中考數(shù)學(xué)難點突破與訓(xùn)練：二次函數(shù)中的面積問題（含答案及解析）

專題40二次函數(shù)中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022.全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線＞=-/+.+4的對稱軸為彳=_3,過其頂點M的一條

直線＞=履+方與該拋物線的另一個交點為N（T,1）.點尸的坐標(biāo)為（0,1）,則AaWN的面積為（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2022?湖北.漢川市實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線右：丫=。2+法+。。#0）與尤軸只有一個公共

點A（2,0）,與y軸交于點8（0,4）,虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4個單位長度得拋物線乙，則圖

中兩個陰影部分的面積和為（）

3.（2022?廣東.江門市新會東方紅中學(xué)二模）如圖，拋物線丫=-（*+〃）+4的頂點為P,將拋物線向右平移

3個單位后得到新的拋物線，其頂點記為設(shè)兩條拋物線交于點C,則的面積為（）

4.（2019?浙江湍安市安陽實驗中學(xué)九年級期中）如圖，拋物線y=-/+2丈+3與x軸交于A、8兩點（A在8

的左側(cè)），與>軸交于點C,點尸是拋物線上位于龍軸上方的一點，連接AP、BP,分別以AP、3尸為邊向aABP

外部作正方形APE。、BPFG,連接BD、AG.點P從點A運動到點2的過程中，△A3。與△ABG的面積和

的變化情況是（）

A.先增大后減小B.先減小后增大

C.始終不變D.一直增大

5.（2021?貴州銅仁?三模）如圖，拋物線y=一/+依+/7與直線1=區(qū)+/7相交于4（4,一3）,3（0,5）兩點，點C

是拋物線的頂點.下列結(jié)論正確的個數(shù)（）

（1）AB=4A/5；（2）拋物線為：y=-/+2尤+5；⑶當(dāng)0〈尤<4時，代數(shù)式無?-4x的值是負數(shù)；（4）AABC

的面積為6

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，點A是拋物線y=/圖象在第一象限內(nèi)的一個動點，且點A的橫坐

標(biāo)大于1,點E的坐標(biāo)是（0,1）,過點A作軸交拋物線于點以過A、B作直線AE、BE分別交x軸

于點。、C,設(shè)陰影部分的面積為S,點A的橫坐標(biāo)為機，則S關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式為（）

2

C.S=2mD.S=m2—m

7.（2020.浙江臺州.九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-7一以與1軸交于o,A兩點，

點8為x軸上一點且43=3后，將A8繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到AC,使得點C恰好落在拋物線上，點尸

為拋物線上一點，連接AP,PC,PCLAC,則△朋C的面積為（）

A.9B.3亞C.6后D.3

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習(xí)）如圖，己知二次函數(shù)y=§（元+3）（尤-1）的圖象與X軸交于點A、B,

與y軸交于點C,頂點坐標(biāo)為Z）.貝隈ASC與△相￡）的面積之比是（）.

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線y=g/-2x+c與無軸交于點A,B兩點,與y軸負半軸交于

點C,其頂點為跖點DE分別是的中點，若ADEB與“CD的面積比為9：10,則c的值為（）

3

y

M

35

A.—B.—2C.—D.—3

22

10.（2021.河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級期末）如圖，二次函數(shù)尸/-2彳-3的圖象與X軸交于點A,B,交

y軸于點C,點D在該函數(shù)第四象限內(nèi)的圖象上，若△BCD的面積為27?，則點。的橫坐標(biāo)是（）.

O

33

A.1B.—C.—D.2

24

13

11.（2018?山東濟南?三模）如圖，拋物線y=--x2+x+-與坐標(biāo)軸交于AB兩點，與J軸交于點C.CD//AB,

如果直線丫=依-2（00）平分四邊形。瓦工的面積，那么人的值為（）

二、填空題

12.（2022?北京市師達中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知拋物線＞=/-4與x軸交于48兩點，與y軸交于點C,

則AABC的面積為

4

13.（2022?安徽合肥?九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線>=。（彳-3『+4

（?<0）的頂點為A,與拋物線>=辦2+4交于x軸上方的點從

（1）點8的橫坐標(biāo)是

（2）過點B作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個交點為。，C,連結(jié)A。，AC,OC,OD,則

四邊形ACOD的面積為

14.（2022.重慶一中九年級階段練習(xí)）如圖，已知A（1,1）,B（3,9）是拋物線y=V上的兩點，在y軸

上有一動點P,當(dāng)^PAB的周長最小時，則此時△PAB的面積為.

15.（2022?福建.莆田擢英中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知A,B,C是函數(shù)y=f圖象上的動點，且三點

的橫坐標(biāo)依次為。+1,a,小華用軟件GeoGebra對△ABC的幾何特征進行了探究，發(fā)現(xiàn)△A8C的面

積是個定值，則這個定值為.

5

2

三、解答題

16.（2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖,拋物線y=以?-2ax+c與x軸交于點A、

點B,與y軸交于點C,A點坐標(biāo)為（-1,。），連接AC,若tanZACO=；.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸為第一象限拋物線上一點，連接AP、BP,設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為乙人45尸的面積為S,求S與f的函數(shù)

解析式：

17.（2023?吉林省第二實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，地物線y=ax2+bx+c^x軸交于4（-1,0）,5（3,0）兩

點，與y軸交于點C（0,-3）.

6

(1)求出該地物線的函數(shù)關(guān)系式；

⑵點尸是拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m(0〈根＜3).直接寫出APCB的面積的最大值.

18.(2021?新疆?烏魯木齊市第十五中學(xué)九年級期中)已知拋物線，=62+法+3(。40)與x軸交于A(T,0),

8(3,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式.

(2)連接AC,BC,求“ABC?

2

(3)拋物線上是否存在一點E,使得若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

19.(2022?廣東.江東鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級期中)如圖，已知二次函數(shù)yu-gr+笈+c的圖象經(jīng)過點A(2,0),

2(0,-6)兩點.

7

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C,連接BA、BC,求△ABC的面積.

20.(2021.新疆?烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，已知直線>=尤+3與x軸交于點A,與y

軸交于點3,拋物線y=-Y+bx+c經(jīng)過&、8兩點，與x軸交于另一個點C,對稱軸與直線AB交于點E,

拋物線頂點為D

備用圖

(1)點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為.

⑵①求拋物線的解析式；

②點M是拋物線在第二象限圖象上的動點，是否存在點使得的面積最大?若存在，請求這個最

大值并求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)點尸從點。出發(fā)，沿對稱軸向下以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設(shè)運動的時間為/秒，當(dāng)/為何值

時，以P、2、C為頂點的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的“直.

21.(2022?山東淄博?九年級期中)如圖，拋物線丁=加+法+3與直線45交于點4(-1,0),點。

是拋物線上42兩點間的一個動點(不與點42重合)，直線8與y軸平行，交直線A3于點C,連接AD,89.

8

(1)求拋物線的解忻式；

(2)設(shè)點。的橫坐標(biāo)為機，右4汨的面積為S,求S關(guān)于機的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)S取最大值時的點C的

坐標(biāo)；

(3)點。為拋物線的頂點，點尸是拋物線上的動點，點。是直線AB上的動點.當(dāng)以點P,Q,C,。為頂點

的四邊形是平行四邊形時，求出點。的坐標(biāo).

13

22.(2022?山東濟南?九年級期中)如圖，已知拋物線y=5尤z+jx+c與無軸交于A(l,0),,與y軸交

3

⑵若點尸是拋物線第一象限內(nèi)的一個動點，且滿足S.阱=354鉆「求點尸坐標(biāo).

23.(2022.河南洛陽?二模)如圖，拋物線>=*_2丈+3的圖象與x軸交于A,B兩點，(點A在點B的左邊),

與>軸交于點C.

9

（1）直接寫出A,B,C的坐標(biāo)；

⑵點加為線段AB上一點（點M與點A,點8不重合），過點"作x軸的垂線，與直線AC交于點E,與拋

物線交于點P,過點尸作尸?！ˋ3交拋物線于點。，過點。作QN,無軸于點N,若點P在點。的左側(cè)，當(dāng)

矩形尸MNQ的周長最大時，求ZXAE版的面積.

24.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)^=依2-2》+。（420）的圖象與》軸交于4方兩點，與y

軸交于C點，已知點A（-l,0）,點C（0,—2）.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；

（2）若點M是線段3C下方的拋物線上的一個動點，求AMBC面積的最大值以及此時點M的坐標(biāo).

25.（2020?新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）己知拋物線丁=-/+法+。（6、c為常數(shù)），若此拋物

線與某直線相交于A（-1，O）,C（2,3）兩點，與y軸交于點N,其頂點為。

10

(2)若點P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△回(7的面積的最大值及此時點尸的坐標(biāo)；

(3)點”("J)為拋物線上的一個動點，/關(guān)于y軸的對稱點為區(qū)，當(dāng)點X落在第二象限內(nèi)，且凡設(shè)取得最

小值時，求w的值

26.(2022?甘肅.嘉峪關(guān)市明珠學(xué)校一模)如圖，已知拋物線〃與x軸交于A、2兩點，與y軸

交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點，已知A(-l，0),C(0,3).

(1)求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△尸CD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐

標(biāo)；如果不存在，請說明理由；

(3)點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點尸，當(dāng)點E運動到什么位置時，四

邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo).

13

27.(2022.全國?九年級專題練習(xí))如圖，己知二次函數(shù)了=]1+法-5與x軸交于點4-3,0)和點2,以Ag

為邊在x軸上方作正方形ABC。，點尸是x軸上一動點，連接DP,過點尸作DP的垂線與y軸交于點E.

11

(1)試求出二次函數(shù)的表達式和點B的坐標(biāo)；

(2)是否存在這樣的點尸，使VPED是等腰三角形？若存在，請求出點尸的坐標(biāo)及此時VPED與正方形ABCD

重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

12

專題40二次函數(shù)中的面積問題

【題型演練】

一、單選題

1.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y=-尤z+px+g的對稱軸為元=一3,過

其頂點M的一條直線，=履+。與該拋物線的另一個交點為N（-1,1）.點P的坐標(biāo)為（0,1）,

則APA/N的面積為（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出拋物線的解析式，并

將解析式化為頂點式求出點/的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式計算即可.

【詳解】解：???拋物線y=-V+px+4的對稱軸為x=-3,點N（T,1）是拋物線上的一

點，

——=—3,—1—p+q=1,

-2

解得：P=*,q=-4,

y=-x2-6x-4=-（x+3『+5,

VN（-1,1）,P（O,1）,

軸，且PN=1,

...△PMN的面積為：|xlx（5-l）=2,

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)對稱軸公式，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)頂點

坐標(biāo)的求法，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?湖北.漢川市實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，拋物線4：丫=/+&+。（。*0）與彳

軸只有一個公共點A（2,0）,與y軸交于點3（。,4）,虛線為其對稱軸，若將拋物線向下平移4

個單位長度得拋物線4,則圖中兩個陰影部分的面積和為（）

13

【答案】D

【分析】連接A8,OM,根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形

ABOM面積求解即可.

【詳解】設(shè)平移后的拋物線與對稱軸所在的直線交于點連接

VA（l,0）,B（0,2）

：.OA=2,OB=AM=4,

:拋物線是軸對稱圖形，

，圖中兩個陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積，

,:AM〃OB,AM^OB,

二四邊形ASOM為平行四邊形，

??$四邊形項。"=OBOA=4x2=8.

故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像的對稱性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)

圖像的對稱性轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積.

3.（2022?廣東?江門市新會東方紅中學(xué)二模）如圖，拋物線y=-（x+〃zy+4的頂點為P,將

拋物線向右平移3個單位后得到新的拋物線，其頂點記為設(shè)兩條拋物線交于點C,則

△PMC的面積為（）

14

【答案】C

【分析】根據(jù)題意過C作y軸的平行線，交PM于點H,交無軸于點D,進而依據(jù)兩條拋物

線交于點C,聯(lián)立方程得出C,最后利用S*MC=；PMVH即可求出答案.

【詳解】解：如圖過C作y軸的平行線，交PM于點、H,交無軸于點。，

由題意可得，平移后拋物線的解析式為：y=-(x+〃L3『+4,

?：P,M分別為兩個拋物線的頂點，

二P(-m,+3,4),PM=3,HD=4,

:兩條拋物線交于點C,

37

；?由一(x+m)9+4=—(x+m—3)9+4,可得。(務(wù)一九7)，

779

：.CD=~,CH=HD—CD=4——=-,

444

*/"D〃y軸，

；?HD_LPM,即CH為△PMC的高，

11Q27

??S^PMC=-PM-CH=-X3X-=-.

ZZ4o

故選：c.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)平移的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)

合思維分析是解題的關(guān)鍵.

4.(2019?浙江?瑞安市安陽實驗中學(xué)九年級期中)如圖，拋物線y=-V+2x+3與x軸交于A、

2兩點(A在2的左側(cè))，與丫軸交于點C,點尸是拋物線上位于x軸上方的一點，連接AP、

BP,分別以AP、2P為邊向△A2P外部作正方形4尸即、BPFG,連接2。、AG.點P從點

15

A運動到點8的過程中，AABO與AABG的面積和的變化情況是（）

A.先增大后減小B.先減小后增大

C.始終不變D.一直增大

【答案】C

【分析】令y=*+2a+3=0求出的長,過點D作DMLx軸于M,過點P作PNLx軸于

N,過點G作G。，無軸于。，利用一線三直角的全等模型證明ZW=AN,GQ=BN.從而

利用三角形的面積公式得出以.》+襄科0從而得解.

【詳解】解：令＞=一爐+2%+3=。，

解得：玉=-1,%2=3,

???A（-l,0）,B（3,0）,

.??AB=4.

過點。作。無軸于過點尸作PN，1軸于N,過點G作GQ_Lx軸于。,

???四邊形APEO溟正方形,

：.AD=PA,ZDAP=90°,

：.ZDAM^-ZNAP=180o-ZDAP=90o,

又軸，

,NDAM+NMDA=90。，

JZMDA=ZNAP9

9

：ZAMD=ZPNA=90°f/MDA=/NAP,AD=PAf

：.AAMD^APNA,

：.DM=AN.

16

同理可得：GQ=BN.

SAABD=^AB-DM,SAABG=^AB-GQ

2

S^ABD+SAABG=-AB-DM+-AB-GQ=-AB-AN+-AB-BN=-AB-(AN+BN)=-AB=8

...△48。與小ABG的面積和始終不變.

故選：C.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點,

三角形的面積公式等知識，涉及的模型是一線三直角的全等模型，構(gòu)造全等模型得出

DM=AN,GQ=3N是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?貴州銅仁.三模)如圖，拋物線丫=一/+辦+6與直線>=區(qū)+》相交于A(4,-3),

孫。,5)兩點，點C是拋物線的頂點.下列結(jié)論正確的個數(shù)()

(1)AB=4后；(2)拋物線為：y=-Y+2x+5；(3)當(dāng)0<x<4時，代數(shù)式尤?-4x的值

是負數(shù)；(4)△ABC的面積為6

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】A

【分析】對于(1),根據(jù)兩點之間距離公式判斷即可；對于(2),根據(jù)待定系數(shù)法求出關(guān)系

式判斷即可；對于(3),先求出直線的關(guān)系式，將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，觀察圖象可得答案；

對于(4),先求出拋物線的對稱軸，進而求出點C,M的坐標(biāo)，再將△ABC分成兩個三角形，

求出面積即可.

【詳解】(4,-3),B(0,5),

AB=7(4-0)2+(-3-5)2=4而.

所以(1)正確；

;點A(4,-3),B(0,5)在拋物線>=-/+以+6的圖象上，

.J-16+4Q+Z?=-3

,\b=5

17

a=2

解得

b=5

，拋物線得關(guān)系式為y=i+2x+5.

所以(2)正確；

?..點A(4,-3),B(0,5)在直線廣質(zhì)+6的圖象上,

.(4k+b=-3

力=5

%=-2

解得，＜，

[o=5

???一次函數(shù)的關(guān)系式為j=-2x+5.

2

將兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立，得y必.=—x。+2,x自+5①

[y2=-2x+5@

②-①，得產(chǎn)f-4x,

當(dāng)0VxV4時，直線在拋物線的下方，可知

*'.y2-y；<0,

即X2-4X<0.

所以（3）正確;

拋物線y=-/+2x+5的對稱軸是=02,,、=1,

-2a-2x（一1）

當(dāng)x=l時，y=-l+2+5=6,

：.C（1,6）.

當(dāng)時，y=-2+5=3,

：.M（1,3）,則CM=3,

：.SAABC=SABCM0ACM

=—x3xl+—x3x3

22

=6.

所以（4）正確.

正確的有4個.

故選：A.

18

【點睛】這是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的關(guān)

系式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，兩點之間的距離公式，三角形面積的求法等.

6.（2022.江蘇.九年級專題練習(xí)）如圖，點A是拋物線y=f圖象在第一象限內(nèi)的一個動點,

且點A的橫坐標(biāo)大于1,點E的坐標(biāo)是（0,1）,過點A作A8〃x軸交拋物線于點9過A、

2作直線AE、BE分別交x軸于點。、C,設(shè)陰影部分的面積為S,點A的橫坐標(biāo)為機，則S

關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.5=m2B.S=mC.S=2mD.S=m2-m

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知AO，m2),m,m2),E(0,1),得出AB=2相，再由陰影部分

的面積為S=(SAABC—S4ABE)+—^/^ABE)即可得解.

【詳解】解：由題意可知，A(m,m2),m,m2),E(0,1),AB=2m,

又軸，且過A、3作直線AE、BE分別交x軸于點。、C,所以由

S-(、△ABC-+(%AB￡>—/\ABE^

S=-x2mxm2-—x2mx(m2-1)+—x2mxm2--x2mx(m2-11

22v722v7

S=m3-m3+m+m3—m3+m

S=2m；

故選：C.

19

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標(biāo)系中三角形面積求法，利用點的坐標(biāo)表示

線段的長度是解題關(guān)鍵.

7.（2020?浙江臺州?九年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-N-?與x軸交

于。，A兩點，點2為x軸上一點且AB=3后，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得到AC,使

得點C恰好落在拋物線上，點尸為拋物線上一點，連接AP,PC,PC±AC,貝必B4c的面

積為（）

A.9B.3亞C.60D.3

【答案】D

【分析】（1）先求出點A坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)求出點C坐標(biāo)，進而得到ACAN、ACMP

為等腰直角三角形，設(shè)PM=CM=/〃，求出點P坐標(biāo)，進而求出PC長，根據(jù)直角三角形面

積公式即可求解

【詳解】解:把y=0代入函數(shù)y=-/-4x,得-/-4x=0,

解得不=0,x?=4,

故點A（-4,0）,

過點C作y軸的平行線交過點P與x軸的平行線于點M,交x軸于點N,

在RtAACN中，CA^=AC?sinZCAB=ABsin45°=372x^-=3=AN,

故點C(-1,3),

'：ZCAN=45°,則△ACN為等腰直角三角形，

'：PC±AC,

：.ZPCM=45°,

△CMP為等腰直角三角形，

20

設(shè)PM=CM=M,則點尸（-1-相，3+m）,

將點尸的坐標(biāo)代入y=---4x并解得：m=0（舍去）或1,

故點P的坐標(biāo)為（-2,4）,

由點尸、。的坐標(biāo)得：PC7PM?+MC?=也，

則ABAC的面積=；、4>/^=3乂3夜、后=3,

故選：D

【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理等知識，根據(jù)題意

添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

2

8.（2020?浙江杭州?九年級專題練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)y=§（x+3）（x-l）的圖象與x軸

交于點A、B,與y軸交于點C,頂點坐標(biāo)為￡>.貝UAABC與的面積之比是（）.

：|y

飛？

D、

A.-

3

【答案】B

【分析】首先求出C和D點坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式，可知SAABC：SAABD=BC邊上

的高之比，進而即可求解.

29428

［詳角軍］1.'y=-j（-^+3）（x-l）=-^2+-^-2=-（x+l）2--,

Q

???C點坐標(biāo)為（0,-2）,D點坐標(biāo)為（-1,

O

「△ABC與△ABD的底相同，高線長分別為2和

?°c-8_3

??'△ABC：OAABD=2:—.

34

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與平面幾何的綜合，掌握二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)以

及與y軸交點坐標(biāo)的求法，是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?浙江溫州?九年級期中）如圖，拋物線y=；/-2x+c與x軸交于點A,2兩點，與

y軸負半軸交于點C,其頂點為點。，E分別是AB,的中點，若ADEB與AACD的面

積比為9：10,則c的值為（）

21

y

35

B.-2c.D.-3

22

【答案】C

【分析】由題意可得可團=32￡).[%|，S4ABe=9必先|，由點。是AB的中點，&DEB與

△ACD的面積比為9：10,得到㈤=得屏|，由中點坐標(biāo)公式得，上仁汽2絲=34|，

99

yM=5yc5C，知為頂點，求得點河的橫坐標(biāo)，代入解析式，由縱坐標(biāo)相等得到關(guān)于c的

方程，解之即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，S^DEB=^BD.\yE\,S^ADC=^AD.\yc\,

???點。是AB的中點,

JAD=DB,

:△D硬與d8的面積比為9：10,

S萬皮＞?[九|y\Q

?3DEB__2_________二_

S*DCyc\10

1AT)^C|

，㈤=正1%|，

是破的中點，

.??由中點坐標(biāo)公式得，|%|=丐

2

當(dāng)尤=0時，yc=^x-2x+c=c,

y"=2|%|=4，

,?*yM<0,yc=c<0,

.99

c

?■yM=-yc=^'

為頂點，

22

將x=2代入y=~2x+c得,

19

—x272-2x2+c=2—4+c=c—2=—c,

解得c=T，

故選：C

99

【點睛】此題考查了二次函數(shù)的面積綜合題，求得加是解題的關(guān)鍵.

10.(2021?河南省淮濱縣第一中學(xué)九年級期末)如圖，二次函數(shù)y=/-2x-3的圖象與x軸

27

交于點A,B,交y軸于點C,點。在該函數(shù)第四象限內(nèi)的圖象上，若△BCD的面積為k，

O

則點。的橫坐標(biāo)是().

【答案】B

27

【分析】此題根據(jù)題意先求出B,C兩點坐標(biāo)，再根據(jù)△BCD的面積為利用分割法表

O

示出面積表達式，結(jié)合二次函數(shù)聯(lián)立方程求解即可.

【詳解】解：解方程X2-2X-3=0

解得：X]=-Lx2=3,

則A、B的坐標(biāo)是(-1,0)和(3,0),

又>=尤2-2無一3,

.?.C的坐標(biāo)是(0,-3)

設(shè)D的坐標(biāo)為(a,b),

作DM_LAB于M,如圖:

23

Vl

八°/Bx

27

則S&BCD=^DMOC+SARDM-*^ABOC=

1II27

即一a（3-b）b（3-a）x3x3=—,

2228

又D在拋物線上，

,,a2—2a—3=b,

3is

聯(lián)立方程解得：a=-,b=-7,

24

3

...點D的橫坐標(biāo)是:

故選：B.

【點睛】此題考查二次函數(shù)問題中根據(jù)圖形面積求坐標(biāo)，根據(jù)圖像性質(zhì)找出相關(guān)坐標(biāo)，并利

用割補法表示面積是關(guān)鍵，計算量較大.

13

11.（2018?山東濟南三模）如圖，拋物線yEgV+x+i與坐標(biāo)軸交于A］兩點，與y軸

交于點C.6//AB,如果直線丫=以-2（1＜工0）平分四邊形080。的面積，那么上的值為（）

【答案】B

【分析】設(shè)直線'=履-2交X軸于點E,交線段CD于點F,利用一次函數(shù)函數(shù)圖象上點的

坐標(biāo)特征及二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A、B、C、D、E、F的坐標(biāo)，由直線

24

y=履-2（左WO）平分四邊形OBDC的面積，可得出關(guān)于k的分式方程，解出k值后經(jīng)檢驗

后即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)直線、=依-2交x軸于點E,交線段CD于點F,如圖所示，

13

:拋物線與坐標(biāo)軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,

3

?,?點A（-l,0）,點B（3,0）,點C（0,-）,

、1,3」士1233

當(dāng)）=7時，有-7%+%+彳=7，

2222

解得：再=。，X2=2

3

?,?點D（2,-）,

???CD=2,

???直線丁=丘-2交x軸于點E,交線段CD于點F,

273

???點E（7,0）,點F（^，—）,

k2k2

直線y=kx-2（kw0）平分四邊形OBDC的面積，

.27CD+OB5

??—I---=-----------------=——,

k2k22

解得：左=，，

經(jīng)檢驗，左=《是原方程的解，符合題意.

故答案為：B.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)圖象上

點的坐標(biāo)特征以及梯形的面積，由直線>=依-2（左片0）平分四邊形OBDC的面積，找出關(guān)

于k的分式方程是解題的關(guān)鍵.

25

二、填空題

12.(2022?北京市師達中學(xué)九年級階段練習(xí))已知拋物線y=Y-4與x軸交于A,8兩點,

與y軸交于點C,貝必ABC的面積為.

【分析】利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點A、8、C的坐標(biāo)，再利用三角形的面

積公式即可求出AABC的面積.

【詳解】解：當(dāng)尸0時，產(chǎn)？_4=-4,

.??點C的坐標(biāo)為(0,T)；

當(dāng)產(chǎn)。時，有f一4=0,

解得：％=-2,x2=2,

???點A的坐標(biāo)為(-2,0),點8的坐標(biāo)為(2,0),(假設(shè)點A在點8的左側(cè))，

:.AB=4,

故答案為：8.

【點睛】本題考查了拋物線與無軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及三角形的面積,

利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?安徽合肥?九年級階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，拋物線

y=a(x-3)2+4(a<0)的頂點為A,與拋物線y=辦?+4交于龍軸上方的點

(1)點B的橫坐標(biāo)是

(2)過點3作平行于x軸的直線，分別與兩條拋物線的另一個交點為D,C,連結(jié)ADAC,

OC,OD,則四邊形ACOD的面積為

26

3

【答案】；12

2

【分析】(1)拋物線y=“(x-3y+4是由拋物線>="2+4向右平移3個單位得到的，8點

橫坐標(biāo)為兩條對稱軸距離的一半，即可得解；

(2)利用四邊形的面積=5AAs+S"D，進行計算即可.

【詳解】解：(1)?=。(無一3『+4的對稱軸為：x=3；、="?+4對稱軸為：x=0,

由圖象得：拋物線y=a(x-3『+4是由拋物線y=依z+4向右平移3個單位得到的，

B點橫坐標(biāo)為兩條對稱軸距離的一半，

3

，8點橫坐標(biāo)為：-：

(2)由題意得：A(3,4),

BC=BD=3,CD=6,

：.四邊形ACOD的面積=5AAe?+=g°?%=gx6x4=12.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移，圖象和性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從圖象

中獲取有效信息是解題的關(guān)鍵.

14.(2022.重慶一中九年級階段練習(xí))如圖，已知A(1,1),B(3,9)是拋物線>=/上

的兩點，在y軸上有一動點尸，當(dāng)△南8的周長最小時，則此時的面積為.

【答案】6

【分析】根據(jù)拋物線y=V的性質(zhì)，作出8關(guān)于y軸的對稱點連接交y軸于尸，點

產(chǎn)即為所求，再求出△以8的面積即可.

【詳解】解：如圖，作出8關(guān)于y軸的對稱點則BB'Ly軸于點連接AB，交y軸于尸，

27

則點P就是使△PAB的周長最小時的位置.

???拋物線y=V的對稱軸是y軸，B、&關(guān)于y軸對稱，

點尸在拋物線y=/上，且PB=PB「

/.PA+PB=PA+PB'=AB',

.?.此時4抬8的周長最小，

；B(3,9),

B'(-3,9),

/.BB'=6,點，的坐標(biāo)是(0,9),

VA(1,1),

...點A到88'的距離為9-1=8,

設(shè)直線AE的直線方程為y=kx+b,把點A和點B'的坐標(biāo)代入后得到，

.j-3k+b=9

"[k+b^l，

\k=-2

解得]w，

[b=3

二直線4"的解析式為y=-2x+3,

當(dāng)x—0時，y=3,

點的坐標(biāo)為(0,3),

：.PH=OH~OP=6,

此時S“PAB=S^ABB'~S^PBB'=-x6x8--x6x6=6,

即4必B的面積為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)

法求解析式，作出8的對稱點是本題的關(guān)鍵.

15.(2022?福建?莆田擢英中學(xué)九年級階段練習(xí))如圖，已知A,B,C是函數(shù)y=Y圖象上

的動點，且三點的橫坐標(biāo)依次為a+1,a,。一1.小華用軟件GeoGebra對AABC的幾何特

28

征進行了探究，發(fā)現(xiàn)AABC的面積是個定值，則這個定值為

【分析】作AD_Lx軸于。，軸于E,CP_Lx軸于R求得A、B、C的坐標(biāo)，即可求得

AD=(fl+1)2=a2+2a+l,BE=a2,CF=(a-1)2=a2-2a+l,然后根據(jù)S」48C=S解於AZJPC-S赭形

ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面積是定值1.

【詳解】解：如圖，作AO_Lx軸于。，BEax軸于￡,CP_Lx軸于尸，

VA,B,C三點的橫坐標(biāo)依次為。+1,a,a-1,

.".AD=(a+1)2=a2+2a+l,BE=a2,CF=(o-l)2=a2-2a+l,

?'?S^ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC

=y(a2+2a+l+a2-2a+l)x2-；(a2+2a+l+a2)xl-；(a2+a2-2a+l)xl

=1;

...△ABC的面積是個定值，這個定值為1.

故答案為：1.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，梯形的性質(zhì)以及梯形的面積.此題難度

較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

三、解答題

16.(2022?黑龍江?哈爾濱市第六十九中學(xué)校九年級階段練習(xí))如圖，拋物線y=訃2-2ax+c

與尤軸交于點A、點8,與y軸交于點C,A點坐標(biāo)為(TO),連接AC,若tanZACO=；.

29

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸為第一象限拋物線上一點，連接AP、BP,設(shè)點尸的橫坐標(biāo)為f,44B尸的面積為S,

求S與f的函數(shù)解析式：

【答案】⑴尸2-2x-3

(2)S=2r2—4f—6(f＞3)

【分析】(1)根據(jù)A點坐標(biāo)為tan/ACO=；求得點C的坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法求

解析式即可求解；

(2)令函數(shù)解析式中、=0,求得B點的坐標(biāo)，進而根據(jù)三角形面積公式即可求解.

【詳解】(1)解：：A點坐標(biāo)為(TO),tanZACO=1,

.*.OA=1,OC=3,

.?.C(0,-3),

將點A(—l,0),。(0,-3),代入＞=加一2ax+。得，

ja+2a+c=0

[c=-3

[a=l

解得Q，

[c=-3

y=x2-2x-3；

(2)解：由21—3,令y=0,即2%—3=0,

解得：%=T,%2=3,

???B(3,0),

AB=4,

依題意，點尸的橫坐標(biāo)為乙AABP的面積為s,則網(wǎng)b-2"3),

S=gx4x?2_2f-3)=2』-4r-6,

即S=2/-4-6。＞3).

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，求拋物線與坐標(biāo)軸交點問題，已知正切求邊長,

30

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?吉林省第二實驗學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，地物線y=ad+6x+c與x軸交于

A（-l,0）,3（3,0）兩點,與y軸交于點C（0,-3）.

（1）求出該地物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）點P是拋物線上的一個動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為〃?（0（機＜3）.直接寫出△尸CB的面積的

最大值.

【答案】⑴y=--2x-3

【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+l）（x-3）,把點C（0,-3）代入即可求解；

（2）設(shè)尸（加,加2-2m-3）,根據(jù)+△POB-S說oc即可求出S.PCB與m的函數(shù)關(guān)系

式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+l）（x—3）,

???拋物線與y軸交于點C（o,-3）,

/.-3=fl（0+l）（0-3）,