【初中數(shù)學】簡單的軸對稱圖形（第2課時）教學設計+2024-2025學年北師大版數(shù)學七年級下冊

第二節(jié)簡單的軸對稱圖形（第2課時）教學設計一、教學內(nèi)容和內(nèi)容解析（一）教學內(nèi)容教材128～130頁，《線段垂直平分線的性質(zhì)》（二）教學內(nèi)容解析本節(jié)課是在學生感受了現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，探索并體驗了軸對稱圖形的特征的基礎上進一步認識簡單的軸對稱圖形——線段，主要學習線段的軸對稱性，線段的垂直平分線定義及性質(zhì)。這既是對前面知識的深化和應用，又是后續(xù)畫圖形的對稱軸和畫軸對稱圖形的基礎，還是今后探究等腰三角形、矩形、菱形、正方形等軸對稱圖形的性質(zhì)的預備知識和方法指導，因此處于非常重要的位置，起著承上啟下的作用。二、課程標準內(nèi)容要求（一）知識與技能1.理解概念：學生要理解線段垂直平分線的定義，明確它是垂直且平分一條線段的直線。2.掌握性質(zhì)：掌握線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，能夠準確地用文字語言和符號語言表述這一性質(zhì)。3.學會作圖：會用尺規(guī)作線段的垂直平分線，清楚尺規(guī)作圖的步驟和原理，能獨立完成作圖。（二）數(shù)學思考1.直觀感知到抽象概括：經(jīng)歷從折紙、畫圖等具體操作活動中，抽象出線段垂直平分線性質(zhì)的數(shù)學模型的過程，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。2.邏輯推理能力培養(yǎng)：在探究和證明線段垂直平分線性質(zhì)的過程中，進行簡單的邏輯推理，能從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、定理等進行有條理的思考和推導。（三）問題解決1.實際問題轉化：能運用線段垂直平分線的性質(zhì)解決一些簡單的實際問題和數(shù)學問題，將實際問題中的距離相等問題轉化為線段垂直平分線性質(zhì)的數(shù)學模型來解決。2.方法與策略運用：在解決問題的過程中，學會運用觀察、測量、猜想、驗證等方法，體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系，積累解決問題的經(jīng)驗，提高解決問題的能力。（四）情感態(tài)度1.學習興趣激發(fā)：通過感受線段垂直平分線在生活中的廣泛應用，如建筑設計、橋梁構造等領域，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學習數(shù)學的興趣和積極性。2.科學態(tài)度培養(yǎng)：在探究線段垂直平分線性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和勇于探索的精神，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣。三、教學目標和目標解析（一）教學目標1.學生能從具體的實例和圖形中，抽象出線段垂直平分線的概念和性質(zhì)，理解其本質(zhì)特征，并用準確的數(shù)學語言進行描述。2.經(jīng)歷線段垂直平分線性質(zhì)的探索與證明過程，能運用演繹推理和歸納推理等方法，證明性質(zhì)定理及判定定理，發(fā)展邏輯思維能力。3.通過觀察、操作、折紙等活動，直觀感受線段垂直平分線的對稱性，能想象出線段垂直平分線上的點與線段兩端點的位置關系，培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀能力。4.能運用線段垂直平分線的性質(zhì)，將實際問題轉化為數(shù)學模型，如解決選址問題等，提高解決實際問題的能力。（二）目標解析《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中明確指出：目標1的要求：學生要能從生活中的建筑結構、圖案設計等實例，以及幾何圖形中，忽略其他非本質(zhì)屬性，提煉出線段垂直平分線“垂直且平分線段”這一關鍵特征，并用文字語言、符號語言準確表達性質(zhì)，如“若直線MN是線段AB的垂直平分線，點P在MN上，則PA=PB”。目標2的要求：在探索性質(zhì)時，學生要通過觀察、測量、折疊等方法提出猜想，再運用三角形全等的知識進行嚴謹證明。在證明過程中，能清晰地闡述每一步的依據(jù)，從已知條件逐步推導出結論，培養(yǎng)邏輯推理的嚴密性和條理性。目標3的要求：學生通過動手折紙、觀察圖形等活動，直觀認識到線段沿垂直平分線對折后兩端點重合，進而想象出垂直平分線上任意一點到兩端點的距離相等。能在復雜圖形中識別出線段垂直平分線的模型，想象出點與線段的位置關系，為解決幾何問題提供直觀支持。目標4的要求：當遇到如確定到兩個村莊距離相等的公交站點位置等實際問題時，學生能意識到可以利用線段垂直平分線的性質(zhì)，將其轉化為數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，通過作線段的垂直平分線來確定點的位置，從而解決實際問題，體會數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系。四、學生學情分析（一）學生基礎情況七年級學生此前已接觸了線段、角等基本圖形，對圖形的直觀認識有一定基礎。同時，他們掌握了全等三角形的相關知識，這為理解線段垂直平分線性質(zhì)的證明過程提供了理論支撐。比如，在之前的學習中，學生通過測量、折疊等方法探究過一些圖形的特征，具備初步的動手操作和觀察歸納能力。而且，他們已經(jīng)能夠運用簡單的幾何語言進行表達，為學習線段垂直平分線的性質(zhì)及其相關證明奠定了語言基礎。（二）學生學習難點1.抽象概念理解難：線段垂直平分線的性質(zhì)較為抽象，學生難以從具體的圖形中準確提煉出其本質(zhì)特征。2.邏輯推理難掌握：在證明線段垂直平分線性質(zhì)的過程中，需要運用嚴謹?shù)倪壿嬐评砗鸵?guī)范的證明步驟，這對正處于從形象思維向抽象思維過渡階段的七年級學生來說，難度較大。他們常常在證明思路的構建以及證明過程的書寫上出現(xiàn)錯誤，難以清晰地闡述每一步的依據(jù)。3.知識應用遷移難：將線段垂直平分線的性質(zhì)應用到實際問題或復雜的幾何圖形中時，學生很難準確識別出問題中蘊含的數(shù)學模型，難以將所學知識靈活遷移運用，無法快速找到解決問題的方法。（三）學生學習需求1.方法指導需求：在證明過程和解決問題的方法上，學生急需教師給予詳細的指導。他們希望教師能夠逐步引導如何分析問題、構建證明思路以及規(guī)范書寫步驟，從而掌握邏輯推理和解決幾何問題的方法。2.實踐應用需求：學生對貼近生活實際的數(shù)學應用場景充滿興趣，希望通過解決實際問題來加深對知識的理解和掌握。五、教學策略分析（一）情境導入策略創(chuàng)設生活情境，比如展示城市地圖，提問如何確定到兩個地鐵站距離相等的公交站點位置。通過這樣的方式激發(fā)學生的好奇心與探索欲，讓他們意識到數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，快速集中注意力，積極投入到線段垂直平分線性質(zhì)的學習中。探究式教學策略組織學生開展探究活動，如讓學生自己畫線段、作垂直平分線，在垂直平分線上任取點測量到兩端點距離，自主歸納猜想性質(zhì)。之后引導學生小組討論，嘗試證明猜想，教師巡視指導，最后小組代表發(fā)言展示成果，培養(yǎng)學生自主探究與合作交流能力。分層教學策略依據(jù)學生的學習能力、知識基礎分層，設計基礎、提高、拓展等不同層次的練習題，如基礎題是直接運用性質(zhì)計算線段長度，提高題是在簡單幾何圖形中運用性質(zhì)證明線段相等，拓展題是解決實際生活中的復雜問題。布置分層作業(yè)，讓每個層次的學生都能得到發(fā)展。數(shù)學思想滲透策略在教學過程中，有意識地滲透轉化、類比、數(shù)形結合等數(shù)學思想。如在證明性質(zhì)時，將證明線段相等的問題轉化為證明三角形全等，體現(xiàn)轉化思想；在探究性質(zhì)時，將新知識與已學的軸對稱知識類比，幫助學生理解，通過圖形展示性質(zhì)體現(xiàn)數(shù)形結合思想，提升學生數(shù)學思維能力。六、教學重難點（一）重點：線段垂直平分線的性質(zhì)定理。（二）難點：線段垂直平分線的性質(zhì)定理的探索與應用。七、教學過程教學流程活動一：舊知回顧，新課導入【問題引入】1.什么樣的圖形叫作軸對稱圖形？如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸。2.下列各圖中，可看作軸對稱圖形的是（B）3.線段是軸對稱圖形嗎？設計意圖：通過復習舊知，并設問直接引出本節(jié)課的學習內(nèi)容，激發(fā)學生的求知欲。活動二：交流合作，探究新知探究點1線段的垂直平分線的性質(zhì)操作1如圖（見教材128頁圖5-12），在紙片上畫一條線段AB，然后對折AB，使A，B兩點重合，設折痕與AB的交點為O。問題1（1）點O是線段AB的中點嗎？折痕與線段AB垂直嗎？點O是線段AB的中點，折痕與線段AB垂直。（2）線段AB是軸對稱圖形嗎？請描述它的對稱軸的特點。歸納總結：線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸。(3)如何定義線段的這條對稱軸呢？概念引入：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線（簡稱中垂線）。操作2如圖（見教材129頁圖5-13），直線l是線段AB的垂直平分線，點C是l上的任意一點。在線段AB上畫出以直線l為對稱軸的一組對應點D和D′，連接CD和CD′。問題2（1）你認為線段CD和CD′之間有什么關系？說說你的理由。CD=CD′?？梢酝ㄟ^說明三角形全等，再利用其對應邊相等的性質(zhì)得到CD=CD′。（2）特別地，當點D與點A重合時，點D′位于什么位置？此時，線段CD和CD′之間還有（1）中的關系嗎？由此你能得到什么結論？點D′與點B重合。線段CD和CD′之間還有（1）中的關系，即CD=CD′。例1如圖，在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，邊AB的垂直平分線交AC于點D，求△BDC的周長。解：因為邊AB的垂直平分線交AC于點D，所以AD=BD。所以△BDC的周長=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=6+4=10。【對應訓練】教材P130隨堂練習第1題。設計意圖：通過折紙活動使學生認識到線段的對稱性，從而引入線段的垂直平分線的概念，并在此基礎上探索其性質(zhì)，再通過例題運用這一性質(zhì)鞏固所學，使知識在傳授的過程中達到層層深入、循序漸進的教育教學效果。探究點2線段的垂直平分線的作法如圖，已知線段AB，如何作出它的垂直平分線？假設線段AB的垂直平分線已作出，請回答下列問題：問題1這條直線有什么特征？這條直線與AB的交點是AB的中點，且與AB垂直，任取直線上一點，到點A，B的距離相等。問題2如何確定這條直線上的兩個點？用三角尺、量角器、圓規(guī)等工具試一試。如果只用尺規(guī)呢？用三角尺確定AB的中點，再用量角器在A，B處于AB的同一側作同樣大小的角，交點即為另一個點，或是用圓規(guī)分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑在AB的同一側作弧，交點即為另一個點。如果只用尺規(guī)也可以。例2（教材P129例2）如圖，已知線段AB，請用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線。作法：1.分別以點A和點B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C和D（如圖）；2.作直線CD。直線CD就是線段AB的垂直平分線。思考如圖，已知直線l和l上的一點P，如何用尺規(guī)作l的垂線，使它經(jīng)過點P？能說明你的作法的道理嗎？作法：1.以點P為圓心，任意長為半徑作弧，交直線l于點A，B（如圖）；2.分別以點A和點B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于點C；3.作直線CP。直線CP就是l的垂線。這種作法的道理實際上是作以P為中點的線段AB的垂直平分線?！緦柧殹拷滩腜130隨堂練習第2題。設計意圖：引入線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖方法，鍛煉學生作圖能力?；顒尤壕C合運用，鞏固提升例如圖，在△ABC中，MP，NQ分別垂直平分AB，AC。（1）若△APQ的周長為12，求BC的長；（2）若∠BAC=105°，求∠PAQ的度數(shù)。解：（1）因為MP，NQ分別垂直平分AB，AC，所以AP=BP，AQ=CQ。所以△APQ的周長=AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC。因為△APQ的周長為12，所以BC=12。（2）因為AP=BP，AQ=CQ，所以△ABP與△ACQ都是等腰三角形，所以∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ。因為∠BAC=105°，所以∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-105°=75°，所以∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=105°-75°=30°?！緦柧殹咳鐖D，AD是△ABC的高，AD的垂直平分線分別交AB，AC于點E，F(xiàn)。（1）若∠B=40°，求∠AEF的度數(shù)；（2）試說明：∠B=∠AED。解：（1）因為EF是AD的垂直平分線，所以EF⊥AD。因為AD是△ABC的高，所以BC⊥AD，所以易得EF∥BC，所以∠AEF=∠B=40°。（2）因為EF是AD的垂直平分線，所以EA=ED，所以△ADE是等腰三角形。又因為EF⊥AD，所以EF平分∠AED，所以∠AEF=∠AED。由（1）可知，∠AEF=∠B，所以∠B=∠AED。設計意圖：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，綜合其他知識點如平行線、三角形的內(nèi)角和、“三線合一”等出題，鞏固學生對于新知的理解和運用，強化解題能力?；顒铀模弘S堂訓練，課堂總結【隨堂訓練】相應練習?！菊n堂總結】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.線段是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸有什么特點？2.什么是線段的垂直平分線？它具有什么性質(zhì)？你能用它的性質(zhì)解決相關問題嗎？3.怎么用尺規(guī)作一條線段的垂直平分線？能解決相關作圖的實際應用題嗎？【作業(yè)布置】1.教材P133～135習題5.2第2，3，8，13題。2.相應課時訓練。八、板書設計第2課時線段垂直平分線的性質(zhì)1.線段的軸對稱性：線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸。2.線段的垂直平分線的概念：垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。3.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。4.線段的垂直平分線的作法。九、教學反思（一）課前反思1.思考依據(jù)2022版新課程標準所設定的教學目標，是否精準對應線段垂直平分線性質(zhì)這一內(nèi)容的核心素養(yǎng)要求。比如，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象素養(yǎng)，能否通過具體實例引導學生準確抽象出線段垂直平分線的概念和性質(zhì)，要確認目標的合理性與可達成性。2.回顧對學生學情的分析是否全面深入。學生雖有一定圖形基礎和邏輯思維萌芽，但從具體到抽象的跨越仍存困難。思考是否充分考慮到不同層次學生的接受能力，在教學方法和內(nèi)容呈現(xiàn)上，能否滿足基礎薄弱學生理解性質(zhì)，又能為學有余力學生提供拓展空間。3.反思計劃采用的情境導入、探究式教學等策略是否貼合教學內(nèi)容與學生特點。如創(chuàng)設的生活情境，能否真的激發(fā)學生興趣并自然引出課題；探究活動的環(huán)節(jié)設置是否合理，是否能有效引導學生自主發(fā)現(xiàn)和證明性質(zhì)，確保教學策略切實可行。（二）課后反思1.對照教學目標，檢查學生對線段垂