中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)突破：平行四邊形的存在性問題（含答案及解析）

專題10平行四邊形的存在性問題

一、知識(shí)導(dǎo)航

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

(1)對(duì)應(yīng)邊平行且相等；

(2)對(duì)角線互相平分.

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中:

X-X=*口-XC

(1)對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解為點(diǎn)8移動(dòng)到點(diǎn)A,點(diǎn)c移動(dòng)到點(diǎn)。，移動(dòng)路徑完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)對(duì)角線互相平分轉(zhuǎn)化為：\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解為AC的中點(diǎn)也是8D的中點(diǎn).

【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

當(dāng)AC和為對(duì)角線時(shí)，結(jié)果可簡(jiǎn)記為：A+C=B+D(各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相力口)

以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問:若坐標(biāo)系

中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、。滿足“A+C=B+。''，則四邊形4BCD是否一定為平行四邊形？

反例如下:

D

之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)''并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化,

故存在反例.

雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對(duì)對(duì)角線的討論：

(1)四邊形ABC。是平行四邊形：AC、8。一定是對(duì)角線.

(2)以A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對(duì)角線不確定需要分類討論.

二、典例精析

平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動(dòng)’'和"兩定兩動(dòng)''兩大類問題.

1.三定一動(dòng)

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)。使得以A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形.

思路1:利用對(duì)角線互相平分，分類討論:

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴為對(duì)角線時(shí),可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、，…、(1+3=5+加八/、

(2)AC為對(duì)角線時(shí)，。二0,解得2—1,4；

[2+5=3+〃—

,、，[1+5=3+機(jī)/、

⑶AB為對(duì)角線時(shí)，2+3=5+〃'解得。3(3，。).

2

當(dāng)然，如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減)

2.兩定兩動(dòng)

已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形，求C、D坐標(biāo).

【分析】

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)當(dāng)A8為對(duì)角線時(shí)，，c°，解得o＞故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，，八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃？\m=-2

(3)當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，，^,解得，，故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

3

“三定一動(dòng)’'的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)’'中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確

定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，

用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動(dòng)點(diǎn)

從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).若把一個(gè)字母稱

為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量.究

其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

(1)對(duì)邊平行且相等；

(2)對(duì)角線互相平分.

[x.+x=x+x

但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式：《*crBn"n,

〔以+%=%+%

兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個(gè)未

知量.

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問題.

三、中考真題演練

1.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線丫=0?+云經(jīng)過二。18的三個(gè)頂點(diǎn)，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn),

點(diǎn)A(3,-3),點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，對(duì)稱軸是直線尤=',且一。的面積為18

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑵求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(3)設(shè)C為線段A3的中點(diǎn)，尸為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,CP,將△ACP沿CP翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為A.問是否存在點(diǎn)P,使得以A，P,C,3為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

4

2.（2023?廣東廣州?中考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)＞=-口》＜0）的圖象上.

（1）若機(jī)=-2,求〃的值；

⑵拋物線y=（x-〃z）（x-〃）與X軸交于兩點(diǎn)M,在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線的頂點(diǎn)為E.

①加為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處;

②設(shè)GMV的外接圓圓心為C,.C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為R當(dāng)m+〃20時(shí)，是否存在四邊形尸GEC為平

行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3

3.（2023?山東?中考真題）如圖，直線，=-》+4交x軸于點(diǎn)8,交＞軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為尤=]的拋物線經(jīng)

過BC兩點(diǎn)，交無軸負(fù)半軸于點(diǎn)A.尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī)，過點(diǎn)尸作無軸的平行線交

拋物線于另一點(diǎn)加，作無軸的垂線PN,垂足為N,直線MN交，軸于點(diǎn)O.

（1）求拋物線的解析式;

3

（2）若0＜根＜],當(dāng)為何值時(shí),四邊形CDNP是平行四邊形?

4.（2023?山東聊城?中考真題）如圖①，拋物線＞=加+版-9與x軸交于點(diǎn)A（-3,0）,B（6,0）,與y軸交于

點(diǎn)C,連接AC,2c點(diǎn)尸是無軸上任意一點(diǎn).

5

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)。在拋物線上，若以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

5.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線》=-爐+法+，經(jīng)過4(-1,0)](0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)

直線AM與軸交于點(diǎn)Z).

(1)求該拋物線的表達(dá)式;

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形？若存在，請(qǐng)亶談寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.(2023?甘肅武威?中考真題)如圖1,拋物線＞=7+樂與無軸交于點(diǎn)A,與直線丁=-%交于點(diǎn)3(4,T),

點(diǎn)C(O,~4)在y軸上.點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿線段8。方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)停止.

6

（1）求拋物線y=-￡+區(qū)的表達(dá)式；

⑵當(dāng)8尸=20時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過點(diǎn)尸作即，。4交拋物線于點(diǎn)。，連接PC,0D,判斷四邊形OCPD的

形狀，并說明理由.

7.（2023?四川巴中?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線6=蘇+弧+或"0）經(jīng)過點(diǎn)A（-l,0）和8（0,3）,

其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

⑴求拋物線的表達(dá)式.

（3）若點(diǎn)尸為拋物線>=依2+法+°（。*（））的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，。為平移后

拋物線上一動(dòng)點(diǎn).在（2）的條件下求得的點(diǎn)“，是否能與A、P、Q構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出。

點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請(qǐng)說明理由.

8.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線y=a/+bx+3（a^O）與尤軸交于A（T。），8（3,0）兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)c.

7

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)。在x軸上，以2,C,P,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

4

9.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線＞=-§1+法+4與；1軸交于4-3,0),8兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及8,C兩點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵以A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D坐標(biāo);

8

專題10平行四邊形的存在性問題

一、知識(shí)導(dǎo)航

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：

(1)對(duì)應(yīng)邊平行且相等；

(2)對(duì)角線互相平分.

這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中:

X-X=*口-XC

(1)對(duì)邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解為點(diǎn)8移動(dòng)到點(diǎn)A,點(diǎn)c移動(dòng)到點(diǎn)。，移動(dòng)路徑完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)對(duì)角線互相平分轉(zhuǎn)化為：\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解為AC的中點(diǎn)也是8D的中點(diǎn).

【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

當(dāng)AC和為對(duì)角線時(shí)，結(jié)果可簡(jiǎn)記為：A+C=B+D(各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相力口)

以上是對(duì)于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問:若坐標(biāo)系

中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、。滿足“A+C=B+。''，則四邊形4BCD是否一定為平行四邊形？

9

反例如下:

D

之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)''并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化,

故存在反例.

雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對(duì)對(duì)角線的討論：

(1)四邊形ABC。是平行四邊形：AC、8。一定是對(duì)角線.

(2)以A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對(duì)角線不確定需要分類討論.

二、典例精析

平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍?dòng)’'和“兩定兩動(dòng)”兩大類問題.

3.三定一動(dòng)

已知A(1,2)8(5,3)C(3,5),在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)。使得以A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形.

思路1:利用對(duì)角線互相平分，分類討論:

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴為對(duì)角線時(shí),可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、，…、(1+3=5+加八/、

(2)AC為對(duì)角線時(shí)，。二0,解得2—1,4；

[2+5=3+〃—

,、，[1+5=3+機(jī)/、

⑶AB為對(duì)角線時(shí)，2+3=5+〃'解得。3(3，。).

10

當(dāng)然，如果對(duì)這個(gè)計(jì)算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減)

4.兩定兩動(dòng)

已知A(1,1)、B(3,2),點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形，求C、D坐標(biāo).

【分析】

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(m,0),。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)當(dāng)A8為對(duì)角線時(shí)，，c°，解得o＞故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，，八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃？\m=-2

(3)當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，，^,解得，，故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

11

“三定一動(dòng)’'的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)’'中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確

定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，

用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動(dòng)點(diǎn)

從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo).若把一個(gè)字母稱

為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量.究

其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：

(1)對(duì)邊平行且相等；

(2)對(duì)角線互相平分.

[x.+x=x+x

但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式：《*crBn"n,

〔以+%=%+%

兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個(gè)未

知量.

由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問題.

三、中考真題演練

1.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線丫=0?+云經(jīng)過二。18的三個(gè)頂點(diǎn)，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn),

點(diǎn)A(3,-3),點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，對(duì)稱軸是直線尤=',且一。的面積為18

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

⑵求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(3)設(shè)C為線段A3的中點(diǎn)，尸為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,CP,將△ACP沿CP翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為A.問是否存在點(diǎn)P,使得以A，P,C,3為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2

【答案】⑴y=§無2-3尤

12

（2）（6,6）

33或卜

(3)存在,尸點(diǎn)的坐標(biāo)為

2；2

b9

【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱軸為直線X=-將點(diǎn)A代入，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解；

2a4

(2)過點(diǎn)A作斯，y軸交于E點(diǎn)，過8點(diǎn)作交于尸點(diǎn)，繼而表示出的

面積，根據(jù)OAB的面積為18,解方程，即可求解.

(3)先得出直線。3的解析式為，=無，設(shè)尸(//),當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，可得AP=AC,當(dāng)BC

為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，BP=AC,進(jìn)而建立方程，得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，即可求解.

h9

【詳解】(1)解：,??對(duì)稱軸為直線％=-(?=：,

2a4

Q

b=——。①，

2

將點(diǎn)A(3,-3)代入y=ax-+bxn，

：.9a+3b=-3@,

'2

a=—

聯(lián)立①②得，［3,

b=-3

2

二解析式為y=無；

(2)設(shè)如圖所示，過點(diǎn)A作軸交于E點(diǎn)，過8點(diǎn)作B尸，防交于尸點(diǎn)，

尸（私-3）,E（0,-3）,

貝！JOE=3,AE=3,AF=m—3,BF=^m2—3m+3,

13

1f2\1

=—mx—m2-3m+3+3——x3x=18

,?°AOB2（3）2

解得：加=6或m=-3（舍去）,

（3）存在點(diǎn)P,使得以A，P,C,5為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，理由如下:

VA（3-3）,B（6,6）,

設(shè)直線08的解析式為y=履,

**?6k=6,解得：k=l9

???直線03的解析式為丁二%,

設(shè)尸（口）,

如圖所示，當(dāng)BP為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，BC//A.P,

BC=A,Pf

AC=BC,

AC=AXP,

由對(duì)稱性可知AC=A。，AP=\P,

：.AP=AC,

J（，-3）2+t+3）2=Jn+卜一目

3

解得：

???尸點(diǎn)的坐標(biāo)為［l，l］或1I，-|）

如圖3,當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，BP//A.C,BP=AlC,

14

圖3

由對(duì)稱性可知，AC=AiC,

：.BP=AC,

解得：，=捶+6或/=-垣+6,

22

-至+6、

P點(diǎn)的坐標(biāo)為

2

7

3屋1

綜上所述,P點(diǎn)的坐標(biāo)為_----------1-0

2

7

7

2.(2023?廣東廣州?中考真題)已知點(diǎn)P(〃〃)在函數(shù)y=G(x<0)的圖象上.

(1)若機(jī)=-2,求〃的值；

(2)拋物線y=(x-〃z)(x-")與無軸交于兩點(diǎn)M,在N的左邊)，與y軸交于點(diǎn)G,記拋物線的頂點(diǎn)為E.

①加為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；

②設(shè)GMN的外接圓圓心為C,C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為R當(dāng)m+〃大0時(shí)，是否存在四邊形尸GEC為平

行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)〃的值為1;

(2)@m=-A/2;②假設(shè)存在，頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為，或"

22

【分析】(1)把m=—2代入y=——(%<0)得〃=一不二1,即可求解；

x-2

+T111

(2)@x=-------,^y=(x-m)(x-n)=——(m-n)2=-2——(m+n)2<-2,即可求解；

244

15

11(in+nli

②求出直線75的表達(dá)式為：y=得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為一^，-不；由垂徑定理知，點(diǎn)C在

FG的中垂線上，則FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3；由四邊形尸GEC為平行四邊形，則

17

CE=FG=3=yc-yE=---yE,求出左二一萬，進(jìn)而求解.

22

【詳解】(1)解：把機(jī)=一2代入y=-一(％＜。)得〃=一一-=1；

x-2

故〃的值為1;

(2)解：①在y=(x-〃j)(x-")中，令y=0,則(x-〃z)(無一")=。，

解得X='"或％=”，

,N(n,O),

2

點(diǎn)P(利①在函數(shù)y=——(％<0)的圖象上，

x

:.mn=-2,

?YYl+Yl/=,、/、1..7-1/

令兀=----,y=(x—m)(x—n)=——(m-n)=—2—(m+n)<—2,

244

即當(dāng)m+幾=0,且mn=-2,

則療=2,解得：機(jī)=-&(正值已舍去)，

即〃z=-時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；

②假設(shè)存在，理由：

對(duì)于/=，當(dāng)x=0時(shí)，y=mn=-2,即點(diǎn)G(0,-2),

由①得M(加,0),N(n,0),GO-2),E(^^,--(m-n)2),對(duì)稱軸為直線x=絲士,

242

由點(diǎn)M(m,0)、G(0,-2)的坐標(biāo)知，tan/OMG="=2,

OM-m

作MG的中垂線交MG于點(diǎn)T,交，軸于點(diǎn)S,交x軸于點(diǎn)K,則點(diǎn)7(；加，-1

則tanNMKT=——m,

2

則直線方的表達(dá)式為：y=-1m(x-1m)-l.

16

“m+n…1I、1I

當(dāng)％=—時(shí)，y=--m(x--m)-l=~-,

?,.s?一、t「m+nI)

則點(diǎn)c的坐標(biāo)為[--一I.

由垂徑定理知，點(diǎn)C在尸G的中垂線上，則FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3.

四邊形FGEC為平行四邊形,

貝I]CE=FG=3=外一為=一3一，

7

解得：%=一萬，

I,7

J!Lmn=-2,

貝！Jm+n=±y[6)

頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為一半,-g，或

3

3.(2023?山東?中考真題)如圖,直線y=-x+4交無軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為龍=］的拋物線經(jīng)

過BC兩點(diǎn)，交》軸負(fù)半軸于點(diǎn)A.尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)尸作x軸的平行線交

拋物線于另一點(diǎn)作無軸的垂線PN,垂足為N,直線MN交了軸于點(diǎn)O.

(1)求拋物線的解析式；

3

(2)若。<m<5，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，四邊形CDVP是平行四邊形？

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線MN的函數(shù)解析式，列方程求解;

【詳解】(1)解：在直線>=一》+4中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4,當(dāng)y=0時(shí)，x=4,

點(diǎn)3(4,0),點(diǎn)。(0,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=+k,

17

a+%=0

把點(diǎn)8（4,0），點(diǎn)。（0,4）代入可得，

a+2二4

Q=-1

解得

k三

4

二?拋物線的解析式為y=—1%—+等=一'+3%+4;

(2)解：由題意，尸(私-加之+3帆+4),

**?PN=—m2+3m+4，

當(dāng)四邊形CDV尸是平行四邊形時(shí)，PN=CD,

OD=—m2+3m+4—4=—m2+3m，

Z>(0,m2-3m),N(m,0),

設(shè)直線腦V的解析式為丁=幻+病-3根,

把N（〃0）代入可得左即+蘇-3m=0,

解得勺=3—

/.直線腦V的解析式為y=（3-m）x+m2-3m,

3

又???過點(diǎn)尸作工軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)M,且拋物線對(duì)稱軸為%=1,

—m,—m2+3m+4）

（3—m）2+m2—3m——m2+3m+4,

解得（不合題意，舍去），"7,=%二包；

T323

4.（2023?山東聊城中考真題）如圖①，拋物線>=加+法-9與犬軸交于點(diǎn)4（-3,0）,5（6,0）,與y軸交于

點(diǎn)C,連接AC,點(diǎn)尸是無軸上任意一點(diǎn).

18

⑴求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)。在拋物線上，若以點(diǎn)A,C,P,。為頂點(diǎn)，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

【分析】（1）將A（—3,0）,3（6,0）代入〉=62+版-9,待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

131Q

（2）由二次函數(shù)y=；V-1x-9,求得點(diǎn)CQ-9）,設(shè)點(diǎn)P（肛0）,點(diǎn)。（“3"-襯9）,分類討論：當(dāng)AC

為邊，AQ為對(duì)角線時(shí)，當(dāng)AC為邊，釬為對(duì)角線時(shí)，運(yùn)用平行四邊形對(duì)角線互相平分性質(zhì)，構(gòu)建方程求

解；

【詳解】（1）將A（TO）,3（6,0）代入>=^2+"-9,得

（9a-3b-9=0”萬

*"7Qn'解得3

ib=——

I2

13

；?拋物線解析式為：y=1x2-j%-9

13

（2）二次函數(shù)>=］尤2一］彳一9,當(dāng)x=0時(shí)，y=-9

.?.點(diǎn)C（0,-9）

13

設(shè)點(diǎn)p（機(jī)⑼，點(diǎn)。（",萬〃2--n-9）,

當(dāng)AC為邊，A。為對(duì)角線時(shí)，

四邊形ACQ尸為平行四邊形，

AAQ,CP互相平分

13

-n2--n-9=-9解得，71=0（舍去）或”=3

點(diǎn)。坐標(biāo)（3,-9）；

19

2222

3

：.-n2-n-9=9

22

二點(diǎn)0坐標(biāo)(|+2乎,9)或47,9)

綜上，點(diǎn)0坐標(biāo)(3,-9),或弓+上乎⑼或W，9)；

5.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-l,0),C(0,3)兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B,

直線AM與軸交于點(diǎn)D

20

(1)求該拋物線的表達(dá)式；

(3)若點(diǎn)尸是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，問在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)。，使得以。，M,P,0為頂點(diǎn)的四邊形是平行四

邊形？若存在，請(qǐng)申談寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(3)分DM,DP,MP分別為對(duì)角線，三種情況進(jìn)行討論求解即可.

【詳解】(1)解：V拋物線y=-x2+次+c經(jīng)過A(-1,O),C(0,3)兩點(diǎn),

J—1—Z?+c=O[b=2

解得：。

[c=3[c=3

??y=-%2+2x+3；

(3)解：存在；

y=-x2+2尤+3=-(x-l)2+4,

對(duì)稱軸為直線x=l,

設(shè)尸(pj),Q。,"),

當(dāng)以。，M,P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí):

1+P=0+1

①DM為對(duì)角線時(shí):

%+〃=4+2

當(dāng)夕=。時(shí)，t=3,

〃=3,

2(1.3)；

0+p=l+l

②當(dāng)DP為對(duì)角線時(shí):

2+%=4+〃

21

P=2

2+f=4+〃

當(dāng)p=2時(shí)，Z=-22+2X2+3=3,

??H=1,

Q(L1)；

…fl+7?=0+l

③當(dāng)MP為對(duì)角線時(shí)：|4+r=2+w.

[n-t=2

當(dāng)p=0時(shí)，t=3,

??〃=5,

???2(1,5)；

綜上：當(dāng)以。，M,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，Q。,3)或。(LI)或0(1,5).

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，是中考常見的壓軸題.正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函

數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?甘肅武威?中考真題)如圖1,拋物線、=-X2+灰與x軸交于點(diǎn)A,與直線'%交于點(diǎn)以4,-4),

22

點(diǎn)c(o,-4)在y軸上.點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿線段8。方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)停止.

⑴求拋物線yn-V+foc的表達(dá)式；

⑵當(dāng)8尸=20時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中過點(diǎn)尸作即，。4交拋物線于點(diǎn)。，連接PC,0D,判斷四邊形OCPO的

形狀，并說明理由.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)作尸交拋物線于點(diǎn)。，垂足為"，連接尸C,0D,由點(diǎn)尸在丁=-%上，可知尸"，

ZPOH=45°,連接5C,得出05=4后，諷OH=PH=^OP=顯又26=2,當(dāng)芍=2時(shí)，

22

DH=%=—4+3X2=2,進(jìn)而得出PD=OC,然后證明PD〃OC,即可得出結(jié)論；

【詳解】(1)解：:拋物線y=3+桁過點(diǎn)B(4,T),

???-16+4Z?=-4,

：.b=3,

y——彳2+3x；

(2)四邊形OCPD是平行四邊形.

理由：如圖1,作尸交拋物線于點(diǎn)。，垂足為H,連接尸C,0D.

:點(diǎn)尸在丁=一》上，

OH=PH,NPOH=45。,

連接BC,

OC=BC=4,

?,OB=45/2>

23

,?*BP=2V2，

OP=OB-BP=26，

OH=PH=—OP=—X2A/2=2，

22

當(dāng)4=2時(shí)，DH=JD=-4+3X2=2,

/.PD=DH+PH=2+2=4,

VC（0,-4）,

，OC=4,

PD=OC,

；OC_Lx軸，PD_Lx軸，

PD//OC,

...四邊形OCPO是平行四邊形；

7.（2023?四川巴中?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線'=62+汝+，（。W0）經(jīng)過點(diǎn)4（-1,0）和8（0,3）,

其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

（1）求拋物線的表達(dá)式.

（3）若點(diǎn)尸為拋物線y=ax2+6x+c（aw0）的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，。為平移后

拋物線上一動(dòng)點(diǎn).在（2）的條件下求得的點(diǎn)M,是否能與A、尸、。構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出。

點(diǎn)坐標(biāo)；若不能構(gòu)成，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（3）由⑴知，y=*+2x+3向左平移后的拋物線為y=-/+4,由⑵知加@,，）4㈠,。），設(shè)

尸（1,孫）,。（尤2，坨），假設(shè)存在以A、P、。、M為頂點(diǎn)的平行四邊形.根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分類討論即可

求解，①當(dāng)以AM為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)以AQ為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)以AP為對(duì)角線時(shí).

【詳解】（1）解：拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為1

.?.對(duì)稱軸為x=l

24

A(-1,O)

，與x軸另一交點(diǎn)為(3,0)

設(shè)拋物線為y=a(x+D(尤-3)

QB(0,3)

a=-1

y=—(x+l)(x—3)

拋物線的表達(dá)式為y=-X2+2X+3

(3)由(1)知，＞=-尤2+2工+3向左平移后的拋物線為、=一_?+4

315

由(2)知M,A(T0)

2'T

設(shè)P(L力),。(&,%)，假設(shè)存在以A、P、Q、加為頂點(diǎn)的平行四邊形.

①當(dāng)以AM為對(duì)角線時(shí),

平行四邊形對(duì)角線互相平分

.產(chǎn)+%=%+/,即7+]]+%

。o--------=-------

Q在拋物線y=-x2+4上

15

??=J

.二。的坐標(biāo)為

②當(dāng)以A。為對(duì)角線時(shí)

11+—

同理可得之士%=/+?即]+%、2

222-2

733

???%=5則坨=：

Q的坐標(biāo)為

25

③當(dāng)以A尸為對(duì)角線時(shí)

3

%、+/=%+時(shí),gn-i+iXQ+2

2―2，-------=--------

Zz22

37

.??%=一/則為二

Q的坐標(biāo)為

綜上所述：存在以A、P、。、”為頂點(diǎn)的平行四邊形.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形

的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.(2023?四川南充?中考真題)如圖1,拋物線y=o?+bx+3(叱0)與x軸交于A(-l,0),以3,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)c.

B\xEB\x

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)尸在拋物線上，點(diǎn)。在％軸上，以aC,尸，。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

【分析】(1)將A(T,0),3(3,0)兩點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求解；

(2)根據(jù)尸，。的不確定性，進(jìn)行分類討論：①過C作CP〃尤軸，交拋物線于《，過A作6Q1〃BC,交x

軸于可得為=3,由-f+2x+3=3,可求解；②在尤軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)。2,過。2作。2鳥〃BC,交拋

物線于8,同時(shí)使2￡=8C,連接C2、BP2,過鳥作鳥軸，交x軸于。，