中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練：特殊平行四邊形（分層訓(xùn)練）解析版

=專題09特殊平行四邊形（分層訓(xùn)練）

匚分層訓(xùn)練

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023上?河北石家莊?八年級(jí)石家莊市第四十二中學(xué)校考期中）如圖，矩形紙片48CD,7為2。邊的中點(diǎn),

將紙片沿BM、CM折疊，使/點(diǎn)落在4處，。點(diǎn)落在％處，若N8MC=110。，則41是（）

C.45°D.70°

【答案】B

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得42=Z3.Z4=Z5,再根據(jù)平角的定義可得N2+45=70°,

從而可得43+N4=70。，然后根據(jù)角的和差即可得.

【詳解】解：如圖，由折疊的性質(zhì)得：42=43,44=45,

???乙BMC=110°,

N2+乙5=180°-4BMC=70°,

Z3+Z4=70°,

???zl=zBMC-(z3+z4)=110°-70°=40°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、角的和差，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.（2011?浙江?統(tǒng)考中考模擬）如圖，長方形4BCD中，乙4=N4BC=NBC。=ND=90。，AB=CD=6,

4。=BC=10,點(diǎn)￡為射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△4BE與△ABE關(guān)于直線BE對(duì)稱，當(dāng)AdBC為直角三角

形時(shí)，4E的長為（)

AED

\Af

Bc

A.2B.18C.2或18D.以上都不正確

【答案】C

【分析】分點(diǎn)E在線段2D上，點(diǎn)E在線段4D的延長線上兩種情況討論，由題意可得2B=4B=6,NE4B=

90°,AE=A'E,4c=8,根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，可求4E的長.

【詳解】若點(diǎn)E在線段4。上,

田若△4BE與△關(guān)于直線BE對(duì)稱,

AB=A'B=6,Z.EA'B=90°,AE=A'E,

???△ABC為直角三角形,

.-./.BA'C=90°,

A'C=yjBC2-A'B2=V100-36=8,

???/.EA'B=90°,Z.BA'C=90°,

.-./.CA'E=180°,

團(tuán)點(diǎn)E,點(diǎn)C,點(diǎn)4共線,

在Rt△CDE中，DC2+DE2=CE2,

???62+(10-AE)2={A'E+8)2,

SAE=2,

若點(diǎn)E在線段4。的延長線上，且點(diǎn)C在4E上,

A'

?-.AB=A'B=6,NA=N4=90°,

在口△ABC中，

A'C-y/BC2-A'B2=V100-36=8,

v/LBCA'+乙DCE=90°,Z.DCE+乙DEC=90°,

???/.BCA'=乙DEC,

在AA'BC^ADCE^,

,/.BCA'=/.DEC

7.A'=乙EDC=90°,

.A'B=DC

.-.AA'BCWADCE（AAS）,

DE=A'C=8,

EL4E=18,

綜上，AE的長度為2或18,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

3.（2022下?廣西賀州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖,在四邊形力BCD中，AB\\CD,BC\\AD,且4。=DC,則下列說

法：①四邊形48CD是平行四邊形；②AB=BC；（3）AC1BD；④AC平分NB力。；⑤若2C=6,BD=8,

則四邊形48CD的面積為24.其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】D

【分析】由N8〃CD,BC//AD,可知四邊形/BCD是平行四邊形，可判斷①的正誤；由/O=Z）C,可知平

行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可判斷②③④⑤的正誤.

【詳解】解：^AB//CD,BC//AD,

回四邊形/BCD是平行四邊形，故①正確；

^AD=DC,

回平行四邊形/BCD是菱形,

SAB=BC,AC^BD,4c平分的。，故②③④正確;

[ZL4c=6,BD=8,

團(tuán)S菱形"CD="JBD=|x6x8=24,故⑤正確；

正確的個(gè)數(shù)有5個(gè).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于證明四邊形/BCD是菱形.

4.（2022?廣東深圳?統(tǒng)考二模）下列命題中，是真命題的是（）

A.三角形的外心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)

B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形

D.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的外心、平行線的性質(zhì)、中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定等知識(shí)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是三角形

的內(nèi)心，故為假命題，不符合題意；

B.在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故為假命題，不符合題意；

C.對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)連線所得四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故為假命題，不符合題意；

D.一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，為真命題，符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題的真假，涉及三角形的外心、平行線的性質(zhì)、中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定

等知識(shí)，熟知它們的前提條件是解答的關(guān)鍵.

5.（2023下?廣東中山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，菱形N8CO的兩條對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)。，￡是N5的

中點(diǎn)，若/C=6,菱形/BCD的面積為24,則OE長為（）

A.3.5B.3C.2.5D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OB=OD,AOS\BO,從而可判斷是皿8的中位線，在RtSAOB中求出AB,

繼而可得出OE的長度.

【詳解】解：回四邊形N5CD是菱形，AC=6,菱形NBC。的面積為24,

05基/ABCD=3C?BD=$6XDB=24,

解得：BD=8,

EL4O=OC=3,03=00=4,AOSBO,

又回點(diǎn)E是48中點(diǎn)，

S\OE是ED/2的中位線，

在必EL4O3中，AB=>J32+42=5,

-1-1

貝UOE=-AD=-AB=2.5.

22

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)及三角形的中位線定理，熟練掌握菱形四邊相等、對(duì)角線互相垂直且平分

的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.（2023上?廣東河源?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將矩形N8CD沿跖折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)

C上，且GE=GC,若?！?3,AB=6,BC=9,則8/的長為（）

A.4B.3V2C.4.5D.5

【答案】A

【分析】由矩形的性質(zhì)可得財(cái)=而，由折疊的性質(zhì)可得。E=DE=3,CF=CF=9-BF,證得

^AC'G^ED'EG,從而得4。=。￡=3,從而可求得8。=3,利用勾股定理即可求解.

【詳解】解：回四邊形/BCD是矩形，

皿=前=勖=90°，

由折疊性質(zhì)可得：D'E=DE=3,0￡>=0￡>,,C'F=CF=BC-BF=9-BF,

在EL4CG與虱)EG中，

乙4=乙D'

^AGC=AD'GE,

?GC=GE

^AC'GSBD'EG(AAS),

^AC'=D'E=3,

^BC'=AB-AC'=3,

在RfS^C'F中,C'F2=BF2+BC'2,

則(9-BF)2=BF?+32,

解得：BF=4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵.

7.(2023下?浙江杭州,九年級(jí)期末)如圖，在正方形N8CD中，45=6,點(diǎn)￡,尸分別在邊CD上，AEFD=

60°.若將四邊形E8C/沿昉折疊，點(diǎn)夕恰好落在邊上.則的長度為()

A.2B.2V2C.2V3D.4

【答案】D

【分析】由正方形的性質(zhì)得出貼陽=貼￡尸=60。，由折疊的性質(zhì)得出03￡/=加防'=60。，BE=B'E,設(shè)BE=x,

則夕E=x,AE=3-x,由直角三角形的性質(zhì)可得：2(3-x)=x,解方程求出x即可得出答案.

【詳解】解：回四邊形/BCD是正方形，

0ABEICD,EL4=90°,

尸=60°,

國將四邊形EBCF沿防折疊，點(diǎn)=恰好落在AD邊上，

回勖跖=甌￡3'=60°,BE=B'E,

^3\AEB'=180°-WEF-^FEB'=E>0°,

^B'E=2AE,

設(shè)BE=x,則B'E=x,AE=6-x,

02(6-x)=x,

解得x=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合性運(yùn)用性

質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

8.(2023?四川成都?統(tǒng)考二模)菱形不具備的性質(zhì)是()

A.對(duì)角線一定相等B.對(duì)角線互相垂直

C.是軸對(duì)稱圖形D.是中心對(duì)稱圖形

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條

對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條

對(duì)角線所在直線，即可判斷.

【詳解】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知：

菱形的對(duì)角線互相垂直平分，故B正確；

菱形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故C,D正確；

菱形不具備對(duì)角線一定相等，故A錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì).

9.(2023?河北石家莊?統(tǒng)考一模)如圖，在正方形ABCD中，H是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，延長DC至E,使得DE=DB,

連接BE,作DFEIBE交BC于點(diǎn)G,交BE于點(diǎn)F,連接CH、FH,下列結(jié)論：(1)HC=HF；(2)DG=2EF；(3)

2；正確的個(gè)數(shù)是()

BE-DF=2CD(4)SABDE=4SADFH;(5)HF0DE,

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】由等腰三角形"三線合一”的性質(zhì)可得EF=BF,根據(jù)H是正方形對(duì)角線BD的中點(diǎn)可得CH=DH=BH,

即可證明HF是EIBDE的中位線，可得HF—DE,HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形兩銳角互

余的關(guān)系可得EICBE=EICDG,禾（J用ASA可證明EIBCEEBDCG,可得DG=BE,可判定DG=2EF,由正方形的性質(zhì)可

得BD2=2CD2,根據(jù)回CBE=EICDG,EIE是公共角可證明回BCEEHDFE,即可得竺=竺，即BE-DF=DE-BC,可對(duì)③

BEBC

進(jìn)行判定，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可對(duì)④進(jìn)行判定，綜上即可得答案.

【詳解】HBD=DE,DFHBE,

0EF=BF,

0H是正方形ABCD對(duì)角線BD的中點(diǎn)，

1

團(tuán)CH二DH=BH二—BD,

2

團(tuán)HF是回BDE的中位線，

0HF=|DE=|BD=CH,HF//DE,故①⑤正確，

加CBE+回E=90°,團(tuán)FDE+回E=90°,

MCBE=0FDE,

又回CD=BC,團(tuán)DCG二團(tuán)BCE=90°,

加BCE釀DCG,

團(tuán)DG=BE,

0BE=2EF,

國DG=2EF,故②正確，

MCBE=0FDE,團(tuán)E二團(tuán)E,

加BCE釀DFE,

回竺二竺，BPBE-DF=DE-BC,

BEBC

HBD2=CD2+BC2=2CD2

HDE2=2CD2,

HDE-BC^2CD2,

0BE-DF#2CD2,故③錯(cuò)誤,

1

團(tuán)DH二一BD,

2

0SADFH=~SADFB>

1

0BF=-BE,

2

121SADFB="SABDE，

0SADFH=7SABDE，即SABDE=4SADFH，故④正確，

4

綜上所述：正確的結(jié)論有①②④⑤，共4個(gè)，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握所學(xué)性質(zhì)及定理是解題關(guān)鍵.

10.（2022?陜西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，矩形A8CD的對(duì)角線AC的垂直平分線分別交A。、AC,BC于點(diǎn)E、

。、F,若2B=12,BC=16,貝ijEF的長為（）

【答案】B

【分析】連接力F,CE,先證明AAEOiaACF。得。E=OF,再設(shè)4E=CE=x,在Rt△CDE中，由CD?十口后？=

。爐得方程122+（16—乃2=%2,求出=從而利用勾股定理求出EF=20E=15.

.-EF是AC的垂直平分線，

?.AO=OC,AAOE=ACOF=90°,

???四邊形4BCD是矩形,

:?AD“BC,

???Z-EAO=Z-FCO,

在△4E。和△CFO中，

LEAD=乙FCO

AO=CO，

^AOE=Z.COF

.-.△TlEOISACFO（ASA）；

??.OE=OF,

又???OA=OC,

???四邊形/EC尸是平行四邊形，

又?:EFLAC,

???平行四邊形/ECF是菱形，

???AE=CE,

設(shè)ZE=CE=X,

■■E尸是AC的垂直平分線，

??.AE=CE=x,DE=16—X,

在Rtz\COE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2,

122+（16—%）2=%2,

解得X=§，

??.AE=—,

2

???AC=yjAB2+BC2=V122+162=20,

?.AO=-AC=10,

2

OE=yjAE2-AO2=—,

2

???EF=2OE=15.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、以及勾股定理，根據(jù)

直角三角形勾股定理構(gòu)造方程是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?河北?統(tǒng)考一模）如圖，以點(diǎn)。為圓心，4為半徑作扇形已知:4。1B。,點(diǎn)E在。4上，且。E=

2代,CD垂直平分。8,動(dòng)點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)。重合），設(shè)AODP的外心為/,則￡7的最小值為（）

A.1B.2

C.2V3-1D.V3+1

【答案】B

【分析】先判斷E/最短時(shí)，/的位置，過/作出1。4于H,過/作/G10B于G,利用三角形的中位線的性質(zhì)

與勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，???40CD為直角三角形，

???/OCD的外心是0P的中點(diǎn)，

當(dāng)P,C重合時(shí)，E/最短，。/=G=2,

過/作/H104于H,過/作/GJ.OB于G,

???CD垂直平分。B,

???OD=BD=2,IG//CD,

0G=DG=1,

IG=V3,

???乙AOB=90°,IG1OB,IH1OA,

四邊形OG/H為矩形，

OH=IG=V3.HI=0G=1,

???OE=2V3,

???HE=V3,

?-.EI=J（次尸+12=2.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，直角三角形的外接圓的圓心的特點(diǎn)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股

定理的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

12.（2022下?河北,八年級(jí)期中）如圖，在團(tuán)4BCD中，用圓規(guī)和直尺作的平分線力G,若2D=10,DE=12,

【答案】B

【分析】首先證明四邊形NOGE是菱形，得出利用勾股定理計(jì)算出NO,從而得到NG的長.

【詳解】解：連接EG,

團(tuán)由作圖可知NG是的平分線，

001=02,

EL4GSDE,40=10,DE=12.

團(tuán)四邊形ABCD是平行四邊形，

0CDEL4B,

盟2=回3,

001=03,

^AD=DG.

EL4G00E,

^OA=lAG,OD^DE.

在RtSAOD中，OA^AD2-OD2=V102-62=8,

EL4G=2/0=16.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握平

行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形/OGE為菱形是解決問題的關(guān)鍵.

13.（2023下,山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，有一張矩形紙片力BCD,AB=8cm,BC=10cm,點(diǎn)E是CD

上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，點(diǎn)8,C分別落在點(diǎn)夕，C'處，點(diǎn)。在B'C'上，則線段DE的長為（）

【答案】C

【分析】由折疊的性質(zhì)可得4B=力9=8cm,BC=B'C=10cm,CE=C'E,在尺也29。中，由勾股定

理可求9D的長，在RtALOE中，由勾股定理可求得。￡的長.

【詳解】解：???將紙片沿AE折疊，BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)D,

AB=AB'=8cm,BC=B'C=10cm,CE=C'E,

在RMAB'D中

B'D=y/AD2-B'A2="00-64=6cm,

CD=B'C-B'D=4cm,

在RtALDE中，

???DE2=CD2+CE2,

DE2=16+(8-DE)2,

DE=5cm,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2023?江蘇蘇州?校聯(lián)考二模）如圖，在矩形4BCD中，AB=4,BC=6,E為BC的中點(diǎn)，將44BE沿力E折

疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)尸處，連接CF,貝IJCF的長是（）

A.—B.3C.—D.—

555

【答案】D

【分析】連接BF,根據(jù)三角形的面積公式求出BH,得到BF,根據(jù)直角三角形的判定得到回BFC=90。，根據(jù)勾

股定理求出答案.

【詳解】連接BF交AE于H,

I3BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

0BE=3,

又EIAB=4,

0AE=7AB2+BE?=V42+32=5,

^AB-BE=-AE-BH,即4x3=5BH,

22

回BH二音，

根據(jù)題意知B、F關(guān)于AE對(duì)稱，

則BF=2BH=y,FE=BE,

團(tuán)FE=BE=EC,

03BFC=9O°,

根據(jù)勾股定理得，CF=VBC2-BF2=J62—償丫=

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后

圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

15.（2023下?福建泉州,八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE,BE,DE.過點(diǎn)4作4E

的垂線交DE于點(diǎn)P.若4E=2P=1,PB=V10,下列結(jié)論：①ZL4PD亞ME8；②點(diǎn)B到直線AE的距離為

2;③BP=PD;④S/APO+S44PB=|.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③④B.①②③C.②③④D.①②④

【答案】D

【分析】①利用同角的余角相等，易得的慶明4。，再結(jié)合已知條件利用&4S可證兩三角形全等；②過8

作AFT34E,交/￡的延長線于R利用①中的全等，可得明尸。=明班，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)，易得

05￡P(guān)=9O。，利用勾股定理可求BE,結(jié)合曲￡尸是等腰直角三角形，可證魴E尸是等腰直角三角形，再利用勾

股定理可求班\BF-,③根據(jù)①中的全等可進(jìn)行判斷；④連接8。，SAAPD+S^APB^SAAEB+SAAPB^SM

/E2P代入數(shù)值計(jì)算即可.

【詳解】解：①03瓦4尸=血￡>=90°

團(tuán)貼/8+皿尸=90°,洶。+&8/尸=90°,

^EAB^3\PAD,

又AB=AD,

在13Ap。和EL4E2中，

-AE=AP

Z.EAB=Z.PAD,

、AB=AD

^APD^AEB(S4S)；故①成立;

②過5作即立4E,交4E的延長線于R

^\AE=AP9曲尸=90°,

甌AE*P=財(cái)尸氏45°,

勵(lì)4仍二94尸。=180°-45°=135°,

甌跳了二135°-45°=90°,

蛇施￡7),

勖殖4R

WFEB=^FBE=^5°,

I?1PE=V12+l2=V2,

BBE^BP2-PE2=2A/2,

^BF=EF=^-=2,故②成立；

③aa4P?；氐腅8,

aPD=EB,

回直角三角形中尸8大于BE,

貼8與3P不相等，

0ap與PD也不一定相等，故③不成立;

④如圖，連接3￡),

AD

由②得:PE增,BE=2立,

^APDS^AEB,

SSAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB=S^AEBP=SAAEP+SAEPB

^AE-AP+l-PE-BE

=ixlxH-i-V2x2V2

22

=￡故④成立.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用、正方形的性質(zhì)的運(yùn)用、正方形和三角形的面積公式

的運(yùn)用、勾股定理的運(yùn)用等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，熟記性質(zhì)并仔細(xì)分析圖形，理清圖中三角形與

角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

16.(2023?山東威海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，將矩形紙片力BCD沿BE折疊，使點(diǎn)2落在對(duì)角線BD上的4處.若

乙DBC=24°,貝!U4EB等于.

【答案】57。/57度

【分析】由矩形的性質(zhì)得乙4=NABC=90。，由折疊的性質(zhì)得到相等的角，再根據(jù)圖形找到角之間的關(guān)系,

即可得出答案.

【詳解】解：國四邊形N8CD是矩形，

NA=N4BC=90°,

由折疊的性質(zhì)得：NB4E=N4=90。，￡A'BE=LABE,

■：ZDBC=24°,

-I-1

^A'BE^^ABE^-(90°-zC￡)B)=乙(90°-24°)=33°,

22

???N4EB=90°-N4'BE=90°-33°=57°.

故答案為：57°.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)；熟練掌握折疊題目中找出相等的角是解題的關(guān)鍵.

17.(2022?山東荷澤?統(tǒng)考一模)如圖，正方形/BCD的邊長為6.則圖中陰影部分的面積為.

D

【答案】18

【分析】根據(jù)翻轉(zhuǎn)折疊的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，得S陽影部分=正方彩4BCD=*62=18.

故答案為：18.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，將已知圖形翻轉(zhuǎn)到正方形的一側(cè)是解題的關(guān)鍵.

18.（2023下?山東煙臺(tái)?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在O。內(nèi)有一個(gè)平行四邊形02BC,點(diǎn)4,B,C在圓上，點(diǎn)

N為邊48上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)N與點(diǎn)B不重合），。。的半徑為1,則陰影部分面積為.

【答案】*兀

【分析】根據(jù)題意證得2B=OA=OB,即可得到乙4OB=60。，根據(jù)同底等高的三角形面積相等得出雇。四=

S^OBC＞即可得出S陰影=S扇形0枚

【詳解】解：???四邊形04BC是平行四邊形，04=OC,

四邊形是菱形，

???Z.AOB=Z.BOC,

???0cll48,

???（ABO=Z-BOC,

???/.ABO=Z.AOB,

AB=0A=OB,

???Z-AOB=60°,

-ABWOC,

*',S&ONC=S^OBC，

C_C_607rxi2_7T

?*?3陰影=3扇形04B=360=6f

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是扇形面積的計(jì)算，等邊三角形的判斷和性質(zhì)，同底等高的三角形面積相等是解

題的關(guān)鍵.

19.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在BC上，將△ABE沿4E翻折得至U△4FE,

點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)廠恰好落在線段DE上，線段”的延長線交CD于點(diǎn)G,BE:CE=3:2,則黑的值

FG

為________________.

【答案】Y

4

【分析】延長BC,4G交于點(diǎn)H,設(shè)BE=3x,貝UEC=2x,再證明△ADF”&HEF,可得EH=早，AF=|F/7,

再根據(jù)△ADGSAHCG,可得頭=當(dāng)，即可求解.

GH11

設(shè)BE=3%,貝DEC=2%,

團(tuán)四邊形48CD矩形，

EL4D=BC=5x,AD||BC,

^Z-DAE=Z-AEB,

團(tuán)將△沿ZE翻折得至AFE,

^\Z-AEB=Z.AEF,BE=EF=3x,

團(tuán)乙0/E=/.AED,

刻o=DE=5x,

BDF=2x,

^AD||BC,

0AADF^△HEF,

團(tuán)^A--D=-D-F=-A-F

EHEFFH

5x_2x_AF_2

UEH~3x~FH~3

15%2

^\EH=—,AF=-FH

23f

ii

^CH^EH-EC^-x,

團(tuán)4。IIBC,

I3AADG?AHCG,

AG

l?F-=—,

CHGH

AG_5x_10

?GH=9=五，

設(shè)AG=lOy,貝IJGH=lly,

I2AH=21y,

El”=理x2=經(jīng)，

55

0FG=AG-AF=^,

21

^AF-FG=—,

4

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正

方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.（2022?寧夏吳忠??？既＃┤鐖D，已知矩形A8CD沿著直線BD折疊，使點(diǎn)C落在C'處,BC'交4。于=8,

AB=4,則DE的長為

A瓦D

【答案】5

【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出4DIIBC,即N1=N3,然后根據(jù)折疊知N1=N2,可得至lU2=N3,進(jìn)而

得出=設(shè)DE=x,貝l|EC'=8—x,利用勾股定理求出x的值，即可求出DE的長.

【詳解】如圖:

回四邊形4BCD是矩形，

^ADWBC,即N1=N3,

由折疊知，41=42,

團(tuán)42=43,

團(tuán)BE=DE,

設(shè)OE=x,則EC'=8-%,

在RtADEC，中，DC'2+EC'2=DE2,

042+（8-x）2=x2,

解得:x=5,

0￡>E的長為5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊變換的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理的利用以及折疊

的知識(shí)，此題比較簡單.

21.（2023上?四川成都?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將長方形4BCD（紙片）折疊，使點(diǎn)B與4。邊上的點(diǎn)K重

合，EG為折痕；點(diǎn)C與力。邊上的點(diǎn)K重合，為折痕.已知41=67.5°,Z2=75°,EF=舊+1,則BC的

【答案】3+V2+V3

【分析】由題意知回3=180°-2回1=45°,回4=180°-202=30°，BE=KE,KF=FC,作KM0BC,設(shè)KM=x,知EM=x,MF=V5x,

根據(jù)EF的長求得x=l,再進(jìn)一步求解可得.

【詳解】解：由題意，得：回3=180°-2回1=45°,團(tuán)4=180°-202=30°,BE=KE、KF=FC,

如圖，過點(diǎn)K作KM0BC于點(diǎn)M,

設(shè)KM=x,則EM=x,MF=V3x,

0x+V3x=V3+l,

解得：x=l,

0EK=V2>KF=2,

0BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+V2+V3,

BBC的長為3+V2+V3,

故答案為：3+V2+V3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換，解題的關(guān)鍵是掌握翻折變換的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

22.（2023?河南南陽?統(tǒng)考一模）如圖，在矩形2BCD中，BC=4,4B=a,點(diǎn)E為4D的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為射線2B上

一點(diǎn)，連接CT,BF=3,若將A4EF沿直線EF折疊后，點(diǎn)2恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則a的值為.

【答案】1或4

【分析】連接CE,由已知條件可得CF=5,AE=EG=DE=2,AF=GF=a—3,乙4=乙EGC=4。=90°,

可推出。C=CG=a,畫出示意圖可得出2a-3=5或2a+3=5,求解即可.

【詳解】解：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，4。=8C=4,AB=CD=a

回點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)

SAE=DE=2

根據(jù)勾股定理可得：CF=5

連接CE,當(dāng)F點(diǎn)在AB上時(shí)，如圖：

EIBF=3

EL4F=a-3

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AF=FG=a-3,AE=EG=DE=2,^A=4EGC=z￡>=90°

團(tuán)CG=CD=a

團(tuán)a—3+a=5

解得：a=4；

當(dāng)點(diǎn)F在AB的延長線上時(shí)，如圖:

F

國BF=3

IH4F=a+3

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AF=FG=a+3fAE=EG=DE=2t^A=乙EGC=ZD=90°

團(tuán)CG=CD=a

團(tuán)a+3+a=5

解得：a=1；

故答案為：1或4.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是矩形的折疊，根據(jù)折疊的性質(zhì)找出線段間的數(shù)量關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.

23.（2023?新疆烏魯木齊?烏魯木齊市第70中?？家荒＃┤鐖D，邊長為段的正方形N8CD的對(duì)角線/C與AD

交于點(diǎn)。，將正方形沿直線。尸折疊，點(diǎn)。落在對(duì)角線AD上的點(diǎn)￡處，折痕。9交/C于點(diǎn)M,則

OM=.

【答案】V2-1

【分析】過點(diǎn)M作1CD于H,由翻折性質(zhì)得到NCDF=乙ODF,繼而證明OM=MH,

利用SACDO=SAODM+SACDM，結(jié)合三角形面積公式解答即可.

【詳解】解：過點(diǎn)〃■作于H,

??,將正方形/BCD沿直線。尸折疊，點(diǎn)C落在對(duì)角線8。上的點(diǎn)￡處,

??.Z.CDF=Z.ODF

???四邊形是正方形，

???AC1BD/ODC=45°

??.匕CDF=^ODF,AC1BD,MH1CD

OM=HM

???CD=V2

???OD=1

???S^CDO=S2ODM+^ACDM

11

-xlxl=-xlxOM+-xV2xMH

11「

.?--=-0M(l+V2)

1L

OM=-----=V2-1

1+V2

故答案為：V2-1.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，利用等積法解題是關(guān)鍵.

24.(2023下?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知正方形4BCD中，點(diǎn)E在4D上，點(diǎn)尸在CD上，且DE=DF=

3,AE=1,G、H分別是BE、E尸的中點(diǎn)，則AAGH的面積等于.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到ZBMBCMCDM/DM/E+DEM%^AE=^C=90°,根據(jù)勾股定理得到BE

=8/=叱率N=舊，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)得到ZG=G?=乎，根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得到EABE=囪CAF,推出的GH是等腰直角三角形，于是得到結(jié)論.

【詳解】解：團(tuán)四邊形N3C。是正方形，

Q

EL4JB=3C=C￡)=4D=/E+Z)E=4,SBAE^C^90,

WE=DF=3,

SCF=AE=1,

^BE=BF=y/42+l2=V17,

團(tuán)G、8分別是BE、斯的中點(diǎn)，

EL4G=3G=部，GH=^BF,GH//BF,

^AG=GH=—,

2

^\AGE=2^\ABG,

^\EGH=^EBF,

^AB=BC,AE=CF,團(tuán)5/￡=團(tuán)。=90°,

^ABE^BCF(SAS)f

^\ABE=^CBF,

^AGE=^\ABE+^CBF,

^\AGH=^ABC=9Q°,

團(tuán)西G〃是等腰直角三角形，

02L4G//的面積="竺x包=二

2228

故答案為：!

O

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

25.（2023?安徽滁州?統(tǒng)考二模）如圖,在△4BC中，乙4cB=90。，AC=9,2c=5,點(diǎn)P為△4BC內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn).過點(diǎn)P作PD14C于點(diǎn)。，交2B于點(diǎn)￡若ABCP為等腰三角形，且S“BC=蔡，貝叩。的長為

A

【答案】1或I

【分析】分以下三種情況：①若BP=CP,過點(diǎn)P作PFE1BC于點(diǎn)F,有DP=CF=BC；②若BP=BC,過點(diǎn)P作

PFEIBC于點(diǎn)F,則在RtEIBPF中先求出BF的長，從而根據(jù)DP=CF可得出DP的長；③若BC=CP,由勾股定理

以及相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出DP,DE的長，此時(shí)DP>DE,此種情況不存在.綜上可得出結(jié)果.

【詳解】解：團(tuán)團(tuán)ACB二90°,PD團(tuán)AC,

0DE0BC.

115

回S/IPBC=習(xí)xBCxCD=—,

又BC=5,ECD=3.

分以下三種情況：

①若BP=CP,如圖1,過點(diǎn)P作PFEIBC于F,

圖1

則四邊形CDPF為矩形,

EIDP=CF,

又CP=BP,PFEBC,

EICF=BFJBC=9,

22

0DP=CF=-；

2

②若BP=BC=5,如圖2,過點(diǎn)P作PF回BC于F,

E1PF=CD=3,

在RfflBPF中，由勾股定理可得BF=4,

fflCF=BC-BF=l,

0DP=1；

③若BC=CP=5,如圖3,

則在RtElCDP中，根據(jù)勾股定理得，DP=4,

又DE0BC,

00ADEE10ACB,

0L-OE=—AD

BCAC

9-310

壁=于'回DE=三

此時(shí)DP>DE,不符合題意.

綜上所述，PD的長為1

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)以及平

行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理并運(yùn)用分類討論思想.

三、解答題

26.(2023?廣東肇慶?統(tǒng)考二模)如圖，在四邊形ABCD中，AB0CD,AC.BD相交于點(diǎn)O,且。是BD的中點(diǎn)

(1)求證：四邊形/BCD是平行四邊形；

(2)若4C1BD,AB=8,求四邊形/BCD的周長.

【答案】⑴詳見解析;(2)32

【分析】(1)利用全等三角形的性質(zhì)證明4B=C。即可解決問題.

(2)證明四邊形/BCD是菱形，即可求四邊形/BCD的周長.

【詳解】解：(1)證明："AB//CD,

???Z.AB0=Z-CD0,

OB=0D,Z-A0B=Z.C0D,

：^A0B=△COD(ASA),

AB=CD.

又,：ABHCD,

回四邊形ABCD是平行四邊形.

(2)回四邊形ABCD是平行四邊形，AC1BD,

回四邊形ABCD是菱形，

團(tuán)四邊形ABCD的周長=4XAB=32.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問題，屬于中考?？碱}型.

27.(2022上?山東青島?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，在長方形力BCD中，AB\\CD,AD\\BC,AB=3,BC=4,

將矩形紙片沿8。折疊，使點(diǎn)”落在點(diǎn)E處，設(shè)DE與DE相交于點(diǎn)尸.

⑴判斷ABDE的形狀，并說明理由；

（2）求。E的長.

【答案】（l）ABDE是直角三角形，理由見解析

（2）OE=4

【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)即可求解；

（2）利用翻折變換的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（］）ABDE是直角三角形，

回四邊形力BCD是矩形，

國乙4=90°,

團(tuán)將矩形紙片沿BD折疊，使點(diǎn)/落在點(diǎn)E處，

0zF=z4=9O°,

回ABDE是直角三角形；

（2）國將矩形紙片沿BD折疊，使點(diǎn)/落在點(diǎn)E處，

國DE=AD,

回四邊形4BCD是矩形，AB=3,BC=4,

^AD=BC=4,

EI￡）E=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

28.（2023?北京海淀，北京市師達(dá)中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖,在RtAOBC中,ABAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。是

BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與2,C重合），連接4。，將線段4。繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段4E,連接CE.

⑴求乙4%的度數(shù)；

⑵過點(diǎn)。作DG1BC,交B4于點(diǎn)F,交C4的延長線于點(diǎn)G,連接EF,交力C于點(diǎn)//；

①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段4G,的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）乙4CE=45°；

⑵①見解析；@AG=AH.理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得乙4BC=^ACB=45。,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得40=AE,^DAE=

90。，然后利用同角的余角相等求出NBA。=MAC,然后利用“邊角邊"證明ABaD三ACAE,從而得解；

（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

②證明四邊形CDFE是矩形，推出AGFU是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：在RtAABC中，NB4C=90。，AB=AC,

0ZX5C=Z.ACB=45°,

團(tuán)將線段4。繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段4E,

SAD=AE,Z.DAE=90°,

0ZBXD+/.DAC=/.CAE+/.DAC=90°,

團(tuán)zE4O=Z-EAC,

AB=AC

在△BAD和△(?/￡*中,匕BAD=Z-CAE，

、AD=AE

0ABAD=△CAEf

^ACE=乙ABC=45°；

（2）解：①補(bǔ)全圖形如圖;

②4G=4H.理由如下，

由（1）得N4BC=4ACB=45°,^ACE=45°,

0ZFCF=90°,

又DG1BC,

回ABDF是等腰直角三角形，

SBD=DF,

團(tuán)^

BAD=△CAEf

團(tuán)BD=CE,

由DF=CE,且DFIICE,

回四邊形CDFE是平行四邊形，

又LBCE=90°,

回四邊形CDFE是矩形，

WFWCD,

0ZGWF=Z.ACB=45°,乙GFH=乙GDC=90°,

GFH是等腰直角三角形，

^Z-BAC=90°,

SAG=AH.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

29.（2023上?福建漳州?八年級(jí)校考期中）如圖，將長方形沿ZE所在的直線折疊，頂點(diǎn)。恰好落在

8c邊上的尸處，若CE=3,/B=8,求C/和4D的長.

【答案】CF=4,AD=10.

【分析】由折疊的性質(zhì)得出EF=DE=5,力。=AF,在RMCEF中，由勾股定理得出CF=4,設(shè)4。=AF=

BC=x,則BF=x-4,在RM4BF中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案.

【詳解】解：回四邊形/BCD是矩形，

EL4B=CD=8,BC=AD,NB=ND="=90°,

WE=C。-CE=8—3=5,

由折疊性質(zhì)知：AD^AF,EF=￡)E=5；

在RtZlCEF中，EF=5,CE=3,

0CF=yjEF2-CE2=V52-32=4,

設(shè)AD=AF=BC=x,貝ijBF=x-4；

在R"L4B尸中，由勾股定理可得：82+0—4)2=/,

解得：x=10,

EL4D=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊問題，勾股定理與折疊問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，由勾股

定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

30.(2023,廣東東莞?東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測)如圖，在△力BD中，AB=AD.

⑴點(diǎn)C為BD的垂直平分線上一點(diǎn)，且點(diǎn)C在BD下方，CB=4B,求作點(diǎn)C.(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法,

保留作圖痕跡)

(2)若AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接OE.若。E=5,BD=12,求4C的長.

【答案】⑴見解析

(2MC=16.

【分析】（1）分別以B、。為圓心，4B長為半徑作弧，在8D下方交于點(diǎn)C,點(diǎn)。即為所作；

（2）求得四邊形48CD是菱形，利用菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得3。=6,BC=10,

利用勾股定理即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)C即為所作；

（2）解：由作圖知，AB=BC=CD=AD

團(tuán)四邊形力BCD是菱形，

0BO=0D=^-1BD=6,AO=OC,BDLAC,即NBOC=90°,

回點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且OE=5,

0BC=2OE=10,

在RtABOC中，OC=VBC2-OB2=8,

團(tuán)4c=2OC=16.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

31.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模）綜合與實(shí)踐

動(dòng)手、發(fā)現(xiàn)：（1）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明進(jìn)行了下列操作：

"如圖①，矩形紙片/BCD中，8。為對(duì)角線，將△BCD沿8。折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)￡處，BE交AD于點(diǎn)、F"

則線段,AABF=A；

E

D

①

問題解決：（2）在圖①中，若AB=6,BC=8,請(qǐng)你求出：線段/尸的長及tan乙4BF的值;

再動(dòng)手、延伸：（3）小明在（2）的條件下，找到DE上的點(diǎn)G及AD上的點(diǎn)X,將△沿G8折疊，使

點(diǎn)。落在點(diǎn)/處，G8交/。于點(diǎn)K（如圖②），貝UGH=,sinz.GAH=

【答案】（1）DF,EDF；（2）-；（3）士

42465

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得"8。=NF8D,由平行線的性質(zhì)得NFD8=即可證明/BDF是等腰三

角形，可得BF=DF；根據(jù)44S可證44BF=AEDF；

（2）在Rt△ABF中，設(shè)2尸=無，由勾股定理得方程（8-刀）2=6?+/,解方程可得/尸,從而可求出tan乙48F

的值；

（3）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知KD=4,由a龍尸=三求出GK=：,再由三角形中位線定理得

246

KH=39從而可得G8；證明4L4H=乙480可求出sin4GZ”的值.

【詳解】解：（1）回四邊形是矩形

^AB=CD,AD=BC,^BAD=^BCD=90°fAD//BC

mADB=^\CBD

由折疊得，^FBD^CBD

^FDB=^\FBD

^\BF=DF;

^BDE由△5。。翻折而成，

團(tuán)蛇=皿6=90°,ED=CD=AB,^AFB=^DFE,

EH4BR33ED尸(ASA)；

故答案為：DF,EDF；

(2)設(shè)力F=%,^AF+FD=AD=BC=8,

I3BF=FD=8—x,

在Rt△ZBF中，由勾股定理得(8