滄州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)

為單位已知△ABC：

(12ABC與△4/iQ關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱(chēng)，畫(huà)出Aa/iCi，并寫(xiě)出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵以。為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得A4B2c2，畫(huà)出AAZB2c2，并寫(xiě)出△2c2各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為.

【答案】⑴圖見(jiàn)解析,4(2,—3)、名(4,一1)、G(L—2)

(2)圖見(jiàn)解析，4(3,2)、/CW)、C2(2,l)

⑶迪

【分析】(I)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可，再根據(jù)圖形求得點(diǎn)4、Bl、G的坐標(biāo)即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可，再根據(jù)圖形求得點(diǎn)心、殳、的坐標(biāo)即可；

(3)根據(jù)題意可得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路線為C?2,^COC2=90°,利用勾股定理求得C。=C2。=遍，

再利用弧長(zhǎng)公式求解即可.

【詳解】(1)解：如圖，△4/iG即為所求,4(2,-3)、Bi(4,-1),G(l,-2)；

(2)解：如圖，A&B2c2即為所求，4(3,2)、口2(1，4)、c2(2,l)；

(3)解：如圖，由題意可得，點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)。2經(jīng)過(guò)的路線為后2,

0ZCOC2=90°,CO=C2O=A/F+22=V5,

90oX7rxV5V5TT

團(tuán)/——f

18002

故答案為：等.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、點(diǎn)的坐標(biāo)、弧長(zhǎng)公式，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖是解題的關(guān)

鍵.

【變式3](2024上?北京西城?九年級(jí)統(tǒng)考期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

71(-2,5),B(—3,0),C(l,2).將△2BC繞原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AABC,點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為4,

(2)直接寫(xiě)出點(diǎn)C'的坐標(biāo)；

⑶記線段9C，與線段的交點(diǎn)為G,直接寫(xiě)出N8GC'的大小.

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)r(2,-1)

(3)NBGC‘=90°

【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)作圖、由圖形寫(xiě)坐標(biāo)和求角度，涉及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、圖形與坐標(biāo)、三角形全等的判定與

性質(zhì)、對(duì)頂角相等和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及圖形與坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出△4BC三個(gè)頂點(diǎn)繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連線即可得到△A'B'C；

（2）由（1）中作出的△ABC即可得到答案；

（3）過(guò)C作CDlx軸于過(guò)。作軸于如圖所示，由三角形全等的判定與性質(zhì)得到ABDC三4

夕DL（HL）,進(jìn)而NDBC=^D'B'C,再由對(duì)頂角相等、等量代換及三角形內(nèi)角和定理即可得到答案.

【詳解】（1）解：作圖如下：

△4夕C，即為所求;

（2）解:由（1）中圖形，如圖所示:

y1

C,（2,-l）;

（3）解：在（1）的圖形中，過(guò)C作CDlx軸于D、過(guò)C'作C'D'軸于D',如圖所示:

y

???BC=B'C,CD=C'D'/BDC=AB'D'C=90°,

BDC三AB少C，(HL),

.-.乙DBC=乙D'B'C',

v乙BEO=Z.B'EG,

在RtABE。中，Z.BEO+/.DBC=90°,則+NO?C'=90。，

在△夕EG中，由三角形內(nèi)角和定理可知NEGB，=90。，

Z.BGC=90°.

考點(diǎn)4：旋轉(zhuǎn)與尺規(guī)作圖

典例4：（2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)。為等邊三角形ABC的中心，ABCE是以BC為斜邊的直角

三角形，且BE=CE.

（1）用尺規(guī)在直線AB的左側(cè)作△2B。，使AABDEIABCE,保留必要的作圖痕跡，不寫(xiě)作法；

（2）A4BD能否由ABCE繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到？若能，請(qǐng)加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)角a（0<a<180°）

的度數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）圖見(jiàn)詳解；（2）能，旋轉(zhuǎn)角a為120。，證明見(jiàn)詳解.

【分析】（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以CE、BE為半徑畫(huà)弧，則兩弧交于一點(diǎn)。，進(jìn)而問(wèn)題可求解；

（2）連接04、OB、OC、OD、OE,由題意易得。4=OB=OC.Z.AOB=乙BOC=120°,zXBO=Z.CBO,

乙CBE=45°,由（1）可知：△BCE三△BAD,貝U有BD=BE/CBE=zABD=45°,然后可得小OBDdOBE,

進(jìn)而可得。D=OE,最后問(wèn)題可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）證明：能,理由如下：

連接。4、OB、OC、OD、0E,如圖所示:

回。是等邊三角形ABC的中心，是以BC為斜邊的直角三角形，且BECE,

故4=OB=OC,Z.AOB=乙BOC=120°,Z.ABO=乙CBO,Z.CBE=45°,

由（工）可知：ABCEmABAD,

EIBD=BE/CBE=4ABD=45°,

0ZXBO+AABD=乙CBO+乙CBE,即NOBD=NOBE,

SOB=OB,

0AOBDOBE,

0OZ）=OE,

BOA=OB=OC,EBOC=a4OB=120°,

0A力BD能由△BCE繞點(diǎn)。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角度為120。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形及等腰直角三角形的性質(zhì),熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三

角形及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1］（2023?山東淄博?統(tǒng)考二模）如圖，矩形A8CD中，4B=4,AD=7,把矩形折疊，使得點(diǎn)B與射

線DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合，（P不與點(diǎn)D、C重合），MN為折痕，點(diǎn)M、N分別在邊4D、BC上.

圖1圖2圖3

（1）請(qǐng)用尺規(guī)在圖（1）中作出過(guò)點(diǎn)M、。、P的。。（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

（2）連接BM,若直線BM與過(guò)M、D、P三點(diǎn)的。。相切，求直線BC與。。的位置關(guān)系;

（3）把/BMN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得4B1M1N,當(dāng)當(dāng)落在邊力D上時(shí)，求DP的長(zhǎng).

【答案】（［）見(jiàn)解析；（2）相切；（3）4—V7

【分析】（1）連結(jié)作的垂直平分線，與交于點(diǎn)。，再以點(diǎn)。為圓心，為半徑畫(huà)圓即可;

（2）過(guò)。作￡7迥交AD于E、交BC于尸，連接2尸，則可得ZL4BMw4DMP,從而得到圓。半徑為|,

進(jìn)而可得。尸=|,從而最終得到直線BC與。。相切；

（3）可以證得四邊形ABN/是正方形及4H2N?/CBP,根據(jù)正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可以得到

。尸的值.

【詳解】解：（1）如圖（1）所示；

圖1

（2）過(guò)。作EF14。交AD于E、交BC于F,連接BP,如圖（2）所示;

則四邊形CDEF是矩形

???8M是。。的切線

??.Z.PMB=90°

??.Z.AMB+乙DMP=90°

???四邊形是矩形

LA=/.ADC=90°

Z.AMB+匕ABM=90°

???Z-ABM=乙DMP

???把矩形折疊，使得點(diǎn)B與射線DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合，(P不與點(diǎn)0、C重合)MN為折痕

???MN垂直平分BP

/.BM=PM

在44BM和4DMP中

2ABM=Z.DMP

丁乙4=Z.MDP

BM=PM

/.AABM=ADMP(AAS)

AB=DM=4,AM=DP

DP=AM=AD-DM=7-4=3

???PM=y/DM2+DP2=，42+32=5

.??。。的半徑為3

???四邊形CDEF是矩形

EF//CD,EF=CD=AB=4

???OM=OP

???OE是4M0P的中位線

13

OE=-DP=-

22

35

.-.OF=EF-OE=4--=-

22

???直線BC與。。相切；

（3）???四邊形/BCD是矩形

.?.BC=AD=7,AD"BC,Z71=乙ABC=zC=90°

???/BMN繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得當(dāng)當(dāng)落在邊4）上，連接BP交MN于點(diǎn)兒如圖（3）所示;

圖3

則MN垂直平分BP,BN=BN乙BNB[=90°

：.BH=PH=抻,ABHN=90°,四邊形ABN/是正方形,

???BN=AB=4

???乙BHN=ZC=90°,乙HBN=4CBP

：.AHBN?ACBP

BH_BN

>'BC=BP

解得：BP2=56

???CP2=BP2-FC2=56-72=7

CP=V7

DP=CD-CP=4-y/7

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)、

勾股定理、直線與圓相切的判定、折疊性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、圓的尺規(guī)作圖等是解題關(guān)鍵.

【變式2］（2023下?福建寧德?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)P是0AOB內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線分別交

射線OA,于點(diǎn)N,將直線繞點(diǎn)尸旋轉(zhuǎn)，△MON的形狀與面積都隨之變化.

圖2

（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中用尺規(guī)作出△MOM使得AMON是以為斜邊的直角三角形;

（2）如圖2,在。尸的延長(zhǎng)線上截取PC=OP,過(guò)點(diǎn)C作CM0OB交射線OA于點(diǎn)連接M尸并延長(zhǎng)交

OB于點(diǎn)、N.求證：OP平分AMON的面積;

（3）小亮發(fā)現(xiàn)：在直線旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，（2）中所作的AMON的面積最小.請(qǐng)利用圖2幫助小亮說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）當(dāng)點(diǎn)尸是的中點(diǎn)時(shí)S/MON最小.理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，過(guò)P點(diǎn)作PN回OB于N,交OA于點(diǎn)M；

（2）證明三角形全等得P為MN的中點(diǎn)，便可得到結(jié)論;

（3）過(guò)點(diǎn)P作另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F,設(shè)PF<PE,與MC交于于G,ffiBlEPGMfflPFN,得回PGM

與EIPFN的面積相等，進(jìn)而得S四邊形MOFG=SAMON?便可得SAMONVSAEOF，問(wèn)題得以解決.

【詳解】（1）①在。8下方取一點(diǎn)K,

②以尸為圓心，PK長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與02交于C、。兩點(diǎn),

③分別以C、。為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于E點(diǎn),

④作直線PE,分別與。4、08交于點(diǎn)M、N,

麗C=[3P0N,

在團(tuán)PCM和團(tuán)PON中，

zC=zPON

PC=PO,

zCPH=zOPN

團(tuán)團(tuán)尸CM!mPON(ASA),

團(tuán)尸M=PN,

團(tuán)OP平分團(tuán)MON的面積；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作另一條直線跖交04、。5于點(diǎn)從F,設(shè)PFVPE,與MC交于于G,

團(tuán)CM05,

WGMP=BFNP,

在回PGM和回尸/M中，

ZPMG=Z.PNF

PM=PN,

/MPG=乙NPF

麗尸GMffl/VW(ASA),

出S#GM=S^PFN

團(tuán)S四邊形MOFG—SAMON.

0S四邊形MOFGVS^EOF,

^SAMON<SAEOF,

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)尸是MN的中點(diǎn)時(shí)S』MON最小.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的中線性質(zhì)，關(guān)鍵證明三角

形全等.

【變式3](2023?福建?一模)如圖，在△ABC中，=90°,乙4=30°,將△ZBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)固定角度

后得到△4B'C,使得點(diǎn)方在ZB上，48'與AC交于點(diǎn)F.

（1）在給出的圖形上用尺規(guī)作出△4B，C；（要求：尺規(guī)作圖不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）求證：A'B'//BC.

【答案】（工）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析.

【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NCB'4=NB=60。，再計(jì)算出NB'CB=NCB'4=60。，即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）如圖，AAB'C為所求作的三角形；

（2）證明：由旋轉(zhuǎn)可得RtAABCwRtAA'8'C,

4CB'A'=乙B,

■：/.ACB=90°,U=30",

???Z.B=60°,

△BCB'是等邊三角形，

???4B'CB=/.CB'A'=60°,

???A'B'//BC.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

失分的原因：不能正確理解本題所作的三角形，實(shí)質(zhì)就是作已知三角形的全等三角形；對(duì)平行線的判定方

法掌握不熟練.

考點(diǎn)5：旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用一一規(guī)律

典例5：（2024上?山東煙臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形02BC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)45。后得到正方形依此方式，繞點(diǎn)。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次得到正方形O4024B2024c2024,如果點(diǎn)4的

坐標(biāo)為（1,0）,那么點(diǎn)殳。24的坐標(biāo)為（）

A.(V2,0)B.(0,V2)C.(1,1)D.(-1,1)

【答案】C

【分析】根據(jù)圖形可知：點(diǎn)B在以。為圓心，以。B為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，再由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形。力BC繞點(diǎn)。

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形02/1G，相當(dāng)于將線段。8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后

發(fā)現(xiàn)規(guī)律是8次一循環(huán)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】解:回點(diǎn)2的坐標(biāo)為(1,0),四邊形0aBe是正方形，

團(tuán)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1),

OA=AB=1,

,??四邊形04BC是正方形，

/OAB=90°,

連接。B,如圖：

由勾股定理得：OB="2+12=企，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：OB=0B1=OB2=OB3=…=V2,

???將正方形。力BC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形。4/iG，

相當(dāng)于將線段OB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，依次得到乙40B=乙BOB1=^BrOB2=…=45°,

⑨,B2(-l,l),B3(-V2,0),B4(-l,-l),B5(O,-V2),B7(V2,0),B8(l,l)

發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則2024+8=253,

回殳024是第253組的最后一個(gè)點(diǎn)，

???點(diǎn)B2024的坐標(biāo)為(U)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、勾股定理、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合并學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法.

【變式1](2024上?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將A/IB。繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到

△4816的位置，點(diǎn)仄。分別落在點(diǎn)名,6處，點(diǎn)名在x軸上，再將A/lBiCi繞點(diǎn)當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△45送2的

位置，點(diǎn)在x軸上，將△2/1繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△力2鳥(niǎo)2c2的位置，點(diǎn)4在久軸上，…，若點(diǎn)4(2,0),點(diǎn)

B(0,3),則B2024的坐標(biāo)是()

A.(5060,2)B.(5060,3)

C.(5060+1012713,3)D.(5055+1011713,3)

【答案】C

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識(shí)，首先根據(jù)已知求出三角形三邊長(zhǎng)度，然后通

、、

過(guò)旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，BB2B4即可得每偶數(shù)之間的B相(5+同)個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以求得殳。24

的坐標(biāo).

【詳解】解：由圖象可知點(diǎn)B2024在第一象限，

BOA=2,OB=3,Z.AOB=90°,

SAB=>JOA2+OB2=V22+32=V13,

EIB2(5+V13,3),%(10+2g,3),B6(15+3V13,3),…，B2n(5n+nV13,3),

當(dāng)n=1012時(shí)，B2O24(5060+1012V13,3).

故選：C.

【變式2](2023上?湖北荊州?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，一段拋物線y=—x(x—4)(0WxW4),記為它

與x軸交于點(diǎn)0,A1；將G繞點(diǎn)41旋轉(zhuǎn)180。得C2,交x軸于點(diǎn)4；將繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)18?！愕肅3,交x軸于點(diǎn)&；…，

如此進(jìn)行下去，若P(2023,m)是其中某段拋物線上一點(diǎn)，則加的值為().

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與幾何變換，由拋物線G與x軸交點(diǎn)

坐標(biāo)得出拋物線的解析式，再根據(jù)周期為8即可求出山的值，掌握拋物線解析式的求法，以及拋物線與x

軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回一段拋物線G：y=—x(x—4)(0<x<4),

團(tuán)圖象G與％軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：(。，0)，(4,0)，

回。4=4,

回將Q繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)180。得，

SOA2=8,

團(tuán)拋物線C2：y=(x-4)(x-8)(4<x<8),且拋物線一個(gè)周期長(zhǎng)為8,

團(tuán)2023+8=252-7,

0m=(7-4)x(7-8)=-3,

故選：A.

【變式3](2023上?湖北武漢?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AaOB為等腰直角三角形，

^OBA=90°,OA=3V2,邊。B在y軸正半軸上，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，將△繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次

旋轉(zhuǎn)45。，則第2023次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(3V2,0)B.(3,3)C.(0,3V2)D.(3,-3)

【答案】C

【分析】觀察圖象可得，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán)，從而可得點(diǎn)42023與點(diǎn)4的坐標(biāo)相同，即可求解.

【詳解】解：如圖，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán)，

02023+8=252……7,

回點(diǎn)人2023與點(diǎn)47的坐標(biāo)相同，

回點(diǎn)4023的坐標(biāo)為(0,3口

故選：C.

考點(diǎn)6：旋轉(zhuǎn)的幾何綜合

典例6：(2023上?廣東東莞,九年級(jí)校聯(lián)考期中)正方形4BCD的邊長(zhǎng)為5,E,F分別是力B,BC邊上的點(diǎn),

且NEDF=45。.將AZME繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到ADCM.

⑴求證：EF=AE+CF；

(2)當(dāng)4E=2時(shí)，求EF的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

29

(2)y

【分析】(])由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，/-CDM=/.ADE,DE=DM；由NEDF=45。和四邊形48CD是正方形，

可得N4DE+NFDC=45。，從而得出NFDM=NEDF,利用SAS得出△EDF三△MDF,即可求解；

(2)由4EDF=△MDF得AE=CM=2,正方形48CD的邊長(zhǎng)為5,從而求出EB=3,根據(jù)8M=BC+CM

求出的長(zhǎng)，設(shè)EF=MF=x,則BF=BM-MF=BM-EF=7—久，在RtAEBF中，由勾股定理得：

EB2+BF2=EF2,即可求解.

【詳解】(1)證明：:/.EDF=45°,

???/.ADE+乙FDC=45°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，^CDM=^ADE,DE=DM,

???乙FDM=45°,

???Z-FDM=Z-EDF,

??.AEDF=^MDFrSAS?,

??.EF=FM,

???FM=CF+CM,

??.EF=AE+CF；

(2)解：設(shè)EF=MF=%,

???AE=CM=2,BC=5,

??.BM=BC+CM=5+2=7,

BF=BM-MF=BM—EF=7—x,

??.EB=AB-AE=5-2=3,

在RtAEBF中，由勾股定理得：

EB2+BF2=EF2,即32+(7—x)2=/,

解得：%=

則EF=

7

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握相關(guān)的定理及性質(zhì).

【變式1](2022下?廣東深圳?八年級(jí)校聯(lián)考期中)某研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)《簡(jiǎn)單的圖案設(shè)計(jì)》時(shí)，發(fā)現(xiàn)

了一種特殊的四邊形，如圖1,在四邊形ZBCD中，AB=AD,^B+^D=180°,我們把這種四邊形稱(chēng)為"等

補(bǔ)四邊形".如何求"等補(bǔ)四邊形"的面積呢？

探究一：

⑴如圖2,已知“等補(bǔ)四邊形"4BCD,若〃=90。，將"等補(bǔ)四邊形"BCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，可以形成

一個(gè)直角梯形(如圖3).若BC=4cm,CD=2cm,則"等補(bǔ)四邊形"的面積為一cm2

探究二：

(2)如圖4,已知"等補(bǔ)四邊形"ABCD,若N4=120。，將“等補(bǔ)四邊形"繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，再將得到的四

邊形按上述方式旋轉(zhuǎn)120。，可以形成一個(gè)等邊三角形(如圖5).若8c=6cm,CD=4cm,則"等補(bǔ)四邊

形"4BCD的面積為一cm?.

由以上探究可知，對(duì)一些特殊的"等補(bǔ)四邊形"，只需要知道BC,CD的長(zhǎng)度，就可以求它的面積.那么，如

何求一般的"等補(bǔ)四邊形”的面積呢？

探究三：

(3)如圖6,已知"等補(bǔ)四邊形"4BCD,連接北，將△4CD以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使4。與4B

重合，得到△力B。，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,

①由旋轉(zhuǎn)得：AD=N_,因?yàn)橐?BC+N。=180。，所以乙48C+Z718C'=180。，即點(diǎn)C',B,C在同一直

線上，所以我們拼成的圖形是一個(gè)三角形，即△4CC'.

②如圖7,在△4CC，中，作AW1BC于點(diǎn)H,若4"=機(jī)，CH=n,試求出“等補(bǔ)四邊形”4BCD的面積(用

含機(jī)，w的代數(shù)式表示)，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴9

25V3

⑵/nX丁

(3)(1)XBC,；@mn,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得四邊形面積等于直角梯形面積的一半，結(jié)合題意求直角梯形的面積即可求

解;

(2)通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得四邊形面積等于等邊三角形的面積的右根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可求得NGCF=60°,

GC=FC,根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)可得EF=5,根據(jù)勾股定理求得等邊三角形的高，求出等邊三角

形的面積，即可求解；

(3)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；

②通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換可得四邊形面積等于等腰三角形面積，根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：由題意"等補(bǔ)四邊形的面積=(x等x(2+4)=9.

故答案為：

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作CE1G尸交于點(diǎn)E,如圖：

根據(jù)題意可得FC==4+6=10(cm),

0AFGC是等邊三角形，

0ZGCF=60°,GC=FC,

0ZFCE=二1乙GCF=30°,

2

在RtZFCE=30°,FC=10,

BEF=-2FC=5,

則EC=VFC2-EF2=V102-52=5V3,

故〃等補(bǔ)四邊形〃的面積=1x|xl0x5V3=萼.

故答案為：萼.

(3)解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZD=/.ABC,

故答案為：ABC.

②：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AC,

EL4”1CC,

EICH=HC=n,

0CC,=2n,

團(tuán)”等補(bǔ)四邊形"4BC0的面積=△4CC'的面積=|X2nXm=mn.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，直角梯形的面積公式，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30。角的直角三角

形的性質(zhì)，三角形的面積公式等，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)變換把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的

面積.

【變式2](2023上?湖北黃石?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示，點(diǎn)。是等邊△力BC內(nèi)的任一點(diǎn)，連接04,

OB,OC,^AOB=150°,NBOC=120。，將△B。。繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得△力DC.

(1)求4。力。的度數(shù)；

(2)用等式表示線段。4,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)4口4。=90°

(2)線段。4OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是。氏+。82=。02.證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB。。三△4。。，可得4。=120。/。。。=60。，再求出乙40C,利用四

邊形內(nèi)角和度數(shù)，即可解答；

(2)連接0D,證明△OCD是等邊三角形，再根據(jù)勾股定理和線段的等量轉(zhuǎn)換，即可得到0壽+OB2=0C2.

【詳解】(1)解：回44。8=150°,Z.BOC=120,

0Z4OC=360°-120°-150°=90°.

團(tuán)將ABOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到△ADC,

??.△BOC=△ADC,

也LOCD=60°,乙D=乙BOC=120°,

0ZDXO=360°-^AOC-乙OCD-4D=90°；

(2)線段04,OB,OC之間的數(shù)量關(guān)系是。42+。5=%2.

證明：如圖，連接。D,

0ABOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到△ADC,

E1ZOCZ)=60°,CD=OC,AD=OB,

0Aocn是等邊三角形，

HOC-OD=CD,

由①知404。=90。，在RtAAD。中，。42+4。2=。。2,

SOA2+OB2=OC2.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔

助線，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3](2024上?遼寧遼陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末)綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們以"正方形與旋轉(zhuǎn)"為主題開(kāi)展探究活動(dòng).

【探索發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上一點(diǎn)，力于點(diǎn)F,將線段2F繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

線段4G,連接DG,

可證：AABFmAADG.請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；

【深入思考】

(2)在(1)的條件下，如圖2,若延長(zhǎng)BE,GD交于點(diǎn)H,試猜想線段BF,FH,之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的猜想；

【拓展延伸】

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接CH,將線段繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段HP,點(diǎn)P在上，試

猜想BP,CH的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

圖1圖2圖3

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)FH=BF+DH；理由見(jiàn)解析；(3)BP=<2CH.理由見(jiàn)解析

【分析】(1)利用SAS即可證明A2BF三A40G；

(2)由AaBF三AADG推出4G=乙4/8=90。，BF=DG,證明四邊形力FHG是正方形，利用等量代換即

可推出FH=BF+DH；

(3)連接BD和PO,證明ABOPCOH,即可得到BP=/CH.

【詳解】(1)證明：回四邊形力BCD是正方形，

^AB=AD,/.BAD=90°,

團(tuán)將線段AF繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段4G,

EINF4G=90°,AF=AG,

Bl^BAF=90°-/.FAD=/.DAG,

0ABAF三△DAG(SAS)；

(2)FH=BF+DH；理由如下：

EL4F1BE,

0ZXFH=/.AFB=90°,

0AABF三AADG,

0ZG=