【初中數(shù)學(xué)】探索三角形全等的條件（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第三節(jié)探索三角形全等的條件（第2課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析（一）教學(xué)內(nèi)容教材101～102頁(yè)，《利用“角邊角”“角角邊”判定三角形全等》（二）教學(xué)內(nèi)容解析“探索三角形全等的條件”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)要素和性質(zhì)、全等圖形的特征的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形全等的條件和特征.它與前面探索三角形全等的判別方法（“SSS”）和下一節(jié)課要學(xué)習(xí)的三角形全等的判別方法（“SAS”）作為探索三角形全等的核心內(nèi)容，為后面探索直角三角形全等奠定了基礎(chǔ)，是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.本節(jié)是第二課時(shí)，主要內(nèi)容是探索三角形全等的條件（“ASA”“AAS”）和簡(jiǎn)單的應(yīng)用.它是證明線段相等，角相等的重要方法，是今后幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是初中階段的重要內(nèi)容.二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求要求學(xué)生掌握基本事實(shí)“兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等”和“兩角及其一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等”，能夠運(yùn)用“角邊角”（ASA）和“角角邊”（AAS）這兩個(gè)判定條件準(zhǔn)確判斷兩個(gè)三角形是否全等。學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力、分析能力和歸納總結(jié)能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和邏輯思維能力，使學(xué)生初步形成解決問題的基本策略。三、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析（一）教學(xué)目標(biāo)邏輯推理：學(xué)生通過(guò)探究“角邊角”和“角角邊”全等判定方法，能夠運(yùn)用幾何定理進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，理解并掌握ASA和AAS全等條件的邏輯結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)依據(jù)已知條件和定理進(jìn)行有條理的思考，完成三角形全等的證明過(guò)程，提升邏輯思維和推理能力。幾何直觀：借助直觀演示、實(shí)際操作，如用直尺、量角器等工具進(jìn)行三角形的繪制、剪裁、拼接，觀察和感受“角邊角”“角角邊”條件下三角形的形狀和大小關(guān)系，增強(qiáng)對(duì)三角形全等概念的空間感知和直觀認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生借助圖形理解和解決問題的能力。數(shù)學(xué)抽象：在探索三角形全等條件的過(guò)程中，能夠從具體的三角形實(shí)例中，提煉出全等三角形的本質(zhì)屬性，形成抽象的“角邊角”“角角邊”等幾何概念，并能將這些抽象概念應(yīng)用到具體問題中，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象再到具體的思維轉(zhuǎn)化，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。數(shù)學(xué)建模：通過(guò)解決與“角邊角”“角角邊”相關(guān)的實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)將實(shí)際情境中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用三角形全等的知識(shí)進(jìn)行分析和求解，體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值，提升數(shù)學(xué)建模能力。（二）目標(biāo)解析《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確指出：目標(biāo)1的要求是：在這節(jié)課中，學(xué)生需要理解“角邊角”（ASA）和“角角邊”（AAS）判定定理的推導(dǎo)過(guò)程。從已知的兩角及其夾邊或兩角及其中一角的對(duì)邊分別相等的條件出發(fā)，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚C明兩個(gè)三角形全等。在給出具體的三角形條件后，學(xué)生要能夠有條理地寫出證明過(guò)程，運(yùn)用已學(xué)的定理和邏輯規(guī)則，清晰地闡述為什么這兩個(gè)三角形是全等的。這一過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使他們能夠進(jìn)行嚴(yán)密的推理和論證。目標(biāo)2的要求是：通過(guò)讓學(xué)生觀察、操作和實(shí)驗(yàn)，直觀地感受“角邊角”和“角角邊”條件下三角形全等的情況。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠更加直觀地理解三角形全等的概念，以及“角邊角”“角角邊”判定定理的實(shí)際意義。幾何直觀不僅可以幫助學(xué)生更好地理解抽象的幾何概念，還能為他們解決幾何問題提供思路和方法，使學(xué)生能夠通過(guò)圖形直觀地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題。目標(biāo)3的要求是：從具體的三角形實(shí)例中，學(xué)生需要抽象出“角邊角”和“角角邊”的本質(zhì)特征。這種從具體到抽象的過(guò)程，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，提高他們的抽象思維能力。同時(shí)，學(xué)生在運(yùn)用這些抽象的判定定理解決問題時(shí)，又需要將抽象的概念具體化，進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)抽象的理解和應(yīng)用。目標(biāo)4的要求是：在實(shí)際生活中，有許多問題可以通過(guò)構(gòu)建三角形全等的模型來(lái)解決。在這節(jié)課中，學(xué)生要學(xué)會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用“角邊角”和“角角邊”判定定理建立數(shù)學(xué)模型。通過(guò)這樣的過(guò)程，學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性和價(jià)值，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)。四、學(xué)生學(xué)情分析學(xué)生基礎(chǔ)情況在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了“邊邊邊”（SSS）判定三角形全等的方法，掌握了通過(guò)探究條件來(lái)判定三角形全等的基本思路，對(duì)利用尺規(guī)作圖來(lái)構(gòu)造三角形也有了一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。然而，部分學(xué)生在幾何圖形的觀察、分析以及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的規(guī)范表達(dá)方面可能仍存在不足，需要在課堂學(xué)習(xí)中進(jìn)一步加強(qiáng)指導(dǎo)和訓(xùn)練。學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)準(zhǔn)確理解判定定理：“角邊角”（ASA）和“角角邊”（AAS）這兩種判定方法在表述上較為相似，學(xué)生可能會(huì)混淆兩角的位置關(guān)系，難以準(zhǔn)確區(qū)分“兩角及其夾邊”和“兩角及其中一角的對(duì)邊”這兩種不同的條件組合，導(dǎo)致在應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。學(xué)生學(xué)習(xí)需求渴望直觀體驗(yàn)：由于幾何知識(shí)相對(duì)抽象，學(xué)生需要通過(guò)更多直觀的演示、操作活動(dòng)來(lái)幫助理解“角邊角”和“角角邊”判定定理的含義。在應(yīng)用判定定理進(jìn)行證明時(shí)，學(xué)生迫切需要教師給予具體的分析方法和解題思路的指導(dǎo)。如如何分析已知條件，如何尋找圖形中的隱含條件，如何根據(jù)條件選擇合適的判定定理等，幫助他們提高解題能力。五、教學(xué)策略分析（一）教學(xué)方法選擇首先鑒于“角邊角”“角角邊”的判定條件較為抽象，教師可借助多媒體課件，通過(guò)動(dòng)畫演示兩個(gè)三角形在滿足兩角及其夾邊分別相等或兩角及其中一角的對(duì)邊分別相等時(shí)，能夠完全重合的過(guò)程，直觀地呈現(xiàn)三角形全等的條件。其次在引入新的判定方法時(shí)，教師可以提出問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究。教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)情境導(dǎo)入活動(dòng)首先創(chuàng)設(shè)一個(gè)實(shí)際生活情境，通過(guò)情境，引發(fā)學(xué)生的興趣和好奇心，讓學(xué)生意識(shí)到學(xué)習(xí)三角形全等判定方法的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，從而自然地引入本節(jié)課的內(nèi)容。其次組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)。在探究“角邊角”“角角邊”判定定理的過(guò)程中，小組內(nèi)成員分工合作，分別進(jìn)行畫圖、測(cè)量、裁剪、比較等操作，并相互交流自己的發(fā)現(xiàn)和想法。（三）教學(xué)資源利用充分利用教材中的例題、習(xí)題和探究活動(dòng)。教師可以對(duì)教材中的例題進(jìn)行詳細(xì)講解，引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路，規(guī)范書寫過(guò)程。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生自主完成教材中的習(xí)題，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣购脱由?。（四）教學(xué)評(píng)價(jià)策略在課堂教學(xué)過(guò)程中，關(guān)注學(xué)生的參與度、表現(xiàn)和進(jìn)步情況。觀察學(xué)生在小組合作中的表現(xiàn)，是否積極參與討論、發(fā)表自己的觀點(diǎn)；關(guān)注學(xué)生在探究活動(dòng)中的操作和思考過(guò)程，及時(shí)給予鼓勵(lì)和指導(dǎo)。通過(guò)課堂提問、練習(xí)等方式，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和方法。通過(guò)單元測(cè)試、作業(yè)等方式，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行全面評(píng)價(jià)。六、教學(xué)重難點(diǎn)（一）重點(diǎn)：掌握判定三角形全等的“ASA”和“AAS”條件。（二）難點(diǎn)：能夠進(jìn)行有條理的思考并進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。七、教學(xué)過(guò)程教學(xué)流程活動(dòng)一：回顧導(dǎo)入，引出新課【回顧引入】1.什么叫全等三角形?能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫作全等三角形。2.我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了哪種判定兩個(gè)三角形全等的方法?邊邊邊(SSS)。3.由前面的討論我們知道，如果給出一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)度，那么由此得到的三角形都是全等的。如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢?每種情況下得到的三角形都全等嗎?這就是今天這節(jié)課我們將要探討的問題！設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)設(shè)置富有階梯性的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，為學(xué)習(xí)新課做鋪墊。活動(dòng)二：實(shí)踐探究，獲取新知探究點(diǎn)1“角邊角”判定三角形全等經(jīng)過(guò)活動(dòng)一中的討論，我們知道了如果已知一個(gè)三角形的兩角及一邊，有以下幾種情況：師：它們能判定兩個(gè)三角形全等嗎？師：我們先來(lái)看第①種情況（“兩角及兩角所夾的邊分別相等”）會(huì)怎樣呢？操作1教師將學(xué)生分為幾個(gè)小組，由小組合作，選擇兩個(gè)角和一條線段作為三角形的兩個(gè)內(nèi)角及其夾邊，并用尺規(guī)作出這個(gè)三角形。（以下示例供教師參考：比如三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是60°和80°，它們所夾的邊為2cm）問題1你作的三角形與同伴作的一定全等嗎？全等。操作2先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等)。把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？全等。由此我們可以得出結(jié)論：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“角邊角”或“ASA”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因?yàn)椤螦＝∠A′,AB＝A′B′，∠B＝∠B′，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABC≌△A′B′C′。問題2回顧上述作圖過(guò)程，你能總結(jié)出“已知三角形的兩角及其夾邊，用尺規(guī)作這個(gè)三角形”的方法和步驟嗎？如圖，已知∠α，∠β，線段c，用尺規(guī)作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c。例1如圖，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，試說(shuō)明：△ABC≌△DCB。解：在△ABC和△DCB中，因?yàn)椤螦BC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABC≌△DCB?！緦?duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P102隨堂練習(xí)第1題。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)踐操作，使學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證、得出結(jié)論的過(guò)程。在交流合作中探索出三角形全等的條件——兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，讓他們感受成功的喜悅。培養(yǎng)學(xué)生分析、探究問題的能力，提高他們歸納知識(shí)的能力、組織語(yǔ)言及表達(dá)的能力。探究點(diǎn)2利用“角角邊”判定三角形全等問題第②種情況：如果“兩角及一邊”條件中的邊是其中一角的對(duì)邊，情況會(huì)怎樣呢？你能將它轉(zhuǎn)化為“探究點(diǎn)1”中的條件嗎？與同伴進(jìn)行交流。由三角形內(nèi)角和定理可得出第三個(gè)角的度數(shù)也是相等的，這樣便可以轉(zhuǎn)化成已知兩角及其夾邊的情況，因此已知兩角及一角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形也是全等的。結(jié)論：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫為“角角邊”或“AAS”。用法：在△ABC和△A′B′C′中，因?yàn)椤螦＝∠A′,∠B＝∠B′，AC=A′C′，根據(jù)三角形全等的判定條件“AAS”，所以△ABC≌△A′B′C′。例2如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，試說(shuō)明：AB=AD。解：因?yàn)锳B⊥BC，AD⊥DC，所以∠B=∠D=90°。在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠B=∠D，AC=AC，根據(jù)三角形全等的判定條件“AAS”，所以△ABC≌△ADC，所以AB=AD。設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步滲透分類和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，完善兩角及一邊的討論，并用例題使學(xué)生能在具體題目中掌握三角形全等的條件“角角邊(AAS)”的使用，并能運(yùn)用相應(yīng)的條件進(jìn)行有條理的思考及簡(jiǎn)單的推理?；顒?dòng)三：典例精講，升華提高例如圖，∠ACB=∠B=90°，點(diǎn)E在BC上，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CF交BD于點(diǎn)D，且CD=AE。試說(shuō)明：AC=BC。解：因?yàn)椤螦CB=90°，CF⊥AE，所以∠ACF+∠BCD=∠ACF+∠CAF=90°。所以∠BCD=∠CAF，即∠CAE=∠BCD。在△ACE和△CBD中，因?yàn)椤螦CE=∠B，∠CAE=∠BCD，AE=CD，根據(jù)三角形全等的判定條件“AAS”，所以△ACE≌△CBD。所以AC=BC?！緦?duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，AB∥DE，B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上，∠A=90°，EC⊥BD，且AB=CD。試說(shuō)明：AC=CE。解：因?yàn)锳B∥DE，所以∠B=∠D。因?yàn)镋C⊥BD，∠A=90°，所以∠DCE=∠A=90°。在△ABC和△CDE中，因?yàn)椤螧=∠D，AB=CD，∠A=∠DCE，根據(jù)三角形全等的判定條件“ASA”，所以△ABC≌△CDE。所以AC=CE。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題和對(duì)應(yīng)訓(xùn)練進(jìn)一步鞏固新知，使學(xué)生掌握用垂直、互余、平行、等量代換等找等角的方法，再用兩角一邊判定兩個(gè)三角形全等?；顒?dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】相應(yīng)練習(xí)?！菊n堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.通過(guò)兩角及其夾邊判定三角形全等的定理是什么？2.已知三角形的兩角及其夾邊，如何用尺規(guī)作這個(gè)三角形？3.通過(guò)兩角及一角的對(duì)邊判定三角形全等的定理是什么？它是如何通過(guò)轉(zhuǎn)化得出的？【作業(yè)布置】1.教材P106～109習(xí)題4.3第2，3，4，7，14題。2.相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練。八、板書設(shè)計(jì)九、教學(xué)反思（一）課前反思教學(xué)內(nèi)容把握：新北師大版教材在知識(shí)編排上注重知識(shí)的生成過(guò)程，“角邊角”和“角角邊”判定定理承接了之前全等三角形及“邊邊邊”判定的內(nèi)容。在備課過(guò)程中，思考如何將這兩個(gè)判定定理自然地融入學(xué)生已有的知識(shí)體系中，還需進(jìn)一步梳理它們之間的邏輯關(guān)系，確保教學(xué)內(nèi)容的連貫性和系統(tǒng)性。同時(shí)，對(duì)于定理的推導(dǎo)和應(yīng)用，要準(zhǔn)確把握教學(xué)的深度和廣度，避免過(guò)度拓展增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。教學(xué)方法選擇：計(jì)劃采用直觀演示、探究式學(xué)習(xí)和講授法相結(jié)合的教學(xué)方法。但考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，不同教學(xué)方法是否能滿足所有學(xué)生的學(xué)習(xí)需求存在疑問。比如，直觀演示對(duì)于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生可能更有助于理解，但對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生可能缺乏挑戰(zhàn)性；探究式學(xué)習(xí)能激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性，但部分學(xué)生可能在自主探究過(guò)程中遇到困難，需要教師及時(shí)引導(dǎo)和幫助。因此，如何在教學(xué)過(guò)程中靈活調(diào)整教學(xué)方法，是需要進(jìn)一步思考的問題。學(xué)生學(xué)情分析：雖然學(xué)生已經(jīng)具備了一定的幾何基礎(chǔ)和探究能力，但對(duì)于抽象的幾何判定定理，理解和應(yīng)用起來(lái)可能仍有困難。尤其是在區(qū)分“角邊角”和“角角邊”的條件時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)混淆。而且，不同學(xué)生在邏輯推理和數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)方面的能力參差不齊，如何根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)，幫助每個(gè)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上有所提高，是課前需要重點(diǎn)關(guān)注的問題。（二）課后反思教學(xué)目標(biāo)達(dá)成：從課堂反饋和課后作業(yè)情況來(lái)看，大部分學(xué)生能夠理解“角邊角”和“角角邊”判定定理的內(nèi)容，并能運(yùn)用定理進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的三角形全等證明。但仍有少數(shù)學(xué)生對(duì)定理的理解不夠深入，在應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)條件找不準(zhǔn)、邏輯推理不