浙教版八年級數(shù)學上冊專項突破：平面直角坐標系與幾何圖形的綜合（解析版）

第14講平面直角坐標系與幾何圖形的綜合

【知識點睛】

?平面直角坐標系知識網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)圖

第四章平面直角坐標系知識網(wǎng)絡(luò)圖

i1y

問題一：問題五：若也)、

A8B(x2,y2)

坐標平面內(nèi)點的坐標特征是什么？①AB的中點坐標公式是什么？

②AB的兩點間距離公式是什么？

第二象限第一象限

()()

問題二：0X

同一直線上各點的坐標特點是什么？

問題六：

確定一個點到X軸、y軸的距離的規(guī)律時什么？

第三象限第四象限

()()

問題七：

問題三：

坐標平面內(nèi)不過則圖形面積的耒解方法是什么？

坐標平面內(nèi)點的對稱規(guī)律是什么？

問題四：問題八：

坐標平面內(nèi)點與圖形平移的規(guī)律是什么？坐標平面內(nèi)的規(guī)律題

各問題歸納總結(jié)

若點4(匹，％)、B(xv乂)、。(。，b)

問題一：若點P在x軸上，則b=0；若點P在y軸上，則a=0；

若點P在第一象限，則a>0,b>0；若點P在第二象限，則a<0,b>0；

若點P在第三象限，則a<0,b<0；若點P在第四象限，則a>0,b<0；

問題二：若點A、B在同一水平線上，則%=乃；若點A、B在同一豎直線上，則X1=X2；

若點P在第一、三象限角平分線上，則。=A;若點P在第二四象限角平分線上，則。=-6;

問題三：點尸(。，。關(guān)于x軸對稱的點Pi坐標為雙m-。)；

點P(a，關(guān)于y軸對稱的點入坐標為鳥(一小

點P(a，關(guān)于原點對稱的點P3坐標為舄(-。，-乃；

問題四：點的平移口訣“左減右加，上加下減”;

問題五：線段AB的中點公式:

I22y

若點A、B在同一水平線上，則AB=k-xJ；若點A、B在同一豎直線上，則AB=|M-%|；

若點A、B所在直線是傾斜的，則AB=A8=,(匹—/y+(%—%y(兩點間距離公式)

問題六：點尸(。，。到x軸的距離=出|；點P(a,到y(tǒng)軸的距離=|a|；

問題七：割補法，優(yōu)先分割，然后才是補全

問題八：周期型：①判斷周期數(shù)(一般3到4個)；

②總數(shù)+周期數(shù)=整周期……余數(shù)(余數(shù)是誰就和每周期的第幾個規(guī)律一樣)

注意橫縱坐標的規(guī)律可能不同。

【類題訓練】

1.如圖，A(8,0),B(0,6),以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點2,

則點C的坐標為()

A.(10,0)B.(0,10)C.(-2,0)D.(0,-2)

【分析】根據(jù)勾股定理求出根據(jù)坐標與圖形性質(zhì)解答即可.

【解答】解：由題意得，。8=6,。4=8,

AB22

=7OB-K)A=1。，

貝I]AC=10,

OC=AC-04=2,

.?.點C坐標為(-2,0),

故選：C.

2.在平面直角坐標系中，點A的坐標為(-1,3),點B的坐標為(5,3),則線段A2上

任意一點的坐標可表示為(

A--------------------B

Ox

A.(3,x)(-1WXW5)B.(無，3)KW5)

C.(3,尤)(-5WxWl)D.(尤,3)(-5WxWl)

【分析】根據(jù)A、8兩點縱坐標相等，可確定AB與x軸平行，即可求解.

【解答】解：：點A的坐標為(-1,3),點2的坐標為(5,3),A、8兩點縱坐標都為

3,

軸，

線段A8上任意一點的坐標可表示為(x,3)(-14W5),

故選：B.

3.如圖，在四邊形48。中，AD//BC//x^,下列說法中正確的是()

A.點A與點。的縱坐標相同B.點A與點B的橫坐標相同

C.點A與點C的縱坐標相同D.點8與點。的橫坐標相同

【分析】根據(jù)與無軸平行的直線上點的坐標特征計算判斷.

【解答】解：：平行四邊形ABC。中，AO〃BC〃x軸，

.?.點A與。的縱坐標相同，點2與C的縱坐標相同.

故選：A.

4.如圖，已知/4。2=30°，/AOC=60°,ZAOD=90°,120°,ZAOF=150°,

若點8可表示為點8(2,30),點C可表示為點C(l,60),點E可表示為點E(3,120),

點/可表示為點B(4,150),點8可表示為點2(2,30),則。點可表示為()

A.D(0,90)B.D(90,0)C.D(90,5)D.D(5,90)

【分析】根據(jù)題干得出規(guī)律，從而得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意知：橫坐標表示長度，縱坐標表示角度，從而得出。點可表示為

(5,90),

故選：D.

5.在平面直角坐標系中，若A(機+3,機-1),B(1-m,3-m),且直線A8〃x軸，則加

的值是()

A.-1

【分析】根據(jù)平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等，建立方程求解即可求得答案.

【解答】解：：直線AB〃x軸，

.,.m-1=3-m,

解得：m—2,

故選：C.

6.如圖，在平面直角坐標系中，半徑均為1個單位長度的半圓組成一條平滑的曲線，點P

從原點。出發(fā)，沿這條曲線向右運動，速度為每秒三個單位長度，則第2022秒時，點

P的坐標是(

A.(2021,0)B.(2022,-1)C.(2021,-1)D.(2022,0)

【分析】利用坐標與圖形的關(guān)系，結(jié)合路程問題求解.

【解答】解：一個半圓的周長是m速度是每秒2L,

所以走一個半圓需要2秒，2022秒正好可以走1011個半圓，

故選：D.

7.如圖，在平面直角坐標系中，點A(1,1),B(3,1),C(3,3),D(1,3),動點P

從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB-CDA3-…路線運動，當

運動到2022秒時，點P的坐標為()

}'A

01234X

A.(1,1)B.(3,1)C.(3,3)D.(1,3)

【分析】利用路程找規(guī)律，看最后的路腳點，再求解.

【解答】解：由題意得：四邊形ABC。是正方形，且邊長是2,

點P運動一周需要8秒，

2022+8商252余6,結(jié)果到點。處，故坐標為(1,3),

故選：D.

8.如圖，在平面直角坐標系中，三角形ABC三個頂點A、B、C的坐標A(0,4),B(-1,

b),C(2,c),BC經(jīng)過原點。，且垂足為點。，則4小。。的值為()

A.10B.11C.12D.14

【分析】可以聯(lián)想到AABC的面積公式，根據(jù)&ABO+SAACO=SAABC即可求解.

【解答】解：(0,4),

：.OA=4,

■:B(-1,b),C(2,c),

...點2,C到y(tǒng)軸的距離分別為1,2,

S/SABO+S^ACO—S^ABC,

.\AX4X1+AX4X2=AXAB?C￡>,

222

：.AB-CD=U,

故答案為：c.

9.如圖，在平面直角坐標系中，A,B,C三點坐標分別為(0,a),(0,3-a),(1,2),

且點A在點8的下方，連接AC,BC,若在AB,BC,AC若所圍成區(qū)域內(nèi)(含邊界),

橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的點的個數(shù)為5個，那么。的取值范圍是()

A.-l<a<0B.-C.lWa<2D.0<aWl

【分析】根據(jù)題意得出除了點C外，其它三個橫縱坐標為整數(shù)的點落在所圍區(qū)域的邊界

上，即線段48上，從而求出。的取值范圍.

【解答】解：：點A(0,a),點B(0,3-a),且A在2的下方,

.'.a<3-a,

解得：a<1.5,

若在AB,BC,AC所圍成區(qū)域內(nèi)(含邊界)，橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的點的個數(shù)為5

個，

:點A,B,C的坐標分別是(0,a),(0,3-a),(1,2),

...區(qū)域內(nèi)部(不含邊界)沒有橫縱坐標都為整數(shù)的點，

???已知的5個橫縱坐標都為整數(shù)的點都在區(qū)域的邊界上，

?.?點C(l,2)的橫縱坐標都為整數(shù)且在區(qū)域的邊界上，

其他的4個都在線段AB上，

；.3W3-A<4.

解得：-1VaWO,

故選：A.

10.如圖，在平面直角坐標系中，OABC是正方形，點A的坐標是(4,0),點尸為邊A8

上一點，NCPB=60°,沿CP折疊正方形，折疊后，點B落在平面內(nèi)點3'處，則2,

A.(2,273)B.(旦，2-爪)C.(2,4-2V3)D.(旦，4-273)

22

【分析】過點"作B'DLOC,因為/CPB=60°,CB'=OC=OA=4,所以NB'

CD=30°,B'D=2,根據(jù)勾股定理得DC=2?,故?！?=4-2愿，即2'點的坐標

為(2,4-273).

【解答】解：過點/作皮DLOC

VZCPB=60°,CB'=OC=OA=4

：.ZB'CD=30°,B'D=2

根據(jù)勾股定理得DC=243

.??。。=4-2百，即8'點的坐標為(2,4-25/3)

11.如圖，在無軸，y軸上分別截取OA,OB,使。4=。2,再分別以點A,B為圓心，以

大于-LAB長為半徑畫弧,兩弧交于點P.若點P的坐標為(a,2a-3),則a的值為.

2

【分析】根據(jù)作圖方法可知點P在/8。4的角平分線上，由角平分線的性質(zhì)可知點P到

x軸和y軸的距離相等，可得關(guān)于。的方程，求解即可.

【解答】解：：。4=。2,分別以點42為圓心，以大于山8長為半徑畫弧，兩弧交

2

于點P,

點尸在NBOA的角平分線上，

.?.點P至1Jx軸和y軸的距離相等，

又丫點尸的坐標為(a,2a-3),

??ct~~2a-3,

故答案為：3.

12.如圖，△ABC中，點A的坐標為（0,1）,點C的坐標為（4,3）,如果要使與

AABC全等，那么點。的坐標是.

【分析】因為與△ABC有一條公共邊AB,故本題應(yīng)從點。在A3的上邊、點D

在AB的下邊兩種情況入手進行討論，計算即可得出答案.

【解答】解：△42。與△ABC有一條公共邊

當點。在A8的下邊時，點。有兩種情況：①坐標是（4,-1）；②坐標為（-1,-1）；

當點。在A2的上邊時，坐標為（-1,3）；

點D的坐標是（4,-1）或（-1,3）或（-1,-1）.

13.教材上曾讓同學們探索過線段的中點坐標：在平面直角坐標系中，有兩點A（xi,戶）、

B（X2,y2）,所連線段AB的中點是M,則M的坐標為（力學）,如：點A

22

（1,2）、點8（3,6）,則線段AB的中點M的坐標為（工之，2t2）,即M（2,4）.利

22

用以上結(jié)論解決問題：平面直角坐標系中，若EQ-l,a）,F（b,a-b）,線段EF的

中點G恰好位于y軸上，且到無軸的距離是1,則4a+b的值等于.

【分析】根據(jù)中點坐標公式求出點G的坐標，根據(jù)線段所的中點G恰好位于y軸上，

且到x軸的距離是1,得到點G的橫坐標等于0,縱坐標的絕對值為1,列出方程組求解

即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：G之，史三處），

22

?.?線段的中點G恰好位于y軸上，且到x軸的距離是1,

I—a+a^-—b?1=1

解得：4a+6=4或0.

故答案為：4或0.

14.在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點Pi（xi,yi）與尸2（%2,再）的“非常距離”

給出如下定義：若僅1-%2|冽”-泗,則點P1與點P2的''非常距離”為優(yōu)1-X2卜若|尤1-

X2|<|yi-y2|,則點Pi與點P2的“非常距離”為皿-”|,例如：點Pi（1,2）,點P2（3,

5）,因為|1-3|<|2-5|,所以點P與點P2的“非常距離''為|2-5|=3,也就是圖中線段

P1Q與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P1Q

的交點）.已知點A（1，0），8為y軸上的一個動點.

（1）若點A與點2的“非常距離”為2,寫出一個滿足條件的點B的坐標；

（2）直接寫出點A與點2的“非常距離”的最小值.

y

2I—Q

I

op_

【分析】（1）根據(jù)點B位于y軸上，可以設(shè)點B的坐標為（0,y）.由“非常距離”的定

義可以確定|0-y|=2,據(jù)此可以求得y的值；

（2）設(shè)點B的坐標為（0,y）.因為|-工-0|郅0-y|,所以點A與點8的“非常距離”

2

最小值為I-工-0|=上.

22

【解答】解：（1）;B為y軸上的一個動點，

設(shè)點8的坐標為（0,y）.

?：\-l-0|=A^4,

22

.".|0-y|=2,

解得y=2或>=-2；

.,.點2的坐標是（0,2）或（0,-2）；

故答案為：（0,2）或（0,-2）；

(2)V|-A-O|^|O-y|,

2

...點A與點3的“非常距離”最小值為|-1-0|=1；

22

點A與點2的“非常距離”的最小值為工.

2

故答案為：1.

2

15.如圖，在平面直角坐標系中，已知三點的坐標分別為A(0,4),B(2,0),C(2,5),

連接AB,AC,BC.

(1)求AC,A8的長；

(2)/CAB是直角嗎？請說明理由.

0|BX

【分析】(1)過點A作于點〃，再利用勾股定理求解即可；

(2)利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，

VA(0,4),B(2,0),C(2,5),

???OA=4,OB=2,BC=5,

過點A作AH,3c于點H,

：.BH=OA=4,AH=OB=2,

：.CH=BC-BH=5-4=1,

在中，

AS=VOA240B2=742+22=2V5'

在RtzXA。？中,

AC=VCH2+AH2=Vl2+22=V5；

(2)/CAB是直角，理由：

由(1)得，AC=娓,AB=2爬,BC=5,

7(V5)2+(2V5)2=52>

:.AC1+AB2^BC2,

：.ZCAB是直角.

16.對于某些三角形或四邊形，我們可以直接用面積公式或者用割補法來求它們的面積.下

面我們再研究一種求某些三角形或四邊形面積的新方法：

如圖1,2所示，分別過三角形或四邊形的頂點A,C作水平線的鉛垂線/1,12,h,/2之

間的距離d叫做水平寬；如圖1所示，過點B作水平線的鉛垂線交AC于點D,稱線段

BD的長叫做這個三角形的鉛垂高；如圖2所示，分別過四邊形的頂點B,D作水平線13,

U,13,/4之間的距離叫做四邊形的鉛垂高.

【結(jié)論提煉】

容易證明：”三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半"，即“s=Lh”

2

【結(jié)論應(yīng)用】

為了便于計算水平寬和鉛垂高，我們不妨借助平面直角坐標系.

已知：如圖3,點A(-5,2),B(5,0),C(0,5),則△ABC的水平寬為10,鉛垂

高為，所以△ABC面積的大小為

圖3圖4

【再探新知】

三角形的面積可以用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”來求，那四邊形的面積是不是也可

以這樣求呢？帶著這個問題，我們進行如下探索：

(1)在圖4所示的平面直角坐標系中，取A(-4,2),B(1,5),C(4,1),D(-2,

-4)四個點，得至U四邊形A8CO.運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到四

邊形A3C。面積的大小是；用其它的方法進行計算得到其面積的大小是,

由此發(fā)現(xiàn)：用“S=Lh”這一方法對求圖4中四邊形的面積.(填“適合”或“不

2

適合”)

(2)在圖5所示的平面直角坐標系中，取A(-5,2),B(1,5),C(4,2),。2,

-3)四個點，得到了四邊形A2CD運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到

四邊形A8CZ)面積的大小是，用其它的方法進行計算得到面積的大小是,

由此發(fā)現(xiàn)：用“S=Lh”這一方法對求圖5中四邊形的面積.(“適合”或“不

2

圖5圖6

(3)在圖6所示的平面直角坐標系中，取A(-4,2),B(1,5),C(5,1),D(-1,

-5)四個點，得到了四邊形ABCD.通過計算發(fā)現(xiàn)：用“S=Ldh”這一方法對求圖6

2

中四邊形的面積.(填“適合”或“不適合”)

【歸納總結(jié)】我們經(jīng)歷上面的探索過程，通過猜想、歸納，驗證，便可得到：當四邊形

滿足某些條件時，可以用“s=Lh”來求面積.那么，可以用“s=Lh”來求面積的

22

四邊形應(yīng)滿足的條件是：.

【分析】【結(jié)論應(yīng)用】直接代入公式即可；

【再探新知】(1)求出水平寬，鉛垂高，代入公式求出面積，再利用矩形面積減去周圍

四個三角形面積可得答案；

(2)(3)與(1)同理；

【歸納總結(jié)】當四邊形滿足一條對角線等于水平寬或鉛垂高時，四邊形可以用"S=L"'

2

來求面積.

=20

【解答】解：【結(jié)論應(yīng)用】由圖形知，鉛垂高為4,SAABC=1X1QX4)

故答案為：4,20；

【再探新知】

(1):四邊形A8CO的水平寬為8,鉛垂高為9,

；?運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到四邊形ABC。面積的大小為36,

利用四邊形ABCD所在的矩形面積減去周圍四個三角形面積為8X9-

1111,

yX2X6-yX3X5-yX6X5-yX3X4-37.5,

.?.用“S=Lh”這一方法對求圖4中四邊形的面積不合適，

2

故答案為：36,37.5,不合適；

(2):四邊形A2CO的水平寬為9,鉛垂高為8,

.??運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到四邊形ABCD面積的大小為36,

利用四邊形ABCD所在的矩形面積減去周圍四個三角形面積為8X9-

yX3X5-yX6X5-yX3X6-yX3X3=36-

.?.用“S=Lh”這一方法對求圖4中四邊形的面積，合適，

2

故答案為：36,36,合適；

(3).四邊形ABC。的水平寬為9,鉛垂高為10,

；?運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進行計算得到四邊形ABC。面積的大小為45,

利用四邊形ABCD所在的矩形面積減去周圍四個三角形面積為10X9-

yX5X7-yX4X6-yX5X3-yX4X4=45，

.?.用“S=Lh”這一方法對求圖4中四邊形的面積，合適，

2

故答案為：合適；

【歸納總結(jié)】當四邊形滿足一條對角線等于水平寬或鉛垂高時，四邊形可以用

2

來求面積，

17.如圖所示，在平面直角坐標系中，P(2,2),

(1)點A在x的正半軸運動，點8在y的正半軸上，且抬=尸8,

①求證：PALPB-,

②求OA+OB的值；

(2)點A在x的正半軸運動，點B在y的負半軸上，且必=尸2,

③求OA-OB的值；

④點A的坐標為(8,0),求點8的坐標.

【分析】(1)①過點P作軸于E,作PFLy軸于R根據(jù)點P的坐標可得PE=

PF=2,然后利用“乩”證明RtZVIPE和RtABPF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可

得/APE=/BPF,然后求出/AP8=/EPP=90°,再根據(jù)垂直的定義證明；

②根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得再表示出。4、0B,然后列出方程整理即可

得解；

(2)③根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=BF,再表示出PE、PF,然后列出方程整

理即可得解；

④求出AK的長度，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得然后求出08,再寫出

點B的坐標即可.

【解答】(1)①證明：如圖1,過點尸作PELx軸于E,作尸尸，》軸于尸，

'：P(2,2),

：.PE=PF=2,

在RtAAPE和RtABPF中，

[PA=PB,

1PE=PF'

：.Rt/\APE^Rt/\BPF(HL),

：./APE=NBPF,

：.ZAPB=ZAPE+ZBPE=ZBPF+ZBPE=ZEPF=9Q°,

：.PA.LPB；

②解：RtAAP￡^RtABPF,

：.BF=AE,

'：OA^OE+AE,OB=OF-BF,

：.OA+OB=OE+AE+OF-BF=OE+OF=2+2=4；

(2)解：③如圖2,VRtAAPE^RtABPF,

：.AE=BF,

'：AE=OA-OE=OA-2,BF=OB+OF=OB+2,

：.OA-2=08+2,

：.0A-0B=4；

◎:PE=PF=2,軸于E,作尸;LLy軸于凡

???四邊形0"方是正方形，

JOE=OF=2,

VA(8,0),

???OA=8,

?\AE=OA-OE=S-2=6,

VRtAAPE^RtABPF,

.a.AE=BF=6,

：.OB=BF-OF=6-2=4,

.,.點2的坐標為(0,-4).

18.如圖，在平面直角坐標系xOy中，點8(1,0),點C(5,0),以BC為邊在x軸的上

方作正方形A8CD點V(-5,0),N(0,5).

(1)點A的坐標為；點D的坐標為；

(2)將正方形ABC。向左平移相個單位，得到正方形A8CO,記正方形48。。與4

0MN重疊的區(qū)域(不含邊界)為W：

①當機=3時，區(qū)域內(nèi)整點(橫，縱坐標都是整數(shù))的個數(shù)為；

②若區(qū)域W內(nèi)恰好有3個整點，請直接寫出m的取值范圍.

【分析】(1)先求出正方形的邊長為8c=4,再求點的坐標即可；

(2)①畫出正方形A8CO,結(jié)合圖形求解即可；

②在△OMN中共有6個整數(shù)點，在平移正方形找到恰好有3個整數(shù)解的情況即

可.

【解答】解：(1)；點、8(1,0),點C(5,0),

：.BC=4,

:四邊形ABCD是正方形，

AA(1,4),D(5,4),

故答案為：(1,4),(5,4)；

(2)①如圖:共有3個,

故答案為：3；

②在△OMN中共有6個整數(shù)點，分別是(-1,1),(-1,2),(-1,3),(-2,1),(-

2,2),(-3,1),

,/區(qū)域W內(nèi)恰好有3個整點,

；.2<mW3或6WwV7.

19.類比學習是知識內(nèi)化的有效途徑，認真讀題是正確審題的第一步：對于平面直角坐標系

xOy中的點尸(a,b),若點尸的坐標為(a+kb,b^)(其中左為常數(shù)，且左W0),則

k

稱點P為點尸的“左系好友點”；例如：尸(1,2)的“3系好友點”為p，(1+3X2,2片)

即I(7,J).

請完成下列各題.

(1)點P(-3,1)的“2系好友點”P的坐標為.

(2)若點P在y軸的正半軸上，點尸的“k系好友點”為P點,若在三角形OPP中，

pp'=3。尸，求人的值.

(3)已知點A(x,y)在第四象限，且滿足xy=-8；點A是點B(m,")的"-2系

好友點”,求m-2〃的值.

【分析】(1)根據(jù)“人系好友點”的定義列式計算求解；

(2)設(shè)尸(0,f)(f>0),根據(jù)定義得點P(kt,t),貝I]PP=|Q|=3OP=3f,即可求

解；

(3)點A是點BCm,n)的“-2系好有點“，可得點A(m-2n,n-典)，由xy=-8

2

得到(m-2w)2=16,即可求解.

【解答】解：(1)點尸(-3,1),根據(jù)'次系好友點”的求法可知，k=2,

V-3+2X1=-1,1+^3=-A,

22

：.P'的坐標為(-1,-1),

2

故答案為(-1,-1)；

2

(2)設(shè)尸(0,f)其中f>0,根據(jù)“人系好友點”的求法可知，P'(kt,t),

軸，

：.PP'=\kt\,

又；0尸=3PP=3OP,

?二|初=3K

.?.%=±3；

(3)VB(m,n)的-3系好有點A為(m-2n,n-A),

2

?.x=m-In,y—n--,